换底公式的五个推论及其证明

换底公式的推导过程摘要：一、换底公式简介1.什么是换底公式2.换底公式的应用场景二、换底公式的推导过程1.指数函数的定义2.对数函数的定义3.换底公式推导三、换底公式在实际问题中的应用1.常见函数的换底计算2.实际问题中的换底应用正文：一、换底公式简介换底公式，又称换底对数公式，是数学中一种重要的公式。

它可以将一个以某个底数为底的指数函数或对数函数转换为以任意底数为底的指数函数或对数函数。

换底公式广泛应用于各种数学问题，尤其是涉及到对数和指数运算的问题。

二、换底公式的推导过程1.指数函数的定义：设a>0 且a≠1，函数f(x)=a^x (x∈R)，称为以a 为底的指数函数。

2.对数函数的定义：设a>0 且a≠1，函数g(x)=log_a x (x>0)，称为以a 为底的对数函数。

3.换底公式推导：设y=f(x)=a^x，我们想要找到一个与f(x) 等价的函数，即h(x)=b^x，其中b 为任意正实数且b≠1。

我们可以通过对f(x) 取对数，然后用g(x) 表示，即：log_b y = log_b (a^x) = x * log_b a这样我们就得到了h(x) = b^x，即：h(x) = b^(x * log_b a)因此，我们可以用h(x) 替代f(x)，使得以b 为底的指数函数与以a 为底的指数函数等价。

三、换底公式在实际问题中的应用1.常见函数的换底计算：在实际问题中，我们常常需要将一个函数表示为另一种底数的函数。

例如，将自然指数函数表示为以2 为底的指数函数，可以使用换底公式：2^x = e^(x * log_e 2)2.实际问题中的换底应用：在物理学、化学和工程等领域，换底公式经常用于计算各种物理和化学常数的对数。

例如，在计算气体定律问题时，我们需要计算气体的体积、温度和压强等参数的对数，这时可以使用换底公式将底数为自然常数e 的对数转换为底数为任意正实数的对数，以便进行计算。

换底公式推导过程如下：
换底公式：$log_{b}a=log_{c}a \div log_{c}b$，其中$c>0$且$c \neq 1$。

证明：设$log_{b}a=x$，则$b^{x}=a$。

同时，设$log_{c}a=y$，则$c^{y}=a$。

因为$c^{x}=a$，所以有$c^{x}=c^{y}$，根据指数函数的性质可知，当底数相等时，指数相等。

所以$x=y$，即$log_{b}a=log_{c}a \div log_{c}b$。

换底公式在各种数学、物理、工程领域都有广泛的应用。

拓展资料
换底公式是高中数学常用对数运算公式，可将多异底对数式转化为同底对数式，结合其他的对数运算公式一起使用。

计算中常常会减少计算的难度，更迅速的解决高中范围的对数运算。

通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底的自然对数或者是转换为以10为底的常用对数，方便运算；有时也通过用换底
公式来证明或求解相关问题；
在计算器上计算对数时需要用到这个公式。

例如，大多数计算器有自然对数和常用对数的按钮，但却没有[log2]的。

要计算，你只有计算（或，两者结果一样）；
在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式。

例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a 为底b为真数的对数函数，只有以常用对数（即以10为底的对数）或自然对数（即e为底的对数）。

此时就要用到换底公式来换成以e 或者10为底的对数，表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而处理某些实际问题。

三角函数没有换底公式一说，肯定是对数的换底公式：
log换底公式是：loga(N)=logb(N)/logb(a)。

证明：loga(N)=x，则a^x=N，两边取以b为底的对数，
logb(a^x)=logb(N)，xlogb(a)=logb(N)，x=logb(N)/logb(a)，故此，loga(N)=logb(N)/logb(a)。

换底公式：logb(c)=loga(c)/loga(b) 可将不一样底的对数换为同底的对数 (括号前为底数，括号内为真数)如：log3(5)=lg5/lg3 (换为经常会用到对数)log3(5)=ln5/ln3 (换为自然对
数)log8(9)=log5(9)/log5(8) (换为任意数为底的对数，可将5换为任意正数)期望对你有很大帮助
log以a为底b的对数-loga(b）-=logc(b)/logc(a)也可写
lg(b)]/lg(a)其实就是常说的log以10为底b的对数。

