§83 第一类边界条件下(tw=c)半无限大平板一维非稳态导热20110420155222

非稳态导热
一、
二、 三、
非稳态导热基本概念
一维非稳态导热的解析解 半无限大物体的非稳态导热
一、
非稳态导热基本概念
1 2
非稳态导热的定义 . t f ( x, y, z, )
物体温度随时间变化的导热过程。
非稳态导热的分类
周期性非稳态导热 (定义及特点)
瞬态非稳态导热 (定义及特点)
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。 物体的温度随时间而作周期性的变化。
erf ( x) 2


x v 2 e dv 0
x erf ( x) 1 x有限大小时， erf ( x) 1

令
x 4a
erf 0
( )
令 y x 4 a 若 y 2 erf ( 2 ) 0.9953 即 0 0.9953 可认为该处温度没有变化
Φ1－－板左侧导入的热流量 Φ2－－板右侧导出的热流量
6 非稳态导热求解：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f(x, y, z, )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
t t t t c ( ) ( ) ( ) qv x x y y z z
0 x , 0
0
x0 x
用分离变量法可得其分析解为：
( x , ) 2 sin( n ) cos( n x ) e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
若令 n n 则上式可改写为：
2 1 0
三个变量，因此，需要分开来画 (2) 先画

2
1) 数学模型
2 τ = 0, Θ = Θ 0 = 1 δ Fo是无量纲特征数 Fo是无量纲特征数， 是无量纲特征数， Θ X = 0, =0 称为傅里叶数 称为傅里叶数 x hδ Θ hδ 称为毕渥数 称为毕渥数 4 X = 1, = Θ Bi = λ X λ
2Θ = ( Fo) X 2 τ = 0, Θ = Θ 0 = 1 Θ X = 0, =0 X Θ X = 1, = Bi Θ X
2 1
上面两式之比
x f Bi , δ 可见， 非稳态导热进入正规状况阶段以后， 可见，当Fo ≥ 0.2，非稳态导热进入正规状况阶段以后， 都随时间变化，但它们的比值与时间无关， 虽然θ与θm都随时间变化，但它们的比值与时间无关， 只取决于毕渥数Bi与几何位置 与几何位置x/ 只取决于毕渥数Bi与几何位置x/δ 。 认识正规状况阶段的温度变化规律具有重要的实 际意义， 际意义，因为工程技术中的非稳态导热过程绝大部分 时间都处于正规状况阶段 。 10
第三章
主要内容： 主要内容：
非稳态导热
非稳态导热过程中温度场的变化规律及换热量的分 析求解方法。包括： 析求解方法。包括： 1. 一维非稳态导热的分析解法； 一维非稳态导热的分析解法； 2. 非稳态导热的集总参数分析法； 非稳态导热的集总参数分析法； 3. 半无限大固体的非稳态导热 ；
3－1 非稳态导热的基本概念
14
（ 2）
θ θ0 θ x = = cos 1 = θm θm θ0 δ
x f Bi , δ
15
2 Q 2sin 1 1 Fo （ 3） = 1 2 e = f ( Bi , Fo ) 1 + 1 sin 1 cos 1 Q0
2
16
几点说明：

