对数的换底公式及其推论含答案

对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a 丰 1，M > 0， N > 0 有:log a (MN) Jog a M gN ⑴ 蛰lo (2)log.M n 二 nlog a M(n R) (3)、新授内容: 1•对数换底公式:证明：设 log a N = x ，贝U a x= N -两边取以m 为底的对数：log m a x= log m N = x log m a = log m N2•两个常用的推论① log a b log b a =1 , logblogcloga" * ②log a mb " = ^log a b ( a, b > 0 且均不为 1)・m证：① log a b log b a == 1 亠 lga lg b三、讲解范例:lOg a Nlog m N log m a(a > 0 ,a 丰 1 ， m > 0 ,m 丰 1,N>0) *从而得: log m N x =log m alog a Nlog m N log m a② log a m b n_ lgb n = nig b lga mmlga弋log ab例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 解：因为log 2 3 = a ，则1log 3 2 , 又/log 3 7 =b,a •'•log 42 56log 3 56 log 342 log 3 7 3 log 3 2 log 3 7 log 32 1ab 3 ab b 1例2计算：①51-log。

/log 4 3 log 9 2 - log 1 4322解: ①原式55叫.23 5r log5-5 34=153 ②原式=~log 232log 32x, y,z (0,::)且3x=4y=111求证+ ：；2x 2y z例3设 1 =6z =k =4y 1 :设 3x 6z十彳log 2 2比较3x,4y,6z 的大小-证明 •/x, y, z (0, ::) /.k 1 取对数得:yJ gkz=3 lg4lg6••丄丄 x 2y _ lg3 . lg4 _lgk 2lgk 2lg3 lg4 2lgk 2lg3 2lg22lgklg6 lgk3 23—(浜—)lgk 二 lg4 lg6^lg81lgk lg3lg464 lg klg -81::: 0 lg3lg4•'•3x ：： 4y又：4y-6z=(二lg4 lg6 lg k lg -96、「 lg36 -lg64 16小)lg klg k16：： 0lg2lg6lg2lg6•'4y ::: 6z•'•3x ::: 4y ::: 6z .例 4 已知 log a x= log a C+b ，求 x.分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a C 移到等式左端,或者将b 变为对数形式• 解法由对数定义可知： 乂二才叫小口吋a b=c a b. 解法二：x由已知移项可得log a x-log a c =b ，即log a b cx b b由对数定义知：a • x 二c a •c解法三：b=log a a b log a x = log a c Tog a a b = log a c a b . x=ca b四、课堂练习:①已知 log 18 9 = a , 18 = 5 ,用 a, b 表小 log 36 45解：••• 18 log 18 9 = a /.log 18 —1 -log 18 •log 182 = 1 _a••• 18b= 5 • log 185 = bl o g 8 9 l o g 8 5 a b 1 l o g 8 2 2 - a②若 log 8 3 = p , log 3 5 = q ,求 lg 5log 36 45log i8 45 log i8 36三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、课后作业：1 .证明：log ax =1 log ablog ab x证法 1:设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r贝U ： x=a px=(ab)q=a q b qb=a r•a P= (ab)q = aq(1 r)从而 p = q(1 ■ r)•••q=0 •- =1 r 即:log a x= 1 log a b (获证) q log ab xlog a x log x ab 证法2:由换底公式 左边=- - log a ab = 1 log a b =右边 log ab x log x a2•已知 lo g a ! b 1 = lo g a 2 b2 = = log a n bn ='求证：Sg a^ a n (b 1b2bn)二，证明：由换底公式 业二眶二•…二皿二■由等比定理得:lg a 1 lg a 2lg a .lg d +lg b 2 + …+lgb n _ ? . lg(db2…b n )lga 1 lga 2 lg a nlg(a£2 a n )•log a 1a 2 a n 隔b n )巒解：T log 8 3 = p•」og 23 3= P =■ log 2 3 = 3 p =• log 3 21 3p又 v log 3 5 二 qlog 3 5 log 3 5log 310 log 3 2 log 353pq 1 3pqlg(a1a2 a n)THANKS !!! 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。

