二元一次方程组的解法(第三课时)

第八章二元一次方程组一、新课程标准对本章的要求（1）了解二元一次方程（组）及解的定义。

（2）熟练掌握用代入法和加减法解二元一次方程组的方法并能灵活运用。

（3）能正确列出二元一次方程组解应用题。

二、教学参考书对本章的要求【本章教材分析】1．内容结构特点本章是在学生对一元一次方程已有认识的基础上，从一个篮球联赛中的问题入手，引导学生直接用x和y表示两个未知数，并进一步表示问题中的两个等量关系，得到两个相关的二元一次方程,由此得到二元一次方程（组）的概念，然后，研究用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，并用此解决实际问题。

本章是在研究一元一次方程的基础上，以实际问题为背景对一次方程及其解法的探索，是数学建模思想在数学中的具体应用，其中的消元思想是解方程的基本思想，它对研究高等数学具有重要作用。

4．教学重点和教学难点教学重点：以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题教学难点：以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题5．教学目标（1）以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型．（2）了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系．（3）了解解二元方程组的基本目标（使方程组逐步转化为x=a，的形式），体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法．（4）通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程（见下图），体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．6．教学建议（1）注意在对方程已有认识的基础上发展，做好从一元到多元的转化本章从一个篮球联赛中的胜负场数问题开始讨论，其中含有两个未知数．在此之前学生已经学习过一元一次方程的内容，用代数方法解决上述问题有两种不同方法：一种方法是设一个未知数为，并用含有的式子表示另一个未知数，根据问题中的等量关系列出一元一次方程；另一种方法是直接设两个未知数和，根据问题中的等量关系列出两个二元一次方程，由它们组成方程组．比较这两种方法，可以发现，第一种方法的难点在于“列”，第二种方法的难点在于“解”．由于列一元一次方程时要综合考虑问题中的各等量关系，因此有一定难度，但是学生已经熟悉一元一次方程的解法；列二元一次方程组时可以分别考虑两个等量关系，分别列出两个方程，一般说这比将这个问题列成一个一元一次方程容易，但是由于方程中出现两个未知数，因此如何解方程组成为新问题．用方程组是新方法，这种方法对于解含有多个未知数的问题很有效，并且它的优越性会随着问题中未知数个数的增加体现得更明显．二元一次方程组是方程组中最基本的类型，通过学习它可以了解一般的一次方程组，提高对多元问题的认识．本章学习中，应注意所学内容与前面有关内容的联系与区别，明确本章内容的特点，做好从“一元”向“多元”的转化．（2）关注实际问题情景，体现数学建模思想现实中存在大量问题涉及多个未知数，其中许多问题中的数量关系是一次（也称线性）的，这为学习“二元一次方程组”提供了大量的现实素材．在本章教科书中，实际问题情境贯穿于全章，对方程组解法的讨论也是在解决实际问题的过程中进行的，“列方程组”在本章中占有突出地位．在本章的教学和学习中，要充分注意二元一次方程组的现实背景，通过大量丰富的实际问题，反映出方程组来自实际又服务于实际，加强对方程组是解决现实问题的一种重要数学模型的认识．本章明确提出“方程组是解决含有多个未知数问题的重要数学工具”，并在多处体现方程组在解决实际问题中的工具作用，实际上这就是在渗透建立模型的思想．设未知数、列方程组是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境，分析其中的多种等量关系是设未知数、列方程组的基础．在本章的教学和学习中，可以从多种角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系，检验方程的合理性．教师还可以结合实际情况选择更贴近学生生活的各种问题，引导学生用二元一次方程组分析解决它们．（3）重视解多元方程组中的消元思想本章所涉及的数学思想方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为方程组这个过程中蕴涵的符号化、模型化的思想，这已在上面进行了讨论；另一个是解方程组的过程中蕴涵的消元化归思想，它在解方程组中具有指导作用．解二元一次方程组的各个步骤，都是为最终使方程组变形为x=a，的形式而实施的，即在保持各方程的左右两边相等关系的前提之下，使“未知”逐步转化为“已知”．解多元方程组的基本策略是“消元”，即逐步减少未知数的个数，以至使方程组化归为一元方程，先解出一个未知数，然后逐步解出其他未知数．代入法和加减法都是消元解方程组的方法，只是具体消元的手法有所不同．在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于具体题目的具体解题过程，而应不断加深对以上思想方法的领会，从整体上认识问题的本质．（4）加强学习的主动性和探究性设计本章教科书的内容和结构时，比较注意加强学习的主动性和探究性．本章内容涉及许多实际问题，多彩的问题情境容易激起学生对数学的兴趣．在本章的教学中，应注意引导学生从身边的问题研究起，主动收集寻找“现实的、有意义的、富有挑战性的”问题作为学习材料，并更多地进行数学活动和互相交流，在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力．（5）注重对于基础知识的掌握，提高基本能力本章中二元一次方程组的基本概念和消元解法是基础知识，通过列、解二元一次方程组分析解决实际问题是基本能力，它们对于今后进一步学习有重要作用．教学和学习中应注意打好基础，切实掌握基本方法，并力求能够较灵活地运用它们，逐步培养提高基本能力．7．课时安排本章教学时间约需9课时，具体分配如下（仅供参考）：8．1 二元一次方程组 1课时8．2 消元 3课时8．3 再探实际问题和二元一次方程组 3课时8．4三元一次方程组解法举例 1课时复习课 1课时三、具体知识点及详细标准【知识点1】二元一次方程组（一）学习目标：1．认识二元一次方程和二元一次方程组.2．了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.（二）重点难点：教学重点：理解二元一次方程组的解的意义.教学难点：求二元一次方程的正整数解（三）基本题型【题型1】（★）1．下列各式中，是关于x、y的二元一次方程的是( )．(A)2x－y=0 (B)xy＋x－2＝0 (C)x－3y＝－1 (D) 1/x+y=22．已知二元一次方程x＋y＝1，下列说法不正确的是( )．(A)它有无数多组解 (B)它有无数多组整数解(C)它只有一组非负整数解 (D)它没有正整数解【题型2】（★★）1．写出二元一次方程2x＋y＝5的所有正整数解．2.二元一次方程4x＋y＝10共有______组非负整数解．【题型3】（★★★）已知满足二元一次方程5x＋y＝17的x值也是方程2x＋3(x－1)＝12的解，求该二元一次方程的解．【知识点2】消元—--解二元一次方程组（代入法）（一）学习目标1、知识与技能：会用代入消元法解二元一次方程组。

