一元微分中值定理练习题

第四章 微分中值定理与导数的应用习题§4.1 微分中值定理1． 填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2． 选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A . x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2f π=， 故 )(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5． 证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明： 由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ． 同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-证明： 只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式 （１）当π<<x 0时，x xx cos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此， 当π<<x 0时，x xx cos sin >． （２）当 0>>b a 时，bb a b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<< 因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而 b b a b a a b a -<<-ln ．。

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理()()1.()0,(0)0,f x f f f ϕξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζϕ''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。

12n 12n 12n 11221122n 0011000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n nni i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >∀⋯⋯∈<<1++⋯+=++⋯+≤⋯=<=>α.'''=+-+∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 0011110000111()()()()().x 2!()()()()()(()()().)nn ni i i i i i i nni nniiiiiii i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======⎛⎫''-'-≥+-<<'≥+-===- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑注：x()3.)tan.2F ,F 2(0)0,(0)0,((cos02F f xf F F f ππξξπξξππππππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cossin F cos sin 0222222cos0)tan22x x x f f f πξξξξξξξξξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

第二章一元函数微分学一、选择题1．设)(x f y =可导，则)()2(x f h x f -+等于（）.A．)()(h o h x f +'B．)()(h o h x f +'C．)()(h o h x f +'-D．)()(2h o h x f +'2．设)(x f 在0x 处可导，且4)()2(lim000=--→xx f x x f x ，则)(0x f '等于（）.A．0B．1-C．1D．2-3．设)(x f 在0x 处可导，则下列命题中不正确的是（）.A．00)()(limx x x f x f x x --→存在B．00)()(limx x x f x f x x --→不存在C．00)()(lim 0x x x f x f x x --+→存在D．00)()(lim 0x x x f x f x x ---→存在4．已知)(x f y =在0=x 处可导且0)0(=f ，则当0≠t 时，有=→xtx f x )(lim 0（）.A.)(t f B.)0(f 'C．)0(f t 'D．不存在5．函数)(x f 在0x x =处连续，是)(x f 在0x 处可导的（）.A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件6．函数x x f =)(在0=x 处（）.A．连续但不可导B．连续且可导C．极限存在但不连续D．不连续也不可导7．设0)0(=f ，且x x f x )(lim→存在，则xx f x )(lim 0→等于（）.A．)(x f 'B．)0(f 'C．)0(f D．)0(21f '8．设21)1(+=+x x f ，则)(x f '等于（）.A．2)1(1--x B．2)1(1+-x C．11+x D．11--x9．设x x f sin )(=，则0=x 处（）.A．1)0(,1)0(='='-+f f B．1)0(,1)0(-='='-+f f C．1)0(,1)0(-='-='-+f f D．1)0(,1)0(='-='-+f f 10．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1132)(23x xx xx f 在1=x 处（）.A．左右导数均存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左右导数均不存在11．设周期函数)(x f 在()+∞∞-,内可导，周期为2，又12)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线斜率为（）.A．21B．1C．2-D．212．设函数⎩⎨⎧≤<--+≤=10,110,sin )(x x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处满足（）.A．0)0(='f B．1)0(='f C．3)0(='f D．)0(f '不存在13．已知⎩⎨⎧≤+>-=221)(2x b ax x x x ϕ，且)2(ϕ'存在，则常数b a ,的值为（）.A．1,2==b a B．5,1=-=b a C．5,4-==b a D．3,3-==b a 14．函数)(x f 在),(+∞-∞上处处可导，且有1)0(='f ，此外，对任何的实数x ，y 恒有xy y f x f y x f 2)()()(++=+，那么=')(x f （）.A．xe B．xC．12+x D．1+x 15．设xe x g x xf =+=)(),1ln()(2，则[]='))((x g f （）.A．x xe e 2212+B．x xe e 221+C．xxe e 2212-D．xxe e 221-16．设2)(-=x xf ，则)2(f '满足（）.A．值为2-B．值为2C．值为1D．不存在17．设)(x f y =的导数2)0(='f ，则=-→xx f f x 2)()0(lim 0（）.A．1B．2-C．1-D．218．设⎩⎨⎧<+≥+=0,,1sin )(x b x x x a x f ，要使)0(f '存在，则b a ,的值分别是（）.A．1,1==b a B．0,1==b a C．0,0==b a D．1,1-=-=b a 19．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处的性质是（）.A．连续且可导B．连续但不可导C．既不连续也不可导D．可导但不连续20．设2arcsin cosxy =，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'23y （）.A．21-B．21C．23-D．2321．函数xe y sin =，则y ''等于（）.A．xesin B．)sin (sin x ex-C．[]2sin cos x e xD．]sin )[(cos 2sin x x ex-22．函数x x x f )2()(+=的导数为（）.A．1)2(-+x x x B．1)2(-+x x C．)2ln()2(++x x x D．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++)2ln(2)2(x x xx x23．已知x x y ln =，则)12(y 等于（）.A．111x -B．111x C．11!10x D．11!10x -24．设xxe e y --=，则)2016(y等于（）.A．xxee -+B．xxee --C．xxee ---D．xx ee -+-25．已知函数)(x f 具有任何阶导数，且[]2)()(x f x f ='，则当n 为大于2的正整数时，)(x f 的n 阶导数)()(x f n 是（）.A．[]1)(!+n x f n B．[]1)(+n x f n C．[]nx f 2)(D．[]nx f n 2)(!26．由方程1sin =-y xy 所确定的隐函数()x f y =的导数=xyd d （）.A．yy x -cos B．xy y -cos C．yx y cos -D．yx x -cos 27．由方程x y x e y=++)ln(所确定的隐函数)(x f y =的导数=xy d d （）.A．()11++--y x e y x y B．()11-++-y x e y x y C．()11++-+y x e y x y D．()11-+-+y x e y x y 28．设)(x y y =由方程)cos(sin y x x y -=所确定，则=')0(y （）.A．12+πB．12+-πC．12-πD．12--π29．设由方程组⎩⎨⎧=++-=0112y te t x y 确定了y 是x 的函数，则==0d d t x y（）.A．21e B．