对数的换底公式温习若是 a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0 有：log ()log log log log log log log ()a a a a a a n a a MN M NM M NNM n M n R =+=-=∈log log ()m n a a nM M n R m=∈ 新课试证明与明白得： 1.对数换底公式：aNN m m a log log log =( a ＞0,a ≠1，m ＞0,m ≠ 1,N ＞0)2．两个经常使用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b mnb a na m log log =（ a , b ＞0且均不为1） 例1、（1）27log 9，（2）81log 43，（3）625log 345，例2、已知2log 3 =a ， 3log 7 =b,用a ,b 表示42log 56例3、计算：①0.21log 35 ② 4219432log 2log 3log -⋅例4、设),0(,,+∞∈z y x 且zyx643==，求证 zy x 1211=+练习①已知18log 9=a ,b18=5,用a ,b 表示36log 45②若8log 3=p,3log 5 =q, 求lg5作业1. 计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++2．若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m3．求值：12log 221033)2(lg 20log 5lg -++⋅4．求值：2lg 2)32(3log10)347(log 22++-++对数函数的图像与性质(第一课时)[互动进程1]温习：1．对数函数2y log x =的图像与性质,和与指数函数xy 2=的图像与性质之间的关系2．练习:画出下列函数的图像x x 121(1)y 2;(2)y log x;(3)y ();(4)y lg x 3====填表:对数函数a y log x(a 0,a 1)=>≠别离就其底数a 1>和0a 1<<这两种情形的图像和性质:例1．求下列函数的概念域:2a a (1)y log x ;(2)y log (4x)==-练习1:求下列函数的概念域1(1)y lg(x 5);(2)y ln3x=-=-例2．比较下列各题中两个数的大小:22(1)log 5.3,log 4.7; 0.20.2(2)log 7,log 93(3)log ,log 3;ππ a a (4)log 3.1,log 5.2(a 0,a 1)>≠练习2：比较下列各组数中两个值的大小：（1）4.32log _____5.82log （2）8.13.0log _____7.23.0log （3）1.5log a_____9.5log a （a ＞0，且a ≠1）课堂补充练习:1．求下列函数的概念域：（1）)1(log 3x y -= （2）x y 3log = （3）xy 311log 7-= （4）x y 2log 1=2．比较大小．4log 5log )3(01.0log 31log )2(log 3log )1(5321.05.05.0和和和π。

对数换底公式摘要：1.对数的定义和性质2.换底公式的推导3.换底公式在实际问题中的应用4.总结与展望正文：1.对数的定义和性质对数是一种数学运算，用于表示一个数以某个基数为底，经过多少次方等于另一个数。

对数有自然对数、常用对数等多种表示形式，每种对数都有其适用范围和特殊性质。

例如，自然对数的底为自然常数e，常用对数的底为10。

对数具有以下基本性质：（1）对数的运算法则：loga(MN) = logaM + logaN，loga(M/N) = logaM - logaN（2）对数的换底公式：logab = logcb / logca（3）对数的性质：loga1 = 0，loga0 不存在，loga(a^b) = b2.换底公式换底公式是将对数从一种底数转换为另一种底数的工具。

设logab = x，那么可以得到换底公式：logcb = x * logca。

换底公式的推导过程如下：设y = logcb，那么有cb = e^y，同时有ab = e^x。

将cb 带入ab 中，得到ab = e^(x + y)。

根据对数的性质，有loga(ab) = x + y，而又因为loga(ab) = loga(e^(x + y)) = x + y，所以x = logcb / logca。

3.换底公式在实际问题中的应用换底公式在实际问题中有很多应用，例如在计算机科学中，换底公式可以用于计算以不同进制表示的数值之间的转换；在物理学中，换底公式可以用于计算能量、速率等物理量在不同单位制之间的转换。

4.总结与展望对数换底公式是数学中一个重要的工具，它可以帮助我们将对数从一种底数转换为另一种底数。

通过掌握对数的性质和换底公式，我们可以更好地理解和解决实际问题。

对数运算法则及推论一、对数运算法则：1. 对数乘法法则：logb(xy) = logb(x) + logb(y)这个法则表明，两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和。

可以通过将乘积拆分为两个因子的方法来证明这个法则。

2. 对数除法法则：logb(x/y) = logb(x) - logb(y)这个法则表明，两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。

