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第一讲算符及其本征值与本征函数

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量子力学 第一节 力学量算符 教案

量子力学 第一节 力学量算符 教案

第一节力学量算符一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。

用表示一算符。

二．力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身：2.动量算符：, ,3.动能算符4.哈密顿算符：5.角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系？第二节算符基本知识一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。

二单位算符保持波函数不改变的算符三 算符之和加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。

四 算符之积定义: 算符 与 的积 为注意: 一般说算符之积不满足交换律，即： 这是与平常数运算规则不同之处。

五 逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。

，六 算符的复共轭，转置，厄密共轭1． 两个任意波函数与的标积2． 复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量3．转置算符定义: 算符的转置算符满足：即：4．厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明是厄密算符证：为厄密算符，为厄密算符第三节 力学量算符的本征值与本征函数一 厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于 测量力学量O ，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量 所得结果完全确定。

即. 这种状态称为力学量的本征态。

在这种状态下称为算符的一个本征值， 为相应的本征函数。

二 力学量算符的性质 1. 力学量算符是厄密算符量子力学的一个基本假定: 测量力学量 时，所有可能出现的值，都是力学量算符的本征值。

一、动量算符1、动量算符的本征值方程是动量算符的本征值,

一、动量算符1、动量算符的本征值方程是动量算符的本征值,


2 1
sin
(sin
)
1 sin2
2
2
(18)
３、角动量 z 分量算符 Lˆz ：
Lˆz i
(16)
Lˆ2z
2 2
2
４、角动量平方算符的本征值方程：
2
1
sin
(sin
)
1
sin2
2
2
Y
(
,)
2Y ( ,) (18)
或 sin1
(sin
)
1 sin2
)d
1 L3
L
L
L
2 dx 2 dy 2 dz 1
L 2
L 2
L 2
这种将粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件
归一化方法，称为箱归一化。
４、单色平面波是具有确定能量和动量的粒子的波函数， 它是动量算符的本征态。
(r , t)
1
(2
)3 2
e i ( pr Et) (11)
测量粒子的动量 p ，有确定值 p ，即动量算符的本征值。
９、球谐函数的例子：
s态 : Y00
1 p态 :
4
Y1,1
3 sin ei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sin ei 8
可取 (2l 1)个不同值，即对于Lˆz 的一个本征值 l(l 1) 2 ，有 (2l 1)个不同的本征函数 Ylm ( ,) 。
l 0,1, 2,3 分别称为s态,p态,d态,f 态
８、简并和简并度
若对应于一个本征值存在一个以上的本征函数，称 为状态简并，这类本征函数的数目称为简并度。
Lˆ2 本征值是 (2l 1)度简并的。
厄米算符的本征值和本征函数

厄米算符的本征值和本征函数

厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的本征值和本征函数是一种量子力学中非常重要的概念，它们可用于解释原子、分子和其他微观物体上的各种物理性质。

