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肇庆市中小学教学质量评估 2011—2012学年第一学期统一检测题高二数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在空间中，下列命题正确的是A ．垂直于同一平面的两条直线平行B ．垂直于同一平面的两个平面平行C ．平行于同一直线的两个平面平行D ．平行直线的平行投影重合 2．下列是全称命题且是真命题的是A ．0,2>∈∀x R xB ．0,,22>+∈∀y x R y xC ．Q x Q x ∈∈∀2,D ．1,20>∈∃x Z x 3．双曲线142522=-y x 的渐近线方程是 A ．x y 52±= B ．x y 25±= C ．x y 254±= D ．x y 425±=4．命题“若a >-3，则a >-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．45．已知向量)0,1,1(=a ，)2,0,1(-=b ，且b a k +与b a -2互相垂直，则k 的值是A ．1B ．51C ．53D ．576．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+k y x 的离心率为21，则实数k 等于 A ．3 B ．32 C ．38 D ．23 7．若圆02)1(222=-+-++m my x m y x 关于直线01=+-y x 对称，则实数m 的值为A ．-1或3B ．-1C ．3D ．不存在8．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为A ．34B ．32C ．4D ．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.9．用一个平面截半径为25的球，截面面积是225π，则球心到截面的距离为 ▲ .10．若A （-2，3）、B （3，-2）、C （21，m ）三点共线，则m 值为 ▲ .11．双曲线14222=-y x 的离心率等于 ▲ . 12．若动点P 在122+=x y 上，则点P 与点Q （0，-1）连线中点的轨迹方程是 ▲ . 13．不等式0)1)((<++x x a 成立的一个充分而不必要条件是12-<<-x ，则a 的取值范围是 ▲ .14．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =4，CD =2. E 、F 分别为AD 、BC 上点，且EF =3， EF //AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积 比为 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分）求满足下列条件的直线的方程：（1）经过点A （3，2），且与直线4x +y -2=0平行；俯视图正视图侧视图A BCDEF（2）经过点B （2，-3），且平行于过点M （1，2）和N （-1，-5）的直线； （3）经过点C （3，0），且与直线2x +y -5=0垂直.16．（本小题满分12分）如图，一个高为H 的三棱柱形容器中盛有水. 若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过AC 、BC 、A 1C 1、B 1C 1的中点E 、F 、E 1、F 1. 当底面ABC 水平放置时，液面高为多少？17．（本小题满分14分）求与x 轴相切，圆心在直线3x -y =0上，且被直线x -y =0截得的弦长为72的圆的方程.18．（本小题满分14分）如图，棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 、E 、F 分别是A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点.（1）求证：B 、D 、E 、F 四点共面； （2）求证：平面AMN //平面BEFD ； （3）求点A 1到平面AMN 的距离．19．（本小题满分14分）如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC 、CC 1上的点，CF =AB =2CE ，AB :AD :AA 1=1:2:4.（1）求异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值； （2）证明：AF ⊥平面A 1ED ；（3）求二面角A 1—ED —F 的大小的正弦值．111A 1B 120．（本小题满分14分）已知F 1、F 2分别为椭圆C 1：)0(12222>>=+b a bx a y 的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2：y x 42=的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且35||1=MF . （1）求椭圆C 1的方程；（2）已知A （b ，0），B （0，a ），直线 y =kx （k >0）与椭圆C 1相交于E 、F 两点. 求四边形AEBF 面积的最大值.2011—2012学年第一学期统一检测题 高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题二、填空题9．20 10．2111．3 12．24x y =13．（2，+∞） 14．7:5 三、解答题15．（本小题满分12分）解：（1）由直线4x +y -2=0得直线的斜率为-4， （2分） 所以经过点A （3，2），且与直线4x +y -2=0平行的直线方程为y -2=-4(x -3)，即4x +y -14=0. （4分） （2）由已知，经过两点M （1，2）和N （-1，-5）的直线的斜率271125=----=k ， （6分） 所以，经过点B （2，-3），且平行于MN 的直线方程为)2(273-=+x y ，即7x -2y -20=0. （8分） （3）由直线2x +y -5=0得直线的斜率为-2， （9分） 所以与直线2x +y -5=0垂直的直线的斜率为21. （10分） 所以，经过点C （3，0），且与直线2x +y -5=0垂直的直线方程为)3(21-=x y ，即x -2y -3=0. （12分）16．