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第17课时圆及切线定理

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亮点中考复习系列之第17课时 圆1．圆的有关概念与性质【课前热身】1.（08重庆）如图，A B 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，则A C B ∠的度数为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．902.（08湖州）如图，已知圆心角78BOC ∠= ，则圆周角B A C ∠的度数是（ ） A ．156B ．78C ．39D ．123.（08梅州）如图所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ．则四边形OACB 是（ ）A ．正方形 B.长方形C ．菱形D ．以上答案都不对4.（08福州）如图，A B 是⊙O 的弦，O C AB ⊥于点C ，若8cm A B =，3cm O C =，则⊙O 的半径为 cm ． 5. (08荆门)如图，半圆的直径AB ＝___ ． 【考点链接】 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又 是 对称图形， 是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .6. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .【典例精析】例1 （08呼伦贝尔）如图：AC⌒ =CB ⌒ ，D E ，分别是半径O A 和O B 的中点，C D 与C E 的大小有什么关系？为什么？第4题 第5题 CBOEDA第2题第3题第1题例2 （08济南）已知：如图，30PAC ∠=︒，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ， 以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，求圆心O 到AP 的距离及EF 的长．【中考演练】1.（08台州）下列命题中，正确的是（ ）① 顶点在圆周上的角是圆周角； ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半； ③ 90 的圆周角所对的弦是直径； ④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆； ⑤ 同弧所对的圆周角相等A ．①②③B ．③④⑤C ．①②⑤D ．②④⑤2.（08湘潭）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径 OA ＝10 m ，高度CD 为_ ____m ．3.（08襄樊）如图，⊙O 中O A B C ⊥，25CDA ∠= ，则A O B ∠的度数为 ．4.（08广州）如图，射线AM 交一圆于点B 、C ，射线AN 交该圆于点D 、E ，且BC ⌒ =DE ⌒． （1）求证：AC = AE ；（2）利用尺规作图，分别作线段CE 的垂直平分线与∠MCE 的平分线，两线交于点F （保留作图痕迹，不写作法），求证：EF 平分∠CEN ．ABCDEMNO 第2题第3题2．与圆有关的位置关系【课前热身】1.（08湛江）⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ． 相交B ． 相切C ． 相离D ． 无法确定2.（08宁德）如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映 出的两圆位置关系有（ ）A ．内切、相交B ．外离、相交C ．外切、外离D ．外离、内切3. (08庆阳)两圆半径分别为3和4，圆心距为7，则这两个圆( )A ．外切B ．相交C ．相离D ．内切 4.（08上海）如图，从圆O 外一点P 引圆O 的两条切线P A P B ，，切点分别为A B ，．如果60APB ∠= ， 8P A =，那么弦A B 的长是（ ）A ．4B ．8 C． D．5.（08郴州）已知⊙O 的半径是3，圆心O 到直线AB 的距离是3，则直线AB 与⊙O 的位置 关系是 .【考点链接】1. 点与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；对应的点到圆心的距离d 和半径r 之间的数量关系分别为： ①d r ，②d r ，③d r .2. 直线与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ . 对应的圆心到直线的距离d 和圆的半径r 之间的数量关系分别为： ①d r ，②d r ，③d r .3. 圆与圆的位置关系共有五种：① ，② ，③ ，④ ，⑤ ；两圆的圆心距d 和两圆的半径R 、r （R≥r ）之间的数量关系分别为：①d R －r ，②d R －r ，③ R －r d R ＋r ，④d R ＋r ，⑤d R ＋r.4. 圆的切线 过切点的半径；经过 的一端，并且 这条 的直线是圆的切线.5. 从圆外一点可以向圆引 条切线， 相等， 相等.6. 三角形的三个顶点确定 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫 心，是三角形 的交点.7. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 .【典例精析】例1 （08南平）如图，线段A B 经过圆心O ，交⊙O 于点A C ，，点D 在⊙O 上，连接PA DB D ，，30A B ∠=∠= ．B D 是⊙O 的切线吗？请说明理由．