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7.ξ算符的对易关系——算符间的关系及其物理意义在量子力学中，算符的乘积次序一般是不可交换的即 ABBA ≠这是因为算符乘积是这样定义的： ()(),AB A B ψψψ=任意，即 AB对ψ的运算结果等于先用 B 对ψ运算（得到B ψ∧），然后再用 A 对B ψ∧运算得到的结果，一般 ()AB BA ψψ≠这是算符与通常数的运算规则的唯一不同之处。
1.p r ∧∧→→和的对易式最早为人们认识到的一个例子，是r ∧→和p i ∧→=-∇ 的乘积次序的不可交换P87结果是：,()x x x x x x P P x i x P P x x P i ψψψ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧-=∇⎡⎤-==⎢⎥⎣⎦是任意的上式写为：，顺序不可交换 上式称为x ∧与x P ∧的对易关系，对易关系右边不为0，称x ∧和x P ∧不对易，同理，可得坐标与动量的x ∧几组对易关系：P87归纳起来，就是： ,(,,,),0,,,,x p i x y zm p p x y zβαβαβααβαβ∧⎡⎤=δ=⎢⎥⎣⎦⎡⎤==⎣⎦ ， 讨论：根据对易式,0,,,,,,A B AB BA A A B A A B A B C A B A C AB C A B C A C B ∧∧⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦的定义有：，，，， 2、与轨道角动量有关的对易式：角动量算符是通过坐标算符r ∧→和动量算符p ∧→定义的。
L r p ∧∧∧→→→=⨯，所以利用动量各分量的对易关系，可得,,,,,1,10p x y zL L i L x y zL L i L ααβγγαβγαβγαβγαβγαβγαβγ∧∧∧∧∧∧⎡⎤=E ⎢⎥⎣⎦=⎧⎪E =-E ⎨⎪⎩⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，为顺序，为逆序，为三阶反对称单位张量，若中有两个相同如：，证明：,,,x y z y x z z x z z y x y z z x y z y x xL L y p z p z p x p y p z p y p x p z p z p z p x p y p z p p z p x i x p y p i L ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ，，，，， 类似地，可以说明：,0,,,p x x xz y z y z y z y z z y y y z L i x L x L x x L y p z p x x y p z p y p x z p x xy p x y p x y p x y p x y p x y p L x i z L x i y L ααβγγαβ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧⎡⎤=E ⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--+=--+=⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，x 如：同理：，等：，p 2222,,,0,0x y z i p L L L L L L L L αβγγ∧∧∧∧∧∧∧∧∧⎡⎤=E ⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦补充：,12()12121()21()212A B A B B A i A B B A A B B A dxA B dx B A dx A B dx B A dx B A dx A B dx A B ψϕψϕψϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧*∧∧∧∧***∧∧∧∧**∧∧∧∧*∧⎛⎫+ ⎪⎝⎭-⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰均为厄米算符，证明：①为厄米算符②为厄米算符证：①12B A dxA B B A i A B B A dxi A B dx B A dx i B A dx A B dx i A B B A dxi A B B A dxi ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ*∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧*∧∧∧∧****∧∧∧∧*∧∧∧∧*∧∧∧∧⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为厄米算符②A B B A ∧∧∧∧⎛⎫- ⎪⎝⎭为厄米算符1. 两个算符具有共同本征函数组的条件。
武汉大学物理学院2020-2021学年第一学期考试试题(B卷)年级专业科目高等量子力学姓名学号分数1.(15分) 设算符f=x+ap的某个本征态为|x0⟩,对应的本征值为x0.其中x,p分别为坐标,动量算符,a为实数常量.a)计算exp(-ipλ/ℏ)f exp(ipλ/ℏ),其中λ是实数.b)证明exp(-ipλ/ℏ)|x0⟩是f的本征态,并求出对应的本征值.c)证明f的本征态可以取任意实数.2.(20分)系统的哈密顿量与时间无关,其所有的本征态{|ϕn⟩}和本征值E n已知。