它们也是量子力学方程中最重要的部分，因为它们可以用来描述物体在不同情况下的行为。

厄米算符本征值(eigenvalue)是一个复数值，它代表了对应算符作用在相应状态上得到的实际结果。

这个数值由施加到物体上的力或能量决定，而不同的力和能量会产生不同的本征值。

厄米算符本征函数(eigenfunction)是一个复数函数，它代表了对应的状态的形式，它包含了物体的物理性质，比如其位置、运动和能量等信息。

它们可以用来描述物体在不同情况下的行为，并且可以用来解释物理系统的演化和发展。

比如，厄米算符本征函数可以用来描述原子核的结构，以及电子在量子力学中的行为等。

厄米算符本征值和本征函数之间具有密切的关系，它们是相互依赖的。

它们可以用来解释一个物理系统的行为，以及相关物理性质的变化。

比如，厄米算符本征值可以用来表示量子力学系统中电子所处的能量状态，而本征函数则可以用来描述这些状态的形式，从而可以解释该系统的物理性质和行为。

厄米算符本征值和本征函数的计算通常需要解决复杂的方程，这些方程的形式取决于描述原子、分子等物体的力学模型。

比如，如果要求解原子核的本征值和本征函数，就需要解决相应的核力学方程。

厄米算符本征值和本征函数在量子力学中有着重要的作用，它们可以用来解释原子、分子和其他微观物体的物理性质和行为。

它们可以用来识别物体的能量状态，从而可以解释物理系统的演化和发展。

此外，厄米算符本征值和本征函数的计算也是量子力学的重要组成部分，它们可以用来描述物理系统的行为。

[理学]第三章量子力学中的力学量1

[理学]第三章量子力学中的力学量1


能量本征方程（定态薛定谔方程） 于这个本征值的本征函数。根据以上假定，当 粒子属于这个状态时，坐标确定，坐标值就是 本征值 r ' 。 角动量本征方程
ˆ r r ' 坐标本征方程，注意这里 r '是本征值，r ' 是属 r r' r' r'
ˆ LL ' L 'L '
注意：这些量的分量也可构成各自的本征方程。
ˆ x p
当粒子处在这个方程的解 描述的状态中 时，它的动量在x方向上的分量是确定的， 值就是所属的本征值
力学量的值肯定是实数。根据以上基本假定，这些力学量算符的 本征值是粒子力学量的某个值。因此力学量算符的本征值必须是 实数。下面我们将要介绍一种重要的算符——厄密算符
（7）复共轭算符 算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭.
ˆ O
设定义式中 则，
* ˆ ˆ )* d O d ( O
* * d ( ) d
* d * * d * * d
因为波函数 是平方可积的即
* d d A 2
ˆ T
2
2
2
前面我们已经通过能量本征值方程揭示了能量算符和能量之间 的密切关系。下面我们将这个结论推广到其他所有的物理量上：
量子力学基本假定
ˆ 表示，那么当微观粒子体系处于 F ˆ的 如果力学量 F 用算符 F ˆ 的本征函数 来描述。）时， 本征态 （即体系的状态用 F 力学量 F 具有确定值。这个值就是本征函数 所属的那个本 征值 。它们之间的关系用数学形式表达即： ˆ 本征方程 ˆ 算符 F F
1-2-算符及本征值

1-2-算符及本征值



exp[ix]
例如：i
d dx
、xˆ和
d2 dx2
是厄米算符,
d 不是厄米算符 dx
例
Aˆ i d dx
Aˆ * i d dx
1 eix

* 1

eix
1Aˆ 1dx
eix (i d )eixdx dx
eix (i)2eixdx
dx x
例 e2x是算符 d 的本征函数 dx
本征方程
下列哪些函数是算符 d 的本征函数？ dx
(1) x2 (2) exp(x2 ) (3) 2012 (4) exp(x) (5) sin(4x) (6) cos(4x) i sin(4x)
本征函数
求 d 的本征函数？ dx
解：本征方程为：d (x) a (x)
Aˆ Bˆ
Aˆ Bˆ BˆAˆ 例 Aˆ x
Bˆ d dx
算符对易：Aˆ Bˆ BˆAˆ
例 Aˆ 3 Bˆ d
dx
Aˆ (Bˆf
)

x

d dx
f


x
d dx
f
Bˆ( Aˆ f ) d x f f x df
dx
dx
3 d f d 3f dx dx
1(Aˆ 1)dx
eix (i d eix ) dx dx
eix (i)2eixdx
dx x
所以，算符Aˆ 为厄米算符
本征函数、本征值和本征方程
若算符Aˆ 作用于函数 等于一常数a乘以 Aˆ a
则称函数 为算符Aˆ 的本征函数，a为算符Aˆ 的本征值。
量子力学——算符（精品pdf）

量子力学——算符（精品pdf）

量子力学
算符
目录
一、位置算符
1.1 厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数
1.3 正则对易关系
二、动量算符
2.1 动量算符导引 2.2 （动量算符）本征值与本征函数
七、自旋算符
7.1 概论 7.2 发展史 7.3 自旋量子数
7.3.1 基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋
中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基
本特性
目录 3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.4 在经典力学里的对易关系 3.5 (角动量)本征值与本征函数
目录 1.1 厄米算符 1.2 本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
返回目录 3/52
1.1厄米算符
由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 O 的期望值是 实值的：
对于任意量子态 ，这关系都成立：
根据伴随算符的定义，假设 是 的伴随算符，则
因此，
这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 ，都是厄米算符。
2.3 厄米算符 2.4 正则对易关系
7.3.4 自旋与统计
7.4 自旋的方向
三、角动量算符
3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系
经过一番繁杂的运算，终于得到想要的方程
4. 力学量与算符