例1图 例2图例2 （08湘潭）如图所示，⊙O 的直径AB =4，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O的切线，切点为C ，连结AC . （1）若∠CPA =30°，求PC 的长；（2）若点P 在AB 的延长线上运动，∠CP A 的平分线交AC 于点M . 你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求∠CMP 的大小.例3 （08恩施）如图，A B 是⊙O 的直径，B D 是⊙O延长B D 到点C ，使D C B D =，连结A C ，过点D 作D E A C ⊥，垂足为E ．（1）求证：A B A C =；（2）求证：D E 为⊙O 的切线；（3）若⊙O 的半径为5，60BAC ∠= ，求D E 的长．【中考演练】1.（08长沙）如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP=5，PA=4，则sin ∠APO等于（ ）A ．54 B ．53C ．34D ．432.（08赤峰） 如图，⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3两两相外切，⊙O 1的半径11r =，⊙O 2的半径22r =，⊙O 3的半径33r =，则123O O O △是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形3.（08自贡）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙O 的半径R ＝2，sin B ＝43，则弦AC 的长POA· O 2O 3O 1MPO CBA4.（08云南）已知，⊙1O 的半径为5，⊙2O 的半径为9，且⊙1O 与⊙2O 相切，则这两圆的圆心距为___________．5. （08泰安）如图所示，A B C △是直角三角形，90ABC ∠=，以A B 为直径的⊙O 交A C 于点E ，点D 是B C 边的中点，连结D E ．（1）求证：D E 与⊙O 相切；（2）若⊙O，3D E =，求A E ．﹡6. （08威海）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t ≥0）． （1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式；（2）问点A 出发后多少秒两圆相切？3．与圆有关的计算【课前热身】1. （08安徽）如图，在⊙O 中，60AOB ∠= ，3cm A B =， 则劣弧AB⌒ 的长为 cm ．2. （08宜昌）翔宇学中的铅球场如图所示，已知扇形AOB 的面积是36米2，AB⌒ 的长度为9米，那么半径OA ＝ 米．3.（07苏州）如图，已知扇形的半径为3cm ，圆心角为120°，则扇形的面积为__________ 2cm .(结果保留π）4.（07常州）已知扇形的半径为2cm ，面积是243cm π，则扇形的弧长是 cm ，扇形的圆心角为 °．5. （08潍坊）如图，正六边形内接于圆O ，圆O 的半径为10，则圆中阴影部分的N第1题第3题第5题 第2题【考点链接】1. 圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为 ，n °的圆心角所对 的弧长为 ，弧长公式为 .2. 圆的面积为 ，1°的圆心角所在的扇形面积为 ，n °的圆心角所在的扇形面积为S= 2R π⨯ = = .3. 圆柱的侧面积公式：S=2rl π.（其中r 为 的半径，l 为 的高）4. 圆锥的侧面积公式：S=rl π.（其中r 为 的半径，l 为 的长）【典例精析】例1 （08金华）如图，CD 切⊙O 于点D ，连结OC ，交⊙O 于点B ，过点B 作弦AB ⊥OD ，点E 为垂足，已知⊙O 的半径为10，si n ∠COD =54．(1)求弦AB 的长；（2）CD 的长；（3）劣弧AB 的长.（结果保留三个有效数字，sin53.130.8 ≈，π≈3.142）例2 （08南昌）如图，A B 为⊙O 的直径，C D AB ⊥于点E ，交⊙O 于点D ，O F A C ⊥于点F ．（1）请写出三条与B C 有关的正确结论；，1B C =时，求圆中阴影部分的面积．例2图 例3图例3 (08庆阳)如图，线段A B 与⊙O 相切于点C ，连结O A 、O B ，O B 交⊙O 于点D ，已知6cm O A O B ==，AB =.BA OACBD求（1）⊙O 的半径； （2）图中阴影部分的面积．【中考演练】1. （08孝感）R t A B C △中，90C ∠= ，8A C =，6B C =，两等圆⊙A ，⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ） A ．254π B ．258π C ．2516π D ．2532π2. （08厦门）如图，在矩形空地上铺4块扇形草地．若扇形的半径均为r 米，圆心角均为90，则铺上的草地共有 平方米．题图3.（08贵阳）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且13A B =，5B C =．（1）求sin B A C ∠的值；（2）如果O D A C ⊥，垂足为D ，求A D 的长； （3）求图中阴影部分的面积（精确到0.1）．﹡﹡4.（07贵阳）如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留π）；（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由． （3）当⊙O 的半径(0)R R >为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．B切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段［学习目标］ 1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

