4.7 相似三角形的性质(一) 公开课教案

4.7 相似三角形的性质●教学目标〔一〕教学知识点1.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.2.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用.〔二〕能力训练要求1.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.2.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.〔三〕情感与价值观要求1.学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.●教学重点1.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.2.运用相似三角形的比例关系解决实际问题.●教学难点相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.●教学方法引导启发式通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识到达理解并掌握的目的.●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］〔拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板〕.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.〔让学生把数据写在黑板上〕［师］同学们通过观察和计算来答复以下问题.1.两三角形是否相似.2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流.［生］因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形.周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？［生］面积比与相似比的平方相等.［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.Ⅱ.新课讲解1.做一做投影片〔§4.7.2 A〕在上图中，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为. 〔1〕请你写出图中所有成比例的线段. 〔2〕△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？你是怎么做的？〔3〕△ABC 的面积如何表示？△A ′B ′C ′的面积呢？△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比是多少？与同伴交流.［生］〔1〕∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=D C CD ''=D B BD ''=D A AD ''=. 〔2〕43='''∆∆的周长的周长C B A ABC . ∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=. ∴C A C B B A AC BC AB l l C B A ABC ''+''+''++='''∆∆ =C A C B B A C A C B B A ''+''+''''+''+''434343 =43)(43=''+''+''''+''+''C A C B B A C A C B B A . 〔3〕S △ABC =AB ·C D.S △A ′B ′C ′=A ′B ′·C ′D ′.∴2)43(2121=''⋅''=''⋅''⋅='''∆∆D C CD B A AB D C B A CD AB S S C B A ABC. 2.想一想如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比分别是多少？［生］由上可知假设△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为k ，面积比为k 2.3.议一议投影片〔§4.7.2 B 〕.如图，四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2，相似比为k .〔1〕四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的周长比是多少？〔2〕连接相应的对角线A 1C 1，A 2C 2，所得的△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似吗？△A 1C 1D 1与△A 2C 2D 2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？〔3〕设△A 1B 1C 1，△A 1C 1D 1，△A 2B 2C 2，△A 2C 2D 2的面积分别是,111C B A S ∆ 222222111,,D C A C B A D C A S S S ∆∆∆那么222111222111D C A D C A C B A C B A S S S S ∆∆∆∆=各是多少？〔4〕四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？［生］解：〔1〕∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2.相似比为k .〔2〕△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2、△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比都为k .∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2∴2211221122112211D A D A D C D C C B C B B A B A === ∠D 1A 1B 1=∠D 2A 2B 2,∠B 1=∠B 2.∠B 1C 1D 1=∠B 2C 2D 2,∠D 1=∠D 2.在△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2中∵22112211C B C B B A B A = ∠B 1=∠B 2. ∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.∴2211B A B A =k . 同理可知，△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比为k .〔3〕∵△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2.22222222222222)(k S S S S k D C A C B A D C A C B A =++∆∆∆∆照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.由此可知：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅲ.随堂练习完成教材随堂练习Ⅳ.课时小结本节课我们重点研究了相似三角形的对应线段〔高、中线、角平分线〕的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅴ.课后作业●板书设计§.2 相似三角形的性质〔二〕一、1.做一做2.想一想3.议一议二、课堂练习三、课时小结四、课后作业字母表示数【学习目标】课标要求：1.能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式。

相似三角形的性质教案相似三角形的性质教案一、教学目标：1. 理解相似三角形的概念；2. 掌握相似三角形的判定方法；3. 掌握相似三角形的性质；4. 运用相似三角形的知识解决实际问题。

二、教学重点和难点：1. 相似三角形的判定方法；2. 相似三角形的性质。

三、教学内容和教学过程：1. 引入新课教师用两个相似的三角形拼接成一个平行四边形的图形，让学生通过观察推测相似三角形的特点。

2. 概念解释教师向学生解释相似三角形的概念：如果两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例，那么这两个三角形相似。

