换底公式及其推论

换底公式的6个推论首先，我们来介绍一下换底公式：对于任意实数a，b，c，且a≠1，b≠1，有以下的换底公式：1. logₐb = logcₐ / logcₒb2. logₐ(b^c) = c * logₐb3. logₐ1 = 04. logₐa = 15. logₐ(ab) = logₐa + logₐb6. logₐ(b/c) = logₐb - logₐc接下来，我们将详细说明这些换底公式的推论：推论一： logₐb = 1 / logbₐ根据换底公式 logₐb = logcₐ / logcₒb，取c = b，并将logcₐ化简为1，得到 logₐb = logbₐ / logbₐ，再根据对数的倒数性质，可得 logₐb =1 / logbₐ。

推论二： loga(b^c) = logb(a^c)根据换底公式 logₐb = logcₐ / logcₒb，将c替换成a^c，可得loga(b^c) = log(a^c)ₐ / log(a^c)ₒb，再根据log的指数性质loga(b^c) = logₐ(b^c)，log(a^c)ₐ = c，log(a^c)ₒb = c * log(a)ₒb，可得loga(b^c) = log(b)ₐ / log(b)ₒa^c = logb(a^c)。

推论三： loga1 = 0根据换底公式 logₐb = logₐ1 / logₐb，可以判断 logₐ1 = 0。

推论四： logaa = 1根据换底公式 logₐa = logₐa / logₐb，可以判断 logₐa = 1推论五： log(ab) = loga + logb根据换底公式 logₐb = logcₐ / logcₒb，取c = a * b，并将logcₐ化简为loga + logb，可得 log(ab) = loga + logb。

推论六： log(b/c) = logb - logc根据换底公式 logₐ(b/c) = logcₐ / logcₒ(b/c)，取c = b，logcₐ化简为1 / logbₐ，logcₒ(b/c)化简为logbₒ(b) - logbₒ(c)，可得 log(b/c) = logb - logc。

换底公式的五个推论及其证明换底公式是指在对数运算中，当底数不一致时如何转化为同一底数进行计算。

它有五个常用的推论，分别是：推论一：对数的乘法规则对数的乘法规则是指loga(M×N) = loga(M) + loga(N)，其中a表示底数，M和N分别表示两个正数。

该公式表明，两个正数的乘积的对数等于这两个正数的对数之和。

推论二：对数的除法规则对数的除法规则是指loga(M÷N) = loga(M) - loga(N)，其中a表示底数，M和N分别表示两个正数。

该公式表明，两个正数的商的对数等于这两个正数的对数之差。

推论三：对数的幂次规则对数的幂次规则是指loga(M^k) = k*loga(M)，其中a表示底数，M 表示正数，k表示任意实数。

该公式表明，一个正数的幂的对数等于这个正数的对数乘以幂。

推论四：对数函数的换底公式对数函数的换底公式是指loga(M) = (logb(M))/(logb(a))，其中a 和b分别表示底数，M表示正数。

该公式表明，如果要求一些正数的以a 为底的对数，可以将其转化为以b为底的对数进行计算，其中b可以是任意一个正数。

推论五：自然对数的换底公式自然对数的换底公式是指ln(M) = (loge(M))/(loge(a))，其中M表示正数，e表示自然对数的底数。

该公式表明，如果要求一些正数的自然对数，可以将其转化为以任意一个底数a为底的对数进行计算。

下面对这五个推论进行证明：证明推论一：假设loga(M×N) = x，根据对数的定义可得a^x = M×N。

又假设loga(M) = y，根据对数的定义可得a^y = M。

同理，假设loga(N) = z，根据对数的定义可得a^z = N。

将上述三式相乘可得(a^y)(a^z)=M×N，即a^(y+z)=M×N。

由指数运算的性质可知，a^(y+z)=a^x，因此得到x=y+z。

对数的换底公式及其推论一、 复习引入：对数的运算法则如果 a > 0 ，a - 1，M > 0， N > 0 有: log a (MN) Jog a M gN(1) 町1。