e21-C．e1-D．e2-30．曲线22x e y x+=上横坐标0=x 处的切线方程是（）.A．012=-+-y x B．012=-+y x C．012=+-y x D．012=-+y x 31．曲线222)2ln(x x y +-=上对应于1=x 处的法线方程是（）.A．)1(22-=-x y B．)1(212--=-x y C．)1(22-=+x y D．)1(212--=+x y 32．曲线01cos 22=--y e x上点)3,0(π处的切线方程是（）.A．332π+=x y B．332π+-=x y C．332π--=x y D．xy 32-=33．曲线⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 在4π=t 处的切线方程是（）.A．)222222-=-x y B．)2222-=x y C．)22(22--=x y D．y 22=34．设1212+=x y ，则当01.0,1=∆=x x 时，y d 与y ∆分别为（）.A．2,01.0d =∆=y y B．01.0,201.12d =∆-=y y C．21)01.1(21,01.0d 2-=∆=y y D．1,01.0d =∆=y y 35．若函数)(x f y =有21)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函数在0x x =处的微分y d 是x∆的（）.A．等价无穷小B．同阶但不等价的无穷小C．低阶无穷小D．高阶无穷大36．xx y 1=在e x =处取得（）.A．极大值B．最大值C．极小值D．最小值37．下列函数在[]e ,1满足拉格朗日中值定理的是（）.A．xx sin ln ln +B．xln 1C．)2ln(+x D．)2ln(2x -38．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，则下列命题正确的是（）.A．)(x f 在[]b a ,上一定有最大值和最小值B．)(x f 必在区间内部取得最小值C．)(x f 必在区间端点处取得最大值D．若)(x f 在[]b a ,内有极值，则此值必为最值39．设1)()()(lim2-=--→a x a f x f ax ，则在a x =处)(x f （）.A．可导且1)(-='a f B．)(a f 是)(x f 的极小值C．不可导D．)(a f 是)(x f 的极大值40．设函数c bx ax x x f +++=23)(，且0)0()0(='=f f ，则下列结论不正确的是（）.A．0==c b B．当0>a 时，)0(f 为极小值C．当0<a 时，)0(f 为极大值D．当0≠a 时，())0(,0f 为拐点41．函数2332)(x x x f -=在区间[]4,1-上的最小值是（）.A．0B．1-C．80D．5-42．若当0→x 时，)1(2++-bx ax e x是比2x 高阶的无穷小，则（）.A．1,1==b a B．1,21==b a C．1,21=-=b a D．1,1-=-=b a 43．（数二）已知某产品的需求函数为510QP -=，则当30=Q 时的边际收益为（）.A．2-B．3-C．2D．344．（数二）若总成本函数是二次函数c bQ aQ Q C C ++==2)(，其中0,0,0≥≥>c b a ，当产量=Q （）时，平均成本最低？A．a cB．ca C．ac D．ca 二、填空题45．设)(x f 在0x 处可导，且A x f =')(0，则hx f h x f h )()2(lim000-+→用A 的代数式表示为_______．46．设2)3(='f ，则=-+→h f h f h 2)3()3(lim_______．47．设xe xf 1)(=，则=--→h f h f h )2()2(lim_______．48．设2)(x x f =，则=--→2)2()(lim2x f x f x _______．49．))...(2)(1()(n x x x x x f +++=，则=')0(f _______．50．设432)4()3()2)(1()(----=x x x x x f ，则=')1(f _______．51．设1)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f h x f hh _______．52．设215)()5(lim5-=--→x x f f x ，则=')5(f _______．53．设)(x f 在点0x 处可导，且41)()2(lim000=--→x f h x f h h ，则=')(0x f _______．54．已知)(x f 在0=x 处可导，且0,6)0(≠='h f ，则=--→xhx f hx f x 3)()(lim_______．55．若1)1(2-=-x x f ，则=')(x f _______．56．曲线xe x y +=在点()1,0处的切线方程是_______．57．已知x x y arctan )1(2+=，则=''y _______．58．已知)1ln(2x x y ++=，则=''y _______．59．设曲线方程为⎩⎨⎧+=++=tt y tt x cos sin 2，则='y _______．60．设)1sin(2+=x e y x，则=y d _______．61．求=--→xx e x x 630sin 1lim 3_______．62．设)7)(5)(1)(13()(----=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有_______个实根．63．函数x y sin =在区间[]π,0满足罗尔定理的=ξ_______．64．函数x x y -=22在[]2,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ_______．65．曲线x x x y 23123+-=的拐点为_______．66．曲线35)2(-=x y 的拐点为_______．67．（数一）曲线x x y -=12的垂直渐近线方程是．68．（数一）1)(22-=x x x f 有条渐近线．69．（数一）111)(-+=x e x f 有条渐近线．70．已知)4,2(是曲线c bx ax x y +++=23的拐点，且曲线在3=x 处有极值，=a ，=b ，=c .71．（数二）已知某产品的总成本函数C 与产量x 的函数关系为2000102.0)(2++=x x x C ，则当产量10=x 时，其边际成本是．72．（数二）已知某商品的收入函数为2312Q Q R -=，则当=Q 时边际收入为0．73．（数二）设某种产品的单位成本y 是产量x 的函数，xx y 164++=（元），若产品以每件1000元的价格销量，当产量=x 时总利润最大．74．（数二）生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x C ，固定成本1000)0(=C ，求生产x 个产品的总成本函数.75．（数二）设边际收入函数为q q R 32)(+='，且0)0(=R ，则平均收入函数为__________.76．（数二）某公司在一个生产周期内制造x 台电冰箱的成本22.02008000)(xx x C -+=)4000(≤≤x 第251台电冰箱的实际制造成本为.三、计算题77．设)1ln(cos )(2x x f -=，求)(x f '．78．4312)(+-=xx x f ，求)(x f '．79．221cos 5ln x x y -+=，求y '及y d ．80．设x ey x3cos -=，求y '．81．设xy 1cosln =，求y '．82．设1133+-=x x y ，求y '．83．设2x xee y +=，求1.00 d =∆=x x y．84．设x x y +=，求y '．85．设)32(2+-=-x x ey x，求y '．86．设212arcsintty +=，求y '．87．设⎪⎭⎫⎝⎛+-=2323x x f y ，且2arcsin )(x x f ='，求d d =x x y ．88．设134)1(2++=+x x x f ，)()(xe f x g -=，求)(x g '．89．求b a ,的值，使⎩⎨⎧>+≤-=1,ln 1),1(sin )(x b x x x a x f ，在1=x 处可导．90．设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=0,0,11)(x bx a x x xx f 处处可导，求a 和b 的值．91．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,1)(1x x e xx f x ，求)0(-'f ，)0(+'f ，同时讨论)0(f '是否存在．92．已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ，求)(x f '．93．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==0,00,1sin )(2x x xx x f y 的导数．94．设)(x ϕ在a 点的某领域内连续，)()()(x a x x f ϕ-=，求)(a f '．95．设)(x f ''连续，0)0(=f ，记⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0),0(0,)()(x f x x x f x F ，证明)(x F '连续．96．设函数)(x f 处处可导，[]{})(x f f f y =，求x yd d ．97．设x x y ln 22+=，求y ''．98．设xx y +-=11，求)(n y ．99．设x x y ln =，求)(n y ．100．设)1ln(2x x y ++=，求y ''．101．[])(ln x f y =，求y ''102．)2(2x x f y +=，其中f 二阶可导，求y ''．103．设)(x f ''存在，)(x xe f y -=，求y ''．104．求由方程32y x e xy +=所确定的隐函数)(x f y =的微分y d ．105．求方程)sin(y x y +=确定的隐函数的二阶导数．106．已知222222b a y a x b =+，求y ''107．求由方程232-+=y x e xy 确定的隐函数)(x f y =在点)1,0(处的切线方程．