武汉大学量子力学2010年考研真题

一. （类似1999年第一题）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0,0 中运动，若0=t 时，粒子处于()()()()x x x x 3212131210,ϕϕϕψ+-=状态上，其中，()x n ϕ为粒子的第n 个本征态。

（1） 求0=t时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xa n a x n n maE n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222===（1） 首先，将()0,x ψ归一化。

由12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c可知，归一化常数为1312=c于是，归一化后的波函数为()()()()x x x x 3211331341360,ϕϕϕψ++-=能量的取值几率为()()()133;134 ;136321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。

（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。

三. 设厄米特算符Hˆ的本征矢为n，{n 构成正交归一完备系，定义一个算符()n m n m U ϕϕ=,ˆ（1） 计算对易子()[]n m U H,ˆ,ˆ；（2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+；（3）计算迹(){}n m U ,ˆT r ；（4） 若算符Aˆ的矩阵元为n m mnA A ϕϕˆ=，证明()n m UA A nm m n ,ˆˆ,∑=(){}q p U A A pq ,ˆˆTr +=解：（1）对于任意一个态矢ψ，有()[]()()()()()()ψψψψϕϕψϕϕψψψn m U E E n m U E n m U E H H H n m U n m U Hn m U Hn m n m n m n m ,ˆ,ˆ,ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ-=-=-=-=故()[]()()n m U E E n m U Hn m,ˆ,ˆ,ˆ-=（2）()()()p m Uq p U n m U nq p q n m,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ==+（3）算符的迹为(){}()mnm n k n k m kkkk n m U n m U δϕϕϕϕϕϕϕϕ====∑∑,ˆ,ˆT r（4）算符()n m UA A A A nm mnnn m nm m m mm ,ˆˆˆˆ,,∑∑∑===ϕϕϕϕϕϕ而()(){}q p U Aq p U A A A A A k kk kkp q k qk kk p q p pq ,ˆˆT r ,ˆˆˆˆˆ++=====∑∑∑ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ五. （见2001年第五题）两个质量皆为μ的非全同粒子处于线谐振子位中，若其角频率都是ω，加上微扰项21 ˆx x W λ-=（21,x x 分别为第一个粒子与第二个粒子的坐标）后，试用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。

量子力学复习题导致量子论产生的物理现象主要有哪些？p2量子的概念是如何引进的？p5为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一？p6写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义。

P12什么是波函数的几率解释？p18态的迭加原理。

P22动量算符的定义。

P27写出单粒子薛定谔方程。

P27写出多粒子薛定谔方程。

P28写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。

P33什么条件下可以得到定态薛定谔方程？p32什么是束缚态？p37什么情况下量子系统具有分立能级？p37什么是基态？p37写出线性谐振子的定态薛定谔方程。

P39写出线性谐振子的能级表达式。

P40写出波函数应满足的三个基本条件。

P51写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义。

P54量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出？p55写出厄米算符的定义，并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示。

P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。

P60什么是角量子数、磁量子数？写出相应的本征值表达式及其数值关系。

P63解：),()1(),(ˆ22ϕθϕθlm lm Y l l Y L += ),(),(ˆϕθϕθlmlm z Y m Y L = 其中l 表征角动量的大小，称为角量子数，m 称为磁量子数。

对应于一个l 的值，m 可以取（2l +1）个值，从-l 到+l 。

写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离？00.52A a =( 3分) 113.6e V E =( 3分)可见光的能量不超过3.26eV , 这个值小于氢原子的电离能，所以不能引起氢原子电离。

( 4分)写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。

P65 写出氢原子能级的表达式及其简并度。

P68 s, p, d, f 态粒子是什么含义？p63关于力学量与算符的关系的基本假定。

P83 写出力学量平均值的积分表达式。

P84 两个算符可对易的充要条件是什么？p89 写出X 方向坐标与动量的不确定关系。

《量子力学》题库一、简答题1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为：ων ==h Ek nhp ==ˆλ其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。

