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XXX 大学2021年物理学专业硕士研究生入学考试《量子力学》业务课试题（试卷C ）科目代码： XXX ;名称：量子力学 ;适用专业或方向：物理学一级学科各专业(包括：理论物理、粒子物理与原子物理、原子与分子物理、凝聚态物理、光学) 。
答题注意事项：必须在答题纸上答题，在试卷上答题无效，答题纸老师提供。
一、简答题（30分）。
（1） 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开： ∑=nn n x c x )()(ψψ，写出展开式系数n c 的表达式。
（2）量子力学中的态和算符分别是希尔伯特空间的什么量？（3）在有心力场中，粒子处于定态，ˆˆH L[,]?z（4）写出Pauli矩阵和它们的对易关系。
（5）写出两个电子的对称自旋波函数和反对称自旋波函数。
二、（20分）；一维谐振子在0=t 时的归一化波函数为：)()(21)(51)0,(3320x C x x x ψψψψ++=所描写的态中式中，式中)(x n ψ是谐振子的能量本征函数，求：（1）3C 的数值；（2）在)0,(x ψ态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）0>t 时系统的波函数 ；（4）0>t 时能量的可能值相应的概率及平均值。
三、（20分）；证明(1).i z y x =σσσ;（2）()()21221ˆˆ23ˆˆσσσσ⋅-=⋅，并利用此结论求21,σσ本征值。
四、（20分）；设已知在Z L L ˆˆ2和的共同表象中，算符yx L L ˆˆ和的矩阵分别为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010******* x L ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0000022ii i iL y ，求它们的本征值和归一化的本征函数。
五、（20分）；三维谐振子，能量算符为)(212ˆˆ222220z y x m m p H +++=ω，试写出能级和能量本征函数。
如这振子又受到微扰xy m H2'2ˆωλ=，1<<λ的作用，求基态能级的微扰修正（近似到二阶）。
武汉大学物理学院2020-2021学年第一学期考试试题(B卷)年级专业科目高等量子力学姓名学号分数1.(15分) 设算符f=x+ap的某个本征态为|x0⟩,对应的本征值为x0.其中x,p分别为坐标,动量算符,a为实数常量.a)计算exp(-ipλ/ℏ)f exp(ipλ/ℏ),其中λ是实数.b)证明exp(-ipλ/ℏ)|x0⟩是f的本征态,并求出对应的本征值.c)证明f的本征态可以取任意实数.2.(20分)系统的哈密顿量与时间无关,其所有的本征态{|ϕn⟩}和本征值E n已知。
已知薛定谔图像的波函数|ψ(t)⟩的初态为|ψ0⟩。
a)求⟨ϕn|ψ(t)⟩随时间的变化;b)由上面的结果求初态为本征态|ϕi⟩的波函数随时间的演化.c)由上面的结果推导出演化算符.3.(20分) 设一个自选系统的哈密顿量与时间有关,其形式为H=−μβcos(ωt)σx,其中σx为泡立算符的x分量,μ,β,ω为常数.a)写出这个系统演化算符满足的方程.b)求出这个系统的演化算符.4.(15分) 在一个三维粒子的系统中,设x⃗ ,p分别为粒子的坐标，动量算符。
a)对算符p⃗⋅x⃗做转动变换，设转轴为n⃗,转角为φ.b)对含时算符exp(i|p|2t)做时间反演变换.5.(15分) 已知两个费米子的态|ϕ⟩=ϕ1+ϕ2+|0⟩.其中|0⟩为真空态,ϕi+是单粒子态的产生算符,且他们产生的单粒子态不正交.ψ(x),ψ+(x).求⟨ϕ|n(x)|ϕ⟩.6.(15分) 设一维系统的哈密顿量为H=T+v0δ(x−x0),其中T是动能算符,v0是常数.已知一维自由格林函数为G±(E,x,x′)= c0 exp(±ik|x−x′|),其中k=√2mE/ℏ,c0为常数,a)求出常数c0.b)利用一维自由格林函数求出系统的全格林函数.。
历年量子力学考研真题试卷历年量子力学考研真题试卷量子力学是现代物理学的重要分支，也是考研物理专业的必考内容之一。
历年来，考研真题试卷中的量子力学部分涵盖了许多重要的概念和原理，对于考生来说是一项重要的挑战。
本文将对历年的量子力学考研真题试卷进行回顾和分析，帮助考生更好地准备考试。
首先，我们来看一道经典的考研真题：2015年考研物理专业真题中的一道量子力学选择题。
题目如下：在一个一维无限深势阱中，一束波长为λ的平面波入射，其入射角为θ。
已知势阱宽度为a，求波函数在势阱内的形式。
这道题目考查了量子力学中的一维无限深势阱问题。
解答这道题目需要运用波函数的性质和边界条件来分析。
首先，我们可以根据波函数的性质得出波函数在势阱内的形式是一个定态波函数。
其次，根据边界条件，我们可以得到波函数在势阱两侧的形式是分别由入射波和反射波组成。
因此，波函数在势阱内的形式可以表示为：Ψ(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}，其中A和B分别表示入射波和反射波的振幅，k 为波矢。
接下来，我们来看一道稍微复杂一些的考研真题：2018年考研物理专业真题中的一道量子力学计算题。
题目如下：考虑一个束缚在一维势阱中的粒子，势阱宽度为a。
已知粒子的质量为m，势阱内的势能为V_0，势阱外的势能为0。
求粒子在势阱内的能级。
这道题目考查了量子力学中的束缚态问题。
解答这道题目需要运用定态薛定谔方程和边界条件来分析。
首先，我们可以根据定态薛定谔方程得到粒子在势阱内的波函数形式。
其次，根据边界条件，我们可以得到波函数在势阱两侧的形式是分别由入射波和反射波组成。
