高三数学人教A版选修4-1教学案：第二讲 三 圆的切线的性质及判定定理 Word版含答案

圆的切线判定和性质【教学目标】（一）知识与技能：1．掌握圆的切线判定和性质，并能熟练运用切线的判定与性质进行证明和计算。

2．掌握圆的切线常用添加辅助线的方法（二）过程与方法：1．运用圆的切线的性质与判定解决数学问题的过程中，进一步培养学生运用已有知识综合解决问题的能力；2．进一步感悟数形结合、转化和分类的思想的重要性，培养观察、分析、归纳、总结的能力。

（三）情感态度与价值观：形成知识体系，教育学生用动态的眼光、运动的观点看待数学问题。

【教学重点】对切线的判定方法及其性质的准确、熟练、灵活地运用。

【教学难点】综合型例题分析和论证的思维过程。

【教学方法】先学后教，当堂训练【教学过程】一、一学一归纳：1、作图1：过⊙O外一点P作直线，复习指导：1、通过作图1，你能发现直线与圆有几种位置关系吗？2、你能用数量关系来确定直线与圆的位置关系吗？(设计意图：通过简单作图和复习指导，①回顾直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离，并能从公共点个数判断，得出切线概念；②从数的角度即数量关系上体会圆的切线判别方法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，体会数形结合思想)O作图2：若点A 为⊙O 上的一点，如何过点A 作⊙O 的切线呢？（请学生上黑板按要求作图，并尝试说出作法）提问：你是怎样判断所作直线是圆的切线的？（设计意图：利用作图，体会切线的判定方法：①圆心到直线的距离等于半径②定义③经过半径的外端并且垂直于半径）2．已知⊙O 直径为8cm ，直线L 到圆心O 的距离为4 cm ，则直线L与⊙O 的位置关系为 。

3．PA 切⊙O 于点A ，PA=4，OP=5，则⊙O 的半径是____（设计意图：应用圆的切线判别方法及性质解决简单数学问题，同时归纳出切线性质，并在性质应用时体现辅助线做法指导：见切线，连半径，得垂直，体会转化和数形结合的数学思想，至此形成知识体系。

）二、二学二归纳：4．已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA ＝CB ．①求证：直线AB 是⊙O 的切线。

2.3 圆的切线的性质及判定定理课堂探究探究一圆的切线的性质的应用利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算时，连接圆心和切点的半径是常用辅助线．【典型例题1】如图所示，AB为⊙O的直径，BC，CD为⊙O的切线，B，D为切点，(1)求证：AD∥OC；(2)若⊙O的半径为1，求AD·O C的值．思路分析：(1)要证AD∥OC，由于AB是⊙O的直径，所以BD⊥AD.故可转化为证明BD ⊥OC；(2)由AD·OC可以联想到△ABD∽△OCB，利用等积式转化线段间的关系．(1)证明：如图，连接OD，BD.∵BC，CD是⊙O的切线，∴OB⊥BC，OD⊥CD.∴∠OBC＝∠ODC＝90°.又∵OB＝OD，OC＝OC，∴Rt△OBC≌Rt△ODC.∴BC＝CD.又∵OB＝OD，∴OC⊥BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.∴AD∥OC.(2)解：∵AD∥OC，∴∠A＝∠BOC.又∠ADB＝∠OBC＝90°，∴△ABD∽△OCB.∴ABOC＝ADOB.∴AD·OC＝AB·OB＝2×1＝2.点评若题目中有圆的切线，则首先想到的是连接圆心和切点构造垂直关系．探究二圆的切线的判定在不知道圆与直线是否有公共点的情况下，通常过圆心作直线的垂线段，然后证垂线段的长等于半径，即“作垂直，证半径”，这是证直线与圆相切的常用方法之一．【典型例题2】如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过E作直线与AF 垂直，交AF的延长线于点D，且交AB的延长线于点C.求证：CD是⊙O的切线．分析：连接OE，只需证明OE⊥CD即可．证明：如图，连接OE.∵OA＝OE，∴∠1＝∠2.又∵AE平分∠BAF，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴OE∥AD.∵AD⊥CD，∴OE⊥CD.∴CD与⊙O相切于点E.规律小结定理法判定圆的切线是平面几何中最常用的方法．这种方法的步骤是：①连接圆心和公共点；②转化为证明直线过公共点且垂直于所连线段．由此看出，证明圆的切线可转化为证明直线垂直．。

