七上3勾股定理复习学案(含答案)

七年级上册第三章《勾股定理》学习目标：1、明确勾股定理及其逆定理的内容.2、能利用勾股定理及逆定理解决实际问题.重点难点：重点：勾股定理及逆定理的应用.难点：灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题.自学设计自学任务一：梳理知识1、勾股定理：____________________________________________________________________ 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么______________________. 公式的变形：a2 = _________， b2= ____________.2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足______________，那么三角形ABC 是直角三角形.这个定理叫做勾股定理的逆定理.利用勾股定理逆定理证明三角形是否是直角三角形的步骤：3、勾股数如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

常用的勾股数组有:____________________________________________________注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数.②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数.自学任务二：考点剖析考点一、已知两边求第三边1．已知直角三角形的两边长为6,8，则第三条边长是________________．2．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1，2，则斜边长平方为_____________．变式：已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求①AD的长的平方；②ΔABC的面积．CBAS 2S 3S 1CBAS 3S 2S 1S 3S 2S 1CBA考点二：利用勾股定理求面积1.求：（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆．2.如图1，分别以Rt △ABC 的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是（1） (2) (3)变式1：如图2，如果以Rt △ABC 的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是变式2：如图3，如果以Rt △ABC 的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为321S S S 、、，则321S S S 、、之间的关系是考点三：利用列方程求线段的长 1.如图1 ，将一个边长为4、8的长方形纸片ABCD 折叠使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、5 变式：如图2，有一片直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，试求CD 的长。

《勾股定理》复习学案★知识汇总1．勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：设直角三角形的两直角边和斜边长由短到长分别为a,b,c 方法一：如图，S △AFD = EF= S 正方形EFGH = S 正方形ABCD = = 化简过程为：方法二：如图，S △= S 大正方形= S 小正方形= = 化简过程为：方法三：如图，S △AED = S △BEC = S △AEB = S 梯形ABCD = = ， 化简过程为：2.面积问题：⑴如图1，以直角三角形的三边长作正方形，则三个正方形的面积之间存在关系是 ⑵如图2，以直角三角形的三边长为直径作半圆，则三个半圆的面积之间存在关系是 ⑶如图3，以直角三角形的三边长为斜边作等腰直角三角形，则三个三角形的面积之间存在关系 是 小练习：1.如图1，①若S 1=9 S 2=16，则S 3= ，BC= ；②若AB=2，S 3=10，则S 2= ； ③若S 3=10，则S 1+S 2+S 3= ；④若S 1+S 2=5，则S 1+S 2+S 3= 。

2.如图2，①若S 1=2π S 3=258π，则S 2= ；②若S 1=3π，S 2=32π，则S 3= ，BC= ； ③若BC=10，则S 1+S 2= 。

3.如图3，BC=6，则S 1+S 2+S 3= 。

4.如图4，以直角三角形的三边长为直径作半圆，若AB=12,AC =5,则S 阴影= 。

5.如图5，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，①若最大的正方形的边长为7㎝，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 ；②若最大的正方形的边长为10㎝，正方形A 的边长为6㎝，B 的边长为5㎝，C 的边长也为5㎝，则正方形D 的边长为 。

