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曾谨言《量子力学教程》（第3版）配套模拟试题及详解（一）一、简答题（每小题5分，共20分。
） 1．什么是光电效应？解：光照到金属表面导致大量电子从金属中逸出的现象即为光电效应。
2．厄密算符的本征值是实数吗？量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 答：是。
以λ表示F 的本征值，ψ表示所属的本征函数，则λψψ=F ，因为F 是厄密算符，于是有⎰⎰=dx dx ψψλψψλ***，由此得λλ=*，即λ是实数。
3．氢原子处于3p 态的电子径向Schr ōdinger 方程是什么?该态下哈密顿算符H ˆ和角动量平方算符2ˆL的本征值呢？ 答：氢原子电子径向薛定谔方程为：0)1(2122222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛R r l l r e E dr dR r dr d r μ 对于3p 态电子，2418e E μ-=。
哈密顿算符本征值为2418e μ-，角动量平方算符本征值222)1(=+l l 。
4．自旋可以在坐标表象中表示吗？答：自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
二、（25分）粒子在一维势场中运动，设其束缚态波函数为试求粒子相应的能量及势场。
解：由波函数得代入下式得取x ＝0时，V （x ）＝0，则，故本题所求为三、（25分）一粒子在一维势场0()00x U x x a x a ∞<⎧⎪=⎨⎪∞>⎩，， ≤≤，中运动。
（1）求粒子的能级和对应的波函数。
（2）若已知t =0时，该粒子状态为))()((21)0,(21x x x ψψψ+=，求t 时刻该粒子的波函数。
（3）求t 时刻测量到粒子的能量分别为1E 和2E 的几率是多少？ （4）求t 时刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。
解：（1）22222n maE n π=（n=1，2，3，…）可见E 是量子化的。
对应于n E 的归一化的定态波函数为：⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=-a x a x ax xea n at x t E n in n ,,00,sin 2),(πψ（2）t 时刻的波函数：1212(,)()()iE t iE tx t x e x e ψψψ--⎡⎤=+⎥⎦（3）t 时刻测量到粒子的能量为1E 的几率是：21),(),(21=t x t x ψψt 时刻测量到粒子的能量为2E 的几率是：21),(),(22=t x t x ψψ （4）平均能量：ˆ(,)(,)(,)(,)E x t Ex t x t i x t tψψψψ∂==∂ 22122524E E maπ+== 平均位置：12216()(,)(,)cos 29a a E E t x x t x x t ψψπ-⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦四、（25分）对于自旋2的体系，求x y σσ+的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测量y S 得2的概率和x S 的平均值。
第4章力学量随时间的演化与对称性4.1 判断下列提法的正误：（正确○，错误×）（a）在非定态下，力学量的平均值随时间变化；（×）（b）设体系处于定态，则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化；（○）（c）设Hamilton量为守恒量，则体系处于定态；（×）（d）中心力场中的粒子，处于定态，则角动量取确定值；（×）（e）自由粒子处于定态，则动量取确定值；（×）（f）一维粒子的能量本征态无简并；（×）（g）中心力场中的粒子能级的简并度至少为（2ι／＋1），ι＝0，1，2，…．（○）4.2 设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态φ1、φ2、φ3中的任何一个态．试求体系可能态的数目，分三种情况讨论：（a）两个全同Bose子；（b）两个全同Fermi子；（c）两个不同粒子．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[下]，7.1题．】7.1 考虑由两个全同粒子组成的体系．设可能的单粒子态为φ1、φ2、φ3，试求体系的可能态数目．分三种情况讨论：（a）粒子为Bose子（Bose统计）；（b）粒子为Fermi 子（Fermi统计）；（c）粒子为经典粒子（Boltzmann统计）．解：以符号△、○、口分别表示φ1、φ2、φ3态．Bose子体系的量子态对于两个粒子的交换必须是对称的，Fermi子体系则必须是反对称的，经典粒子被认为是可区分的，体系状态没有对称性的限制．