沪科版-数学-七年级上册- -3.3 二元一次方程组及其解法第三课时 导学案

3.3 二元一次方程组及其解法1．二元一次方程组 (1)二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程，如5x ＋3y ＝34就是二元一次方程． 注意：“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数．不要把2xy ＋2＝4，2x ＋y ＝5误当成二元一次方程，实际上2xy ＋2＝4含未知数的项的次数是2，而2x＋y ＝5中2x不是整式，我们将会在后面的学习中遇到它．(2)二元一次方程组①联立在一起的几个方程，称为方程组．②由两个二元一次方程联立起来得到的方程组叫做二元一次方程组．实际上，在二元一次方程组中，两个方程中可以有方程是一元一次方程，方程的个数也可以超过两个，同一个字母必须代表同一数值，这样才能组合在一起．如下列方程组都是二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5y ＝1，y －3＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋3y ＝9，2x －y ＝4.【例1－1】 下列方程中，是二元一次方程的个数是( )． ①2x ＋3y ＝5；②xy ＝1；③3x －y2＝1；④2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －23＋1＝14m －2；⑤1－2m 3＝n ； ⑥1－23m ＝n ；⑦y ＝2x －3；⑧s ＝12vt.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：题中①③⑤⑦都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1，因此它们4个是二元一次方程，②含未知数的项的次数是2，④是一元一次方程，⑥不是整式方程，⑧含有3个未知数，因此它们都不是二元一次方程，故应选D.答案：D【例1－2】 下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )．A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＋1，3x －4z ＝6B ．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝4C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，x ＝5D ．⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y2＝2y ，y ＝23x解析：本题应根据二元一次方程组定义来判断，选项A 中每一个方程虽然都是一次方程，但是未知数的个数有三个，故否定A ；选项B ，D 只含有两个未知数且都是一次方程，符合二元一次方程组的定义，故都是二元一次方程组；选项C 中的第二个方程虽然是一元一次方程，但方程组中的第一个方程是二元一次方程，故它们也能组成二元一次方程组．所以不是二元一次方程组的是A.答案：A2．二元一次方程组的解使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5既是方程x ＋y ＝17的解又是方程5x ＋3y ＝75的解，这时我们就说⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝5是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝17，5x ＋3y ＝75的解．谈重点 理解二元一次方程组的解(1)二元一次方程组的解实质上是组成方程组的每个二元一次方程的公共解，也就是说，方程组的解一定是组成此方程组的每个方程的解，而组成此方程组的每个方程的解却不一定是方程组的解．(2)二元一次方程的解是一对数值，必须用大括号合在一起．【例2】 二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝6B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝4C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝2D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2解析：选项A ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6代入方程①，左边＝2×1＋6＝8，右边＝2，左边≠右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6不是方程组的解；选项B ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程①得，左边＝2×(－1)＋6＝4，右边＝4，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程①的解，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4代入方程②得，左边＝－(－1)＋4＝5，右边＝5，左边＝右边，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是方程②的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝2，①－x ＋y ＝5②的解；按照以上方法对选项C ，D 加以判断，都不是方程组的解，故应选B.答案：B 3．代入消元法 (1)消元思想二元一次方程组中的两个未知数，可以消去其中的一个未知数，转化为我们熟悉的一元一次方程．这样，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．(2)代入消元法的概念从二元一次方程组的一个方程中求出某一个未知数的表达式(即将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来)，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．