相似三角形的性质

相似三角形的判定与性质相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它们具有相同的形状但是大小不同。

在初中数学学习中，我们需要学会如何判定两个三角形是否相似，以及相似三角形具有哪些性质。

本文将对相似三角形的判定方法与性质进行详细介绍。

一、相似三角形的判定要判定两个三角形是否相似，有三种常用的方法：AA判定法、SAS判定法和SSS判定法。

1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

具体而言，如果两个三角形中的两个角分别相等，即对应角相等，那么这两个三角形就是相似的。

2. SAS判定法：如果两个三角形中，一个角相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形相似。

具体而言，如果两个三角形中，某个角相等，并且两边之比也相等，那么这两个三角形就是相似的。

3. SSS判定法：如果两个三角形的三边之比相等，则这两个三角形相似。

具体而言，如果两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。

以上三种判定法是判断相似三角形最常用的方法，通过使用其中的任意一种判定法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。

二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，包括比例关系、角度关系和面积关系。

1. 边的比例关系：相似三角形的对应边之比相等。

如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比值是相等的。

例如，若两个相似三角形的两个边的比值分别为a:b，c:d，那么它们的第三边的比值也是相等的，即比值为a/c=b/d。

2. 角度关系：相似三角形的对应角相等。

如果两个三角形相似，那么它们的对应角是相等的。

具体而言，如果一个角分别相等，则这两个三角形的对应角也相等。

3. 面积关系：相似三角形的面积比等于边长比的平方。

如果两个三角形相似，那么它们的面积比等于边长比的平方。

具体而言，若两个相似三角形的对应边的长度比为a:b，那么它们的面积比为a^2:b^2。

相似三角形的性质在数学中应用广泛。

例如，在测量中，我们可以利用相似三角形的边长比关系求取难以测量的长度。

相似三角形的性质相似三角形是几何学中一个重要的概念，它们具有一些独特的性质和特点。

在本篇文章中，我们将深入探讨相似三角形的性质，并介绍一些相关的定理和应用。

一、比例性质相似三角形的首要性质是比例性质。

两个三角形相似的条件之一是它们各个对应顶点的角度相等，另一个重要条件是它们对应的边长成比例。

具体而言，如果两个三角形的对应边长之比相等，那么它们就是相似三角形。

这一性质可以用以下比例关系表达：$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$其中，AB、BC、AC分别是一个三角形的三边的长度，DE、EF、DF分别是另一个相似三角形的对应边的长度。

二、边长比例的重要性质边长比例是相似三角形中一个非常重要的性质，它具有一些独特的特点：1. 任意两边之比相等在相似三角形中，任意两边的长度比都是相等的。

例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们有以下关系：$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$2. 任意一边与其他边的长度比相等对于相似三角形中的一条边，它与其他两条边之比都是相等的。

例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们有以下关系：$$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} = \frac{DF}{AC}$$3. 相似三角形的边长比例唯一如果两个三角形的边长比例相等，那么它们一定是相似的。

这是因为边长比例包含了相似三角形的全部信息，只有这些比例相等，两个三角形的形状才会完全一致。

三、角度对应的性质除了边长比例之外，相似三角形还有一些角度对应的性质：1. 对应角相等在相似三角形中，对应的角是相等的。

例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们有以下关系：$$\angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F$$2. 对角相等的必要条件如果两个三角形的对应角相等，那么它们一定是相似的。

相似三角形的判定和性质
性质：
1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。

2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。

3.相似三角形周长的比等于相似比。

4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。

判定：
1.两角分别对应相等的两个三角形相似。

2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3.三边成比例的两个三角形相似。

4.—条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。

数学八年级20．相似三角形的性质相似三角形的性质有： 1．对应角相等； 2．对应边成比例；3．对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比； 4．周长之比等于相似比；5．面积之比等于相似比的平方。

性质（3）主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质（5）进一步丰富了面积有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角。

例1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD的延长线相交于点E 、F 、G ，若BE=5，EF=2，则FG 的长是___________.解题思路 由相似三角形建立含FG 的关系式，注意中间比的代换。

