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第四章,边界条件解析

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第四章 FLOW-3D V9.3网格与边界条件

第四章 FLOW-3D V9.3网格与边界条件


FLOW SCIENCE
建立网格
建立网格
显示网格
隐藏网格
按鼠标右建
切换成圆柱座标
增加网格区块 网格区块资讯
FLOW SCIENCE
网格选项
新增网格区块. 删除网格区块. 自动切割网格. 调整网格区块. 网格资讯 网格区块尺寸调整. 移动网格区块. 复制网格区块. 分割网格区块.
按鼠标右建
自动调整网格区块至几何图档大小.
FLOW SCIENCE
Outflow
为波浪有益的固定液体。 不允许流入，因此，没有表面的高 度设置。 降低到继续条件的稳定状态。
波浪生 成边界
外流边 界
FLOW SCIENCE
Wave Boundary
允许用户指定线性波浪进入领域。 使用速度边界条件。 模型基于线性波浪理论。 只有沿着X和Y的界限。 在名单中用文本编辑器输入如下： ① 波幅。 ② 波期或波长。 ③ 相移（度）。 ④ 平均液高度。
隐藏网格. 显示网格. 仅显示单一网格区块. 显示所有网格区块.
FLOW SCIENCE
Mesh adjustment
以鼠标调整网 格大小
步距大小可调整不 同的数值
FLOW SCIENCE
Auto Mesh & Mesh Info
直接输入网格总数量，程序会自 动切割X, Y, Z的网格数量。
取边界长度的百分比作 为切割。 例如：X长度为10,此位 置输入0.1时，X方向会 切割为100格。
固定 点1
固定 点2
固定 点3
固定 点4
x
单元总数 是17
在点2的单元大小
在点3的单元大小
FLOW SCIENCE
网格-增加固定点
第四章 对流换热_2

第四章 对流换热_2

粘性扩散能力 热扩散能力
体分子和流体微团的动量和
热量扩散的深度.
边界层型对流传热问题的数学描写
热边界层与流动边界层的关系
两种边界层厚度的相对大小取决于流体运动粘度与热扩散率的相对大小; 运动粘度反映流体动量扩散的能力，其值越大流动边界层越厚 。 热扩散率反映物体热量扩散的能力，在其它条件相同的情况下，其值越大 ，热边界层越厚。 称为普朗特数 Pr 令 其物理意义为流体的动量扩散能力与热量扩散能力之比。 a 对于层流边界层，当 Pr
速度边界层
流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性，在流 体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向上会从壁 面处的零速度逐步变化到来流速度。
u y
t∞ u
δ 0
t
δ
tw x
垂直于壁面的方向上流体流速发生显著变化的流体薄层定义为 速度边界层（流动边界层）。
边界层型对流传热问题的数学描写

2 13 Nu x 0.332 Re1 Pr x
hx x u x
努塞尔(Nusselt)数
Re x
Pr

a

雷诺(Reynolds)数
普朗特数

注意：特征尺 度为当地坐标x
与 t 之间的关系
u const,

dp 0 dx
动量传递 热量传递 规律相似 =t
边界层型对流传热问题的数学描写
热（温度）边界层 Thermal boundary layer
当流体流过平板而平板的温度tw与来流流体的温度t∞不相等时，在
壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为热边界层。
当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的0.99倍时， 即 (t w t ) /(t w t ) 0.99 ，此位置就是边界层的外边缘，而该点到壁面
04第四章 边界层理论基础

04第四章 边界层理论基础


d ρ ∫ (ux − u0 )ux dy = τ s dx 0
δ
（5—14） ） ——卡门边界层积分动量方程 卡门边界层积分动量方程
适用于层流、湍流，精度取决于 适用于层流、湍流，精度取决于ux=f(x,y) 可预先假定一个速度分布方程，如： x = a + by + cy 2 可预先假定一个速度分布方程， u 代入，求得近似解。 代入，求得近似解。
δ
0
δ
第三节 边界层积分动量方程
一、边界层积分动量方程的推导
方向流动： 只考虑 x 方向流动： d dp ρ ∫ ( u x − u0 )u x d y = τ s + l d x dx 0
作数量级分析时，有 ∂p ＝0 即边 作数量级分析时， 界层压力p在 方向近似不变 方向近似不变， 界层压力 在y方向近似不变，等于边界 层外面流体的压力，边界层外按理想流 层外面流体的压力， 体处理。 体处理。
∂ 2uy ∂ 2uy 1 ∂p ux + uy =− +v + 2 2 ∂x ∂y ∂y ρ ∂y ∂x
经化简后， 经化简后，得：
(4- 5a)
∂uy
∂uy
(4 - 5b)
1 ∂p ∂ 2ux ∂ux ∂ux ux + uy =− +v 2 ρ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂ux ∂uy + =0 ∂x ∂y
d δ dux (4 - 21) ρ ∫ ux (u0 − ux )dy = µ y =0 0 dx dy 次方为例： 以3次方为例： ux = a + by + cy2 + dy3 次方为例 B.C. y = 0, ux = 0 3 2 d ux ux 3 y 1 y y = 0, =0 ⇒ = ⋅ − ⋅ (4 - 22) 2 dy u0 2 δ 2 δ
第四章 边界层理论