K K
-
G ; $ * ! % & B ( *+ ? L G *
?
K G ; $ * ! % & B ( *+ K L G *
, -
’$ % &
G ; $ * ! % & ( *$ B F & G %
此 阶 段 的温度分 布取决 于 " 和" 的 确 定! $ & $ & % % / # 于是 ! 根据积分方程有
& F ’
图 F 大平板非稳态传热坐标系示意图
令 & U I V ’W Q& U I V ’] Q$ Z\ W Q ] Q Y\ $ [\ RW Q R] Q $
E 收稿日期 H ! $ $ ! $ F ! # 李格升 男I 副教授 I 主要研究领域为热能工程 H G %岁 I 万方数据
D 国家自然科学基金
K
-
G ; $ * ! % & B ( *+ ? A" $ % & L G * #
K
-
G ; $ * ! % & ( * A" $ % & G % # $ N &
; $ * ! % &+ ; /A
-A " $ % &@ *@ # 将式 $ 分别代入式 可求得 J & $ M & ! $ N & " $ % &+ OB ? L % / " $ % &+ OB ? L % # 由" $ 9" $ +-可求得 % % / -& # -&
ZQ Z ) 增大 ! 减小 ! 它们的相遇点 ’$ 此处 ( & $ $ & + % " % # ( * 即无热流界面不断向右推进 ! 直到 ’$ 到达 ,& ! & % 右边 界 ! 即 % 此 时! +% & +, ! $ & + " % " % ’-为 止 . #$ / 即 热 流 由 左 边 界 传 递 至 右 边 界! 渗透整个平 ! 再 此 后! 热 渗 透 层 无 任 何 物 理 意 义! 平板已整 板0 体渗透 ! 热量由高温侧向低温侧传递 ! 直至传热过 根据上述分析 ! 整个求 解 过 程分 为 1 程稳定为止 . 个阶段进行 . 即7 2 . 3 4 54 ! $ & 97 $ & 56阶段 4 4 6 8 : 假设此阶段平板内温度分布为 ; $ * ! % &+ % &9 = $ % & *9 D<$ ? > $ % & * C, <B$ % &9 = $ % & *9 B ? E > $ % & * B 此时边界条件有 $ , ! & +; ! $ ! & +; ! $ ! & +, ! $ A" ! & ; % ; % ; " % ; % / # / # G ; $ * ! % & G ; $ * ! % & H +, ! H +, +,! * +" * +A" / # G * G * 将边界条件代入式 $ 中可确定相应的待定系数 ! F & 于是可得到如下结果 I ; $ * ! % &+ D; $ BA / C, * ? $ BA & # E; " $ % & # * ? & " $ % & / ,@ *@ " $ % & / " $ % &@ *@ -A " $ % & $ J & / # -A " $ % &@ *@ # ,@ *@ " $ % & / $ % &@ *@ -A " $ % & " / # -A " $ % &@ *@ # $ F & ; $ * ! % &+ D ; $ BA / C, * ? ; $ BA & # OB E ? L % * ? & OB ? L % ,@ *@ OB ? L % OB ? L % @ *@ -A OB ? L % -A OB ? L % @ *@ -

• 两个边界条件中：一个为r=R时，T=Tw，由于内热源均 匀分布，圆柱体表面温度均为Tw，圆柱体内温度分布对 称于中心线，另一个边界条件可表示为 r=0时，dT/dr=0。 将微分方程分离变量后两次积分，结果为：
11.2 通过圆筒壁的一维稳态导热
qv 2 qv 2 dT T r C1 ln r C2 r r C1 4 dr 2 • 根据边界条件，在r=0时， dT/dr=0。可得C1=0；利用 另一个边界条件，在r=R时，T=Tw，可得
• 可见，该条件下平壁内温度是按抛物线规律分布。令 温度分布关系式中的x=0，则得平壁中心温度为：
qv 2 T Tw s 2
11.1 通过平壁的一维稳态导热
• 例题2：炉墙内层为粘土砖，外层为硅藻土砖， 它们的厚度分别为s1=460 mm；s2=230 mm，导 热系数分别为：λ1=0.7+0.64× 10-3T W/m℃； λ2=0.14+0.12× 10-3T W/m℃。炉墙两侧表面温度 各为T1=1400℃；T3=100℃，求稳态时通过炉墙 的导热通量和两层砖交界处的温度。
1
2
Tf1 Tf2 dT q C1 1 s 1 dx
q K (Tf1 Tf2 )
1 s
1
2
1
综合传热系数或传热系数 多层平壁
K
Tf1 Tf2 q n si 1 1
1

2

1
1
i 1
i
2
平壁面积A
Tf1 Tf2 Q n si 1 1 1 A i 1 i A 2 A
11.1 通过平壁的一维稳态导热
对T求导，得： dT C1