单元评价检测第三章（45分钟 100分）一、选择题(每小题4分，共28分)1.在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2的值是( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)92.下列各组数是勾股数的为( )(A)2，4，5 (B)8，15，17 (C)11，13，15 (D)4，5，63.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足(a-17)2+|b-15|+(c-8)2=0，则△ABC是( )(A)以a为斜边的直角三角形(B)以b为斜边的直角三角形(C)以c为斜边的直角三角形(D)不是直角三角形4.下列说法：①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3，4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c(a>b=c)，那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1.其中正确的是( )(A)①②(B)①③(C)①④(D)②④5.在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为( )(A)14 (B)14或4 (C)8 (D)4或86.折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段.在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想.把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论( )(A)角的平分线上的点到角的两边的距离相等(B)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半(C)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(D)如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形7.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，那么(a+b)2的值是( )(A)12 (B)16 (C)20 (D)25二、填空题(每小题5分，共25分)8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3，AC=4，则AB的长是________.9.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A 和B 的距离为________mm.10.如图(1)所示，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC →CD →DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图(2)所示，那么△ABC 的面积是________.11.已知：如图，在四边形中ABCD 中，AB=1，BC=34，CD=134，AD=3，且AB ⊥BC ，则四边形ABCD 的面积为________.12.如图所示，在△ABC中，AB∶BC∶CA=3∶4∶5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为________cm2.三、解答题(共47分)13.(10分)“道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，一辆小汽车在一条城街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？(参考数据转换：1m/s=3.6km/h)14. (12分)如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F 点处，已知CE=3cm，AB=8cm，求图中阴影部分的面积.15.(12分)如图，已知长方体的长AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4cm.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？16.(13分)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8cm，腰AB，AC的长为5cm，一动点P在底边上从B向C以0.25cm/s的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，求点P运动的时间.答案解析1.【解析】选 C.因为斜边AB=2，所以AB2=BC2+AC2=4，所以AB2+BC2+AC2=4+4=8.2.【解析】选B.A中22+42=20≠52，故不是；B中82+152=289=172，故是勾股数；C中112+132=290≠152，故不是；D中42+52=41≠62，故不是.3.【解析】选A.因为(a-17)2≥0，|b-15|≥0，(c-8)2≥0.又因为(a-17)2+|b-15|+(c-8)2=0，所以a-17=0，b-15=0，c-8=0，所以a=17，b=15，c=8.又因为172=152+82，所以△ABC是以a为斜边的直角三角形.4.【解析】选C.①正确，因为a2+b2=c2，所以(4a)2+(4b)2=(4c)2；②错误，直角三角形两边为3，4，则斜边可能是4或5；③错误，因为122+212≠252，所以不是直角三角形；④正确，因为b=c，c2+b2=2b2=a2，所以a2∶b2∶c2=2∶1∶1.5.【解析】选B.当高AD在△ABC内部时得：CD2=152-122=81，所以CD=9，又BD2=132-122=25，所以BD=5，所以BC=14；当AD在△ABC外部时，易得BC=9-5=4.所以BC的长为14或4.6.【解析】选C.如图，由第一步得△ADE≌△CDE，由全等性质得AD=DC，由第二步得△BDF≌△CDF，由全等的性质得BD=DC，故AD=DC=BD，即DC为直角三角形斜边上的中线，且长度为斜边的一半.7.【解析】选D.每个直角三角形的面积是：(13-1)÷4=3，即12ab=3，则ab=6.又因(a-b)2=1，所以(a+b)2=(a-b)2+4ab=1+4×6=25.8.【解析】在Rt △ABC 中，∠C=90°，因为BC=3，AC=4，所以AB 2=BC 2+AC 2=25=52，则AB 的长是5.答案：59.【解析】如图构造直角△ABC ，因为AC=150-60=90(mm)，BC=180-60=120(mm)，所以AB 2=AC 2+BC 2=902+1202=1502.故AB=150mm.答案：15010.【解析】由图(2)可知，矩形的宽BC=4，长CD=9-4=5，所以△ABC 的面积为12×5×4=10. 答案：1011.【解析】连接AC ，因为AB ⊥BC ，所以△ABC 是直角三角形，所以AC 2=AB 2+BC 2=12+(34)2 =(54)2，所以AC=54.S △ABC =12AB ·BC=12×1×34=38. 因为在△ACD 中，AC 2+AD 2=(54)2+32=(134)2=CD 2，所以△ACD 是直角三角形.所以S △ACD =12AC ·AD=12×54×3=158.所以四边形ABCD 的面积为S △ABC +S △ACD =38+158=94. 答案：9412.【解析】设AB 为3xcm ，BC 为4xcm ，AC 为5xcm ，因为周长为36cm ，则AB+BC+AC=36cm ，所以3x+4x+5x=36，得x=3，所以AB=9cm ，BC=12cm ，AC=15cm ，因为AB 2+BC 2=AC 2，所以△ABC 是直角三角形，过3秒时，BP=9-3×1=6(cm)，BQ=2×3=6(cm)，所以S △PBQ =12BP ·BQ=12×6×6=18(cm 2). 答案：1813.【解析】在Rt △ABC 中，AC=30m ，AB=50m ；据勾股定理可得：BC 2=AB 2-AC 2=502-302=402，所以BC=40(m)，所以小汽车的速度为v=40÷2=20(m/s)=20×3.6(km/h)=72(km/h).因为72km/h>70km/h ，所以这辆小汽车超速了.14.【解析】由折叠可知△ADE 和△AFE 关于AE 成轴对称，故AF=AD ，EF=DE=DC-CE=8-3=5(cm)，所以CF=4cm.设BF=xcm ，则AF=AD=BC=(x+4)cm.在Rt △ABF 中，由勾股定理，得82+x 2=(x+4)2.解得x=6，故BC=10cm. 所以阴影部分的面积为：10×8-2S △ADE =80-50=30cm 2.15.【解析】根据题意，如图所示，可能最短路径有三种情况：(1)沿AA ′，A ′C ′，C ′B ′，B ′B ，BC ，CA 剪开，得图(1)AB ′2=AB 2+BB ′2=(2+1)2+42=25；(2)沿AC ，CC ′，C ′B ′，B ′D ′，D ′A ′，A ′A 剪开，得图(2)AB ′2=AC 2+B ′C 2=22+(4+1)2=4+25=29；(3)沿AD ，DD ′，B ′D ′，C ′B ′，C ′A ′，AA ′剪开，得图(3)AB ′2=AD 2+B ′D 2=12+(4+2)2=1+36=37；综上所述，最短路径应为图(1)所示，且最短路程为5cm.16.【解析】如图，当点P 运动到PA 与腰AC垂直时，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则BD=4.在Rt △ABD 中，易知AD=3cm ，设PD=xcm ，在Rt △APD 中，PA 2=x 2+9，在Rt △PAC 中，PC 2=x 2+9+25，PC=x+4，所以x=94，所以BP=BD-PD=4-94=74(cm)，所以740.25=7(s).所以此时点P 运动的时间为7秒.当P 点运动到PA 与腰AB 垂直时，同理可得BP=254cm ，此时点P 运动的时间为25s.故当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为7s或25s.。