《圆的切线的性质和判定定理》
有重要作用，本节课背景是在学生初中已经了解了定理，本节重点在于对定理的推导、证明，
并解决等量关系的证明。

1、理解圆的切线的性质定理、两个推论及判定定理;
2、 会应用定理及其推论解决相关的几何问题
【过程与方法目标】
3、培养学生化归的思想、运动联系的观点。

【情感态度价值观目标】
4、感受数学与生活的联系，获得积极的情感体验。

【教学重点】
理解圆的切线的性质定理、两个推论及判定定理。

【教学难点】
会应用定理及其推论解决相关的几何问题。

多媒体课件
一、复习回顾
问题1：直线与圆的位置关系有几种？分别是那些关系？ 预设：相交、相切、相离
谁想说说？
问题2：直线与圆的位置关系的判断方法是什么？ 预设：
如果直线与圆有两个交点，直线与圆相交
如果直线与圆有一个交点，直线
与圆相切
如果直线与圆没有交点，直线与
圆相离
问题3：直线与圆的位置关系的判
断方法二？
预设：。

三圆的切线的性质及判定定理
．掌握切线的性质定理及其推论，并能解决有关问题．(重点、难点) ．掌握切线的判定定理，会判定直线与圆相切．(易错、易混点)
[基础·初探]
教材整理切线的性质定理及推论
阅读教材倒数第行以上部分，完成下列问题．
．性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
如图--，已知切⊙于点，则⊥.
图--
．推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
．推论：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
是⊙的切线，能确定⊥的条件是( )
．∈．过切点
．∈，且过切点．是⊙的直径
【解析】由切线的性质定理知，选项正确．
【答案】
教材整理切线的判定定理
阅读教材～，完成下列问题．
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
下列说法：
①与圆有公共点的直线是圆的切线；
②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；
③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．
其中正确的有( ) 【导学号：】
．①②．②③
．③④．①④
【解析】根据切线的定义及判定定理知③④正确．
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
.。

人教版高中选修4-1三圆的切线的性质及判定定理课程设计一、课程设计目的本课程设计针对高中数学选修4-1课程中的三圆的切线的性质及判定定理，旨在通过理论讲解和实例演练帮助学生掌握以下内容：1.三圆的切线的概念及性质。