8.1二元一次方程组（第1课时）1.两个数的和为8，两个数的差为6，求这两个数.设这两个数为x 、y.根据题意，列出两个二元一次方程： ______________=18 ______________=6 2.下面三对数值：x 0,y 2,⎧=⎨=-⎩ x 2,y 3,⎧=⎨=-⎩ x 1,y 5.⎧=⎨=-⎩(1)满足方程2x-y=7的是_______________；(2)满足方程x+2y=-4的是_______________； (3)同时满足方程2x-y=7，x+2y=-4的是_____________. 3.下面三对数值：x 1,y 1,⎧=⎨=-⎩ x 2,y 1,⎧=⎨=⎩ x 4,y 5.⎧=⎨=⎩ (1)是二元一次方程组2x y 33x 4y 10⎧-=⎨+=⎩的解的是_______________； (2)是二元一次方程组y 2x 34x 3y 1⎧=-⎨-=⎩的解的是_______________.4.找一找，二元一次方程组x y 6x y 2⎧+=⎨-=⎩的解是______________.8.2消元——二元一次方程组的解法（第1课时） 1.完成下面的解题过程： 解方程组①②y 2x 3, 3x 2y 8.⎧=-⎨+=⎩ 解：把①代入②，得___________________.解这个方程，得x=______.把x=______代入①，得y=______. 所以这个方程组的解是x ____,y ____.⎧=⎨=⎩2.解方程组①②2x y 12, y 3x 2 .⎧+=⎨=+⎩3.解方程组①②x 12y, 2x 3y 2.⎧=-⎨+=-⎩8.2消元——二元一次方程组的解法（第2课时） 1.填空：(1)由y+2x=1，得y=__________； (2)由x+2y=1，得x=__________； (3)由2x-y=1，得y=__________； (4)由2y-x=1，得x=__________. 2.完成下面的解题过程： 用代入法解方程组2x 3y 2, ①x 12y.②⎧+=-⎨=-⎩解：把②代入①，得____________________.解这个方程，得y=____. 把y=____代入②得x=____. 所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩（组，这种解法的关键是通过代入消去一个未知3.完成下面的解题过程： 用代入法解方程组：①②2x y 5 , 3x 4y 2.⎧-=⎨+=⎩解：由①，得y=____________.③把③代入_____，得____________________.解这个方程,得x=_____.把x=_____代入_____，得y=_____. 所以这个方程组的解是x ____,y ____.⎧=⎨=⎩4.用代入法解方程组①②2x y 5, 5x y 9. ⎧+=⎨-=⎩5.辨析题：扎西在解方程组①②x y 3 5x y 9 ⎧-=⎨-=⎩时，先由①得x=y+3 ③.然后把③代入①，得到y+3-y=3.解到这里，扎西解不下去了.请你帮扎西分析分析，他在哪里出错了？为什么？8.2消元——二元一次方程组的解法（第3课时） 1.填空：(1)由3x+4y=1，得y=______________； (2)由3x+4y=1，得x=______________；(3)由5x-2y+12=0，得y=________________； (4)由5x-2y+12=0，得x=________________. 2.完成下面的解题过程： 用代入法解方程组x 3y 2, ①3x 4y 50.②⎧-=⎨--=⎩解：由①，得x=____________.③把③代入②，得_______________________.解这个方程，得y=_____.把y=_____代入_____，得x=_____. 所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩3.完成下面的解题过程： 用代入法解方程组：①②4x 9y 8, 2x 3y 1.⎧-=⎨+=-⎩解法一：由①，得x=____________.③把③代入②，得_______________________.解这个方程，得y=_____.把y=____代入，_____得x=____. 所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩解法二：由②，得y=____________.③把③代入①，得_______________________.解这个方程，得x=_____.把x=_____代入_____，得y=_____. 所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩8.2消元——二元一次方程组的解法（第4课时） 1.完成下面的解题过程： 用加减法解方程组①②3x 7y 9 , 4x 7y 5.⎧+=⎨-=⎩解：①+②，得__________________.解这个方程，得x=____.把x=____代入____，得_______________， y=_____. 所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩2.辨析题：在学习例1的时候，卓玛有一个地方不明白：x+2y=7的左边加上3x-2y=5的左边，为什么等于x+2y=7的右边加上3x-2y=5的右边？你明白其中的道理吗？3.