广西南宁市第四十二中学2017-2018学年高二上学期周测数学试题 Word版含答案

极坐标方程和直角坐标方程的互化高考频度：★★★★☆难易程度：★★★☆☆学霸推荐1．若点的极坐标为,则的直角坐标为A．B．C．D．2．以直角坐标系的坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆的圆心的平面直角坐标是A．B．C．D．3．在极坐标系中，方程表示的曲线是A．直线 B．圆C．椭圆 D．双曲线4．若点的直角坐标为，则它的极坐标可以是A．B．C．D．5．直线被圆所截得的弦长为A．1 B．C．2 D．46．以原点为极点，以轴正半轴为极轴且与直角坐标系取相同的长度单位建立极坐标系．若圆的极坐标方程为，则其直角坐标方程为__________．7．极坐标系中，点到直线的距离为___________.8．在直角坐标系中，直线的方程是，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）射线：（其中）与曲线交于，两点，与直线交于点，求的取值范围．9．已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于两点.（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；（2）动点在圆上（不与重合），试求的面积的最大值.1．【答案】D【解析】设点，根据直角坐标与极坐标之间的互化公式，可得，即点的坐标为，故选D．4．【答案】C【解析】，，因为点在第二象限，故取，故选C．5．【答案】B【解析】化为直角坐标方程为，圆表示以坐标原点为圆心，1为半径的圆，则直线被圆截得的弦长为.选B. 6．【答案】【解析】极坐标方程，两边同乘以，得，∴，即．7．【答案】【解析】点化成直角坐标为（0,2），直线的直角坐标方程为x=1,所以点到直线的距离为2-1=1,故填1.（2）将分别代入，，得，，∴，∵，∴，∴，∴的取值范围是．9．【解析】（1）由得，所以，所以圆的直角坐标方程为将直线的参数方程代入圆，并整理得，解得.所以直线被圆截得的弦长为.当时，取最大值，且的最大值为，所以.即的面积的最大值为.。

广西南宁市第二中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、多选题9．已知向量(1,2),(2,2),(4,)a b c k ==-=r r r ，则下列说法正确的是（）A ．2a b ⋅=B ．若)a b c +⊥r r r （，则2k =-三、填空题15．已知直线1:1(R)l kx y k +=∈四、解答题17．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：[)0,40，[)40,80，[)80,120，[)120,160，[)160,200，[)200,240，[]240,280（观看时长均在[]0,280内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图.(1)求a 的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)采用分层抽样的方法在观看时长在[)200,240和[]240,280的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在[)200,240的概率.4(1)证明：1C B⊥平面ABC；(2)求点C到平面1AC E的距离21．甲、乙两名技工加工某种零件，加工的零件需经过至多两次质检，首次质检合格的零件作为一等品出售，不合格的零件交由原技工进行重新加工，检，再次质检合格的产品作为二等品出售，不合格的作废品处理．已知甲加工的零件首次质检的合格率为34，重新加工后再次质检的合格率为新加工后再次质检的合格率均为加工1个零件．(1)求这2个零件均质检合格的概率；(2)若一等品的价格为100元，二等品的价格为件的价格之和不低于100元的概率22．如图，四棱锥P ABCD-(1)求点M的轨迹长度；(2)当二面角M PA--。

2023-2024学年广西桂林市高二上册期中考试数学试题一、单选题1．设x ，y 为实数，已知直线的斜率2k =，且()A 3,5，(),7B x ，()1,C y -是这条直线上的三个点，则x y +=（）A ．4B ．3C ．1-D ．1【正确答案】D【分析】由已知()A 3,5，(),7B x ，()1,C y -是斜率2k =直线上的三个点，进而结合斜率公式，由2AB AC k k ==，得到关于x ，y 的方程，解方程即可得答案.【详解】因为()A 3,5，(),7B x ，()1,C y -是斜率2k =直线上的三个点，则2AB AC k k ==，所以7552313y x --==---，解得4x =，=3y -．则x y +=1．故选：D.2．在空间直角坐标系Oxyz 中，与点()1,2,1-关于平面xOz 对称的点为（）A ．()1,2,1--B ．()1,2,1-C ．()1,2,1---D ．()1,2,1--【正确答案】A【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点()1,2,1-，则其关于平面xOz 对称的点为()1,2,1--.故选：A.3．已知直线1y kx =-与抛物线24x y =相切，则k =（）A B ．1-C ．1D ．1±【正确答案】D【分析】联立直线与抛物线的方程，得到一个一元二次方程，根据Δ0=，即可求出答案.【详解】联立214y kx x y=-⎧⎨=⎩，可得2440x kx -+=，因为直线与抛物线相切，所以有216160k ∆=-=，解得1k =±．故选：D ．4．如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线//MN 平面ABCD B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B 【正确答案】A【分析】由正方体间的垂直、平行关系，可证1//,MN AB A D ⊥平面1ABD ，即可得出结论.【详解】连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN ⊄平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD .因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B,D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ⊥，AB ⊥平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥，1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，1D B ⊂平面1ABD ，所以11A D D B ⊥，且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确.故选：A.关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.5．设A ，B 为两个事件，已知()0.4P B =，()0.5P A =，()|0.3P B A =，则()|P A B =（）A ．0.24B ．0.375C ．0.4D ．0.5【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用条件概率公式直接计算作答.【详解】由()0.5P A =，()|0.3P B A =，得()()()|0.15P AB P B A P A =⋅=，所以()()()0.15|0.3750.4P AB P A B P B ===.故选：B6．2()n a x x+的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256，则a 的值为（）A ．1B ．-1C ．3D ．1或-3【正确答案】D【分析】展开式中只有第5项的二项式系数最大，可以得到n 的值，然后再赋值法求出所有项的系数和的表达式可解出a 的值.【详解】展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以总共有9项，8,n ∴=令1,x =得所有项的系数和为()81256,1 3.a a +=∴=-或故选：D7．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种【正确答案】D【详解】4项工作分成3组,可得：24C =6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：36363A ⨯=种．故选D.8．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C :y 2=2px (0p >)的焦点为F ，直线x =3与抛物线C 交于A ，B 两点，｜AF |=4，圆E 为FAB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM ON ⋅的取值范围是（）A ．63,925⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]3,21-C ．