最新微分中值定理的证明题74625

定理及其证明费马定理：设)(f x 在c 的某邻域）（δδ+−c c ,内有定义，而且在这个领域上有)()(c f x f ≤（其中)c (f 为局部最大值）或者)()(c f x f ≥（其中)c (f 为局部最小值），当)(f x 在c 处可导时，则有0)c ('=f ．证明：因为假设)c ('f 存在，由定义可得左导数)('-x f 和右导数)(f 'c +均存在且满足：)(f )()('''-c c f c f ==+当c x <时，0)()(≥−−c x c f x f ，所以0)(f )(lim)(f '≥−−=−→c x c x f c c x 当c >x 时，0)()(≤−−c x c f x f ，所以0)(f )(lim)(f '≤−−=+→c x c x f c cx 所以0)c ('=f以上是对于)()(c f x f ≤这种情况进行的证明，同理也可证明)()(c f x f ≥这种情形 罗尔定理：设)(f x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，若)()a (b f f =，则必有一点()b a ,c ∈使得0)c ('=f ．证明：分两种情况，若)(f x 为常值，结论显然成立．若)(f x 不为常值，根据最大、最小值定理（有界闭区间[]b ,a 上的连续函数)(f x 具有最大值和最小值）可知，)(f x 必在()b ,a 内某一点c 处达到最大值或最小值，再有费马定理可得，0)c ('=f ．拉格朗日中值定理：设)(f x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，则一定有一点()b ,a ∈ξ使ab a f −−=)(f )b ()(f 'ξ．证明：分两种情况，若)(f x 恒为常数，则0)x ('=f 在()b ,a 上处处成立，则定理结论明显成立．若)(f x 在[]b ,a 不恒为常数时，由于)(f x 在[]b ,a 上连续，由闭区间连续函数的性质，)(f x 必在[]b ,a 上达到其最大值M 和最小值m ，有一种特殊情况)()a (b f f =时，定理成立，这就是上面所证明过的罗尔定理．考虑一般情形，)()a (b f f ≠．做辅助函数x )(f )b ()(f )x (ab a f x −−−=ϕ．由连续函数的性质及导数运算法则，可得)x (ϕ在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且()a ab b a bf ϕϕ=−−=)(f )a ()b (，这就是说)x (ϕ满足刚刚的特殊情况，因此在()b ,a 内至少有一点ξ，使得()0)(f )b (f )(''=−−−=ab a f ξξϕ．即()ab a f −−=)(f )b (f 'ξ．定理得证． 柯西中值定理：若)(f x 和)(g x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且0)x (g '≠，则一定存在()b ,a ∈ξ使()()()()ξξ''g )(f )b (g f a g b a f =−−． 证明：首先能肯定)()a (g b g ≠，因为如果)()a (g b g =，那么由拉格朗日中值定理，)x (g '在()b ,a 内存在零点，因此与假设矛盾． 还是做辅助函数()()()()()a g a g b a f x F −−−−=x g g )(f )b ()(f )x (．由()()b F F =a ，再由拉格朗日中值定理，可以证明定理成立．泰勒中值定理：若)(f x 在0x =点的某个邻域内有直到1n +阶连续导数，那么在此邻域内有()()()()()()()x R x n f x f f f x n nn +++++=!0...!20x 00f 2'''．其中()()()()11n x !1+++=n n n f x R ξ．ξ是介于0与x 之间的某个值．证明：做辅助函数()()()()()()()()()()n n t x n t f t x t f t x t f t f x f −−−−−−−+=!...!2t 2'''ϕ．由假设容易看出()t ϕ在[]x ,0或[]0,x 上连续，且()()x R n 0=ϕ，()0x =ϕ，()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()−−−−−−−−−−−−−−−−−=−+11n 2'''''2''''''''!1!...!2...f -!2-f n n n t x n t f t x n t f t x t f t x t f t x t t x t f t f t x t f t t ϕ化简后有()()()()n 1n '!-t x n t f t −=+ϕ．在引进一个辅助函数()()1t +−=n t x ψ．对函数()t ϕ和()t ψ利用柯西中值定理得到()()()()()()ξψξϕψψϕϕ''00x =−−x ，ξ是介于0与x 之间的某个值，此时有()()x R n 0=ϕ，()0x =ϕ，()()()()n x n f ξξξϕ−=+!-1n '，()1n x 0+=ψ，()0x =ψ，()()()nx ξξψ−+=1n -'，代入上式，即得()()()()11n x !1+++=n n n f x R ξ． 定理证明完毕．这是函数()x f 在0x =点的泰勒公式，同理推导可得()x f 在0x x =点附近的泰勒公式()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x n n o n +−++−+−+=0200''00'0!...!2f ．其中()()()()()101n !1++−+=n n x x n f x R ξ．ξ是介于0x 与x 之间的某个值．定理间关系：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。