…N ⑵ log.M n 二 nlog a M(n R) (3)二、 新授内容：1. 对数换底公式：log a NJ°gmN( a > 0,alog m a=1 ，m > 0 ,m = 1,N>0)x证明：设 log a N = x , 贝U a = N ■两边取以m 为底的对数：log m a x = log m N = x log m a2. 两个常用的推论① log a b log b a =1 , log a b log b c 」og c a = 1 ” ②log a mb n =卫 log a b ( a, b > 0且均不为 1) *m证：① logab logb 「罟■晋"三、讲解范例:例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b,1解：因为 log 2 3 = a ，则 log 3 2a② log a m b nlgb n mlganlg bm lga二log4256log 356 log 3 42 log 3 7 3 log 32 log 37 log 3 2 ■ 1ab 3 ab b 1从而得:log m N x 二log m alog a Nlog m N log m a用a, b 表示log 42 又log 37 = b,厂1-log023 例2计算：①5 0 2解：①原式-5 %23② log43 log92 -log j 432.5log5-5 3115②原式=-log 2log 3log 22例 3 设x, y, z 二（0,：：）且3x=4y=6z证明 1 ：设3x取对数得: 2y z=4y=6z=klg4x 2y lg k 2lg k2 3x-4y=（三lg 33x :: 4y又：4y -6z =（4••• 4y :: 6z2 比较3x,4y,6z的大小*•/ x, y, z （0, ：：）• k 1igk zQig62lg3 lg4 2lg3 2lg22lgk 2lgk lg6lgk644）lgklg4lg 4 lg6.3x :: 4y :: 6z* lg 64 - lg 81lgklg3lg4 lg3lg 4::06）lgk」g36T g64lgk =lg2lg6lg2lg6例 4 已知log a x= log a c+b，求x，分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为 两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a c 移到等式左端,或者将b 变为对数形式. 解法由对数定义可知：x = a log a 」b =a log ac a b =c a b ・解法二：x由已知移项可得log a x 「log a c 二b ，即log a b*c由对数定义知：—=a b . x=ca b .c解法三：bb b bb =log a a logx=logc loga logca . x =ca四、课堂练习：①已矢卩 log 18 9 = a , 18b = 5 ,又•••log 35=q ••• lg5 二逐 血込log 310 log 3^log 351 + 3pq三、 小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、 课后作业：1 .证明：1 log a blog ab x用 a, b 表示 log 36 45解：T log 18 9 = a18-log i8— =1 _log i8 2…log 182 = 1 _a•/ 18b = 5log 36 45••• log 18 5 =blog 18 45 log 18 9 log 18 5 a b log 18 36 1 +log 18 2一 2 -alog 3 5 = q ,求 lg 5•- log 23 3 = p = log 23 =3 p =解：Tlog 8 3 = p②若 log 8 3 = p ,证法 1： 设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r 则:X =a p X = (ab)q = a q b qb=a r••• a p =(ab)q =a q(1 r) 从而 p =q(1 • r) ■/ q = 0• p= 1 r 即：log a X=1 log a b (获证) qlog ab X证法2：由换底公式 左边=log a X= logxab= gg a ab = 1 log a b =右边log ab X log X a2•已知 log a ! d = log a 2 b ?二 二 log a . b n 二’ 求证：砸玄侵a n (b 1b 2bn )='【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内 容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】证明：由换底公式lg d _ lg b 2 lg a 1 lg a 2lg b n lg a n 由等比定理得:lg b 1 lg b^ 亠 lgb n = g lga ?亠 亠 lg a .lg(db 2 b n ) lg(ae 2 a n )•- log a 。

课 题：2.7.3 对数的换底公式及其推论教学目的：1．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力； 教学重点：换底公式及推论教学难点：换底公式的证明和灵活应用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log NM log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=二、新授内容：1.对数换底公式：aNN m m a log log log =( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0)证明：设 a log N = x , 则 xa = N两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m xm log log log log =⇒=从而得：a N x m m log log =∴ aN m m a log log =2.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b mnb a na m log log =（ a, b > 0且均不为1） 证：①lg lg lg lg log log =⋅=⋅baa b a b b a②b m na mb n ab b a mn na m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例：例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56 解：因为2log 3 = a ，则2log 13=a, 又∵3log 7 = b, ∴1312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++⋅+==b ab ab例2计算：①3log 12.05- ②2194log 2log 3log -⋅ 解：①原式 =315555531log 3log 52.0=== ②原式 =245412log 452log 213log 21232=+=+⋅ 例3设),0(,,+∞∈z y x 且zy x 643==1︒ 求证zy x 1211=+ ； 2︒ 比较z y x 6,4,3的大小 证明1︒：设k zy x ===643 ∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k 取对数得：3lg lg k x =， 4lg lg ky =， 6lg lg k z = ∴zk k k k k y x 1lg 6lg lg 22lg 23lg 2lg 24lg 3lg 2lg 24lg lg 3lg 211==+=+=+=+ 2︒ k y x lg )4lg 43lg 3(43-=-04lg 3lg 8164lglg lg 4lg 3lg 81lg 64lg <=-=k k ∴y x 43<又：k z y lg )6lg 64lg 4(64-=-06lg 2lg 169lglg lg 6lg 2lg 64lg 36lg <⋅=-=k k ∴z y 64< ∴z y x 643<<例4已知a log x=a log c+b ，求x分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将a log c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式解法一：由对数定义可知：b c a a x +=log b c a a a⋅=log a c ⋅=解法二：由已知移项可得b c x a a =-log log ，即cxa =log 由对数定义知：b a cx= a c x ⋅=∴ 解法三：b a a b log = b a a a ac x l o g l o g l o g +=∴b a a c ⋅=l o g ba c x ⋅=∴四、课堂练习：①已知 18log 9 = a , b18 = 5 , 用 a, b 表示36log 45 解：∵ 18log 9 = a ∴a =-=2log 1218log 1818∴18log 2 = 1-a ∵ b18 = 5 ∴ 18log 5 = b ∴ aba -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836②若8log 3 = p , 3log 5 = q , 求 lg 5解：∵ 8log 3 = p ∴3log 32 ＝p ⇒p 33log 2=⇒p312log 3=又∵q =5log 3 ∴ 5log 2log 5log 10log 5log 5lg 33333+==pqpq313+=三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论四、课后作业： 1．证明：b xxa ab a log 1log log +=证法1： 设 p x a =log ，q x ab =log ，r b a =log则：p a x = qqqb a ab x ==)( ra b =∴)1()(r q qpa ab a +== 从而 )1(r q p +=∵ 0≠q ∴r qp+=1 即：b x x a ab a log 1log log +=（获证） 证法2： 由换底公式 左边＝b ab aab x x a a x x ab a log 1log log log log log +===＝右边2．已知λ====n a a a b b b n log log log 2121 求证：λ=)(log 2121n a a a b b b n 证明：由换底公式λ====nn a b a b a b lg lg lg lg lg lg 2211 由等比定理得：λ=++++++n n a a a b b b lg lg lg lg lg lg 2121 ∴λ=)lg()lg(2121n n a a a b b b∴λ==)lg()lg()(log 21212121n n n a a a a a a b b b b b b n五、板书设计（略） 六、课后记：【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。

