6-1 求图示桁架AB 、AC 的相对转角，各杆EA 为常量。
解：（1）实状态桁架各杆的轴力如图（b ）所示。
(b)(a)N(d )(c)题6-1N N（2）建立虚设单位力状态如（c ）所示,求AB 杆的转角。
1113(2)82i P iAB i i P a P a P a N N l P a a a E A EA EA EA EAϕ⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅==++⨯=∑（↺）（3）建立虚设单位力状态如（d ）所示,求AC 杆的转角。
113(2)()(72i P i AC i iP a P a N N lPa a E A EA EA EAϕ⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅==+⨯=∑（↺）故，AB 、AC 的相对转角为两杆转角之差：8(7(10.414AB AC P P P PEA EA EA EAϕϕϕ+-=-=-==-（夹角减小）6-2 求半圆曲梁中点K 的竖向位移。
只计弯曲变形。
EI 为常数。
方法一 解：（1）荷载作用下的实状态的约束反力如图（a ）所示。
以任意半径与水平坐标轴的顺时针夹角为自变量，其弯矩方程为：sin (0)P M θθπ=-≤≤Pr（2）建立虚设单位力状态如（b ）所示，其弯矩方程为：[]1cos )(0)2211cos()cos )()222i M πθθππθθθπ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-=≤≤⎪⎩(r -r r -r (r +r(a)题6-2（3）积分法求半圆曲梁中点K 的竖向位移。
20233220022311cos )(sin )cos )(sin )2211cos )sin cos )sin sin sin 2)sin sin 2)2222cos 2i V Pk Pr Pr M M ds rd rd EIEI EI Pr Pr d d d d EI EI Pr EI πππππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⋅-⋅-⋅∆==+⎡⎤⎡⎤=-⋅+⋅=-+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(r -r (r +r (-(+(-(+(-11320211cos 2)cos cos 2)442Pr EI πππθθθ⎡⎤⎢⎥+-+=-↑⎢⎥⎣⎦（）( 方法二：本题也可以只算纵向对称轴左边，再乘2。
题6-2(a)2033220033201sin )(Pr cos )221sin )cos cos sin 2)21sin cos 2)42i VP k M M ds rd EI EIPr Pr d d EI EI Pr Pr EI EI ππππθθθθθθθθθθθ⋅-⋅∆===-⋅=-=-+=-↑∑⎰⎰⎰⎰（）(r -r (-(-(1 6-3 求梁的自由端的挠度。
EI 为常数。
方法一 ：（积分法） 解：（1）荷载作用的实状态,以及坐标如图（a ）,其弯矩方程为：()21(0)2M x qlx qx x l =--≤<（2）建立虚设单位力状态,以及坐标如图（b ）所示,其弯矩方程为：()(0)i M x xx l =-≤<（3）积分法求梁自由端的竖向位移VB ∆。
方法二：（图乘法）6-4 求图示梁支座B 左右两侧截面的相对转角。
EI =常数。
题6-4M i (c)(b)M P解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b ）所示。
（2）建立虚设单位力状态, 其弯矩图如图（c ）所示。
（3）图乘梁（b ）、（c ）求自由端的竖向位移VB ∆223121115()38224248i iB y ql ql ql l l EI EI EIωϕ⋅==-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=∑（↺↻） (b)(a)题6-32023043401()()21)21111)3824li V PB l lx qlx qx MM dx dxEIEIq lx x dx EI q ql lx x EI EI -⋅--⋅∆===⋅==+=↓∑⎰⎰⎰（）(+()↓题6-3M i 图M P (a)(b)(c)6-5求图示悬臂梁的自由端的挠度。
523.8410kN m EI =⨯⋅。
(a)(c)(m)M i 图(kN ·M P 图(b)解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b ）所示。
（2）建立虚设单位力状态, 其弯矩图如图（c ）所示。
（3）图乘梁（b ）、（c ）求自由端的竖向位移VC ∆3511122112(404(84)480(84)(4044)(4102)22333365606560 5.6910(m) 5.69mm()33 3.8410V i iC y EI EI EI EI EI ω-⋅⎡⎤∆==⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦===⨯=↓⨯⨯∑6-6 求简支梁中点K 的竖向位移。
EI =常数。
M i(b)M P题6-64解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b ）所示。
（2）建立虚设单位力状态, 其弯矩图如图（c ）所示。
（3）图乘梁（b ）、（c ）求自由端的竖向位移VK ∆22241311122()()()3164222883232848V i iky ql l l l ql l l ql l ql EI EI EI EI EIω⋅∆==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=↓∑6-7 求图示刚架结点K 的转角。
