(壹x上) 量子力学基础第五节算符一、算符的定义和运算二、算符的本征方程、本征值、本征函数三、线性算符四、厄米算符小结作业思考题一、算符的定义和运算返回上页下页返回上页下页设符号代表某个运算规则，按此规则，由一个函数f 可唯一地确定另一个函数g ，记作符号称为算符.[算符的定义]Af g ˆ=AˆAˆ返回上页下页通常，算符记号上带有抑扬符“∧”.但是，对于单纯做乘法的算符，“∧”可省略.注可直接写做x ； ˆ()xx ⋅(5⋅)可直接写作5 .5ˆ例如，返回上页下页算符的等价性设和是两个算符，若对任意函数f 都有，则称和相等，记作.AˆB ˆf B f A ˆˆ=B A ˆˆ=[算符的运算]AˆB ˆ返回上页下页算符的加法(减法)AB f Af Bf ˆˆˆˆ()±=±Df x Df x f x ˆˆˆˆ(3)()()3()+=+例如，f x f x ()3()′=+规定：称为与的和(差).A ˆB ˆA Bˆˆ±运算规律：AB B A [交 换律 ]ˆˆˆˆ+=+AB C A B C 结合律] ˆˆˆˆˆˆ()()[++=++返回上页下页一般而言，(算符的乘法不满足交换律).ABBA ˆˆˆˆ≠对易子如果，即，则称和可对易；否则，就是不可对易的.A B ˆˆ[,]0=A BˆˆAB AB BA ˆˆˆˆˆˆ[,]=−规定：称为与的对易子.AB ˆˆ[,]A ˆB ˆAB BA ˆˆˆˆ=但不排除对某些特定的算符有.ABBA ˆˆˆˆ=返回上页下页对易子的恒等式(证明留作练习)：]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[A B B A−=n A A ˆˆ[,]0=二、算符的本征方程、本征值、本征函数返回上页下页返回上页下页则⎯⎯常数a 称为的本征值;非零函数f 称为的属于(对应于)本征值a 的本征函数;ˆAaf f A =ˆ设：是算符，f 是非零函数，a 是常数.如果AˆˆA称为的本征方程.ˆA af f A=ˆ返回上页下页(3)本征函数总是和本征值联系在一起，一个本征函数不能同时属于两个不同的本征值；(4)对应于同一个本征值，可能有不止一个线性无关的本征函数.说明(1) 本征函数f 要求是非零函数(不恒等于零)；(2)一般而言，本征值(复数域)，相应的，本征函数f 是复函数.a ∈ 假设，则有.本征函数f 是非零函数，于是a =b ，矛盾., 其中ˆˆ()Afaf Af bf a b ==≠()0a b f −=三、线性算符返回上页下页返回上页下页线性算符有如下的对易子恒等式：]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A k B k A B Ak ==]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[C A B A C B A+=+]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆˆ[C B C A C B A+=+C B A C A B C B Aˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆˆ,ˆ[+=B C A C B A C B Aˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆˆ[+=[线性算符的对易子]例6. 由，计算对易子和D xˆˆ[,]1=x i D ˆ[,]− x D 2ˆ[,]]ˆ,[2D x x i Dˆ[,]− i x D ˆ[,]=− i D x ˆ[,]= D ˆ2−=D D ˆˆ−−=D D x D x Dˆ]ˆ,[]ˆ,[ˆ+=i = 解返回上页下页112211221122ˆˆˆ()D c f c f c f c f c Df c Df ′′+=+=+都是线性算符，2ˆˆˆ,,xD D 222112211221122ˆˆˆ()D c f c f c f c f c D f c D f ′′′′+=+=+11221122()x c f c f c xf c xf ⋅+=⋅+⋅因此，返回上页下页[线性算符的性质]若f 1,f 2是线性算符的属于同一个本征值a 的本征函数，则它们的任意非零线性组合c 1f 1+c 2f 2(即c 1,c 2是任意常数但要保证c 1f 1+c 2f 2是非零函数)仍然是属于a 的本征函数.证2211ˆ ,ˆ af f A af f A==∵ 1122ˆ()A c f c f ∴+2211ˆˆf A c f A c +=注此性质对更多本征函数也成立.Aˆ2211af c af c +=)(2211f c f c a +=当c 1f 1+c 2f 2为非零函数时，是对应于a 的本征函数.四、厄米算符返回上页下页返回上页下页如果算符满足：则称算符是厄米算符.d d **ˆˆ()f Ag g Af ττ=∫∫AˆAˆ[厄米算符的定义](f ,g 是任意的品优函数)说明(1)一般来说，算符的本征值是复数域上的数.