解技巧 用代入法解二元一次方程组(1)用代入法解方程组一般将系数较小的方程变形，且用系数较大的未知数表示系数较小的未知数．(2)当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1或有一个方程的常数项是0时，一般用代入法来解．(3)用代入消元法解二元一次方程组的步骤①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x (或y )的代数式表示y (或x )，即变成y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )的形式；②将y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )代入另一个方程(不能代入原变形方程)中，消去y (或x )，得到一个关于x (或y )的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；④把x (或y )的值代入y ＝ax ＋b (或x ＝ay ＋b )中，求y (或x )的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解． 谈重点 运用代入法需注意的问题运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0”的形式，求不出未知数的值．【例3－1】 已知方程x －2y ＝6，用x 表示y ，则y ＝__________；用y 表示x ，则x ＝__________.解析：(1)因为x －2y ＝6，移项，得x －6＝2y ，两边都除以2，得12x －3＝y ，即y ＝12x－3；(2)因为x －2y ＝6，移项，得x ＝6＋2y .答案：12x －3 6＋2y【例3－2】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＝6，①x ＋4y ＝－15.②分析：观察方程组中的每个方程，发现第二个方程中的x 的系数为1，所以选择将其变形，用含y 的代数式表示x ，得x ＝－15－4y ，然后把x ＝－15－4y 代入第一个方程，求出y 的值，再把y 的值代入变形后的方程x ＝－15－4y 中，求出x 的值．解：由②，得x ＝－15－4y ，③ 把③代入①，得3(－15－4y )－5y ＝6， 解得y ＝－3，把y ＝－3代入③，得x ＝－3.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－3.4．加减消元法 (1)加减消元法的概念两个二元一次方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法．(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数．第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元．第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等)，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作如上加减消元的考虑．析规律 解二元一次方程组的方法(1)当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便． (2)通过两个方程相减消去未知数比通过两个方程相加消去未知数更易出错，所以一般是将两个方程中同一个未知数的系数化成互为相反数，然后相加消去一个未知数．【例4】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝5，①2x －y ＝8.②分析：经观察发现，①和②中y 的系数是倍数关系，若将方程②×2，可使两个方程中y 的系数互为相反数，再将两方程相加，便可消去y ，只剩关于x 的方程，问题便很容易解决了．解：将方程②×2，得 4x －2y ＝16，③ ③＋①，得 7x ＝21， 解得x ＝3. 把x ＝3代入②，得 2×3－y ＝8，y ＝－2.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.5．解二元一次方程组的策略解二元一次方程组的关键就在于将“二元”转化为“一元”，如何消元，要根据系数特点合理选择使用代入消元法和加减消元法．解二元一次方程组，关键要在根本上把握方程组的系数特点，若遇到不能直接看出系数特点的，应该先化简，化简后系数的特点比较明显．对于不能直接运用消元法的方程组，应通过观察，找到一个系数较小的，利用等式性质，通过扩大相应倍数变成具有相同系数或互为相反数的系数，然后再使用加减法来解决问题．(1)对于一般形式的二元一次方程组，用代入法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－1的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程；④方程组中某一未知数的系数成整数倍，选择小系数方程．(2)对于一般形式的二元一次方程组，用加减消元法求解关键是选择消什么元，选取的恰当往往会使计算简单，而且不易出错．选取的原则是：①选择系数是1或－1的未知数；②若未知数系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的未知数；③选方程组中系数成整数倍的未知数．【例5－1】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －1y ＋5，5y －13x ＋5.分析：通过观察，发现方程组比较复杂，因此应先化简，方程组中的两个方程化为⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，5y －3x ＝20，通过观察决定使用加减法来解．解二元一次方程组往往需要对原方程组变形，在移项时要特别注意符号的改变．解：原方程组化简，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝8，①5y －3x ＝20.②①＋②，得4y ＝28，y ＝7.把y ＝7代入①得3x －7＝8，解得x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7.