E =常数。
题6-7(b)(c)解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b ）所示。
（2）建立虚设单位力状态, 其弯矩图如图（c ）所示。
（3）图乘梁（b ）、（c ）求自由端的竖向位移K ϕ222233333111111121()()()()34422434423438425()96896192192i iK y ql ql ql ql l l l l EI E I EI E I E I ql ql ql ql ql EI EI EI EI EIωϕ⋅==-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅=-+++=↵∑6-8求图示三铰刚架D 、E 两点的相对水平位移和铰C 两侧截面的相对转角。
EI =常数。
解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b ）所示。
（2）建立虚设单位力状态, 其弯矩图如图（c ）、（d ）所示。
（3）图乘梁（b ）、（c ）求自由端的竖向位移HDE ∆241112()()()242864H i iDEy l ql ql l EI EI EIω⋅∆==-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-←→∑（4）图乘梁（b ）、（d ）求铰C 两侧截面的相对转角C ϕ 方法一：22231112(1)21(1)388388i iC y ql ql ql ql l l l EI EI EI EI EIωϕ⋅==-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=-∑（↻↺） 方法二：实状态时C 处剪力为零223111(1)2(1)2383828i iC y ql ql l ql l EI EI EI EIωϕ⋅==-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=-∑（↻↺） 6-10 求图示刚架结点K 的竖向位移。
62310kN m EI =⨯⋅。
题6-10解：（1）荷载作用的实状态,其弯矩图如图（b ）所示。
（2）建立虚设单位力状态, 其弯矩图如图（c ）所示。
（3）图乘梁（b ）、（c ）求自由端的竖向位移VK ∆3611111221236012618063(6180)9(1806)(1212)(645)93322233231728017280 5.4910() 5.49()310V i i C y EI EI EI E I EI EI m mm EI ω-⋅∆==-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯⨯⋅=-=-=-⨯=-↓⨯∑6-15 求图示组合结构K 的竖向位移。
EA =常数、EI =常数。
(a)12a21(f )12P2IPP 、P2PPa2题6-15212PP221解：（1）荷载作用的实状态如图(a) 所示；用I-I 截面切开三链杆取右边为研究对象如图(b) 所示，并求出此三链杆的轴力；其弯矩图如图（d ）所示。
（2）建立虚设单位力状态如图(e) 所示；切开三链杆取右边为研究对象如图(f) 所示，并求出此三链杆的轴力；其弯矩图如图（h ）所示。
（3）图乘梁（b ）、（c ）求自由端的竖向位移VK ∆111()()1122()334i V i i P Ky N N EI EA EI EI EA EA EA EA ω⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⋅⋅∆=+=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯+++=-↑∑∑梁式杆链杆222222（）（）2222P P P a a aPa a Pa a Pa a a6-17图示三铰刚架内部温度升高t o C ，材料的线膨胀率为α。
求中间铰C 的竖向位移。
各杆截面高度h 相同，EI =常数。
题6-17图(b)h解：（1）实状态如图（a）所示，刚架内外侧温度差't t C=o，轴线温度升高02tt=Co（2）建立虚设单位力状态,1124N N N=-==-左右梁, 其弯矩图如图（b）所示。
（3）图乘梁（a）、（b）求中间铰C的竖向位移'2211112()()(22)222424242535335()8888/108i iVC N Mttht t t l l ll l lhtl tl tl tl tlh lααωωαααααααα∆=±±⨯=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=--=--=-↑∑∑6-20 图示桁架中杆件AK在制造时比原设计长度做长了5mm，求由此引起的K点的水平位移。
题6-20图解：（1）实状态如图（a）所示，桁架中AK杆在制造时比原设计长度做长了5mm。
（2）建立虚设单位力状态,先求出反力，再利用结点法求出该状态AK杆的轴力。
（3）图乘梁（a）、（b）求中间铰C的竖向位移5 5.5355()()VC iN∆=±⋅∆==→∑mm6-22 图示刚架支座A发生水平位移1∆、竖向位移2∆及顺时针向转角φ，求由此引起的刚结点K的水平位移。
φ(a)△M解：①实位移状态如图6-22（a ）所示。
②沿水平方向虚设单位力1=i P ，虚力状态如图6-22（b ）所示。
1()01A A A X Y M l l =←==⨯=（↺）③由刚体的可能功方程，有：110H k A A X M ϕ⋅∆-⋅∆-⋅=1H C l ϕ∆=∆+→（）。