108．设)(x y y =由方程e xy e y =+确定，求)0(y '．109．用对数求导法求函数xx x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1的导数．110．用对数求导法求函数54)1()3(2+-+=x x x y 的导数．111．设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧==t e y t e x t t cos sin 所确定，求3d d π=t x y ．112．设曲线)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 所确定，求曲线在4π=t 处的切线方程．113．设函数)(x f y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 1 22，求22d d x y ．114．设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos 确定，22d d ,d d x yx y ．115．求方程⎩⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 表示的函数的二阶导数．116．x xx x 20tan )1ln(lim -+→．117．x x x 2cot 2lim 2⎪⎭⎫⎛-→ππ．118.xx x cos 1120)1(lim -→-．119．求⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x ．120．求()x x x ln 31102sin lim +→+．121．求x x x 2sin 231lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→．122.ax a x a x --→sin sin lim .123．xx x 5tan 3sin lim π→.124．22)2(sin ln lim x x x -→ππ.125．)0(lim ≠--→a a x a x nn mm a x .126．xx x 2tan ln 7tan ln lim 0+→.127．x xx 3tan tan lim 2π→.128．xarc x x cot 11ln lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→.129．x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→.130．x x x 2cot lim 0→.131．2120lim x xe x →.132．⎪⎭⎫⎝⎛---→1112lim 21x x x .133．122231lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+++x x x x a .134．x x x sin 0lim +→.135．x x x tan 01lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→.136．求7186223---=x x x y 的单调区间．137．求3)3)(1(+-=x x y 的单调区间．138．求函数x x y -=在区间[]1,0上的最小值．139．求函数)1ln(21arctan 2x x y +-=的极值点和极值．140．求函数32)1(2--=x y 的极值点和极值．141．设x x a y 3sin 31sin +=在点3π=x 处取得极小值，求a 的值．142．求曲线)1ln(2+=x y 的拐点．143．设函数)(x f y =由方程1222223=-+-x xy y y 所确定，求)(x f y =的极值．144．求曲线21x xy +=的凹凸区间及拐点．145．设函数x bx x a x f 3ln )(2-+=在1=x 和2=x 处取得极值，求b a ,的值．146．已知点)4,2(是曲线c bx ax x y +++=23的拐点，且曲线在3=x 处取得极值，求b a ,c 的值．147．求函数12+=x x y 的极值．148．求函数x e x x f -=2)(在]3,1[-上的最大值与最小值．149．设曲线方程为462++=x x y ，求曲线在)4,2(--处的切线方程．150．求等边双曲线x y 1=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程．151．求曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 22在0=t 处的切线方程和法线方程．152．求曲线0)ln(22=++yxe y x 在0=x 处的切线方程．153．确定c b a ,,的值，使c bx ax x y +++=23在点)1,1(-处为拐点，且在0=x 处有极大值为1，并求此函数的极小值．154.设函数)(x f 在[]a ,0上二阶可导，0>a 且0)(>''x f ，0)0(=f ，证明xx f x g )()(=在[]a ,0上单调增加．155．求函数26323-+-=x x x y 在区间[]1,1-上的最值．156．求函数322)1()2(+-=x x y 在区间[]2,2-上最大值和最小值．157．求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23与曲线21x y =相切的直线方程．158．求曲线01322=+++y xy x 在点)1,2(-处的切线和法线方程．159．设甲船以km/h 6的速率向东行驶，乙船以8km/h 的速度向南行驶，在中午十二点整时，乙船位于甲船之北16km 处，问下午一点整时两船相离的速率为多少？160．已知曲线2x y =与3x y =的切线平行，求x 的取值．161．求椭圆12222=+by a x 在点),(11y x M 处的切线方程．162．设甲、乙两船同时从一码头出发，甲船以km/h 30的速度向北行驶，乙船以km/h 40的速度向东行驶，求两船间的距离增加的速度．163．已知曲线的参数方程⎩⎨⎧==-232t t e y e x ，证明0d d d d 21222=+x y x y e t .164．（数一）求曲线2)1(42--=xx y 的水平和垂直渐近线．165．设曲线cx bx ax y ++=23上点)2,1(处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求该曲线方程．166．设点)2,1(-是曲线123-+=bx ax y 上的一个拐点，求a 和b 的值．167．设函数3)(4-+=bx ax x f 在1-=x 点处取得极小值0，求a 和b 的值．168．设函数)(x f 满足)()(x f x f ='，且1)0(=f ，求证:x e x f =)(．169．求函数xe y x+=1的单调区间和极值．170．设)1ln(21arctan )(arctan 21222x x x x x y ++-+=，求y d ．171．求函数3223x x y -=在区间[]1,1-上的最大值与最小值．172．已知曲线2x y =与直线cx y =)10(<<c 所围成图形的面积为1S ，曲线2x y =与直线cx y =)10(<<c 及直线1=x 所围城图形的面积为2S ，求21)(S S c S +=的最小值.173．求内接于半径a的球的长方体体积的最大值.174．用32cm长的一根铁丝围成一个矩形小框，试问：当矩形的长和宽各为多少时，围成的矩形面积最大？175．用薄铁板做一体积为V的有盖圆柱形桶，问桶底直径与桶高应有怎样的比例，才能使所用材料最省.176．已知某船的耗油费用与其速度的立方成正比，若每小时行驶10海里的耗油费为25元，其余费用每小时100元，求最经济的速度．177．欲做一个容积为3m V 的无盖圆柱形储粮桶，底用铝制，侧壁用木板制，已知每平方米铝价是木板价的5倍，问怎样做才能使费用最少．178．窗子的上半部为半圆，下半部为矩形，如果窗子的周长L 固定，试问当圆的半径r 取何值时，能使窗子的面积最大．179．欲围一个面积为2m 150的矩形场地，所用材料的造价是正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元，问场地的长，宽各为多少米时，才能使所用材料费最少．180．设甲船位于乙船东75海里，以12海里每小时的速度向西行驶，而乙船则以6海里每小时的速度向北行驶，问经过多长时间，两船相距最近？181．用a 万元购料，建造一个宽于深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面积材料费的5.1倍，求水池长与宽（深）各是多少，才能使容积最大.（地面单位面积材料费为1万元）.182．在曲线26x y -=)0(>x 上确定一点，使该点处的切线与两坐标轴围城的平面图形的面积最小，并求最小值.183．已知函数x x x f 2)(3+=在区间[]1,0上满足拉格朗日定理，求相关的ξ值．184．（数二）设某工厂生产某种商品的固定成本为200（百元），每生产一个单位商品成本增加5（百元），且已知需求函数P Q 2100-=（其中P 为价格，Q 为产量）.这种商品在市场上市场上畅销的．（1）试分别列出该商品的总成本函数)(P C 和总收益函数)(P R 的表达式．（2）求出使该商品的总利润最大时的产量．185．（数二）某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，每多生产一吨该产品，成本增加5万元，该产品的边际收益函数为Q Q R 02.010)(-='，其中Q (单位：吨)为产量.试求：（1）该产品的边际成本函数；（2）该产品的总收入函数；（3）Q 为多少时，该厂总利润L 最大？最大利润是多少？186．（数二）某工厂生产某产品时，每日总成本为C 元，其中固定成本为50元，每多生产一单位产品，成本增加2元，该产品的需求函数为505Q p =-，求Q 为多少时，工厂日总利润L 最大？最大利润是多少？187．（数二）某商品的需求函数为275)(p p f Q -==，（1）求5=p 时的边际需求；（2）当p 为何值时，总收益最大？最大的总收益为多少？31第二章一元函数微分学1.D 。