解方程组①②3x 7y 9 , 4x 7y 5.⎧+=⎨+=⎩解法一（用代入法解）：解法二（不用代入法解）：4.比较上题解法一和解法二，你认为哪一种解法简单？8.2消元——二元一次方程组的解法（第5课时） 1.完成下面的解题过程： 用加减法解方程组①②3x 2y 4 , 3x 3y 10.⎧+=⎨+=⎩解：①-②，得__________________.解这个方程，得y=_____.把y=_____代入_____，得_______________， x=_____. 所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩2.用加减法解方程组①②3x y 5 , 2x 3y 7. ⎧-=⎨+=⎩3.完成下面的解题过程： 用加减法解方程组①②3x 4y 16 , 5x 6y 33.⎧+=⎨-=⎩解：①×5，得 ___________________. ③②×3，得 ___________________. ④ ③-④，得 _______________. 解这个方程，得y=_____. 把y=_____代入_____，得_________________，x=______.所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩4.比较例2与上题的解题过程，你认为哪个更简单？原因在哪里?5.用加减法解方程组①②2x 3y 6 , 3x 2y 2.⎧+=⎨-=-⎩8.2消元——二元一次方程组的解法（第6课时） 1.填空：(1)化简解方程组3(x 1)y 55(y 1)3(x 5)⎧-=+⎨-=+⎩得_________________________；(2)化简解方程组x3y20 34x3y314312⎧-++=⎪⎪⎨--⎪-=⎪⎩得_________________________.2.用加减法解方程x y1,353(x y)2(x3y)15.⎧+=⎪⎨⎪++-=⎩8.3实际问题与二元一次方程组（第1课时）1.填空：某校组织198名毕业学生到林卡玩，一部分学生坐在草地上唱歌，另一部分学生在河边散步，唱歌的学生是散步学生的2倍还多10人.问唱歌、散步的学生各有多少人？设唱歌的学生有x人，散步的学生有y人.根据题意列二元一次方程组，得____________________________. 2.填空：某班师生56人到某旅游景点参观，教师每张门票8元，学生每门票5元，共付304元.问教师学生各多少人？设教师x人，学生y人.根据题意列二元一次方程组，得____________________________.3.列方程组解应用题：篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得40分，那么这个队胜负场数分别是多少？8.3实际问题与二元一次方程组（第2课时）1.填空：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少学生？这些图书共有多少本？设这个班有x名学生，这些图书共有y本.根据题意列方程组，得___________________________.2.完成下面的解题过程：某藏药厂生产的珍珠70丸有大小盒两种包装，2大盒5小盒共装50粒，3大盒4小盒共装54粒.大盒与小盒每盒各装多少粒？解：设大盒装x粒，小盒装y粒.根据题意列方程组，得_____________________.解方程组，得____________.答:大盒装______粒，小盒装______粒.3.（选做题）填空：5辆卡车和4辆拖拉机2次能运货68吨；3辆卡车和2辆拖拉机3次能运货60吨.问一辆卡车和一辆拖拉机一次各运货多少吨？设一辆卡车一次运x吨，一辆拖拉机一次运货y吨.根据题意列方程组，得______________________.8.3实际问题与二元一次方程组（第3课时）1.填“×”或“÷”：路程=速度_____时间，速度=路程_____时间，时间=路程____速度.2.哥哥行走的速度是每秒x米，弟弟行走的速度是每秒y米，则：(1)走了16秒，哥哥走了_______米，弟弟走了_______米，哥哥和弟弟一共走了_____________ __________米；(2)走了2分钟,哥哥走了_______米，弟弟走了_______米，哥哥比弟弟多走了_______________米.3.填空：运动场的跑道一圈长400米.甲练习骑自行车，乙练习跑步，两人从同一处同时出发，4分钟后两人碰上了；碰上后两人改为反向出发，40秒后又碰上了.问两人的速度各是多少？设甲的速度为每分钟x米，乙的速度为每分钟y米.根据题意列方程组，得____________________________.8.3实际问题与二元一次方程组（第4课时）1.填空：某市现在的城镇人口为x万，农村人口为y万.计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，则：(1)这个市现有总人口是___________万；(2)计划一年后城镇人口增加___________万；(3)计划一年后农村人口增加___________万；(4)计划一年后全市人口增加____________________________万.2.列二元一次方程组解应用题：扎西把含糖为6%和12%的两种饮料倒在一起，配成了含糖8%的混合饮料240克.问两种饮料各用了多少克？8.3实际问题与二元一次方程组（第5课时）1.