63,2125⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]3,27【正确答案】B【分析】由已知及抛物线的定义，可求p ，进而得抛物线的方程，可求A ，B ，F 的坐标，直线AF 的方程，可得圆的半径，求得圆心，设N 的坐标，求得M 的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．【详解】解：由题意，设(A ，所以||342pAF =+=，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，(3,A ，(3,B -，(1,0)F ，所以直线AF 的方程为1)y x =-，设圆心坐标为0(x ，0)，所以2200(1)(3)12x x -=-+，解得05x =，即(5,0)E ，∴圆的方程为22(5)16x y -+=，不妨设0M y >，设直线OM 的方程为y kx =，则0k >，4=，解得43k =，由2243(5)16y x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得912,55M ⎛⎫⎪⎝⎭，设(4cos 5,4sin )N θθ+，所以364812cos sin 9(3cos 4sin )9555OM ON θθθθ⋅=++=++，因为[]3cos 4sin 5sin()5,5θθθϕ+=+∈-，所以OM ON ⋅∈[]3,21-．故选：B ．关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为22(5)16x y -+=，然后利用直线OM 与圆E 切于点M ，求出M 点的坐标，引入圆的参数方程表示N 点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．.二、多选题9．直线l 过点(1,3)P 且斜率为k ，若直线l 与线段AB 有公共点，(1,4)A --，(2,3)B -，则k 可以取（）A ．－8B ．－5C ．3D ．4【正确答案】AD【分析】根据题意，做出图形，分析直线斜率可知,PA PB k k k k ≥≤，再利用斜率公式求解PA k ，PB k 即可.【详解】解：由于直线l 过点(1,3)P 且斜率为k ，与连接两点(1,4)A --，(2,3)B -的线段有公共点，则72PA k =，6PB k =-，由图可知，(]7,62k ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭时，直线与线段有交点，根据选项，可知AD 符合．故选：AD ．10．如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为元件1，元件2，元件3，元件4，电流能通过元件1，元件2的概率都是p ，电流能通过元件3，元件4的概率都是0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知元件1，元件2中至少有一个能通过电流的概率为0.96，则（）A ．45p =B ．元件1和元件2恰有一个能通的概率为425C ．元件3和元件4都通的概率是0.81D ．电流能在M 与N 之间通过的概率为0.9504【正确答案】ACD【分析】根据独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，可得答案.【详解】对于A ，由题意，可得()122C 10.96p p p -+=，整理可得220.960p p -+=，则()()1.20.80p p --=，则40.85p ==，故A 正确；对于B ，()()11228C 1C 0.810.80.3225p p -=⨯⨯-==，故B 错误；对于C ，0.90.90.81⨯=，故C 正确；对于D ，元件3，元件4中至少有一个能通过电流的概率为()12222C 0.910.9C 0.90.99⨯⨯-+⨯=，则电流能在M 与N 之间通过的概率为0.960.990.9504⨯=，故D 正确.故选：ACD.11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AA ===，90ACB ∠=︒，D ，E ，F 分别为AC ，1AA ，AB 的中点．则下列结论正确的是（）A ．1AC 与EF 相交B ．11//BC 平面DEFC ．EF 与1AC 所成的角为90︒D ．点1B 到平面DEF 的距离为322【正确答案】BCD【分析】利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断．【详解】对选项A ，由图知1AC ⊂平面11ACC A ，EF I 平面11ACC A E =，且1.E AC ∉由异面直线的定义可知1AC 与EF 异面，故A 错误；对于选项B ，在直三棱柱111ABC A B C -中，11B C //BC ．D ，F 分别是AC ，AB 的中点，//∴FD BC ，11B C ∴//FD ．又11B C ⊄ 平面DEF ，DF ⊂平面DEF ，11B C ∴//平面.DEF 故B 正确；对于选项C ，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，(2A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(2A ，0，2)，1(0B ，2，2)，1(0C ，0，2)，(1D ，0，0)，(2E ，0，1)，(1F ，1，0)．(1EF ∴=-，1，1)-，1(2AC =- ，0，2)．1·2020EF AC =+-= ，1EF AC ∴⊥，1EF AC ∴⊥．EF 与1AC 所成的角为90︒，故C 正确；对于选项D ，设向量(n x =，y ，)z 是平面DEF 的一个法向量．(1DE =，0，1)，(0DF = ，1，0)，∴由n DE n DF ⎧⊥⎨⊥⎩ ，，，即·0·0n DE n DF ⎧=⎨=⎩ ，，，得00.x z y +=⎧⎨=⎩，取1x =，则1z =-，(1n ∴=，0，1)-，设点1B 到平面DEF 的距离为d ．又1(1DB =-，2，2)，1·2DB n d n ∴==，∴点1B 到平面DEF的距离为2，故D 正确．故选：BCD本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题．12．下列结论判断正确的是（）A ．平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线B ．方程221mx ny +=（0m >，0n >，m n ≠）表示的曲线是椭圆C ．平面内到点1(0,4)F ，2(0,4)F -距离之差等于6的点的轨迹是双曲线D ．双曲线22221x y a b-=与22221x y b a -=0a >0b >的离心率分别是1e ，2e ，则2212111e e +=【正确答案】BD【分析】对于A ，由抛物线定义判断即可；对于B ，将方程化为椭圆的标准方程判断即可；对于C ，由双曲线定义判断即可；对于D ，分别求出两个双曲线的离心率，再代入221211e e +通过计算判断即可.【详解】对于A ，由抛物线定义，直线l 不经过点F （当∈F l 时，与定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹是过点F 且与直线l 的垂直的直线，不是抛物线），故选项A 错误；对于B ，方程221mx ny +=（0m >，0n >，m n ≠）可化为22111x y m n +=，且由0m >，0n >，m n ≠有110m n >>或110n m>>，即22111x y m n+=是焦点在x 轴或焦点在y 轴的椭圆的标准方程，故方程221mx ny +=（0m >，0n >，m n ≠）表示的曲线是椭圆，选项B 正确；对于C ，由双曲线的定义，平面内与两定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于12F F ）的点的轨迹叫作双曲线，所以平面内到点1(0,4)F ，2(0,4)F -距离之差等于6（1268F F <=）的点的轨迹是双曲线一支，故选项C 错误；对于D ，双曲线22221x y a b -=0a >0b >的离心率1e a=，双曲线22221x y b a -=0a >0b >的离心率2e =2222222212111a b e e a b a b +=+=++，故选项D 正确.故选：BD.三、填空题13．两条平行直线433x y ++＝0与869x y +-＝0的距离是________.【正确答案】32将直线869x y +-＝0化为94302x y +-=，再根据平行线间距离公式即可求解.【详解】可将直线869x y +-＝0化为94302x y +-=，32=.故答案为.32本题考查平行线间距离公式，属于基础题.14．已知随机变量X 服从正态分布2(1,)N σ，且(01)0.4P X <≤=，则(2)P x >=_______.【正确答案】0.1【分析】利用正态分布对称性可求解.【详解】由正态分布密度曲线对称性可知，(1)(01)(0)0.5P X P X P X ≤=<≤+<=，所以(0)0.1P X <=，所以(2)P x >=(0)0.1P X <=，故答案为:0.1.15．某学校要对如图所示的5个区域进行绿化（种花），现有4种不同颜色的花供选择，要求相邻区域不能种同一种颜色的花，则共有___________种不同的种花方法.