第一部分、一元函数微分学习题集1一、选择题1.下列命题正确的是（ ）0(A)()lim ().x x f x x f x →=∞若在的任意空心邻域内无界，则0(B)lim (),().x x f x f x x →=∞若则在的任意空心邻域内无界(C)lim (),lim ().x x x x f x f x →→=∞若不存在则1(D)lim (),lim.()x x x x f x f x →→=∞若=0则 2.{}n x 关于数列下列命题正确的个数是（ ）{}(1)lim .n n n x A x →∞⇒若=存在有界(2)lim lim .n n k n n x A k x A +→∞→∞=⇔=存在对任意确定正整数有221(3)lim lim lim .n n n n n n x A x x A -→∞→∞→∞=⇔==存在1(4)lim lim1.n n n n nx x A x +→∞→∞=⇒=存在(A)1 (B)2 (C)3 (D)43. 下列命题正确的是( )00,0()()lim (),lim ()x x x x x x f x g x f x A g x B A B δδ→→∃><-<>==>(A)若当时， 且均存在，则0lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<>(B)若，则，当时 00lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<≥(C)若，则，当时0lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→>∃><-<>(D)若，则，当时4 ()()()cos 1sin ,02x x x x x x πααα-=<→设,当时( )x (A)比高阶的无穷小 x (B)比低阶的无穷小 x (C)与同阶但不等价的无穷小 x (D)与是等价的无穷小5. 已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( )(A) 1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ）1,4k c == （D ）3,4k c ==- 6.20()sin ()ln(1)x f x x ax g x x bx →=-=-当时，与是等价无 a 穷小,则=( )b=( )1111(A)1,(B)1,(C)1,(D)1,6666a b a b a b a b ==-===-=-=-=-7.设()(1231,1,1a x a a =-=+=.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是 ( ) （A ）123,,a a a （B ）231,,a a a （C ）213,,a a a （D ）321,,a a a8.(](](),lim (),(),x f x b f x A f x b →-∞-∞=-∞设在上连续,则存在是在上有界的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 9.[]11()tan (),( ) ()xxe e xf x x x e e ππ+=-=-设在上的第一类间断点是0 1 22ππ(A) (B)(C)- (D)10. 1()( )(1)ln xx f x x x x-=+函数的可去间断点的个数为0 1 2(A) (B)(C) (D)311.()20sin ()lim 1,( ) x tt t f x x →⎛⎫+-∞+∞ ⎪⎝⎭函数=在内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点12.曲线y= 1ln(1)x e x++, 渐近线的条数为 ( )A.0B.1C.2D.313. 已知()f x 在0x =附近有定义，且()00f =，则f(x)在0x =处可导的充要条件为 ( )（A ）()22limx f x x →存在. （B ）()1lim xx f ex→-存在.(C) ()201cos limx f x x →-存在. (D)()02()lim x f x f x x→-存在.14. 已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导15. 已知函数()2321cos ,0()arcsin ,0x x f x xg x x x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩，其中g (x )是有界函数，则f (x )在x =0处（ ） （A ）极限不存在 （B ）极限存在但不连续 （C ）连续但不可导 （D ）可导16.[]0(),(0)1y f x f δδδ∃>=-=若使得在上有定义,且满足20ln(12)2()lim 0()x x xf x x →-+=，则 ''(A)()0 (B)()0(C)()0(0)0 (D)()0(0)1f x x f x x f x x f f x x f ======在处不连续在处连续但不可导在处可导，且在处可导，且17.'1cos ,0()()00, 0x x f x f x x x x αβαβ⎧>⎪==⎨⎪≤⎩设，(>0,>0),若在处连续，则( )(A) 1 (B)0 1 (C) 2 (D)0 2 αβαβαβαβ-><-≤-><-≤18.()2()cos ln 1lim 1?n y f x xy y x f n →∞⎡⎤⎛⎫=+-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦设是由所确定,则n （ ）(A) 2 (B) 1 (C) 1 (D) 2--19.()()''0,()0 , f x f x +∞>设函数在上具有二阶导数，且 令(),1,2,3,,n u f n n ==则下列结论正确的是( ).{}{}{}{}12121212(A), (B),(C), (D),n n n n u u u u u u u u u u u u >><<若则必收敛若则必发散若则必收敛若则必发散20.()()()2'2arctan limx f x x f x xfx ξξ→==设，若则=( )211(A)1 (B) (C) (D)32321.21,y ax b y x a b x=+=设直线同时与曲线及y=相切，则为( )(A)4, 4 (B)3, 4(C)4, 3 (D)3, 3a b a b a b a b =-=-=-=-=-=-=-=-22.()()()0,()0,()gf xg x g x g x a x ''<=设函数具有二阶导数，且若是()()0f g x x 的极值，则在取极大值的一个充分条件是( )(A) ()0f a '< (B)()0f a '> (C)()0f a ''< (D)0)(>''a f 23.设函数0()y f x x =在的某邻域内具有二阶导数，且0''0()lim 0x x f x A x x →=<-，则（ ） ()()0000(A)0,(),()x x x y f x x x x y f x δδδ∃>∈-=∈+=当时是凹的，当时是凸的()()0000(B)0,(),()x x x y f x x x x y f x δδδ∃>∈-=∈+=当时是凸的，当时是凹的()00(C)0,()x x x y f x δδδ∃>∈-+=当时是凹的()00(D)0,()x x x y f x δδδ∃>∈-+=当时是凸的 24. 设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则 ( ) （A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 （B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点 （C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点 （D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点25.''22()()(1,1)2()f x y f x x y f x =+=设 不变号，且曲线在点上的曲率圆为,则函数在区间(1,2)内( ).(A), (B),(C), (D),有极值点无零点无极值点有零点有极值点有零点无极值点无零点26.设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且''0()0(1,2)i f x i <=，若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲率2()y f x =的曲率，则在0x 的某个邻域内，有 （ ）（数一、二做）12(A)()()()f x f x g x ≤≤ 21(B)()()()f x f x g x ≤≤ 12(C)()()()f x g x f x ≤≤ 21(D)()()()f x g x f x ≤≤ 27.设商品的需求函数为()215()150082Q p p p p =--<<其中Q ， p 分别为需求量和价格，ε为商品需求弹性，若1ε<，则p 的取值范围 （ ）（数三做）(A)03p << (B)58p << (C)35p << (D)05p <<二、填空题 1. 212lim tan1x xx x →∞-=+ . 2. 0ln(1sin )lim cos 1x x x x →+-= .3.cos 0x x →= .4. tan sin 0limx xx e e →=- .5.limx →∞= .6.(lim sin x →∞-= .7.设0()ln 1lim 3x f x x x x→⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，则20()lim x f x x →= .8. []()21cos ()()lim 1(0) 1()xx xf x f x f ef x →-==-已知函数连续且，则 . 9. 已知函数()f x满足x →=02，则lim ()____x f x →=0.10.20()()x x kx x αβ→==当时，与 k 是等价无穷小则= .11.3231lim (sin cos )2x x x x x x x →∞+++=+求 .12.20ln cos lim _________.x xx →=13. 30arctan sin lim x x x x →-⎛⎫=⎪⎝⎭求 .14.()11lim _________nn n n -→∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭.15.101+2lim 2xxx →⎛⎫= ⎪⎝⎭求 . 16.10ln(1)lim 2xx x x →+⎛⎫-= ⎪⎝⎭.17.20lim x x →-= .18.21lim tan 4n n n π→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭.19.21000lim xx e x--→= .20.()2224cos limx x e x x xe ex-→-= .21.若2260sin 3()lim 0x x x f x x→+=，则403()lim →+=x f x x . 22.()21,()=, .2, x x cf x c x c x ⎧+≤⎪-∞+∞=⎨>⎪⎩设函数在内连续则23. x =0是1()1arctanf x x x=-的 间断点.24. x =1是221()lim 1n nn x f x x →∞-=+的 间断点. 25. 曲线()322arctan 11x y x x=+++的斜渐近线方程为 . 26. 曲线1y x =-+的水平渐近线方程为 ，垂直渐近线方程为 ，斜渐近线方程为 .27.1()(()) .21,1x edyx f x y f f x dx x x =⎧≥===⎨-<⎩设，,则28.'()y f x f =设是以3为周期的周期函数，且(7)=1,则(1)(13tanh)lim.h f h f h→+--=29.'f 设(1)=1,则0(1)(12sin )lim .2sin x f x f x x x→+--+=30. ()2()1,0lim . 2n n y f x y x x nf n →∞⎛⎫==-=⎪+⎝⎭曲线和在点处有切线,则31.111cos '1(0)1(0)3lim . nn n f f f n -→∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭设，,则32. 2cos cos .41sin x t t t y tπ⎧=+=⎨=+⎩曲线上对应于点的法线斜率为33.()21ln(1),()2arctan x t t y f x y t ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩设为参数则在任意点处的曲率22 ,() .()d yK dx==数一、二做数三做34.曲线arctan y x=在(1,0)点的切线方程为 .35. 曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为 .36.()12 ln 0(0)13n x y x n y x -===+函数在处的阶导数 . 37.()2()sin cos (0).n f x x x x f=设 ,则 =38.()23 ()3+ 0, f x x Ax x A A -=>设为正常书，则至少取时f(x)20.≥有39. 若曲线y x ax bx =+++3214有拐点(1,3),则b=_____________.40. 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的速率为_________. （数学一、二做） 41.已知动点P 在曲线3x y =上运动，记坐标原点与点P 间的距离为l 。