第四章 边界层理论

描述不可压缩流体在边界 层中作稳态二维流动的微 分方程
普兰德首先发现，当Re较 大时，边界层的厚度<<x。 可以通过比较数量级简化 方程。
普兰德边界层方程
通过数量级比较得到的简化方程：
普兰德边 界层方程
u x u x 1 dP 2u x ux uy x y dx y 2 u x u y 0 x y
【例】沿平壁层流边界层的计算
温度为20℃的空气在常压下以5m/s的速度流过一块宽1 m的平板壁 面。试计算距平板前缘0.5m处的边界层厚度及进入边界层内的质量 流率，并计算这一段平板壁面的曳力系数与承受的摩擦曳力。假设 临界雷诺数Rexc=5×105。 解：
(1)判断边界层流型：20oC空气， 1.81105 Pa.s 1.205kg / m3 Re0.5 1.664 105 5 1050.5处的边界层为层流边界层
4.2曳力系数和范宁摩擦因数
圆柱体在流体中的运动：
Fd ' CD
u0
2
2
D
Fd’－流体对圆柱体所施加的总曳力（drag force） u0－圆柱体的运动速度 CD－曳力系数（drag coefficient） D－圆柱体的直径 球体或其他形状的物体在流体中的运动 u0 2 2 Fd Fd CD A CD 2 u0 2 A A－物体在垂直于它的运动方向的平面上的投影面积 流体在圆管中流动所受到的摩擦阻力，习惯上采用范宁摩擦因数： τs－流体流过管壁的剪应力 2 s f= f－Fanning friction factor ub2 ub－流体的主体流速
递过程和质量传递过程有着密切的关系。
边界层概念
Prandtl(1904)提出边界层概念，把统一 的流场，划分成两个区域，边界层和外 流区；其流体流动（沿流动方向和沿与 流动方向垂直的方向）有不同的特点。 边界层：流体速度分布明显受到固体壁 面影响的区域。 边界层的形成： 壁面处流体的“不滑脱”no-slip 流体的“内摩擦”作用 边界层厚度δ U＝00.99 U0
恒定电场的边界条件

恒定电场的边界条件


当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密 度和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。
如两种金属媒质(通常认为金属的介电常数为ε0)的分 界面上, 根据D1n-D2n=ρs, 则得
E1n

E2n

s 0
1E1n 2E2n
ρs是分界面上自由电荷面密度
s

01

1 2
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流的电场和磁场
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场 §4.2 恒定电场与静电场的比拟 §4.3 恒定磁场的基本方程 §4.4 恒定磁场的矢量磁位 §4.5 介质中的磁场 §4.6 恒定磁场的边界条件 §4.7 电感的计算 §4.8 恒定磁场的能量和力
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场
恒定电场是电荷量保持恒定的定向运动电荷产生的场。
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场
恒定电场是电荷量保持恒定的定向运动电荷产生的场。
恒定电流的电流强度定义
I Q t
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流的电场和磁场
一、微分形式的欧姆定律和焦耳定律
化,故dQ/dt=0


sJ ds 0 J 0

S E ds 0
恒定电流连续性方程的微分形式

S E ds 0
如果导体的导电性能均匀, σ是常数
说明：导体内部任一闭合面S内包含的净电荷Q=0。 所
以在均匀导体内部虽然有恒定电流, 但没有电荷, 恒
定电荷只能分布在导体的表面上。导体内部的恒定电
第四章 FLOW-3D 网格与边界条件