因此，波函数在势阱内的形式可以表示为：Ψ(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}，其中A和B分别表示入射波和反射波的振幅，k 为波矢。
然后，我们需要将波函数在势阱两侧的形式进行匹配，并利用边界条件得到粒子在势阱内的能级。
通过求解定态薛定谔方程，我们可以得到粒子在势阱内的能级为：E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2}，其中n为能级的量子数。
量子力学试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是量子力学的基本假设？A. 薛定谔方程描述了微观粒子的运动B. 波粒二象性存在C. 粒子的能量只能取离散值D. 电子具有自旋答案：A2. 量子力学中，波函数ψ的物理意义是什么？A. 粒子的位置分布概率幅B. 粒子的动量C. 粒子的自旋D. 粒子的能量答案：A3. 下列哪个是测量厄米算符A的本征值所对应的本征态？A. |A⟩= A|ψ⟩B. A|ψ⟩= λ|ψ⟩C. A|ψ⟩= |ψ⟩D. A|ψ⟩ = 0答案：B4. 对于厄米算符A和B，若它们对易（即[A, B] = 0），则可以同时拥有共同的一组本征态。
A. 正确B. 错误答案：A5. 量子力学中，双缝干涉实验的实验结果说明了下列哪个基本原理？A. 波粒二象性B. 运动不确定性原理C. 量子纠缠D. 全同粒子统计答案：A二、填空题1. 薛定谔方程的一般形式为___________。
答案：iℏ∂ψ/∂t = Hψ2. 微观粒子的自旋可取的两个可能取值是_________。
答案：±1/23. 薛定谔方程描述的是粒子的_________。
答案：波函数4. 在量子力学中，观测算符A的平均值表示为_________。
答案：⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩5. 测量量子系统时，波函数会坍缩到观测算符A的_________上。
答案：本征态三、简答题1. 请简要解释波粒二象性的概念及其在量子力学中的意义。
答：波粒二象性是指微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。
在量子力学中，波函数描述了粒子的波动性质，可以通过波函数的模的平方得到粒子在不同位置出现的概率分布。
波粒二象性的意义在于解释了微观世界中一些奇特的现象，例如双缝干涉实验和量子隧穿现象。
2. 请简要说明量子力学中的不确定性原理。
答：量子力学中的不确定性原理由海森堡提出，它表明在同时测量一粒子的位置和动量时，粒子的位置和动量不能同时具有确定的值，其精度存在一定的限制。
武汉大学 2007年硕士研究生入学考试试题参考答案（物理化学部分）2007年硕士研究生入学考试试题参考答案（物理化学部分）一、（12分）已知某实际气体状态方程为m pV RT bp=+ (b=2.67×10-5 m 3·mol -1)(1) 计算1mol 该气体在298 K ，10p 下，反抗恒外压p 恒温膨胀过程所作的功，以及这一过程的∆U,∆H,∆S,∆F,∆G ； (2) 选择合适判据判断过程可逆性(3) 若该气体为理想气体，经历上述过程，∆U 为多少？与（1）中结果比较并讨论。
三、解：（1）2e p p p≡=2121()()0.92229.8e RT RTW p dV p V V p b b RT J p p ∴==-=+--==⎰V TU U dU dT dVT V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭由状态方程0T Vm U p R T p T p VT V b ∂∂⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪⎪∂∂-⎝⎭⎝⎭（1）为恒温过程21V V TU U dV V ∂⎛⎫∴∆= ⎪∂⎝⎭⎰＝0 J()5221121()() 2.67101024.3H U pV p V p V b p p p pJ-∆=∆+∆=-=-=⨯⨯-=- p T p TC S S V dS dp dT dp dT p T T T ⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 恒温过程21121ln ln1019.14p p pp V R S dp dp R R J K T p p -∂⎛⎫∆=-=-=-==⋅ ⎪∂⎝⎭⎰⎰5727.9G H T S J ∆=∆-∆=-5703.7F U T S J∆=∆-∆=-（2）选用熵判据来判断过程方向性 对过程（1）∆U ＝0 Q 实＝W ＝2229.8 J12229.87.48298Q S J K T --∆=-==-⋅实环境119.147.4811.660S S S J K -∆=∆∆=-=⋅>孤立体系环境＋该过程为不可逆过程（3）对于理想气体，因为温度不变，所以∆U ＝0，与（1）中结果相同。
![[研究生入学考试]《量子力学》题库](https://uimg.taocdn.com/f6f3e47226d3240c844769eae009581b6bd9bdcf.webp)
《量子力学》题库一、简答题1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为：ων ==h Ek nhp ==ˆλ其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。
等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。