3. 判定方法让学生尝试找出判定相似三角形的方法，并与同桌分享。

教师引导学生总结出判定相似三角形的方法：考察两个三角形的对应角是否相等以及对应边是否成比例。

4. 性质解释让学生想象两个相似三角形的比例关系，观察和分析两个相似三角形之间的性质差异。

教师引导学生总结出相似三角形的性质：（1）对应角相等性质：相似三角形的三个对应角都相等。

（2）对应边成比例性质：相似三角形的三个对应边都成比例。

（3）相似三角形的比例性质：如果两个三角形相似，那么它们的相似比等于任意两个对应边的比。

5. 实际应用教师给出一些实际问题，让学生运用相似三角形的知识解决问题，如计算高塔的高度、测量不可直接测量的距离等。

四、课堂练习在黑板上列出一些相似三角形的题目，让学生在课堂上解答，并让他们互相交流讨论解题思路。

五、板书设计相似三角形定义：如果两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例，那么这两个三角形相似。

性质：1. 对应角相等性质：相似三角形的三个对应角都相等。

2. 对应边成比例性质：相似三角形的三个对应边都成比例。

3. 相似三角形的比例性质：如果两个三角形相似，那么它们的相似比等于任意两个对应边的比。

六、教学反思通过本节课的教学，学生能够理解并掌握相似三角形的概念、判定方法和性质。

通过实际应用的练习，学生也能够灵活运用相似三角形的知识解决问题。

相似三角形的性质【教学目标】1．探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；2．发展学生合情推理，和有条理的表达能力【教学重点】相似三角形的性质【教学难点】有条理的表达与推理【教学过程】一、情境引入：（1）前面学习了相似三角形、相似多边形的概念，知道如果两个三角形或两个多边形相似，那么它们的对应角、对应边成比例。

相似三角形、相似多边形是否还有其他的一些性质呢？（2）所有的正方形都是相似形（它们的对应角相等，对应边成比例）。

若正方形的边长为1，则周长为4，面积是1；若正方形的边长为2，则周长为8，面积是4；若正方形的边长为3，则周长为12，面积是9；若正方形的边长为a，则周长为4a，面积是a2．这些正方形间周长的比，面积的比与其边长的比之间有怎样的关系呢？二、探究学习：1．若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的周长比等于相似比吗？问题1．为了解决这个问题，不妨设这个相似比为k，只要考虑什么就可以了？问题2．相似比为k，那么哪些线段的比也等于k？问题3．这两个三角形的周长又分别与哪些线段有关？问题4．如何得出这两个三角形的周长比与相似比k的关系？得出：相似三角形的周长的比等于相似比问题5．你能运用类似的方法说明“相似多边形的周长等于相似比吗？”得出：相似多边形的周长等于相似比2．问题1．若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′B′C′的面积比与相似比又有什么关系1 / 32 / 3呢？已知△ABC ∽△A′B′C′，相似比是k ，AD 和A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高。

因为∠B=∠B′，∠ADB=∠A′D′B′=90°所以△ABD ∽△A′B′D′所以k B A AB D A AD =''=''，即AD=kA′D′，所以221212121k D A C B D A k C B k D A C B AD BC C B A ABC =''⋅''''⋅''=''⋅''⋅='''∆∆的面积的面积得出：相似三角形的面积比等于相似比的平方问题2．你能类似地得出相似多边形的面积比与相似比的关系吗？得出：相似多边形的面积比等于相似比的平方。