已知薛定谔图像的波函数|ψ(t)⟩的初态为|ψ0⟩。
a)求⟨ϕn|ψ(t)⟩随时间的变化;b)由上面的结果求初态为本征态|ϕi⟩的波函数随时间的演化.c)由上面的结果推导出演化算符.3.(20分) 设一个自选系统的哈密顿量与时间有关,其形式为H=−μβcos(ωt)σx,其中σx为泡立算符的x分量,μ,β,ω为常数.a)写出这个系统演化算符满足的方程.b)求出这个系统的演化算符.4.(15分) 在一个三维粒子的系统中,设x⃗ ,p分别为粒子的坐标，动量算符。
a)对算符p⃗⋅x⃗做转动变换，设转轴为n⃗,转角为φ.b)对含时算符exp(i|p|2t)做时间反演变换.5.(15分) 已知两个费米子的态|ϕ⟩=ϕ1+ϕ2+|0⟩.其中|0⟩为真空态,ϕi+是单粒子态的产生算符,且他们产生的单粒子态不正交.ψ(x),ψ+(x).求⟨ϕ|n(x)|ϕ⟩.6.(15分) 设一维系统的哈密顿量为H=T+v0δ(x−x0),其中T是动能算符,v0是常数.已知一维自由格林函数为G±(E,x,x′)= c0 exp(±ik|x−x′|),其中k=√2mE/ℏ,c0为常数,a)求出常数c0.b)利用一维自由格林函数求出系统的全格林函数.。
第七章 近似方法7.1 粒子处于宽度为a 的一维无限深势阱中，若加进微扰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤-='a x ab ax b H 220ˆ当当计算粒子的能量和波函数的一级修正值。
解 （1）能量的一级修正公式为τϕϕd H E nn n 00'ˆ*'=⎰ 代入ax n a n πϕsin20=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤-='a x a b a x b H 220ˆ当当得 'n E xdx a n a b xdx a n a b a a a ππ220sin 2sin 22⎰⎰+-= 2cos sin 212aa x n x a n x a n n a ab ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅-=ππππ aa a x n x a n x a n n a ab 2cos sin 212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅+ππππ022122212=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-=ππππn n a a b n n a a b 可见能量的一级修正为零。
（2）波函数的一级修正为0'''kkn kn A ψψ∑=90 式中 00'000*0'ˆkn kn kn nk knE E H E E d H A-≡-'=⎰τψψ 注意到 222202ma n E nπ=， ax n a n πψsin20= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤-='a x a b a x b H 220ˆ当当∴ )(2222222kn H n ma A kn kn -'=' π其中 dx HH nk akn0*00ˆψψ'='⎰dx a x k a x n a b dx a x k a x n a b a a a ππππsin sin 2sin sin 220⎰⎰+=dx ax n k a b dx a x n k a b dxax n k a b dx a x n k a b a a a a a a ππππ)cos()cos()cos()cos(222200+--+++--=⎰⎰⎰⎰2)sin()(2)sin()(2)sin()(2)sin()(ππππππππn k n k b n k n k b n k n k b n k n k b +++--+++---=]2)sin()(12)sin()(1[2ππππn k n k n k n k b ---++=∴ 2)sin()(1[1422222πππn k n k k n b ma A kn ++-⋅='91)(]2)sin()(1n k n k n k ≠---ππ∴ ⨯-='∑≠a xk k n a b ma n k n ππψsin )(12422222]2)sin()(12)sin()(1[ππππn k n k n k n k ---++⨯ 其中当n k +及n k -为偶数时为零。
武汉大学物理科学与技术学院2012－2013(二)《量子力学》课程期末考试试题A卷学号： 姓名： 专业： 得分：一、单选题 每题 分，共 分由氢原子理论知，当大量氢原子处于 的激发态时，原子跃迁将发出（ ）。
一种波长的光 两种波长的光 三种波长的光 连续光谱根据玻尔氢原子理论，巴耳末线系中谱线最小波长与最大波长之比为（ ）。
下列各组量子数中，可以描述原子中电子的状态的一项是（ ）。
， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，一价金属钠原子，核外共有 个电子。
当钠原子处于基态时，根据泡利不相容原理，其价电子可能取的量子态总数为（ ）。