八年级数学课堂学习活动设计 设计人： 时间：勾股定理复习学案（2）一、学习目标：1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，2.熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题． 二、学习重点：重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用难点：在应用勾股定理以及逆定理解决问题时，直角三角形的确定三、学习过程 一、知识回顾：1.已知△ABC 是直角三角形，两直角边长分别为5,12，则斜边长为 .2、已知三边长分别为8，15，17则△ABC 为 三角形.3、勾股数 满足22b a =2c 的三个正整数，称为勾股数 请任意写出几组勾股数： ； ； . 二、合作探究：例1、已知：在△ABC 中，AB ＝15 cm ，AC ＝13 cm ，高AD ＝12 cm ，求S △ABC ．例2、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？例3、某风景区有2个景点A 、B(B 位于A 的正东方),为了方便游客，风景区管理处决定在相距2千米的A 、B 两景点之间修一条笔直的公路(即图中的线段AB),经测量，在点A 的北偏东60°方向、点B 的北偏西45°方向的C 处有一个半径为0.7千米的小水潭，问小水潭会不会影响公路的修筑，为什么？参考数据：三、矫正补偿1．下列线段不能组成直角三角形的是（ ）A ．a=8，b=15，c=17B ．a=9，b=12，c=15C ．a=5 ，b=3，c=2D ．a ：b ：c=2：3：42.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的是（ ） A ．CD,EF,GH B ．AB,EF,GH C ．AB,CD,GH D ．AB,CD,EF3. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（ ） A ．一定不会 B ．可能会 C ．一定会 D ．以上答案都不对4.已知：如图，AD 是△ABC 的高，AB=10，AD=8，BC=12 . 求证： △ABC 是等腰三角形.四、 拓展提高5.已知：如图，四边形ABCD ，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3， 且AB ⊥BC.求四边形 ABCD 的面积.小测试：1、正方形的面积是4，则它的对角线长是（ ） A 、2 B 、2 C 、22 D 、42．如果直角三角形两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）A 、60∶13B 、5∶12C 、12∶13D 、60∶1693、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB =3，BD =2，DC =1， 则AC =（ ）A 、6B 、6C 、5D 、43题图 4题图 5题 4．如图中字母A 所代表的正方形的面积为（ ） A ． 4 B ． 8 C ． 16 D ． 645．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB =3，BD =2，DC =1，求AC 2的值．6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如下图，据气象观测，距沿海城市A•的正南方向260千米B 处有一台风中心，沿BC 的方向以15千米/时的速度向D 移动，已知AD•是城市A 距台风中心的距离最短，且AD=100千米，求台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？。