第四章 FLOW-3D 网格与边界条件


FAVORize
Open:打开的体积不 是固体占用的体积。 Solid:打开的体积是 固体占用体积。
利用 FAVOR检视 网格切割的 状况。
如果觉得 切割的不够 好，可以再 调整网格数 量，然后再 以FAVOR检 视
FAVOR视 图在模拟里 显示几何的 象征。
如果FAVOR的结果 合理，按下此按键
假设u, T, µ, 和压力 并不会改变流动方 向。即:
流动可以移动或旋转周期。 流动条件造成一边界进入对 面的边界一样。
Swirling Flow in a tank
Flow Over heat Exchanger
周期边界总是用于对。 周期边界允许方位角速度;流动可 以漩涡。 可用于减少周期模拟问题的大小。
程式会根据指定的条件，在 X,Y,Z 三方向进行网格切割
真实网格数量
建议使用：以总数量 设定做网格定义。
虽然程序接受X,Y,Z方向以不同的网格大小做切割，但是当网 格的Aspect Ratio太高时，容易发生计算不收敛。而以总网格数 量定义时，切割的网格大小比例一律相同，在计算上比较没有 收敛的问题。
Connected 接续式网格区块
Nested 巢式网格区块
部分 重叠
网格区块可同时存在 Nested 及 Connected 格 式
发生『部分重叠』，这 样的网格区块无法使用




网格区块数量越少越好；每增加一个网格区块，至少 会增加一个需要计算叠代的边界。不必要的网格区块 会增加叠代可能造成的数值误差以及增加分析时间。 网格区块之间的 Aspect Ratio（网格尺寸）尽量采用 1.0 ~ 2.0 之间。 避免在流场紊乱（压力梯度较大）的位置建立网格区 块，网格区块连接的位置尽量位於流场平缓的区域。 在网格区块的连接位置，以 Fixed Point 确认网格区块 的连接，这样可以减少网格区块连接位置的体积误差 量。
4-弹塑性力学-物理方程与边界条件 弹塑性力学讲义 中文版 教学课件

4-弹塑性力学-物理方程与边界条件 弹塑性力学讲义 中文版 教学课件

其中 ij 为克氏符号，i j,ij 1;i j,ij 0. y1 ij ij 11 22 33 y2 1111 22 22 33 33
例4 将 y kiaij (i, j 1, 2,3) 按求和约定展开。
y (k1a11 k2a21 k3a31, k1a12 k2a22 k3a32 , k1a13 k2a23 k3a33 )
ai xi ij (i, j x, y, z)
当代数式中某一角标（下标或上标）在给定的项中重复 出现时，我们就对该角标从1到n求和，这就叫求和约定。
第四章 物理方程与边界条件
求和约定(The arrnagement for summation)
例1 将 ii 和 i i (i x, y, z)
ij Cijkl kl ，或 ij Sijkl kl（i,j,k,l = x,y,z）
其中Cijkl 称为刚度矩阵，Sijkl 称为柔度矩阵。
第四章 物理方程与边界条件
体积应变
由广义虎克定律
三式相加,则有
x
1 E
[ x
(
y
z )]
y
1 E
[
y
( z
x )]
z
1 E
X Y
（平面问题）
（以后将通过例题将其具体化）源自第四章 物理方程与边界条件
各向异性(anisotropy)概念
当材料的弹性常数在各个方向不相等时，材料将表现 出力学性能的各向异性。
例如：单晶材料（fcc, bcc, hcp）、复合材料、冷加工 材料（轧板、丝材等）。
材料各向异性的类型： 单轴各向同性——平面各向异性（轧板） 平面各向同性——厚向异性（丝材） 正交各向异性——(复合材料，FRP)
4弹塑性力学物理方程与边界条件
4-弹塑性力学-物理方程与边界条件

4-弹塑性力学-物理方程与边界条件

பைடு நூலகம்
�
第四章 物理方程与边界条件
求和约定(The arrnagement for summation) 求和约定
例3 将y1 = εijδij 按求和约定展开. 和y2 = σijεijδij (i, j =1,2,3) 按求和约定展开.
i 为克氏符号, 为克氏符号,= j, δ ij = 1; i ≠ j, δ ij = 0.
1 E
1 E 其中E, , 分别为各向同性材料的弹性模量, 其中 ,G, 分别为各向同性材料的弹性模量,泊松比和剪切弹性 模量,并有: 模量,并有: E
ε z = [σ z (σ x + σ y )],
G =
1 1 ε xy = γ xy = τ xy 2 2G 1 1 ε yz = γ yz = τ yz 2 2G 1 1 ε zx = γ zx = τ zx 2 2G
2 (1 + )
可见,各向同性材料只有两个独立的弹性常数. 可见,各向同性材料只有两个独立的弹性常数.
第四章 物理方程与边界条件
思考题: 思考题:
1. 如何将三维广义虎克定律写成应力对应变的函数? 如何将三维广义虎克定律写成应力对应变的函数? 2.何将广义虎克定律写成矩阵的形式? .何将广义虎克定律写成矩阵的形式? ) {σ } = C {ε },或{ε } = S {σ }(i,j,k,l = x,y,z)
ij ijkl kl ij ijkl kl
其中 Cijkl 称为刚度矩阵,Sijkl 称为柔度矩阵. 称为刚度矩阵, 称为柔度矩阵.
第四章 物理方程与边界条件
体积应变
由广义虎克定律
三式相加,则有 三式相加 则有
1 [σ x (σ y + σ z )] E 1 ε y = [σ y (σ z + σ x )] E 1 ε z = [σ z (σ x + σ y )] E
数值天气预报第四章_初始条件与边界条件