下列哪种论述不是定态的特点（ ）几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化几率流密度矢量不随时间变化任何力学量的平均值都不随时间变化定态波函数描述的体系一定具有确定的能量在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的（ ）能量是量子化的，而动量是连续变化的能量和动量都是量子化的能量和动量都是连续变化的能量连续变化而动量是量子化的在极坐标系下 氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为（ ）在极坐标系下 氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为（ ）和 是厄密算符 则（ ）必为厄密算符 − 必为厄密算符必为厄密算符 − 必为厄密算符氢原子能级的特点是（ ）相邻两能级间距随量子数的增大而增大能级的绝对值随量子数的增大而增大能级随量子数的增大而减小相邻两能级间距随量子数的增大而减小一维自由粒子的运动用平面波描写 则其能量的简并度为（ ）下列波函数为定态波函数的是（ ）drr r R D rdr r R C r r R B rr R A nl nl nl nl 222222)(.)(.)(.)(.和 和设ψ 和ψ 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态 ψ ψ 的几率分布为（ ）设ψ δ ，在 − 范围内找到粒子的几率为（ ））用波尔 索末菲 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ）（ ）ωω ω射线康普顿散射证实了（ ）电子具有波动性 光具有波动性 光具有粒子性 电子具有粒有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是（ ）波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波2*12*1*21*212222112*1212222112*121222211222211.2...ψψψψψψψψψψψψψψψψC C C C C C D C C C C C C C C C B C C A ++++++++微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包单个微观粒子具有波动性和粒子性都对力学量算符在自身表象中的矩阵表示是（ ）以本征值为对角元素的对角方阵 一个上三角方阵一个下三角方阵 一个主对角线上的元素等于零的方阵波函数 、 为任意常数，（ ）与 描写粒子的状态不同与 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是 与 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是 ： 与 所描写粒子的状态相同戴维森和革末的电子晶体衍射实验的实验证实了（ ）电子具有波动性 光具有波动性光具有粒子性 电子具有粒子性下面哪个实验现象不能说明电子自旋的存在（ ） 原子光谱精细结构 反常塞曼效应光的康普顿散射 斯特恩 盖拉赫实验体系处于ψ 态中 则ψ（ ）是角动量平方算符、角动量 分量算符的共同本征函数是角动量平方算符的本征函数 不是角动量 分量算符的本征函数 不是角动量平方算符的本征函数 是角动量 分量算符的本征函数 不是角动量平方算符的本征函数 也不是角动量 分量算符的本征函数下列实验哪个不能证明辐射场的量子化（ ）、光电效应 、原子光吸收、黑体辐射 、电子晶体衍射对易关系 等于−全同粒子体系中 其哈密顿具有交换对称性 其体系的波函数是对称的 是反对称的 具有确定的对称性 不具有对称性二、两个电子的自旋取向分别在 和 轴的正向，请问系统处于两电子自旋三重态态的几率有多大 分 ？三、三维转子的哈密顿为其中 和 都是转动惯量，分如下两种情况求体系能量本征值、 分、 不为 ，但相对 是小量，给出能量本征值近似值，精度达到 的一次方。
第七章 定态问题的近似解（本部分内容尽可能采用精讲多练的方法教学，减少课堂推导，增加例题训练）7.1 非简并态微扰论微扰论的基本精神 -- 对小量逐级展开一、非简并微扰论适用的条件①n n n E H t H ψψ==∂∂,0；②H H H H ''+= ,0要远小于00,H H为分立谱；③)0()0()0()0()0(0,,nn n n n E E H ψψψ= 已知或易求； ① 所研究的那个能级无简并。
二 、零级近似方程和各级修正方程为表征微扰程度，引入参数H H '→'≤λλ:1，按λ的幂次展开。
方程： n n n E H H ψψλ='+)(0设 ......)2(2)1()0(+++=n n nn E E E E λλ ......)2(2)1()0(+++=n n nn ψλλψψψ 代入方程：...)...)((...))(()2(2)1()0()2(2)1()0()2(2)1()0(0++++++=+++'+n n n n n n n n n E E E H H ψλλψψλλψλλψψλ 比较各级得：)0()0()0(00:n n n E H ψψλ=)0()1()1()0(01)()(:n n n n E H E H ψψλ-'-=-)0()2()1()1()2()0(02)()(:n n n n n n E E H E H ψψψλ+-'-=-……最后令λ=1，求得各级 )()(,m n m n E ψ。
