高中数学 2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义学案 新人教a版必修4

1 §2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义

【学习目标】

1. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；

2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式.

【学习过程】

一、自主学习

（一）知识链接：如右图，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功 ，其中是F与s的夹角.

（二）自主探究：（预习教材P103—P105）

探究：平面向量数量积的含义

问题1：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？

1、平面向量数量积的定义：已知两个______向量ab与，我们把______________叫ab与的数量积。（或________）记作_________即ab＝___________________其中是ab与的夹角。__________叫做向量ab在方向上的______。我们规定：零向量与任意向量的数量积为____。

问题2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？

2、平面向量数量积的性质：设ab与均为非空向量：

①ab___________

②当ab与同向时，ab＝________

当ab与反向时，ab＝_______ _，

特别地， aa__________或a=___________。

③ab___________ _ ④cos=_______ ____

⑤.ba的几何意义：______________ ______________________。

问题3：运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律abcacbc吗？

用心 爱心 专心 - 1 - §2.4.2 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角

第一课时

【学习目标、细解考纲】

1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。

2.掌握向量垂直的坐标表示及夹角的坐标表示及平面向量点间的距离公式。

【知识梳理、双基再现】

1. 平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量1122a=xy,b=xy,ab= （坐标形式）。

这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于

。

如：设a (5,-7),b=(-6,-4),求ab。

2.平面内两点间的距离公式

（１）设a=(x,y),则2a=________________或a________________。

（２）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为________________________________________________________________________________（平面内两点间的距离公式）

3.向量垂直的判定

设1122a=x,y,b=x,y,则ab_________________

如：已知A（1，2）, B(2,3), C(-2,5),求证ABC是直角三角形。

4.两向量夹角的余弦（0≤≤）

cos＝__________________________________＝_________________

______________

如：已知A(1,0),B(3,1),C(-2,0),且,aBCbCA,则a与b的夹角为_________________。

【小试身手、轻松过关】

1.已知(4,3),(5,6)ab则23a4ab=（ ）

A.23 B.57 C.63 D.83

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

自主学习

知识梳理

1．平面向量数量积

(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量____________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．

(2)规定：零向量与任一向量的数量积为______．

(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是______________，向量b在a方向上的投影是__________．

2．数量积的几何意义

a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影__________的乘积．

3．向量数量积的运算律

(1)a·b＝________(交换律)；

(2)(λa)·b＝________＝__________(结合律)；

(3)(a＋b)·c＝__________(分配律)．

自主探究

根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．

设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．

(1)a⊥b⇔__________；

(2)当a与b同向时，a·b＝________，

当a与b反向时，a·b＝________；

(3)a·a＝__________或|a|＝a·a＝a2；

(4)cos θ＝__________；

(5)|a·b|≤__________.

对点讲练

知识点一 求两向量的数量积

例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；

(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．

回顾归纳 求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．

变式训练1 已知正三角形ABC的边长为1，求：

(1)AB→·AC→；(2)AB→·BC→；(3)BC→·AC→.

《平面向量数量积的物理背景及其含义（1）》教学设计

一.教学内容分析：

本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4（人教A版）§2.4 平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律,本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程.

二.学生学习情况分析：

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。

在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断.

三.设计思想：

遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，

引导学生积极将知识融入自己的知识体系。

四.教学目标：

1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；

2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；

3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

五.教学重点和难点:

重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。

六.教学过程设计：

活动一：创设问题情景，引出新课

1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

答：向量的加法、减法及数乘运算。这些运算的结果是向量。

2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

答：物理模型→概念→性质→运算律→应用