2.如何判断两个圆之间是否存在切线，并求出切线的位置和数量。

3.利用三圆切线问题解决实际问题。

二、教学重难点1. 教学重点1.三圆的切线的定义、性质和判定定理的掌握。

2.利用判定定理解决切线问题。

2. 教学难点1.如何判断两个圆之间是否存在切线。

2.如何求出两个圆之间的切线的位置和数量。

3.如何利用三圆切线问题解决实际问题。

三、教学过程设计1. 教学内容（1）三圆的切线1.三圆的切线的定义及性质（交点、夹角、切点）。

2.切线的判定定理：两个圆之间存在切线的充要条件。

（2）求两圆之间的切线1.求切线的步骤及方法（向心角、勾股定理）。

2.求两个圆之间切线的位置和数量。

（3）三圆切线问题1.利用三圆切线问题解决实际问题（如：切线长度、距离、角度）。

2.特别应用：两点之间的最短路径问题。

2. 教学方法1.给学生讲解三圆切线的定义、性质、判定定理，注重知识点的讲解和概念的理解。

2.通过实例演示和小组讨论的形式，引导学生自己思考、发现问题，激发他们的学习兴趣。

3.鼓励学生在课后进行实际运用，并在下节课上分享他们的成果，提高学生的自学能力。

3. 教学工具1.教学PPT。

2.黑板、彩色粉笔。

3.教材配套的习题册。

四、教学评价1. 评价方式1.课堂笔记和作业的完成情况。

2.小组讨论和演示的成果，以及个人表现。

3.定期进行测试和考试。

2. 评价标准1.课堂表现：听讲认真、积极参与讨论等。

2.作业完成情况：按时、准确完成，有思路和过程。

3.小组讨论和演示：清晰、完整地陈述问题和解决方案。

4.能否独立思考和解决实际问题。

五、教学反思本课程设计注重理论的讲解和实例演示，让学生明确概念和解决问题的过程，同时注重培养学生的自学能力，达到既授之于渔又授之以渔的目的。

三圆的切线的性质及判定定理[学习目标]1.理解切线的性质定理、判定定理及两个推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题.2.能归纳并正确表示由圆的切线性质定理和两个推论整合而成的定理.[知识链接]1.根据直线与圆公共点的个数，说明它们有怎样的位置关系？提示直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有一个公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离.2.下列关于切线的说法中，正确的有哪些？(1)与圆有公共点的直线是圆的切线；(2)垂直于圆的半径的直线是圆的切线；(3)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(4)过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线.提示(3)(4)正确.[预习导引]1.切线的性质定理2.3.4.要点一切线的性质例1 如图所示，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB，AD⊥CD.(1)求证：OC∥AD；(2)若AD＝2，AC＝5，求AB的长.(1)证明如图所示，连接BC.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.又AD⊥CD，∴OC∥AD.(2)解∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∴△ADC ∽△ACB .∴AD AC ＝AC AB，∴AC 2＝AD ·AB .∵AD ＝2，AC ＝5，∴AB ＝52.规律方法 1.本例中第(2)小题是通过三角形相似来寻找AD 、AC 与AB 之间关系的. 2.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算，有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线.从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等.跟踪演练1 如图所示，∠C ＝90°，点O 在AC 上，CD 为⊙O 的直径，⊙O 切AB 于E ，若BC ＝5，AC ＝12，求⊙O 的半径. 解 连接OE .∵AB 与⊙O 切于点E ， ∴OE ⊥AB ，即∠OEA ＝90°.∵∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴Rt △ACB ∽Rt △AEO ，∴OE BC ＝AO AB.∵BC ＝5，AC ＝12，∴AB ＝13，∴OE 5＝12－OE 13，∴OE ＝103.要点二 圆的切线的判定例2 已知：AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，过点A 作AD ∥OC ，交⊙O 于点D .求证：DC 是⊙O 的切线.证明 如图，连接OD ，设∠OAD ＝∠1，∠ODA ＝∠2，∠BOC ＝∠3，∠COD ＝∠4.∵OA＝OD，∴∠1＝∠2.∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.又∵OB＝OD，∠3＝∠4，OC＝OC.∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC＝∠ODC.∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.∴∠ODC＝90°，即OD⊥CD.∴DC是⊙O的切线.规律方法判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法：(1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”.跟踪演练2 如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE⊥AC，垂足为E.求证：DE是⊙O的切线.证明连接OD和AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，又∵AO＝BO，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.要点三圆的切线的判定与性质定理的综合应用例3 如图所示，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，延长BA到E，使AE ＝AB ，连接ED .(1)求证：直线ED 是⊙O 的切线. (2)连接EO 交AD 于点F ，求证：EF ＝2FO . 证明 (1)如图所示，连接OD .∵四边形ABCD 为正方形，AE ＝AB ， ∴AE ＝AB ＝AD ，∠EAD ＝∠DAB ＝90°. ∴∠EDA ＝45°，又∠ODA ＝45°. ∴∠ODE ＝∠ADE ＋∠ODA ＝90°. ∴直线ED 是⊙O 的切线. (2)如图所示，作OM ⊥AB 于M .∵O 为正方形ABCD 的中心，∴M 为AB 的中点. ∴AE ＝AB ＝2AM ，又AF ∥OM ，∴EF FO ＝AE AM＝2，∴EF ＝2FO .规律方法 对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果.跟踪演练3 已知：如图，A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC ＝BC ，AC ＝12OB .(1)求证：AB 为⊙O 的切线；(2)若∠ACD ＝45°，OC ＝2，求弦CD 的长. (1)证明 如图，连接OA ，∵OC ＝BC ，AC ＝12OB ，∴OC ＝BC ＝CA ＝OA ，∴△ACO 为正三角形，∴∠O ＝60°，∴∠B ＝30°， ∴∠OAB ＝90°，∴AB 为⊙O 的切线.(2)解 ∵∠ACD ＝45°，∴Rt △ACE 中，AE ＝EC ，又∵△ACO 为正三角形，∴AE ＝EC ＝22AC ＝2， 又∵CD ＝12∠AOC ＝30°，在Rt △AED 中，DE ＝3AE ＝6，∴CD ＝CE ＋DE ＝2＋6.1.圆的切线的判定方法有(1)定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2)几何法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；(3)判定定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线. 2.圆的切线的性质与判定的综合运用在解决有关圆的切线问题，添加辅助线有以下规律：(1)已知一条直线是圆的切线时，通常连接圆心和切点，这条半径垂直于切线. (2)要证明某条直线是圆的切线时，若已知直线经过圆上的某一点，则需作出经过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记为“作垂直，证半径”.1.(2016·石家庄模拟)如图所示，直线l与⊙O相切于点A，B是l上任一点(与点A不重合)，则△OAB是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形解析∵l与⊙O相切，∴l⊥OA.∴OA⊥AB.∴∠OAB＝90°，△OAB是直角三角形.答案 C2.