三、n n E ψ, 的各级近似 1、一级近似用}{)0(nψ展开∑=ll l n n a )0()1()1()1(:ψψψ。
代入一级近似方程： )0()1()0()1()0(0)()(n n l ll n E H a E H ψψ-'-=-∑用)*0(k ψ左乘上式，利用kl l k d δτψψ=⎰)0()*0( 得,)1()1()0()1()0(kn n knk n k k E H a E a E δ+'-=-其中⎰''='H d H H n kkn~)0()*0(τψψ在0H 表象的矩阵元。
武汉大学近十年量子力学部分考研真题的分类解析摘要:量子力学是大学物理学本科学生的必修课，同时它也是国内许多知名高校的物理学研究生入学考试的必考科目。
本文将武汉大学2002年—2011年的非相对论量子力学考研真题分八大类解析，给出了标准解法。
并在此基础上提炼出解题模型，提高了运用量子力学的理论解决问题的能力。
关键词:量子力学；考研真题；模型目录前言： (1)1 真题的分类解析 (1)1.1 一维散射问题 (1)1.1.1 阶梯势垒的散射 (1)1.1.2 δ势的散射 (3)1.2一维束缚定态问题 (3)1.2.1无限深势阱求解 (4)1.2.2 δ势求解 (4)1.2.3 初值问题求解 (5)1.2.4 傅立叶变换的应用 (7)1.3 三维束缚态问题 (8)1.3.1 无限深球方势阱基态求法 (8)1.3.2 盒子势求解 (9)1.4 两个角动量算符有关题目求解 (10)1.4.1 轨道角动量算符 (10)1.4.2 自旋角动量算符 (12)1.5 不确定关系的应用 (13)1.6 表象理论相关习题求解 (15)1.7 近似理论的应用 (16)1.7.1 非简并定态微扰 (17)1.7.2 简并定态微扰 (18)1.7.3 变分法 (19)1.8 多体问题——全同性原理的应用 (20)2 重要解题模型 (21)2.1 一维无限深势模型 (21)δ势模型 (21)2.2 ()x2.3 盒子势模型 (21)2.4 中心力场模型 (22)2.5 平面转子模型 (22)2.6 空间转子模型 (22)3 总结 (22)致谢： (22)参考文献： (23)前言：量子力学自诞生以来便显示出强大的生命力，它是描写微观物质的一个物理学理论，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱，许多物理学理论和科学如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其它相关的学科都是以量子力学为基础。
基于这点，国内各大高校的研究生入学考试都将其设为必考科目。
量子力学第七章练习+解答1．考虑一个两维的物理体系，右矢1ψ和2ψ构成态空间的正交归一化基，我们用下式)112φψψ=+)112φψψ=-定义新基1φ和2φ，算符P 用1ψ和2ψ基表示成矩阵为11P εε⎛⎫=⎪⎝⎭，求出算符P 用1φ和2φ基表示矩阵P '。
解：求变换矩阵)1111111211s ψφψψψψ==+=)12121112s ψφψψψψ==-=)21212122s ψφψψψψ==+=)22222122s ψφψψψψ==-=-则变换矩阵为1111s ⎛⎫=⎪-⎭依题意，(),,k l k i i jjl ki ij jl kl i ji jP P P s P s φφφψψψψφ+'===∑∑利用了基的完备性，1i i iψψ=∑，写出矩阵乘积为11111101111101P S PS εεεε++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'===⎪ ⎪⎪ ⎪---⎭⎝⎭⎭⎝⎭2．考虑一个具有三维态空间的物理体系，在态空间选定一组正交归一化基，在这组基下，Hamilton 量可以用矩阵210120003H ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭表示，（1）当测量系统的能量时，可能的结果是什么？（2）一个粒子处于ψi i i ⎛⎫⎪-⎪⎪⎭，求H ，2H 和H ∆解：（1）Hamilton 量满足的本征方程为 210210120120000303a a a b b b c c c λλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭非零解的条件为()()22101203103λλλλλ--=--=- 即123λλ== 31λ=是可能的能量本征值，能量有简并。
（2）)21051203003i H H H iii i i ψψψψ+⎛⎫⎛⎫⎪⎪===---= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭)2222210111203003i HHH iii i i ψψψψ+⎛⎫⎛⎫⎪⎪===---= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭3H ∆==3．考虑Hamilton 量()2ˆˆ2x p H V x m=+描述的一维物理系统，对于定态，求x p（1）由3.1节的练习1知：()ˆ[,()]x x px i xψψ∂=-∂ ，所以：()[][]22ˆˆˆ11ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,,2222x x x x x x xp p p H x V x x x p p x p x p i m m mm m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+==+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 即：ˆˆˆ,x impH x ⎡⎤=⎣⎦对于定态，即ˆHE ψψ=，利用ˆH 是厄米算符，则*ˆH E E ψψψ==*ˆˆˆˆˆˆˆ,ˆˆˆˆ0x x im im im p pHx H x xHim im im E im E xxExxψψψψψψψψψψψψψψψψ⎡⎤===-⎣⎦=-=-=。