换底公式是高中数学经常会用到对数运算公式，可将多异底对数式转化为同底对数式，结合其他的对数运算公式一起使用。

计算中经常会减少计算的难度，更快速的处理高中范围的对数运算。

换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式：log b N ＝log a N log a b . 证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边均取以a 为底的对数，得log a b x ＝log a N ，∴x log a b ＝log a N .∴x ＝log a N log a b ，即log b N ＝log a N log a b . 二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 (1)计算：log 89·log 2732；(2)求证：log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决.解 (1)换为常用对数，得log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝23×53＝109.(2)由换底公式，得log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝log a d .评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决.2.知值求值型例2 已知log 1227＝a ，求log 616的值.分析 本题可选择以3为底进行求解.解 log 1227＝log 327log 312＝a ，解得log 32＝3－a 2a . 故log 616＝log 316log 36＝4log 321＋log 32＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝4(3－a )3＋a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 219，B ＝1log 2π＋1log 5π，试比较A 与B 的大小.分析 本题可选择以19及π为底进行解题.解 A 换成以19为底，B 换成以π为底，则有A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360＜2，B ＝log π2＋log π5＝log π10＞log ππ2＝2.故A ＜B .评注 一般也有倒数关系式成立，即log a b ·log b a ＝1，log a b ＝1log b a .。

对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a 丰 1，M > 0， N > 0 有:log a (MN) Jog a M gN ⑴ 蛰lo (2)log.M n 二 nlog a M(n R) (3)、新授内容: 1•对数换底公式:证明：设 log a N = x ，贝U a x= N -两边取以m 为底的对数：log m a x= log m N = x log m a = log m N2•两个常用的推论① log a b log b a =1 , logblogcloga" * ②log a mb " = ^log a b ( a, b > 0 且均不为 1)・m证：① log a b log b a == 1 亠 lga lg b三、讲解范例:lOg a Nlog m N log m a(a > 0 ,a 丰 1 ， m > 0 ,m 丰 1,N>0) *从而得: log m N x =log m alog a Nlog m N log m a② log a m b n_ lgb n = nig b lga mmlga弋log ab例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 解：因为log 2 3 = a ，则1log 3 2 , 又/log 3 7 =b,a •'•log 42 56log 3 56 log 342 log 3 7 3 log 3 2 log 3 7 log 32 1ab 3 ab b 1例2计算：①51-log。

/log 4 3 log 9 2 - log 1 4322解: ①原式55叫.23 5r log5-5 34=153 ②原式=~log 232log 32x, y,z (0,::)且3x=4y=111求证+ ：；2x 2y z例3设 1 =6z =k =4y 1 :设 3x 6z十彳log 2 2比较3x,4y,6z 的大小-证明 •/x, y, z (0, ::) /.k 1 取对数得:yJ gkz=3 lg4lg6••丄丄 x 2y _ lg3 . lg4 _lgk 2lgk 2lg3 lg4 2lgk 2lg3 2lg22lgklg6 lgk3 23—(浜—)lgk 二 lg4 lg6^lg81lgk lg3lg464 lg klg -81::: 0 lg3lg4•'•3x ：： 4y又：4y-6z=(二lg4 lg6 lg k lg -96、「 lg36 -lg64 16小)lg klg k16：： 0lg2lg6lg2lg6•'4y ::: 6z•'•3x ::: 4y ::: 6z .例 4 已知 log a x= log a C+b ，求 x.分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a C 移到等式左端,或者将b 变为对数形式• 解法由对数定义可知： 乂二才叫小口吋a b=c a b. 解法二：x由已知移项可得log a x-log a c =b ，即log a b cx b b由对数定义知：a • x 二c a •c解法三：b=log a a b log a x = log a c Tog a a b = log a c a b . x=ca b四、课堂练习:①已知 log 18 9 = a , 18 = 5 ,用 a, b 表小 log 36 45解：••• 18 log 18 9 = a /.log 18 —1 -log 18 •log 182 = 1 _a••• 18b= 5 • log 185 = bl o g 8 9 l o g 8 5 a b 1 l o g 8 2 2 - a②若 log 8 3 = p , log 3 5 = q ,求 lg 5log 36 45log i8 45 log i8 36三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、课后作业：1 .证明：log ax =1 log ablog ab x证法 1:设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r贝U ： x=a px=(ab)q=a q b qb=a r•a P= (ab)q = aq(1 r)从而 p = q(1 ■ r)•••q=0 •- =1 r 即:log a x= 1 log a b (获证) q log ab xlog a x log x ab 证法2:由换底公式 左边=- - log a ab = 1 log a b =右边 log ab x log x a2•已知 lo g a ! b 1 = lo g a 2 b2 = = log a n bn ='求证：Sg a^ a n (b 1b2bn)二，证明：由换底公式 业二眶二•…二皿二■由等比定理得:lg a 1 lg a 2lg a .lg d +lg b 2 + …+lgb n _ ? . lg(db2…b n )lga 1 lga 2 lg a nlg(a£2 a n )•log a 1a 2 a n 隔b n )巒解：T log 8 3 = p•」og 23 3= P =■ log 2 3 = 3 p =• log 3 21 3p又 v log 3 5 二 qlog 3 5 log 3 5log 310 log 3 2 log 353pq 1 3pqlg(a1a2 a n)THANKS !!! 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。