4. 力学量与算符

ˆ 之积不一定是厄米算符 ˆ,G <4>厄米算符F
ˆ ) d F ˆ )d ( F ˆ )d ˆG ˆ (G ˆ ) (G 证明： ( F
ˆ F ˆF ˆF ˆ d (G ˆ ) d [( G ˆ )] d G
力学量—表示一个体系力学性质的量。 微观体系的力学量与经典系统的力学量有着重要的区别的：
经典力学体系中假定力学量都是可以连续变化的，任何两个 力学量（如： x, p x ）可同时具有确定值，即存在轨道的概念；
微观体系的一些量却往往只取分立值（如势阱中粒子的能 量，线性谐振子的能量，原子的能量及角动量等） ，也有些量根 本不可能同时具有确定值（如： x和p x ；T和U ） 。微观体系的 这些特点源于它的波动性（无轨道问题） 。
ˆ 之和仍是线性算符 ˆ,G <2 >线性算符F
ˆ (c u c u ) ˆ (c u c u ) G ˆ )(c u c u ) F ˆ G (F 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ 线性 ˆ ,G F
和定义
ˆ ˆ ˆu c F ˆ c1 F 1 2 u 2 c 1 Gu 1 c 2 Gu 2
3. 算符相乘 ˆ 之 ˆ (F ˆ u) M ˆ u , 则称算符 M ˆ F ˆ为 与 G u ，有G 若对任意的函数
ˆF ˆ 不一定等于 ˆF ˆ ） ˆ G ˆ （注意：G ˆG F 积。记为 M 。
ˆ 相继作用在 ˆ n 表示，即： u 上 n 次，则可用 F F 如一个算符
ˆF ˆ F ˆu F ˆ nu ˆ (F ˆ u) F ˆ 2u ； F F ˆ m和F ˆ n 可以交换顺序，n, m 均为正整数。 ˆ nF ˆm F ˆ mF ˆ n ，即 F 即有F
本征态,本征方程,本征值

本征态,本征方程,本征值

本征态、本征函数的定义：如果一个物理量A （用算符Â表示）在微观状态（用波函数ψ）中有确定的值，则称这个微观状态为物理量A 的本征态，或者说波函数ψ为物理量A 的本征函数。

数学表示形式：将算符Â作用于波函数ψ，其结果等于波函数ψ乘以一个常数即： ψψc A=ˆ， c 为常数。

下面考虑定态薛定谔方程是不是一个本征方程？ψψE H=ˆ 答案：当然是，我们在求解薛定谔方程时都能得出E 的解： 如一维势箱：2228ml h n E =；类氢原子中： )( 6.1382222224eV nZ n Z me E n -=-= ε E 都有确定的值。

因此，定态薛定谔方程是本征方程。

按照本征方程的形式我们可以写成： ψψc H=ˆ c 是H ˆ的本征值 我们来看这个本征值C 是什么？根据ψψE H =ˆ ， c 就是最后求出的能量值E ，或者说就是上面定义中提到的确定值。

因此对一个本征方程来说，某个算符Â的本征值就是算符Â所代表物理量的实际值。

所以如果一个波函数ψ是某个物理量A 的本征函数，要求这个物理量的值可以直接将物理量A 的算符Â作用于这个波函数ψ，得到的本征值就是物理量的值。

而实际上我们在求薛定谔方程时已经利用了这一点。

我们直接将能量算符Hˆ作用于波函数，最后求得的能量就是其本征值。

当然只有在本征函数下才能这样求，如果这个波函数不是物理量的本征函数，将物理量作用于波函数后得不到本征值，也就得不到确定的值，因此只能求其平均值。

例如：对于含时薛定谔方程，它不是本征方程，因此其表示形式就不是： ),,,(),,,(ˆt z y x E t z y x H ψψ=。

第一讲算符及其本征值与本征函数

第一讲算符及其本征值与本征函数


对于本征值有简并说明
•
设函：数Aˆ有的f个某：一本n1征,值n 2,n
为f度简并，属于
, nf
Aˆ
的本征
• 这f个本征函数之间有可能并不正交。即：
•
*ni njd 0, (i j)
• 但是可以证明，这f个本征函数线性可以组合成f个 f
• 独立的新函数：n bi ni , 1, 2, , f
i 1
• 并且这些新函数之间互相正交： *n n d 0,( )
• bi 为叠加系数，显然，各 n 仍是 Aˆ 的函数。
• 即： Aˆn Aˆ bi ni bi Aˆ ni n
i
i
bin ni nn i
• 总之，当 Aˆ 为厄米算符，不管其本征函数是否简
并，都可以得到正交归一的本征函数系。
• 当解 Aˆ 的本征方程时，可能得出 Aˆ 的某一本征
值对应的不止一个是一个本征函数，而是f个线性 无关的本征函数，则称该本征值有f度简并，并且 属于该本征值的本征函数也有f个。 • 这时，当粒子处于该f个态中的任何一个，力学量 的值都是一样的。即：
Aˆm Ami i 1, 2,......, f
• 本征值（无简并）为：1, 2 , m , 且m n
• 根据：Aˆm mm, Aˆn nn Aˆ 为厄米算符
• 按定义：
* m
Aˆ
n
d
( Aˆ m )* nd
* m
n
n
d
(m m )* nd
n m* nd m* m* nd m m* nd
(n m ) m* nd 0, n m， m* nd 0
p (r )
1
(2)3/ 2
i
e
2.2本征值和本征函数的计算