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圆的切线判定定理及性质定理讲义

圆的切线判定定理及性质定理讲义

AT圆的切线判定定理及性质定理讲义一、基础知识归纳1.切线的判定定理切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。

注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个 条件缺一不可。

结论是“直线是圆的切线”。

2．切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足（1）垂直于切线 （2） 过切点 （3）过圆心 任意知道两个，这可以推出第三个。

即知2推1。

定理：①过圆心，过切点⇒ 垂直于切线 OA 过圆心，OA 过切点A ，则OA ⊥AT②经过圆心，垂直于切线⇒过切点()()12AB M AB MT ⎫⎪⇒⎬⊥⎪⎭过圆心为切点③ 经过切点，垂直于切线⇒过圆心()()12AM MT AM M ⊥⎫⎪⇒⎬⎪⎭过圆心为切点二、典型例题解析【例1】PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于A ，BC ⊥OP 于C ，OA=6cm,OP=10cm,求AC 的长.AAOBPCM【例2】如图，⊙O 的直径AB =6cm ，点P 是AB 延长线上的动点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连结AC ．若CPA 的平分线交AC 于点M ，你认为∠CMP 的大 小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数【例3】如图,若⊙的直径AB 与弦AC 的夹角为30°,切线CD 与AB 的延长线交于点D,且⊙O 的半径为2,则CD 的长是多少？【例4】如图，AB 为半圆O 的直径，CB 是半圆O 的切线，B 是切点，AC•交半圆O 于点D ，已知CD=1，AD=3，那么cos ∠CAB=________．【例5】设直线ι到⊙O 的圆心的距离为d ，半径为R ，并使x 2－2d x ＋R=0，BDC试由关于x 的一元二次方程根的情况讨论ι与⊙O 的位置关系．【例6】在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的O ⊙与边AC 相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点F ． （1）求证：BD BF =；（2）若64BC AD ==，，求O ⊙的面积．。

几何中的圆的切线角度定理

几何中的圆的切线角度定理

几何中的圆的切线角度定理圆的切线角度定理是几何学中的一个重要定理，它描述了切线与圆之间的关系。

在本文中，我们将介绍这个定理的基本概念、证明过程以及一些应用示例。

1. 圆的切线角度定理概述圆的切线角度定理，也叫圆的切线垂直定理，是指切线与半径的夹角是90度。

简言之，当一条直线切过一个圆的一点时，它与从该点到圆心的半径之间的夹角是90度。

这是一个非常重要的性质，在解决与圆有关的几何问题时经常用到。

2. 圆的切线角度定理的证明圆的切线角度定理的证明可以通过数学推导来完成。

设在圆O中，有一条切线AB，切点为M，连接OM作射线，任取点N使得ON=OA。

我们需要证明∠OMB=90度。

证明：由于AM是圆的切线，我们可以得到∠MAB=90度（因为切线与半径垂直）。

又由于ON=OA，所以得到ON=OB，因此∠ONB=∠BON，同时由三角形ONB的角度之和为180度，我们可以得到∠ONB=∠BON=（180-90）/2=45度。

所以∠OMB=90度，即证明了圆的切线角度定理。

3. 圆的切线角度定理的应用示例圆的切线角度定理在解决实际问题中具有广泛的应用。

下面我们给出一些示例来说明其具体应用。

例1：已知圆O的半径为5cm，在圆上任取一点A，连接AO并延长，直到与圆相交于点B。

求证AB是圆的切线，并计算切点M与切线的夹角。

证明：连接BM并延长，交圆于点C。

由于OC是半径，所以OC=OB=5cm。

又由于OC和OB相等且OM为切线，所以根据切线角度定理可知∠OMB=90度。

例2：在一个半径为8cm的圆O中，点A、B、C、D依次排列，且相邻两点连线合起来正好构成一个正方形ABCD。

求证AC是圆的切线。

证明：连接O与C、O与A，设∠AOC=x度。

由于正方形ABCD的对角线互相垂直，所以∠BAC=∠BCA=90度，根据圆的切线角度定理，我们需要证明OC与AC的夹角为90度。

在△OAC中，∠AOC+∠ACO+∠OAC=180度，即x+90+90=180，解得x=0度。

圆周角定理与圆的切线

圆周角定理与圆的切线

第2讲圆周角定理与圆的切线【2013年高考会这样考】考查圆的切线定理和性质定理的应用.【复习指导】本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法•A1 KAOJIiZIZHUDAOXUE “一亠—亠』01》考基自主导学基础梳理1. 圆周角定理⑴圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角.⑵圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一_______(3)圆周角定理的推论①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.②半圆(或直径)所对的圆周角是90° 90。

的圆周角所对的弦是直径.2. 圆的切线(1)直线与圆的位置关系①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.②切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.(3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相—3. 弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角.（2）弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半.②推论：同弧（或等弧）上的弦切角相等，同弧（或等弧）上的弦切角与圆周角相等.双基自测1 •如图所示，△ ABC 中，/ C = 90° AB= 10, AC = 6,以AC为直径的圆与斜边交于点P,则BP长为___________ .解析连接CP.由推论2知/ CPA= 90°即CP丄AB,由射影定理知，AC2=AP AB.A AP= 3.6,二BP= AB—AP = 64 答案6.4 2•如图所示，AB、AC是。