当两个粒子处于相同的单粒子态时，体系的状态必然是交换对称的，这种状态只能出现于Bose子体系和经典粒子体系，体系波函数的构造方式为当两个粒子处于不同的单粒子态（φi和φj，i≠j）时，如果是经典粒子，有两种体系态，即由单粒子态φi和φj可以构成对称和反对称的体系态各一种，即对称态适用于Bose子体系，反对称态适用于Fermi子体系．对于两粒子体系来说，Bose子体系的可能态总数与Fermi子体系的可能态总数之和，显然正好等于经典粒子（可区分粒子）体系的可能态总数．如可能的单粒子态为k个，则三种两粒子体系的可能态数目如下：经典粒子N＝k2本题k＝3，Fermi子、Bose子、经典粒子体系的可能态数目分别为3、6、9．体系态的构造方式如下：Bose子体系态（共6种，均为交换对称态）有Fermi子体系态（反对称态）只有3种：当全同粒子体系的粒子数超过两个时，一般来说，对于粒子间的交换完全对称的状态（适用于Bose子）数目与完全反对称的状态（适用于Fermi子）数目之和，总是小于没有对称性限制的体系状态（适用于经典粒子）总数．亦即，后者除了完全对称态和完全反对称态，还有一些没有对称性或只有混杂对称性的状态．例如，由三个全同粒子组成的体系，如可能的单粒子态有3种，则在Boltzmann统计、Bose统计、Fermi统计下，体系的可能态数目分别为27、10和1．4.3 设体系由3个粒子组成，每个粒子可能处于3个单粒子态（φ1，φ2和φ3）中任何一个态，分析体系的可能态的数目，分三种情况：（a）不计及波函数的交换对称性；（b）要求波函数对于交换是反对称；（c）要求波函数对于交换是对称．试问：对称态和反对称态的总数为多少?与（a）的结果是否相同?对此做出说明．解：（a）不计及波函数的交换对称性，其可能态的数目为33＝27；（b）要求波函数对于交换是反对称的，其可能态的数目为1；（c）要求波函数对于交换是对称的，其可能态的数目为1＋6＋3＝10（参见《量子力学教程》4.5.4节，94页的例题）．对称态和反对称态的总数＝10＋1＝11，而不计及交换对称性的量子态的数目（即（a）的结果）为27，两者并不相同．原因在于全同粒子的交换对称性对量子态的限制所造成．4.4 设力学量A不显含t，H为体系的Hamilton量，证明证明：对于不显含t的力学量A，有上式两边再对t求导，则有即4.5 设力学量A不显含t，证明在束缚定态下证明：定态是能量本征态，满足对于束缚态，是可以归一化的，即取有限值．而对于不显含t的力学量A，因此4.6 表示沿z方向平移距离口的算符．证明下列形式波函数（Bloch波函数）：是D x（a）的本征态，相应本征值为证明：利用可得而对于形式为的波函数所以，即是D x（a）的本征态，相应本征值为e-ika．4.7 设体系的束缚能级和归一化能量本征态分别为En和，n为标记包含Hamilton 量H在内的力学量完全集的本征态的一组好量子数．设H含有一个参数A，证明此即Feynman-Hellmann定理．【证明见《量子力学习题精选与剖析》[下]，5.1题．】5.1 设量子体系的束缚态能级和归一化能量本征态分别为E n和（n为量子数或编号数），设λ为Hamilton算符H含有的任何一个参数．证明（1）这称为Feynman-Hellmann定理．以后简称F-H定理．证明：满足能量本征方程（2）其共轭方程为（2'）视λ为参变量，式（2）对λ求导，得到（3）以左乘式（3），利用式（2'）和归一化条件，即得式（1）．4.8 设包含Hamilton量H在内的一组守恒量完全集的共同本征态和本征值分别为丨n>和E n，n为一组完备好量子数．证明，力学量（算符）F随时间的变化，在此能量表象中表示为【证明见《量子力学习题精选与剖析》[下]，2.1题．】2.1 给定总能量算符H（，，p），以表示其本征值和本征函数．态矢量简记为按照Heisenber9运动方程，力学量算符A（r，p）的时间变化率为（1）定义能量表象中矩阵元（2）证明（3）其中。
第4章 力学量随时间的演化与对称性4.1 复习笔记一、力学量随时间的演化1．守恒量对于力学量A ，其平均值随时间变化关系式如下A tH A i dt A d ˆ]ˆ,ˆ[1∂∂+=η 故对于Hamilton 量H 不含时的量子体系，如果力学量A 与H 对易，力学量A 对应算符不显含时间t ，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A 的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变．则把A 称为量子体系的一个守恒量．2．能级简并与守恒量的关系（1）守恒量与简并关系的定理定理 设体系有两个彼此不对易的守恒量F 和G ，即[F ，H]＝0，[G ，H]＝0，但[F ，G ]≠0，则体系能级一般是简并的．推论 如果体系有一个守恒量F ，而体系的某条能级部简并（即对应于某能量本征值E 只有一个本征态E ψ），则E ψ必为F 的本征态．