【武汉大学】量子力学第八章

第八章：自旋[1]在x σˆ表象中，求x σˆ的本征态（解） 设泡利算符2σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 21 和()z s x21- （1）或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σˆ的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σˆ的本征函数可表示：βαχ21c c += (2)21,c c 待定常数，又设x σˆ的本征值λ，则x σˆ的本征方程式是：λχχσ=x ˆ (3) 将（2）代入（3）：()()βαλβασ2121ˆc c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σˆ对z σˆ表象基矢的运算法则是：βασ=x ˆ αβσ=x ˆ 此外又假设x σˆ的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有：)6()6()6(122211221c b a c c c c c c ------------------------------------⎪⎩⎪⎨⎧=+==λλ前二式得12=λ，即1=λ，或1-=λ当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 211=δi ec 212=δ 是任意的相位因子。

当时1-=λ，代入（6a ）得21c c -=代入(6c)，得：δi e c 211=δi ec 212-=最后得x σˆ的本征函数：)(21βαδ+=i ex 对应本征值1)(22βαδ-=i ex 对应本征值-1以上是利用寻常的波函数表示法，但在2ˆˆσσx 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。

可用矩阵表示算符和本征矢。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01α ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10β ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21c c χ （7）x σˆ的矩阵已证明是⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110ˆx σ 因此x σˆ的矩阵式本征方程式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σˆ本征矢的矩阵形式是： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121δi ex ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1122δi e x[2]在z σ表象中，求n⋅σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θϕθϕθn是),(ϕθ方向的单位矢。

第八章 WKB 近似WKB （Wenzel ，Kramers, Brillouin ）1方法是得到一维定态Schrödinger 方程的近似解的一种技术（它的基本思想同样可应用于许多其他形式的微分方程和三维Schrödinger 方程的径向部分）。

此法对计算束缚态能量和势垒穿透率都是非常有用的。

它的基本思想如下：假设能量为E 的粒子穿过势能V(x)的区域，其中V(x)为常量。

当E>V 时，则波函数的形式为()ikxx Ae ψ±=，其中k ≡正号表示粒子向右运动，而负号表示它向左运动（当然，通解是两项的线性组合）。

波函数为振荡函数，具有固定的波长（λ=2π/k ）和不变的振幅（A ）。

现在设想V(x)不是一个常量，但是变化相比λ非常缓慢，因此包含许多全波长的区域中的势能可以认为基本上是不变的。

这样，除了波长和振幅随x 缓慢的变化外，可以合理地认为ψ实际上仍然保持正弦形式。

这就是隐藏在WKB 近似后面的核心思想。

它将依赖x 的问题有效地分为两种不同层次：快速振荡和由振幅和波长逐渐变化的调制。

同理，当E<V （其中V 为常量）时，ψ的指数形式为：()xx Ae κψ=其中κ≡如果V(x)不是常量，但是相比1/κ变化很缓慢，除了A 和κ随x 缓慢的变化外，则解可以认为基本上仍然保持指数形式。

现在仍然有一处整个方法不适用的地方，这就是经典转折点的邻域，此处E ≈V 。

因为此处的λ（或者1/κ）趋于无穷大，从而，相比之下V(x)就很难说是“缓慢的”变化了。

我1在荷兰此为KWB ，在法国此为BWK ，在英国此为JWKB （J 为Jeffreys ）们将会看到，对于转折点的恰当地处理将是WKB 近似最难的一个部分，尽管最终的结果形式简洁并易于应用。

8.1经典区域定态Schrödinger 方程()2222d V x E m dx ψψψ-+=可以改写为下列形式：2222d p dx ψψ=- [8.1]其中()p x ≡ [8.2]这是具有总能量E 和势能V(x)的粒子的动量的经典表示式。

第八章 自旋8.1) 在z σ表象中，求x σ的本征态。

解：在z σ表象中，x σ的矩阵表示为：xσ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110 设x σ的本征矢（在z σ表象中）为⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a ，则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a λ0110可得a b λ=及b a λ= 1,12±==∴λλ 。

