高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学案(含解析)
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学必求其心得，业必贵于专精
- 1 - 2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量的数量积
[提出问题］
一个物体在力F的作用下产生位移s,如图．
问题1：如何计算这个力所做的功？
提示：W＝|s|｜F｜cos θ.
问题2:力F在位移方向上的分力是多少？
提示：｜F｜cos θ。
问题3：力做功的大小与哪些量有关?
提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．
[导入新知］
1．向量的数量积的定义
(1）两个非零向量的数量积：
已知条件 向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
定义 a与b的数量积（或内积)是数量|a｜｜b|cos θ
记法 a·b＝|a|｜b|cos θ
(2)零向量与任一向量的数量积：
规定:零向量与任一向量的数量积均为0。
2．向量的数量积的几何意义
（1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影为｜b｜cos θ。
②向量a在b的方向上的投影为｜a|cos θ.
（2）数量积的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a｜与b在a的方向上的投影|b｜cos θ的乘积．
［化解疑难］
透析平面向量的数量积
（1）向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab.
(2）两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定． 学必求其心得，业必贵于专精
- 2 - 设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
当θ＝0°时，cos θ＝1，a·b＝｜a|｜b｜;
当θ为锐角时，cos θ〉0,a·b>0；
当θ为钝角时，cos θ<0，a·b〈0；
当θ为直角时，cos θ＝0，a·b＝0;
当θ＝180°时，cos θ＝－1，a·b＝－｜a||b|。
平面向量数量积的性质和运算律
［提出问题］
已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角．
问题1：若a·b＝0，则a与b有什么关系?
提示：∵a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cos θ＝0,θ＝90°，a⊥b.
问题2：a·a等于什么?
提示:a·a＝|a|2cos 0°＝｜a｜2。
问题3：在什么条件下可求cos θ？
提示：已知a·b及|a｜|b|时，可得cos θ＝错误!。
［导入新知］
1．向量数量积的性质
设a与b都是非零向量， θ为a与b的夹角．
(1)a⊥b⇔a·b＝0.
（2)当a与b同向时，a·b＝｜a｜|b｜，
当a与b反向时，a·b＝－|a|｜b|.
(3）a·a＝|a|2或|a｜＝错误!＝错误!。
（4)cos θ＝错误!。
（5)|a·b｜≤|a|｜b｜.
2．向量数量积的运算律
(1）a·b＝b·a(交换律)．
(2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·(λb）（结合律）．
（3)（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律)．
［化解疑难]
辨析向量数量积与实数运算
（1）在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0。而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0。实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：
①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0,b≠0,但a⊥b。
(2)在实数运算中,若a,b∈R，则|ab｜＝|a|·|b｜，但对于向量a，b，却有｜学必求其心得，业必贵于专精
- 3 - a·b|≤|a｜｜b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝｜a|｜b｜｜cos θ｜，而｜cos θ｜≤1。
(3）实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a。在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c（a≠0)，则向量c,b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c（a≠0)不能得到b＝c.
(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b）·c不一定等于a·（b·c），这是由于（a·b）·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c）表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线．
向量数量积的运算
［例1］ (1)已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜＝4，｜b|＝2，求：①a·b; ②（a＋b）·（a－2b)．
（2）如图，设正三角形ABC的边长为错误!，AB＝c，BC＝a，CA＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
［解］ （1)①由已知得a·b＝｜a｜|b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.
②（a＋b）·(a－2b）＝a2－a·b－2b2＝16－（－4）－2×4＝12.
(2)∵｜a｜＝|b|＝|c｜＝2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝2×错误!×cos 120°×3＝－3。
[类题通法]
向量数量积的求法
（1）求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．
(2）根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
[活学活用]
1．（山东高考）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°,则错误!·错误!＝( )
A．－错误!a2 B．－错误!a2
C。错误!a2 D.错误!a2
答案：D
2．已知正方形ABCD的边长为2，分别求： 学必求其心得，业必贵于专精
- 4 - (1）AB·CD；(2）AB·AD；（3)DA·AC.