等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。

2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。

按这种解释，描写粒子的波是几率波。

3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。

答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。

4 设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211ϕϕψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1ϕ和2ϕ为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。

试说明式子2211ϕϕψc c +=的含义，并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。

答：2211ϕϕψc c +=的含义是：当粒子处于1ϕ和2ϕ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于1ϕ态，又处于2ϕ态。

或者说，当1ϕ和2ϕ是体系可能的状态时，它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处于态1ϕ、2ϕ中。

在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为21c 和22c 。

5 什么是定态？定态有什么性质？答：定态是指体系的能量有确定值的态。

在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。

6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？ 答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。

武汉大学量子力学期末试卷武汉大学物理科学与技术学院2012－2013(二)《量子力学》课程期末考试试题A卷学号：姓名：专业：得分：一、单选题(每题2分，共50分)1. 由氢原子理论知，当大量氢原子处于n=3的激发态时，原子跃迁将发出（ C ）。

A.一种波长的光B.两种波长的光C.三种波长的光D.连续光谱2. 根据玻尔氢原子理论，巴耳末线系中谱线最小波长与最大波长之比为（ A ）。

A. 5/9B. 4/9C. 7/9D. 2/93. 下列各组量子数中，可以描述原子中电子的状态的一项是（ B ）。

A. n=2，l=2，ml = 0， ms = 1/2B. n=3，l=1，ml = -1，ms = -1/2C. n=1，l=2，ml = 1， ms = 1/2D. n=1，l=0，ml = 1， ms = -1/24. 一价金属钠原子，核外共有11个电子。

当钠原子处于基态时，根据泡利不相容原理，其价电子可能取的量子态总数为（ D ）。

A. 2B. 8C. 9D. 185. 下列哪种论述不是定态的特点（ C ）A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.6. 在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的（ D ）A.能量是量子化的，而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的.7. 在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为（ D ）8. 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为（ D ）9. F 和G 是厄密算符,则（ D ）必为厄密算符. ?GF 必为厄密算符.(FG+GF)必为厄密算符. (FG?GF)必为厄密算符10. 氢原子能级的特点是（ D ）A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.11. .一维自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为（ B ）. B. 2. C. 3. D. 4.drr r R D rdr r R C r r R B rr R A nl nl nl nl 222222)(.)(.)(.)(.12. 下列波函数为定态波函数的是（ C ）A. ψ2B. ψ1和ψ2C. ψ3D. ψ3和ψ413. 设ψ1(x)和ψ2(x)分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c 1ψ1+ c 2ψ2的几率分布为（ D ）14. 设ψ(x)=δ(x)，在x?x+dx 范围内找到粒子的几率为（ D ）A.δ (x ）B.δ (x)dxC.δ2(x)D.δ2(x)dx15. 用波尔-索末菲(Bohr-Sommerfeld)的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（n = 0,1,2,L ）（ C ）A. En=n?ω .B. En=(n+1/2) ?ωC. En = (n+1)?ω .D. En= 2n?ω .16. X 射线康普顿散射证实了（ C ）A.电子具有波动性.B.光具有波动性.C.光具有粒子性.D. 电子具有粒17.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是（ C ）2*12*1*21*212222112*1212222112*121222211222211.2...ψψψψψψψψψψψψψψψψC C C C C C D C C C C C C C C C B C C A ++++++++A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.D. A, B, C.都对18.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是（ A ）A. 以本征值为对角元素的对角方阵. B 一个上三角方阵.C.一个下三角方阵.D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.19. 波函数Ψ1 、Ψ2=CΨ1,C为任意常数，（D ）A. Ψ1与Ψ2描写粒子的状态不同.B. Ψ1与Ψ2所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: C .C. Ψ1与Ψ2所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1：|C|2D. Ψ1与Ψ2所描写粒子的状态相同.20.戴维森和革末的电子晶体衍射实验的实验证实了（ A ）A. 电子具有波动性.B. 光具有波动性.C. 光具有粒子性.D. 电子具有粒子性21. 下面哪个实验现象不能说明电子自旋的存在（ C ）A. 原子光谱精细结构B.反常塞曼效应C. 光的康普顿散射D.斯特恩-盖拉赫实验22. 体系处于ψ=c1Y11+c2Y10 态中,则ψ（ B ）A.是角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.B.是角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z分量算符的本征函数.C.不是角动量平方算符的本征函数,是角动量Z分量算符的本征函数.D.不是角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z 分量算符的本23. 下列实验哪个不能证明辐射场的量子化（ D ）A 、光电效应B 、原子光吸收C 、黑体辐射D 、电子晶体衍射24. 对易关系[x , p x ]等于( A )B.?i ?C.? ?25. 全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数( C )A.是对称的.B.是反对称的.C.具有确定的对称性.D.不具有对称性二、两个电子的自旋取向分别在x 和y 轴的正向，请问系统处于两电子自旋三重态态的几率有多大(12分)三、三维转子的哈密顿为:其中I 和Δ都是转动惯量，分如下两种情况求体系能量本征值(1)、Δ=0(6分)(2)、Δ不为0，但相对I 是小量，给出能量本征值近似值，精度达到Δ的一次方。