（2）位力（virial ）定理当体系处于定态下，关于平均值随时间的变化，有一个有用的定理，即位力virial ）定理．设粒子处于势场V （r ）中，Hamilton 量为)(2p 2r V mH += 则位力定理表述如下位力定理推论：若势场函数V(r)为r 的n 次齐次式，则有推论V T 2n =二、波包的运动，Ehrenfest 定理设质量为m 的粒子在势场V （r ）中运动，用波包ψ（r ，t ）描述．设粒子的Hamilton 量为)(2p 2r V mH += 作如下定义：则Ehrenfest 定理表述如下：三、Schr ödinger 图像与Heisenberg 图像（1）（1）式这种描述方式称为Schrödinger 图像（picture ）．亦称Schrödinger 表象． 在Schtodlnger 图像中，态矢随时间演化，遵守Schrödinger 方程，而算符则不随时间的变化；与此相反，在Heisenberg 图像中，则让体系的态矢本身不随时间的变化而算符切随时间的变化，遵守Heisenberg方程．四、守恒量与对称性的关系1．对称性变换[Q，H]＝0 （2）凡满足式（2）的变换，称为体系的对称性变换．物理学中的体系的对称性变换，总是构成一个群，称为体系的对称性群（symmetrygroup）．2．对称性对应守恒量体系在Q变换下的不变性[Q，H]＝0，应用到无穷小变换，就导致F就是体系的一个守恒量．这充分说明对称性变换Q必定对应一个守恒量F．典型的两个例子是：平移不变性对应动量守恒，空间旋转不变性对应角动量守恒．五、全同粒子体系与波函数的交换对称性1．全同粒子体系的交换对称性（1）全同性原理全同性原理：任何可观测到，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子交换是不变的，即交换对称性．凡满足P ijψ＝ψ的．称为对称（symmetric）波函数；满足P ijψ＝-ψ的称为反对称（anti—symmetrle）波函数．（2）玻色子与费米子凡自旋为 整数倍（s＝0,1，2，…）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对称的，如π介子（s＝0）．光子（s＝1）．在统计方法上，它们遵守Bose统计，故称为Bose 子．凡自旋为h的半奇数倍（s＝1/2，3/2，…）的粒子，波函数对于两粒子交换总是反对称的，如电子，质子，中子等．它们遵守Fermi统计，故称为Fermi子．2．两个全同粒子组成的体系Pauli不相容原理：不允许有两个全同的Fermi子处于同一个单粒子态．Pauli原理是一个极为重要的自然规律，后来从量子力学波函数的反对称性来说明Pauli原理的是Heisenberg，Fermi和Dirac的贡献．3．N个全同Fermi子组成的体系设N个Fermi子分别处于k2<k z<…<k N态下，则反对称波函数可如下构成（3）P代表N个粒子的一个置换（permutation）．式（3）常称为slater行列式，是归一化因子．4．N个全同Bose子组成的体系Bose子不受Pauli原理限制，可以有任意数目的Bose子处于相同的单粒子态．设有n i个Bose子处于k，态上（i＝1，2，…，N），则该体系的归一化的对称波函数可表为4.2 课后习题详解4.1 判断下列提法的正误：（正确○，错误×）（a）在非定态下，力学量的平均值随时间变化；（×）（b）设体系处于定态，则不含时力学量的测值的概率分布不随时间变化；（○）（c）设Hamilton量为守恒量，则体系处于定态；（×）（d）中心力场中的粒子，处于定态，则角动量取确定值；（×）（e）自由粒子处于定态，则动量取确定值；（×）（f）一维粒子的能量本征态无简并；（×）（g）中心力场中的粒子能级的简并度至少为（2ι／＋1），ι＝0，1，2，…．（○）4.2 设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态φ 1、φ 2、φ 3中的任何一个态．试求体系可能态的数目，分三种情况讨论：（a）两个全同Bose子；（b）两个全同Fermi 子；（c）两个不同粒子．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[下]，7.1题．】7.1 考虑由两个全同粒子组成的体系．设可能的单粒子态为φ1、φ2、φ3，试求体系的可能态数目．分三种情况讨论：（a）粒子为Bose子（Bose统计）；（b）粒子为Fermi子（Fermi统计）；（c）粒子为经典粒子（Boltzmann统计）．解：以符号△、○、口分别表示φ1、φ2、φ3态．Bose子体系的量子态对于两个粒子的交换必须是对称的，Fermi子体系则必须是反对称的，经典粒子被认为是可区分的，体系状态没有对称性的限制．当两个粒子处于相同的单粒子态时，体系的状态必然是交换对称的，这种状态只能出现于Bose子体系和经典粒子体系，体系波函数的构造方式为当两个粒子处于不同的单粒子态（φi和φj，i≠j）时，如果是经典粒子，有两种体系态，即由单粒子态φi和φj可以构成对称和反对称的体系态各一种，即对称态适用于Bose子体系，反对称态适用于Fermi子体系．对于两粒子体系来说，Bose子体系的可能态总数与Fermi子体系的可能态总数之和，显然正好等于经典粒子（可区分粒子）体系的可能态总数．如可能的单粒子态为k个，则三种两粒子体系的可能态数目如下：经典粒子N＝k2本题k＝3，Fermi子、Bose子、经典粒子体系的可能态数目分别为3、6、9．体系态。