微分中值定理练习题1．试证拉格朗日中值定理．2．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导， (0)(1)0f f ==，11,2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭试证： （1）存在1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()f ηη=． （2）对任意实数,(0,)λξη∃∈，使[]()()1f f ξλξξ'--=．3．模型Ⅰ：设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，则下列结论皆成立：（1）存在(,)a b ξ∈，使()()0f f ξξ'+=（为实常数）．（2）存在(,)a b ξ∈，使1()()0k f k f ξξξ-'+=（0,k k ≠为实常数）．（3）存在(,)a b ξ∈，使()()()0f g f ξξξ'+=（()g x 为连续函数）．4．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，1(0)(1)0,12f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，试证： （1）存在1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()f ηη=． （2）存在(0,)ξη∈，使[]2()3()1f f ξξξξ'+-=．5．模型Ⅱ：设(),()f x g x 在[],a b 上皆连续，在(,)a b 内皆可导，且()0,()0f a g b ==，则存在(,)a b ξ∈，使()()()()0f g f g ξξξξ''+=．6．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，(0)0f =，k 为正整数，求证：存在(0,1)ξ∈，使()()()f kf f ξξξξ''+=．7．设()f x 在[]0,1上连续，在(0,1)内可导，(0)0f =．当0x >时，()0,f x > 试证：对任意正整数k ，存在()0,1ξ∈使()(1)()(1)f kf f f ξξξξ''-=-． 8．设0x >，试证ln(1)1x x x x<+<+． 9．设不恒为常数的函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()f a f b =，证明：在(,)a b 内至少有一点ξ使得()0f ξ'>．10．设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()()()bf b af a f f b aξξξ-'=+-． 11．设0a b <<，函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明存在一点,(,)a b ξξ∈，使()()()ln b f b f a f aξξ'-=． 12．设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0a b <<，证明：存在(,),(,)a b a b ξη∈∈，使()()2a b f f ξηξ'+'=⋅． 13．设()f x 在(,)a b 内有123()0,,,f x x x x ''>是(,)a b 内相异的三个点， 求证：[]1231231()()()33x x x f f x f x f x ++⎛⎫<++ ⎪⎝⎭ 14．若()f x 在[]0,1上有三阶导数，且(0)(1)0f f ==，设3()()F x x f x =．试证：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0F ξ'''=．15．设()f x 在[]0,1上可导，在(0,1)内有二阶导数，且(0)(1)0f f ==．试证：方程2()()0f x xf x '''+=在(0,1)内有一实根．16．设()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，试证：存在(,)a b ξ∈使得()()()f f a f b ξξξ-'=-． 17．设0a b <<，函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且(),()f a b f b a ==，试证明：存在(,)a b ξ∈使得()()f f ξξξ'=-．18．设()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内可导， 证明：0,2πξ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()sin 22()cos 20f f ξξξξ'+=．19．设()f x 在[]0,1上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，证明：(0,1)ξ∃∈，使()tan ()0f f ξξξ'+=．20．设()f x 在[]1,1-上具有三阶连续导数，且(1)0,(1)1,(0)0,f f f '-===， 证明：(1,1)ξ∃∈-，使()3f ξ'''=．21．设()f x 在[],(0)a a a ->上具有二阶连续导数，且(0)0f =．（1）写出()f x 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（2）证明：[],a a η∃∈-，使3()3()aa a f f x dx η-''=⎰．22．设(0,1)x ∈，证明：22(1)ln (1)x x x ++<．23．设0()lim 1x f x x→=，且()0f x ''>，证明：()f x x ≥． 24．设函数()f x ，在闭区间[]0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且1(0)0,(1)3f f ==证明：存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．使得22()()f f ξηξη''+=+． 25．证明（1）对任意正整数n ，都有111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭ （2）设1111ln (1,2,)23n a n n n =++++-= 证明数列{}n a 收敛．微分中值定理练习题答案或提示（凡是证明题均为提示，为节约篇幅，在题号后不再写“提示”二字）1．作辅助函数()()()()f b f a F x f x x b a-=--，用罗尔定理． 2．（1）令()()x f x x ϕ=-，用零点定理．（2）令()()()x F x ef x x λ-=-，用罗尔定理． 3．（1）令()()x F x e f x =，用罗尔定理．（2）令()()kx F x e f x =，用罗尔定理． （3）令()()()G x F x e f x =，其中()()G x g x '=，用罗尔定理．4．（1）令()()x f x x ϕ=-，用零点定理． （2）令[]3()()x F x e f x x =-5．令()()()F x f x g x =，用罗尔定理．6．令()(1)k g x x =-，用模型Ⅱ（第5题）．7．令()()(1)kF x f x f x =-． 8．令()ln(1)f t t =+，在[]0,x 用拉格朗日定理． 9．(,)c a b ∃∈使()()()f c f a f b ≠=，若()()f c f a >，则在[],a c 上用拉格朗日定理； 若()()f c f a <，则在[],c b 上用拉格朗日定理．10．令()()F x xf x =．用拉格朗日定理．11．令()ln ,(),()g x x f x g x =在[],a b 上用柯西中值定理．12．令2(),(),()g x x f x g x =在[],a b 上先用柯西中值定理，然后用拉格朗日中值定理． 13．令12303x x x x ++，将123(),(),(),f x f x f x 在0x 处展开成一阶泰勒公式，将三式相加可证得结论． 14．将3()()F x x f x =在0x =处展开成二阶泰勒公式．15．()f x 在[]0,1上先用罗尔定理11()0,(0,1)f x x '=∈，令2()(),F x x f x '=在[]10,x 上用罗尔定理．16．令()()()()F x f x f a b x =--⎡⎤⎣⎦，在[],a b 上用罗尔定理．17．令()()F x xf x =，在[],a b 上用罗尔定理．18．令()()sin 2F x f x x =，用罗尔定理．19．令()()sin F x f x x =，用罗尔公式．20．写出()f x 的二阶麦克劳林公式（拉格朗日型余项）．21．（2）利用（1）的展开式，对展开式两边取从a -到a 的定积分．22．令22()(1)ln (1)F x x x x =++-，对()F x 用二阶麦克劳林公式．23．写出()f x 的一阶麦克劳林公式． 24．令31()()3F x f x x =-，对()F x 在110,,,122⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上分用拉格朗日中值定理． 25．（1）用拉格朗日中值定理 （2）证明{}n a 单调递减有下界．。