O的两条切线，切点分别为B、C, D是优弧"BC上的点，已知/ BAC= 80° 那么/BDC = __________ .解析连接OB、OC,贝U OB 丄AB, OC X AC,：/ BOC= 180°— /BAC= 100°A / BDC = 2/BOC= 50°答案50 3. （2011广州测试（一））如图所示，CD是圆O的切线，切点为C, 点A、B在圆O上，BC= 1,/ BCD= 30°则圆O的面积为______ .解析连接OC, OB,依题意得，/ COB= 2/ CAB = 2/BCD =60° 又OB = OC,因此△ BOC是等边三角形，OB= OC= BC = 1,即圆O的半径为1, 所以圆O的面积为nX12= n.答案n4. （2011深圳二次调研）如图，直角三角形ABC中，/ B= 90°AB= 4,以BC为直径的圆交AC边于点D, AD = 2,则/C的大解析 连接 BD ，则有/ ADB = 90°.在 Rt A ABD 中，AB = 4, AD = 2,所以/ A = 60° 在 Rt A ABC 中，/ A = 60° 于是有/ C = 30° 答案 30°5. （2011汕头调研）如图，MN 是圆O 的直径，MN 的延长线与 圆O 上过点P 的切线PA 相交于点A ,若/ M = 30° AP = 2晶 则圆O 的直径为 .解析 连接OP ，因为/ M = 30°所以/ AOP = 60°因为PA 切圆O 于P ，所以AP 2^/3OP 丄AP ，在叱ADO中, OP=寸AO P = tan 丽y 故圆O 的直径为4.答案4*CAOXiANGTANJIUID*OXIi —净考向探究导析 考向一圆周角的计算与证明【例1】?（2011中山模拟）如图，AB 为。

圆知识点：切线长定理

圆知识点：切线长定理

切线长切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心这点的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线∴PA=PBPO 平分∠BPA例题精选：例1．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=60°．（1）求∠BAC 的度数；（2）当OA=2时，求AB 的长．例2、如图PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B 、C 是⊙O 上一点，若∠APB ＝40°，求∠ACB 的度数。

例3．如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，若PA=5cm ，C 是AB 上的一个动点（点C 与A 、B 两点不重合），过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB于点D 、E ，求△PED 的周长是多少？例4如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．习题巩固1．如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB=11，则DE的长度为何？（）11A．5 B．6 C．30D．22如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且相交于P点．若PC=2，CD=3，DB=6，则△PAB的周长为（）A．6 B．9 C．12 D．143 如图，圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于（）A．15cm B．20cm C．30cm D．60cm4 如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么∠DOC的度数为（）A ．70° B．90° C．60° D．45°5如图，PA 、PB 、CD 分别切⊙O 于A 、B 、E ，CD 交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE 的度数为（ ）A ．50°B ．62°C ．66°D ．70° 6 、 已知：如图，以定线段AB 为直径作半圆O ，P 为半圆上任意一点（异于A 、B ），过点P 作半圆O 的切线分别交过A 、B 两点的切线于D 、C ，连接OC 、BP ，过点O 作OM ∥CD 分别交BC 与BP 于点M 、N ．下列结论：①S 四边形ABCD =21AB•CD ；②AD=AB ；③AD=ON ；④AB 为过O 、C 、D 三点的圆的切线．其中正确的个数有（ ） A 1 B 2 C 3 D 4(5) (6)7、以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，若△CDE 的周长为12，则直角梯形ABCE 周长为（ ）A 12B 13C 14D 158、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，与边BC 交于点E ，若AD=59，AC=3．则DE 长为（ ） A23 B 2 C 25 D 59、正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）A ．12B ．24C ．8D ．610、如图，在等腰三角形△ABC 中，O 为底边BC 的中点，以O 为圆心作半圆与AB ，AC 相切，切点分别为D ，E ．过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AB ，AC 于M ，N ．那么 2BC CNBM 的值等于（ ） A81 B 41 C 21 D 111如图，PA 、PB 、EF 分别切⊙O 于A 、B 、D ，若PA=10cm ，则△PEF 的周长是 cm ， 若∠P=35°，则∠AOB= （度），∠EOF= （度）．12．如图，正方形ABCD 的边长为4，以AB 为直径向正方形内作半圆，CE 与DF 是半圆的切线，M ，N 为切点，CE ，DF 交于点P ．则AE= ＿，△PMN 的面积是 ＿13、由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点为B，D，AB是⊙O的直径，连接AD，BD，OF交⊙O于E，交BD于C，连接DE，BE，下列四个结论：（1）BE=DE；（2）∠FDE=∠EDB；（3）DE∥BE；（4）BD2=2AD•FC．其中正确的结论有14、如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．求证：①DE∥OF；②AB+CD=BC；④AD2=4AB•DC．。