【正确答案】72【分析】根据题意，分4步进行分析：依次分析区域1、2、3、4和5的着色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分4步进行分析：①对于区域1，有4种颜色可选，即有4种着色方法，②对于区域2，与区域1相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法，③对于区域3，与区域1、2相邻，有2种颜色可选，即有2种着色方法，④对于区域4，若其颜色与区域2的相同，区域5有2种颜色可选，若其颜色与区域2的不同，区域4有1种颜色可选，区域5有1种颜色可选，所以区域4、5共有2+1=3种着色方法；综上，一共有4×3×2×(1+2)=72种着色方法；故7216．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>，()1,0F c -是左焦点，圆222x y c +=与双曲线左支的一个交点是P ，若直线1PF 与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围是__________．【正确答案】)+∞【分析】联立圆与双曲线的方程，可求得2b Pc ⎛⎫⎪⎝⎭.进而根据已知可知直线1PF 的斜率bk a<，代入化简即可得出答案.【详解】设直线1PF 的方程为()y k x c =+，即0kx y kc -+=.c <，解得0k ≠．联立圆222x y c +=与双曲线方程22221x ya b -=，又0x <，可得2x b y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩.如图，不妨设2b Pc ⎛⎫ ⎪⎝⎭．代入直线1PF 的方程0kx y kc -+=，可得20b c k =>，双曲线的渐近线方程为by x a=±，则要使直线与双曲线右支有交点，则应有bk a<，结合222+=a b c，2c ab <-，两边同时平方整理可得，2b a >，即有224b a >，所以22225c a b a =+>，即有ce a=>．故答案为.)+∞四、解答题17．在二项式122x ⎫⎭的展开式中，（1）求展开式中含3x 项的系数：（2）如果第3k 项和第2k +项的二项式系数相等，试求k 的值.【正确答案】（1）264（2）1k ＝或3k ＝.（1）写出二项展开式的通项公式，当x 的指数是3时，可得到关于k 方程，解方程可得k 的值，从而可得展开式中含3x 项的系数；（2）根据上一问写出的通项公式，利用第3k 项和第2k +项的二项式系数相等，可得到一个关于k 的方程，解方程即可得结果.【详解】(1)设第1k ＋项为362112(2)kk kk TC x-+=-，令363,2k -=解得2k ＝，故展开式中含3x 项的系数为()22122264C -=.(2)∵第3k 项的二项式系数为3112k C -，第2k +项的二项式系数为112k C +，∵3111212=k k C C -+，故31+1k k －＝或31++112r r －＝，解得1k ＝或3k ＝.18．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为6π且过点F ，求AB ；(2)若线段AB 的中点坐标为()3,2-，求l 的方程．【正确答案】(1)16(2)10x y +-=【分析】（1）首先可得直线l 的方程，设()()1122,,,A x y B x y ，然后联立直线l 与抛物线的方程消元，然后可得12x x +的值，然后可得答案.（2）利用点差法求出l 的斜率即可得答案.【详解】（1）因为l 的倾斜角为6π，()1,0F ，所以直线l的方程为)1y x =-，联立)2134y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得21410x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1214x x +=，所以1216x x p AB +=+=；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，则2211224,4y x y x ==，所以()()()22121212124y y y y y y x x -=+-=-，因为线段AB 的中点坐标为()3,2-，所以124y y +=-，所以()()121244y y x x --=-，所以l 的斜率为12121y y x x -=--，所以l 的方程为()23y x +=--，即10x y +-=.19．已知圆()22:29C x y -+=．(1)直线1l 过点()11D -,，且与圆C 相切，求直线1l 的方程；(2)设直线2:10l x -=与圆C 相交于M ，N 两点，点P 为圆C 上的一动点，求PMN 的面积S 的最大值．【正确答案】(1)x ＝－1或4x －3y ＋7＝0(2)4【分析】（1）根据直线1l 的斜率是否存在，分别设出直线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径，即可解出；（2）根据弦长公式求出MN ，再根据几何性质可知，当CP AB ⊥时，点P 到直线2l 距离的最大值为半径加上圆心C 到直线AB 的距离，即可解出．【详解】（1）由题意得C （2，0），圆C 的半径为3．当直线1l 的斜率存在时，设直线1l 的方程为y －l ＝k （x ＋1），即kx －y ＋k ＋1＝0，由直线1l 与圆C 相切，3=，解得43k =，所以直线1l 的方程为4x －3y ＋7＝0．当直线1l 的斜率不存在时，直线1l 的方程为=1x -，显然与圆C 相切．综上，直线1l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋7＝0．（2）由题意得圆心C到直线2l的距离12d=，设圆C的半径为r，所以r＝3，所以2MN=，点P到直线2l距离的最大值为72 r d+=，则PMN的面积的最大值()max 117 222S MN r d=⨯⨯+=⨯20．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（1）求三种粽子各取到1个的概率．（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．【正确答案】(1)1()4P A=;(2)见解析.【详解】试题分析：（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望试题解析：（1）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有P（A）＝111235310C C CC＝14.（2）X的可能取值为0,1,2，且P（X＝0）＝38310CC＝715，P（X＝1）＝1228310C CC＝715，P（X＝2）＝2128310C CC＝115综上知，X的分布列为：X012P 715715115故E （X ）＝0×715＋1×715＋2×115＝35（个）离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式21．已知三棱柱111ABC A B C -中，1114,2,90,AC AA BC ACB A B AC ︒===∠=⊥.(1)求证:平面11A ACC ⊥平面ABC .(2)若160A AC ︒∠=，在线段AC 上是否存在一点P 使平面1BA P 和平面11A ACC 所成角的余弦值为4若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由.【正确答案】(1)证明见解析；(2)在线段AC 上存在一点P ，且P 是靠近C 的四等分点.【分析】(1)连接1AC ，根据给定条件证明1AC ⊥平面1A BC 得1BC AC ⊥即可推理作答.(2)在平面11A ACC 内过C 作Cz AC ⊥，再以C 为原点，射线CA ，CB ，Cz 分别为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断作答.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A ACC 是平行四边形，而1AC AA =，则11A ACC 是菱形，连接1AC ，如图，则有11AC AC ⊥，因11A B AC ⊥，111A B AC A ⋂=，11,A B A C ⊂平面1A BC ，于是得1AC ⊥平面1A BC ，而BC ⊂平面1A BC ，则1AC BC ⊥，由90ACB ︒∠=得AC BC ⊥，1AC AC A ⋂=，1,AC AC ⊂平面11A ACC ，从而得BC ⊥平面11A ACC ，又BC ⊂平面ABC ，所以平面11A ACC ⊥平面ABC .（2）在平面11A ACC 内过C 作Cz AC ⊥，由(1)知平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，则Cz ⊥平面ABC ，以C 为原点，射线CA ，CB ，Cz 分别为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，因160A AC ︒∠=，14,2AC AA BC ===，则1(0,0,0),(4,0,0),(0,2,0),(2,0,23)C A B A ，假设在线段AC 上存在符合要求的点P ，设其坐标为(,0,0),(04)P λλ≤≤，则有1(2,2,23),(,2,0)BA BP λ=-=- ，设平面1BA P 的一个法向量(,,)n x y z =，则有122020n BA x y n BP x y λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令2x =得(2,n λ= ，而平面11A ACC 的一个法向量(0,1,0)m =，依题意，|||cos ,|4||||n m n m n m ⋅〈〉==，化简整理得：2340λλ+-=而04λ≤≤，解得1λ=，所以在线段AC 上存在一点P ，且P 是靠近C 的四等分点，使平面1BA P 和平面11A ACC 所成22．