最新勾股定理复习学案（配试卷）一、【重点】1、明确勾股定理及其逆定理的内容2、能利用勾股定理解决实际问题二、【知识小管家】通过本章的学习你都学到了三、【练习】考点一、已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1，2，则斜边长平方为_____________．2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求①AD的长；②ΔABC的面积．考点二、利用列方程求线段的长4．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？5．如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三、判别一个三角形是否是直角三角形6.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有_________________.7.若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是_________________.ADE BC8、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西400.那么甲巡逻艇的航向是怎样的？四、【灵活变通】9、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ，82cm ，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm ．10、如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外 壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm 11、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管最大程度倾斜放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管至少要做多长？12、如图：带阴影部分的半圆的面积是 （ 取3）13、若一个三角形的周长123c m,一边长为33c m,其他两边之差为3c m,则这个三角形是______________________．五、【能力提升】15、已知：如图，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是BC 边上的高． 求证：AB 2-AC 2=BC(BD-DC)．A B16、如图，正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点， 且BC CE 41．你能说明∠AFE 是直角吗？六、【跳出陷阱】1、在Rt △ABC 中， a ，b ，c 分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，求边长c ．2、已知一个Rt △ABC 的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是3、已知a ，b ，c 为⊿ABC 三边，a=6，b=8，b<c ，且c 为整数，则c=七、【思想方法】本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想；例1、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求出CD ？配套练习1、如图，用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC •为10cm ．当折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•C B AD E F2、在矩形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按图所示方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE 的长。

《勾股定理》专题复习一、核心内容归纳●基本概念：勾股定理及逆定理的内容。

●基本知识点：1、已知两边求第三边；2、利用方程求线段长；3、利用方程解决翻折问题；4、勾股定理在立体图形中的应用。

●基本经验：在直角三角形中已知两边求第三边通常利用勾股定理求解，立体图形中的勾股定理问题通常转化为平面图形来解决。

二、常见问题枚举：知识点1：已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，3cm ，则斜边长为___________．解：2．已知直角三角形的两条边长分别为6、8，则另一条边长是________________．解：知识点2：利用方程求线段长探索：等腰三角形A B C底边上的高为8，周长为32，求△A B C的面积？解：知识点3：利用方程解决翻折问题如图，在矩形A B C D中,B C=8,C D=4,将矩形沿B D折叠,点A落在A′处,求C F的长。

解：知识点4：勾股定理在立体图形中的应用如图，已知圆柱体底面直径为4cm ，高为8cm 。

求一只蚂蚁从A 点到F 点沿着圆柱侧面爬行的最短路程。

(π的值取3)解：知识点5：判断一个三角形是否为直角三角形1.直接给出三边长度;比如判断由a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形：(1) a ＝3 , b ＝5, c ＝2 (2) a ＝1, b ＝2 , c ＝ 解： 解：2.间接给出三边的长度或比例关系（1）若一个三角形的周长12c m,一边长为3c m,其他两边之差为1c m,则这个三角形是________。

