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《对数》运算性质与重要公式1、对数运算性质如果0010>>≠>N M a a ，，，且，那么（1）N M N M a a a log log )(log +=⋅ （真数相乘⇔同底对数相加）（2）N M NM a a a log log log -= （真数相乘⇔同底对数相加） （3）M n M a n a log log ⋅=（R n ∈） （真数乘方⇔n 乘以同底对数）例如：计算化简 920log 3 解：233333log )522(log 9log 20log -⨯⨯=-=原式25log 2log 23log 25log 2log 2log 333333-+=-++= （这就是计算后的最简结果）2、换底公式及其推论（1）换底公式：a bb c c a log log log = （01010>≠>≠>b c c a a ，，且，，且） （2）四个推论：①1l o g l o g =⋅a b b a ② d d c b a c b a l o g l o g l o g l o g =⋅⋅③ b mn b a n a m l o g l o g = ④ b ba na n l o g l o g = 注意：这里换底公式是比较重要的公式，它的推论都是由换底公式推导出来的，所以，大家要熟悉掌握换底公式。
例如：采用换底公式来计算 45log 8，那么可以取任意不为1的正数作为新的底数，如：取以5为底的对数，则为8log 45log 45log 558=。
最常见的是取以10或e为底的对数，也可以写成：8lg 45lg 45log 8=或8log 45log 45log 8e e =，要根据题目中的所给的已知条件，灵活选择底数进行换底公式的计算。
3、对数恒等式：N aN a =log （010>≠>N a a ，，且） 例如：（1）323log 2= （2）9)2()2()2(29log 23log 3log 23log 2222====4、常用结论：01log =a ，1log =a a例如：（1）01log 3=；（2）2125log 25log 25log 5255=⨯===重点补充说明：（1）15lg 2lg =+，这个作为结论使用并不具有代表性，它其实只是结论1log =a a 中的一个而已，只不过是15lg 2lg =+，练习中比较常见。
对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a 丰 1，M > 0， N > 0 有:log a (MN) Jog a M gN ⑴ 蛰lo (2)log.M n 二 nlog a M(n R) (3)、新授内容: 1•对数换底公式:证明：设 log a N = x ，贝U a x= N -两边取以m 为底的对数：log m a x= log m N = x log m a = log m N2•两个常用的推论① log a b log b a =1 , logblogcloga" * ②log a mb " = ^log a b ( a, b > 0 且均不为 1)・m证：① log a b log b a == 1 亠 lga lg b三、讲解范例:lOg a Nlog m N log m a(a > 0 ,a 丰 1 ， m > 0 ,m 丰 1,N>0) *从而得: log m N x =log m alog a Nlog m N log m a② log a m b n_ lgb n = nig b lga mmlga弋log ab例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 解：因为log 2 3 = a ，则1log 3 2 , 又/log 3 7 =b,a •'•log 42 56log 3 56 log 342 log 3 7 3 log 3 2 log 3 7 log 32 1ab 3 ab b 1例2计算：①51-log。
/log 4 3 log 9 2 - log 1 4322解: ①原式55叫.23 5r log5-5 34=153 ②原式=~log 232log 32x, y,z (0,::)且3x=4y=111求证+ ：；2x 2y z例3设 1 =6z =k =4y 1 :设 3x 6z十彳log 2 2比较3x,4y,6z 的大小-证明 •/x, y, z (0, ::) /.k 1 取对数得:yJ gkz=3 lg4lg6••丄丄 x 2y _ lg3 . lg4 _lgk 2lgk 2lg3 lg4 2lgk 2lg3 2lg22lgklg6 lgk3 23—(浜—)lgk 二 lg4 lg6^lg81lgk lg3lg464 lg klg -81::: 0 lg3lg4•'•3x ：： 4y又：4y-6z=(二lg4 lg6 lg k lg -96、「 lg36 -lg64 16小)lg klg k16：： 0lg2lg6lg2lg6•'4y ::: 6z•'•3x ::: 4y ::: 6z .例 4 已知 log a x= log a C+b ，求 x.分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a C 移到等式左端,或者将b 变为对数形式• 解法由对数定义可知： 乂二才叫小口吋a b=c a b. 解法二：x由已知移项可得log a x-log a c =b ，即log a b cx b b由对数定义知：a • x 二c a •c解法三：b=log a a b log a x = log a c Tog a a b = log a c a b . x=ca b四、课堂练习:①已知 log 18 9 = a , 18 = 5 ,用 a, b 表小 log 36 45解：••• 18 log 18 9 = a /.log 18 —1 -log 18 •log 182 = 1 _a••• 18b= 5 • log 185 = bl o g 8 9 l o g 8 5 a b 1 l o g 8 2 2 - a②若 log 8 3 = p , log 3 5 = q ,求 lg 5log 36 45log i8 45 log i8 36三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、课后作业：1 .