第5章中心力场5.1 复习笔记一、中心力场中粒子运动的一般性质1．角动量守恒与径向方程设质量为的粒子在中心势中运动，则Hamilton量表示为则该粒子的能量本征方程可表示为上式左边第二项称为离心势能（centrifugal potential），第一项称为径向动能算符。
径向波函数满足的方程：（1）有时作如下替换是方便的．令：则满足：（2）（8）式在解题中的实际应用会更多。
径向方程（1）中不出现刻画本征值的磁量子数m，因此能量本征值E与m无关，所以能级有m简并．2．径向波函数在r→0邻域的渐近行为求解径向方程（1）时，处只有的解才是物理上可以接受的．或等价地，要求径向方程（2）的解：满足3．两体问题化为单体问题引入如下的约化质量，可以将两体问题化为单体问题。
化为单体问题后，单体应该满足如下方程，其中式23是在两体质心系中列出的方程。
（3）式（3）中第一式描述质心运动，是自由粒子的能量本征方程．Ec是质心运动能量，这一部分与体系的内部结构无关．式（3）中第二式描述相对运动．E是相对运动能量．二、无限深球方势阱质量为 的粒子在半径为n的球形匣子中运动．这相当于1．l＝0的情况粒子的能量本征值为相应的归一化波函数可表示为2．l ≠0的情况 粒子的能量本征值表为与l E ,n 相应的径向本征函数表示为：三、三维各向同性谐振子考虑质量为μ的粒子在三维各向同性谐振子势V(r)中运动，ω是刻画势阱强度的参量．三维各向同性谐振子的能量本征值如下：与之相应的径向波函数经归一化后，n表示径向波函数的节点数（不包括r＝0， 点）．r讨论：1．能级简并度对于给定能级E的简并度为N2．Cartesian坐标系中求解如采用直角坐标系，它们的共同本征态为：即三个一维谐振子的能量本征函数之积．相应的能量本征值为：能级简并度为：四、氢原子具有一定角动量的氢原子的径向波函数满足下列方程及边界条件式中μ边电子的约化质量，)/1/(p e e m m m +=μ其中p e m m 和分别为电子和质子质量。
第2章 一维势场中的粒子一、选择题一维自由电子被限制在x 和x ＋Δx 处两个不可穿透壁之间，Δx ＝0.5埃，如果E 0是电子最低能态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（ ）[中南大学2009研]A ．2E 0B ．3E 0C ．4E 0D ．8E 0 【答案】C【解析】一维无限深方势阱中能级公式为2222n 2a n E μπ =，则可知，较高级能量与基态能量比值为412212=⎪⎭⎫⎝⎛=E E ，由题意，基态能量为01E E =，则第一激发态能量为024E E =二、填空题1．自由粒子被限制在x 和x ＋1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理．如果没有给出其他资料，则粒子在x 和x ＋1／3之间的概率是______．[中南大学2010研]A ．025B ．033C ．011D ．067 【答案】B【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为2．上题中，按照量子力学．处于最低能态的粒子在x 和x ＋l/3之间被找到的概率是______．[中南大学2010研]A ．019B ．072C ．033D ．050 【答案】A【解析】取x 为原点，则有波函数为ax a x πsin 2)(=ψ 所求概率即19.04331)2sin 23(1sin 2)(3030322≈-=-==ψ=⎰⎰ππππlll l x l x l l x l dx x P三、计算题1.在一维情况下，若用P ab （t ）表示时刻t 在a ＜x ＜b 区间内发现粒子的几率． （a ）从薛定谔方程出发，证明＝J （a ，t ）-J （b ，t ），其中J （x ，t ）是几率流密度．（b ）对于定态，证明几率流密度与时间无关．