2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
按这种解释，描写粒子的波是几率波。
3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。
答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。
4 设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211ϕϕψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1ϕ和2ϕ为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。
试说明式子2211ϕϕψc c +=的含义，并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。
答：2211ϕϕψc c +=的含义是：当粒子处于1ϕ和2ϕ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于1ϕ态，又处于2ϕ态。
或者说，当1ϕ和2ϕ是体系可能的状态时，它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处于态1ϕ、2ϕ中。
在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为21c 和22c 。
5 什么是定态？定态有什么性质？答：定态是指体系的能量有确定值的态。
在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。
6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？ 答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。
武汉大学研究生入学考试量子力学试题选解5.全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。
一．计算题（20分×4题）1.粒子以能量E 由左向右对阶梯势⎩⎨⎧><-=0,00,)(0x x U x U 入射，求透射系数。
讨论如下三种情况：（1）－U0<E<0；（2）E>0；（3）E>0,但由右向左入射。
解： ⑴ －U0<E<0写出分区薛定谔方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=-<=--0,20,2222221102122x E dxd x E U dxd ψψμψψψμ令：201)(2U E k +=μ，222E k μ-=可将上述方程简化为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=-<=+0,00,0222222121212x k dx d x k dx d ψψψψ一般解可写为：⎪⎩⎪⎨⎧>'+=<'+=--0,0,221121x e B Be x e A Ae x k x k xik x ik ψψ由 )(2∞ψ有限，得 B ＝0 由波函数连接条件，有：⎩⎨⎧-='-⇒='='+⇒=B k A A ik B A A 21'2'221)()0()0()0()0(ψψψψ解得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--='-+='A k ik k i B A k ik k ik A 21121212据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数)(2,||,||2*2*222121=∇-∇='-==ψψψψμμμ i J e A k J e A k J D x R x 1)(||||||||22121=-+='==k ik k ik A A J J R R||||==J J D D满足 R+D ＝1可见，总能量小于势垒高度的粒子必全部被反射，但在x<0的区域找到电子的几率不为零。
武汉理工大学武汉理工大学2005年研究生入学考试试题课程代码 816 课程名称 量子力学（共2页，共10题，答题时不必抄题，标明题目序号）1．（15分）判断下列波函数所描述的状态是否为定态（1）t E i t E i ex u e x u t x 21)()(),( --+=ϕ （2）Et i e x u t x-=)(2),(ϕ 2．（20分）设粒子处于二维无限深势阱中⎩⎨⎧∞<<<=其余区域,0,0,0),(b y a y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。
3．（20分）利用谐振子波函数的递推关系,)(21)(2)(11⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+-x n x n m x x n n n ϕϕωϕ [],)()2)(1()()12()()1(2)(222x n n x n x n n m x x n n n n +-+++++-=ϕϕϕωϕ,212)(11⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-n n n n n m x dx d ϕϕωϕ [],)2)(1()12()1(2)(2222+-++++--=n n n n n n n n n n m x dx d ϕϕϕωϕ 在n ϕ态下，求坐标、动量、能量的平均值及相应的误差。
4．（15分）一质量为m ，电量为q 的粒子在垂直于均匀磁场B 的平面内运动，其能级为.,)21(mB q n E n +=若粒子从3=n 的激发态跃迁到基态，辐射电磁波，试求电磁波的频率。