,1=λ 则;b a = ,1-=λ 则b a -=利用归一化条件，可求出x σ的两个本征态为,1=λ;1121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ,1-=λ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1121 。

8.2) 在z σ表象中，求n ⋅σ的本征态，()ϕϕθϕθcos ,sin sin ,cos sin n是()ϕθ,方向的单位矢.解：在z δ表象中，δ的矩阵表示为x σ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110， y σ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00i i ， zσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1001（1） 因此， z z y y x x n n n n n σσσσσ++=⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=-θθθθϕϕcos sin sin cos i i z y xy x z een inn in n n （2）设n σ的本征函数表示为Φ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b a ，本征值为λ，则本征方程为()0=-φλσn，即 0cos sin sin cos =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----b a e ei i λθθθλθϕϕ（3） 由（3）式的系数行列式0=，可解得1±=λ。

对于1=λ，代回（3）式，可得xy x y x x i i n in n in n n e eb a--=++==-=--112sin 2cos cos 1sin ϕϕθθθθ归一化本征函数用()ϕθ,表示，通常取为()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ϕθθϕθφi e 2sin 2cos ,1或⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-222sin 2cos ϕϕθθi i e e （4）后者形式上更加对称，它和前者相差因子2ϕi e-，并无实质差别。

第8章 自 旋 与 全 同 粒 子Stern-Gerlach 实验中得到了直接证实。

1、Stern-Gerlach （斯特恩-革拉赫）实验2、自旋的提出(1)、每个电子具有自旋角动量s（电子本身固有的，而不是自转而产生的），它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2z s =± ； (2)、每个电子具有自旋磁矩s μ ，它和自旋角动量s 的关系是 s e s mcμ=-，-e 是电子的电荷，m 是电子的质量 自旋磁矩s μ 在空间任意方向上的投影只能取两个数值： 2sz B e mc μμ=±=± 2B e mcμ= 为玻尔磁子 sz z e s mc μ=-，2lz z e l mc μ=- 电子 s l （1） 无经典对应量 有经典对应量（2） 2z s =± 22(1)l l l =+ ，z l m = （3） sz z e s mcμ=- 2lz z e l mc μ=- 回转磁比率 实验证明，除电子外，其他微观粒子也都具有自旋。

如原子、中子、μ介子的自旋角动量和电子一样（但自旋磁矩不同），π介子、k 介子的自旋角动量为0（但自旋磁矩不为零），以下除有特殊说明外，我们所讲的自旋都是指电子自旋。

§8.1 电子自旋态与自旋算符一、自旋算符通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数ˆˆˆˆ(,)FF r p = 而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。

与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为s它是角动量，满足同样的角动量对易关系ˆˆˆs s i s ⨯=轨道角动量ˆl 自旋角动量s ˆˆˆl l i l ⨯= ˆˆˆss i s ⨯= ˆˆˆ[,]x y zl l i l = ˆˆˆ[,]x y z s s i s = ˆˆˆ[,]y z x l l i l = ˆˆˆ[,]y z xs s i s = ˆˆˆ[,]z x y l l i l = ˆˆˆ[,]z x y s s i s = 2ˆˆ[,]0i l l = 2ˆˆ[,]0i s s = 由于自旋角动量s 在空间任意方向上的投影只能取 ±ħ/2 两个值， 所以(1)ˆˆˆ,,x y z ss s 三个算符的本征值都是有两个2 ±； (2)它们的平方就都是22224x y z s s s === ； (3)2ˆs 的本征值为：222223ˆˆˆˆ4x y z s s s s =++= 依照22(1)l l l =+ ， ,2,1,0=l 2223(1)4s s s =+= 21=⇒s s 称为自旋量子数，只有一个数值1/2 (为恒量)，l 为角量子数，可取各种各样的值 1,2z s s m =±= z l m = ， ,2,1,0±±=m 21±=⇒s m m s 自旋磁量子数±1/2 二、含自旋的状态波函数电子的含自旋的波函数需写(,)z r s ψψ=由于 s z 只取 ±ħ/2 两个值， 所以上式可写为两个分量 12()(,)2()(,)2r r r r ψψψψ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 写成列矩阵 (,)2(,)(,)2z r r s r ψψψ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭规定列矩阵第一行对应于s z = ħ /2， 第二行对应于s z = - ħ /2。