（本小题满分12分）解：当侧面AA 1B 1B 水平放置时，水的体积V 等于 四棱柱ABFE —A 1B 1F 1E 1的体积，H S V V ABFE •==梯形四棱柱. （3分）当底面ABC 水平放置时，设水面高为h ，则水的体积h S V ABC •=∆. （6分） 因为E 、F 为AC 、BC 的中点，所以ABC CEF S S ∆∆=41， 所以ABC ABFE S S ∆=43梯形. （8分） 由h S H S ABC ABFE •=•∆梯形，即h S H S ABC ABC •=•∆∆43，得H h 43=. （11分）故当底面ABC 水平放置时，液面高为H 43. （12分）17．（本小题满分14分）解：设所求的圆的方程是)0()()(222>=-+-r r b y a x ， （2分） 则圆心到直线x -y =0的距离为2||b a -， （4分）所以222)7()2||(+-=b a r ，即14)(222+-=b a r ① （6分）111因为所求的圆与x 轴相切，所以22b r = ② （8分） 又因为所求圆心在直线3x -y =0上，所以3a -b =0 ③ （10分）联立①②③，解得⎪⎩⎪⎨⎧===,3,3,1r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.3,3,1r b a （12分）故所求圆的方程为9)3()1(22=-+-y x 或9)3()1(22=+++y x . （14分）18．（本小题满分14分） （1）证明：如图，连接B 1D 1. 因为E 、F 为B 1C 1、C 1D 1的中点， 所以EF //B 1D 1. （2分） 又因为BD //B 1D 1，所以EF //BD . （3分） 故B 、D 、E 、F 四点共面. （4分） （2）证明：连接EN .因为M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点，所以MN //B 1D 1.又EF //B 1D 1，所以MN / / EF . （5分） 因为EF ⊂平面BEFD ，所以MN //平面BEFD . （6分） 因为E 、N 为B 1C 1、A 1D 1的中点，所以EN //A 1B 1，且EN =A 1B 1. 又AB //A 1B 1，且AB =A 1B 1，所以NE / / AB ，且NE =AB .所以四边形ABEN 为平行四边行，故AN //BE . （7分） 因为BE ⊂平面BEFD ，所以AN //平面BEFD . （8分） 因为MN ⊂平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，且MN ∩AN =N ，所以平面AMN //平面BEFD . （9分） （3）证明：设A 1到平面AMN 的距离为d . 在∆AMN 中，a a a AN AM 254122=+==，a a a MN 22414122=+=， 所以22283162452221a a a a S AMN =-⨯⨯=∆. （11分）A 1因为MN A A AMN A V V 11--=三棱锥三棱锥， （12分）即a a d a ⨯⨯=⨯⨯2281318331， （13分） 解得3a d =,故A 1到平面AMN 的距离为3a. （14分）19．（本小题满分14分）解：以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB =1，依题意得A （0，0，0），A 1（0，0，4）， D （0，2，0），E （1，23，0），F （1，2，1）. （2分） （1）易得)1,21,0(=EF ，)4,2,0(1-=D A ． （3分）所以535225410||||,cos 111-=⨯-+=•>=<D A EF D A EF D A EF ， （5分）故异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值为53． （6分）（2）易得)1,2,1(=AF ，)4,23,1(1-=E A ，)4,2,0(1-=D A . （7分）因为04311=-+=•E A AF ，04401=-+=•D A AF ， （8分） 所以E A AF 1⊥，D A AF 1⊥. （9分） 又A 1E ⊂平面A 1ED ，A 1D ⊂平面A 1ED ，A 1E ∩A 1D = A 1，所以AF ⊥平面A 1ED ． （10分） （3）设平面EFD 的法向量为),,(z y x m =．由)1,21,0(=EF ，)0,21,1(-=ED ，⎪⎩⎪⎨⎧=•=•,0,0m ED m EF得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+,021,021y x z y 解得⎩⎨⎧-=-=.2,z y z x不妨令1-=z , 得)1,2,1(-=m ． （11分）由（2）可知，)1,2,1(=AF 为平面A 1ED 的一个法向量. （12分） 于是3266141||||,cos =⨯-+=•>=<AF m AF m AF m ， （13分） 从而35,sin >=<AF m . 所以二面角A 1—ED —F 的大小的正弦值为35. （14分）20．（本小题满分14分）解：（1）设)0)(,(000<x y x M .由C 2：y x 42=，得F 1（0，1）. （1分） 因为M 在抛物线C 2上，故024y x =. ① （2分） 又35||1=MF ，则3510=+y . ② （3分） 解①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.32,36200y x （4分） 因为点M 在椭圆上，故1)362()32(2222=-+b a ，即1389422=+ba ③ （5分） 又c =1，则122+=b a ④ （6分）解③④得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,422b a 故椭圆C 1的方程为13422=+x y . （7分） （2）不妨设),(11y x E ，),(22y x F ，且21x x <.