【例5－2】 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①47x ＋53y ＝88.②分析：本题不仅没有系数是1的未知数，而且也没有一个未知数的系数较简单．经过观察发现，若将两个方程相加，得出一个x ，y 的系数都是100、常数项是200的方程100x ＋100y ＝200，两边都除以100，得x ＋y ＝2，而此方程x ＋y ＝2与方程组中的①和②都同解．这样，用这个方程与原方程组中任何一个方程组成方程组，此时求解就使问题变得比较简单了．解：①＋②，得100x ＋100y ＝200， 化简，得x ＋y ＝2， ③于是原方程变为⎩⎪⎨⎪⎧53x ＋47y ＝112，①x ＋y ＝2，③由③，得x ＝2－y ， ④把④代入①，得53(2－y )＋47y ＝112， 106－53y ＋47y ＝112，－6y ＝6，所以y ＝－1. 把y ＝－1代入④，得x ＝3，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.6.构造二元一次方程组解题 常见的考查方式有：(1)已知二元一次方程组的解，求方程中的待定系数的值．我们知道使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．解决此类问题的方法通常是把方程组的解代入原方程，即可通过变形求出未知系数的值．例如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝b 的解，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1代入方程组可得a ＝2，b＝0.(2)学习了二元一次方程组后，同学们应从前面所学的内容中挖掘涉及二元一次方程组的隐含条件，构造二元一次方程组解决许多问题，从而达到既沟通了知识之间的内在联系，又提高了同学们分析问题和解决问题的能力的目的．如同类项的概念等，解答此类题目的关键是真正理解概念，利用概念中的相关词语列出关系式．(3)同解问题，两个方程组的解相同，其实就是说这两个方程组的解是这两个方程组中四个二元一次方程的公共解．解技巧 用整体代入法解二元一次方程组当我们把二元一次方程组的解代入原方程后，通常得到关于未知系数的新的方程组，但有时可以不解方程组，整体代入求解．【例6－1】 已知2ay ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则x ＝__________，y ＝__________.解析：根据同类项的定义可知，若2a y ＋3b 3x和－3a 2x b 8－2y 是同类项，则必有y ＋3＝2x ,3x＝8－2y ，将这两个二元一次方程合在一起组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ＋3，3x ＝8－2y ，即可求出x ＝2，y ＝1. 答案：2 1【例6－2】 已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2xm －1y ＝2，nx ＋y ＝1的解，则m ＋n 的值是__________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x m －1y ＝2，①的解，nx ＋y ＝1②所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1同时满足方程①和方程②，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1分别代入方程①和方程②，可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋m －1＝2，③2n ＋1＝1.④由③和④可分别求出m ，n 的值为⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝0.所以m ＋n ＝－1＋0＝－1. 答案：－1【例6－3】 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6与方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1的解相同，求a ，b的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝4，2a ＋b ＝6，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝1.7．求二元一次方程的正整数解任何一个二元一次方程都有无数组解，但是二元一次方程的整数解是有限的． 一般应用二元一次方程解决实际问题时所列出的二元一次方程的解应当是有限的．因为我们必须保证其解有意义．析规律 注重实际问题中的隐含条件生活中的实际问题常隐含着一个条件：(1)数量的取值为正整数；(2)最终的答案可能不止一个，只要符合条件即可．【例7】 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 分析：先根据题意列出二元一次方程，再求其正整数解． 解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得 3x ＋5y ＝38(x ，y 都是正整数)． 用含y 的代数式表示x 为x ＝38－5y3，当y ＝1时，x ＝11； 当y ＝4时，x ＝6； 当y ＝7时，x ＝1. 原方程所有的正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝1.答：甲、乙两种书可分别买1本和7本或6本和4本或11本和1本． 8.列方程组解决实际问题(1)解实际问题的关键在于理解题意，找出数量之间的相等关系，这里的相等关系应是一个或几个，正确的列出一个(或几个)方程，再组成方程组．(2)列方程组解应用题，常遇到隐含的等量关系，如：和、差、倍、分问题；行程问题；调配问题；工程问题；浓度问题；形积问题等等．我们在列方程(组)解应用题时，要注意充分挖掘这些关系．【例8】 某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2 280名学生就餐．求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？解：(1)设1个大餐厅可供x 名学生就餐，1个小餐厅可供y 名学生就餐，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1 680，2x ＋y ＝2 280.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝960，y ＝360.答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐．。