设O 为坐标原点，动点P 在圆22:1O x y +=上，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q且QD = .(1)求动点D 的轨迹E 的方程；(2)直线l 与圆22:1O x y +=相切，且直线l 与曲线E 相交于两不同的点A 、B ，T 为线段AB 的中点.线段OA 、OB 分别与圆O 交于M 、N 两点，记,AOT MON 的面积分别为12,S S ，求12S S 的取值范围.【正确答案】(1)2212x y +=；(2)1(,27.【分析】(1)设出点D 的坐标，借助向量运算表示出点P 的坐标代入圆O 的方程计算作答.(2)在直线l 的斜率存在时设出其方程，与轨迹E 的方程联立，借助韦达定理表示出12S S ，再利用二次函数性质计算得解，然后计算直线l 的斜率不存在的值作答.【详解】（1）设点(,)D x y ，则(0,)Q y ，因QD = ，则有)P y ，又点P 在圆22:1O x y +=上，即221y +=，所以动点D 的轨迹E 的方程是2212x y +=.（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为：y kx m =+，因直线l 与圆O1=，即221m k =+，而0k =时，直线l 与椭圆E 相切，不符合题意，因此0k ≠，由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去x 并整理得：222(21)4220k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++，而点T 是线段AB中点，则有：12111(||||sin )1222||||12||||sin 2AOB MON S OA OB AOB S OA OB S S OM ON MON ⋅∠===⋅⋅∠=令2211k t +=>，则12S S =而1(0,1)t ∈，当117t =，即7t =时，1max 2(S S =11t =，即1t =时，1min 21()2S S =，而1t >，于是得121(,]27S S ∈，当直线l 的斜率不存在时，直线:1l x =±，OA OB ==，此时121324S OA OB S =⋅=1(2∈，所以12S S的取值范围是1(,27.思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过二次函数或基本不等式或导数等求得.。

2017-2018学年宁夏高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）根据导数的定义f′（x1）等于（）A．B．C．D．2．（5分）设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（）A．B．C．D．或3．（5分）下列求导正确的是（）A．（x+）′=1+B．（log2x）′=C．（3x）′=3x log3x D．（x2cosx）′=﹣2xsinx4．（5分）抛物线x=﹣2y2的准线方程是（）A．B．C．D．5．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是（）A．B．C．1 D．6．（5分）已知，则的最小值是（）A．B．C．D．7．（5分）椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣8．（5分）函数f（x）=ax3﹣x在R上是减函数，则（）A．a≤0 B．a＜1 C．a＜2 D．9．（5分）若椭圆+=1的离心率e=，则m的值为（）A．1 B．或 C． D．3或10．（5分）设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角为（）A．B．C．D．12．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．4 B．2 C．D．8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，且，则x的值是．14．（5分）曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为．15．（5分）过椭圆x2+2y2=2的焦点引一条倾斜角为45°的直线与椭圆交于A、B两点，椭圆的中心为O，则△AOB的面积为．16．（5分）设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．18．（12分）求适合下列条件的曲线的标准方程：（1）a=4，b=1，焦点在x轴上的椭圆的标准方程；（2）a=4，b=3，焦点在y轴上的双曲线的标准方程；（3）焦点在x轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．19．（12分）如图，空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC．求证：OC⊥AB．20．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．21．（12分）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间与极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．22．（12分）设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点．（1）若椭圆C上的点到F1，F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：如果M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为K PM，K PN时，那么K PM与K PN之积是与点P位置无关的定值，请给予证明．2017-2018学年宁夏高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）根据导数的定义f′（x1）等于（）A．B．C．D．【解答】解：根据导数的定义f'（x1）=，故选C．2．（5分）设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（）A．B．C．D．或【解答】解：由题意和空间向量的共面定理，结合+=（+）+（﹣）=2，得与、是共面向量，同理与、是共面向量，所以与不能与、构成空间的一个基底；又与和不共面，所以与、构成空间的一个基底．故选：C．3．（5分）下列求导正确的是（）A．（x+）′=1+B．（log2x）′=C．（3x）′=3x log3x D．（x2cosx）′=﹣2xsinx【解答】解：A选项不正确，因为（x+）′=1﹣；B选项正确，由对数的求导公式知（log2x）′=；C选项不正确，因为（3x）′=3x ln3，故不正确．D选项不正确，因为（x2cosx）′=2xcosx﹣x2sinx故选B4．（5分）抛物线x=﹣2y2的准线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线x=﹣2y2的标准方程为y2=﹣x故2p=﹣即p=则抛物线x=﹣2y2的准线方程是故选D5．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4，可得=1，抛物线的焦点F（1，0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=，双曲线的渐近线方程为y=±，即y=±x，化成一般式得：．因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==故选：B6．（5分）已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵=（2，t，t）﹣（1﹣t，2t﹣1，0）=（1+t，1﹣t，t ），∴==．故当t=0时，有最小值等于，故选C．7．（5分）椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣【解答】解：椭圆5x2+ky2=5 即x2 +=1，∵焦点坐标为（0，2），c2=4，∴﹣1=4，∴k=1，故选B．8．（5分）函数f（x）=ax3﹣x在R上是减函数，则（）A．a≤0 B．a＜1 C．a＜2 D．【解答】解：求导函数可得：f′（x）=3ax2﹣1∵函数f（x）=ax3﹣x在R上是减函数∴f′（x）=3ax2﹣1≤0在R上恒成立∴a≤0故选：A．9．（5分）若椭圆+=1的离心率e=，则m的值为（）A．1 B．或 C． D．3或【解答】解：当椭圆+=1的焦点在x轴上时，a=，b=，c=由e=，得=，即m=3当椭圆+=1的焦点在y轴上时，a=，b=，c=由e=，得=，即m=．故选D10．