将kx y =代入13422=+x y 中，可得431222+=k x ， （8分） 即4332212+=-=k x x ，所以4332212+=-=k k y y . （9分）由（1）可得2||,3||==OB OA . （10分） 故四边形AEBF 的面积为22223232212221y x y x S S S AEF BEF +=⨯⨯+⨯⨯=+=∆∆. （11分） 所以43341324364334222++•=+++=k kk k k S （12分）因为k k 34432≥+，所以143342≤+k k. （13分）所以62≤S ，当且仅当332=k 时，等号成立. 故四边形AEBF 面积的最大值为62. （14分）。
2011年普通专升本高等数学真题一一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1.函数()()x x x f cos 12+=是（ ）.()A 奇函数 ()B 偶函数 ()C 有界函数 ()D 周期函数2.设函数()x x f =，则函数在0=x 处是（ ）.()A 可导但不连续 ()B 不连续且不可导()C 连续且可导 ()D 连续但不可导3.设函数()x f 在[]1,0上,022>dxfd ，则成立（ ）. ()A ()()0101f f dxdf dxdf x x ->>== ()B ()()0110==>->x x dx df f f dxdf()C ()()0101==>->x x dxdf f f dxdf()D ()()101==>>-x x dxdf dxdf f f4.方程22y x z +=表示的二次曲面是（ ）.()A 椭球面 ()B 柱面()C 圆锥面 ()D 抛物面5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（ ）.()A 至少有一条 ()B 仅有一条().C 不一定存在 ().D 不存在二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分)考学校：______________________报考专业：______________________姓名： 准考证号： ----------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------2.设函数()x f 在1=x 可导, 且()10==x dx x df ,则()().__________121lim=-+→xf x f x .3.设函数(),ln 2x x f =则().________________________=dxx df4.曲线x x x y --=233的拐点坐标._____________________5.设x arctan 为()x f 的一个原函数,则()=x f ._____________________6.()._________________________2=⎰xdt t f dx d7.定积分().________________________2=+⎰-ππdx x x8.设函数()22cos y x z +=,则._________________________=∂∂x z9. 交换二次积分次序().__________________________,010=⎰⎰xdy y x f dx10. 设平面∏过点()1,0,1-且与平面0824=-+-z y x 平行，则平面∏的方程为._____________________三.计算题:(每小题6分,共60分)1.计算xe x x 1lim 0-→.2.设函数()()x x g e x f xcos ,==,且⎪⎭⎫⎝⎛=dx dg f y ,求dx dy .3.计算不定积分()⎰+.1x x dx4.计算广义积分⎰+∞-0dx xe x .5.设函数()⎩⎨⎧<≥=0,0,cos 4x x x x x f ,求()⎰-12dx x f . 6. 设()x f 在[]1,0上连续，且满足()()⎰+=12dt t f e x f x，求()x f .7.求微分方程xe dx dy dxy d =+22的通解. 8.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数.9.设函数()yx yx y x f +-=,,求函数()y x f ,在2,0==y x 的全微分. 10.计算二重积分,()⎰⎰+Ddxdy y x22，其中1:22≤+y x D .四.综合题:(本题共30分,其中第1题12分，第2题12分，第3题6分) 1.设平面图形由曲线xe y =及直线0,==x e y 所 围成,()1求此平面图形的面积;()2求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积.2.求函数1323--=x x y 的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.3.求证:当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11.__报考专业：______________________姓名： 准考证号------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------2011年普通专升本高等数学真题二一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1.当0→x 时,1sec -x 是22x 的（ ）..A 高阶无穷小 .B 低阶无穷小 .C 同阶但不是等阶无穷小 D .等阶无穷小2.