2.2本征值和本征函数的计算


⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0⎟ 1⎟ 0 ⎜ ⎜ 0 = ，1 = ， 2 = ⎜ ⎟ ,...... 。 ⎜0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝M⎠ ⎝M⎠ ⎝M⎠
Q
x=i
mhω h b − b+ ) ， p = b + b+ ) ， ( ( 2mω 2
1 0 − 2 0 ... 0 2 0 − 3 ... 0 0 3 0 ... ... ⎞ ⎟ 1 ... ⎟ ， ⎡ m hω ⎤ 2 ⎟ p=⎢ ... ⎟ ⎣ 2 ⎥ ⎦ ⎟ ... ⎟ ... ⎟ ⎠
1
其中 ξ = α x ， α =
mω 。解 b 0 = 0 ，所以 h
3
高等量子力学讲义（研究生用）
§2.2 本征函数和本征值的计算
河北师范大学 刘建军
−
4
⎞ i ⎛ d + ξ ⎟ψ 0 (ξ ) = 0 ， ⎜ 2 ⎝ dξ ⎠
解得：ψ 0 (ξ ) =
ξ2 mω − 1 e 2 ， πh
再由 b + n = n + 1 n + 1 ，可逐项求出ψ n (ξ ) ，最后得
相邻本征值相差 hω ， 于是对 x和p 的矩阵元只有当行标和列标相差 ±1 时矩阵元才 不为零。
∴
pij = pij (δ j ,i +1 + δ j ,i −1 ) ，
xij = xij (δ j ,i +1 + δ j ,i −1 ) ，
将 mω 2 xij = −
H ij = Eiδ ij = =
b + b + b λ = b + ( bb + − 1) λ = ( b + b − 1) b + λ = λ b + λ ，
厄米算符的本征值与本征函数详解演示文稿

厄米算符的本征值与本征函数详解演示文稿

取 Am ，即取确定值 Am 。
三、厄米算符的本征值与本征函数(5)
2、几个定理（1）
定理1：厄米算符的本征值必为实数。
设 Aˆ 为厄米算符， n 和 An 为该算符的本征态与本
征值，即：Aˆ n An n
【证明】：设 A 为 Aˆ 在本征态 m 下的平均值，即：
A
* m
Aˆ
md
3r
四、角动量的本征值与本征函数（1）
n
( Aˆ *
* m
)d
3r
n A~ˆ
* m
d
3r
* m
Aˆ
n
d
3r
* m
An
n
d
3r
An
m* nd 3r
即：
n
(
Aˆ *
* m
)d
3r
An
m* nd 3r
已证明：
n
(
Aˆ *
* m
)d
3r
Am
m* nd 3r
Am m* nd 3r An m* nd 3r
即( Am An ) m* nd 3r 0, Am An ,
*[( Aˆ A) ][( Aˆ A) ]* d 3r ( Aˆ A) 2 d 3r 0
( Aˆ A) 0, 或者Aˆ 常数
改记为： Aˆ n An n
三、厄米算符的本征值与本征函数(3)
1、本征函数（本征态）和本征值（2）
Aˆ n An n
n 0,1,2,3,
定Aˆ理和：厄(r)米，算若符Aˆ＋的平Aˆ均，值即为Aˆ 实 A~数ˆ * 。
则
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r

陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章力学量算符

陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符含答案第一节算符理论基础1.量子力学中的基本假设包括哪些？它们各自的物理意义是什么？答：量子力学中的基本假设包括：(1) 波函数假设：用波函数Ψ(x)描述微观粒子的运动状态，波函数的模的平方表示找到粒子在空间中某一点的概率。

(2) 物理量算符假设：每个物理量都对应一个算符，而对应的测量值是算符的本征值。

(3) 波函数演化假设：波函数随时间的演化遵循薛定谔方程。

(4) 基态能量假设：系统的最低能量对应于基态，且能量是量子化的。

这些基本假设反映了量子力学的基本原理和规律。

2.什么是算符的本征值和本征函数？答：算符的本征值是指对应于某个物理量的算符的一个特征值，它代表了该物理量的一个可能的测量结果。

本征函数是对应于某个物理量的算符的一个特征函数，它表示的是该物理量的一个可能的状态。

3.什么是算符的厄米性？答：算符的厄米性是指一个算符与其共轭转置算符相等。

对于一个算符A，如果满足A†=A，则称该算符是厄米算符。

4.什么是算符的厄米共轭？答：算符的厄米共轭是指将算符的每一项的系数取复共轭得到的新算符。

对于一个算符A，它的厄米共轭算符A†可以通过将A的每一项的系数取复共轭得到。

5.什么是算符的共同本征函数？答：算符的共同本征函数是指对于两个或多个算符A和B，存在一组波函数Ψ(x)使得同时满足AΨ(x)=aΨ(x)和BΨ(x)=bΨ(x)。