在这个法则中可以应用对数乘法法则。

3. 对数幂法则：logb(x^r) = r * logb(x)这个法则表明，一个数的幂的对数等于该幂乘以这个数的对数。

也可以通过将幂转化为乘积的形式来证明这个法则。

4. 对数底换底法则：logb(x) = logc(x) / logc(b)这个法则可以用来将一个底为c的对数转化为底为b的对数。

通过这个法则可以将一个底为c的对数转化为自然对数或者以10为底的对数。

5. 对数的加法法则：logb(x + y) ≠ logb(x) + logb(y)对数的加法法则是错误的。

对数的加法法则只适用于两者没有相乘关系的情况，且不能直接将两个对数相加。

二、对数运算推论：1.对数运算与指数运算的关系：通过对数运算法则可以得到指数运算与对数运算的关系。

对于任意实数a和b，如果a^x = b，那么x=loga(b)。

2.对数的换底公式：通过对数底换底法则可以推导出对数的换底公式。

对于任意实数a、b和c，有loga(b) = logc(b) / logc(a)。

3.对数运算与幂运算的关系：幂运算可以看作对数运算的逆运算。

也就是说，对于任意实数a和b，如果loga(b) = c，那么a^c = b。

4.对数的倒数和负数：对于任意实数a和b，如果loga(b) = c，那么logb(a) = 1/c。

而如果a=a，则loga(1/a) = -1，loga(a^(-c)) = -c。

5.对数的幂等性：对于任意实数a和b，如果loga(a) = b，那么a^b = a。

对数换底公式推导过程及总结
对数换底公式是解决不同底数下对数之间的转换问题的公式。

在数学中，对数换底公式是一个非常重要且常用的公式，它可以简化对数计算的过程，提高计算的效率。

下面我们将介绍对数换底公式的推导过程及总结。

对数换底公式的推导过程如下：
假设a、b为任意的正数且a≠1，我们需要推导loga(b)和logc(b)之间的关系，其中c是任意的正数且c≠1。

首先，我们知道对数的定义：loga(b)表示以a为底，b的对数。

所以有以下等式：
b = a^(loga(b))
接着，我们将b表示为以c为底的对数，即：
b = c^(logc(b))
将上面两个等式相等，得到：
a^(loga(b)) = c^(logc(b))
两边取对数，分别以a和c为底，得到：
loga(b) * loga(a) = logc(b) * logc(c)
由对数的定义可知，loga(a) = 1，logc(c) = 1，所以上式化简为：
loga(b) = logc(b) / logc(a)
这就是对数换底公式的推导过程。

总结一下对数换底公式：
对数换底公式的表达式为：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a、b为任意的正数，a≠1，c为任意的正数，c≠1。

对数换底公式的应用非常广泛，可以简化对数计算的过程，特别是在解决实际
问题或进行数学推导时，对数换底公式可以大大简化计算的复杂度，提高计算的效率。

通过对数换底公式的推导过程和总结，我们更深入地理解了对数的性质和应用，也为我们在数学计算中更灵活地运用对数提供了有力的工具和方法。

希望以上内容对您有所帮助。

对数换底公式推导过程及总结嘿，朋友！咱们今天来聊聊对数换底公式，这玩意儿听起来有点复杂，其实就像解开一道神秘的谜题。

咱们先来说说为啥要搞这个换底公式。

你想想，在数学的世界里，有时候我们碰到的对数底数不一样，就像一群人说着不同的方言，交流起来多费劲呐！这时候换底公式就像是一个神奇的翻译器，能把不同底数的对数给统一起来，方便咱们计算和理解。

那到底怎么推导这个公式呢？假设咱们有一个对数 logaN（这里 a是底数，N 是真数），咱们想要把它换成以 b 为底数的对数。

这就好比你要把一堆苹果从一个篮子换到另一个篮子里。

咱们设 logaN = x，那根据对数的定义，就有 a^x = N 。

接下来咱们两边同时取以 b 为底的对数，这不就得到 logb(a^x) = logbN 。

再根据对数的性质，logb(a^x) 就等于 xlogba ，所以 xlogba = logbN 。

那 x 不就等于 logbN / logba 嘛，而这个 x 就是 logaN 呀，所以 logaN = logbN / logba ，这就是对数换底公式啦！是不是感觉有点像走迷宫，绕来绕去，但只要思路清晰，就能找到出口？咱们来举个例子实际用用这个公式。