解：（3）在△ABC 中，，那么△ABC 的形状是___________。

解：3、一位同学向西南走40米后，又走了50米，再走30米回到原地。

问这位同学又走了50米后向哪个方向走了？解：::a b c。

勾股定理时间：100分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题〔本大题共8小题，共32.0分〕1.直角三角形的斜边为20cm，两直角边比为3：4，那这个直角三角形的周长为()A. 27cmB. 30cmC. 40cmD. 48cm2.如图，直线L上有三个正方形a，b，c，假设a，c的面积分别为1和9，那么b的面积为()A. 8B. 9C. 10D. 113.合适以下条件的△ABC中，直角三角形的个数为()①a=3，b=4，c=5；②a=6，∠A=45∘；③a=2，b=2，c=2√2；④∠A=38∘，∠B=52∘．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.以以下各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是()A. 2，3，4B. 4，6，5C. 14，13，12D. 7，25，245.在直线L上依次摆放着七个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，那么S1+2S2+2S3+S4=( )A. 5B. 4C. 6D. 、106.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，那么△ABC的周长为()A. 14B. 42C. 32D. 42或327.△ABC的三边为a、b、c且满足a2(a−b)+b2(a−b)=c2(a−b)，那么△ABC是()A. 等腰三角形或直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形8.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90∘，E是AB上一点，且DE⊥CE.假设AD=1，BC=2，CD=3，那么CE与DE的数量关系正确的选项是()A. CE=√3DEB. CE=√2DEC. CE=3DED. CE=2DE二、填空题〔本大题共7小题，共28.0分〕第 1 页9.如图，有一块田地的形状和尺寸如下图，那么它的面积为______ ．10.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______ 元钱．11.在Rt△ABC中，两边长为5、12，那么第三边的长为______ ．12.如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍______放入(填“能〞或“不能〞)．13.如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，假设AB=5cm，BC=6cm，那么AD=______cm．14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，假设AC=4，BC=3，那么AD=______ ．15.如图，在△ABC中，∠A=30∘，∠B=45∘，AC=2，那么BC=______ ．三、计算题〔本大题共4小题，共24.0分〕16.如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积．17.如下图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．18.公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=20米，∠A=45∘，∠B=∠C=120∘，恳求出这块草地面积．19.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60∘，∠C=45∘．(1)求∠BAC的度数．(2)假设AC=2，求AB的长．四、解答题〔本大题共2小题，共16.0分〕20.如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90∘，点P在AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90∘后得到△CBQ．(1)求∠PCQ的度数；(2)当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小；(3)当点P在线段AC上运动时(P不与A重合)，请写出一个反映PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．21.如图，Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=3cm，BC=4cm.点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的途径匀速运动.两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒进步了2cm，并沿B→C→A的途径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原途径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停顿运动，设点P原来的速度为xcm/s．(1)点Q的速度为______cm/s(用含x的代数式表示)．(2)求点P原来的速度．答案和解析【答案】1. D2. C3. C4. D5. C6. D7. A8. B9. 2410. 61211. 13或√11912. 能13. 414. 16515. √216. 解：连接AC，如下图：∵∠B=90∘，∴△ABC为直角三角形，又AB=4，BC=3，第 3 页∴根据勾股定理得：AC=√AB2+BC2=5，又AD=13，CD=12，∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90∘，那么S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×3×4+12×12×5=36．17. 解：延长AD到E使AD=DE，连接CE，在△ABD和△ECD中{AD=DE∠ADB=∠EDC BD=DC，∴△ABD≌△ECD，∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，∴AC2=AE2+CE2，∴∠E=90∘，由勾股定理得：CD=√DE2+CE2=√61，∴BC=2CD=2√61，答：BC的长是2√61．18. 解：连接BD，过C作CE⊥BD于E，如下图：∵BC=DC=20，∠ABC=∠BCD=120∘，∴∠1=∠2=30∘，∴∠ABD=90∘．∴CE=12CD=10，∴BE=10√3，∵∠A=45∘，∴AB=BD=2BE=20√3，∴S四边形ABCD =S△ABD+S△BCD=12AB⋅BD+12BD⋅CE =12×20√3×20√3+12×20√3×10=(600+100√3)m2．19. 解：(1)∠BAC=180∘−60∘−45∘=75∘．(2)∵AC=2，∴AD=AC⋅sin∠C=2×sin45∘=√2；∴AB=ADsin∠B =√2sin60∘=2√63．20. 