其中a和b分别是A和B的本征值。

6.什么是算符的对易性？答：算符的对易性是指两个算符之间的交换顺序不改变它们的结果。

如果两个算符A和B满足[A,B]=AB-BA=0，则称它们对易。

第二节动量算符1.什么是动量算符？它的本征值和本征函数分别是什么？答：动量算符是描述粒子动量的算符，用符号p表示。

动量算符的本征值是粒子的可能动量值，本征函数则是对应于这些可能动量的波函数。

动量算符的本征函数是平面波函数，即Ψp(x)=Nexp(ipx/ħ)，其中N是归一化常数，p是动量的本征值。

厄米算符的本征值与本征函数

§4.3 厄米算符的本征值与本征函数
1、本征值与本征函数
处于ψ 态中，测量力学量A，可得到各种 值，这些值有一定的几率分布。
对于都用ψ来描述其状态的大量相同体系进 行多次测量，所得结果进行统计平均将趋向 于一个确定的值。
见下表：
28
1
(1) A1 p1 A2 p2 A3 p3
A0
(2) A1 p'1 A2 p'2 A3 p'3

p (r)

1 (2 )3/2
ei
p

r
/

为 p/的单色平面波。
28
19
在量子力学中，平面波代表粒子处在动量 一定、在空间各处出现的概率都相同的状态， 这是一种理想化的型。它不能用通常的办 法归一化，而是采用 函数的形式“归一化”。
28
20
(4)一维自由粒子的能量本征态。
则有
px ' (x)
1 ei px ' x/ 2
px '*(x) px "(x) dx ( px ' px")
平面波的“归一化”就用δ函数的形式表示 了出来。
28
18
在三维情况下，动量算符的本征值方程是
i p (r) p p (r)
动量算符的本征值 在直角坐标系中的三个分量px, py和pz 均为实数。动量本征值方程的解是
(A)2 ( Aˆ A)* *( Aˆ A)d | ( Aˆ A ) |2 d 0
如果体系处于一种特殊状态，测量 A 所得 结果唯一确定，即涨落 (A)2 0，
则这种状态称为力学量A的本征态。
28

1-2-算符及本征值


1(Aˆ 1)dx
eix (i d eix ) dx dx
eix (i)2eixdx
dx x
所以，算符Aˆ 为厄米算符
本征函数、本征值和本征方程
若算符Aˆ 作用于函数 等于一常数a乘以 Aˆ a
则称函数 为算符Aˆ 的本征函数，a为算符Aˆ 的本征值。
Aˆ Bˆ BˆAˆ 一般情况
思考
给出算符Aˆ 的三个例子， 使得Aˆ 满足：Aˆ ex ex
算符(Operater)
线性算符:
Aˆ (c11 c22) c1Aˆ 1 c2Aˆ 2
c1,
c2为任意常数，
1
,

为任意函数
2
以下算符哪些（个）是线性算符？
运算 乘以
取平方根
Aˆ Bˆ
Aˆ Bˆ BˆAˆ 例 Aˆ x
Bˆ d dx
算符对易：Aˆ Bˆ BˆAˆ
例 Aˆ 3 Bˆ d
dx
Aˆ (Bˆf
)

x

d dx
fห้องสมุดไป่ตู้


x
d dx
f
Bˆ( Aˆ f ) d x f f x df
dx
dx
3 d f d 3f dx dx
dx
d (x) adx (x) ln (x) ax C ' (x) eCeax Ceax
作业
通常给字母上加一 ^ 或 [ ]表示算符。
Aˆ 1 2
运算
算符
sin x的作用结果
乘以
x
x sin x
取平方根
sin x
对x求导

4.3 厄米算符的本征值与本征函数

这就涉及到了两个或多个力学量的共同本征
态问题。
28
28
2 n 2 n
系数 a 还不能完全定下来，它们还有多种 取法。
尽管如此，我们总可以说，厄米算符的本征函数 彼此正交，不管它们是否简并。
28 27
在常见的一些问题中，当出现简并时，为
了把某力学量A的简并态确定下来，往往可以
用A以外的其他力学量的本征值来对简并态进
行分类，此时正交性问题将自动得到解决。
8
本征值方程： 解得
ˆ A A n n n
本征值：A1，A2，A3……组成本征值谱
本征函数： 1, 2, 3 ……组成本函数系
本征函数的正交性：
ˆ 的不同本征值的本征函数相互正交。 属于厄米算符 A
0 当 n m 数学表述 m d nm 1 当 n m 当 m n 时 A A 有 * d 0 正交性 m n n m
这是一种理想化的模型。它不能用通常的办
法归一化，而是采用 函数的形式“归一化”。
28
20
( 4 )一维自由粒子的能量本 征态。
一维自由粒子的Hamiltonian为 2 2 2 ˆ p d ˆ H 2 2m 2 m dx 本征值方程为
d ( x ) E ( x ) 2 2 m dx
函数值相等，即：
e
e
28
iL z ' /
iLz ' 2 /
e
iL z '( 2 ) /
i 2 m
1 e
Lz ' 其中 m 0,1,2,
12
所以，相应的本征函数为 m ( ) ce im
将其归一化，可得归一 化系数 c