比如说要计算 log28 ，咱们可以把它换成以 10 为底，那就是 log108 / log102 ，然后用计算器一按，答案就出来啦！你看，对数换底公式就像是一把万能钥匙，能打开各种底数不同的对数的计算大门。

不管碰到啥样的对数，只要咱们熟练掌握了这个换底公式，就像有了一件趁手的兵器，啥难题都不怕！总之，对数换底公式虽然推导过程有点弯弯绕绕，但只要多琢磨琢磨，多做几道题练练手，就能把它拿下，让它成为咱们数学学习中的得力助手！。

对数的运算学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识点一 对数运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 知识点二 换底公式1．log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．2．对数换底公式的重要推论：(1)log a N ＝1log N a (N >0，且N ≠1；a >0，且a ≠1)；(2)log n ma b ＝m nlog a b (a >0，且a ≠1，b >0)；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a >0，b >0，c >0，d >0，且a ≠1，b ≠1，c ≠1)． 预习小测 自我检验1．计算log 84＋log 82＝________. 答案 12．计算log 510－log 52________. 答案 13．(1)lg 10＝________；(2)已知ln a ＝0.2，则ln ea ＝________.答案 (1)12 (2)0.84.log 29log 23＝________. 答案 2一、对数运算性质的应用 例1 计算下列各式： (1)log 53625；(2)log 2(32×42)； (3)log 535－2log 573＋log 57－log 595.解 (1)原式＝13log 5625＝13log 554＝43.(2)原式＝log 232＋log 242＝5＋4＝9.(3)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2. 反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 跟踪训练1 计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9－35lg 27lg 81－lg 27.解 (1)原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 5－lg 2＋2lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1.(2)原式＝lg 3＋45lg 3－910lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45－910lg 3(4－3)lg 3＝910. 二、对数换底公式的应用例2 (1)计算：(log 43＋log 83)log 32＝________. 答案 56解析 原式＝⎝⎛⎭⎫1log 34＋1log 38log 32 ＝⎝⎛⎭⎫12log 32＋13log 32log 32 ＝12＋13＝56. (2)已知log 189＝a ,18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示) 解 因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(2×18)＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .延伸探究若本例(2)条件不变，求log 915.(用a ，b 表示) 解 因为18b ＝5，所以log 185＝b . 所以log 915＝log 1815log 189＝log 18(3×5)log 189＝log 183＋log 185a ＝log 189＋ba＝1218log 9b a+＝12log 189＋b a＝12a ＋b a ＝a ＋2b 2a.反思感悟 利用换底公式化简与求值的思路跟踪训练2 (1)log 89log 23的值是( )A.23B.32 C ．1 D ．2 答案 A解析 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数， 即log 89log 23＝lg 9lg 8lg 3lg 2＝2lg 33lg 2·lg 2lg 3＝23. 方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数， 即log 89log 23＝log 29log 28log 23＝2log 233log 23＝23. (2)计算：log 52·log 79log 513·log 734.解 原式＝log 52log513·log 79log 734212211233log 9log 23log 3==⋅＝－12·log 32·3log 23＝－32.三、对数的综合应用例32018年我国国民生产总值为a 亿元，如果平均每年增长8%，估计约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍？(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)解 设经过x 年后国民生产总值为2018年的2倍． 经过1年，国民生产总值为a (1＋8%)， 经过2年，国民生产总值为a (1＋8%)2， …，经过x 年，国民生产总值为a (1＋8%)x ＝2a ， 所以1.08x ＝2，所以x ＝log 1.082＝lg 2lg 1.08＝0.301 00.033 4≈9，故约经过9年后国民生产总值是2018年的2倍． 反思感悟 解决对数应用题的一般步骤跟踪训练3 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M (单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)满足e v ＝⎝⎛⎭⎫1＋Mm 2 000(e 为自然对数的底数，ln 3≈1.099)．当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)． 解 因为v ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm 2 000 ＝2 000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ， 所以v ＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)．故当燃料质量M 为火箭质量m 的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.1．计算：log 123＋log 124等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A2．若lg 2＝m ，则lg 5等于( ) A ．m B.1m C ．1－m D.10m答案 C 解析 lg 5＝lg102＝lg 10－lg 2＝1－m . 3．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3 D.12答案 C解析 原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 4．下列各等式正确的为( ) A ．log 23·log 25＝log 2(3×5) B ．lg 3＋lg 4＝lg(3＋4) C ．log 2xy＝log 2x －log 2yD ．lg nm ＝1n lg m (m >0，n >1，n ∈N *)答案 D解析 A ，B 显然错误，C 中，当x ，y 均为负数时，等式右边无意义． 5．计算：log 513·log 36·log 6125＝________.答案 2解析 原式＝lg 13lg 5·lg 6lg 3·lg 125lg 6＝－lg 3lg 5·lg 6lg 3·－2lg 5lg 6＝2.1．知识清单： (1)对数的运算性质． (2)换底公式． (3)对数的实际应用． 2．