对数换底公式推导过程及总结
对数换底公式是解决不同底数下对数之间的转换问题的公式。

在数学中，对数换底公式是一个非常重要且常用的公式，它可以简化对数计算的过程，提高计算的效率。

下面我们将介绍对数换底公式的推导过程及总结。

对数换底公式的推导过程如下：
假设a、b为任意的正数且a≠1，我们需要推导loga(b)和logc(b)之间的关系，其中c是任意的正数且c≠1。

首先，我们知道对数的定义：loga(b)表示以a为底，b的对数。

所以有以下等式：
b = a^(loga(b))
接着，我们将b表示为以c为底的对数，即：
b = c^(logc(b))
将上面两个等式相等，得到：
a^(loga(b)) = c^(logc(b))
两边取对数，分别以a和c为底，得到：
loga(b) * loga(a) = logc(b) * logc(c)
由对数的定义可知，loga(a) = 1，logc(c) = 1，所以上式化简为：
loga(b) = logc(b) / logc(a)
这就是对数换底公式的推导过程。

总结一下对数换底公式：
对数换底公式的表达式为：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a、b为任意的正数，a≠1，c为任意的正数，c≠1。

对数换底公式的应用非常广泛，可以简化对数计算的过程，特别是在解决实际
问题或进行数学推导时，对数换底公式可以大大简化计算的复杂度，提高计算的效率。

通过对数换底公式的推导过程和总结，我们更深入地理解了对数的性质和应用，也为我们在数学计算中更灵活地运用对数提供了有力的工具和方法。

希望以上内容对您有所帮助。

对数函数的换底公式对数函数是高中数学中一个极为重要的概念。

它在代数、微积分、统计学等多个数学领域都有广泛的应用。

而换底公式则是对数函数的基本技巧之一，它可以将不同底数的对数互相转换。

在本文中，我们将详细解释对数函数的换底公式，探讨它的本质和应用。

一、对数函数的定义对数函数是指以某个正数作为底数，把另一个正数表示为指数的函数。

例如，以2为底数的对数函数，即为log2(x)，表示x可以表示成2的多少次方。

对数函数与指数函数是互逆的，即x=ay当且仅当y=loga(x)。

二、对数函数的换底公式在数值计算中，往往需要将不同底数的对数进行比较或者运算，这就需要用到换底公式。

对于任何正数a,b,c(a≠1,b≠1)，下面的式子成立：loga(b) = logc(b) / logc(a)这个式子就是对数函数的换底公式。

它的意思是，如果要把以底数c表示的对数logc(b)转换成底数a，就可以用logc(a)作为“比例系数”，乘以logc(b)即可。

例如，要求log2(5)的值，但是我们只知道以10为底的log10(2)和log10(5)的值。

那么根据换底公式，可以得到：log2(5) = log10(5) / log10(2)由于log10(5)和log10(2)可以通过计算器或者查表得到，因此可以通过以上公式求出log2(5)的值。

三、换底公式的证明换底公式背后的数学原理，涉及到对数函数的基本性质和指数函数的运算法则。

下面是换底公式的一个简单证明：首先，不难证明对数函数满足以下的基本性质：1. 对于任何正数a,b(a≠1)，loga(ab) = loga(a) + loga(b)2. 对于任何正数a,b,c(a≠1,b≠1)，loga(b/c) = loga(b) - loga(c)接下来，假设要将logc(b)转换为loga(b)。

可以先将c的指数表示为以a为底的指数，即：c = a^p则有：loga(c) = p也就是说，loga(c)和p之间的关系可以用指数函数表示。