数值天气预报第四章_初始条件与边界条件

所有的动力约束类似于前面所说的平衡方程或准地转ω方 程。变分方法有能力同时处理各种类型的资料，在用非线性 平衡方程作约束时也不存在椭圆型问题的困难，但它运用准 地转类型的约束，仍然存在准地转初始化的一些问题。
兰州大学大气科学学院
初始条件与边界条件
2、初始化发展历程(续)
Miyakoda and Moyer（1968），Nitta and Hovermale提出新的初始化方法，称为动力初 始化。基本原理是
平衡方程(4.3)可以写为
( ) ∇2ψ =
1 f
2.平衡初值
平衡初值是采用平衡方程作为风场和气压场之间的协调
关系。平衡方程为：
fζ −βu +2J (u,v) =∇2Φ
(4.2)
兰州大学大气科学学院
初始条件与边界条件
一、静力初始化(续)
假定水平无辐散，引入流函数 ψ，则平衡方程为：
( ) f
∇2ψ
+ ∇f
⋅ ∇ψ
+
2
ψ xxψ
yy
−ψ
2 xy
初始条件与边界条件
2、初始化发展历程
最早的初始化过程基于准地转理论。Charner(1955) 建议用非线性平衡由分析的位势高度场计算流函数， 他认为这种平衡的初始状态可以有效地抑制惯性重力 波。
Hinkelmunn（1959）和Phillips（1960）论证了仅仅 利用非线性平衡方程还不足以达到上述目的。他们建 议运用 ω方程给出初始的速度位势χ。这些早期的 准地转初始化过程可以看成是准地转约束的扩展。在 求解ω方程，特别是非线性平衡方程时有一些技术困 难，最大的困难是“椭圆型”问题，一般采取选代算法 来解决。准地转初始化技术在中高纬度地区相当成 功，但在低纬低区就不适宜。
《金属学原理》习题解答余永宁第四章

《金属学原理》习题解答余永宁第四章

第4章 扩散1. 一块厚度为d 的薄板，在T 1温度下两侧的浓度分别为w 1，w 0（w 1＞w 0），当扩散达到平稳态后，给出①扩散系数为常数，②扩散系数随浓度增加而增加，③扩散系数随浓度增加而减小等三种情况下浓度分布示意图。

并求出①种情况板中部的浓度。

解：一维扩散的平稳态有 D Cxd d =常数①扩散系数为常数时，d C /d x 也应为常数，故浓度分布是直线。

其中部的浓度C w w =−12②扩散系数随浓度增加而增加时，d C /d x 应随浓度增加而减小，浓度分布曲线是上凸的曲线。

③扩散系数随浓度增加而减小时，d C /d x 应随浓度增加而增加，浓度分布曲线是下凹的曲线。

2. 上题d =2mm，w 1=1.4%，w 0=0.15％。

在T 1温度下w 1和w 0浓度的扩散系数分别为D w 1=7.7×10-11m 2⋅s -1，D w 0=2.5×10-11m 2⋅s -1。

问板的两侧表面的浓度梯度的比值为多大?设w =0.8％≡ρ=60kg/m 3，问扩散流量为多少?（设扩散系数随浓度线性变化）解：①两侧表面的浓度梯度的比值：因 D C x D C xw w1010d d d d =，故 d d d d C x C x D D w w 100125770325===...②因扩散系数随浓度线性变化，设D =a+bC 因 D a bC D a bC 1100=+=+求得 010111011C C D D b C C C D D D a −−=−−−=扩散流量 J a bC C x =−+()d d 上式积分得 −=++Jx aC bC d22边界条件：x =l ，C =C 0；代入上式得：J a C C b C C l=−−+−[()()]10120221把a 和b 代入得J D D D C C C C D D C C C C l D D C C l =−−−−−+−−−=−−{()()()}()()110101*********10101212把重量百分数转化为体积浓度，因w =0.8％≡60kg/m3故 C C 130314086010501508601125=×=⋅=×=⋅−−.....kg m kg m 把浓度代入流量式子，最后得J =−−××⋅⋅=×⋅⋅−−−−−−−(..)(.).77251051125102102441011321621kg m s kg m s 3. 根据图4-5(b)和(c)给出的资料，计算x (Ni)=0.4以及x (Ni)=0.6两种合金在900°C 时的互扩散系数。