相似三角形的性质数学教案
标题：相似三角形的性质
一、教学目标：
1. 理解并掌握相似三角形的定义。

2. 掌握相似三角形的基本性质，并能够应用这些性质解决实际问题。

3. 培养学生的空间观念和逻辑推理能力。

二、教学重点与难点：
1. 教学重点：理解相似三角形的定义和性质。

2. 教学难点：运用相似三角形的性质解决实际问题。

三、教学过程：
（一）引入新课
通过一些生活中的实例引出相似的概念，激发学生的学习兴趣。

（二）新课讲解
1. 定义：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形就叫做相似三角形。

2. 性质：相似三角形的对应边成比例，对应高的比等于对应边的比，对应中线的比等于对应边的比，对应角平分线的比也等于对应边的比。

（三）例题解析
1. 选择适当的题目进行示范，让学生理解和掌握如何运用相似三角形的性质解决问题。

2. 让学生自己尝试解答一些题目，教师在一旁指导。

（四）课堂练习
设计一些练习题，让学生巩固所学的知识。

（五）小结与作业
1. 小结本节课的主要内容和学习的重点。

2. 分配一些课后作业，让学生在课后继续复习和巩固所学知识。

四、教学反思
在教学结束后，对整个教学过程进行反思，总结成功之处和需要改进的地方。

4.7.1相似三角形的性质教学设计在生活中,我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图,小王依据图纸上的△ABC,以1∶2的比例建造了模型房梁△A'B'C',CD和C'D'分别是它们的立柱.问题1:△ACD与△A'C'D'相似吗?为什么?如果相似,指出它们的相似比.问题2:如果CD=1.5 cm,那么模型房梁的立柱有多高?已知△ABC ∽△A ′B ′C ′， △ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论.解:∵△ABC ∽△A'B'C',∴∠B=∠B'.∵AD ⊥BC ,A'D'⊥B'C',∴∠ADB=∠A'D'B'=90°. ∴△ABD ∽△A'B'D'. ∴AB ∶A'B'=AD ∶A'D'=k.师生共同总结:相似三角形对应高的比等于相似比.如图：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD 平分∠BAC ，A ′D ′平分∠B ′A ′C ′; E 、E ′分别为BC 、B ′C ′的中点. 试探究AD :A ′D ′的比值关系，AE :A ′E ′呢？.,,.(1)..ABBAC B A C B B k A B AD BAC A D B A C BAD B A D BAD B A D AB BD AD k A B B AB D A D C A B C '''∴∠=∠'''∠=∠'=''∠''∠''⎡⎤'∴∠=∠'''∴'''∴===''''''⎣⎦∽，，平分平分∽两个角分别相等的两个三角形相小组解：△似△△△.,,11,22.,.,..AB BCB B k A B BC E E BC B C BE BC B E B C BE BC B E B C AB BCk A B B C AB BE k A B B E B B BAE B A E AB B ABC E AE k A B B E A E A B C '''∴∠=∠'=='''''''∴=''=''∴=''''==''''∴==''''∠=∠'∴'''∴===''''⎡⎦'⎣'⎤∽，，分别为的中点，，△∽△小组2解：△△ 小结：由此可知相似三角形还有以下性质. 相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.议一议：如图，已知△ABC ∽△A ′B ′C ′， △ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ；点D 、E 在BC 边上，点D ′、E ′在B ′C ′边上.（1）若∠BAD =13∠BAC ，∠B ′A ′D ′=13∠B ′A ′C ′，则ADA ′D′等于多少?（2）若BE =13BC ， B ′E ′=13B ′C ′，则AE A ′E′等于多少？（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流.(),,.11,,33.11()..ABBAC B A C B B k A B BAD BAC B A D B A C BAD B A D BAD B A D AB BD ADk A B B ABC A B C D A D '''∴∠=∠'''∠=∠'=''∠=∠∠'''=∠'''∴∠=∠'''∴'''∴===''''''⎡⎤⎣⎦∽，∽两个角分别相等的两个三角形相小解：△△似组△△().11,,33.,.,().2.AB BCB B k A B BC BE BC B E BE BC B E B C AB BCk A B B C AB BE k A B B E B B BAE B A E AB BE ABC A B C B C AE k A B B E A E '''∴∠=∠'==''''=''=''∴=''''==''''∴==''''⎡⎤⎣⎦∠=∠'∴'''∴===''''''∽，，∽两边成比例且夹角相等的两个三角形小组2解△△相似：△△典例精析：如图，AD 是△ABC 的高，AD =h ，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD ，垂足为E . 当SR =12BC 时，求DE 的长. 如果SR =13BC 呢？解：∵SR ⊥AD ，BC ⊥AD ∴SR//BC∴∠ASR=∠B ，∠ARS=∠C∴ΔASR ∽ΔABC ∴AE AD =SR BC 即AD −DE AD =SRBC. 当SR =12BC 时，得h −DE h =12.解得DE =12h.当SR =13BC 时，得h −DE h =13.解得DE =23h.归纳总结：通过类比的数学方法得到：1.两个相似三角形对应高之比为1：2，那么它们对应中线之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8 2.在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12．在AB上取一点E．使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长为（）A．16 B．14 C．16或14 D．16或9 3.若两个相似三角形的相似比是2：3，则这两个三角形对应中线的比是．4.已知两个相似三角形的相似比为2：3，其中一个小三角形的最大边长为6，那么另一个三角形的最大边长为．5.如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40 mm，焦距是60 mm，求所拍摄的2m外景物的宽CD.。