但是，厄米算符的本征值一定是实数.(2)一般来说，算符的本征函数不一定正交.但是，对于线性厄米算符，①非简并本征值：有且有一个线性无关的本征函数，任选一个；②简并本征值：能够选出一个两两正交的最大线性无关组[线性厄米算符的性质2(2)].所选的的这一系列本征函数必定是两两正交的[线性厄米算符的性质2(1)].返回上页下页四、小结作业思考题返回上页下页小结返回上页下页1算符的概念；算符的加法、乘法、幂及其运算规则.m n m n m n mn A A A A A； ˆˆˆˆˆ()+==[加法交换律] ˆˆˆˆAB B A +=+加法结律 合 ]ˆˆˆˆˆˆ()()[AB C A B C ++=++ [乘法结合律]ˆˆˆˆˆˆ()()ABC AB C =返回上页下页2对易子ˆˆˆˆˆˆ[,]AB AB BA =−如果(即)，则称和可对易.ˆA ˆB 重要的恒等式:ˆˆ[,]0AB =ˆˆˆˆAB BA =]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[A B B A−=n A A ˆˆ[,]0=ˆˆ[,]AB返回上页下页3算符的本征方程、本征值、本征函数.af f A =ˆa 为常数，称为本征值；f 是非零函数，称为属于本征值a 的本征函数.的本征方程：ˆA4线性算符的概念和性质.()A c f c f c Af c Af 11221122ˆˆˆ+=+( f 1和f 2是任意函数；c 1和c 2是任意常数)返回上页下页线性算符的运算规律：线性算符的对易子恒等式：]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A k B k A B Ak ==ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A C B C +=+[左分配律] ˆˆˆˆˆˆˆ()AB C AB AC +=+[分 律] 右配ˆˆˆˆˆˆˆ()BC A BA CA +=+ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B A C +=+C B A C A B C B Aˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆˆ,ˆ[+=B C A C B A C B Aˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆˆ[+=返回上页下页(本征值的简并度：属于该本征值的全体本征函数中，最大线性无关组所含的函数个数)线性算符的性质：线性算符的属于同一个本征值的本征函数的任意非零线性组合，仍是属于同一个本征值的本征函数.返回上页下页5厄米算符的概念和性质. d d **ˆˆ()f Ag g Af ττ=∫∫(f ,g 是任意的品优函数)线性厄米算符的性质：1. 厄米算符的本征值必然是实数；2.(1)厄米算符属于不同本征值的本征函数必然是相互正交的;(2)线性算符的属于简并本征值的全体本征函数中，能够选出一个两两正交的最大线性无关组.作业p.145，第26，27，28题返回上页下页返回上页下页思考题下列哪些算符可对易⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅( )(A) ˆˆ,x y (B),x y ∂∂∂∂(C),x x ∂∂ (D),y x∂∂返回上页下页[提示]可对易⇔.将作用于二元函数f (x ,y )可得.[答案] (A)(B)(D)即 ˆˆˆˆˆˆ[,]00A B AB BA =−=ˆˆ,AB ˆˆˆˆABBA −ˆˆ[,]A B附录线性厄米算符性质的证明返回上页下页返回上页下页线性厄米算符的性质2(1)厄米算符的属于不同本征值的本征函数必然是相互正交的;(2)线性算符的属于同一个简并本征值的全体本征函数中，可选出两两正交的最大线性无关组.(1) 设是厄米算符，f , g 是分别属于两个不同特征值a , b 的本征函数，即ˆAd d **ˆˆ()f Ag g Af ττ=∫∫证； ()ˆˆAf af Agbg a b ==≠根据厄米算符的定义，有d d **()f bg g af ττ=∫∫d d ***b f g a gf ττ=∫∫返回上页下页上式中a *≠b (∵厄米算符的本征值是实数，a*=a ，而a ≠b )，从而有是相互正交的d 即*0,,g f g f τ=∫一般而言，{f 1,f 2,…,f n }不是两两正交的.但是，从最大线性无关组{f 1,f 2,…,f n }出发，利用施密特正交化方法，能够构造出一个等价的非零正交函数组{ϕ1,ϕ2,…,ϕn }.方法如下(参见数学复习)：(2)设是线性算符，f 1,f 2,…,f n 是属于简并本征值a 一个最大线性无关组.ˆA。
![[理学]第三章量子力学中的力学量1](https://img.taocdn.com/s1/m/d1f77453a417866fb94a8e05.png)