3.3 二元一次方程组及其解法第1课时二元一次方程组【教学目标】【知识与技能】1.了解二元一次方程和它的解的概念，了解二元一次方程组的概念.2.会把一些简单的实际问题中的数量关系，用二元一次方程组表示出来.3.通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，同时培养学生观察、归纳、概括能力.【过程与方法】从一个学生熟悉的生活实例引入二元一次方程组的概念，并通过各种师生活动加深学生对“二元一次方程”和“二元一次方程组”的概念的理解；并使学生在解决问题的过程中经历知识的产生过程.【情感态度】从学生的生活实际提出问题，既体现知识的学习过程，又体现知识的应用过程，同时还有利于激发学生的学习兴趣，有利于学生养成关注身边的事例、关心他人的习惯，培养一种社会责任感.【教学重点】重点是二元一次方程组的意义和二元一次方程组的概念.【教学难点】难点是列出简单的二元一次方程组.【教学过程】一、情境导入,初步认识【情境1】在一望无际的呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个.”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？【情境2】实物投影，并呈现问题：昨天，有8个人去红山公园玩，他们买门票共花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？同学们，你们能否用所学的方程知识解决呢？【教学说明】 学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生设两个未知数，从而得出二元一次方程.情境1中若设老牛驮x 个包裹，小马驮y 个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程x-y=2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍，得方程：x+1=2(y-1).情境2中若设有x 个成年人，有y 个儿童，亦可以得到方程x+y=8和5x+3y=34.【教学说明】 通过现实情景再现，让学生体会到方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，列出具有两个未知数的方程，为后续关于二元一次方程的讨论学习提供了素材，同时，有趣的情境，也激发了学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知1.二元一次方程概念问题1什么是二元一次方程？上面各方程是二元一次方程吗？问题2上面所列方程有几个未知数？所含未知数的项的次数是多少？【教学说明】 学生通过回顾旧知识，在经过观察、分析、类比后能得出结论.【归纳结论】 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.2.二元一次方程组概念问题1上面的两方程x-y=2,x+1=2(y-1)中的x 含义相同吗？y 呢？它们分别表示什么？x+y=8和5x+3y=34中的x 含义相同吗？y 呢？它们分别表示什么？问题2用大括号将x 、y 的含义分别相同的两个方程联立起来.【教学说明】 一方面让学生明确方程组中相同的未知数表示的意义相同，另外让学生初步感知二元一次方程组的表示形式.【归纳结论】 如()2121x y x y -=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，53348x y x y +=⎧⎨+=⎩等，由两个二元一次方程联立起来得到的方程组就叫做二元一次方程组.三、运用新知，深化理解1.下列方程有哪些是二元一次方程：（1）x+3y-9=0（2）3x 2-2y+12=0 （3）3a-4b=7 （4）2m -5m=1 2.判断下列方程组是否是二元一次方程组：(1) 21,3512;x y x y -=⎧⎨+=⎩(2) 21,35x y x y +=-=⎧⎨⎩ (3) 73,351;x y y z -=⎧⎨+=⎩ (4) 1,2;x y =⎧⎨=⎩ 3.二元一次方程x+y=6的正整数解为__________________.4.买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲种水的桶数的75%，设买甲种水x 桶，乙种水y 桶，请列出二元一次方程组.5.请设计一个问题情景，编一道应用题，设其中-个量为x,另一个量为y,使x,y 满足738 5.y x y x =-+⎩=⎧⎨， 试一试,你能行.【教学说明】 通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对合并同类项有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.【答案】1.(1),(3).2.(1)和(4)是二元一次方程组.3.有24x y =⎧⎨=⎩,51x y =⎧⎨=⎩,15x y =⎧⎨=⎩,42x y =⎧⎨=⎩,33x y =⎧⎨=⎩ 4.解：依题意可列8625075%x y y x+=⎧⎨=⎩ 5.(答案不唯一)如:课外活动小组的同学准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人.求课外活动小组的人数x 和应分成的组数y.四、师生互动，课堂小结1.什么叫做二元一次方程？什么叫做二元一次方程组？举例说明.2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.1.布置作业：从教材第99页“练习”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.基于本节课内容的特点和七年级学生的心理及思维发展的特征，在教学中选择激趣法、讨论法和总结法相结合.与学生建立平等融洽的互动关系，营造合作交流的学习氛围.