下列四个命题中成立的是（ ）..A 可积函数必是连续函数 .B 单调函数必是连续函数 .C 可导函数必是连续函数 D .连续函数必是可导函数 3.设()x f 为连续函数,则()⎰dx x f dx d等于( ). .A ()C x f + .B ()x f.C ()dx x dfD .()C dxx df + 4.函数()x x x f sin 3=是（ ）..A 偶函数 .B 奇函数.C 周期函数 D .有界函数5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（ ）.()A 不存在 ()B 仅有一条 ().C 不一定存在 ().D 至少有一条二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分)__________=a .2.()()().___________________311sin lim221=+--→x x x x3..___________________________1lim 2=++--∞→xx x x x 4.设函数()x f 在点1=x 处可导，且()11==x dx x df ，则()()._______121lim=-+→xf x f x5设函数()x x f ln 2=，则().____________________=dxx df6.设xe 为()xf 的一个原函数，则().___________________=x f 7.()._________________________2=⎰x dt t f dxd 8.._________________________0=⎰∞+-dx e x9.().________________________2=+⎰-ππdx x x10.幂级数()∑∞=-022n nnx 的收敛半径为.________________三.计算题:(每小题6分,共60分) 1.求极限()()()()()x b x a x b x a x ---+++∞→lim.2.求极限()nnnn n n 75732lim+-++∞→.3.设()b ax ey +=sin ，求dy .4.设函数xxe y =，求22=x dx yd .5.设y 是由方程()11sin =--xy xy 所确定的函数,求(1).0=x y ; (2).=x dx dy .6.计算不定积分⎰+dx x x132.7.设函数()⎩⎨⎧≤<≤≤=21,210,2x x x x x f ，求定积分()⎰20dx x f .8.计算()xdte ex t tx cos 12lim--+⎰-→.9.求微分方程022=+dxdydx y d 的通解. 10.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数.四．综合题：（每小题10分，共30分）1. 设平面图形由曲线xe y =及直线0,==x e y 所围成, (1)求此平面图形的面积;(2)求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积. 2.求过曲线xxey -=上极大值点和拐点的中点并垂直于0=x 的直线方程。
第1 页共5页2010-2011学年第一学期考试卷 A课程：高等数学Ⅰ1（90学时）考试形式：闭卷考试一．填空题．填空题((每小题3分,本大题满分15分) 1．设函数îíì>£=1||01||1)(x x x f ，则)]([x f f = . 2．设函数ïîïíì³+<=0202sin )(x ax x xx x f ，当常数=a ____________时时,)(x f 在0x =处连续处连续. .3．曲线x e y 2=上点（0，1）处的切线方程为______ __. 4．曲线53523++-=x x x y 的凹区间为的凹区间为_______ _____. _______ _____. 5．若x e -是)(x f 的原函数，则dx x f x )(ln 2ò = . 二．选择题选择题((每小题3分,本大题满分15分)1. 1. 当当1x ®时，无穷小量x -1是x -1的( ).A. A. 高阶无穷小高阶无穷小; B. B. 低阶无穷小低阶无穷小;C. C. 等价无穷小等价无穷小;D. D. 同阶但不等价无穷小同阶但不等价无穷小. 2．若¥=®)(lim x f ax ，¥=®)(lim x g ax 则必有（）A. ¥=+®)]()([lim x g x f a x ;B. ¥=-®)]()([limx g x f a x ;C. 0)()(1lim=+®x g x f ax ; D. ¥=®)(lim x kf ax ，（0¹k 为常数）3.3.函数函数xx x x f p sin )(3-=的可去间断点个数为（）.A ．1; B. 2; C. 3; D. 1; B. 2; C. 3; D. 无穷多个无穷多个无穷多个. .4.设函数)(x f y =在点0x 处可导,且0)(0¹¢x f ，则xdy y xD -D ®D 0lim 等于（）.A. 0A. 0；；B. -1 B. -1；；C. 1 C. 1；；D. ¥ .5. 5. 设设)(x f 连续，且ò=24)(x x dt t f ，则)4(f = = （（）A. 2A. 2；；B. 4 B. 4；；C. 8 C. 8；；D. 16 . 三．解答下列各题解答下列各题((每小题6分,本大题满分18分)1．)3ln(tan 2x x y ×=，求dy .2．求由方程0)cos(=-+xy e y x 所确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数处的导数. .3．设îíì=+=ty tx cos 12，求dx dy 和22dx y d 。