例2．如图，已知△ABC 中，DE//FG//BC ，且AD ：DF ：FB=1：2：3， 则SADE：S DFGE 四边形：S FBCG 四边形=（ ）A ．1：9：36B ．1：4：9C ．1：8：27D ．1：8：36解题思路 △ADE 、△AFG 都与△ABC 相似，用△ABC 面积的 代数式分别表示△ADE 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积。

例3．如图，在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t 1、t 2、t 3 的面积分别为4、9和49，，求△ABC 的面积。

解题思路 由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质。

例4．在一块锐角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的四个顶点都在三角形边上，若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且a ＞b ＞c ，问正方形的两个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大。

解题思路 正方形的两个顶点放在三角形边上有三种情形，把每一种情形的正方形的边长用a 、b 、c 的代数式表示出来。

例5．如图，△PQR 和△P Q R '''是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF ，设这个六边形的边长为：AB=a 1，BC=b 1，CD=a 2，DE=b 2，EF=a 3，FA=b 3，求证：222222123123a a ab b b ++=++解题思路 本例是一个颇为复杂的非常规性证明题，显然不能用勾股定理证明，从已知易得相似三角形，由相似三角形的性质寻找解题的突破口。

相似三角形的判定与性质相似三角形是指有着对应角度相等、对应边比例相等的两个三角形。

在解决几何问题中，判定两个三角形是否相似是非常重要的，因为相似三角形的性质可以帮助我们得到许多有用的结论。

本文将讨论相似三角形的判定方法以及其性质。

一、相似三角形的判定方法1. AA相似判定法:当两个三角形的两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。

例如：若∠A1 = ∠A2且∠B1 = ∠B2，则△A1B1C1~△A2B2C2。

2. SSS相似判定法:当两个三角形的三边对应成比例时，这两个三角形是相似的。

例如：若A1B1/A2B2 = B1C1/B2C2 = C1A1/C2A2，则△A1B1C1~△A2B2C2。

3. SAS相似判定法:当两个三角形的两边成比例，且夹角对应相等时，这两个三角形是相似的。

例如：若A1B1/A2B2 = B1C1/B2C2且∠A1 = ∠A2，则△A1B1C1~△A2B2C2。

二、相似三角形性质1. 边比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。

也就是说，相似三角形的边长之比保持不变。

2. 高比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则AA'为两个三角形的对应边之比，BB'为对应边之比，CC'为对应边之比。

也就是说，相似三角形的高线段之比与对应边之比相等。

3. 角度性质:若△ABC~△A'B'C'，则∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'。

也就是说，相似三角形的对应角度相等。

4. 面积比例性质:若△ABC~△A'B'C'，则△ABC的面积与△A'B'C'的面积之比等于对应边的平方之比。

也就是说，相似三角形的面积之比等于对应边的平方之比。

腾大教育教师辅导教案授课时间：学员姓名 陈圣邦 年 级 初 二 辅导科目 数学 学科教师卢兴伟班 主 任季甜甜课 时 数3教学课题三角形相似的条件教 学 目 标 1 相似三角形的性质 2.位似图形教 学 重 难 点教学内容 课堂收获一 相似三角形的性质：1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比（相似三角形的对应边的比，叫做相似比）。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

例1. （）如图，在中，，，，求。

1348∆∆∆ABC DE BC AD BD S S ABC ADE //==（）如图，在中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点2∆ABC EFGH E F BC G 、H 分别在AC 、AB 上，BC=15cm ，BC 边上的高AD=10cm ，求正方形的面积。

AH M GB E D F C1解：（）11 DE BC B //∴∠=∠∠=∠∴A AADE ABC ∆∆~∴=+=+=A D A BA D A DB DB D B D B D3334∴=∴=∴=S S S S A D E A BCA D E A D E ∆∆∆∆()3448916272（2）设正方形边长为x则H G H E M D G F EF xA M A D M D x======-=-10正方形HEFG HG BC ∴// ∴∠=∠1B∠=∠∴HAG BACAHG ABC ∆∆~∴=A M A D H G B C （相似三角形对应高的比等于相似比）∴-=101015xx15101015015101510150251506()-=-=--=--=-=x x x x x x x x cm （）S cm 正方形（）==63622图形的放大与缩小如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.例1 下列说法正确的是（）A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等；B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似；C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似；D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似。