（5分）设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B故选D11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角为（）A．B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则A1（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），=（0，1，﹣1），=（1，0，1），=（0，1，0），设平面A1B1CD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，则=（1，0，﹣1），设直线A1B和平面A1B1CD所成的角为θ，sinθ===，∴θ=，∴直线A1B和平面A1B1CD所成的角为．故选：B．12．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．4 B．2 C．D．8【解答】解：设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ．（1）∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴=4．∴抛物线的准线方程为x=﹣4．设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y＞0），则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4，∴y=2．将x=﹣4，y=2代入（1），得（﹣4）2﹣（2）2=λ，∴λ=4∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=4，即，∴C的实轴长为4．故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，且，则x的值是5．【解答】解：∵，且，∴=﹣3+2x﹣5=2，解得x=5．故答案为：5．14．（5分）曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为y=﹣3x+2．【解答】解：由曲线y=x3﹣3x2+1，所以y′=3x2﹣6x，曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线的斜率为：y′|x=1=3（1）2﹣6=﹣3．此处的切线方程为：y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2．故答案为：y=﹣3x+2．15．（5分）过椭圆x2+2y2=2的焦点引一条倾斜角为45°的直线与椭圆交于A、B两点，椭圆的中心为O，则△AOB的面积为．【解答】解：把椭圆x2+2y2=2转化为标准方程+y2=1，∵a2=2，b2=1，∴椭圆x2+2y2=2的焦点F 1（1，0），F2（﹣1，0），∵过椭圆x2+2y2=2的焦点引一条倾斜角为45°的直线与椭圆交于A、B两点，设直线AB过焦点F1（1，0），∴直线AB的方程为y=x﹣1，联立方程组，整理，得4x2﹣4x=0，解得，，∴|AB|==，∵原点O到直线AB：y=x﹣1的距离d==，==．∴S△AOB故答案为：．16．（5分）设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为．【解答】解：依题意可知双曲线渐近线方程为y=±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x+1=0 ∵渐近线与抛物线有一个交点∴△=﹣4=0，求得b2=4a2，∴c==a∴e==故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在[﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，]递增，而f（﹣3）=﹣27+9=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（）=﹣，故函数的最大值是2，最小值是﹣18．18．（12分）求适合下列条件的曲线的标准方程：（1）a=4，b=1，焦点在x轴上的椭圆的标准方程；（2）a=4，b=3，焦点在y轴上的双曲线的标准方程；（3）焦点在x轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．【解答】解：（1）根据题意知a=4，b=1，焦点在x轴上，∴a2=16，b2=1，故椭圆的标准方程为：，即．（2）解：由题意，设方程为，∵a=4，b=3，∴a2=16，b2=9，所以双曲线的标准方程是．（3）∵焦点到准线的距离是2，∴2p=4，∴当焦点在y轴上时，抛物线的标准方程为x2=4y或x2=﹣4y．19．（12分）如图，空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC．求证：OC⊥AB．【解答】证明：∵OA⊥BC，∴．∵，∴．∴（1）同理：由OB⊥AC得（2）由（1）﹣（2）得∴，∴，∴，∴OC⊥AB．20．（12分）如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，设AB=2，则AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，CD=，A1D=，DE=，A1E=3故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，又A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△A1DC中，DF==，EF==，所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE=．21．（12分）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（1）求f（x）的单调区间与极值；（2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．【解答】解：（1）解：由f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，知，f′（x）=e x﹣2，x∈R，令f′（x）=0，得x=ln2，于是，当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=2﹣2ln2+2a．（2）证明：设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g'（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知，对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是，当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0），而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞0，即e x﹣x2+2ax﹣1＞0，故e x＞x2﹣2ax+1．22．（12分）设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点．（1）若椭圆C上的点到F1，F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：如果M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为K PM，K PN时，那么K PM与K PN之积是与点P位置无关的定值，请给予证明．【解答】解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1，F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2．又点在椭圆上，因此b2=3，于是c2=1．所以椭圆C的方程为，焦点F1（﹣1，0），F2（1，0）．（2）设椭圆C上的动点为K（x1，y1），线段F1K的中点Q（x，y），∴x1=2x+1，y1=2y．因此，即为所求的轨迹方程．（3）设M（m，n），则N（﹣m，﹣n），再设P（x，y）从而．由M（m，n），P（x，y）在已知椭圆上，故可解得，，带入中，化简有．即K PM与之K PN之积是与点P位置无关的定值．。