27.2.2 相似三角形的性质1．理解相似三角形的性质；(重点)2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．(难点)一、情境导入两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC 和△A ′B ′C ′是两个相似三角形，相似比为k ，其中AD 、A ′D ′分别为BC 、B ′C ′边上的高，那么AD 、A ′D ′之间有什么关系？二、合作探究探究点一： 相似三角形的性质【类型一】 利用相似比求三角形的周长和面积如以下列图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 边上一点，且BE ＝EC ，BD 、AE 相交于F 点．(1)求△BEF 与△AFD 的周长之比；(2)假设S △BEF ＝6cm 2，求S △AFD .解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解． 解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∴△BEF ∽△AFD .又∵BE ＝12BC ，∴BE AD ＝BF DF ＝EF AF ＝12，∴△BEF 与△AFD 的周长之比为BE ＋BF ＋EF AD ＋DF ＋AF ＝12； (2)由(1)可知△BEF ∽△DAF ，且相似比为12，∴S △BEF S △AFD ＝(12)2，∴S △AFD ＝4S △BEF ＝4×6＝24cm 2.方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞 第4、6题【类型二】 利用相似三角形的周长或面积比求相似比假设△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1∶2，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为( )A ．1∶2 B.2∶2C ．1∶4 D.2∶1解析：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1∶2，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为1∶2＝2∶2.应选B.方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．【类型三】 利用相似三角形的性质和判定进行计算如以下列图，在锐角三角形ABC 中，AD ，CE 分别为BC ，AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别为18和8，DE ＝3，求AC 边上的高．解析：求AC 边上的高，先将高线作出，由△ABC 的面积为18，求出AC 的长，即可求出AC 边上的高． 解：过点B 作BF ⊥AC ，垂足为点F .∵AD ⊥BC, CE ⊥AB ，∴Rt △ADB∽Rt △CEB ，∴BD BE ＝AB CB ，即BD AB ＝BE CB ，且∠ABC ＝∠DBE ，∴△EBD ∽△CBA, ∴S △BED S △BCA ＝(DE AC)2＝818.又∵DE ＝3，∴AC ＝4.5.∵S △ABC ＝12AC ·BF ＝18, ∴BF ＝8. 方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答．变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第6题【类型四】 利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题如以下列图，PN ∥BC ，AD ⊥BC 交PN 于E ，交BC 于D .(1)假设AP ∶PB ＝1∶2，S △ABC ＝18，求S △APN ；(2)假设S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，求AE AD的值．解析：(1)由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；(2)由△APN 与四边形PBCN 的面积比可得△APN 与△ABC 的面积比，进而可得其对应边的比．解：(1)因为PN ∥BC ，所以∠APN ＝∠B ，∠ANP ＝∠C ，△APN ∽△ABC ，所以S △APN S △ABC＝(AP AB )2.因为AP ∶PB ＝1∶2，所以AP ∶AB ＝1∶S △ABC ＝18，所以S △APN S △ABC ＝(13)2＝19，所以S △APN ＝2；(2)因为PN ∥BC ，所以∠APE ＝∠B ，∠AEP ＝∠ADB ，所以△APE ∽△ABD ，所以AP AB ＝AE AD ，S △APN S △ABC ＝(AP AB )2＝(AE AD )2.因为S △APN ∶S 四边形PBCN ＝1∶2，所以S △APN S △ABC ＝13＝(AE AD )2，所以AE AD ＝13＝33. 方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第7题 【类型五】 利用相似三角形的性质解决动点问题如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积是四边形P ABQ 面积的13时，求CP 的长； (2)当△PQC 的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长．解析：(1)由于PQ ∥AB ，故△PQC ∽△ABC ，当△PQC 的面积是四边形P ABQ 面积的13时，△CPQ 与△CAB 的面积比为1∶4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP 的长；(2)由于△PQC ∽△ABC ，根据相似三角形的性质，可用CP 表示出PQ 和CQ 的长，进而可表示出AP 、BQ 的长．根据△CPQ 和四边形P ABQ 的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP 的长．解：(1)∵PQ ∥AB ，∴△PQC ∽△ABC ，∵S △PQC ＝13S 四边形P ABQ ，∴S △PQC ∶S △ABC ＝1∶4，∵14＝12，∴CP ＝12CA ＝2； (2)∵△PQC ∽△ABC ，∴CP CA ＝CQ CB ＝PQ AB ，∴CP 4＝CQ 3，∴CQ ＝34CP .同理可知PQ ＝54CP ，∴C △PCQ ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝CP ＋54CP ＋34CP ＝3CP ，C 四边形P ABQ ＝P A ＋AB ＋BQ ＋PQ ＝(4－CP )＋AB ＋(3－CQ )＋PQ ＝4－CP ＋5＋3－34CP ＋54CP ＝12－12CP ，∴12－12CP ＝3CP ，∴72CP ＝12，∴CP ＝247. 方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键．