弹性力学 第四章_4

弹性力学 第四章_4

典型轴对称问题解法： 典型轴对称问题解法： （1）圆环或圆筒受均布压力
σρ =
A
ρ
2
+ B(1+ 2ln ρ) + 2C
2
σϕ = −
A
τρϕ =τϕρ = 0
边界条件：σρ 位移单值条件
ρ=r
ρ
+ B(3+ 2ln ρ) + 2C
= −q1 σρ ρ=R = −q2
B=0
（2）压力隧洞
+ B(1+ 2ln ρ) + 2C ρ A σϕ = − 2 + B(3+ 2ln ρ) + 2C
（2) y 轴
(φ= 90 o )
上应力， 上应力，
2 4
1r 3r σx =σϕ =q(1+ 2 + 4 )。 2ρ 2ρ ρ = r 2r 3r 4r 远 处 σx = 3q 1.22q 1.07q 1.04q q
可见，距孔边1.5D处 可见，距孔边1.5D处 (ρ=4r) ， 1.5D 由于孔口引起的应力扰动<5% <5%。 由于孔口引起的应力扰动<5%。
f (t) = C e4t +C2e2t +C3 +C4e−2t 1
f (ρ) = Aρ + Bρ +C + D
4 2
r ±ωi
对应解的两项： 对应解的两项：
1
பைடு நூலகம்ρ2
第四章 平面问题的极坐标解答
代入 Φ = f (ρ) cos 2ϕ 得应力函数 4 D 2 Φ = cos 2ϕ Aρ + Bρ +C + 2 ρ 代入(4-5) 代入 1 ∂Φ 1 ∂2Φ ∂2Φ + 2 2 σρ = σϕ = 2 ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂ρ

第四章 边界层理论


U
1

0
u (1 ) dy U u (1 ) dy U
u
U-u


δ1 x
0
③ 动量损失厚度δ2 定义：以速度U 通过高δ2断面的动量等于由边界层引起 的动量减少量。即：
U 2 U U u dy
2 0

2

0
u U
u 1 U
u dy 0 U
y 4 l
3 2 紊流边界层
1
0
层流边界层
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
ux U
3 边界层的厚度 ① 名义厚度δ 边界层厚度可以看成是壁面对来流的粘滞作用扩散范围的度 量，定义为壁面起沿法向至流速达到外界主流流速之99%处。 对于大雷诺数流动，边界层是很薄的.
x
y U
x
y ux ux y 2 y y2 2 1 dy 2 2 1 2 2 dy 0 U 0 U 2 3 4 y y y y 2 5 4 dy 0

u x u x 2ux 1 p ux uy x y x y 2
边界层中：
FI ~ F ~


2u y y
2
~
2u y 2u y 1 p ux uy ( 2 2 ) x y y x y
u y
4.2边界层概念
1 边界层 普朗特边界层理论的主要内容： （1） 紧贴壁面非常薄的一层，该薄层内速度梯度很大， 这一薄层称为边界层。 （2）边界层以外的流动区域，称为主体区或外流区。该 区域内流体速度变化很小，故这一区域的流体流动可近似 看成是理想流体流动。

高等光学教程-第4章参考答案

第四章 标量衍射理论基础4.1证明（4-21）式所示的索末菲辐射条件成立。

证明：球面2S 是中心位于1S 面上的发散球面波的波面，假定2S 面 上的光场分布表示为 rjkr )exp(=U 式中r 表示产生发散球面波的点光源到球面2S 上任意一点的距离。

1exp()cos()cos(,)r jkr jk n r n r r r ∂∂∂∂⎛⎫===- ⎪∂∂∂∂⎝⎭U U U n,r n r 当∞→R 时，有∞→r ，所以这时有1),cos(≈r n2)exp()exp(1rjkr jk r jkr r jk jk n -≅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∂∂U U U 当∞→R 时，上式分母中的r 可用R 来代替，于是 2exp()1lim lim lim (cos sin )R R R jkr R jk R kr j kr n R R →∞→∞→∞∂⎛⎫⎡⎤⎛⎫-=-=-+⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎝⎭U U lim 0jkrR e R →∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭4.2 参考图4-8，考虑在瑞利—索末菲理论中采用下式所表示的格林函数，即010110101exp()exp()()jkr jkr P r r +=+G %%(1) 证明+G 的法线方向的导数在孔径平面上为零。