答案：（1)－4 （2)0 (3)－4
与向量的模有关的问题
［例2］ （1）已知向量a，b夹角为45°，且｜a｜＝1，|2a－b｜＝错误!,则｜b｜＝________。
（2)已知|a|＝2，｜b｜＝4，a，b的夹角为错误!，以a,b为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．
[解] (1)3错误!
(2)∵平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为｜a－b|，
∴｜a－b｜＝错误!＝错误!
＝ 错误!＝2错误!.
［类题通法]
向量模的常见求法
在求向量的模时,直接运用公式|a｜＝错误!，但计算两向量的和与差的长度用|a±b|＝错误!＝ 错误!.
［活学活用］
已知向量a,b满足|a|＝2，｜b|＝3,｜a＋b|＝4，求｜a－b|。
答案：错误!
两个向量的夹角和垂直问题
［例3] （1）（重庆高考)若非零向量a，b满足｜a｜＝错误!|b｜，且(a－b）⊥（3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A.错误! B.错误!
C.错误! D．π
（2）已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直,a－4b与7a－2b互相垂直,求a与b的夹角．
［解] (1）A
(2）由已知条件得 a＋3b·7a－5b＝0a－4b·7a－2b＝0，
即错误!
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2,代入①得a2＝b2，
∴|a|＝|b｜，
∴cos θ＝错误!＝错误!＝错误!. 学必求其心得，业必贵于专精
- 5 - ∵θ∈［0，π］，∴θ＝错误!.
［类题通法]
求向量a，b的夹角θ的思路
(1）求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝错误!，最后借助θ∈［0，π］，求出θ值．
(2)在个别含有｜a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．
［活学活用］
1．如果向量a和b满足|a｜＝1,|b|＝2,且a⊥（a－b），那么a和b的夹角θ的大小为( )
A．30° B．45°
C．75° D．135°
答案：B
2．已知|a｜＝3，|b｜＝2,向量a，b 的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直．
答案：m＝错误!时,c与d垂直
错误!
［典例］ 设两个向量e1，e2,满足｜e1｜＝2,｜e2｜＝1，e1与e2的夹角为错误!，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________．
［解析] 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角,得错误!〈0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简即得2t2＋15t＋7<0，
画出2t2＋15t＋7＝0的图象，如图．
若2t2＋15t＋7〈0，
则t∈错误!。
当夹角为π时，也有（2te1＋7e2)·(e1＋te2)〈0，
但此时夹角不是钝角，
设2te1＋7e2＝λ（e1＋te2），λ<0,可得 学必求其心得，业必贵于专精
- 6 - 错误!⇒错误!
∴所求实数t的取值范围是
错误!∪错误!.
[答案］ 错误!∪错误!
[易错防范]
1．本题易混淆两非零向量的夹角为钝角与两向量的数量积小于零的关系，忽视向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π时,也有数量积小于0的情况,从而得出t∈错误!的错误答案．
2．由于a·b<0包含了其夹角为180°的情况，a·b〉0包含了其夹角为0°的情况,在求解时应注意排除．
[成功破障]
已知同一平面上的向量a,b，c两两所成的角相等，并且｜a｜＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b＋c的长度为( ）
A．6 B。错误!
C．3 D．6或错误!
答案：D
[随堂即时演练］
1．下列命题：
（1)若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c;
(2）(a·b)c＝a(b·c)对任意向量a，b，c都成立；
（3)对任一向量a，有a2＝｜a｜2。
其中正确的命题有( ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案:B
2．若｜a｜＝4,|b｜＝6，a与b的夹角为135°，则a·(－b)等于（ ）
A．12 B．－12
C．12错误! D．－12错误!
答案：C
3．若｜a｜＝1，｜b｜＝2,c＝a＋b，且c⊥a,则向量a与b的夹角为________．
答案：120°
4．已知向量a，b的夹角为120°，｜a|＝1,|b｜＝3，则｜5a－b｜＝________。
答案：7