证明：log ax =1 log ablog ab x证法 1:设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r贝U ： x=a px=(ab)q=a q b qb=a r•a P= (ab)q = aq(1 r)从而 p = q(1 ■ r)•••q=0 •- =1 r 即:log a x= 1 log a b (获证) q log ab xlog a x log x ab 证法2:由换底公式 左边=- - log a ab = 1 log a b =右边 log ab x log x a2•已知 lo g a ! b 1 = lo g a 2 b2 = = log a n bn ='求证：Sg a^ a n (b 1b2bn)二，证明：由换底公式 业二眶二•…二皿二■由等比定理得:lg a 1 lg a 2lg a .lg d +lg b 2 + …+lgb n _ ? . lg(db2…b n )lga 1 lga 2 lg a nlg(a£2 a n )•log a 1a 2 a n 隔b n )巒解：T log 8 3 = p•」og 23 3= P =■ log 2 3 = 3 p =• log 3 21 3p又 v log 3 5 二 qlog 3 5 log 3 5log 310 log 3 2 log 353pq 1 3pqlg(a1a2 a n)THANKS !!! 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
对数的换底公式温习若是 a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0 有：log ()log log log log log log log ()a a a a a a n a a MN M NM M NNM n M n R =+=-=∈log log ()m n a a nM M n R m=∈ 新课试证明与明白得： 1.对数换底公式：aNN m m a log log log =( a ＞0,a ≠1，m ＞0,m ≠ 1,N ＞0)2．两个经常使用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b mnb a na m log log =（ a , b ＞0且均不为1） 例1、（1）27log 9，（2）81log 43，（3）625log 345，例2、已知2log 3 =a ， 3log 7 =b,用a ,b 表示42log 56例3、计算：①0.21log 35 ② 4219432log 2log 3log -⋅例4、设),0(,,+∞∈z y x 且zyx643==，求证 zy x 1211=+练习①已知18log 9=a ,b18=5,用a ,b 表示36log 45②若8log 3=p,3log 5 =q, 求lg5作业1. 计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++2．若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m3．求值：12log 221033)2(lg 20log 5lg -++⋅4．求值：2lg 2)32(3log10)347(log 22++-++对数函数的图像与性质(第一课时)[互动进程1]温习：1．对数函数2y log x =的图像与性质,和与指数函数xy 2=的图像与性质之间的关系2．练习:画出下列函数的图像x x 121(1)y 2;(2)y log x;(3)y ();(4)y lg x 3====填表:对数函数a y log x(a 0,a 1)=>≠别离就其底数a 1>和0a 1<<这两种情形的图像和性质:例1．求下列函数的概念域:2a a (1)y log x ;(2)y log (4x)==-练习1:求下列函数的概念域1(1)y lg(x 5);(2)y ln3x=-=-例2．比较下列各题中两个数的大小:22(1)log 5.3,log 4.7; 0.20.2(2)log 7,log 93(3)log ,log 3;ππ a a (4)log 3.1,log 5.2(a 0,a 1)>≠练习2：比较下列各组数中两个值的大小：（1）4.32log _____5.82log （2）8.13.0log _____7.23.0log （3）1.5log a_____9.5log a （a ＞0，且a ≠1）课堂补充练习:1．求下列函数的概念域：（1）)1(log 3x y -= （2）x y 3log = （3）xy 311log 7-= （4）x y 2log 1=2．比较大小．4log 5log )3(01.0log 31log )2(log 3log )1(5321.05.05.0和和和π。
2.2.1.3对数的换底公式及其推论●教学目标(一)教学知识点：1.对数基本性质；2.对数运算性质.(二)能力训练目标：1.进一步熟悉对数运算性质；2.熟练运用对数运算性质；3.掌握化简、求值技巧；4.培养学生数学应用意识.(三)德育渗透目标：1.认识事物之间的相互转化.2.会用联系的观点看待一些问题，并具备一定分析、解决问题的能力；●教学重点：对数运算性质应用.●教学难点：化简、求值技巧.●教学方法：启发引导式●教具准备：幻灯片三张●教学过程Ⅰ.复习回顾1.对数的性质：若a ＞0且a ≠1,N ＞0，则(1)零和负数没有对数(2)1的对数是0（3）底数的对数等于1，即：log a a =12、对数的运算法则：运算性质：若a ＞0,a ≠1,M ＞0,N ＞0，则(1)log a MN =log a M +log a N ；(2)log a NM =log a M －log a N ; (3)log a M n =n log a M (n ∈R )3、 基本公式：(1)对数恒等式：N a alog =NⅡ.