方法归纳：(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度．(2)利用结论log a b ·log b a ＝1，log n ma b ＝m n log a b 化简求值更方便．3．常见误区：要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆．1．lg 8＋3lg 5的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 答案 D解析 lg 8＋3lg 5＝3lg 2＋3lg 5＝3(lg 2＋lg 5)＝3. 2．如果lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ，那么( ) A ．x ＝ab 3c 5B ．x ＝3ab5cC ．x ＝a ＋3b －5cD ．x ＝a ＋b 3－c 3答案 A 解析lg a ＋3lg b －5lg c ＝lg a ＋lg b 3－lg c 5＝lgab 3c 5， 由lg x ＝lg ab 3c 5，可得x ＝ab 3c5.3．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2 D ．－a 2＋3a －1答案 A解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 4．计算log 225·log 322·log 59的结果为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 D解析 原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6. 5．若lg x －lg y ＝t ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y23等于( )A ．3t B.32t C ．t D.t2答案 A解析 lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23＝3lg x 2－3lg y 2 ＝3lg xy＝3(lg x －lg y )＝3t .6．lg 5＋lg 20的值是________． 答案 1解析 lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. 7．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________. 利用lg 2＋lg 5＝1化简求解对数值 答案 1解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10) ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1.8．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy ＝________.答案 4解析 因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，xy ＝(x －2y )2.由xy ＝(x －2y )2，知x 2－5xy ＋4y 2＝0， 所以x ＝y 或x ＝4y . 又x >0，y >0且x －2y >0， 所以舍去x ＝y ，故x ＝4y ，则x y ＝4.9．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg(xyz )；(2)lg xy 2z；(3)lg xy 3z；(4)lg x y 2z .解 (1)lg(xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z .(2)lg xy 2z ＝lg(xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z .(3)lg xy 3z ＝lg(xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z .(4)lgxy 2z ＝lgx －lg(y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z .10．计算下列各式的值：(1)log 535＋212log log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64； (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)．解 (1)原式＝log 535＋log 550－log 514＋21212log 2＝log 535×5014＋12log 2＝log 553－1＝2.(2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2×32)]÷log 64＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫log 6632＋log 62·(log 62＋log 632)÷log 622 ＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2log 62·log 63]÷2log 62 ＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1. (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92) ＝⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9 ＝⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝5lg 36lg 2×3lg 22lg 3＝54.11．方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是( ) A ．－2 B ．－2或5 C ．5 D ．3答案 C解析 原方程可化为log 3(x 2－10)＝log 3(3x )， 所以x 2－10＝3x ，解得x ＝－2，或x ＝5.经检验知x ＝5.12．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 23－lg ⎝⎛⎭⎫y 23等于( ) A ．3a B.32a C ．a D.a2答案 A解析 由对数的运算性质知，原式＝3(lg x －lg 2)－3(lg y －lg 2)＝3(lg x －lg y )＝3a . 13．若3x ＝4y ＝36，则2x ＋1y ＝________.答案 1解析 3x ＝4y ＝36，两边取以6为底的对数，得 x log 63＝y log 64＝2，∴2x ＝log 63，2y ＝log 64，即1y ＝log 62， 故2x ＋1y＝log 63＋log 62＝1. 14．若x log 32＝1，则4x ＋4－x ＝________. 答案829解析 因为x ＝1log 32＝log 23， 所以4x＋4－x ＝22x ＋2－2x ＝22log 32＋22log 32－＝22log 32＋22log 32－＝9＋19＝829.15．若ab >0，给出下列四个等式： ①lg(ab )＝lg a ＋lg b ； ②lg ab ＝lg a －lg b ；③12lg ⎝⎛⎭⎫a b 2＝lg a b ； ④lg(ab )＝1log ab 10.其中一定成立的等式的序号是( )A ．①②③④B ．①②C ．③④D ．③答案 D 解析 ∵ab >0，∴a >0，b >0或a <0，b <0， ∴①②中的等式不一定成立；∵ab >0，∴a b >0，12lg ⎝⎛⎭⎫a b 2＝12×2lg a b ＝lg a b， ∴③中等式成立；当ab ＝1时，lg(ab )＝0，但log ab 10无意义， ∴④中等式不成立．故选D.16．已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.解 ∵log 23＝a ，则1a＝log 32，又∵log 37＝b ， ∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1.。