微分中值定理的证明题1.若在上连续，在上可导，，证明：，使得：。

证：构造函数，则在上连续，在内可导，且，由罗尔中值定理知：，使即：，而，故。

2.设，证明：，使得。

证：将上等式变形得：作辅助函数，则在上连续，在内可导，由拉格朗日定理得：，即，即：。

3.设在内有二阶导数，且，有证明：在内至少存在一点，使得：。

证：显然在上连续，在内可导，又，故由罗尔定理知：，使得又，故，于是在上满足罗尔定理条件，故存在，使得：，而，即证4.设函数在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，，.证明：(1)在(0,1)内存在，使得．(2)在(0,1)内存在两个不同的点，【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】（I）令，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在使得，即.（II）在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是5.设在[0，2a]上连续，，证明在[0,a]上存在使得.【分析】在[0,2a]上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。

辅助函数可如下得到【证明】令，．在[0,a]上连续，且当时，取，即有；当时，，由根的存在性定理知存在使得，，即．6.若在上可导，且当时有，且，证明：在内有且仅有一个点使得证明：存在性构造辅助函数则在上连续，且有，，由零点定理可知：在内至少存在一点，使得，即：唯一性：（反证法）假设有两个点，且，使得在上连续且可导，且在上满足Rolle定理条件必存在一点，使得：即：，这与已知中矛盾假设不成立，即：在内仅有一个根，综上所述：在内有且仅有一个点，使得7.设在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且==0，=1。

试证至少存在一个(0，1)，使=1。

分析：=1=1=x=0令()=证明：令F()=()在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，(1)=()=由介值定理可知，一个(，1)，使()=0又(0)=0=0对()在[0，1]上用Rolle定理，一个(0，)(0，1)使=0即=18.设在上连续，在内可导，且试证存在和.满足，使。

定理及其证明费马定理：设)(f x 在c 的某邻域）（δδ+-c c ,内有定义，而且在这个领域上有)()(c f x f ≤（其中)c (f 为局部最大值）或者)()(c f x f ≥（其中)c (f 为局部最小值），当)(f x 在c 处可导时，则有0)c ('=f ．证明：因为假设)c ('f 存在，由定义可得左导数)('-x f 和右导数)(f 'c +均存在且满足：)(f )()('''-c c f c f ==+当c x <时，0)()(≥--c x c f x f ，所以0)(f )(lim )(f '≥--=-→c x c x f c c x当c >x 时，0)()(≤--c x c f x f ，所以0)(f )(lim)(f '≤--=+→c x c x f c cx 所以0)c ('=f以上是对于)()(c f x f ≤这种情况进行的证明，同理也可证明)()(c f x f ≥这种情形 罗尔定理：设)(f x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，若)()a (b f f =，则必有一点()b a ,c ∈使得0)c ('=f ．证明：分两种情况，若)(f x 为常值，结论显然成立．若)(f x 不为常值，根据最大、最小值定理（有界闭区间[]b ,a 上的连续函数)(f x 具有最大值和最小值）可知，)(f x 必在()b ,a 内某一点c 处达到最大值或最小值，再有费马定理可得，0)c ('=f ．拉格朗日中值定理：设)(f x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，则一定有一点()b ,a ∈ξ使ab a f --=)(f )b ()(f 'ξ．