已知AB是⊙O的切线，下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是( )A.AB与⊙O相切于直线CD上的点CB.CD经过圆心OC.CD是直线D.AB与⊙O相切于点C，CD过圆心O解析由图①②③可知，根据选项A，B，C中的条件都不能判定AB⊥CD；因为圆的切线垂直于经过切点的半径，所以选项D正确(如图④).答案 D3.如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知∠D＝46°，则∠A＝________.解析 如图②所示，连接OB ，OC ，则OB ⊥BD ，OC ⊥CD ，故∠DBO ＋∠DCO ＝90°＋90°＝180°，则四边形OBDC 内接于一个圆.则有∠BOC ＝180°－∠D ＝180°－46°＝134°，所以∠A ＝12∠BOC ＝12×134°＝67°.答案 67°一、基础达标1.下列说法中正确的个数是( )①过圆心且垂直于切线的直线必过切点；②过切点且垂直于切线的直线必过圆心；③过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；④同心圆内大圆的弦AB 是小圆的切线，则切点是AB 的中点. A.2B.3C.4D.5解析 由切线的判定及性质定理知：①②④正确，③不正确，过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线或直径. 答案 B2.如图所示，⊙O 是正△ABC 的内切圆，切点分别为E ，F ，G ，点P 是弧EG 上的任意一点，则∠EPF 等于( )A.120°B.90°C.60°D.30°解析 如图所示，连接OE ，OF .∵OE ⊥AB ，OF ⊥BC ， ∴∠BEO ＝∠BFO ＝90°. ∴∠EOF ＋∠ABC ＝180°. ∴∠EOF ＝120°.∴∠EPF ＝12∠EOF ＝60°.答案 C3.如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若AD ＝DC ，则sin ∠ACO 等于( )A.1010 B.210 C.55D.24解析 连接BD ，作OE ⊥AC 于E . ∵BC 切⊙O 于B ，∴AB ⊥BC ， ∵AB 为直径，∴BD ⊥AC ， ∵AD ＝DC ，∴BA ＝BC ， ∠A ＝45°，设⊙O 的半径为R ， ∴OC ＝BC2＋OB2＝4R2＋R2＝5R .OE ＝22R ，∴sin ∠ACO ＝OE OC ＝22R 5R ＝1010. 答案 A4.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝12，⊙O1和⊙O 2分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则|O 1O 2|＝________.解析 设⊙O 1和⊙O 2的半径均为r ，则S △ABC ＝12·AB ·BC ＝12·r ·(AB ＋BC ＋AC ). ∴12×5×12＝12×r ×(5＋12＋52＋122).∴r ＝2. ∴|O 1O 2|＝（5－4）2＋（12－4）2＝65.答案 655.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆，若AB 与圆相切，则r ＝________.解析 过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，在Rt △ABC 中，AB ＝AC2＋BC2＝5，∴CD ·AB ＝AC ·BC ，∴CD ＝AC·BC AB＝2.4 cm ， ∵AB 与圆相切，∴r ＝CD ＝2.4 cm.答案 2.4 cm6.如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB ＝120°.以O 为圆心，12OA 为半径作圆.(1)证明：直线AB 与⊙O 相切；(2)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .证明 (1)设E 是AB 的中点，连接OE .因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，所以OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°， 在Rt △AOE 中，OE ＝12AO ，即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB 与⊙O 相切.(2)因为OA ＝2OD ，所以O 不是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心.设O ′是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，作直线OO ′.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O ′在线段AB 的垂直平分线上，所以OO ′⊥AB .同理可证，OO ′⊥CD ，所以AB ∥CD .二、能力提升7.如图所示，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为( )A.2B.1C.1.5D.0.5解析 连接OD ，∵AD 切⊙O 于D ，∴OD ⊥AD ，又∵BC ⊥AD ，∴OD ∥BC ，∴△DOA ∽△CBA ，∴BC OD ＝BA OA ，∴BC ＝2×24＝1. 答案 B8.如图所示，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于B ，DC 的延长线交AB 于A ，∠A ＝20°，则∠DBE ＝________.解析 连接OB ，则OB ⊥AB ，∴∠AOB ＝90°－∠A ＝70°，∴∠BOD ＝180°－∠AOB ＝110°，又∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝12(180°－∠BOD ) ＝35°，∴∠DBE ＝90°－∠OBD ＝55°.答案 55°9.如图所示，AC 切⊙O 于D ，AO 的延长线交⊙O 于B ，且AB ⊥BC ，若AD ∶AC ＝1∶2，则AO ∶OB ＝________.解析 如图所示，连接OD ，则OD ⊥AC .∵AC 是⊙O 的切线，∴OB ＝OD ，OC ＝OC ，∠ODC ＝∠OBC ＝90°.∴△CDO ≌△CBO .∴BC ＝DC .∵AD AC ＝12，∴AD ＝DC . ∴BC ＝12AC .又OB ⊥BC ，∠ABC ＝90°，∴∠A ＝30°.∴OB ＝OD ＝12AO .∴AO OB ＝21. 答案 2∶110.如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝30°，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF ＝∠E .求证：CF 是⊙O 的切线.证明 连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径.∴∠ACB ＝90°，∵∠BAC ＝30°，∴∠ABC ＝60°，又∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝60°.在Rt △EMB 中，∵∠E ＋∠MBE ＝90°，∴∠E ＝30°.∵∠E ＝∠ECF ，∴∠ECF ＝30°，∴∠ECF ＋∠OCB ＝90°，又∵∠ECF ＋∠OCB ＋∠OCF ＝180°，∴∠OCF ＝90°，∴CF 为⊙O 的切线.11.如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 于E ，∠POC ＝∠PCE .(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若OE ∶EA ＝1∶2，PA ＝6，求⊙O 半径.(1)证明 在△OCP 与△CEP 中，∵∠POC ＝∠PCE ，∠OPC ＝∠CPE ，∴∠OCP ＝∠CEP .∵CD ⊥AB ，∴∠CEP ＝90°，∴∠OCP ＝90°.又C 点在圆上，∴PC 是⊙O 的切线.(2)解 设OE ＝x ，则EA ＝2x ，OC ＝OA ＝3x .∵∠COE ＝∠AOC ，∠OEC ＝∠OCP ＝90°，∴△OCE ∽△OPC ，∴OC OE ＝OP OC.即(3x )2＝x (3x ＋6)，∴x ＝1，∴OA ＝3x ＝3，即圆的半径为3.三、探究与创新12.如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG .证明：A ，B ，G ，F 四点共圆. 证明 (1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)易知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.因为CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠EAB＝∠EBA，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG ＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆.。