5．（15分）在波函数x P i e x u x 0)()( =ϕ中，若u(x)为实函数，证明0P P x =6．（20分）证明在分立的能量本征态下动量平均值为零。
7．（15分）不考虑自旋，取Landau 规范，带电粒子在垂直于均匀磁场k B B =的平面内运动的哈密顿量为()[]22ˆˆ21ˆqBx p p H y x -+=μ 若取力学量完全集{}y p Hˆ,ˆ，则它们的共同本征函数可写为 ()()y p i y ex y x φ=ψ,试确定该体系的能级。
2021量子力学考研配套考研真题解析一、真题精解精析1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。
假设粒子间有相互作用，其中分别代表粒子1和粒子2的自旋，参数J＞0。
（1）如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数；（2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。
（注意：参数在不同范围内，情况会不同）[浙江大学2014研] 【解题思路】①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。
②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。
③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。
【解析】（1）对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量由薛定谔方程得本征能量为本征波函数为两粒子间有相互作用设因此即所以因为所以两粒子是费米子，满足费米狄拉克统计，体系的总波函数要求交换反对称，并且S＝0或者S＝1。
因为，所以体系基态选择，因此体系坐标部分的波函数为满足交换对称性。
为了保证总波函数的交换反对称，所以自旋部分的波函数满足交换反对称，即所以体系的基态波函数为基态能量为（2）当S1＝S2＝1时，体系中两个粒子为玻色子，满足玻色爱因斯坦统计，体系波函数要求交换对称。
因为，所以体系基态选择n1＝n2＝1。
因此体系坐标部分的波函数为满足交换对称性。
为了保证总波函数的交换对称性，所以自旋部分的波函数满足交换对称，即所以体系的基态波函数为基态能量为【知识储备】①一维线性谐振子势能满足方程本征值本征函数其中②两个角动量的耦合a．体系的总角动量满足角动量的一般对易关系b．力学量的共同本征函数，满足其中③两个电子的自旋函数若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数和反对称自旋波函数分别写为其中表示第1（2）个电子处于自旋向上或向下的态。
量子力学考试试题（附答案）1.束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：()()()023cos 222ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=-<<=>（a ）、求归一化常数A,（b ）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？ 解：（a ）由波函数的归一化条件()222222222331coscos 33cos cos 3cos 6cos 126sin 262ikx ikx ikx ikx LLx x x dx Ae Ae dx L Lx x A e e dxL L x A dx L A x dx L A L x x L A L ππψππππππ∞∞-∞-∞∞--∞∞-∞∞-∞-====⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰于是：A =(b)()224406sin 0.196926LL A L x x dx x L πψπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。
证：对于定态，可令)]()()()([2 ])()()()([2 )(2 )( )()()(******r r r r mi e r e r e r e r m i mi J e r t f r t r Et i Et i Et iEt i Etiψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=ψ∇ψ-ψ∇ψ===ψ-----）（）（， 可见t J 与无关。
4、波长为1.0*10-12m 的X 射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o 角的方向上，探测到散射光的波光为多少？解：由公式 22sin 2c θλλλ'-=其中：120 2.43102ch m m cλ-==⨯可得：1212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλλ---''-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯ 01212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλ---'-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯122.21510m λ-=⨯。
武汉大学近十年量子力学部分考研真题的分类解析摘要:量子力学是大学物理学本科学生的必修课，同时它也是国内许多知名高校的物理学研究生入学考试的必考科目。