换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N .∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 (1)计算：log 89·log 2732；(2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决.解 (1)换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109.(2)由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d .评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决.2.知值求值型例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值.分析 本题可选择以3为底进行求解.解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小.分析 本题可选择以19及π为底进行解题.解 A 换成以19为底，B 换成以π为底，则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .。

对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a 丰 1，M > 0， N > 0 有:log a (MN) Jog a M gN ⑴ 蛰lo (2)log.M n 二 nlog a M(n R) (3)、新授内容: 1•对数换底公式:证明：设 log a N = x ，贝U a x= N -两边取以m 为底的对数：log m a x= log m N = x log m a = log m N2•两个常用的推论① log a b log b a =1 , logblogcloga" * ②log a mb " = ^log a b ( a, b > 0 且均不为 1)・m证：① log a b log b a == 1 亠 lga lg b三、讲解范例:lOg a Nlog m N log m a(a > 0 ,a 丰 1 ， m > 0 ,m 丰 1,N>0) *从而得: log m N x =log m alog a Nlog m N log m a② log a m b n_ lgb n = nig b lga mmlga弋log ab例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 解：因为log 2 3 = a ，则1log 3 2 , 又/log 3 7 =b,a •'•log 42 56log 3 56 log 342 log 3 7 3 log 3 2 log 3 7 log 32 1ab 3 ab b 1例2计算：①51-log。

/log 4 3 log 9 2 - log 1 4322解: ①原式55叫.23 5r log5-5 34=153 ②原式=~log 232log 32x, y,z (0,::)且3x=4y=111求证+ ：；2x 2y z例3设 1 =6z =k =4y 1 :设 3x 6z十彳log 2 2比较3x,4y,6z 的大小-证明 •/x, y, z (0, ::) /.k 1 取对数得:yJ gkz=3 lg4lg6••丄丄 x 2y _ lg3 . lg4 _lgk 2lgk 2lg3 lg4 2lgk 2lg3 2lg22lgklg6 lgk3 23—(浜—)lgk 二 lg4 lg6^lg81lgk lg3lg464 lg klg -81::: 0 lg3lg4•'•3x ：： 4y又：4y-6z=(二lg4 lg6 lg k lg -96、「 lg36 -lg64 16小)lg klg k16：： 0lg2lg6lg2lg6•'4y ::: 6z•'•3x ::: 4y ::: 6z .例 4 已知 log a x= log a C+b ，求 x.分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a C 移到等式左端,或者将b 变为对数形式• 解法由对数定义可知： 乂二才叫小口吋a b=c a b. 解法二：x由已知移项可得log a x-log a c =b ，即log a b cx b b由对数定义知：a • x 二c a •c解法三：b=log a a b log a x = log a c Tog a a b = log a c a b . x=ca b四、课堂练习:①已知 log 18 9 = a , 18 = 5 ,用 a, b 表小 log 36 45解：••• 18 log 18 9 = a /.log 18 —1 -log 18 •log 182 = 1 _a••• 18b= 5 • log 185 = bl o g 8 9 l o g 8 5 a b 1 l o g 8 2 2 - a②若 log 8 3 = p , log 3 5 = q ,求 lg 5log 36 45log i8 45 log i8 36三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、课后作业：1 .证明：log ax =1 log ablog ab x证法 1:设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r贝U ： x=a px=(ab)q=a q b qb=a r•a P= (ab)q = aq(1 r)从而 p = q(1 ■ r)•••q=0 •- =1 r 即:log a x= 1 log a b (获证) q log ab xlog a x log x ab 证法2:由换底公式 左边=- - log a ab = 1 log a b =右边 log ab x log x a2•已知 lo g a ! b 1 = lo g a 2 b2 = = log a n bn ='求证：Sg a^ a n (b 1b2bn)二，证明：由换底公式 业二眶二•…二皿二■由等比定理得:lg a 1 lg a 2lg a .lg d +lg b 2 + …+lgb n _ ? . lg(db2…b n )lga 1 lga 2 lg a nlg(a£2 a n )•log a 1a 2 a n 隔b n )巒解：T log 8 3 = p•」og 23 3= P =■ log 2 3 = 3 p =• log 3 21 3p又 v log 3 5 二 qlog 3 5 log 3 5log 310 log 3 2 log 353pq 1 3pqlg(a1a2 a n)THANKS !!! 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。