新课1、对数换底公式： aN N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 证明：设 a log N = x , 则 xa = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒=从而得：a N x m m log log = ∴ aN m m a log log = 2、两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a② b mn b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1）证明：①lg lg lg lg log log =⋅=⋅b a a b a b b a②b m n a m b n a b b a m n na m log lg lg lg lg log === 例1 、已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a,b 表示42log 56 解：因为2log 3 = a ，则2log 13=a , 又∵3log 7 = b, ∴1312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++⋅+==b ab ab 例2、计算：①3log 12.05- ②2194log 2log 3log -⋅ 解：①原式 = 315555531log 3log 52.0===②原式 = 245412log 452log 213log 21232=+=+⋅ 例3、设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643==①求证、 zy x 1211=+ ； ②＊比较z y x 6,4,3的大小 证明 ①：设k z y x ===643 ∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k 取对数得：3lg lg k x = ， 4lg lg k y =， 6lg lg k z = ∴zk k k k k y x 1lg 6lg lg 22lg 23lg 2lg 24lg 3lg 2lg 24lg lg 3lg 211==+=+=+=+ ②k y x lg )4lg 43lg 3(43-=-04lg 3lg 8164lglg lg 4lg 3lg 81lg 64lg <=-=k k ∴y x 43< 又：k z y lg )6lg 64lg 4(64-=-06lg 2lg 169lglg lg 6lg 2lg 64lg 36lg <⋅=-=k k ∴z y 64<∴z y x 643<<指导学生看教材P66、67例5、例6 III 、课堂练习：若8log 3 = p , 3log 5 = q , 求 lg 5 解：∵ 8log 3 = p ∴3log 32 ＝p ⇒p 33log 2=⇒p 312log 3= 又∵q =5log 3 ∴ 5log 2log 5log 10log 5log 5lg 33333+== pq pq 313+= IV 、作业：●教学反思：。
对数换底公式摘要：1.对数的定义和性质2.换底公式的推导3.换底公式在实际问题中的应用4.总结与展望正文：1.对数的定义和性质对数是一种数学运算，用于表示一个数以某个基数为底，经过多少次方等于另一个数。
对数有自然对数、常用对数等多种表示形式，每种对数都有其适用范围和特殊性质。
例如，自然对数的底为自然常数e，常用对数的底为10。
对数具有以下基本性质：（1）对数的运算法则：loga(MN) = logaM + logaN，loga(M/N) = logaM - logaN（2）对数的换底公式：logab = logcb / logca（3）对数的性质：loga1 = 0，loga0 不存在，loga(a^b) = b2.换底公式换底公式是将对数从一种底数转换为另一种底数的工具。
设logab = x，那么可以得到换底公式：logcb = x * logca。
换底公式的推导过程如下：设y = logcb，那么有cb = e^y，同时有ab = e^x。
将cb 带入ab 中，得到ab = e^(x + y)。
根据对数的性质，有loga(ab) = x + y，而又因为loga(ab) = loga(e^(x + y)) = x + y，所以x = logcb / logca。
3.换底公式在实际问题中的应用换底公式在实际问题中有很多应用，例如在计算机科学中，换底公式可以用于计算以不同进制表示的数值之间的转换；在物理学中，换底公式可以用于计算能量、速率等物理量在不同单位制之间的转换。
4.总结与展望对数换底公式是数学中一个重要的工具，它可以帮助我们将对数从一种底数转换为另一种底数。
通过掌握对数的性质和换底公式，我们可以更好地理解和解决实际问题。
对数换底公式推导过程及总结
对数换底公式是解决不同底数下对数之间的转换问题的公式。
在数学中，对数换底公式是一个非常重要且常用的公式，它可以简化对数计算的过程，提高计算的效率。
下面我们将介绍对数换底公式的推导过程及总结。
对数换底公式的推导过程如下：
假设a、b为任意的正数且a≠1，我们需要推导loga(b)和logc(b)之间的关系，其中c是任意的正数且c≠1。
首先，我们知道对数的定义：loga(b)表示以a为底，b的对数。
所以有以下等式：
b = a^(loga(b))
接着，我们将b表示为以c为底的对数，即：
b = c^(logc(b))
将上面两个等式相等，得到：
a^(loga(b)) = c^(logc(b))
两边取对数，分别以a和c为底，得到：
loga(b) * loga(a) = logc(b) * logc(c)
由对数的定义可知，loga(a) = 1，logc(c) = 1，所以上式化简为：
loga(b) = logc(b) / logc(a)
这就是对数换底公式的推导过程。
总结一下对数换底公式：
对数换底公式的表达式为：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a、b为任意的正数，a≠1，c为任意的正数，c≠1。
对数换底公式的应用非常广泛，可以简化对数计算的过程，特别是在解决实际
问题或进行数学推导时，对数换底公式可以大大简化计算的复杂度，提高计算的效率。
通过对数换底公式的推导过程和总结，我们更深入地理解了对数的性质和应用，也为我们在数学计算中更灵活地运用对数提供了有力的工具和方法。
希望以上内容对您有所帮助。