高等数学统考卷 1112届附答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，哪个函数是奇函数？A. y = x^3B. y = x^2C. y = x^4D. y = |x|A. 积分的上下限互换，积分值不变B. 被积函数乘以常数，积分值也乘以该常数C. 积分区间可加性D. 积分中值定理3. 下列极限中，哪个是正确的？A. lim(x→0) (sin x) / x = 0B. lim(x→0) (1 cos x) / x^2 = 1C. lim(x→∞) (1 / x) = 0D. lim(x→∞) (x^2 1) / x = 1A. ∫∫(x^2 + y^2) dxdyB. ∫∫xy dxdyC. ∫∫x dxdyD. ∫∫y dxdy5. 下列级数中，哪个是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …B. 1 1/2 + 1/3 1/4 + …C. 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …二、判断题（每题1分，共5分）1. 高斯公式可以用来计算曲面积分。
（）2. 泰勒公式可以用来近似计算函数值。
（）3. 无穷小量相乘仍为无穷小量。
（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
（）5. 偏导数连续必可微。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x 在x = 0处的导数值为______。
2. 曲线y = x^3 在点(1, 1)处的切线方程为______。
3. 若f(x, y) = x^2 + y^2，则f_x(1, 2) =______。
4. 设A为矩阵，若|A| = 0，则A为______矩阵。
5. 空间曲线r(t) = (cos t, sin t, t) 在t = π/2处的切线方向向量为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述罗尔定理的内容。
2. 解释复合函数求导法则。
3. 举例说明什么是隐函数。
南京财经大学2011－2012学年第(二)学期《高等数学》期末试题详细解答一、填空题（每题3分，共18分）1、母线平行于x 轴且通过曲线⎩⎨⎧=+-=++0162222222z y x z y x 的柱面方程是22316y z -= 解：因为“母线平行于x 轴的柱面方程”中不含x ，故所求柱面方程就是“消去曲线⎩⎨⎧=+-=++0162222222z y x z y x 方程中的x ”后得到的方程，即22316y z -=。
2、空间曲线段⎩⎨⎧==02L 2x y z ：绕z 轴旋转一周所得的旋转曲面方程为222()z x y =+ 解：因为“曲线⎩⎨⎧==02L 2x y z ：在yoz 面上”，故它绕z 轴旋转一周所得的旋转曲面方程就是将曲线⎩⎨⎧==02L 2x y z ：的方程中的式子22z y =中的z 不变、y换成得到的，即为(22222()z x y ==+，也即222()z x y =+。
3、过点()1,1,2-且在x 轴、y 轴上的截距分别为2和1的平面方程为12xy z ++= 解：由条件“所求平面在x 轴、y 轴上的截距分别为2和1”，可设所求平面的截距式方程为121x y z c ++=，又所求平面过点()1,1,2-，则2111121c c-++=⇒=， 故所求平面方程为1211x y z++=，或2220x y z ++-=。
4、00x y →→=0解：2222000000221()112lim =lim 0112x x x y y y x y x y y x →→→→→→=++ 5、已知22yx ydxa dy x du ++=，则a =1- 解：此题是考平面曲线积分与路径无关的那几个等价条件。
因为222222x dy a ydx ay xdu dx dy x y x y x y +==++++，所以2222x yx ay x y x y ''⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 即22222222222222222222221()()()()x y x x x y y y y x x y a a a x y x y x y x y +-+---=⇒=⇒=-++++ 6、设L 为周长为a 的椭圆15422=+y x ，则22(254)L xy x y ds ++=⎰20a 解：因为椭圆周22:145x y L +=关于x 轴和y 轴对称，而 2222(254)2(54)LLLxy x y ds xy ds x y ds ++=++⎰⎰⎰，则由对称性，得20Lxy ds =⎰；故222222(254)(54)20202045L L L L x y xy x y ds x y ds ds ds a ⎛⎫++=+=+== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰。
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2011~2012学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设有向量(1,2,2)a =- ，(2,1,2)b =- ，则数量积()()a b a b -⋅+。
2.曲面22z x xy y =++在点(1,1,3)M 处的切平面方程是 。
3．设u =(1,1,1)u =grad 。
4．幂级数0()3n n x∞=∑的收敛半径R = 。
5．微分方程430y y y '''-+=的通解是 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．已知(1,1,1)A ，(2,2,1)B ，(2,1,2)C ，则AB 与AC的夹角θ是（B ）A ．4π B ．3π C ．6π D ．2π 2．函数2z xy =在点(1,2)处的全微分是 （ D ）A ．8B ．4dx dy +C ．22y dx xydy +D ．4()dx dy +3．设L 为圆周222x y a +=，取逆时针方向，则2222()Lx ydx x xy dy ++=⎰ （ B ）A ．2a πB ．42a π C ．2πD ．04．下列级数中收敛的是 （ C ）A．1n ∞= B．1n ∞= C ．114n n ∞=∑ D ．114n n∞=∑5．微分方程12x y e-'=的通解是 （ C ）A ．12x y eC -=+ B ．12x y e C =+ C ．122x y e C -=-+ D ．12x y Ce-=三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.设2,,xs f x xyz y⎛⎫= ⎪⎝⎭，且f 具有一阶连续偏导数，求s x ∂∂，s y ∂∂，s z∂∂. 2. 设由方程22240x y z z +++=确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。