广西南宁市“4 N ”高中联合体2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，务 必将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，{|2}Q x x =<，则P Q =（ ）A. {}0B. {0,1}C. {}1,2D. {0,2}【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的概念，可直接得出结果.【详解】因为集合{0,1,2}P =，{|2}Q x x =<，所以{0,1}P Q =.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ） A. 12i + B. 12i -+C. 12i --D. 12i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】() 22112i i i i +=-=-+. 故选B【点睛】本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.3.空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应如下表所示：如图是某城市2018年12月全月的指AQI数变化统计图．根据统计图判断，下列结论正确的是（）A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，AQI指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.【详解】从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不正确；从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D 不正确． 故选：C ．【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型. 4.在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A. -120 B. 120C. -15D. 15【答案】C 【解析】 【分析】 写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数。

广西南宁普通高中2024-2025学年11月高二上学期期中联合考试数学试卷一、单选题1．直线30x y -+=的倾斜角为（）A ．30o B ．120 C ．45D ．135 2．已知圆22240x y x y ++-=，则该圆的圆心和半径分别是（）A ．()1,2-，5B ．()1,2-，5C ．()1,2-D ．()1,2-3．直线5210x y +-=的一个方向向量是（）A ．()2,5-B ．()2,5C ．()5,2-D ．()5,24．已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1P -的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（）A ．32,43∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．][43,,32∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭C ．34,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．43,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．已知两直线1:34140l x y +-=，()2:240l a x y a --+=，若12//l l ，则两直线间的距离为（）A ．125B ．135C ．145D ．36．已知空间向量()()2,1,2,1,2,1a b =-=-- ，则向量b 在向量a 上的投影向量是（）A ．424,,999⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()2,1,2-C ．424,,999⎛⎫-- ⎝⎭D ．()1,2,1-7．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()4,0A -，若将军从山脚下的点()1,1B -处出发，河岸线所在直线方程为1x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（）AB ．4C ．5D ．8．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点P 到相异两点A 和B 距离比值为不等于1的定值，则动点P 的轨迹是圆心在直线AB 上的圆，该圆被称为点A 和B 相关的阿氏圆．已知P 在点A 和B 相关的阿氏圆22:4O x y +=上，其中点()4,0A -，点Q 在圆()()22:331M x y -+-=上，则12PQ PA +的最小值为（）A ．1B ．1+C ．4D ．6二、多选题9．若2220x y x y m +-+-=是一个圆的方程，则实数m 可取的值有（）A ．2-B ．1-C ．1D ．210．空间直角坐标系O xyz -中，已知()1,2,2A -，()0,1,1B ，下列结论正确的有（）A ．()1,1,3AB =-- B ．点A 关于xOy 平面对称的点的坐标为()1,2,2-C ．若()2,1,1m = ，则⊥ m AB D ．若(),2,6n a =- ，n BA ∥，则2a =-11．点P 在圆221:25C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A ．PQ 的最小值为4B ．PQ 的最大值为11C ．两个圆相交弦所在直线的方程为68490x y --=D 三、填空题12．当m 变化时，直线（m ＋2）x ＋（2－m ）y ＋4＝0恒过定点.13．已知圆22:430C x y x +-+=和点()3,2A ，则过点A 的O 的切线方程为.14．人教A 版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(),,m a b c =，点()0000,,P x y z ，若平面α经过点0P ，且以m 为法向量，点(),,P x y z 是平面内的任意一点，则平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=”.现已知平面α的方程为10x y z -++=，直线l 是平面20x y -+=与平面210x z -+=的交线，且直线l 的方向向量为(),,n u v w = ，则直线l 与平面α所成角的正弦值为.四、解答题15．已知向量()1,1,1a =- ，()1,2,1b = .(1)求a b + ，a b - ，2a ；(2)求向量2a b + 与a b - 夹角的余弦值.16．已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P .(1)求点P 坐标；(2)若直线l 垂直于10x y --=，求直线l 的方程；(3)若直线l 与经过两点(8,6)A -，(2,2)B 的直线平行，求直线l 的方程.17．如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，111ππ1,2,,23AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=∠=．(1)用向量1,,AB AD AA 表示向量1BD ，并求1BD ；(2)求1cos ,BD AC ．18．为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O 的北偏西45 方向处设立观测点A ，在平台O 的正东方向12km 处设立观测点B ，规定经过,,O A B 三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系.(1)试写出,A B 的坐标，并求两个观测点,A B 之间的距离；(2)试求经过,,O A B 三点的圆的标准方程；(3)某日经观测发现，在该平台O 正南方向10km 的C 处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东45 方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PDC ⊥平面,,ABCD AD DC AB DC ⊥∥，11,2AB CD AD M ===为棱PC 的中点．(1)证明：//BM 平面PAD ；(2)若1PC PD ==，（i ）求二面角P DM B --的余弦值；（ii ）在线段PA 上是否存在点Q ，使得点Q 到平面BDM ？若存在，求出PQ 的值；若不存在，说明理由．。