量子力学近年考研真题答案量子力学是物理学中的一门重要学科，近年来在考研中也是一个热门的考点。

考生们在备考过程中，对于量子力学的理解和掌握程度直接影响着他们在考试中的得分。

因此，了解量子力学近年来的考研真题答案是非常有必要的。

首先，我们来探讨一下近年来的考研真题中关于量子力学的选择题。

这些选择题主要涉及到量子力学的基本概念和原理，考察考生对于量子力学的基础知识的掌握程度。

例如，有一道题目是关于波粒二象性的，要求考生选择正确的描述。

答案是“物质既具有波动性又具有粒子性”。

这道题目考察了考生对于波粒二象性的理解，以及对于量子力学基本原理的掌握。

接下来，我们来看一下近年来的考研真题中关于量子力学的填空题。

这些填空题主要考察考生对于量子力学的数学表达和计算的掌握程度。

例如，有一道题目是关于波函数的归一化的，要求考生填写正确的表达式。

答案是“∫|Ψ(x)|^2dx=1”。

这道题目考察了考生对于波函数归一化条件的理解和应用能力。

除了选择题和填空题，近年来的考研真题中还出现了一些关于量子力学的解答题。

这些解答题主要考察考生对于量子力学的深入理解和应用能力。

例如，有一道题目是关于薛定谔方程的，要求考生推导出薛定谔方程的一维定态解。

这道题目考察了考生对于薛定谔方程的理解和推导能力。

通过分析近年来的考研真题答案，我们可以发现，量子力学在考研中的考察重点主要集中在基本概念和原理、数学表达和计算、深入理解和应用能力等方面。

因此，考生在备考过程中，应该注重对于这些方面的学习和掌握。

同时，我们也可以发现，近年来的考研真题中对于量子力学的考察难度逐年增加。

这也说明了量子力学在物理学中的重要性和复杂性。

因此，考生在备考过程中，除了掌握基础知识外，还需要注重对于量子力学的深入理解和应用能力的培养。

总结起来，量子力学在考研中的考察是一个重要的环节。

通过了解近年来的考研真题答案，考生可以更好地了解考察重点和难度，有针对性地进行备考。

同时，也可以通过分析真题答案，加深对于量子力学的理解和掌握。

物理学综合考研题目及答案题目一：量子力学基础问题：1. 简述海森堡不确定性原理。

2. 解释波函数的统计解释。

3. 描述薛定谔方程的基本形式及其物理意义。

答案：1. 海森堡不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。

具体来说，如果粒子的位置测量得越精确，其动量的不确定性就越大，反之亦然。

数学上，这可以表示为Δx * Δp ≥ ħ/2，其中Δx 是位置的不确定性，Δp 是动量的不确定性，ħ是约化普朗克常数。

2. 波函数的统计解释是由马克斯·玻恩提出的，他认为波函数的绝对值平方给出了粒子在某位置被发现的概率密度。

这意味着波函数本身并不是一个物理实体，而是描述粒子状态的概率波。

3. 薛定谔方程是量子力学的基本方程，其形式为 iħ∂ψ/∂t = Hψ，其中 i 是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，ψ 是波函数，t 是时间，H 是哈密顿算符，代表系统的总能量。

薛定谔方程描述了波函数随时间的演化。