证明：分两种情况，若)(f x 恒为常数，则0)x ('=f 在()b ,a 上处处成立，则定理结论明显成立．若)(f x 在[]b ,a 不恒为常数时，由于)(f x 在[]b ,a 上连续，由闭区间连续函数的性质，)(f x 必在[]b ,a 上达到其最大值M 和最小值m ，有一种特殊情况)()a (b f f =时，定理成立，这就是上面所证明过的罗尔定理．考虑一般情形，)()a (b f f ≠．做辅助函数x )(f )b ()(f )x (ab a f x ---=ϕ．由连续函数的性质及导数运算法则，可得)x (ϕ在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且()a ab b a bf ϕϕ=--=)(f )a ()b (，这就是说)x (ϕ满足刚刚的特殊情况，因此在()b ,a 内至少有一点ξ，使得()0)(f )b (f )(''=---=ab a f ξξϕ．即()ab a f --=)(f )b (f 'ξ．定理得证． 柯西中值定理：若)(f x 和)(g x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且0)x (g '≠，则一定存在()b ,a ∈ξ使()()()()ξξ''g )(f )b (g f a g b a f =--． 证明：首先能肯定)()a (g b g ≠，因为如果)()a (g b g =，那么由拉格朗日中值定理，)x (g '在()b ,a 内存在零点，因此与假设矛盾． 还是做辅助函数()()()()()a g a g b a f x F ----=x g g )(f )b ()(f )x (．由()()b F F =a ，再由拉格朗日中值定理，可以证明定理成立．泰勒中值定理：若)(f x 在0x =点的某个邻域内有直到1n +阶连续导数，那么在此邻域内有()()()()()()()x R x n f x f f f x n nn +++++=!0...!20x 00f 2'''．其中()()()()11n x !1+++=n n n f x R ξ．ξ是介于0与x 之间的某个值．证明：做辅助函数()()()()()()()()()()n n t x n t f t x t f t x t f t f x f -------+=!...!2t 2'''ϕ．由假设容易看出()t ϕ在[]x ,0或[]0,x 上连续，且()()x R n 0=ϕ，()0x =ϕ，()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----------⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=-+11n 2'''''2''''''''!1!...!2...f -!2-f n n n t x n t f t x n t f t x t f t x t f t x t t x t f t f t x t f t t ϕ化简后有()()()()n 1n '!-t x n t f t -=+ϕ．在引进一个辅助函数()()1t +-=n t x ψ．对函数()t ϕ和()t ψ利用柯西中值定理得到()()()()()()ξψξϕψψϕϕ''00x =--x ，ξ是介于0与x 之间的某个值，此时有()()x R n 0=ϕ，()0x =ϕ，()()()()n x n f ξξξϕ-=+!-1n '，()1n x 0+=ψ，()0x =ψ，()()()nx ξξψ-+=1n -'，代入上式，即得()()()()11n x !1+++=n n n f x R ξ．定理证明完毕．这是函数()x f 在0x =点的泰勒公式，同理推导可得()x f 在0x x =点附近的泰勒公式()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x n n o n +-++-+-+=0200''00'0!...!2f ．其中()()()()()101n !1++-+=n n x x n f x R ξ．ξ是介于0x 与x 之间的某个值．定理间关系：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。