完成下面的探究过程：打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元.打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花多少钱？设打折前买1件A商品需要x元，买1件B商品需要y元.根据题意列方程组，得______________________ ,______________________.⎧⎨⎩解方程组，得x________ ,y________.⎧=⎨=⎩这就是说，打折前，买1件A商品需要______元，买1件B商品需要______元.因此,打折前,买500件A商品和500件B商品需要_________元.因此，买500件A商品和500件B商品，打折后比打折前可以少花_______元.第八章二元一次方程组复习（第1、2课时）1.填空：（以下内容是本章的基础知识,是需要你真正理解的.你最好直接填，想不起来再在课本中找，请用铅笔填）(1)含有_____个未知数，并且含有未知数的项的次数都是_____，像这样的方程叫做二元一次方程.(2)把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个______________________. (3)既满足第一个二元一次方程,又满足第二个二元一次方程的两个未知数的值,叫做________ ________________.(4)二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的_______________方程，我们可以先求出一个未知数,然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做_________思想.(5)把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做_______________法，简称________法.(6)两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去未知数,得到一个一元一次方程.这种方法叫做______________法，简称________法.(7)用二元一次方程组解应用题一般有五步：________、设未知数、___________、解方程组、答. 2.填空：在x 2y 2⎧=-⎨=⎩与x 1y 1⎧=⎨=-⎩两组值中，是二元一次方程组x y 02x y 3⎧+=⎨-=⎩的解的是=y=_____.x _____ ,⎧⎨⎩ 3.完成下面的解题过程： 用代入法解方程组①②x y 4, 4x 2y 1.⎧-=⎨+=-⎩解：由①，得x=________________.③把③代入②，得_____________________.解这个方程,得y=_____.把y=_____代入③，得x=_____.所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩4.用代入法解方程组5x y 110,9y x 110.⎧-=⎨-=⎩5.完成下面的解题过程： 用加减法解方程组①②5x 2y 9, 2x 6y 7.⎧+=⎨-=⎩解：①×3，得___________________.③②+③，得_________________________.x=______.把x=______代入____，得_______________， y=______. 所以这个方程组的解是x ____ ,y ____.⎧=⎨=⎩6.用加减法解方程组0.6x 0.4y 1.1,0.2x 0.4y 2.3.⎧-=⎨-=⎩7.解方程组2(x y)x y1,346(x y)4(2x y)16.⎧-+-=-⎪⎨⎪+--=⎩8.填空：已知二元一次方程组x my4nx3y2⎧+=⎨+=⎩的解是x1y3⎧=⎨=-⎩，则m=_____，n=_____.9.填空：某班学生共40人，男生比女生少3人，问男女生各多少人？设男生x人，女生y人.根据题意列方程组，得_________________ , _________________.⎧⎨⎩10.填空：2本练习本及3支铅笔的价格为3.2元，4本练习本和5支铅笔的价格为5.8元.问一本练习本和一支铅笔的价格各为多少？设一本练习本的价格为x元，一支铅笔的价格为y元.根据题意列方程组，得_________________ ,_________________.⎧⎨⎩11.填空：某班上数学课的时候，准备分组讨论.如果每组7人，则余下3人；如果每组8人，则又不足5人.问全班有多少人？要分几组？设全班有x人，要分y组.根据题意列方程组，得_________________ ,_________________.⎧⎨⎩12.填空：某家存入银行甲、乙两种不同性质的存款20万元，甲种存款的年利率为2.4%，乙种存款的年利率为4.6%，该家一年共得利息7800元.求甲、乙两种存款各是多少万元？设甲、乙两种存款各是x万元、y万元.根据题意列方程组，得_______________________ ,_______________________.⎧⎨⎩13.列二元一次方程组解应用题：根据市场调查，常觉大盒装（每盒10粒）和小盒装（每盒6粒）两种产品的销售量（按盒计算）比为2:5.某藏药厂每天生产常觉7000粒，问应分装大、小盒两种产品各多少盒？。