武汉大学物理科学与技术学院2012－2013(二)《量子力学》课程期末考试试题A卷学号： 姓名： 专业： 得分：一、单选题 每题 分，共 分由氢原子理论知，当大量氢原子处于 的激发态时，原子跃迁将发出（ ）。

一种波长的光 两种波长的光 三种波长的光 连续光谱根据玻尔氢原子理论，巴耳末线系中谱线最小波长与最大波长之比为（ ）。

下列各组量子数中，可以描述原子中电子的状态的一项是（ ）。

， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，一价金属钠原子，核外共有 个电子。

当钠原子处于基态时，根据泡利不相容原理，其价电子可能取的量子态总数为（ ）。

下列哪种论述不是定态的特点（ ）几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化几率流密度矢量不随时间变化任何力学量的平均值都不随时间变化定态波函数描述的体系一定具有确定的能量在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的（ ）能量是量子化的，而动量是连续变化的能量和动量都是量子化的能量和动量都是连续变化的能量连续变化而动量是量子化的在极坐标系下 氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为（ ）在极坐标系下 氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为（ ）和 是厄密算符 则（ ）必为厄密算符 − 必为厄密算符必为厄密算符 − 必为厄密算符氢原子能级的特点是（ ）相邻两能级间距随量子数的增大而增大能级的绝对值随量子数的增大而增大能级随量子数的增大而减小相邻两能级间距随量子数的增大而减小一维自由粒子的运动用平面波描写 则其能量的简并度为（ ）下列波函数为定态波函数的是（ ）drr r R D rdr r R C r r R B rr R A nl nl nl nl 222222)(.)(.)(.)(.和 和设ψ 和ψ 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态 ψ ψ 的几率分布为（ ）设ψ δ ，在 − 范围内找到粒子的几率为（ ））用波尔 索末菲 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（ ）（ ）ωω ω射线康普顿散射证实了（ ）电子具有波动性 光具有波动性 光具有粒子性 电子具有粒有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是（ ）波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波2*12*1*21*212222112*1212222112*121222211222211.2...ψψψψψψψψψψψψψψψψC C C C C C D C C C C C C C C C B C C A ++++++++微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包单个微观粒子具有波动性和粒子性都对力学量算符在自身表象中的矩阵表示是（ ）以本征值为对角元素的对角方阵 一个上三角方阵一个下三角方阵 一个主对角线上的元素等于零的方阵波函数 、 为任意常数，（ ）与 描写粒子的状态不同与 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是 与 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是 ： 与 所描写粒子的状态相同戴维森和革末的电子晶体衍射实验的实验证实了（ ）电子具有波动性 光具有波动性光具有粒子性 电子具有粒子性下面哪个实验现象不能说明电子自旋的存在（ ） 原子光谱精细结构 反常塞曼效应光的康普顿散射 斯特恩 盖拉赫实验体系处于ψ 态中 则ψ（ ）是角动量平方算符、角动量 分量算符的共同本征函数是角动量平方算符的本征函数 不是角动量 分量算符的本征函数 不是角动量平方算符的本征函数 是角动量 分量算符的本征函数 不是角动量平方算符的本征函数 也不是角动量 分量算符的本征函数下列实验哪个不能证明辐射场的量子化（ ）、光电效应 、原子光吸收、黑体辐射 、电子晶体衍射对易关系 等于−全同粒子体系中 其哈密顿具有交换对称性 其体系的波函数是对称的 是反对称的 具有确定的对称性 不具有对称性二、两个电子的自旋取向分别在 和 轴的正向，请问系统处于两电子自旋三重态态的几率有多大 分 ？三、三维转子的哈密顿为其中 和 都是转动惯量，分如下两种情况求体系能量本征值、 分、 不为 ，但相对 是小量，给出能量本征值近似值，精度达到 的一次方。