第一章 1.1 1.1.2 1.1.3 第1课时A 级 基础巩固一、选择题1．任何一种算法都离不开的基本结构为导学号 95064050( D ) A ．逻辑结构 B ．条件结构 C ．循环结构D ．顺序结构[解析] 任何一种算法都离不开顺序结构．2．如图所示程序框图中，其中不含有的程序框是导学号 95064051( C )A ．终端框B ．输入、输出框C ．判断框D ．处理框[解析] 含有终端框，输入、输出框和处理框，不含有判断框． 3．如图所示的程序框图的运行结果是导学号 95064052( B )A ．2B ．2.5C ．3.5D ．4[解析] ∵a ＝2，b ＝4，∴S ＝a b ＋b a ＝12＋2＝2.5.二、填空题4．在如图所示的程序框图中，若输出的z 的值等于3，那么输入的x 的值为 19.导学号 95064053[解析] 当输出的z 的值为3时，z ＝y ＝3，∴y ＝9，由1x ＝9，得x ＝19，故输入的x 的值为19.5．如图是求一个数的百分之几的程序框图，则(1)处应填__n ＝n ×m __.导学号 95064054[解析] 因为程序框图的作用是求一个数的百分之几，故(1)处应填输入的数n 与百分比m 的乘积所得数，再让它赋值给n .三、解答题6．已知球的半径为1，求其表面积和体积，画出其算法的程序框图.导学号 95064055 [解析] 如图所示：7．已知x ＝10，y ＝2，画出计算w ＝5x ＋8y 值的程序框图.导学号 95064056 [解析] 算法如下：S1令x＝10，y＝2.S2计算w＝5x＋8y.S3输出w的值．其程序框图如图所示：B级素养提升一、选择题1．如图所示的程序框图中，要想使输入的值与输出的值相等，输入的a值应为导学号95064057(D)A．1 B．3C．1或3 D．0或3[解析]本题实质是解方程a＝－a2＋4a，解得a＝0或a＝3.2．阅读如图所示的程序框图，若输入的a、b、c的值分别是21、32、75，则输出的a、b、c分别是导学号95064058(A)A．75,21,32 B．21,32,75C．32,21,75 D．75,32,21[解析]输入21,32,75后，该程序框图的执行过程是：输入21,32,75.x＝21.a＝75.c＝32.b＝21.输出75,21,32.二、填空题3．如图所示的程序框图，输出的结果是S＝7，则输入的A值为__3__.导学号95064059[解析]该程序框图的功能是输入A，计算2A＋1的值．由2A＋1＝7，解得A＝3.4．如下图，程序框图的功能是__求五个数的和以及这五个数的平均数__. 导学号95064060[解析]该程序框图表示的算法是首先输入5个数，然后计算这5个数的和，再求这5个数的算术平均数，最后输出它们的和与平均数.三、解答题5．已知一个圆柱的底面半径为R，高为h，求圆柱的体积．设计解决该问题的一个算法，并画出相应的程序框图.导学号95064061[解析]算法如下：S1输入R，h，S2计算V＝πR2h.S3输出V.程序框图如图所示：6．已知两个单元分别存放了变量x 和y ，试变换两个变量的值，并输出x 和y ，请写出算法并画出程序框图.导学号 95064062[解析] 算法如下： S1 输入x ，y . S2 把x 的值赋给p . S3 把y 的值域给x . S4 把p 的值赋给y . S5 输出x ，y . 程序框图如下：C 级 能力拔高1．已知一个直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边长为c ，写出它的外接圆和内切圆面积的算法，并画出程序框图.导学号 95064063[解析] 算法步骤如下： S1 输入a ，b . S2 计算c ＝a 2＋b 2.S3 计算r ＝12(a ＋b ＋c )，R ＝c2.S4 计算内切圆面积S 1＝πr 2，外接圆面积S 2＝πR 2. S5 输出S 1、S 2，结束． 程序框图如图．2．已知函数y＝2x＋3，若给出函数图象上任一点的横坐标x(由键盘输入)，设计一个算法，求该点到坐标原点的距离，并画出程序框图.导学号95064064[解析]算法如下：S1输入横坐标的值；S2计算y＝2x＋3；S3计算d＝x2＋y2；S4输出d.程序框图如图：。

2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+13．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．共线向量的方向相同或相反；方向相同时，夹角为0°，相反时的夹角为180°，∴该说法正确；B．长度相等，方向相同的向量叫做相等向量，∴该说法错误；C．平行向量也叫共线向量，∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上；∴该说法错误；D．零向量的方向任意，并不是没有方向，∴该说法错误．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．【解答】解：选项A，定义域为R，sin|﹣x|=sin|x|，故y=sin|x|为偶函数．选项B，定义域为R，sin（﹣2x）=﹣sin2x，故y=sin2x为奇函数．选项C，定义域为R，﹣sin（﹣x）+2=sinx+2，故y=sinx+2为非奇非偶函数偶函数．选项D，定义域为R，sin（﹣x）+1=﹣sinx+1，故y=sinx+1为非奇非偶函数，故选：B．3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴tanα==，故选：B．4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将ω=4代入T=即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（4x﹣π），∴最小正周期T==．故选：D．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），所以α=；故选：D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数的单调递减区间．【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得∴∴函数的单调递减区间（k∈Z）故选D．7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵对于函数y=3sin（2x+）+2图象，令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数图象的一条对称轴方程为x=π，故选：C．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案．【解答】解：对于A，终边不同的角同一三角函数值可以相等，正确，如；对于B，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，错误，如是终边在坐标轴上的角；对于C，第一象限是锐角，错误，如是第一象限角，不是锐角；对于D，第二象限的角比第一象限的角大，错误，如是第二象限角，是第一象限角，但．故选：A．9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限．【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：向量+++=，故选：D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．12．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的概念．【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．【解答】解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是2x﹣y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：设A（0，2）、B（4，0）．=﹣，所以线段AB的中垂线得斜率k=2，又线段AB的中点为（2，1），直线AB的斜率 kAB所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，∴圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣2=3故答案为：3．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解： +++﹣=+++﹣=﹣=，故答案为：．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得2sinα+cosα．【解答】解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、斜截式即可得出．（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）==﹣，∵KAC∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的一般式方程，把三个点的坐标代入，求解关于D、E、F的方程组得答案．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），由β=α﹣（α﹣β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2， ==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k∈Z．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．。