第五章二元一次方程组3．鸡兔同笼一、教材分析《鸡兔同笼》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第五章《二元一次方程组》第三节.本节安排1个课时。

借助"鸡兔同笼"这一中国古代名题，让学生经历列二元一次方程组解决实际问题的过程，进行根据实际问题情境列二元一次方程组的训练，强化方程的模型思想，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力.，同时将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体。

当然，在题材的选择上，教科书注意了题材的现实性、科学性和趣味性；在题材的呈现顺序上，遵循了由易到难的原则，教学中，教师可以根据学生的生活实际和认知实际，选择更贴近学生实际的素材进行教学，此外，在教学过程中，教师应更多地关注学生的建模过程，关注学生是否能顺利地列出正确的二元一次方程组.二、学情分析●学生的年龄特点和认知特点初中二年级的学生，正处于少年期，已具备了初步的抽象、概括和分析问题解决问题能力，要培养他们敢于面对挑战和勇于克服困难的意志.鼓励他们大胆尝试，敢于发表自己的看法，以从中获得成功的体验，激发学习激情.●在学习本课之前，应具备的基础知识和基本技能(1)方程的思想;(2)能整体地系统地审清题意，找出等量关系;(3)能从具体问题中的数量关系列出二元一次方程组;(4)熟练解二元一次方程组.●学习者对即将学习的内容已经具备的水平(1)本课是在学生已对一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组解法有了足够的认识的基础上来学习的，也学过了列一元一次方程解决实际问题，因此，大部分学生学习本课应该没有太大的困难的.(2)初二的学生已经初步的具备了初步的抽象、想象、逻辑思维能力，初步的分析问题和解决问题的能力.三、教学目标●知识目标1、通过小组合作，分析“鸡兔同笼”等简单问题中的数量关系，学生能准确找出等量关系。

●能力目标2、通过列二元一次方程组解决实际问题的过程，总结方程组解决实际问题的一般步骤，体会方程（组）是刻画现实世界的有效模型，发展模型思想和应用意识。

第一课时二元一次方程及二元一次方程的解教学目标：1、理解二元一次方程和二元一次方程的解的概念，会解决相关问题；2、会把二元一次方程转化成用含一个未知数的的代数式表示另一个未知数的形式，体会转化思想的应用3、体会数学的应用价值教学重点：1、二元一次方程和它的解的概念2、将二元一次方程变形成汗一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式教学难点：将二元一次方程变形成汗一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式教学方法：观察法讨论法教学过程：一、问题引入：根据篮球的比赛规则，赢一场得2分，输一场得1分，在某次中学生比赛中，一支球队赛了若干场后积20分，问该队赢了多少场？输了多少场？这可以转化为数学上的问题，设该队赢了x场，输了y场，那么你能说出输赢的所有可能情况吗？x 5 …y 10 …根据以上数据，能列出一些方程吗？二、新授1、观察：前边所列的方程有哪些共同得特点？2、概括：像这含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

适合二元一次方程的一对未知数的值称为这个二元一次方程的一个解。

三、知识运用例1 甲种物品每个4kg，乙种物品每个7kg.现有甲种物品x个，乙种物品y个，共76kg .(1) 列出关于x、y的二元一次方程;(2) 如果x=12，求y的值；(3) 请将关于x、y的二元一次方程写成用含x的代数式表示y的形式例2 写出一个二元一次方程，使x=-1 ,y=3为它的一个解，该二元一次方程可以是_______________四、巩固练习（1）判断下列方程哪些是二元一次方程，哪些不是？① 6x+3y=4z ②7xy+y =9 ③2x+y+1 ④ 2（x+y）= 8-x（2）把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式① 2x+y=10 ② x+y=20 ③2x+3y=12五、当堂反馈1、方程mx－2y=x+5是二元一次方程时，m的取值为（）A、m≠0B、m≠1C、m≠－1D、m≠22、下列各组数，既是方程2x-y=3的解，同时又是方程3x+4y=10的解的是( )A x=1B x=2C x=4D x=-2y=-1 y=1 y=5y=43、已知 x=2 是方程2x+ay=5的解，则a=_______y=14、二元一次方程2x+y = 5中，当x=2时，y= ;第一课时二元一次方程组教案一、学习内容：教材P 93——94内容二、教学目标：1、认识二元一次方程组；2、了解二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.教学重点：二元一次方程组的解的概念，教学难点：求二元一次方程组的正整数解三：教学过程：一、自学探究1、例题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：胜的场数＋负的场数＝总场数，胜场积分＋负场积分＝总积分.观察上面两个方程可看出，每个方程都含有___ 个未知数（x和y），并且未知数的______ 都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. （P 93）把两个方程合在一起，写成x＋y＝22 ①2x＋y＝40 ②像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. （P 94）2、探究讨论：满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？把它们填入表中.一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 思考：上表中哪对x、y的值还满足方程②x=18y=4既满足方程①，又满足方程②，也就是说它们是方程①与方程②的公共解。