(2) 利用这个格林函数，求出用孔径上的任意扰动来表示0()p U 的表达式，要得到这个结果必须用什么样的边界条件。

(3) 利用(2)的结果，求出当孔径被从2P 点发散的球面波照明时0()p U 的表达式 证明: 下面是教材中图4-8（1）)(1P +G 由两项迭加而成，它们分别表示从互为镜像的点0P 和0~P 发出的两个初相位相同的单位振幅的球面波。

孔径平面1S 上任一点1P 的+G 值为010101011~)~exp()exp()(r r jk r jkr P +=+G （P4.2-1） 1()P +G 的法向导数为0101010101010101~)~exp(~1)~,cos()exp(1),cos(r r r r n r n G jk jk r jkr r jk n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+ （P4.2-2） 对于互为镜像点的0P 和0~P 来说，有)~,cos(),cos(0101r n r n -= 0101~r r = （P4.2-3）将以上关系式代入（P4.2-2）式，得到0n+∂=∂G （P4.2-4） （2）根据（4-22）式，观察点0P 的光扰动可以用整个平面1S 上的光扰动U 和它的法向导数来表示⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=1d 41)(0S s n n P G U G U U π（P4.2-5） 由0101~r r =，得01011)exp(2)(r jkr P =+G （P4.2-6）将上式和（P4.2-4）式一同代入（P4.2-5）式，得到⎰⎰⎰⎰∂∂=∂∂=+11d )exp(21d 41)(01010S S s r jkr n s G n P U U U ππ（P4.2-7）为了将上式所表示的结果进一步简化，根据孔径∑上的场去计算0P 点的复振幅分布)(0P U ，只需要规定如下两个边界条件：（a ）在孔径∑上，场分布的法向导数n U ∂与不存在衍射屏时的值完全相同。

第四章 边界层理论


4.2 边界层微分方程式(自学内容）
微分方程的建立
主流区－－欧拉方程、柏努利方程 边界层内部－－连续性方程和N－S 方程的简化
∂v x ∂v y + =0 ∂x ∂y vx ⎛ ∂ 2 v ∂ 2 v ⎞ 1 ∂p ∂v x ∂v + v y x = ν ⎜ 2x + 2x ⎟ − ⎜ ∂x ∂x ∂y ∂y ⎟ ρ ∂x ⎝ ⎠ [1] [1] ⎡ 12 ⎤ [1] [1] ⎢δ ⎥ ⎣ ⎦ ∂v y ∂v y
4.2 边界层微分方程式(自学内容）
微分方程的建立
∂v x ∂v y + =0 ∂x ∂y ⎛ ∂ 2 v x ∂ 2 v x ⎞ 1 ∂p ∂vx ∂vx + vy vx =ν ⎜ 2 + 2 ⎟ − ⎜ ∂x ∂x ∂y ∂y ⎟ ρ ∂x ⎝ ⎠ [1] [1] ⎡ 12 ⎤ [1] [1] ⎢δ ⎥ ⎣ ⎦ ⎛ ∂ 2 v y ∂ 2 v y ⎞ 1 ∂p vx + vy =ν ⎜ 2 + 2 ⎟ − +g ⎜ ∂x ∂x ∂y ∂y ⎟ ρ ∂y ⎠ ⎝ 0 [δ ] [δ ] ⎡ 1 ⎤ [δ ] ⎢δ ⎥ ⎣ ⎦ ∂v y ∂v y
4.1 边界层的概念
边界层的定义
流体在固体壁面流动时，由于粘性作 用紧靠壁面附近形成速度梯度较大的 流体薄层称为边界层。 流速相当于主流区速度的0.99处到固 体壁面间的距离定义为边界层的厚度
边界层的形成与特点
Re x < 2 × 105
ρvl Re = μ
平板绕流
Re x =
ρv0 x μ
Re x > 3 × 106
⎡ ∂ 2 v y ⎤ ⎡ ∂ ∂v y ⎤ = [δ ] ⎢ 2 ⎥=⎢ ∂x ⎥ ⎣ ∂x ∂x ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎦

电磁场与电磁波课后习题及答案--第四章习题解答

习题解答如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为，求槽内的电位函数。

解 根据题意，电位满足的边界条件为①②③根据条件①和②，电位的通解应取为由条件③，有两边同乘以，并从0到对积分，得到故得到槽内的电位分布 两平行无限大导体平面，距离为，其间有一极薄的导体片由到。

上板和薄片保持电位，下板保持零电位，求板间电位的解。

设在薄片平面上，从到，电位线性变化，。

解 应用叠加原理，设板间的电位为其中，为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为）的电位，即；是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： ① ② ③根据条件①和②，可设的通解为由条件③有两边同乘以，并从0到对积分，得到故得到求在上题的解中，除开一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。