解：(1)由题意知，△ABP≌△CQB，∴∠A=∠ACB=∠BCQ=45∘，∠ABP=∠CPQ，AP=CQ，PB=BQ，∴∠PCQ=∠ACB+∠BCQ=90∘，∠ABP+∠PBC=∠CPQ+∠PBC=90∘，∴△BPQ是等腰直角三角形，△PCQ是直角三角形．(2)当AB=4，AP：PC=1：3时，有AC=4√2，AP=√2，PC=3√2，∴PQ=√PC2+CQ2=2√5．(3)存在2PB2=PA2+PC2，由于△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ=√2PB，∵AP=CQ，∴PQ2=PC2+CQ2=PA2+PC2，故有2PB2=PA2+PC2．21. 43x【解析】1. 解：根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm，由斜边为20cm，根据勾股定理得：(3x)2+(4x)2=202，整理得：x2=16，解得：x=4，∴两直角边分别为12cm，16cm，那么这个直角三角形的周长为12+16+20=48cm．应选D根据两直角边之比，设出两直角边，再由的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长．此题考察了勾股定理，利用了方程的思想，纯熟掌握勾股定理是解此题的关键．2. 解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90∘；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90∘，即∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CED中，{∠ABC=∠DEC=90∘∠ACB=∠CDEAC=DC，∴△ACB≌△DCE(AAS)，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即S b=S a+S c=1+9=10，∴b的面积为10，应选C．运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，然后证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．此题主要考察对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明△ACB≌△DCE．第 5 页3. 解：①a=3，b=4，c=5，∵32+42=25=52，∴满足①的三角形为直角三角形；②a=6，∠A=45∘，只此两个条件不能断定三角形为直角三角形；③a=2，b=2，c=2√2，∵22+22=8=(2√2)2，∴满足③的三角形为直角三角形；④∵∠A=38∘，∠B=52∘，∴∠C=180∘−∠A−∠B=90∘，∴满足④的三角形为直角三角形．综上可知：满足①③④的三角形均为直角三角形．应选C．根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，验证四组条件中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方〞或“有一个角是直角〞，由此即可得出结论．此题考察了勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，解题的关键是根据勾股定理的逆定理和直角三角形的定义验证四组条件.此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方(或寻找三角形中是否有一个角为直角)〞是关键．4. 解：∵72+242=49+576=625=252．∴假如这组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形．应选：D．根据勾股定理的逆定理，对四个选项中的各组数据分别进展计算，假如三角形的三条边符合a2+b2=c2，那么可判断是直角三角形，否那么就不是直角三角形．此题主要考察学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握.此题难度不大，属于根底题．5. 解：如图，∵图中的四边形为正方形，∴∠ABD=90∘，AB=DB，∴∠ABC+∠DBE=90∘，∵∠ABC+∠CAB=90∘，∴∠CAB=∠DBE，∵在△ABC和△BDE中，{∠ACB=∠BED ∠CAB=∠EBD AB=BD，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴AC=BE，∵DE2+BE2=BD2，∴ED2+AC2=BD2，∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，∴S1+S2=1，同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．应选C．先根据正方形的性质得到∠ABD=90∘，AB=DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，那么可根据“AAS〞判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有ED2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到S1= AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S2+S3=2，S3+S4= 3，通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．此题考察了全等三角形的断定与性质：断定三角形全等的方法有“SSS〞、“SAS〞、“ASA〞、“AAS〞；全等三角形的对应边相等.也考察了勾股定理和正方形的性质．6. 解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD 2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5，∴BC=5+9=14．∴△ABC的周长为：15+13+14=42；(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5，∴BC=9−5=4．∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．应选D．此题应分两种情况进展讨论：(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD 的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD 的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．此题考察了勾股定理及解直角三角形的知识，在解此题时应分两种情况进展讨论，易错点在于漏解，同学们考虑问题一定要全面，有一定难度．7. 解：∵a2(a−b)+b2(a−b)=c2(a−b)，∴(a−b)(a2+b2−c2)=0，∴a=b或a2+b2=c2．当只有a−b=0成立时，是等腰三角形．当只有a2+b2−c2=0成立时，是直角三角形．当两个条件同时成立时：是等腰直角三角形．应选：A．因为a，b，c为三边，根据a2(a−b)+b2(a−b)=c2(a−b)，可找到这三边的数量关系．此题考察勾股定理的逆定理的应用，以及对三角形形状的掌握．8. 