8.2 消元—解二元一次方程组（3）【教学目标】知识与技能：掌握用加减法解二元一次方程组.过程与方法：使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.情感态度与价值观：体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心.【教学重难点】教学重点：学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组.教学难点：用“加减法“解二元一次方程组.教具准备：小黑板教法：引导-讲授学法：探究课时：第3课时课型：新授课授课时间：【教学过程】一、创设情境王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨共花了14元，李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨共花了12元，梨每千克的售价是多少？比一比看谁求得快．最简便的方法：抵消掉相同部分，王老师比李老师多买了1千克的梨，多花了2元，故梨每千克的售价为2元．二、探究新知1.解方程组 ⎩⎨⎧=--=+752132y x y x （由学生自主探究，并给出不同的解法）解法一：由①得：x=231y --y 代人方程②，消去x.解法二：把2x 看作一个整体，由①得2z=－1－3y,代入方程②，消去2x. 肯定两解法正确，并由学生比较两种方法的优劣．解法二整体代入更简便，准确率更高．有没有更简洁的解法呢？教师可做以下启发：问题1.观察上述方程组，未知数z 的系数有什么点？（相等）问题2.除了代入消元，你还有别的办法消去x 吗？（两个方程的两边分别对应相减，就可消去x ，得到一个一元一次方程． 解法三：①－②得：8y=－8,所以y=－1Y=－1代人①或②，得到x=1所以原方程组的解为⎩⎨⎧-==11y x 2.变式一 ⎩⎨⎧=--=+-752132y x y x 问题1.观察上述方程组，未知数x 的系数有什么特点？（互为相反数） 问题2.除了代人消元，你还有别的办法消去x 吗？（两个方程的两边分别对应相加，就可消去x ，得到一个一元一次方程．）从上面的解答过程来看，对某些二元一次方程组可通过两个方程两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解．这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．想一想：能用加减消元法解二元一次方程组的前提是什么？两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等.3.变式二：⎩⎨⎧=-=+752134y x y x 观察：本例可以用加减消元法来做吗？启发学生仔细观察方程组的结构特点，发现x 的系数成整数倍数关系．因此：②×2，得4x －10y=14③由①－③即可消去x ，从而使问题得解．（追问：③－①可以吗？怎样更好？）4.变式三：⎩⎨⎧=--=+-753132y x y x想一想：本例题可以用加减消元法来做吗？让学生独立思考，怎样变形才能使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？分析得出解题方法：解法1：通过由①×3，②×2，使关于x的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．解法2：通过由①×5，②×3，使关于y的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．怎样更好呢？通过对比，使学生自己总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元．归纳：用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组时，把一个（或两个）方程的两边乘以适当的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为第一类型方程组求解．三、巩固新知完成教科书第97页练习四、课堂小结回顾：用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么？这种方法的适用条件是什么？步骤又是怎样的？五、布置作业必做题：习题8.2第3题选做题：习题8.2第6题。

二元一次方程组及其解法【课时安排】3课时【第一课时】【教学目标】一、知识与技能理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解。

二、过程与方法经历认识二元一次方程和二元一次方程组的过程，感受类比的学习方法在数学学习过程中的作用。

三、情感、态度与价值观学会用类比的方法迁移知识，体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受学习数学的乐趣。