哈密顿算符的本征函数

哈密顿算符的本征函数一、引言哈密顿算符是量子力学中非常重要的概念，它描述了一个系统的总能量，并且可以用于求解系统的本征函数和本征值。

在本文中，我们将讨论哈密顿算符的本征函数。

二、哈密顿算符的定义哈密顿算符是量子力学中描述一个系统总能量的算符，它被定义为：H = T + V其中，T是动能算符，V是势能算符。

在一维情况下，动能算符和势能算符分别为：T = - (h_bar^2 / 2m) d^2/dx^2V = V(x)其中，h_bar是普朗克常数除以2π，m是粒子质量，x是位置坐标。

三、哈密顿算符的本征值和本征函数一个物理系统的哈密顿算符作用于其本征函数时会得到一个常数倍数，这个常数就是该系统的本征值。

因此，我们可以通过求解哈密顿算符的本征函数来得到该系统的能级。

对于一维情况下的哈密顿算符，在某个位置x处的波函数ψ(x)满足以下薛定谔方程：Hψ(x) = Eψ(x)其中E为该系统的能级。

四、求解哈密顿算符的本征函数对于一维情况下的哈密顿算符，我们可以通过分离变量法来求解其本征函数。

具体来说，我们可以将波函数表示为：ψ(x) = u(x) * v(x)其中u(x)是动能算符的本征函数，v(x)是势能算符的本征函数。

我们可以将薛定谔方程写成以下形式：(- (h_bar^2 / 2m) d^2/dx^2 + V(x)) u(x) * v(x) = E u(x) * v(x)将V(x)移项，并除以u(x)v(x)，得到：(- (h_bar^2 / 2m) d^2/dx^2 - (E - V(x))) u(x)/u + v(x)/v = 0由于左侧只与x有关，右侧只与E有关，因此左右两侧必须相等，即：- (h_bar^2 / 2m) d^2/dx^2 - (E - V(x)) = λ其中λ为常数。

我们可以将上式写成以下两个方程组的形式：d^2u/dx^2 + (λ - 2m(E-V)/h_bar^2)*u = 0d^2v/dx^2 + (λ + 2mE/h_bar^2)*v = 0这两个方程分别是动能算符和势能算符的本征值问题。