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理()()1.()0,(0)0,f x f f f ϕξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζϕ''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。

12n 12n 12n 11221122n 0011000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n nni i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >∀⋯⋯∈<<1++⋯+=++⋯+≤⋯=<=>α.'''=+-+∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 0011110000111()()()()().x 2!()()()()()(()()().)nn ni i i i i i i nni nniiiiiii i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======⎛⎫''-'-≥+-<<'≥+-===- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑注：x()3.)tan.2F ,F 2(0)0,(0)0,((cos02F f xf F F f ππξξπξξππππππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cossin F cos sin 0222222cos0)tan22x x x f f f πξξξξξξξξξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

微分中值定理习题五微分中值定理习题五1、ln(1),1,0() (1,),,0,x x x f x xA x +?>-≠?=-+∞??=? 当设在上连续当 ,()0.A f x x '=求值并判定在处的连续性2、[)).1(,,0)(1,10,0,1,0,1ln )(f x f x x x x xx x x f '+∞=-=≠>-=并求上连续在试证明，，设函数3、()()()().tan cos 1lim ,20,00,20xx f ff x f x -==→试求且具有⼀阶连续导数设函数 4、.)(lim ,2)0(,1)0(,0)0(,)(20xxx f f f f x f x -=''='=→试求且具有⼆阶导数设函数 5、240(sin )(),(0)(0),(0) 6 , lim .x f x f x f f f x →'''==设函数具有连续⼆阶导数且求 6、.tan )cos (sin lim ,2)1(,0)1(,)(20xx x x f f f x f x +='=→试求且具有连续⼀阶导数设 7、()cos 0,() (),(0)10.x xx f x x xa x φφφ-?≠?==??=?，设其中具有⼆阶导数且， (1),()0;(2)()0.a f x x f x x ='=确定值使在处连续讨论在处的连续性8、.0,0,,0,)1()(111处的连续性在点时当　时　当　讨论函数=≤>????+=-x x e x e x x f x x 9、(),0()0,(0)4,f x x f x f ''=≠=设具有⼆阶导数且在的去⼼邻域内已知.)(1lim ,0)(lim1x x x x f x x f ??+=→→求 10、00()[,],(,)(),f x a b x a b f x ''∈设在有连续的⼀阶导数且存在0002()()2()lim.t f x t f x t f x t →++--研究极限11、1()()n n f x R x +把阶可导函数展开为带拉格朗⽇型余项的泰勒展开式0100()()()()n n n f x a a x x a x x R x =+-++-+().n R x 试写出的表⽰式12、1()n f x +把阶可导函数展开为带拉格朗⽇型余项的麦克劳林展开式012()()n n n f x a a x a x a x R x =+++++().n R x 试写出的表⽰式13、00()(1),,f x x n x n -设在的某邻域内有阶导数在处有阶导数(1)000()()()0n f x f x f x -'''==== 且00()()lim.()nx x f x f x x x →--求 14、判定函数的单调性y x =+1212ln() 15、的单调性判定函数xx y 12-= 16、判定函数的单调性y x x =+cos 17、讨论函数的单调性y x x =-+3 31 18、判断函数　的单调性并证明y x a b a b a a b b=++++≤+++11111, 19、有⼏个实根试讨论⽅程设　ax x ea =≥ln 120、的根的情况程在实数范围内试讨论⽅)0(>=-a a xex21、⽅程是否有实根若有则指出所在范围e x x=+2?, 22、00(),()0,x x x φφ≠设函数在处连续且试研究40()()()f x x x x φ=-0x 在处的极值情况.23、研究函数在处是否取得极值f x x x e x x ()()=--03024、000,()()(),(),()0,n n f x x x x x x x φφφ=->设为正整数其中在处连续且0()f x x 研究在处是否取得极值25、[]2()()3()1 , xf x x xf x x f x e -'''+=-设对⼀切实数满⾜为如()(0)f x x c c =≠在处有,,()f c 极值时试判断是极⼤值还是极⼩值26、研究函数的极值为⾃然数y x x x x n e n n x=+++++-()()12323 27、⼤值或是极⼩值若有极值则应指明是极是否有极值讨论函数,sin x x y -= 28、最⼤值的最⼩值讨论函数,122--=x x y29、研究函数在，上的最⼤值和最⼩值y a x b xa b =+->>2210001(,)() 30、研究函数在时的最⼤值最⼩值y x x x =-<<2022tan tan ,π31、研究在时的最⼤值与最⼩值y x xx =-<2540, 32、研究函数在，内的最⼤值与最⼩值y x x=+∞(.)0133、?,,20,问其⾼应为多少要使其体积最⼤其母线长要做⼀个圆锥形漏⽃cm 34、体的⾼求体积最⼤的内接圆柱的球内在半径为,R 35,,a V 造⼀壁厚为容积为上端开⼝的圆柱形容器要使所⽤的材料最省问应如何选择尺⼨.36、才使盒⼦的容积最⼤问⼩⽅块的边长为多少⽅盒⼦作成⼀个⽆盖的⽅块从四个⾓截去同样的⼩的正⽅形铁⽪设有⼀块边长为,,,a37、问各边长为多少时关系：其底边成其体积为的带盖的箱⼦欲做⼀个底⾯为长⽅形,,2172,3cm38、应选在何处问省运货到⼯⼚所⽤运费最原料供应站使向⼯⼚修建⼀条公路之间选⼀点现准备在元的运费为⽕车元已知汽车运费为相距且如图垂直于且⼯⼚在铁道线外有⼀相距与原料供应站上有⼀点假设是直线在铁道线?,,,,)(,20,)(,,100)(D B D B A n m kmt n kmt m km A C AB CA C km B A >??39、⼀⽇只⼩船已知每次拖在两港之间来回运货船若⼲只⽤汽船拖载重相等的⼩,4,,?,,,10,7,16运货量达到最多每次拖多少只⼩船能使问每⽇来回多少次⽐回的次数成正若⼩船增多的只数与来次⼀⽇可来回只⼩船每次拖次能来回40、最⼤所围成的的三⾓形⾯积的切线与所作的使得过此点上求⼀点在曲边围成的曲线边三⾓形由AB OA x y OB OAB x y x y ,,,,8,022====41、,),)((⼤才使⽔槽的横断⾯积最为多⼤时问侧⾯与底的倾⾓如图⽆上盖成⼀个梯形的排⽔槽由三块同⼀宽度的板做α42、才最省材料问怎样选择尺⼨如图的⾓度柱底⾯半径成圆锥母线与圆⽽池底为圆锥形容积为澄清池要造⼀个⽆盖柱形快速,)(,4, 1000,3π=? m43、最⼤成的圆锥形容器的容积才能使余下部分围为多⼤时问其中⼼⾓剪去⼀个扇形的圆铁⽚将半径为,,,αr44、最节省纸张问以怎样地尺⼨排印才右要留左下边空⽩处要留上占在⼀页书纸上排印⽂字,,,),(2bcm acm cm S45、,),(,其最⼤长度是多少问能驶进运河的船如图⼆者成直⾓相交⽶的运河⽶的河修筑⼀宽为由宽为b a46、,),(3,7,最⼤才能使视⾓远处问此观众坐在距银幕多观众的视平线银幕底边⾼于某坐着的银幕⾼在平地露天放映电影θm m 47、设有半径为a 的圆桌，光源的照度与光线的倾解θ的正弦成正⽐，与光源到被照物的距离平⽅成反⽐。