本文将武汉大学2002年—2011年的非相对论量子力学考研真题分八大类解析，给出了标准解法。
并在此基础上提炼出解题模型，提高了运用量子力学的理论解决问题的能力。
关键词:量子力学；考研真题；模型目录前言： (1)1 真题的分类解析 (1)1.1 一维散射问题 (1)1.1.1 阶梯势垒的散射 (1)1.1.2 δ势的散射 (3)1.2一维束缚定态问题 (3)1.2.1无限深势阱求解 (4)1.2.2 δ势求解 (4)1.2.3 初值问题求解 (5)1.2.4 傅立叶变换的应用 (7)1.3 三维束缚态问题 (8)1.3.1 无限深球方势阱基态求法 (8)1.3.2 盒子势求解 (9)1.4 两个角动量算符有关题目求解 (10)1.4.1 轨道角动量算符 (10)1.4.2 自旋角动量算符 (12)1.5 不确定关系的应用 (13)1.6 表象理论相关习题求解 (15)1.7 近似理论的应用 (16)1.7.1 非简并定态微扰 (17)1.7.2 简并定态微扰 (18)1.7.3 变分法 (19)1.8 多体问题——全同性原理的应用 (20)2 重要解题模型 (21)2.1 一维无限深势模型 (21)δ势模型 (21)2.2 ()x2.3 盒子势模型 (21)2.4 中心力场模型 (22)2.5 平面转子模型 (22)2.6 空间转子模型 (22)3 总结 (22)致谢： (22)参考文献： (23)前言：量子力学自诞生以来便显示出强大的生命力，它是描写微观物质的一个物理学理论，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱，许多物理学理论和科学如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其它相关的学科都是以量子力学为基础。
基于这点，国内各大高校的研究生入学考试都将其设为必考科目。
量子力学试题及答案一、选择题1. 量子力学中，描述一个量子态最基本的方法是（）。
A. 波函数B. 哈密顿算符C. 薛定谔方程D. 路径积分答案：A2. 海森堡不确定性原理表明，粒子的（）和（）不能同时被精确测量。
A. 位置，速度B. 能量，时间C. 动量，位置D. 时间，动量答案：C3. 波函数的绝对值平方代表的是（）。
A. 粒子的速度B. 粒子的能量C. 粒子在某一位置出现的概率密度D. 粒子的动量答案：C4. 薛定谔方程是一个（）。
A. 线性偏微分方程B. 非线性偏微分方程C. 线性常微分方程D. 非线性常微分方程答案：A5. 在量子力学中，泡利不相容原理指的是（）。
A. 两个费米子不能处于同一个量子态B. 两个玻色子不能处于同一个量子态C. 所有粒子都不能处于同一个量子态D. 所有粒子都必须处于同一个量子态答案：A二、填空题1. 在量子力学中，一个粒子的波函数必须满足__________方程，才能保证波函数的归一化条件。
答案：连续性2. 量子力学的基本原理之一是观测者效应，即观测过程会影响被观测的__________。
答案：系统3. 量子纠缠是量子力学中的一种现象，其中两个或多个粒子的量子态以某种方式相互关联，以至于一个粒子的状态立即影响另一个粒子的状态，这种现象被称为__________。
答案：非局域性三、简答题1. 请简述德布罗意假说的内容及其对量子力学的贡献。
德布罗意假说提出了物质波的概念，即所有物质都具有波粒二象性。
这一假说不仅解释了电子衍射实验的现象，而且为量子力学的发展奠定了基础，使得物理学家开始将波动性质引入到粒子的描述中，从而推动了波函数理论的发展。
2. 什么是量子隧穿效应？请给出一个实际应用的例子。
量子隧穿效应是指粒子在遇到一个能量势垒时，即使其能量低于势垒高度，也有可能穿透势垒出现在另一侧的现象。
这一效应是量子力学中特有的，与经典物理学预测的结果不同。
一个实际应用的例子是半导体器件中的隧道二极管，它利用量子隧穿效应来实现电流的传导，具有非常快的开关速度和低功耗的特性。
习题1一、填空题1．玻尔的量子化条件为。
2．德布罗意关系为。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。
6．波函数的标准条件为。
7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。
8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。
9．力学量算符应满足的两个性质是。
10．厄密算符的本征函数具有。
11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。
12.______;_______;_________。
28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。
14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。
15．隧道效应是指__________________________________________。
16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。
17．为氢原子的波函数，的取值范围分别为。
18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。
19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。
20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。
武汉大学研究生入学考试量子力学试题选解