绝密 * 启用前2012 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷）文科数学注息事项 :1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题 )两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动 .用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后 .将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合 A={x| x 2－ x － 2<0}， B={x| －1<x<1}，则（ A ）A B（B ）B A（C ）A=B（D ）A ∩B=－ 3+i （ 2）复数z ＝的共轭复数是 2+i（ A ） 2+i（ B ）2－ i（ C ）－ 1+i（ D ）－ 1－ i3、在一组样本数据（ x 1 ，y 1 ），（x 2 ，y 2 ），⋯，（ x n ，y n ）（ n ≥ 2，x 1,x 2, ⋯ ,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（ x i ， y i ） (i=1,2, ⋯ , n) 都在直线 1y= x+1 上，则这组样本数据的样本相关系数为2（A ）－ 1（B ）0（C ）1（ D ）12223a上一点，△ F（ 4）设 F 、 F 是椭圆 E ：x2y 2是底角12a ＋b＝ 1(a>b>0)的左、右焦点， P 为直线 x= 2 1PF 2为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为（）（ A ）12342 （B ）3 （ C ）4 （D ） 55、已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1)，B(1,3)，顶点 C 在第一象限，若点（ x ，y ）在△ ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是 （ A ）(1－ 3， 2)（ B ） (0， 2) （ C ）( 3－1，2) （ D ） (0， 1+ 3)（ 6）如果执行右边的程序框图，输入正整数 N(N ≥2)和实数 a 1,a 2,⋯,a N ，输出 A,B ，则（ A ）A+B 为 a 1,a 2,⋯,a N 的和 （ B ）A ＋ B为 a 1,a 2,⋯ ,a N 的算术平均数2（ C ）A 和 B 分别是 a 1,a 2,⋯ ,a N 中最大的数和最小的数（ D ） A 和 B 分别是 a 1,a 2,⋯ ,a N 中最小的数和最大的数开始输入 N ，a 1,a 2,⋯,a Nk=1,A=a 1,B=a 1x =a kk=k+1是x ＞ A否A=x是x<B否B=x否k ≥ N是输出 A ，B结束（ 7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积 为 （ A ）6 （ B ）9 （ C ）12（ D ） 18(8)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α的距离为 2，则此球的体积为（ A ） 6π （ B ） 4 3π （C ） 4 6π （D ） 6 3ππ 5π（ 9）已知 ω>0， 0<φ<π，直线 x= 和 x=是函数 f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=44（ A ）πππ3π4（B ） 3（C ） 2（D ） 4（ 10）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y 2=16x 的准线交于 A ，B 两点，|AB|=4 3，则 C 的实轴长为（A ） 2（B ）2 2（C ）4（D ）8(11)当 0<x ≤1时， 4x <log a x ，则 a 的取值范围是2（ A ）(0， 22，1) （C ） (1， 2) （D ）( 2， 2) 2 ) （B ）( 2（ 12）数列 {a n }满足 a n+1 ＋ (－ 1)n a n ＝ 2n － 1，则 {a n }的前 60 项和为 （ A ）3690（ B ） 3660（ C ）1845（ D ）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
绝密★启用前2011年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效。
一、选择题：1～10小题，每题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。
1.解析：此题是极限的运算法则题型一：将极限值代入方程如果分母不得零，就将极限值直接带入方程求解。
（直接代入法） 题型二：将极限值代入方程如果分母得零，就不能用题型一的方法！先将方程因式分解或分子有理化等方法将式子中的零因子去除再将极限值代入求解。