对数换底公式推论好的，以下是为您生成的关于“对数换底公式推论”的文章：在咱们学习数学的这个大旅程中，对数换底公式及其推论就像是隐藏在数字丛林里的神秘宝藏，得用心去找，还得仔细琢磨才能真正搞懂。

咱先来说说啥是对数换底公式。

这就好比你在不同的度量衡系统里转换单位一样。

比如说，你熟悉的是以 10 为底的常用对数，可有时候题目给你的却是以其他数为底的对数，这时候对数换底公式就派上用场啦。

公式是这样的：logₐb = logₑb / logₑa （其中 a、b、e 都是正数，且 a≠ 1，e 通常取自然常数约 2.718）。

那它的推论又是咋来的呢？这就得好好琢磨琢磨啦。

就拿我之前给学生讲这部分内容的时候来说吧。

有个学生叫小明，这孩子特别聪明，就是有时候容易钻牛角尖。

我在黑板上写出对数换底公式的时候，他眼睛直勾勾地盯着，一脸疑惑。

我知道他心里在想：“这到底有啥用啊？”我就跟他们说：“同学们，咱们来假设一个实际的情况。

假如有一个细菌，它每过一小时数量就翻倍。

那经过 x 小时后，细菌的数量会是最初的多少倍呢？”这时候大家就开始七嘴八舌地讨论起来。

有的同学说，那就是 2 的 x 次方倍呗。

我说：“没错，那如果咱们要用对数来表示这个关系呢？”这时候大家就有点懵了。

我接着引导：“这时候咱们就可以用到对数换底公式啦。

假设咱们要用以 10 为底的对数来表示，那就是 log₁₀(2^x) = x log₁₀2 。

”这时候小明突然站起来说：“老师，我懂了，对数换底公式就是让我们能在不同的底数之间灵活转换，找到最方便计算和理解的方式！”我笑着点头，心里特别欣慰。

从这个小小的例子咱们就能看出来，对数换底公式推论的用处可大着呢。

比如说，当我们要比较两个不同底数的对数大小时，通过换底就能把它们变成相同底数的对数，这样比较起来就容易多啦。

再比如说，在解决一些复杂的数学问题或者物理问题时，可能会遇到各种各样底数的对数，这时候灵活运用对数换底公式及其推论，就能让问题变得清晰明了。

对数换底公式推导过程对数换底公式是高中数学中的一种重要公式，用于计算不同底数的对数之间的关系。

通过对数换底公式，我们可以将一个底数为a的对数转化为底数为b的对数，从而简化计算。

对数是指数运算的逆运算，对数换底公式是将底数不同的对数互相转化的一种方法。

换底公式的一般表达式为：logₐb = logₓb / logₓa，其中logₐb表示以a为底，b的对数，logₓb表示以x为底，b的对数。

对数换底公式的推导过程如下：假设对数换底公式为：logₐb = logₓb / logₓa，我们需要证明它的正确性。

我们将底数为a的对数表示为以x为底的对数：logₐb = logₓb / logₓa。

假设logₓa = m，那么x^m = a。

然后，将底数为b的对数表示为以x为底的对数：logₓb = logₓb / logₓa。

假设logₓb = n，那么x^n = b。

接下来，我们将x^m = a代入logₓb = logₓb / logₓa中得到：logₓb = logₓb / m。

将m移到等号右边，得到：m = logₓb / logₓa。

再将x^n = b代入logₐb = logₓb / logₓa中得到：logₐb = n / logₓa。

将n移到等号右边，得到：n = logₐb * logₓa。

将m = logₓb / logₓa和n = logₐb * logₓa代入logₓb = logₓb / m 和logₐb = n / logₓa中，得到：logₓb = logₓb / (logₓb / logₓa) = logₐb * logₓa / logₓb。