1、设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且f(a) = 0，f(b) = 1，则根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a, b)，使得A. f'(ξ) = 0B. f'(ξ) = (b - a) / (f(b) - f(a))C. f'(ξ) = (f(b) - f(a)) / (b - a)D. f'(ξ) = f(b) - f(a)（答案）C2、函数f(x) = x3 - 3x2 + 2在区间[0, 3]上应用罗尔定理，则至少存在一个点c ∈(0, 3)，使得A. f(c) = 0B. f'(c) = 0C. f''(c) = 0D. f'''(c) = 0（答案）B3、设函数f(x)在[1, 3]上连续，在(1, 3)内可导，且f(3) = 2f(1)，则根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(1, 3)，使得A. f'(ξ) = f(3) - f(1)B. f'(ξ) = (f(3) - f(1)) / 2C. f'(ξ) = 2(f(3) - f(1)) / (3 - 1)D. f'(ξ) = (f(3) - 2f(1)) / (3 - 1)（答案）C4、若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且f(a) = f(b)，则根据罗尔定理，存在至少一个点c ∈(a, b)，使得A. f(c) = 0B. f'(c) = 0C. f(c) = f(a) = f(b)D. f''(c) = 0（答案）B5、设函数f(x) = x2 - 4x + 3在区间[1, 3]上，根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(1, 3)，使得A. f'(ξ) = 2ξ- 4 = (f(3) - f(1)) / (3 - 1)B. f'(ξ) = 2ξ= (f(3) - f(1))C. f'(ξ) = 2ξ+ 4 = (f(3) + f(1)) / 2D. f'(ξ) = 2 = (f(3) - f(1)) * ξ（答案）A6、函数f(x) = sin(x) - x在区间[0, π]上应用罗尔定理，则存在至少一个点c ∈(0, π)，使得A. sin(c) = cB. cos(c) = 1C. f'(c) = 0D. f''(c) = -sin(c)（答案）C7、设函数f(x) = ex - x - 1在区间[0, 1]上，根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0, 1)，使得A. f'(ξ) = eξ- 1 = (f(1) - f(0)) / (1 - 0)B. f'(ξ) = eξ= f(1) - f(0)C. f'(ξ) = eξ+ 1 = (f(1) + f(0)) / 2D. f'(ξ) = eξ- ξ= f(1) - 1（答案）A。

2
例2 设 f ( x)在U(a, )内具有二阶连续导数 ,
f (a) 0 , a h U (a, ),且
f (a h) f (a) hf (a h) (0 1),
证明：lim 1 / 2. h0
证明: f (a h) f (a) hf (a h)
f (a) h[ f (a) f (a 1 h) h] (0 1 1),
f
( x0 )
1 2
f
(1 ) x02
1 2
f
(2 )(1
x0 )2
f ( x) 1,
f
( x0 )
1 2
x02
1 (1 2
x0 )2
(
x0
1)2 2
1 4
又由 x0 [0,1] 知,
x0
1 2
1, 2
于是有
f
( x0 )
1 2
由 x0 的任意性,可知命题成立.
类似地， 若函数 f ( x) 在 [0,1] 上二阶可微,且 f ( x) a, f ( x) b,其中a, b是非负数. 证明 : x (0,1),有 f ( x) 2a b .
x
x
7 试证至少存在一点
使
证: 法2 用柯西中值定理 . 令
f ( x) sinln x , F ( x) ln x
则 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件,
因此
f (e) f (1) f ( ) , ( 1 , e ) F (e) F (1) F( )
故 方 程f ( x) 0,若 有 根必 有 唯 一 的 根,
以 下 只 须 证f (a f (a)) 0
方法1：
将f ( x)在[a,a

一元函数微分学练习试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1.jpg />
正确答案：涉及知识点：一元函数微分学
2．
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
3．
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
4．求函数极限：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
5．求函数极限：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
6．求函数极限：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
7．求函数单调区间和极值：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
8．求函数单调区间和极值：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
9．求函数单调区间和极值：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
10．求函数单调区间和极值：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
11．求函数单调区间和极值：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
12．求函数单调区间和极值：
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
13．
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
14．
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
15．
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
16．
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
17．
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学
18．
正确答案：
涉及知识点：一元函数微分学。

例1设()x f '在[]b a ,上存在,且()()b f a f '<',而r 为()a f '与()b f '之间的任一值,则在()b a ,内存在一点ξ,使得()r f ='ξ[7].例2设()x f 在()+∞,a 内可导,且()()A x f x f x a x ==+∞→→+lim lim ,试证:至少存在一点 ()+∞∈,a ξ,使得()0='ξf [7].例3设函数()x f 在[]b a ,上可导,且()()0_<'⋅'+b f a f ,则在()b a ,内至少存在一个ξ,使得()0='ξf [7].例4()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,且()()()b f c f a f ==,()b c a <<, 试证:至少存在一个()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf [2].例5设()x f 在[]1,0上有三阶导数,()()010==f f ,设()()x f x x F 3=,证明:存在 ()1,0∈ξ使得()0='''ξF .例6设()x f 在[]b a ,上可微，且()x f 在a 点的右导数()0<'+a f ，在b 点的左导数 ()0<'-b f ，()()c b f a f ==，证明：()x f '在()b a ,内至少有两个零点.例7设()x f 在R 上二次可导，()0>''x f ，又存在一点0x ，使()00<x f ，且 ()0lim <='-∞→a x f x ，()0lim >='+∞→b x f x ，证明：()x f 在R 上有且仅有两个零点. 例8()[]1,0在x f 上二次可导,()()010==f f ,试证明:存在()1,0∈ξ,使得()()()ξξξf f '-=''211[4].例9设()[]1,0在x f 上连续,在()1,0上可导, ()()010==f f ,121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .证明: 至少存在一点()1,0∈ξ使得()1='ξf .例10设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续,在开区间()b a ,上二次可微,连结()()a f a ,与()()b f b ,的直线段与曲线()x f y =相交于()()c f c ,,其中b c a <<.证明在()b a ,上至少存在一点ξ,使得()0=''ξf [1].例11设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,且()()1==b f a f 试证:存在ξ, ()b a ,∈η使得 ()()[]1='+-ηηξηf f e [1].例12 设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,上二阶可微,并且()()b f a f =,证明:若存在点()b a c ,∈,使得()()a f c f >,则必存在点()b a ,,,∈ζηξ,使得()0>'ξf ,()0<'ηf ,()0<''ζf [6].例13设()x f 定义在[]1,0上,()x f '存在且()x f '单调递减,()00=f ,证明: 对于 10≤+≤≤≤b a b a ,恒有()()()b f a f b a f +≤+.例14 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,b a <≤0,()()b f a f ≠.证明:存在η,()b a ,∈ξ,使得()()ηηξf b a f '+='2 [6]. 例15 设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,且()0≠'x f ,试证:存在η,()b a ,∈ξ,使得()()ηηξ---=''e ab e e f f ab [1]. 例16设函数()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,可导,证明:存在()b a ,∈ξ,使得()()()()ξξξf f ab a af b bf '+=--[1]. 例17设()[]b a x f ,在上连续()0>a ,在()b a ,可导,证明:在()b a ,内存在ξ,η,使()()ab f f ηηξ'='2[1].例18 设()[]b a x f ,在上连续,在()b a ,内可微,0>>a b ,证明:在()b a ,内存在321,,x x x ,使得()()()()33223222211ln42x f x a b a b x x f a b x x f '-='+='. (3) 例19设()x f 在()b a ,内二次可微,试用柯西中值定理证明:任意x ,()b a x ,0∈,存在ξ在x 与0x 之间,使()()()()()()2000021x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ成立[6]. (8)。