【教学重难点】重点：理解二元一次方程组的解的意义。

难点：求二元一次方程的正整数解。

【教学过程】一、创设情境，引入新课（一）古老的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。

问鸡、兔各几何？”教师描述：这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题。

它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣。

怎样来解答这个问题呢？学生思考并自行解答，教师巡视。

最后，在学生动手动脑的基础上，集体讨论并给出各个解决方案。

（二）教师展示幻灯片：方法1：算筹解法。

（孙子算经，用算筹研究代数。

）方法2：图形解法。

（尚不成熟的符号语言，但很直观。

）方法3：算术解法。

兔数：(94÷2)－35=12鸡数：35－12=23方法4：一元一次方程的解法。

解：设鸡有x只，则兔有(35－x)只，则可列方程：2x+4(35－x)=94；解得：x=23。

则鸡有23只，兔有12只。

请同学们自己思考。

教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念，“元”是指什么？“次”是指什么？二、尝试活动，探索新知（一）讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念。

1．教师提问：上面的问题可以用一元一次方程来解，那么还有其他方法吗？方法6：设有x只鸡，y只兔，依题意得：x+y=35①2x+4y=94②针对学生列出的这两个方程，教师提出如下问题：（1）你能给这两个方程起个名字吗？（2）为什么叫二元一次方程呢？（3）什么样的方程叫二元一次方程呢？2．教师结合学生的回答，板书定义1：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程，叫做二元一次方程。

教学目标1、学会用方程描述问题中数量之间的相等关系；2、通过对多种实际问题中数量关系的分析，使学生初步感受方程是刻画现实世界的有效模型；3、能够根据具体问题中的数量关系，列出方程；4、会解二元一次方程组。

重点、难点理解题意，寻求数量间的等量关系并列出方程；列方程组。

考点及考试要求考点1：列方程考点2：解二元一次方程组教学内容第一课时二元一次方程组的解法和应用知识梳理1、若代数式6x-5的值与14-互为倒数,则x的值为( )A.16B.-16C.78D.322、解下列方程（1）3x+7=5x+11; （2）5(x-2)=4-(4-x)3、若关于x的方程：3x32n-+7=0是一元一次方程,则n=________.4、国家规定存款利息的纳税办法是：利息税=利息×20％，银行一年定期储蓄的年利率为1.98％，今年小刚取出一年到期的本金及利息时，缴纳了 3.96元利息税，则小刚一年前存入银行的钱为 .5、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔25元，而按定价的九折出售将赚20元。

问这种商品的定价是多少？课前检测知识梳理1．二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．2．二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．3．二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．第二课时二元一次方程组的解法和应用典型例题例1若方程x2 m–1 + 5y 2–3n= 7是二元一次方程.求m2＋n的值。

13.4二元一次方程组的图象解法（第一课时）一 学习目标：使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系 二自主学习：从形式上看，通过移项，二元一次方程可以化为一次函数的形式，一次函数可以化为二元一次方程的形式。

那么二元一次方程的解与相应的一次函数也有关系吗？如果有关系，你能说出有怎样的关系？三 合作探究：方程3x+2y=6的解有多少个?请列出六组解，你能画出这个方程的解为坐标的所有点组成的图形吗？提示一：由3x+2y=6得x= ,y= .提示二：对于y= . 这个函数，任意给出自变量x 的的一些值，可以求都是方程3x+2y=6的解。

提示四：作图x提示五：二元一次方程3x+2y=6的图象就是一次函数的图象，它是一条直线。

四 巩固练习：1、在同一个平面直角坐标系内画出下列二元一次方程的图象。

（1）x-y=0 (2)x+y=0.x （第一题）（第四题）2、(1)下列的有序数对，哪些是二元一次方程3x+y=6的解？A(2,0) B(3,-3) C(5,-9) D(6,-10) E(-2,10) F(-3,15)(2)给出二元一次方程3x+y=6任意五组非整数解。

3、有五角、一元的硬币各若干个，从中取出一些凑成4元，问有多少种不同的取法？4、在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=5－x和y=2x－1的图象，这两个图象有交点吗？如果有写出交点的坐标？5、一次函数y=5－x和y=2x－1的图象的交点坐标与方程组521ì+=ïïíï-=ïîx yx y的解有什么关系？13.4二元一次方程组的图象解法（第二课时）一 学习目标：1．能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解. 2．通过学生的思考和操作,了解方程与图象之间的关系,引入二元一次方程组图象解法,同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力. 二自主学习：. 二元一次方程组可以转化为两个一次函数，那么二元一次方程组的解与两个一次函数图象的交点坐标有怎样的关系？ 三 合作探究：一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以每一个二元一次方程的图象都是一条直线，这样，解二元一次方程，就转化为在平面直角坐标系里研究两条直线的交点问题了。