解：过点D作DH⊥BC，∵AD=1，BC=2，∴CH=1，DH=AB=√CD2−CH2=√32−12=2√2，∵AD//BC，∠ABC=90∘，∴∠A=90∘，∵DE⊥CE，∴∠AED+∠BEC=90∘，∵∠AED+∠ADE=90∘，∴∠ADE=∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴ADBE =AEBC=DECE，第 7 页设BE=x，那么AE=2√2−x，即1x =2√2−x2，解得x=√2，∴ADBE =DECE=1√2，∴CE=√2DE，应选：B．过点D作DH⊥BC，利用勾股定理可得AB的长，利用相似三角形的断定定理可得△ADE∽△BEC，设BE=x，由相似三角形的性质可解得x，易得CE，DE的关系．此题主要考察了相似三角形的性质及断定，构建直角三角形，利用方程思想是解答此题的关键．9. 解：作辅助线：连接AB，因为△ABD是直角三角形，所以AB=√AD2+BD2=√32+42=5，因为52+122=132，所以△ABC是直角三角形，那么要求的面积即是两个直角三角形的面积差，即12×12×5−12×3×4=30−6=24．先连接AB，求出AB的长，再判断出△ABC的形状即可解答．巧妙构造辅助线，问题即迎刃而解.综合运用勾股定理及其逆定理．10. 解：由勾股定理，AC=√AB2−BC2=√132−52=12(m)．那么地毯总长为12+5=17(m)，那么地毯的总面积为17×2=34(平方米)，所以铺完这个楼道至少需要34×18=612元．故答案为：612．地毯的长是楼梯的竖直局部与程度局部的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积．此题考察了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．11. 解：①假设12为直角边，可得5为直角边，第三边为斜边，根据勾股定理得第三边为√52+122=13；②假设12为斜边，5和第三边都为直角边，根据勾股定理得第三边为√122−52=√119，那么第三边长为13或√119；故答案为：13或√119．分两种情况考虑：假设12为直角边，可得出5也为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理求出斜边，即为第三边；假设12为斜边，可得5和第三边都为直角边，利用勾股定理即可求出第三边．此题主要考察了勾股定理，利用了分类讨论的思想，纯熟掌握勾股定理是解此题的关键．12. 解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900<5000，所以能放进去．故答案是：能．在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的间隔最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大间隔，然后和木棒的长度进展比拟．此题考察了勾股定理的应用.解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．13. 【分析】此题考察了等腰三角形的性质和勾股定理.关键要熟知等腰三角形的三线合一可得.先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD=12BC=12×6=3cm，在直角△ABD中，由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，所以，AD=√AB2−BD2=√52−32=4cm．故答案为4．14. 解：∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∵S△ABC=12×3×4=12×5×CD，∴CD=125．∴AD=√AC2−CD2=√16−14425=165，故答案为：165．根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式求得CD，然后再利用勾股定理计算出AD长即可．此题主要考察了直角三角形面积及勾股定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．15. 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵AC=2，∠A=30∘，∴CD=12AC=1，∵在Rt△BCD中，∠B=45∘，∴CD=BD=1，那么BC=√CD2+BD2=√2，故答案为：√2．作CD⊥AB，由AC=2、∠A=30∘知CD=1，由∠B=45∘知CD=BD=1，最后由勾股定理可得答案．此题主要考察勾股定理、直角三角形的性质，纯熟掌握直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．16. 连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．此题考察了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，纯熟掌握定理及逆定理是解此题的关键．17. 延长AD到E使AD=DE，连接CE，证△ABD≌△ECD，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出∠E=90∘，根据勾股定理求出CD即可．第 9 页此题综合考察了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性质和断定、三角形的中线等知识点的应用，关键是正确地作辅助线，把条件转化成一个直角三角形，题型较好．18. 易得∠CDB的度数，连接BD可得一个等腰三角形和一个直角三角形，作出等腰三角形底边上的高，利用∠CDB的正弦值可得等腰三角形底边上的高，进而求得两个三角形的面积，让它们相加即可．此题考察解直角三角形在实际生活中的应用；把四边形问题整理为三角形问题是解决此题的打破点，作等腰三角形底边上的高，是常用的辅助性方法．19. (1)根据三角形的内角和是180∘，用180∘减去∠B、∠C的度数，求出∠BAC的度数是多少即可．(2)首先根据AC=2，AD=AC⋅sin∠C，求出AD的长度是多少；然后在Rt△ABD中，求出AB的长是多少即可．此题主要考察了勾股定理的应用，以及直角三角形的性质和应用，要纯熟掌握．20. (1)由于∠PCB=∠BCQ=45∘，故有∠PCQ=90∘．(2)由等腰直角三角形的性质知，AC=4√2，根据条件，可求得AP，PC的值，再由勾股定理求得PQ的值．(3)由于△PBQ也是等腰直角三角形，故有PQ2=2PB2=PA2+PC2．此题利用了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理求解．21. 解：(1)设点Q的速度为ycm/s，由题意得3÷x=4÷y，∴y=43x，故答案为：43x；(2)AC=√AB2+BC2=√32+42=5，CD=5−1=4，在B点处首次相遇后，点P的运动速度为(x+2)cm/s，由题意得3+14x3=4+4x+2，解得：x=65(cm/s)，答：点P原来的速度为65cm/s．(1)设点Q的速度为ycm/s，根据题意得方程即可得到结论；(2)根据勾股定理得到AC=√AB2+BC2=√32+42=5，求得CD=5−1=4，列方程即可得到结论．此题考察了分式方程的应用，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．。