高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

1 2.5 从力做的功到向量的数量积

整体设计

教学分析

前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.

图1

我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功W=|F||s|cosθ.

功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a²b=|a||b|cosθ.

这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.

向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.

三维目标

1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义,掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.

2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.

3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.

重点难点

教学重点:平面向量数量积的定义.

教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.

1 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

备课资料

一、向量的向量积

在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下:

两个向量a与b的向量积是一个新的向量c:

(1)c的模等于以a及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积;

(2)c垂直于平行四边形所在的平面;

(3)其指向使a、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a与b时,a按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b.

图5

向量a与b的向量积记作a×b.

设a与b两个向量的夹角为θ,则|a×b|=|a||b|sinθ.

在上面的定义中已默认了a、b为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则

a×b=0.

向量的向量积服从以下运算律:

(1)a×b=-b×a;

(2)a×(b+c)=a×b+a×c;

(3)(ma)×b=m(a×b).

二、备用习题

1.已知a,b,c是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( )

①|a·b|=|a||b|a∥b ②a与b反向a·b=-|a||b|

③a⊥b|a+b|=|a-b| ④|a|=|b||a·c|=|b·c|

A.1 B.2 C.3 D.4

2.有下列四个命题:

①在△ABC中,若AB·BC>0,则△ABC是锐角三角形;

②在△ABC中,若AB·BC>0,则△ABC为钝角三角形;

③△ABC为直角三角形的充要条件是AB·BC=0;

④△ABC为斜三角形的充要条件是AB·BC≠0.

其中为真命题的是( )

A.① B.② C.③ D.④

3.设|a|=8,e为单位向量,a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为( ) 2 A.43 B.4 C.42 D.8+23

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

互动课堂

疏导引导

1.力做功的计算

如图2-4-1,一个力f作用于一个物体使物体发生位移s.由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角θ,真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力,这个分力与物体位移距离的乘积才是力f做的功,即w=|s|·|f|cosθ.

图2-4-1

疑难疏引 f在物体前进方向上的分量,就是f在物体前进方向上的正射影的数量.

2.向量积数量积(内积)定义

(1)数量积(内积)定义

|a|·|b|·cos〈a,b〉叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉.

数量积定义中指明了平面向量数量积的运算程序和运算结果,即平面向量的数量积等于两向量模与其夹角的余弦的积,运算结果是一个实数,此数的符号由两向量夹角的余弦决定.

疑难疏引 ①当a≠0时,由a·b=0,不能推出b一定是零向量.②以一个向量与单位向量的数量积为例,其几何意义就是向量在单位向量上的正射影的数量.

(2)平面向量数量积的性质

根据向量内积定义,可得数量积有如下重要性质:

①如果e是单位向量,则a·e=e·a=|a|·cos〈a,e〉;

②a⊥ba·b=0且a·b=0a⊥b;

③a·a=|a|2或|a|=aa•;

④cos〈a,b〉=||||baba•;

⑤|a·b|≤|a|·|b|. 以上是两个向量内积的五条性质,性质②给出了两向量垂直的充要条件;性质③求向量长度,在向量的内积运算中经常用到;性质④求两向量夹角公式,体现了向量的内积与三角的联系.

3.b在a方向上的投影

如图2-4-2,OB=b,

OA=a,过B作BB1⊥OA,垂足为B1,则1OB就叫b在a方向上的投影,且1OB=|b|·cosθ.

图2-4-2

当θ∈(0,2)时,1OB＞0;

θ=2时,1OB=0;

θ∈(2,π)时,1OB＜0.

活学巧用

用心 爱心 专心 - 1 - §2.4.1 平面向量的数量积

【学习目标、细解考纲】

1.掌握平面向量数量积的意义；体会数量积与投影的关系。

2.正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律。

3.理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。

【知识梳理、双基再现】

1._______________________________________叫做ab与的夹角。

2.已知两个______向量ab与，我们把______________叫ab与的数量积。（或________）记作___________即ab＝______________________其中是ab与的夹角。______________________叫做向量ab在方向上的___________。

3.零向量与任意向量的数量积为___________。

4.平面向量数量积的性质：设ab与均为非空向量：

①ab___________

②当ab与同向时，ab＝________ 当ab与反向时，ab＝________，特别地，ab＝__________或a=___________。

③cos=___________

④ab______________

5. ab的几何意义：________________________________________。

6.向量的数量积满足下列运算律

已知向量abc，，与实数。

①ab＝___________（______律）

②ab＝___________

③a+bc＝___________

【小试身手、轻松过关】

1.已知a=4,b=2ab且与的夹角为120º，则ab=、___________。

2.已知ab＝12，且a=3,b=5则ba在方向上的投影为________。