一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）． 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B C 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AH S BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

相似三角形的性质【知识梳理】判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（简述为：两角对应相等，两三角形相似）判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

（简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

（简述为：三边对应成比例，两三角形相似）【例题精讲】1、如图，∠ABD=∠C，AD=2， AC=8，求AB。

2、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=172，求AD的长。

3、一根1.5米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为2.1米，此时一棵水衫树的影长为10.5米，这棵水衫树高为( )A．7.5米 B．8米 C．14.7米 D．15.75米4、如图是一面镜子，则有__ _∽__ __。

（第4题） （第5题）5、如图，某测量工作人员眼睛A 与标杆顶端F 、电视塔顶端E 在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC ＝1米，CD ＝5米，求电视塔的高ED 。

A 【夯实基础】1．如图所示，矩形ABCD ，E 、F 分别为CD 、BC 上的点，且∠AEF=90°，则一定有（ ） A ．△ADE ∽△ECF B ．△AEF ∽△ABF C ．△EFC ∽△AFE D ．△ADE ∽△AEF2．如图，已知ABC ∆，P 是边AB 上的一点，连结CP ，以下条件中不能判定ABC ACP ∆∆~的是（ ） A 、B ACP ∠=∠ B 、ACB APC ∠=∠ C 、AC 2=AP •AB D 、BCABCP AC =APBC3．已知：如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出ABP∆与ECP∆相似的是（）A、EPCAPB∠=∠ B、90=∠APE C、P是BC的中点 D、BP：BC=2：34．ABC∆中，D是AB上一个固定点，E是AC上的一个动点．若使ADE∆与ABC∆相似，则这样的点E有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、很多5．如图，若点D为ABC∆中AB边上一点，且ACDABC∠=∠，AD=2cm，BC=4cm，则AC的长为（）A、12cmB、22cmC、3cmD、2cm6．下列说法①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（）A．②，④ B．①，③ C．①，②，④ D．②，③，④7．△ABC中，D是AB上一固定点，E是AC上的一个动点，若使△ADE与△ABC相似，则这样的点E有（）。

三角形的相似性质三角形是几何学中的重要概念，研究三角形的性质是几何学的基础内容之一。

其中，相似性质是三角形性质中的重要组成部分。

本文将介绍三角形的相似性质及其相关定义、定理和证明。

一、相似三角形的定义两个三角形如果对应的角相等，对应的边成比例，那么这两个三角形就是相似的。

其中，“对应的角相等”指的是两个三角形的三个内角分别相等，“对应的边成比例”指的是两个三角形的对应边的长度比例相等。

相似三角形的定义提供了研究相似性质的基础，让我们能够通过已知条件来推导出其他未知性质。

二、相似三角形的性质1. 全等三角形的相似性质全等三角形是特殊的相似三角形，其对应边的比例为1：1。

当两个三角形全等时，它们的所有对应边都相等。

2. AAA相似判定定理如果两个三角形的对应角分别相等，那么它们是相似的。

这是三角形相似性质中最重要的一个定理，也是推导其他相似性质的基础。

3. AA相似判定定理如果两个三角形的一个角相等，且它们有一个对应边成比例，那么它们是相似的。

4. SSS相似判定定理如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。

通过以上相似性质的定理，我们可以判断两个三角形是否相似，从而推导出其他未知性质。

三、相似三角形的应用相似三角形的性质在实际问题中有广泛的应用。

下面将介绍几个常见的应用场景。

1. 测量高度当无法直接测量高塔、电线杆等高度时，可以利用相似三角形的性质通过测量阴影或其他已知长度来计算其高度。

2. 直角三角形的性质在直角三角形中，根据相似性质可以推导出勾股定理，从而应用于解决各种实际问题。

3. 尺规作图在尺规作图中，可以利用相似三角形的性质通过已知长度来构造出相似的三角形，进而构造出所需的图形。

四、相似三角形的证明相似三角形的性质可以通过数学证明进行验证。

数学证明可以使用各种方法，如数学归纳法、反证法等。

以证明AAA相似判定定理为例，假设有两个三角形ABC和DEF，设∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。