变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第8题三、板书设计1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．本节教学过程中，学生们都主动地参与了课堂活动，积极地交流探讨，发现的问题较多：相似三角形的周长比，面积比，相似比在书写时要注意对应关系，不对应时，计算结果正好相反；这两个性质使用的前提条件是相似三角形等等．同学们讨论非常剧烈，本节课堂教学取得了明显的效果.4．5 一次函数的应用第1课时 利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点)3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司 话费收费有A 套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B 套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y 1(元)，B 套餐每月话费为y 2(元)，月通话时间为x 分钟．(1)分别表示出y 1与x ，y 2与x 的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A 、B 两种套餐收费一样？(3)什么情况下A 套餐更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题【类型一】 利用图象(表)解决实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t 以内(包括10t)的用户，每吨收水费a 元；月用水超过10t 的用户，10t 水仍按每吨a 元收费，超过10t 的局部，按每吨b 元(b >a )收费．设某户居民月用水x t ，应收水费y 元，y 与x 之间的函数关系如以下列图．(1)求a 的值，并求出该户居民上月用水8t 应收的水费；(2)求b 的值，并写出当x >10时，y 与x 之间的函数表达式；(3)上月居民甲比居民乙多用4t 水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？解析：(1)用水量不超过10t 时，设其函数表达式为y ＝ax ，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a 的值；再将x ＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b 的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t 多还是比10t 少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤x ≤10时，图象过原点，所以设y ＝ax .把(10，15)代入，解得ayx (0≤x ≤10)．当x ＝8时，y ×8＝12，即该户居民的水费为12元；(2)当x >10时，设y ＝bx ＋m (b ≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b ＋m ＝15，20b ＋m ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝－5，即超过10t 的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y ＝2x －5(x >10)； (3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t 多．设居民乙上月用水x t ，那么居民甲上月用水(x ＋4)t.y 甲＝2(x ＋4)－5，y 乙＝2x ，得[2(x ＋4)－5]＋(2x －5)＝46，解得x t ，居民乙用水12t.方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：(1)假设该水果店预计进货款为1000元，那么这两种水果各购进多少千克？(2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x千克，那么购进乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－x＋560，故W随x的增大而减小，那么x越小，W 越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x≤3x，解得x≥35，∴当x＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】 建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A 种饮料x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 元．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)解析：再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B 种饮料有(500－x )箱，那么y ＝(63－55)x ＋(40－35)(500－x )＝3xy ＝3x ＋2500(0≤x ≤500)；(2)由题意，得55x ＋35(500－x )≤x ≤125.∴当x ＝125时，y 最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A 、B 两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】 两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地时间x (h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h ；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a 小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标，由自行车的速度就可以D 的坐标，由待定系数法就可以求出BC ，ED 的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a 小时两车相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23. 答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C ，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设BC 的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0k 1＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。