在引导学生进行观察分析、抽象概括、练习巩固各个环节中运用多媒体进行演示，增强直观性，提高教学效率.第2课时代入消元法解二元一次方程组【教学目标】【知识与技能】1.了解二元一次方程组的解，会判断一组未知数的值是否为二元一次方程组的解.2.理解并掌握解二元一次方程组的方法，能运用“代入法”解方程组.3.体会解二元一次方程组的“消元”思想，感受“化归”的广泛作用，发展学生分析问题和解决问题的能力以及运算技能，进一步激发学生学习数学的兴趣.【过程与方法】从一个学生熟悉的生活实例引入二元一次方程组解的概念，并通过各种师生活动加深学生对“二元一次方程组的解”和“代入法”解方程组的理解；经历代入消元法解二元一次方程组的过程，体会化未知为已知的化归思想方法，知道用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤.【情感态度】针对问题的探究，鼓励学生大胆尝试，通过交流、合作、讨论，享受学习的乐趣和成功感，培养学生大胆发言的习惯，敢于面对挑战.【教学重点】重点是二元一次方程组解的概念和“代入法”解方程组.【教学难点】难点是消元转化的过程.一、情境导入,初步认识【情境1】实物投影，并呈现问题：问题:（1）用含x的代数式表示y①2x+9=y-3 ②4x-3y=72（2）解下列方程①2x+4=5x-5 ②8-3(2x-1)=3x+1【情境2】 实物投影，并呈现问题：篮球联赛中每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.如果某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得40分，那么这个队胜、负场数应分别是多少？你能分别用方程组和方程解决问题吗？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？【教学说明】 学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生正确列出带有括号的整式和不带有括号的整式，对比所列结果，通过观察、比较，给学生以充分的时间去交流和归纳，关注学生对法则的表述，从而得出法则.情境1中（1）①y=2x+12；②4723x y -=； （2）①x=3；②x=109 情境2中设胜x 场,则有：2x+(22-x)=40设胜x 场，负y 场则有：22240x y x y +=⎧⎨+=⎩，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方程.【教学说明】 通过现实情景再现，让学生体会数学知识与实际生活的联系.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，通过自己的观察，归纳出结论，进而体验到成功的喜悦，同时，也激发了学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知1.二元一次方程组的解的概念问题1填表问题2上面各组值x,y 对应值中，有哪一组都适合二元一次方程组43612120x y x y +=+=⎧⎨⎩的两个方程？你能类比-元-次方程的解的概念得出二元一次方程组的解的概念吗？【归纳结论】 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解.二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程.【教学说明】引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与类比，让学生用原有的认知结构去同化新知识，符合建构主义理念.2.代入消元法问题1解二元一次方程组的思想是什么？问题2什么是代入消元法？代入消元法解方程的步骤是什么？【教学说明】学生在掌握一元一次方程的解法的基础上，在经过观察、分析、类比、转化后能得出结论.【归纳结论】解二元一次方程组的基本思想是“消元”，也就是要消去其中一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程.从一个方程中求出某个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.用代入消元法解二元一次方程组的步骤①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示y(或x)，②将变形后的方程代入另一个方程中，消去y(或x)，得到一个关于x(或y)的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；④把x(或y)的值代入方程中，求y(或x)的值；⑤用“联立两个未知数的值”，得到方程组的解.三、运用新知，深化理解1.二元一次方程组2102x yy x+==⎧⎨⎩的解是（）2.已知方程x-2y＝6，用x表示y，则y＝_________；用y表示x，则x＝________.3.解下列方程组：(1)3214,3;x yx y+==+⎧⎨⎩(2)2316,413.x yx y+=+=⎧⎨⎩【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对代入消元法有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.【答案】 1.C2.12x-3 6＋2y3.(1)解：将②代入①，得：3y+3+2y=14. 解得：y=1.把y=1代入②，得：x=4.所以原方程组的解为：4,1. xy=⎧⎨=⎩(2)由②，得：x=13-4y ③将③代入①，得：2(13-4y)+3y=16. 解得：y=2.将y=2代入③，得：x=5.所以原方程组的解是5,2. xy=⎧⎨=⎩四、师生互动，课堂小结1.什么是二元一次方程组的解？代入消元法的一般步骤是什么？2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.1.布置作业：从教材第101页“练习”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中应始终抓住消元的思想方法.讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法.使学生对已学知识进行实际的运用，真正达到熟能生巧.第3课时加减消元法解二元一次方程组【教学目标】【知识与技能】1.