量子力学讲义8-1(最新版)量子力学11第八章自旋§8。

1电子自旋1、电子自旋存在的实验依据大量的实验事实证明电子具有自旋。

我们已经知道，与电子轨道角动量L相应地存在一个轨道磁矩µL=gLL,µL=gLLz,zgL≡e2µc量子力学11其中gL为电子的轨道回转磁比率。

由于轨道角动量的模量(大小)是量子化的L2=l(l+1)2,且具有空间量子化Lz=m,因此相应的轨道磁矩也具有模量µL以及空间µLZ的量子化，即µL=µL=gLl(l+1),l=0,1,2,。

,n1zµL=gLm,m=0,±1,±2,±3,。

,±l,m对同一l,可取fl=2l+1个值，即对同一个µL,它在空间可有2l+1种取向，而由量子力学11于l只能为零及正整数，fl总是奇数。

可以通过与轨道磁矩有关的实验现象来检验轨道角动量的量子化性质。

例如对氢原子基态(n=1,l=m=0),其L=0,µL=0,即无轨道角动量与轨道磁矩，但著名的施特恩-盖拉赫实验表明，原子具有不同于轨道磁矩的一个新的磁矩。

S—G实验如下图所示，由K源射出的处于S态(基态)的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场照射到底片上，结果发现射线束方向发生偏转，分裂成两条分立的线，这说明氢原子有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生偏转。

量子力学11zNBBS(8。

1)SternGerlach实量子力学11由于这是处于基态的氢原子，轨道角动量为零，基态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生，故是一种新的磁矩。

此外，由于实验上发现只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中只有两种取向，是空间量子化的，而且只取两个值。

若原子具有磁矩µ,它在z方向上的外磁场B中的势能为θ(3)为外磁场B与原子磁矩µ之间的夹角。

U=µB=µBzcoθ量子力学11而原子因磁矩µ的存在，在Z方向上受到的力为BzU=µcoθFz=(4)zz实验表明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于coθ=+1和coθ=1两个值。

云南师范大学物理与电子信息学院物理/应用物理专业《量子力学》课程教学大纲【课程名称】量子力学（Quantum Mechanics）【课程编码】09B005050【课程类别】专业基础课/必修课【课时】72【学分】 4.0【课程性质、目标和要求】（课程性质）本课程为物理类本科生的专业基础课和必修课。

（教学目标）1、使学生了解微观世界矛盾的特殊性和微观粒子的运动规律，初步掌握量子力学的原理和基本方法;2、本课程的内容与前沿课题有广泛的联系，可以培养学生的研究兴趣和能力，为今后深入学习打下基础;3、使学生了解量子力学在近代物理中的广泛应用，深入和扩大在普通物理中学到的有关内容，以适应今后中学物理教学的需要;4、通过学习培养学生辩论唯物注意世界观及独立分析问题解决问题的能力。

（教学要求）1、教师在教学中可选择教材，但教材及教学内容必须覆盖本大纲要求及安排;2、教学中应抓住本课程基本概念，规律，基本方法，突出重点及难点，讲清逻辑关系并形成系统的知识体系;3、应积极探索启发式，讨论式等多种授课模式;4、根据需要使用现代教学手段，但应考虑实际效果。