并按定出边缘电容。

解 在导体板（）上，相应于的电荷面密度则导体板上（沿方向单位长）相应的总电荷相应的电场储能为其边缘电容为如题图所示的导体槽，底面保持电位，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。

题图题 图解 根据题意，电位满足的边界条件为①②③根据条件①和②，电位的通解应取为由条件③，有两边同乘以，并从0到对积分，得到故得到槽内的电位分布为 一长、宽、高分别为、、的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为的电荷。

求体积内的电位。

解 在体积内，电位满足泊松方程（1）长方体表面上，电位满足边界条件。

由此设电位的通解为代入泊松方程（1），可得由此可得或（2）由式（2），可得故如题图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与轴平行的线电荷，其位置为。

求板间的电位函数。

解 由于在处有一与轴平行的线电荷，以为界将场空间分割为和两个区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。

而在的分界面上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度。

电位的边界条件为①②③ 由条件①和②，可设电位函数的通解为题 图题图由条件③，有（1）（2）由式（1），可得（3）将式（2）两边同乘以，并从到对积分，有（4）由式（3）和（4）解得故如题图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷。

课件：级第四章 2 边值问题


y(a)
(a x b)
y(b)
例 3：传热问题 建立微分方程：
d 2T 1 dT f (r) dr2 r dr
对流传热
建立边界条件：
a1T(b) b1T(b) T1
r=b
T1
●第三类边界条件
－给定边界处函数和导数共同满足的条件
●第三类边值问题
y f (x, y, y) (a x b)
●● ● ●●
y(x)
x =a
x =b
打靶法的几何说明
对于初值问题
y f x, y, y a x b
y(a)
y(a) m
m
m0
m1
mn
y(b) y(b)m0 y(b)m1 y(b)mn
y(b)m F(m)
合适的 m 值应满足：
y(b)m
即： F(m)
化标准形式：f (m) F(m) 0
1T
2
解： 第一步：明确需要确定哪些函数值 u0,u1,u2,,uN,uN1
将
Ti
ui1
2ui h2
ui1
代入离散化方程
h2 ui1 2ui ui1 k g(Zi )
u0 2u1 u2
u1 2u2 u3 uN 1 2uN
h2
k
h2 k
u N 1
g (Z1 )
g(Z2 ) h2
●第一类边值问题
y f (x, y, y) (a x b)
y(a) y(b)
例 2：传热问题
绝热 r=b
建立微分方程：
d 2T 1 dT f (r) dr2 r dr
建立边界条件：
T (b) 0
●第二类边界条件 －给定边界处导函数满足的条件
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计算流体与传热传质
Outflow边界
Outflow边界，除了压力之外，其它量的梯度为零。 FLUENT 从流场内外推边界所需的信息. 特别有用的情况: 求解之前，不知道速度和压力的流动问题. 流动出口是，或接近是完全发展的流动. 注: 当求解过程中，或者求解结果具有回流时，用 Pressure Outlet 比用 Outflow出口条件更具有收敛优势.
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给定曲线分布的进口
用 UDF’s 定义边界条件. 曲线可以是空间变化，也可以随时 间变化. 曲线可以: 从其它 CFD 软件模拟结果中读入 产生一个格式文件，具有位置及边 界条件的信息。 可以处理曲线分布边界条件命令: Define Profiles


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计算流体与传热传质
边界条件设置
每个区（流体、固体）首先在Gambit中预设， Fluent中可以修正与改动 每个区域都必须有其对应的边界条件: Define Boundary Conditions... Choose the zone in Zone list. Click on selected zone type in Type list Click Set... button Can also select boundary zone in graphics window using right mouse button. Useful if: Setting up problem for first time Two or more zones of same type in problem.
计算流体与传热传质
Overview
边界条件: 边界条件决定流动. 数学模型求解的需要. 给定进入计算区域的流率或通量. 如 mass, momentum, 和 energy Fluid/Solid regions represented by cell zones. Material and Source terms are assigned to cell zones. Boundaries and internal surfaces are represented by face zones. Boundary data are assigned to face zones.
确定湍流参数
湍流经过 inlet, outlet边界, 或者在远边界条件下, FLUENT 需要提供如下边界 值 湍动能 k 湍流耗散率 给定湍流参数的四种方法: 直接给定 k 和 。 给定turbulence intensity 和 turbulence length scale 给定turbulence intensity 和 turbulent viscosity ratio 设定 turbulence intensity 和 hydraulic diameter 湍流强度与长度尺度取决于上游来流条件，比如 : 透平机械出口 Intensity = 20 % Length scale = 1 - 10 % of blade span 孔板和屏风下游 Intensity = 10 % Length scale = screen/hole size 完全发展的腔道或管内流动 Intensity = 5 % Length scale = hydraulic diameter
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Outflow 边界条件不能使用场合
Outflow 边界不能用于: 可压缩流动. Pressure Inlet 边界条件 : 变密度的非定常流动.