§2-7 自由粒子本征函数的规格化和箱归一化所谓自由粒子是在运动过程中不受外力作用的粒子，即位势()0U r =. 一、自由粒子波函数的规格化 1．一维情况对于质量为μ的一维的自由粒子，它所满足的定态薛定谔方程为222()()2d x E x dx ψψμ-= （1) 实际上，上述方程就是动能算符222ˆ2d T dxμ=-的本征方程。
（1）式的两个特解分别为1()ikx x e ψ-= 2()ikx x e ψ= (2）其中2Ek μ=（3）通解为上述两个特解的线性组合1122()()()x c x c x ψψψ=+ （4)其中,1c 和2c 为任意复常数。
下面利用波函数所满足的条件来定解。
首先，讨论0E <的情况。
由于0E <，所以k 为虚数，若令2Eμα=则(2）可改写为1()x x e αψ= 2()x x e αψ-=式中α为正实数。
当0>x 时，1()x ψ不能满足波函数有限性的要求，而当0<x 时，2()x ψ不能满足波函数有限性的要求,所以，1()x ψ和2()x ψ都不是描述一维自由粒子运动的定态波函数。
显然，在通解中也找不出满足波函数自然条件的解，故方程无0E <的解。
在物理上，不存在0E <的解是容易理解的，这是因为自由粒子不存在势能项，它的能量就是动能，而动能是不能小于零，故能量小于零时无解。
其次，讨论0≥E 的情况。
当0≥E 时,k 为正的实数,(2）式即为两个特解。
若k 的取值范围选为从负无穷到正无穷，则上面两式可以统一写成ikx k ce x =)(ψ （5）式中,c 是归一化常数，k 为实数，也可以将其视为量子数，它可以在正负无穷之间连续取值，)(x k ψ是本征波函数。
由（3）式可知,相应的能量本征值为μ222 k E k = (6）显然， k 表示动量。
当0>k 时，表示粒子向右运动；当0<k 时，表示粒子向左运动。
第七章：粒子在电磁场中的运动[1]证明在磁场B中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：[]zy x cq i v v B ˆ,2μ= （1） []xz y cq i v v B ˆ,2μ= （2） []y xz cq i v v B ˆ,2μ= （3） [证明]根据正则方程组：x x p H x v ∂∂== ˆ ，Φ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=q A c qp H 221ˆ μ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x A c q p vˆˆ1ˆμ 同理 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y y y A c q p v ˆˆ1ˆμ ()z y x p p p p ˆ,ˆ,ˆˆ 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=y yx x yxA c q p A c q p v v ˆˆ,ˆˆ1,2μ =[][][][]y x y x y x y x A A cq p A c q A p c q p p ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ122222μμμμ+-- （4） 正则动量与梯度算符相对应，即∇=ipˆ ，因此 []0ˆ,ˆ=y x p p又A ˆ 仅与点的座标有关[]0ˆ,ˆ=yxA A[]z x y x y yxB c iq y A x A i c q x i A c q A x i c q v v 2222,,,μμμμ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-= （因A B ⨯∇=ˆˆ）其余二式依轮换对称写出。
[2]利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z 轴方向） （解）设磁场沿Z 轴方向，B B B B z y x ===00矢势Aˆ的一种可能情形是 022=-=-=z y x A x B A y BA在本题的情形，哈密顿算符是：（前题）{})2(2)1(2221ˆ222222z y x z y x v v v p x c qB p y c qB p H ++=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=μμ速度算符间的对易式是：()()())5(0,)4(0,)3(,2===x z zyyxv v v v B ci q v v μ 根据（54⨯），z v 分别和x v ，y v 对易，因此z v 与22y x v v +对易，而：()2212ˆyx v v H +=μ 与22ˆ2ˆx v H μ=有共同的本征函数，H ˆ的本征值是21ˆ,ˆH H 本征值之和。