5.全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系
的状态。
一．
计算题（20分×4题）
1.粒子以能量E 由左向右对阶梯势
⎩⎨⎧><-=0,00
,)(0
x x U x U 入射，求透射系数。
讨论如下三种情况：
（1）－U0<E<0；（2）E>0；（3）E>0,但由右向左入射。
解： ⑴ －U0<E<0
写出分区薛定谔方程为：
令：
η2
01)
(2U E k +=
μ，
η2
22E k μ-=
可将上述方程简化为：
一般解可写为：
由 )(2∞ψ有限，得 B ＝0 由波函数连接条件，有：
解得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
--='-+='A k ik k i B A k ik k ik A 2
1121212
据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数
和透射系数
满足 R+D ＝1
可见，总能量小于势垒高度的粒子必全部被反射，但在x<0的区域
找到电子的几率不为零。
类似于光的“全内反射”。
⑵ E>0
写出分区薛定谔方程为：
令：
η2
01)
(2U E k +=
μ，
η222E
k μ=
可将上述方程简化为：
一般解可写为：
考虑到没有从右向左的入射波，B ’＝0 由波函数连接条件，有：
解得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-='A k k k B A k k k k A 21121212
据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数
和透射系数
满足 R+D ＝1
可见，尽管E>0，但仍有粒子被反射。
⑶ E>0,粒子从右向左入射 仿⑵，有
但 B ’为入射波系数，B 为反射波系数，A ’为透射波系数，A ＝0. 由波函数的标准条件，有 解得：
据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数
和透射系数
满足 R+D ＝1
可见，仍有粒子被反射。
2.一维谐振子在
t ＝0
时处于归一化波函数
)()(51
)(21)0,(420x C x x x φφφψ++=
所描述的态中，式中
)
(),(),(420x x x φφφ均为一维谐振子的归一化定态波函
数，求：
（1）
待定系数C ；
（2） t ＝0时，体系能量的可能取值及相应的几率； （3） t>0时，体系的状态波函数),(t x ψ。
（4） t ＝0与t>0时体系的)(,)0(t x x 。
解：用Dirac 算符
⑴ 由 1)0,(|)0,(>=<x x ψψ，可求得
103=
C ⑵ 能量可能取值 ωη21，ωη25，ω
η29
相应的几率 1/2， 1/5， 3/10 因为n ＝0,2,4都为偶数，故宇称为偶 ⑶
t i t i t i e e e t x ωωωψ2
92
5214|1032|510|21),(|--->+>+>>=
⑷ 利用 )ˆˆ()2(ˆ2
1++=a a
x μωη，有
＝0
3.若试探波函数取为
2
2
)
(,2
e a Ne
a r μψλη==-，其中N 为归一化波函数，λ为变分参
数，试用变分法求氢原子的基态能量与基态波函数。
解： 先将波函数归一化
而氢原子的哈米顿为
r e r L r r r r H s 22
22222ˆ)([2ˆ-+∂∂∂∂-=μμη 所以
dr r e a N a r )3(2242
0)(2222
2⎰∞-=λλμπη＋
dr r a e a N a r )2(2244
20)(2222
2λλμπλ-⎰∞-η－
＝
)2
3(21)2(322432
22
Γλλμπa a N η－
)
25
(21)2()2(2452222
Γλλμπa a N η
－
)1(21)2(
42
22Γλ
πa e N s
＝
λπμλπ2
22
122
2
232
523
a e N
a
N s -η＝
λ
ππλμλππλ2
23
1
2
3
2
32
3232
52
32
3
232322232a e a a
a s -
η
＝21212
322
2
223λπλμa e a
s -η
令 0
=λd dE
，得到
ππμλ98984242==ηa e s 所以：
a e a e E s s 2
2min
424
.034-=-=π，
精确解为：
a e a e E s s 220500
.02-=-= 变分值略大于精确值。
基
态波函数为
2
2)(98
220,)916(2
4
3e a e a a r μπψπη==-
4.两个自旋s=1/2的电子束缚在一维无限深方势阱(0≤x ≤a)内，忽略两电子间的相互作用，试写出该全同粒子体系基态及第一激发态的能量和状态波函数，并讨论能量的简并度。
解： 忽略相互作用时，体系的能量本征值为
)(22
2212
2221n n a E E E +=+=μπη（n1，n2＝1,2,3,…）
体系的总波函数是反对称的：
⑴ 基态n1＝n2＝1，基态能量为 2
2
2a E μπη=
基态波函数为
可见基态能级不简并。
⑵第一激发态，（n1，n2）＝1,2 或（n1，n2）＝2,1
激发态能量为
2
2
2
2
5
a E
μ
πη=
利用可形成如下态：
单态；
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
)1(x
x
x
x
A
S
χ
ψ
=
ψ
三重态：
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
)4,3,2(x
x
x
x
S
A
χ
ψ
=
ψ。