不适合的物理问题: 回流区 流动方向有明显压力梯 度 下游影响上游流动 outflow condition ill-posed outflow condition not obeyed

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压力边界条件
压力边界条件要求输入表压 （ gauge pressure）:
pressure level gauge pressure absolute pressure operating pressure operating pressure
pabsolute pgauge poperating
Defines total pressure, temperature, and other scalar quantities at flow inlets.
ptotal pstatic 1 2 v 2
不可压缩流动 可压缩流动
ptotal pstatic (1


Supersonic/Initial Gauge Pressure: Defines static pressure at boundary for locally supersonic flows. Used, if necessary, to initialize flow field for incompressible flows. Total temperature: must be defined for compressible flows. is used, if necessary, to set static temperature for incompressible flows.
velocity-inlet (v,T0) or pressure-inlet (p0,T0)
FRW1
velocity inlet
FRW2

pressure-outlet (ps)1 pressure-outlet (ps)2
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其它 Inlet/Outlet 边界条件
Mass Flow Inlet 用于可压缩流动给定进口质量流量. 对于不可压缩流动，无需给定. Pressure Far Field 材料选择为理想气体时，才会有该选项. 用于给定自由流的可压缩流动状态，给定自由流的马赫数和静压， 静温等。 Exhaust Fan/Outlet Vent 如果出口有个压力抬升或损失，可以采用exhaust fan/outlet vent给定出口压力抬升或损失系数，以及环境压力与温度。 Inlet Vent/Intake Fan inlet vent/intake fan用于进口给定压力的损失系数或压力抬升， 需要给定流动方向，环境（进口）压力及温度等参数。



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2 1.75 1.5 1.25
Y
1
0.75 0.5 0.25 0
0
0.5
1
1.5
2
X
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壁面边界条件
用于分界流体与固体区域. 对于粘性流体流动, 不考虑壁面滑移: 壁面切向上的流体速度与壁面移动速度相同. 壁面法向上的流体速度为零。 热边界条件: 有几种选项供选择. 湍流计算可以考虑壁面粗糙度的影响. 壁面切应力和换热取决于当地流动场的计算结果。 可以给定壁面的平移速度或旋转速度. 也可以给定壁面切应力.
工作压力（Operating pressure） 设置 : Define Operating Conditions 适合压力边界条件设置的条件: 进口流量或速度不知道 (如浮力 驱动的流动). 外流的自由边界 或 需要确定的 自由流。

vacuum
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压力边界条件 (1)

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流动进口与出口
Fluent中进、出计算区域的边界条件: 可压缩流动 一般流动 质量进口Mass flow inlet Pressure inlet 压力远场Pressure farfield Pressure outlet 特别 不可压缩 Inlet vent, outlet vent, Velocity inlet intake fan, exhaust fan Outflow 根据物理过程，选择合适的边界条件. 一般准则: 根据有流入与流出情况决定进口与出口的位置与形状. 尽可能选择收敛性好的边界条件. 在垂直边界的方向上不宜有较大的梯度. 表明进口或出口位置位置选择不合理. 近壁处网格的偏斜尽可能小.
orifice (interior) orifice_plate and orifice_plate-shadow outlet
wall inlet fluid
Example: Face and Cell zones associated with Pipe Flow through orifice plate

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压力出口：Pressure Outlet (1)
定义出口处的static (gauge) pressure. 流场流入什么样的压 力环境里. 可以给定压力径向分布. 压力出口处可能会出现回 流: 求解过程或者求解结 果中，都可能如此. 回流方向与出口边界 垂直的方向. 由于回流量具有“弹 性”，求解收敛性能 较好. 回流出现时，用静压 来给回流总压赋值.

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速度进口：Velocity Inlets
给定速度矢量和标量进口值. 进口速度知道时，给定该条件尤为方便. 默认是均匀速度 该边界条件针对不可压缩流动问题. 总(滞止)量（温度、压力等）不定.
总(滞止)量不定用以调节速度分布

如果用于可压缩流动，得到的解不复合物理意义. 壁面把速度进口力出口边界 (2)
对于不可压缩流动: 静压给定边界压力 其它量由流场内计算外推得到. 对于可压流动: 静压计算不考虑当地是否是局部超音速. 所有计算量从计算区域里外推计算. 当进口条件设定为pressure inlet时，出口一定要用pressure outlet.