2
材料
铸铁 砂型 金属型 46.5 0.314 61.64 753.6 963.0 544.3 7000 1350 7100
例题4-1 一大型平壁状铸铁件在砂型中凝固冷却。设砂 型内侧表面温度维持1200℃不变，砂型初始温度为 20℃，热扩散率������ = 2.41 × 10−7 m2 s，试求浇注后 1.5h砂型中离内侧表面50mm处的温度
4.3 伴有相变边界的一维非稳态导热
ⅆ������ ′ ������������ = −������������ ⅆ������ ������ ⟵ ������ + ������ ������������ − ������������
′ ������������
������ 砂 型 ������0 ⅆ������ ⅆ������
������
∞
1.温度场求解 常物性一维非稳态无内热源导热微分方程： ������������ ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ ������ = + 2+ 2 + 2 ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
������������ =0 边界条件： ������ = 0, ������������ ������������ ������ = ������, −������ = ℎ������ ������������
采用分离变量法求解：
������������ ������������
2 n
2sin n ( x, ) e 0 sin cos n 1 n n n

收 稿 日期 ｚ０ ２—０ ２ ２０ １— ４
热渗 透层 概念 ， 侧 的热渗 透层 厚 度分 别 为 （ ） 两 ｒ （） ２
和 瓯 （） 随 着 时 间 的 延 长 ， 至 （ ） ｒ， 直 ｒ ＋ ｂ ｒ 一 （）
，
即Ｉ ／ ／ ＂ ＂ Ｌ时为 止． ＝Ｉ 此后 ， 着 时 间的 延 长 ， （ ） 随 ｒ
第 ４期
李 格 升 等 ： 平 板 第 一 类 边 界 条 件 下 非 稳 态传 热 近 似 解 析 解 大
Ｏ ｘ， ）一 （ ｒ
・４ ３。 ３
增大 ， （ ） ｒ 减小 ， 们 的相 遇点 Ⅳ（ ） 此 处 它 ｒ（
一
０） 即无 热流 界 面不 断 向右推 进 ， 到 Ⅳ （） ， 直 ｒ 到达 右 边 界 ， ｒ ｒＬ 止 ． 时 ， （ ） ０ （ ） 即 — Ⅳ为 此 ｒ 一 ， ｒ 一
个 阶 段进 行 ． ２ １ Ｔ Ｔ， ． ＜ Ｌ 即 （ ） ｂＴ ＜ Ｌ 阶 段 Ｔ ＋６ （ ）
＿ ｛ ０
≤ Ｘ Ｌ一 ≤
￣１ ａ ／ ２ ｔ
１（一圭 １ ０ ｂ
【
） 。
Ｌ一 瓜
≤ｚ ≤Ｌ
（ １ １ ）
２ ２ １ ＜Ｔ Ｔ 即 尚未 整体 渗 透 阶段 ． － ＜ ， Ｌ 假 设此 阶段 平 板 内温度 分 布为
ｌ（一圭 １
Ｉ
￣１ａ ／２ ｔ
） ｚ
０ ≤瓜 ≤ｚ
Ｌ， 热 流 由 左 边 界 传 递 至 右 边 界 ， 透 整 个 平 即 渗 板 ； 此 后 ， 渗 透层 无 任 何 物 理 意 义 ， 板 已整 再 热 平 体渗透， 热量 由高温 侧 向低 温侧 传递 ， 至传 热过 直 程 稳 定 为止 ． 据 上 述分 析 ， 个 求解 过 程 分 为 ３ 根 整