理解并掌握“加减消元法”并会用“加减法”解二元一次方程组.2.熟练地运用“代入消元法”和“加减消元法”解二元一次方程组3.体会解二元一次方程组的“消元”思想，感受“化归”的广泛作用，发展学生分析问题和解决问题的能力以及运算技能，进一步激发学生学习数学的兴趣.【过程与方法】经历加减消元法解二元一次方程组的过程，体会化未知为已知的化归思想方法，知道用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤.【情感态度】针对问题的探究，鼓励学生大胆尝试，通过交流、合作、讨论，享受学习的乐趣和成功感，培养学生大胆发言的习惯，敢于面对挑战.【教学重点】重点是用加减法解二元一次方程组.【教学难点】难点是探索如何用加减法将“二元”转化为“一元”的消元过程.【教学过程】一、情境导入,初步认识【情境1】实物投影，并呈现问题：（1）根据等式性质填空:若a=b,那么a±c=______.若a=b,那么ac=______.思考若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗?（2）解二元一次方程组基本思路是什么？（3）代入法解方程组的步骤是什么？【情境2】实物投影，并呈现问题：昨天我去水果市场买了1公斤苹果和1公斤梨共花费了22元钱，碰到我们班的地理老师也在，他买了2公斤苹果和1公斤梨共花了40元，问同学们一下，苹果和梨各是多少一公斤？除了代入法解方程组外还有别的方法吗？由此你能得出什么结论.怎样解下面的二元一次方程组呢？【教学说明】 学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生回顾已学的知识，为本节要解决的问题做好铺垫.通过学生的观察方程组的特征，发现并归纳出加减消元法解方程组.情境1中（1）b ±c ；bc 若a=b,c=d,那么a+c=b+d.（2）解二元一次方程组基本思路是消元.（3）用代入消元法解二元一次方程组的步骤：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示y(或x)；②将变形后的方程代入另一个方程中，消去y(或x)，得到一个关于x(或y)的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；④把x(或y)的值代入方程中，求y(或x)的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解.情境2中设苹果x 元一公斤，梨y 元一公斤，根据题意得出关系式22240x y x y +=⎧⎨+=⎩两方程相减也能达到消元的目的. 【教学说明】 通过现实情景再现，让学生体会数学知识与实际生活的联系.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，通过自己的观察，归纳出结论，进而体验到成功的喜悦，同时，也激发了学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知加减消元问题1什么是加减消元法？问题2加减消元法解方程组的一般步骤是什么？【教学说明】 学生通过回顾代入消元，在经过观察、分析、类比后能得出结论.【归纳结论】 将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法.用加减法解二元一次方程组的一般步骤：（1）如果某个未知数的系数的绝对值相等时，采用加减消去一个未知数.（2）如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等，再加减消元.（3）对于较复杂的二元一次方程组，应先化简，再作如上加减消元的考虑.三、运用新知，深化理解1.用加减法解方程组67196517x y x y +=-⎧⎨-=⎩应用（ ）A.①-②消去yB.①-②消去xC.②-①消去常数项D.以上都不对 2.方程组3213325x y x y +=⎧⎨-=⎩消去y 后所得的方程是（ ）A.6x=8B.6x=18C.6x=5D.x=183.解方程组：325,28.x y x y +=⎧⎨-=⎩①② 4.解方程组：()()()3155135.x y y x -=+⎧⎪⎨-=+⎪⎩ 5.已知方程组46ax by ax by -=⎧⎨+=⎩与方程组35471x y x y -=⎧⎨-=⎩的解相同，求a ，b 的值.【教学说明】 通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对加减消元法有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.【答案】1.B 2.B3.解：将方程②×2，得4x-2y ＝16，③③＋①，得7x ＝21，解得x ＝3.把x ＝3代入②，得2×3-y ＝8，y ＝-2.所以原方程组的解是32x y =⎧⎨=-⎩. 4.解：原方程组化简，得38,5320.x y y x -=⎧⎨-=⎩①②①＋②，得4y ＝28，y ＝7.把y ＝7代入①得3x-7＝8，解得x ＝5.所以原方程组的解为57x y =⎧⎨=⎩.5.解方程组35471x yx y-=⎧⎨-=⎩得21xy=⎧⎨=⎩.把21xy=⎧⎨=⎩.代入方程组46ax byax by-=⎧⎨+=⎩.得2426a ba b-=⎧⎨+=⎩，，解得521. ab⎧=⎪⎨⎪=⎩，四、师生互动，课堂小结1.加减消元法的一般步骤是什么？什么是加减消元法？2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.【课后作业】1.布置作业：从教材第105页“练习”和教材第106页“习题3.3”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.【教学反思】这节课首先从复习与这节课有关的方面着手，解决了教学过程中需要解释的问题，因为数学是一门严密的学科，然后以生活实际引入，这样降低了学习的难度，也对学生的学习兴趣的培养起到一定的作用，特别是对问题提出另外的解法的时候，学生讨论积极，经点拔后就能想到加减的方法，提高了自信心.学生的学习活跃度比较高，化归的思想体现的也比较好.。

3.3 二元一次方程组及其解法第3课时消元解方程（2）
【教学目标】
1.用代入法、加减法解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”，“化未知为已知”的化归思想.
