§2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

曹县三中高一数学导学案

第二章 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

学习目标：1. 理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义

2. 掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律

预习导航：

要求：在上课前认真阅读教材，完成导学案上的预习导航，并将不懂知识进行标注。

1. 平面向量的数量积的物理意义________________________________；

2. 平面向量的数量积定义 ;

3. 平面向量的数量积与向量投影的关系： ;

4. 数量积的几何意义 : ;

5. 数量积的性质

6. 数量积的运算律

探究问题（一）平面向量的数量积

1、给出有关材料并提出问题3：

（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。

（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：

①W（功）是 量，

②F（力）是 量，

③S（位移）是 量，

④α是 。

平面向量的数量积定义：

1. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.

（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.

（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c.但是ab = bc a = c

如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|

 ab = bc 但a  c (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc)

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.

【说明】：①实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量，不是向量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由cos的符号所决定；实数与向量的积是一个向量；

②两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；

③规定，零向量与任一向量的数量积是0；

④在实数中，若a0，且0ba，则0b；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0；

⑤已知实数a、b、c(0b)，则cacbba.但是ab=b·ca=c；

⑥在实数中，有)()(cbacba，但是(ab)·c  a·(bc)

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.

2. a在b方向上的投影：

规定：零向量与任何向量的数量积为_______

思考：

数量积是____，它的大小不仅和向量a与b的____有关，还和它们的____有关。

数量积的几何意义是

的范围 0°≤<90° =90° 0°<≤180°

a·b的符号

探究问题（二）数量积的运算性质 S F

α 曹县三中高一数学导学案

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.

1 ea = ae =|a|cos

2 ab  ab = 0

3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或aaa||

4 cos =||||baba

5 |ab| ≤ |a||b|

例1. 已知｜a｜＝5，｜b｜＝4， a与b的夹角是120°时，求a·b.

探究问题（三） 数量积的运算律：

（1）交换律： ；

（2）对数乘的结合律： ；

（3）分配律： .

3．分配律：(a + b)c = ac + bc

在平面内取一点O，作OA= a， AB= b，OC= c， ∵a + b （即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2

∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， ∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc

说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ

（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，

（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ

(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２

判断对错 （ ）

1.数量积的运算律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）

（1）交换律：abba 证明：设,ab夹角为，则||||cosabab，||||cosbaba，∴abba．

（2）数乘结合律：()()()ababab

证明：若0，此式显然成立.

若0，()||||cosabab， ()||||cosabab，

()||||cosabab，∴()()()ababab

若0，()||||cos()||||(cos)||||cosabababab，

()||||cosabab，

()||||cos()||||(cos)||||cosabababab．

∴()()()ababab

综上可知()()()ababab成立.

（3）分配律：()abcacbc．

在平面内取一点O，作OA=a, AB=b，OC=c，

∵ab（即OB）在c方向上的投影等于,ab在c

方向上的投影和，即：12||cos||cos||cosabab

∴12||||cos||||cos||||coscabcacb，∴()cabcacb

即：()abcacbc．

【说明】：（1）一般地，(ab)·c≠a·（b·c）

（2）a·c＝b·c，c≠0a＝b

（3）有如下常用性质：a2＝|a|2,(a＋b)2＝a2＋２ab＋b2

（a＋b）·（c＋d）＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d,  1 2

a b

A

B

O

ABC c 曹县三中高一数学导学案

2 向量的数量积不满足结合律

分析：若有（ab）c＝a（b·c），设a、b夹角为，b、c夹角为β，则(ab)c＝|a|·|b|cosα·c，a·(b·c)＝a·|b||c|cosβ，∴若a＝c，α＝β，则|a|＝|c|，进而有：（ab）c＝a·(b•c)，这是一种特殊情形，一般情况下不成立。举反例如下：

已知|a|＝１，|b|＝１，|c|＝2，a与b夹角是60°，b与c夹角是45°，

(ab)·c＝（|a|·|b|cos60°）·c＝21c，

a·(b·c)＝（|b|·|c|cos45°）a＝a

而21c≠a，故（ab）·c≠a·（b·c）

例2. 可以和实数做类比记忆数量积的运算律

变式：（1）(a+b)2=a2+2a·b+b2 （2）(a+b )·(a-b)= a2—b2

例3. 已知︱a︱=6，︱b︱=4, a与b的夹角为60°，求（a+2b ）·（a-3b）

例4. 互相垂直？与为何值时，向量不共线与已知babkakbabak,,4,3

课堂小结：1.这节课学到了什么 2.各小组表现如何

课堂练习： 下列各式：

（1）bababa

（2）baba

（3）cbcacba （4）cbacba

正确的个数为

课下作业：P108.1,2,3