一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限：1．9325235lim 222-=-+=-+→x x x2．01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 211011111l i m-=+--=+--=→x x4．0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x 6．x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7．00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8．943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11．01sin lim 20=→xx x （无穷小的性质）12．0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x （无穷小的性质）13．51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14．xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15．2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16．mn x x x )(sin )sin(lim 0→（n 、m 为正整数） ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17．32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x （等价替换）18．31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19．413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20．2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21．1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x （等价替换）注：也可用洛必达法则22．535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23．)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24．nm n m a x nn m m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25．xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26．1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim22022022020==+=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 27．a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28．2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数： 1．531-=x y 2．x x e y x+=13．1004)13(-=x y 4．122-+-=x xe y5．bx e y ax sin =（b a ,为常数） 6．3cos 12e ey x x ++= 7．xxy --+=1111 8．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9．)1lg()1(22x e x y x -++=- 10．)1ln(2x x y ++= 11．xy 1tan 2= 12． 322)13(+=x y13．4)sin(=++xy e y x （求y '） 14．4)sin(=++xy e y x （求y '）答案：1．2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y2．x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3．99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4．1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5．)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6．x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7．xxx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x xxx y -+-=-'----='--='8．)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9．])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10．])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11．)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12．3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13．4)sin(=++xy e y x解：方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14．（与13同）三、确定下列函数的单调区间： 1．7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增，在]3,1[-内单调递减。

《高等数学》一元函数微分学测试卷班级 学号 姓名一、选择题（本大题共10 题，每小题2分，共 20分，请将正确答案 填入下面相应的方格中）1、已知(3)2f '=，0(3)(3)lim 2h f h f h→--=（ ）A.32 B. 32- C. 1- D. 1 2、下列等式成立的是( )A.)(1x d dx x= B.)1(12x d dx x -=C.)(cos sin x d xdx =D.)(ln 1x xa d adx a =3、若函数)(x f 在点0x 处可导，则( )是错误的．A. 函数)(x f 在点0x 处有定义B. A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C. 函数)(x f 在点0x 处连续D. 函数)(x f 在点0x 处可微 4、设)1ln(2++=x x y ，则'y = ( )A.211x+ B.211xx ++ C.212xx x ++ D.21xx +5、设函数10()102x x f x x ≠⎪=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处（ ）A. 不连续B. 连续但不可导C. 二阶可导D. 仅一阶可导6、下列函数在给定区间上不满足拉格朗日中值定理条件的是 ( )A. x y = []2,1-B. 15423-+-=x x x y []1,0C. )1ln(2x y += []3,0 D. 212x xy +=[]1,1-7、当0)(''0><x f x x 时，；当0)(''0<>x f x x 时，，则下列结论正确的是( ) A. 点0x 是函数)(x f 的极小值点 B. 点0x 是函数)(x f 的极大值点C. 点))((00x f x ，必是曲线)(x f y =的拐点 D. 点0x 不一定是曲线)(x f y =的拐点8、求极限100lim x x x e→+∞= ( )A. 1-B.21C. 2D. 0 9、设x x x x f cos sin )(+=，则下列说法正确的是 ( )A. )0(f 是极大值，)2(πf 是极小值B. )0(f 是极小值，)2(πf 是极大值C. )0(f 、)2(πf 都是是极大值D. )0(f 、)2(πf 都是是极小值10、曲线2211x x e y e--+=-（ ）A. 没有渐近线B. 仅有水平渐近线C. 仅有垂直渐近线D. 既有水平渐近线又有垂直渐近线二、填空题（本大题共4 题，每小题3分，共12分）1、若)3)(2)(1(---=x x x x y ，则'y (0) =2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=ttey et x 2ln 在0=t 处的切线方程为___________________.3、求极限011lim()1xx x e →-=- . 4、函数x x x f sin )(=的带皮亚诺型余项的麦克劳林公式为 .三、计算题（本大题共9题，15-21题每小题6 分，22-23题每 小题8 分，共58 分）15、设xx e y xsin )1ln(++=，求dy .16、求极限0lim.ln(1)x xx a b x →-+17、设0)3sin (lim 23=++--→b ax x xx ，试确定常数a ，b 的值.18、求由方程arctan yx=所确定的隐函数)(x y y =的导数.19、设2>x ，求函数32)3()2)(1(+--=x x x y 的导数'y20、已知参数方程arctan x y t⎧⎪=⎨=⎪⎩22dx y d .21、曲线22(3)y a x =-在y 轴右侧的的拐点M 处的法线通过原点，求a 的值.22、讨论函数x y sin = 在0=x 处的连续性与可导性四、证明题（本大题共1题，每小题10分，共10分）23、定义“二阶行列式”:.a b ad bc c d=-设()()f x g x ，都在[]a b ，上连续，()a b ，内可导，证明：存在()a b ξ∈，，使()()()'()().()()()'()f a f b f a f b ag a g b g a g ξξ=-。

经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值定理本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。

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1.不用求出函数的导数，分析方程有几个实根？()A．0B．1C．2D．3答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析：2.=？（）A．0B．1C．-1D．2答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：B问题解析：3.=？，（）A．0B．1C．-1D．2答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析：4.求不能使用洛必塔法则。

（）答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：元微积分·第四章导数的应用·第二节函数单调性、极值和渐近线本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。

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1.下面关于函数的描述，那两句话是正确的？（）上单调递减上单调递增上单调递减上单调递增A．函数在B．函数在C．函数在D．函数在答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：AC问题解析：2.在上是单调递增的。

（）答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：3.函数的极大值就是函数的最大值。

（）答题：对.错.（已提交）参考答案：某问题解析：4.如果函数在点。

（）处二阶可导，且=0，若，则在点处取得极小值答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第三节经济中的优化模型本次练习有2题，你已做2题，已提交2题，其中答对2题。