【重点难点】
重点：用代入法、加减法解二元一次方程组.
难点：了解解二元一次方程组时的“消元思想”，“化未知为已知”的化归思想.
【教学过程设计】
【教学小结】
【板书设计】
第3课时 消元解方程组(2)
1.加减消元法：把两个方程的两边分别
相加或相减消去一个未知数.
2.加减消元法
⎩
⎪⎨⎪⎧加法消元：系数互为相反数减法消元：系数相同。

2018年秋七年级数学上册3.3 二元一次方程组及其解法第3课时用加减法解二元一次方程组教案1 （新版）沪科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋七年级数学上册3.3 二元一次方程组及其解法第3课时用加减法解二元一次方程组教案1 （新版）沪科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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第3课时 用加减法解二元一次方程组1．会用加减法解二元一次方程组；（重点）2．引导学生回顾二元一次方程(组）的概念，总结出解二元一次方程组的一般步骤．（难点）一、情境导入上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组，那么如何解方程组错误!呢？二、合作探究探究点：用加减法解二元一次方程组【类型一】 用加减法解二元一次方程组用加减消元法解下列方程组：（1)错误!(2)错误!解析：（1)观察x ，y 的两组系数，把方程①的两边同乘以2,得8x ＋6y ＝6③,把方程②的两边同乘以3，得9x －6y ＝45④,把③与④相加就可以消去y ；（2）先化简方程组,得⎩⎨⎧2x ＋3y ＝14③4x －5y ＝6.④观察其系数，把方程③两边都乘以2，得4x ＋6y ＝28⑤，再把方程⑤与方程④相减,就可以消去x 。

解：(1)①×2，得8x ＋6y ＝6。

③②×3，得9x －6y ＝45.④③＋④,得17x ＝51，x ＝3。

把x ＝3代入①，得4×3＋3y ＝3，y ＝－3.所以原方程组的解是错误!（2)先化简方程组，得错误!③×2，得4x＋6y＝28。

上海沪科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！上海沪科版初中数学和你一起共同进步学业有成！3.3 二元一次方程组及其解法第3课时 用加减法二元一次方程组【知识目标】使学生正确掌握用加减法解二元一次方程组的方法。

【情感目标】使学生理解加减消元法的基本思想所体现的“化未知为已知”的化归思想方法。

【教学重点】掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法【教学难点】明确用加减法解元一次方程组的关键是必须使用权两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等【教学过程】 一、想一想怎样解下面的二元一次方程组呢？ 3x+5y=21 ① 2x －5y= -11②（分四人小组讨论，教师巡回听讲，然后请三位同学到黑板上板演） 三位同学那位的解法简单呢？ 我们发现此题的解题方法有三种，1、把②式转化为 x=形式然后代入①，就是我们已经熟悉的代入消元法了。

2115 y 2、把②式转化为5y=2x+11，然后把5y 看成是一个整体，就可以直接代入①5y-5y 3、因为5y 和-5y 是互为相反数，那么我们考虑是否可以把①+② 我们知道两个方程相加，可以得到 5x=10x=2将x=2代入①，得 6+5y=21y=3所以方程组的解是 x=2y=3 (注意方程组的解要用大括号括起来)下面我们能否用类似的方法解决下面问题呢？例3解方程组 2x-5y=7 ①2x+3y= -1 ②解：②-①,得 8y= - 8y= - 1将y= - 1代入①，得2x+5=7x=1所以原方程组是 x=1y= -1例4解方程组 2x+3y=12 ①3x+4y=17 ②解：①×3, 得6x+9y=36 ③②×2，得6x+8y==34 ④③－④,得y=2将y=2代入①，得x=3所以原方程组的解是 x=3y=2二、议一议从上面的问题中我们可以得到什么启发呢？我们可以得到解方程组的基本思路？解方程的主要步骤有哪些？1、对某些二元一次方程组可通过方程两边分别相加（减），消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这就是本节课解方程组的基本思路。