第一章方程组的解法第一节二元一次方程组的解法一、二元一次方程组（一）二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.对二元一次方程概念的理解应注意以下几点：①等号两边的代数式是整式；②在方程中“元”是指未知数，二元是指方程中含有两个未知数；③未知数的项的次数都是1，实际上是指方程中最高次项的次数为1，在此可与多项式的次数进行比较理解，切不可理解为两个未知数的次数都是1.想一想：下列各方程中，哪个是二元一次方程？（1）8x－y＝y；（2）xy＝3；（3）2x2－y＝9；（4）1x－y＝2.（二）二元一次方程的解使二元一次方程两边相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.例如，x＝2,y＝3适合方程x－y＝－1，显然，满足x－y＝－1的x,y的值有很多对，如x＝3，y＝4；x＝5，y＝6；均满足方程，因此二元一次方程x－y＝－1的解有无穷多个，它们可分别记作，可以看作是二元一次方程x－y＝－1的一个解。

对二元一次方程的解的理解应注意以下几点：①一般地，一个二元一次方程的解有无数个，且每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值；②二元一次方程的一个解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值；反过来，如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等，那么这一组数值就是方程的解；③在求二元一次方程的解时，通常的做法是用一个未知数把另一个未知数表示出来，然后给定这个未知数一个值，相应地得到另一个未知数的值，这样可求得二元一次方程的一个解.（三）二元一次方程组由两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 例如：这三个方程组都是二元一次方程组，其中（3）虽然是由三个方程组成的，其中有一个方程只含有一个未知数，但根据二元一次方程组的概念，它仍是二元一次方程组。

（四）二元一次方程组的解二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.对二元一次方程组的理解应注意：①方程组各方程中，相同的字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起.②怎样检验一组数值是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法如下：将这组数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这组数值满足其中的所有方程时，才能说这组数值是此方程组的解，否则，如果这组数值不满足其中任一个方程，那么它就不是此方程组的解.二、二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法体现消元的数学思想，把二元转化为一元。

初一数学教学设计消元——二元一次方程组的解法（代入消元法）教学设计思路在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中始终应抓住消元的思想方法。

讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法。

知识目标通过探索，领会并总结解二元一次方程组的方法。

根据方程组的情况，能恰当地应用“代入消元法”解方程组；会借助二元一次方程组解简单的实际问题；提高逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力。

能力目标通过大量练习来学习和巩固这种解二元一次方程组的方法。

情感目标体会解二元一次方程组中的“消元” 思想，即通过消元把解二元一次方程组转化成解两个一元一次方程。

由此感受“划归”思想的广泛应用。

教学重点难点疑点及解决办法重点是用代入法解二元一次方程组。

难点是代入法的灵活运用，并能正确地选择恰当方法（代入法）解二元一次方程组。

疑点是如何“消元”，把“二元”转化为“一元”。

解决办法是一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形。

教学方法：引导发现法，谈话讨论法，练习法，尝试指导法课时安排： 1 课时。

教具学具准备：电脑或投影仪。

教学过程教 师 活动学生活动（一）创设情境，激趣导入在 8.1 中我们已经看到，直接设两个未知数( 设胜 x 场，负 yx y 22看图，分析已知条2x y40表示本章引言中场 ) ，可以列方程组件问题的数量关系。

如果只设一个未知数 ( 设胜 x 场 ) ， 思考 这个问题也可以用一元一次方程________________________[1] 来解。

师生互动分析： [1]2x ＋ (22 － x)=40 。

列式解答观察思考，同 上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系?[2]桌交流 [2] 通过观察对照，可以发现，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方 总结程。

第八章《二元一次方程组》全章教材分析一、教材内容本章主要内容包括：二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，三元一次方程组解法举例，二元一次方程组的应用。

教材首先从一个篮球联赛中的问题入手，归纳出二元一次方程组及解的概念，并估算简单的二元一次方程（组）的解。

接着，以消元思想为基础，依次讨论了解二元一次方程组的常用方法——代入法和消元法。

然后，选择了三个具有一定综合性的问题：“牛饲料问题”“种植计划问题”“成本与产出问题”，将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度。

最后，通过举例介绍了三元一次方程组的解法，使消元的思想得到了充分的体现。

二、教学目标（一）知识与技能目标1、了解二元一次方程组及相关概念，能设两个未知数，并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系；2、掌握二元一次方程组的代入法和消元法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法；3、了解三元一次方程组的解法；4、学会运用二（三）元一次方程组解决实际问题，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。

（二）过程与方法目标1、以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关糸，设未知数，列方程，解方程和检验结果”，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型。

2、在把二元一次方程组转化为x=a,y=b的形式的过程中，体会“消元”的思想。

（三）情感、态度与价值观〕通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。

三、重点、难点重点：二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，利用二元一次方程组解决实际问题；难点：以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题。

四、课时划分建议本章共12课时：二元一次方程（组）1课时，消元思想3课时，应用方程组解决实际问题2课时，三元一次方程组2课时，复习1课时，单元检测2课时，讲评1课时。