化简得到对数换底公式：logₐb = logₓb / logₓa。

通过对数换底公式，我们可以将求解一个底数为a的对数问题转化为一个底数为b的对数问题，从而简化计算。

对数换底公式在解决各种数学问题中具有广泛的应用，特别是在指数和对数的运算中起到了重要的作用。

对数换底公式推导对数换底公式是一种有用的数学公式，可以快速从一种底数（如2）更改为另一种底数，以便解决复杂的数学问题。

对数换底公式可以起到辅助解决这些问题的作用，也可以用于各种复杂的数学演算。

本文将结合实例来加深对换底公式的理解，并讨论推导过程。

对数换底公式的推导首先，给出对数换底公式的通式：logaX = logbX/logbA其中，“logaX”表示以a为底的X的对数，“logbX”表示以b为底的X的对数，“logbA”表示以b为底的A的对数。

这个公式可以用来换算出任意一种底数下的任意一个数的对数。

要推导出这个公式，需要考虑两个步骤：第一步：以a为底，将X的对数表示为幂函数，即：X = A^(logaX)第二步：以b为底，将X的对数表示为幂函数，即：X = B^(logbX)结合上面两个步骤，得到：A^(logaX) = B^(logbX)将A和B都取以b为底的对数，得到：logbA^(logaX) = logbB^(logbX)化简得到：logbA * logaX = logbB * logbX从而得到：logaX = logbX/logbA实例验证下面利用实例来加深对换底公式的理解。

假设现在有个数为1024，以2为底的对数是10，问它以8为底的对数（log81024）是多少？解：根据换底公式，log81024=log210/log28=10/3=3.33得出结论：log81024=3.33结论本文介绍了对数换底公式的推导过程，并利用实例加深了读者对该公式的理解。

由于换底公式可以方便地从一种底数（如2）更改为另一种底数（如8），因此在解决各种复杂的数学问题时，可以起到辅助解决这些问题的作用。

对数换底公式(二)
对数换底公式
一、定义
对数换底公式是指将一个对数的底换成另一个底的公式。

对于任
意正数a、b和c，且a≠1，b≠1，c≠1，对数换底公式可以表示为：loga b = logc b / logc a
二、公式解释及示例
1.对数换底公式可以用来计算不同底数下的对数值。

例
如，若要计算以3为底的对数7的值，可以利用对数换底公式进
行转换：
log3 7 = log10 7 / log10 3 ≈
这里利用了常用对数（底数为10）进行计算。

2.对数换底公式也可以用来转换为以e为底的自然对数。

例如，若要计算以e为底的对数8的值，可以利用对数换底公式
进行转换：
ln 8 = loge 8 = log10 8 / log10 e ≈
这里利用了常用对数和自然对数之间的换底关系。

3.另外，对数换底公式还可以用于解决一些复杂的指数
方程。

例如，要求解方程x^log5 2 = 3的解x，可以利用对数换底公式进行转换：
x^log5 2 = 3
logx (x^log5 2) = logx 3
log5 2 * logx x = logx 3
logx x = logx 3 / log5 2
x = 3^(logx 3 / log5 2)
这里利用对数换底公式将指数方程转化为对数方程，从而解得x的值。

以上是对数换底公式的相关公式及示例解释，希望对你的学习有所帮助。