算符的本征值与本征态

算符的本征值与本征态算符是量子力学中非常重要的概念之一，用于描述物理量的性质和测量结果。

在量子力学中，算符的本征值与本征态是非常有用的工具，它们可以帮助我们理解和计算系统的物理性质。

本文将介绍算符的本征值与本征态的概念及其在量子力学中的应用。

一、算符的本征值和本征态的定义在量子力学中，算符用来描述测量物理量的操作。

一个算符作用于一个波函数上，会得到一个新的波函数或者一个数值结果。

当算符作用于一个波函数时，如果结果等于原波函数乘以一个常数，这个常数就是算符的本征值，而原波函数就是算符的本征态。

根据量子力学的原理，每个物理量都有对应的算符。

例如，位置算符描述了粒子在空间中的位置，动量算符描述了粒子的动量，能量算符描述了粒子的能量等。

这些算符都有自己的本征值和本征态。

二、算符的本征值与本征态的性质算符的本征值和本征态具有一些重要的性质。

首先，算符的本征值只能取实数或复数。

其次，算符的本征值可以是离散的或连续的。

对于离散的本征值，我们称其为离散谱；对于连续的本征值，我们称其为连续谱。

算符的本征态具有归一化的性质，即本征态的模长平方等于1。

本征态之间也可以进行线性组合，得到新的波函数，这些新的波函数也是算符的本征态。

因此，本征态构成了一个完备的正交基。

三、算符的本征值与本征态的应用算符的本征值与本征态在量子力学中有广泛的应用。

首先，它们用于描述系统的物理性质。

通过求解薛定谔方程，我们可以得到系统的所有本征值和本征态，从而了解系统的能级以及相应的波函数形式。

其次，算符的本征值与本征态用于描述量子测量的结果。

当我们对一个物理量进行测量时，测量结果就是算符的某个本征值，而物理系统处于相应的本征态。

算符的本征值与本征态还可以用于计算系统的平均值和方差。

平均值描述了物理量的期望值，而方差描述了测量结果的离散程度。

此外，算符的本征值与本征态在量子力学中的对易性质也是非常重要的。

通过研究不同算符的对易关系，我们可以推导出一些重要的定理，如不确定性原理等。

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, c11 c22 c1 ,1 c2 ,2
• 上式简单证明： Aˆ a
, Aˆ Aˆ , a , a* ,
• 所以： a a*
量子力学中代表力学量的算符必须
是线性厄米算符
•
例：证明
Pˆx
ih
是厄米算符。 x
• 设：1(rv),2(rv)是粒子的两个任意波函数，按定义证明
• 设：厄米算符 Aˆ 的本征函数为：1, 2,L n ,L
• 本征值（无简并）为：1, 2 ,L m ,L 且m n
• 根据：Aˆm mm, Aˆn nn Aˆ 为厄米算符
• 按定义：
* m
Aˆ
n
d
( Aˆ m )* nd
* m
n
n
d
(m m )* nd
n m* nd m* m* nd m m* nd
• 当粒子所处状态确定时，力学量具有某一可能值 的几率也就完全确定了。
• 例如氢原子中的电子处于某一束缚态时，它的坐 标和动量都没有确定值。但是这两个量具有某一 量的确定值的几率却是可以确定的。
• 对经典物理来说没有这些特点，所以，为了表述 这些特点，量子力学引入算符来表示力学量。
算符是对波函数进行某种数学运算的符号。
补充：动量算符的本征函数
• 我们前面给出了动量算符的本征方程，那么它们
的本征函数是什么？
p
(r )
Ce
i
p.r
其中C为归一化系数。
由于本征值是连续分布的，本征函数模平方在整个空间
积分不能归一化为一，而只能归一化为δ函数。统一说
法，也说这C为归一化系数。
归一化系数C求法。
已归一化了的四个本征函数为：

