鸡西市第十九中学高一数学组
1 《2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义》专题(二)
2018年（ ）月（ ）日 班级 姓名
不求难题都做，先求中低档题不错。
1． 已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝2，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是 ( )
A．0 B．a C．b D．c
2． 若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
3． 已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3a－b|等于( )
A．7 B．6 C．5 D．4
4． 在边长为1的等边△ABC中，设BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于( )
A．－32 B．0 C.32 D．3
5． 在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP→＝2PM→，则PA→·(PB→＋PC→)等于 ( )
A．－49 B．－43 C.43 D.49
6． 设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝________.
7． 已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝12，且a·b＝12.
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
8． 设n和m是两个单位向量，其夹角是π3，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
鸡西市第十九中学高一数学组
2 9． 若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－a·aa·bb，则向量a与c的夹角为 ( )
A．0 B.π6 C.π3 D.π2
10．已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则( )
鸡西市第十九中学高一数学组
1 鸡西市第十九中学学案
2015年（ ）月（ ）日 班级 姓名
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)
学习
目标 1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．
2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
重点
难点 引进向量的数量积以后，考察一下这种运算的运算律是非常必要的．向量a、b的数量积a·b虽与代数中数a、b的乘积ab形式相似，实质差别很大．实数中的一些运算性质不能随意简单地类比到向量的数量积上来．例如，a·b＝0不能推出a＝0或b＝0；a·b＝b·ca＝c；(a·b)·c＝a·(b·c)也未必成立.
【向量的数量积(内积)】
_______________叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝__ ___．
_________叫做向量a在b方向上的投影，_________叫做向量b在a方向上的投影．
【向量数量积运算律的提出】
问题1 类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再判断正误(完成下表)：
运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误
交换律 ab＝ba
结合律 (ab)c＝a(bc)
分配律 (a＋b)c＝ac＋bc
消去律 ab＝bc(b≠0) ⇒a＝c
问题2 在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？各举一反例说明．
(a·b)c＝a(b·c)不成立，因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)，一般情况下不会成立．
a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c不成立，如图所示
【向量数量积的运算律】
已知向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律：
①a·b＝b·a(交换律)； ②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；
1 鸡西市第十九中学学案
2015年（ ）月（ ）日 班级 姓名
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)
学习
目标 1．了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．2．掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义．
3．会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．
重点
难点 1．向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量．学习时必须透彻理解数量积概念的内涵．
2．向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，概念内涵更丰富，计算更复杂，实数乘法中的一些运算律在向量的数量积中已经不再成立，不宜作简单类比，照搬照抄．书写格式也要严格区分，a·b中的“·”不能省略.
【复习引入】两个向量的夹角
(1)如图，已知两个非零向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则 称作向量a和向量b的夹角，
记作〈a，b〉，并规定它的范围是 .在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝ ．
(2)当 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作 .
(3)如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝_________＝ .
【平面向量数量积的含义】
(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量_________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝_________，其中θ是a与b的夹角，θ∈[0，π]．
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为 .
问题1 向量的数量积是一个数量，而不再是向量．
对于两个非零向量a与b.
当θ∈_________时，a·b>0；当_________时，a·b＝0，即a⊥b；
1 2．4．1平面向量数量积的物理背景及其含义
温溪高中 徐佳
一、 背景分析
1、学习任务分析
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。
2、学生情况分析
学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是较难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点仍是数量积的概念。
二、教学目标
1.知识与技能：
掌握平面向量的数量积的定义、运算律及其物理意义。
2.过程与方法：
（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系。
（2）通过向量数量积定义的得出，体会简单归纳与严谨定义的区别。
2 （3）通过向量数量积分配律的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法。
3.情感、态度与价值观：