例：a.00型因式分解去零因子 b. 00型分子有理化去零因子c.∞∞型式子中如果有高次幂就用最高次幂除分子分母d.∞-∞型一般处理方法是通分e.切记一定是00或∞∞可以用洛必达法则上下求导和无穷小量等价代换进行求解 【特殊角的三角函数值】（1）sin 00= （2）1sin62π=（3）sin 32π= （4）sin 12π=） （5）sin 0π= （1）cos 01= （2）cos 6π= （3）1cos 32π= （4）cos 02π=） （5）cos 1π=-（1）tan 00= （2）tan 63π= （3）tan 3π=（4）tan 2π不存在 （5）tan 0π=（1）cot 0不存在 （2）cot 6π= （3）cot 33π=（4）cot 02π=（5）cot π不存在重要公式（1）0sin lim 1x xx →= （2）()10lim 1xx x e →+= （2.1）e xxx =+∞→)11(lim （3）)1n a o >= （4）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞=（6）lim tan 2x arc x π→-∞=-（7）lim arc cot 0x x →∞= （8）lim arc cot x x π→-∞= （9）lim 0xx e →-∞=（10）lim x x e →+∞=∞ （11）0lim 1xx x +→=A.B. C.D.2.设，则解析：本题考导数此题和填空14题解析相同A.B.C.D.3.设，则解析：本题考微分求导后一定要加dx 微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1log ln xad dx x a= ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =-+ 微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B.C.D.4.设，则解析：本题考高阶求导， 高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦ （4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑A.B.C.D.5.解析：本题考不定积分，解析和填空16题解析相同A.B.C.D.6.解析：本题考定积分用不定积分的方法积分后将上下值代入求解A.B.C.D.7.设，则解析：本题考偏导数,题型一：分母是y就对y求导把x看做常数求导。
广州大学2011-2012学年第一学期考试卷高等数学Ⅰ1（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每空2分，本大题满分30分） 1．曲线1cos 1x y x x=+有水平渐近线y =1和铅直渐近线x =1-.2．设1()(12)xf x x =+，则0lim ()x f x →=2e ，lim ()xf x →+∞=1.3．设2y x x =-，当2x =，0.01x ∆=时，y ∆=0.0301，d y =0.03.4．设sin sin cos x ty t t t =⎧⎨=+⎩，则d d y t =cos t t，d d yx=t.5．若点(1,2)为曲线326y ax x b =-+的拐点，则常数a =2，b =6.6．设22,0()1sin ,0x e bx a x f x x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩在点0x =处连续且可导，则常数a =1-，b =2-.7．设31()sin d xf x t t -=⎰，则(1)f =0，()f x '=3sin x ，(10)(0)f =9!6-.二．解答下列各题（每小题8分，本大题满分24分）1．求函数y=.解：y''=。
（2分）321(4)xx=-=。
（5分）y''=4=。
（8分）2．求曲线33(1)9y x y x+-+=在点1x=处的切线方程.解：将1x=代入曲线方程，得2y=，切点为(1,2). 。
（1分）曲线方程两边对x求导，得22d d3(1)30d dy yy y x xx x++-+=。
（5分）将1x=，2y=代入上式，得切线斜率1,2d5d12x yykx====-，。
（6分）切线方程为52(1)12y x-=--，即512290x y+-=. 。
（8分）3．求函数()cosxf x e x=的极大值和极小值.解：()cos sinx xf x e x e x'=-，。
2011----2012学年第二学期期末考题解答一.填空题(每小题3分, 满分15分)1. 过直线L:x-1y+2z-2==且垂直于平面3x+2y-z=5的平面方程是2-32_________．【解】应填：x-8y-13z+9=0．直线L的方向向量s={2,-3,2}．已知平面的法向量n1={3,2,-1}，设所求平面的法向量为n，由题意知n⊥s且n⊥n1，故可取ijk n=s⨯n1=2-32={-1,8,13}，32-由条件知，所求平面过点P0(1,-2,2)于是所求平面方程为，-(x-1)+8(y+2)+13(z-2)=0，即x-8y-13z+9=0．2. 设x2+2xy+y+zez=1，则dz【解】应填：-2dx-dy．由x+2xy+y+ze=1，两边求全微分，得 2z(0,1)=2xdx+2ydx+2xdy+dy+(1+z)ezdz=0，当x=0,y=1时，代入原方程得z=0，所以dz(0,1)=-2dx-dy．3. 椭圆抛物面∑：z=2x+y在点P0(1,-1,3)处的法线方程是___________.【解】应填：22x-1y+1z-3==. 4-2-1曲面∑在点P0(1,-1,3)处的法向量可取为n={4x,2y,-1}(1,-1,3)={4,-2,-1}，于是曲面∑在点P0(1,-1,3)处的法线方程为x-1y+1z-4=-2=3-1.4.曲面z=与z=x2+y2所围立体的体积为．【解】应填：6． V=⎰⎰⎰dv=2π0dθ1rπΩ⎰⎰0rdr⎰r2dz=6．5. 设L为上半圆周y=⎰(xL-xy+y2)ds=____________．【解】应填：π．由对称性，代入技巧及几何意义可得⎰2L(x-xy+y2)ds=⎰Lds+0=π二.选择题(每小题3分, 满分15分)1．