•
若 Aˆ ，Bˆ 0， 则 Aˆ ，Bˆ 不对易。
补充说明
• 算符相加满足交换律、结合律：
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ, Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ Bˆ Cˆ
• 算符相乘不满足交换律：Aˆ Bˆ BˆAˆ
• 算符相乘满足结合律： AˆBˆ Cˆ Aˆ BˆCˆ
• 独立的新函数：n bi ni , 1, 2,L , f
i 1
• 并且这些新函数之间互相正交： *n n d 0,( )
• bi 为叠加系数，显然，各 n 仍是 Aˆ 的函数。
• 即： Aˆn Aˆ bi ni bi Aˆ ni n
i
i
bin ni nn i
• 总之，当 Aˆ 为厄米算符，不管其本征函数是否简
• 若 (rv)为一已知可能态，用某一本征态 m 的复
共轭
* m
乘上式两边，然后对r变化的整个空间
积分，并利用本征函数的正交性，得：
m* d
* m
(
cn n )d
cn m* nd
n
n
cnmn cm n
• 即：
cn
* n
(rv)
(rv)d
• P101 • 1， • 2，
• 在推导薛定谔方程时，我们曾经得到过：ih E
t
• 以及定态薛定谔方程： h2 2 U (r) E
2m • 从这两个等式我们可以发现一种等效关系：
ih : E t
• 也就是等式左2h边m2 的2符号U作(r用)于: 波E 函数的结果等效 于右边的能量作用于波函数的结果。
• 对于定态的薛定谔方程，当势能不显含时间t，可 以认为E=H=T+U，恰好是经典力学中的哈密顿量。
x$,
µp y
0
µp x ,
µp y
0
• 一般写成：
x$i ,
µp
j
ih ij
• ij 的含义是：
Q i j,ij 0;Q i j,ij 1
• 六、厄米共轭算符
若算符 Fˆ ,Gˆ 满足： * Fˆd (Gˆ ) d ,
其中ψ、φ是任意函数，则称 Gˆ 是 Fˆ 的厄米共轭算符，记为： Gˆ Fˆ 。
AB
BA
1 2i
BA
AB
1 2i
AB
BA
另外对于线性厄米算符有如下关系
• 若 Fˆ , Gˆ 为厄米算符，a和b为实数。则有
aFˆ bGˆ FˆGˆ Gˆ Fˆ
厄米算符；
i(FˆGˆ Gˆ Fˆ )
• 但是，FˆGˆ 一般不是厄米算符。
• 任何规定为以x的实函数相乘的算符显然也是厄米
的，所以势V（x）也是厄米函数。这意味着哈密
并，都可以得到正交归一的本征函数系。
• 正交性和归一性可以合并表示为：
* m
(rv)
n
(rv)d
mn
1(m n) 0(m m)
• 式中 mn 称为 符号，它代表的含义是：
m n,mn 1; m n,mn 0
2，完全性
• 定义：当 Aˆ 为厄米算符，其本征态为1, 2,L , n,L
本征值的本征函数。上式也被称为算符 Aˆ 的本征
方程。
• 在量子力学中，一个力学量所可能取的数值，就是 它的算符的全部本征值。本征函数所描写的状态就 是这个算符的本征态。在自己的本征态中，这个力 学量取确定值，即这个本征态所属的本征值。
简并度
• 不同的算符一般有不同的本征函数系和本征值谱， 因为算符不同，本征方程的数学形式不同，因而 方程解的函数形式不同。
• 所以，Pˆx 的确是厄米算符。式中利用了：
*1 2
0
• 因为粒子应该在有限范围内运动，所以在 x
• 处，波函数都为零。
练习
•
如
A,
B
是厄米算符，则：12
AB
BA
,
1 2i
AB
BA
• 也是厄米算符。
1
2
AB
BA
1 2
B A AB
1 2
BA
AB
1 2
AB
BA
1 2i
AB
BA
1 2i
• 当解 Aˆ 的本征方程时，可能得出 Aˆ 的某一本征
值对应的不止一个是一个本征函数，而是f个线性 无关的本征函数，则称该本征值有f度简并，并且 属于该本征值的本征函数也有f个。 • 这时，当粒子处于该f个态中的任何一个，力学量 的值都是一样的。即：
Aˆm Ami L L i 1, 2,......, f
Aˆ
Bˆ
三、算符乘：
Aˆ Bˆ Aˆ (Bˆ)
• 四、线性算符：
• 五、若泊Aˆ松(c括1号与c2算 符) 对c1易Aˆ ： c2 Aˆ 成立，则 Aˆ 是线性算符。
• A：泊松括号： [ Aˆ, Bˆ ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
• B：若[ Aˆ , Bˆ ] 0， 则Aˆ 与Bˆ对易，
在量子力学中出现的力学量，都有 与该力学量运算效果上等效的算符。
因此通过对比，我们可以归纳出下 列的几个等效关系：
Eˆ
ih
t
Tˆ
Uˆ
h2 2 2m
U
(r
)
Hˆ ,T
h2 2 ,Uˆ (rv) 2m
U (rv)
Pvˆ ih ih(
v i
v j
v k ),
Pvˆ 2
h22
x y z
Pˆx ih
• 则线对性于叠粒 加子 ，的 把任(rv意)完一全可(r准v能)确态的 (表rvc)n示，出可n (r来以v)，用即本有征：态的
• 这称为任意态用本征态展开。n 上式实际上就是态 的叠加原理的数学表示式。Cn为叠加系数。
• 求出Cn，代入叠加式，就实现了对已知可能态 的线性展开，或实现了对一未知可能态的取得。
作业5
顿算符也是厄米的。
厄米算符本征函数的正交性和 完全性
• 厄米算符的本征函数具有正交性和完全性，这是厄 米算符的两个重要性质，运用这两个性质可以使一 些计算过程简化。
• 1，正交性：在数学上，如果两个函数 1(rv), 2 (rv)
• 满足：1* 2d 0 就称这两个函数正交。
• 先证明本征值无简并的情况下厄米算符的本征函数 之间互相正交。
*1
(rv)Pˆx 2 (rv)d
*1
(rv)(ih
x
)
2
(rv)d
dydz
*1 (ih)
2
x
dx
dydz(ih) *1 2
2
*1
x
dx
dydz
0
2
(ih
x
)
*1
dx
dydz
2
(ih
x
)
*
*1
dx
dydz 2Pˆx * *1 dx (Pˆx1) * 2d
• 即： 1 *Pˆx 2d (Pˆx1)* 2d
Aˆ(rv, pvˆ ) Aˆ(rv, ih)
二、本征函数与本征值
• 算符 Aˆ 作用于函数f(r)上，得出另一个函数。若算 符作用于某些特殊的函数U(r)得到的结果等于某一 常量乘以同一函数U(r)，即： Aˆ U (r) AU (r)
• 则常数A称为算符 Aˆ 的本征值； U(r)称为属于这个
p (r )
1
(2)3/ 2
i p.r
e
px
(x)
1
(2)1/ 2
ei
p
x
x
py
( y)
1
(2)1/ 2
i
e py y
pz
(z)
1
(2)1/ 2
i
e pzz
三、算符运算规则及线性厄米算符
• 一、算符相等：对任意函数Ψ，若 Aˆ Bˆ
• • •
则： Aˆ Bˆ
二、算符和与差：
( Aˆ
Bˆ )
第一讲算符及其本征值、本征 函数
量子力学中的力学量 这一章主要介绍量子力学如何处理力学 量。主要特点是力学量与算符对应。它 涉及到量子力学特有的一整套处理力学 量的基本原理与数学方法。这一章构成 了量子力学基本理论框架的主要部分。