中值定理证明练习题中值定理是微积分中的一个重要定理，它给出了函数在某个区间内存在一个点，该点处的导数等于函数在该区间两个端点处导数的平均值。

在本文中，我将给出中值定理的证明练习题，帮助读者更好地理解和掌握这个定理的应用。

题目一证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，且f(a) ≠ f(b)，则存在一个点c ∈ (a, b)，使得f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)。

解答：根据中值定理的条件，我们可以先定义一个新的函数g(x)，使得g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a)) / (b - a)] * (x - a)。

这里，我们先把中值定理的结论作为一个已知条件，然后通过构造g(x)来证明中值定理。

因为根据题目中的条件，f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，所以函数g(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导。

首先，计算g(a)和g(b)：g(a) = f(a) - [(f(b) - f(a)) / (b - a)] * (a - a) = f(a)g(b) = f(b) - [(f(b) - f(a)) / (b - a)] * (b - a) = f(b) - (f(b) - f(a)) = f(a)由于f(a) ≠ f(b)，所以g(a) ≠ g(b)。

接下来，我们利用罗尔定理（Rolle's theorem）来证明函数g(x)在区间[a, b]上存在一个点x0，使得g'(x0) = 0。

根据罗尔定理，在区间[a, b]上，如果函数g(x)在(a, b)内可导，且满足g(a) = g(b)，则必定存在一个点x0 ∈ (a, b)，使得g'(x0) = 0。

因为g(a) ≠ g(b)，所以我们可以得出结论：函数g(x)在区间[a, b]上必有一个点x0，使得g'(x0) = 0。