高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件

鸡西市第十九中学高一数学组

1 《2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义》专题(二)

2018年（ ）月（ ）日 班级 姓名

不求难题都做，先求中低档题不错。

1． 已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝2，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是 ( )

A．0 B．a C．b D．c

2． 若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( )

A．30° B．60° C．120° D．150°

3． 已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3a－b|等于( )

A．7 B．6 C．5 D．4

4． 在边长为1的等边△ABC中，设BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于( )

A．－32 B．0 C.32 D．3

5． 在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP→＝2PM→，则PA→·(PB→＋PC→)等于 ( )

A．－49 B．－43 C.43 D.49

6． 设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝________.

7． 已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝12，且a·b＝12.

(1)求向量a，b的夹角；

(2)求|a－b|.

8． 设n和m是两个单位向量，其夹角是π3，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．

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2 9． 若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－a·aa·bb，则向量a与c的夹角为 ( )

A．0 B.π6 C.π3 D.π2

10．已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则( )

回忆向量夹角概念

已知两个非零向量 和 ，作 ， ， OAa

OBb

则∠AOB= θ(0º≤θ≤180º)叫做向量 与 的夹角. abab

θ

O ab

A

B 新课导入

当θ= 0º时， 与 同向； ab

当θ= 180º时， 与 反向； ab

当θ= 90º时， 与 垂直，记作 . ab

ababab

a

b2.4.1 平面向量数量积的物

理背景及其含义

θ

O ab

A B

了解平面向量数量积的物理

背景，理解数量积的含义及其

物理意义；  知识与能力：

教学目标

 过程与方法

体会平面向量的数量积与向量投

影的关系，理解掌握数量积的性质和

运算律，并能运用性质和运算律进行

相关的判断和运算；

 情感态度与价值观

体会类比的数学思想和方法，

进一步培养学生抽象概括、推理论

证的能力.

 教学重点：

 教学难点： 平面向量数量积的概念、用平面向

量数量积表示向量的模及夹角；

平面向量数量积的定义及运算律

的理解，平面向量数量积的应用

. 教学重难点

问题（1）功的数学本质是什么？

（2）尝试练习

.

一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重

力做功 的大小。

①、在水平面上位移为10米；

②、竖直下降10米；

③、竖直向上提升10米;

④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米. 研究数量积的物理意义

④、沿倾角为30°的斜面向上运动10米

.



cos(18030

)

W

G

S

WGS

WGS0W

②、竖直下降10米；

③、竖直向上提升

10米；

①、在水平面上位移为10米； sGs

G

s

G

s

G

||||cosWFs

θ

s F

如果一个物体在力 的作用下产生位

移

，那么力 所做的功为： FFS

FF

其中力和位移S是向量，是和S的夹角,

W是标量.

从力所做的功出发，我们引入向量“数

量积”的概念.

向量的数量积概念：

已知非零向量 与 ，我们把数量

叫作 与 的数量积（或内积），记作 ，即规

定： ||||cosabab

1 鸡西市第十九中学学案

2015年（ ）月（ ）日 班级 姓名

2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)

学习

目标 1．了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．2．掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义．

3．会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．

重点

难点 1．向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量．学习时必须透彻理解数量积概念的内涵．

2．向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，概念内涵更丰富，计算更复杂，实数乘法中的一些运算律在向量的数量积中已经不再成立，不宜作简单类比，照搬照抄．书写格式也要严格区分，a·b中的“·”不能省略.

【复习引入】两个向量的夹角

(1)如图，已知两个非零向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则 称作向量a和向量b的夹角，

记作〈a，b〉，并规定它的范围是 .在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝ ．

(2)当 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作 .

(3)如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝_________＝ .

【平面向量数量积的含义】

(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量_________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝_________，其中θ是a与b的夹角，θ∈[0，π]．

(2)规定：零向量与任一向量的数量积为 .

问题1 向量的数量积是一个数量，而不再是向量．

对于两个非零向量a与b.

当θ∈_________时，a·b>0；当_________时，a·b＝0，即a⊥b；

鸡西市第十九中学高一数学组

1 鸡西市第十九中学学案

2015年（ ）月（ ）日 班级 姓名

2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)

学习

目标 1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．

2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．

重点

难点 引进向量的数量积以后，考察一下这种运算的运算律是非常必要的．向量a、b的数量积a·b虽与代数中数a、b的乘积ab形式相似，实质差别很大．实数中的一些运算性质不能随意简单地类比到向量的数量积上来．例如，a·b＝0不能推出a＝0或b＝0；a·b＝b·ca＝c；(a·b)·c＝a·(b·c)也未必成立.

【向量的数量积(内积)】

_______________叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝__ ___．

_________叫做向量a在b方向上的投影，_________叫做向量b在a方向上的投影．

【向量数量积运算律的提出】

问题1 类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再判断正误(完成下表)：

运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误

交换律 ab＝ba

结合律 (ab)c＝a(bc)

分配律 (a＋b)c＝ac＋bc

消去律 ab＝bc(b≠0) ⇒a＝c

问题2 在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？各举一反例说明．

(a·b)c＝a(b·c)不成立，因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)，一般情况下不会成立．

a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c不成立，如图所示

【向量数量积的运算律】

已知向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律：

①a·b＝b·a(交换律)； ②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；