方程y''-3y'+2y=1+2x-3ex的特解形式为（）． (A)(ax+b)ex (B) (ax+b)xex(C) ax+b+cex(D) ax+b+cxex【解】选（D）2.设unn=(-1)，则级数（）．（A）∑∞∞∞u2n与∑un都收敛（B）n=1n=1∑u2n与n=1∑un都发散n=1 （C）∑∞∞∞∞u2n收敛，而n发散（D）u2n发散，而n收敛n=1∑un=1∑n=1∑u【解】选（C）3．二元函数f(x,y)的两个偏导数fx¢(x,y)，fy¢(x,y)在点P0(x0,y0)处都连续是f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分的（）(A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件【解】若fx¢(x,y)，fy¢(x,y)在点P0(x0,y0)都连续，则f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分，选(A)4.⎰10dx⎰2x1=（）（A）121 （B）)131 （C)（D【解】原积分=⎰dy0101121==⎰231．选（B） )⎧x2-π≤x<05. 设f(x)=⎨，则周期为2π的函数f(x)的傅立叶级数在x=2π处⎩x-π0≤x<π收敛于．（A）-π2 （B）-π （C）0 （D）π 2【解】选(A)三. (10分) 设z=f(xy,xy)+g()，其中f有二阶连续偏导数，g有二阶导yx∂2z数，求．∂x∂y【解】根据复合函数求偏导公式得∂z1y=f1'⋅y+f2'⋅+g'⋅(-2), ∂xyx∂2z∂⎛∂z⎫∂⎛1y⎫= ⎪= f1'⋅y+f2'⋅+g'⋅(-2)⎪∂x∂y∂y⎝∂x⎭∂y⎝yx⎭x11xy1=f1'+y[f11''x+f12''⋅(-2)]-2f2'+[f21''x+f22''⋅(-2)]-g''⋅3-g'⋅2yyyyxx1xy1=f1'+xyf11''-2f2'-3f22''-3g''-2g'yyxxx2四. (10分) 求z=f(x,y)=x-y在闭区域D：+y2≤1上的最大值和最小值．22【解】在D的内部，⎧fx'=2x=0⇒(0,0)为驻点，且f(0,0)=0 ⎨'f=-2y=0⎩y在D的边界上，x2x25x22222+y=1⇒y=1-⇒z=x-y=-1由444(-2≤x≤2)dz5x==0⇒x=0，此时，y=±1,，则有f(0,±1)=-1,dx2比较上述函数值知，f(±2,0)=4函数z=f(x,y)=x-y在D上的最大值为4,最小值为-1．五. (10分) 求微分方程y''=22y'+xex的通解. x1p=xex， x【解】不显含y，故令y'=p,则y''=p'，代入原方程得p'-利用通解公式求得通解为p=x(ex+C1)，积分得原方程通解为1y=(x-1)ex+C1x2+C2．2六. (12分)（Ⅰ）试确定可导函数f(x)，使在右半平面内，y[2-f(x)]dx+xf(x)dy为某函数u(x,y)的全微分,其中f(1)=2；（Ⅱ）求u(x,y)；【解】（Ⅰ）P=y[2-f(x)]，Q=xf(x)．因为y[2-f(x)]dx+xf(x)dy是函数u(x,y)的全微分，所以有即∂Q∂P， =∂x∂yf(x)+xf'(x)=2-f(x)，故xf'(x)+2f(x)=2．上述微分方程的通解为f(x)=1+所以C.由f(1)=2得C=1, x21． x2f(x)=1+（Ⅱ）在右半平面内取(x0,y0)=(1,0)，则11u(x,y)=⎰P(x,0)dx+⎰Q(x,y)dy=⎰0(x+)dy=y(x+)．10xxxyy七. (12分) 求幂级数∞∑n(n+1)xn=1∞n的收敛域及和函数．【解】易求得其收敛域为(-1,1)，令S(x)=∑n(n+1)x=x∑n(n+1)xnn=1n=1∞n-1=x⋅S1(x)，其中S1(x)=∑n(n+1)xn-1，n=1∞∞两边积分⎰再积分xS1(x)dx=∑⎰n(n+1)xn=1∞xn-1dx=∑(n+1)xn，n=1⎰(⎰xxS1(x)dx)dx=∑⎰(n+1)xdx=∑xnn=1∞x∞n+1n=1x2． =1-x因此x22S1(x)=()''=，1-x(1-x)3故原级数的和S(x)=2x，x∈(-1,1)．(1-x)3八. (12分) 计算积分I=⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy∑，其中∑是抛物面z=x2+y2(0≤z≤1)，取下侧．【解】补S0:z=1(x2+y2 1),取上侧,设∑与∑0围成空间区域Ω, Ω及∑0在xOy平面上的投影区域Dxy:x+y≤1.由Gauss公式，I=22∑+∑0 ⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy-⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy ∑0=⎰⎰⎰[Ω∂∂(y-z)+(x+2z)]dv-⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy ∂y∂z∑0∑0=3⎰⎰⎰dv-⎰⎰(y-z)dzdx+(x+2z)dxdy. Ω因为∑0垂直于zOx平面，∑0在zOx平面上的投影区域面积为零，所以⎰⎰(y-z)dzdx=0.∑0I=3⎰⎰[⎰2Dxy1x+y2dz]dxdy-⎰⎰[x+2(x2+y2)]dxdy Dxy2π1=⎰⎰(3-5x2-5y2)dxdy=⎰dθ⎰(3-5r2)rdr=Dxy00π.2九. (4分) 设函数ϕ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分ϕ(y)dx+2xydy2x+y24L的值恒为同一常数．证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有ϕ(y)dx+2xydy2x+y24C=0；【证明】将C分解为：C=l1+l2，另作一条曲线l3围绕原点且与C相接，则ϕ(y)dx+2xydy2x+y24C=ϕ(y)dx+2xydy2x+y24l1+l3-ϕ(y)dx+2xydy2x+y24l2+l3=0．。