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1.某厂生产某产品，每批生产台得费用为，得到的收入为，则利润为？（）A．B．C．D．答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析：2.在上题中，请问生产多少台才能使得利润最大？（）A．220B．230C．240D．250答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第四节函数的作图本次练习有1题，你已做1题，已提交1题，其中答对1题。

微分中值定理的证明题1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ∀∈，(,)a b ξ∃∈使得：()()0f f ξλξ'+=。

证：构造函数()()x F x f x e λ=，则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， 且()()0F a F b ==，由罗尔中值定理知：,)a b ξ∃∈（，使()0F ξ'=即：[()()]0f f e λξξλξ'+=，而0e λξ≠，故()()0f f ξλξ'+=。

2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ∃∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。

证：将上等式变形得：1111111111(1)()b ae e e b a b aξξ-=--作辅助函数1()xf x xe =，则()f x 在11[,]b a上连续，在11(,)b a 内可导，由拉格朗日定理得：11()()1()11f f b a f b aξ-'=- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即 11111(1)11b ae eba eb a ξξ-=-- 1ξ11(,)b a ∈ ， 即：ae (1)(,)b e be e a b ξξ-=- (,)a b ξ∈。

3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。

证：显然()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，又(0)(1)0F F ==，故由罗尔定理知：0(0,1)x ∃∈，使得0()0F x '=又2()2()()F x xf x x f x ''=+，故(0)0F '=， 于是()F x '在0[0]x ，上满足罗尔定理条件，故存在0(0,)x ξ∈， 使得：()0F ξ''=，而0(0,)x ξ∈⊂(0,1)，即证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明：(1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ．(2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ） 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.【分析】)(x f 在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。

题型1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程内容一．中值定理 1.罗尔定理 2.拉格朗日中值定理 二．洛比达法则一些类型（00、∞∞、∞•0、∞-∞、0∞、00、∞1等） 三．函数的单调性及极值 1.单调性 2.极值四．函数的凹凸性及拐点 1.凹凸性 2.拐点五．函数的渐近线 水平渐近线、垂直渐近线典型例题题型I 方程根的证明题型II 不等式（或等式）的证明题型III 利用导数确定函数的单调区间及极值 题型IV 求函数的凹凸区间及拐点自测题三一．填空题 二．选择题 三．解答题4月13日微分中值定理及导数应用练习题基础题： 一．填空题1．函数12-=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。

3．1)(2-+=x x x f 在区间[]1,1-上满足拉格朗日中值定理的中值ξ= 。

4．函数()1ln +=x y 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ 。

5.函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 ．6.设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 个实根，分别位于区间 中．7. =→x x x 3cos 5cos lim 2π35-8.=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 9.)tan 11(lim 2x x xx -→=3110.0lim(sin )x x x +→=1二． 选择题1.罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分也非必要条件２．下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ ）．A. x e x f =)(B. ||)(x x f =C. 21)(x x f -=D.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x xx x f ３．若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ4．下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ）A ． ==∞→∞→n n n n n en ln limlim11lim=∞→n n eB ． =-+→x x x x x sin sin lim∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． x x x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sinlim020-=→→不存在D ． x x e x 0lim →=11lim 0=→xx e5． 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ．xx x sin lim20→ B ．x x xtan 0)1(lim +→ C ．x xx x sin lim+∞→ D ． xnx e x +∞→lim综合题： 三．证明题1．验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上的正确性。

x 1
x 4 3 ( A B( x 1)) C ，求常数 A, B, C 。 ( x 1) 2
6．利用 1 x 的 2 阶 Maclaurin 公式，计算 62 的近似值，并估计这一近似的误 差。 1 x2 x3 7．估计 e x 1 x ， | x | 的绝对误差。 4 2 6 8．利用 Taylor 公式计算极限：
一元函数微分学练习题
§1 微分与导数的概念
1．半径为 5cm 的圆面，如果半径增加 0.1cm，试用求微分的方法计算圆面积会 增加多少？如果半径再增加 0.1cm，圆面积会比原来增加多少？ 2．求微分 dy ： （1） y ln( x 1) ； （2） y sin x 。 3．设函数 f 在 x a 处可导，且 f (a) 0 ，计算下列极限
d2y ： dx 2 （2） y ln( x y) ； （4） x y e xy 0 。
x t 2 2t , 5．求曲线 在 (1, 2) 处的切线方程。 3 y t 3t dy x 2t t , 6．求由参数方程 所确定的函数 y f ( x) 在 t 0 时的导数 。 2 dx y 5t 4t t
（10） lim
（13） lim
x ln( x 2e x ) ln( x e x )
1 x
2
x
x （14） lim x arcsin x 2 1 x2
（16） lim
h0
；
(1 x) e ； x 1 （17） lim 2 cot 2 x ； x0 x
n n
5．设 f ( x) 2 ，试计算 f (1) ， f (1) ，由此说明 f 在点 x 1 处的可导性。 6．求曲线 y e x 上的点 1, e 处的切线方程和法线方程。

第二部分 一元函数微分学[选择题]容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。

1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=∆，则当0→h 时，必有( )(A) y d 是h 的同价无穷小量.(B) y y d -∆是h 的同阶无穷小量。

(C) y d 是比h 高阶的无穷小量.(D) y y d -∆是比h 高阶的无穷小量.答D2． 已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0<x 时，0)(,0)(<''>'x f x f ，则在),0(+∞内有（ ）（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。

（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。

（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。

答C3．已知)(x f 在],[b a 上可导，则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的（ ）（A ）必要条件。

(B) 充分条件。

（C ）充要条件。

（D ）既非必要，又非充分条件。

答B4．设n 是曲线x x x y arctan 222-=的渐近线的条数，则=n （ ） (A) 1． (B) 2 (C) 3 (D) 4答D5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈∀≤x x x f ，则0=x 必是 )(x f 的（ ）（A ）间断点。

（B ）连续而不可导的点。

（C ）可导的点，且0)0(='f 。

（D ）可导的点，但0)0(≠'f 。

答C6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ）（A ）f （x ）可导，则f （x ）连续（B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续（C ）f （x ）连续，则f （x ）可导（D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导答A7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ）（A ）0x 点的切向量（B ）0x 点的法向量（C ）0x 点的切线的斜率（D ）0x 点的法线的斜率答C8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ）（A ）0x 点的自向量的增量（B ）0x 点的函数值的增量（C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限（D）没意义答C9．x(，其定义域是0f=)xx，其导数的定义域是（）≥（A）0x≥（B）0≠x（C）0x>（D）0x≤答C10．设函数)f在点(xx不可导，则（）（A）)(xf在点x没有切线（B）)(xf在点x有铅直切线（C）)f在点(xx有水平切线（D）有无切线不一定答D11．设'=''='''>()(),()f x f x f x00, 则( )000(A) x是'f x()的极大值点是f x()的极大值点(B) x是f x()的极小值点(C) x(D) (,())是f x()的拐点x f x00[D]12．（命题I）: 函数f在[a,b]上连续. （命题II）: 函数f在[a,b]上可积. 则命题II是命题I 的（ ）（A ）充分但非必要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件（答 B ）13．初等函数在其定义域内（ ）（A ）可积但不一定可微 （B ）可微但导函数不一定连续（C ）任意阶可微 （D ）A, B, C 均不正确 （答 A ）14． 命题I ）: 函数f 在[a,b]上可积. （命题II ）: 函数 |f| 在[a,b]上可积. 则命题I 是命 题II 的 （ ）（A ）充分但非必要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件（答 A ）15．设 )(x u e y = 。