θ
( x,τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ1 sin μ1 cos
μ1
cos(
μ1
e x ) − μ12F0 δ
θ
(0,τ θ0
)
=
θ m (τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ 1 sin μ1 cos
μ1
e − μ12 F0
第三节一维非稳态导热的分析解
θ
( x,τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ1 sin μ1 cos
式中常数a ,b ,c ,d 见P75表3-3 a`,b`,c`,d`见P75表3-4
第三节一维非稳态导热的分析解
3 正规热状况的实用计算方法－线算图法
诺谟图
以无限大平板为例，F0>0.2 时，取其级数首项即可
θ (x,τ ) =θ0
μ1
+
2sin μ1 sin μ1 cos
μ1
e−μ12
F0
cos(μ1
第三节一维非稳态导热的分析解
上式化为：
∂θ = a ∂ 2θ
∂τ
∂x 2
θ =θ0
∂θ = 0 ∂x
0 < x < δ ,τ > 0 τ =0 x=0
− λ ∂θ = hθ x = δ ∂x
第三节一维非稳态导热的分析解
用分离变量法可得其分析解为：
θ
( x,τ θ0
)
=
∞
∑
n =1
2 sin( β nδ ) cos( β n x) β nδ + sin( β nδ ) cos( β nδ

面对称加热，假定铸坯初始温度为30℃，在加热过
程中炉内平均给热系数为h=174W/（m2· ℃），钢的
热物性参数为λ=34.8W/m·℃，a=0.555×10-5 m2/s， 求(1)钢坯在炉内加热36min时钢坯的表面温度和断面 温差；(2)钢坯表面温度达到800℃所需要的时间及在 此时间内钢坯每平方米获得的热量。
x=0处即为物体的中心温度， x= 处为物体的表面温度
Q0=2F· ρCp(tf –t0 ) 成线算图以供使用。
（P102 图9.11; 图9.12）
J
解的结果都是无穷级数的形式，为便于计算, 绘
图9.12为一定加热时间下（相同Fo），板内温度 的分布情况： 在同一Fo下 ，当Bi ＜0. 1时, x／ m
4 3 2 1
该加热过程的微分方
程从导热微分方程的一
般形式简化为：
t hf ,t f
4 3
hf ,t f
t t a 2 x
2
2
t0
1
＝0
x
-

定解条件：
0, 0, 0,
解的结果：
0 x , x0 x
t t0 t x （对称性） 0
当
x 2 2 a
tw t 时， 1 t w t0
经 时间后壁内温度开始变化的距离为：
x 4 a
在 时刻，通过壁面的热通量为：
t q x
x 0
t w t0 a
w2 W/m2 m
F h hl a F §8.4 薄材在恒温介质中的加热或冷却 2 FO Bi V 2 l CP CP （第三类边界条件） ( ) F tf t t f t0 Bi Fo Bi Fo 式变为： e 或： e t f t0 tf t

2
0e
特征尺寸
V A

hA cV
0e FoBi
a Fo V / A2
Bi
h(V / A)
4. 热量计算

0
hAt t hA hA0e BiF hA0ehA cV f
累积传热量 0 时传热量
Biv

hV A


h d 2 l 4 dl 2 d 2 4




h dl 4 140 0.50 0.3 0.049 0.05 l d 2 33 0.3 0.025
1
可以采用集总参数法.又
hA h V h 4l d 2 cV c A c dl 140 4 0.325 0.326 10 2 s 1 0.48 10 3 7753 0.005 0.3
cV
10.36 5 60 1.89103 0.138103 13110 0.953103 2


exp Bi Fo exp1.07103 1.89103 exp 2.02 0.133 V V
0
即经5min后温度计读数的过余温度的确13.3%.也就是说,在这 段时间内温度计的读数上升了这次测量中温度跃升的86.7%
2. 数学描述
t t a x 2
2
引入过余温度
t t
0 t0 t
则
t x,0 t0
t x 0, 0 x x 0 t x , ht t x
t
t x x
方程简化为:
例题3-3 一直径为5cm,长为30cm的钢圆柱体,初始温度为300C,将其 放入炉温为12000C的加热炉中加热,升温到8000C方可取出.设钢圆 柱体与烟气间的复合换热表面传热系数为140W/(m2.K),钢的物性参 数取与例3-1中一样的值,问需多少时间才能达到要求。 解:首先检验是否可用集总参数法.为此计算Biv