【教学时间安排】本课程计 4.0学分，72学时, 学时分配如下：章次课程内容课时备注（教学形式）1 绪论 4 课堂教学2 波函数和Schrödinger方程12 课堂教学3 一维势场中的粒子14 课堂教学4 力学量用算符表达12 课堂教学5 力学量随时间的演化与对称性10 课堂教学6 中心力场8 课堂教学7 自旋 4 课堂教学8 微扰论 4 课堂教学9 学期复习 4 课堂教学合计72【教学内容要点】第一章绪论一、学习目的要求1、使学生了解量子物理发展简史，量子力学的研究对象及特点；2、掌握微观粒子的波粒二象性的实验事实及解释二、主要教学内容1、黑体辐射与普郎克的量子假说2、光电效应与爱因斯坦的光量子假说3、原子光谱与玻尔的量子论4、德布罗意物质波假说三、课堂讨论选题1、从黑体辐射的发现中，体会科学发现的过程及特点（唯象理论的特点）2、从光电效应的发现中，体会科学发现的过程及特点（唯象理论的特点）3、从玻尔量子论的发现中，体会科学发现的过程及特点（唯象理论的特点）四、课外作业选题1、曾谨言《量子力学（卷I）》（第二版）第一章习题1、2、3、4第二章波函数和Schrödinger方程一、学习目的要求通过本章的学习使学生掌握波函数的物理意义，薛定愕方程的建立过程及简单的运用。

第8章 自 旋 与 全 同 粒 子Stern-Gerlach 实验中得到了直接证实。

1、Stern-Gerlach （斯特恩-革拉赫）实验2、自旋的提出(1)、每个电子具有自旋角动量s （电子本身固有的，而不是自转而产生的），它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2z s =±；(2)、每个电子具有自旋磁矩s μ，它和自旋角动量s 的关系是 s e s mcμ=-，-e 是电子的电荷，m 是电子的质量 自旋磁矩s μ在空间任意方向上的投影只能取两个数值： 2sz B e mc μμ=±=± 2B e mcμ=为玻尔磁子 sz z e s mc μ=-，2lz z e l mc μ=- 电子 s l（1） 无经典对应量 有经典对应量（2） 2z s =±22(1)l l l =+，z l m = （3） szz e s mcμ=- 2lz z e l mc μ=- 回转磁比率 实验证明，除电子外，其他微观粒子也都具有自旋。

如原子、中子、μ介子的自旋角动量和电子一样（但自旋磁矩不同），π介子、k 介子的自旋角动量为0（但自旋磁矩不为零），以下除有特殊说明外，我们所讲的自旋都是指电子自旋。

§8.1 电子自旋态与自旋算符一、自旋算符通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数ˆˆˆˆ(,)FF r p = 而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变量）。

与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为s它是角动量，满足同样的角动量对易关系ˆˆˆss i s ⨯= 轨道角动量ˆl 自旋角动量s ˆˆˆl l i l ⨯= ˆˆˆss i s ⨯= ˆˆˆ[,]x y zl l i l = ˆˆˆ[,]x y z s s i s = ˆˆˆ[,]y z xl l i l = ˆˆˆ[,]y z x s s i s = ˆˆˆ[,]z x yl l i l = ˆˆˆ[,]z x y s s i s = 2ˆˆ[,]0i l l = 2ˆˆ[,]0i ss = 由于自旋角动量s 在空间任意方向上的投影只能取 ±ħ/2 两个值， 所以(1)ˆˆˆ,,x y z ss s 三个算符的本征值都是有两个2±； (2)它们的平方就都是22224x y z s s s ===；(3)2ˆs 的本征值为：222223ˆˆˆˆ4x y z s s s s =++= 依照22(1)l l l =+， ,2,1,0=l 2223(1)4s s s =+= 21=⇒s s 称为自旋量子数，只有一个数值1/2 (为恒量)，l 为角量子数，可取各种各样的值 1,2z s s m =±= z l m =， ,2,1,0±±=m 21±=⇒s m m s 自旋磁量子数±1/2 二、含自旋的状态波函数电子的含自旋的波函数需写(,)z r s ψψ=由于 s z 只取 ±ħ/2 两个值， 所以上式可写为两个分量12()(,)2()(,)2r r r r ψψψψ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 写成列矩阵(,)2(,)(,)2z r r s r ψψψ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭规定列矩阵第一行对应于s z = ħ /2， 第二行对应于s z = - ħ /2。