[华南理工大2009研] 解：（a ）设t 时刻粒子的波函数ψ（x,t)，波函数满足薛定谔方程：22(,)2ˆ(,)(,)(,)i x t H x V x x t t t t μψψψ-∇⎛⎫∂== ⎪∂+⎝⎭（1）对（1）两端取复共轭得，***22ˆ(,)(,)(,(,))2i x t H x t x t t V x t μψψψ-⎛⎫∂-== ⎪∂⎝⎭∇+ （2）做运算*(,)(1)(,)(2)x t x t ψψ⨯-⨯得()()∙**2*222**2(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,2)i x t x t x t x t x t x t t x t x t x t x t ψψψψψψψψψμψμ-∇∇-∇∇∂⎡⎤=⎣⎦∇-∂=-上式两边同除以i 移项得，()∙***(,)(,)(,)(,)(,)(,)02x t x t x t x t x t x i t t ψψψψψμψ-∇∇∂⎡⎤-=⎣⎦∇∂ 则几率流密度公式为**(,)2i j x t mψψψψ∇∇⎡⎤=⎣⎦（x,t)（x,t)-（x,t)（x,t)， 上式可表示为∙*(,)(j x t ,)0（，）x t x t tψψ∂⎡∂-∇⎤=⎣⎦，两端积分得： ∙*a b a b (,),0j ()（x,t)x t x t t ψψ∂⎡⎤-∇=⎣⎦∂⎰⎰又由于t 时刻在区间（a ，b ）内发现粒子的几率为：*b ()ba aP t dx ψψ=⎰（x,t)（x,t)代入上式可得，b ()(,)(,t ）a dP t J a t J b dt=- （b ）对于定态波函数=()iEtx eψϕ-（x,t)，代入几率流密度方程**(,)2i j x t mψψψψ∇∇⎡⎤=⎣⎦（x,t)（x,t)-（x,t)（x,t)可得， **()2()()()()x x i j x mx x ϕϕϕϕ∇∇⎡⎤=⎣⎦- 是一个与t 无关的量，故定态的几率流密度与时间无关．2.证明ψ（x ）＝A （2α2x 2-1）是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量．式中A 为归一化常数，[华南理工大2009研]解：已知线性谐振子的定态波函数和本征能量为22/2()()x n n n x N eH x αψα-=，12n E n ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,1,2,,n n N ==22012()1,()2,()42,...H x H x x H x x ααααα===-本题中波函数2222/22222/2()(21)42)2(x x A x A x e x eααψαα--=--=()22/2222()22x A A H x e x N ααψ-== 所以()x ψ是线性谐振子的本征波函数，对应量子数n ＝2，因此容易得到其，本征能量为252E ω=3.质量为m 的粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动．（a ）建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谔方程． （b ）当粒子处于状态ψ（x ）＝ψ1（x ）＋ψ2（x ）时，求测量粒子能量时的可能取得及相应的概率．其中ψ1（x ）和ψ2（x ）分别是基态和第一激发态．（c ）若上式的ψ（x ）是t ＝0时刻的波函数，求粒子在其后任意时刻的波函数．[华南理工大学2010研]解：（a ）如图建立坐标系，图2-1设0,0(),0,x aV x x x a <<⎧=⎨∞<>⎩，哈密顿算符222()2d V x dx H μ-+= 波函数()x ψ满足薛定谔方程22()()()2V x x E x ψψμ⎡⎤-∇+=⎢⎥⎣⎦当0,x x a <>时，()x ψ＝0；当0x a <<时，222()()2d x E x dxψψμ-= 令22Ek μ=，则 222()()0d x k x dxψψ+=的通解可表示为 ()sin cos x A kx B kx ψ=+利用边界条件(0)0,()0a ψψ==得，0,1,2,3,...，k=n B n aπ== ()sin x A kx ψ= 由归一化可解得A =,0(),0,n0n n x ax a x x x a πψ<<=<>⎩对应的定态能量为2222,1,2,2nn E n aπμ==（b ）当粒子处于态()()()1212x x x ψψ=+时，能量的可能值及几率为： 2212,2E a πμ=几率1/4 ； 22222,E aπμ=几率3/4（c ）任意时刻t 的波函数可以表示为下面形式()(),n iE tn n x t C x eψψ-=∑，其中()()*,0n n C x x dx ψψ=⎰，在此题中112C =，1C =故任意时刻t 的波函数()()()121213,22iE t iE t x t x ex e ψψψ--=+，其中2212,2E aπμ=22222,E aπμ=4．粒子的一维运动满足薛定谔方程：．（1）若ψ1（x ，t ）和ψ2（x ，t ）是薛定谔方程的两个解，证明与时间无关．（2）若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式．[华南理工大学2011研]解：（1） 证：)2.........()2(),1........()2(22221221ψψψψV mt i V mt i +∇-=∂∂+∇-=∂∂取式（1）之复共轭，得........)2(*122*1ψψV mt i +∇-=∂∂-。