广西南宁市第二中学2024-2025学年高二上学期11月段考考试数学试卷一、单选题1．已知数列{}n a 满足点(),n n a 在直线21y x =-上，则2a =（）A ．3B ．2C ．1D ．02．平行线230x y -+=与220x y --=之间的距离为（）A BC ．52D ．53．在等差数列{}n a 中，若357911100a a a a a ++++=，则113a a +的值为（）A ．10B ．20C ．30D ．404．已知()1,0A -，()10B ,，在x 轴上方的动点M 满足直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之积为2，则动点M 的轨迹方程为（）A ．()22102y x x -=>B ．()22102y x y -=>C ．()22102x y x -=>D ．()22102x y y -=>5．如图，已知一艘停在海面上的海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25km 的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东40km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，速度为28km /h .这艘轮船能被海监船监测到的时长为（）A ．1小时B ．0.75小时C ．0.5小时D ．0.25小时6．如图，椭圆2221(1)x y a a+=>与x 轴、y 轴正半轴分别交于点A 、B ，点P 是过左焦点F 1且垂直x 轴的直线与椭圆的一个交点，O 为坐标原点，若AB //OP ，则椭圆的焦距为（）AB ．C ．1D ．27．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点()F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长AB =（）A ．B ．C ．10D ．8．已知离心率为12的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为M ，线段2MF 的中点为N ，射线1F N 与C 交于点A ，若1AF =2AF =（）A ．63-B C D 二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=B ．过点(1,2)P 且在x 、y 轴截距相等的直线方程为20x y +=C ．曲线2102x y +=过点10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭的最短弦长为12；D ．直线(2)4y k x =-+与曲线1y =k 的取值范围73,124⎛⎤⎥⎝⎦10．设拋物线2:4C y x =的焦点为F ，M 为C 上一动点，(3,1)E 为定点，则下列结论正确的是（）A ．准线l 的方程是2x =-B ．||||ME MF +的最小值为4C ．||||ME MF -的最大值为5D ．以线段MF 为直径的圆与y 轴相切11．已知()22,,1(1,)Z n nf x y n x y n n =+-≥∈，定义方程(),,0=f x y n 表示的是平面直角坐标系中的“方圆系”曲线，记n S 表示“方圆系”曲线(),,0=f x y n 所围成的面积，则（）A ．“方圆系”曲线(),,10=f x y 所围成的面积为1B ．24<S C ．{}n S 是单调递增的数列D ．“方圆系”曲线(),,20=f x y 上任意一点到原点的最大距离为142三、填空题12．已知圆221:(1)1C x y -+=，圆222:(4)16C x y -+=，则两圆公切线的方程为.13．已知首项为2的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎩⎭是公差为1的等差数列()*N n ∈，则{}n a 的通项公式.14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若双曲线的左支上一点P 满足1221sin 3sin PF F PF F ∠=∠，以2F 为圆心的圆与1F P 的延长线相切于点M ，且112F M F P = ，则双曲线的离心率为.四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足24610,36a a S +==.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设(1)nn n b a =-，求12320b b b b ++++ 16．已知点C 是平面直角坐标系中异于原点O 的一个动点，过点C 且与y 轴垂直的直线与直线2x =-交于点M ，且向量OC与向量OM 垂直.(1)求点C 的轨迹方程E ；(2)设C 位于第一象限，以OC 为直径的圆与y 轴相交于点N ，且30NCO ︒∠=，求OC 的值.17．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos cos c a bC A B+=+(1)求角C 的大小；(2)若1ab =，求ABC V 外接圆的面积的最小值.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AD BC ，3PA BC ==，2AB AD ==，PB E 为PD 中点，点F 在PC 上，且3PC FC =．(1)求证：AB ⊥平面PAD ；(2)求平面FAE 与平面AED 夹角的余弦值；(3)线段AC 上是否存在点Q ，使得//DQ 平面FAE ，说明理由？19．已知椭圆()2222Γ:10x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，设点(0,)A b ，在12AF F △中，12π2F AF ∠=，周长为2+.(1)求椭圆Γ的方程；(2)设不经过点A 的直线l 与椭圆Γ相交于B 、C 两点，若直线AB 与AC 的斜率之和为1-，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；(3)记第（2）问所求的定点为E ，点P 为椭圆Γ上的一个动点，试根据AEP △面积S 的不同取值范围，讨论AEP △存在的个数，并说明理由.。

南宁市2022年秋季学期高二年级教学质量调研数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间150分钟。

2，考生作答时请将答案写在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答等无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．己知集合{}{}220,1A x x x B x x =+>=<-，则A B =（ ）A ．(,1)(0,)-∞-+∞B ．(,0)(2,)-∞+∞C ．(,2)-∞-D ．(,1)(2,)-∞-+∞ 2．若复数12i34iz +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．下列化简结果错误的是（ ）A ．0AB BC CA ++= B ．()AB MB BO OM AB +++= C ．0OA OD AD -+= D ．AD DC A B B C --=4．如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（ ）A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．4∶55．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则摸到的第一个球是红球的概率为（ ） A ．25 B ．825 C ．35 D ．16256．若ln ln 0M N +=，则有（ ）A ．0M N -=B ．0M N +=C ．1MN= D ．1MN = 7．已知函数3()21f x x x =-+，则方程()f x x =在(1,2)-内的实数解的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA =，E 为梭BC上的动点，若PE DE +的最小值为，则PB =（ ）A ．8B ．4C ．6D ．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列命题正确的是（ ）A ．己知12,e e 是两个不共线的向量，若12122,24a e e b e e =-=-+，则a 与b 不共线B ．已知a ，b 为两个非零向量，若||||a b a b +=-，则a b ⊥C ．设||12,||9,542a b a b ==⋅=-a 与b 的夹角34πθ=D ．已知||3,||4a b ==，且a 与b 不共线，则34k =是a kb +与a kb -互相垂直的必要不充分条件 10．把函数()sin f x x =的图象向左平移3π个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ） A ．最小正周期为π B ．单调递增区间是5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图象的一个对移中心为,03π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．图象的一条对称轴为直线12x π=11．过ABC △所在平面α外一点P ，作PO α⊥，垂足为O ，连接PA PB PC 、、，则下列说法正确的是（ ） A ．若PA PB PC ==，则点O 是ABC △的外心B ．若,90PA PB PC C ==∠=︒，则点O 是AB 边的中点C ．若,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，垂足都为P ，则点O 是ABC △的垂心D ．若P 到ABC △三条边的距离相等，则点O 是ABC △的重心 12．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．)ln3y x = B ．x x y e e -=+ C ．21y x =+ D ．cos 3y x =+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。