换底公式的推导过程
（最新版）
目录
1.换底公式的定义
2.换底公式的推导过程
3.换底公式的应用
正文
换底公式，是数学中一种重要的公式，主要用于将一个数的底数（即指数）从一个数改为另一个数。

它的定义为：若 a 的 b 次方等于 c，
即 a^b=c，那么 a 的 c 次方等于 b，即 a^c=b。

其推导过程相对简单。

假设我们有一个数 a，它的 b 次方等于 c，即 a^b=c。

现在，我们希望将这个数的底数改为 c，即求 a 的 c 次方。

根据指数运算法则，a 的 c 次方可以表示为 a^(b*c)，因为 b*c 等于 c，所以 a 的 c 次方等于 a^c。

因此，我们成功地将 a 的底数从 b 改为
了 c。

换底公式在实际应用中非常广泛。

例如，在计算对数时，我们常常会使用换底公式将底数改为我们熟悉的数，以便于计算。

又如，在概率论中，
换底公式可以帮助我们将一个事件的概率从一个概率密度函数转换为另
一个概率密度函数。

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对数换底公式推论好的，以下是为您生成的关于“对数换底公式推论”的文章：在咱们学习数学的这个大旅程中，对数换底公式及其推论就像是隐藏在数字丛林里的神秘宝藏，得用心去找，还得仔细琢磨才能真正搞懂。

咱先来说说啥是对数换底公式。

这就好比你在不同的度量衡系统里转换单位一样。

比如说，你熟悉的是以 10 为底的常用对数，可有时候题目给你的却是以其他数为底的对数，这时候对数换底公式就派上用场啦。

公式是这样的：logₐb = logₑb / logₑa （其中 a、b、e 都是正数，且 a≠ 1，e 通常取自然常数约 2.718）。

那它的推论又是咋来的呢？这就得好好琢磨琢磨啦。

就拿我之前给学生讲这部分内容的时候来说吧。

有个学生叫小明，这孩子特别聪明，就是有时候容易钻牛角尖。

我在黑板上写出对数换底公式的时候，他眼睛直勾勾地盯着，一脸疑惑。

我知道他心里在想：“这到底有啥用啊？”我就跟他们说：“同学们，咱们来假设一个实际的情况。

假如有一个细菌，它每过一小时数量就翻倍。

那经过 x 小时后，细菌的数量会是最初的多少倍呢？”这时候大家就开始七嘴八舌地讨论起来。

有的同学说，那就是 2 的 x 次方倍呗。

我说：“没错，那如果咱们要用对数来表示这个关系呢？”这时候大家就有点懵了。

我接着引导：“这时候咱们就可以用到对数换底公式啦。

假设咱们要用以 10 为底的对数来表示，那就是 log₁₀(2^x) = x log₁₀2 。

”这时候小明突然站起来说：“老师，我懂了，对数换底公式就是让我们能在不同的底数之间灵活转换，找到最方便计算和理解的方式！”我笑着点头，心里特别欣慰。

从这个小小的例子咱们就能看出来，对数换底公式推论的用处可大着呢。

比如说，当我们要比较两个不同底数的对数大小时，通过换底就能把它们变成相同底数的对数，这样比较起来就容易多啦。

再比如说，在解决一些复杂的数学问题或者物理问题时，可能会遇到各种各样底数的对数，这时候灵活运用对数换底公式及其推论，就能让问题变得清晰明了。