题目二：经典力学与相对论问题：1. 描述牛顿第二定律及其适用范围。

2. 解释广义相对论中引力的本质。

3. 简述狭义相对论中时间膨胀的概念。

答案：1. 牛顿第二定律表述为 F = ma，即物体的加速度与作用在其上的净外力成正比，与物体的质量成反比。

这个定律适用于宏观尺度和低速运动，但在接近光速或强引力场的情况下，牛顿力学需要被相对论所修正。

2. 在广义相对论中，引力被解释为由物质和能量引起的时空弯曲。

物体在时空中沿着所谓的测地线自由落体运动，而这些测地线正是由物质和能量分布决定的。

3. 狭义相对论中的时间膨胀是指，相对于静止观察者，运动中的时钟会走得更慢。

这可以通过洛伦兹变换来描述，当物体以接近光速的速度运动时，其经历的时间相对于静止观察者会显著减慢。

题目三：热力学与统计物理问题：1. 描述热力学第一定律的物理意义。

2. 解释熵的概念及其在热力学第二定律中的作用。

3. 简述玻尔兹曼分布公式及其物理意义。

《量子力学》考研真题详解1、1924年，德布罗意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子，质子，也具有波性，对于具有一定动量p的自由粒子，满足德布罗意关系：______；假设电子由静止被150伏电压加速，加速后电子的物质波波长为：______。

[北京大学2005研]【答案】，；8.9×10－41m2对宏观物体而言，其对应的物质波长极短，所以宏观物体波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。

计算1K时，C60团簇（由60个C原子构成足球状分子）热运动对应的物质波波长为：______。

[北京大学2005研]【答案】2.9×10－10m二、判断题1量子力学中可观察力学量相应的算符为厄米算符。

[北京大学2006研]【答案】对查看答案【解析】在量子力学中，表示力学量的算符都是纳米算符。

2设体系处于定态，则不含时力学量的测量值的概率分布不随时间改变。

[北京大学2006研]【答案】错查看答案【解析】力学量F∧的平均值随时间的变化满足：若（即力学量F∧的平均值不随时间变化），则称F∧为守恒量。

力学量F∧为守恒量的条件为：∂F/∂t＝0且[F，H]＝0。

不含时力学量F∧的测量值随时间改变可以表示为：因此，力学量F∧的平均值是否变化不能确定，对于定态而言，任何一个波函数都可以用力学量F∧的本征函数表示，在各个本征函数中，力学量F∧所取值的大小是确定的。

因此可以推断，力学量F∧的测量值的概率分布也不能确定。

3一维粒子的本征态是不简并的。

[北京大学2006研]【答案】错查看答案【解析】对于一维粒子的本征态是否简并不能确定，可以举例说明。

比如，一维无限深方势阱，若势能满足：在阱内（），体系所满足的定态薛定谔方程为：在阱外（），定态薛定谔方程为：体系的能量本征值为：本征函数为：所以，显而易见，一维无限深方势阱的本征态是简并的。

复习笔记在十九世纪末、二十世纪初，经典物理取得了巨大的成功，牛顿定律、麦克斯韦方程、热力学和统计力学相继建立并成功应用于物理学研究和工程，但在物理大厦落成的同时，物理学家中的有识之士也意识到了天空中漂浮的乌云。