三圆的切线的性质及判判断理[ 学习目标 ]1.理解切线的性质定理、判判断理及两个推论，能应用定理及推论解决有关的几何问题 .2. 能概括并正确表示由圆的切线性质定理和两个推论整合而成的定理.[ 知识链接 ]1.依照直线与圆公共点的个数，说明它们有怎样的地址关系？提示直线与圆有两个公共点时，直线与圆订交；直线与圆有一个公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离.2.以下对于切线的说法中，正确的有哪些？(1)与圆有公共点的直线是圆的切线；(2)垂直于圆的半径的直线是圆的切线；(3)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(4)过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线.提示(3)(4)正确.[ 预习导引 ]1.切线的性质定理文字圆的切线垂直于经过切点的半径语言符号直线 l 与圆 O相切于点 A，则 OA⊥l语言图形语言作用证明两条直线垂直2.性质定理推论 1文字经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点语言符号直线 l 与圆 O相切于点 A，过点 O作直线 m⊥ l ，则 A∈ m 语言图形语言作用证明点在直线上3.性质定理推论 2文字经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心语言符号直线 l 与圆 O相切于点 A，过点 A作直线 m⊥ l ，则 O∈ m 语言图形语言作用证明点在直线上4.切线的判判断理文字经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线语言符号OA是圆 O的半径，直线l ⊥ OA，且 A∈ l ，则 l 是圆 O的切线语言图形语言作用证明直线与圆相切要点一切线的性质例 1以以下列图，已知AB是⊙ O的直径，直线CD与⊙ O相切于点C， AC均分∠ DAB， AD⊥ CD.(1)求证： OC∥ AD；(2)若 AD＝2， AC＝ 5，求 AB的长.(1)证明以以下列图，连结 BC.∵CD为⊙O的切线，∴ OC⊥ CD.又 AD⊥ CD，∴ OC∥ AD.(2)解∵ AC均分∠ DAB，∴∠ DAC＝∠ CAB.∵AB为⊙O的直径，∴∠ ACB＝90°.又 AD⊥ CD，∴∠ ADC＝90°，∴△ ADC∽△ ACB.AD AC2∴＝，∴ AC＝ AD· AB.AC AB5∵ AD＝2， AC＝5，∴ AB＝2.规律方法 1. 本例中第(2) 小题是经过三角形相像来搜寻、与之间关系的.2. 利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算，有时需增加协助线，其中连结圆心和切点的半径是常用协助线. 进而能够结构直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相像求解等.追踪操练1以以下列图，∠ C＝90°，点O在AC上，CD为⊙ O的直径，⊙ O切 AB于 E，若 BC＝5， AC＝12，求⊙ O的半径.解连结 OE.∵ AB与⊙ O切于点 E，∴OE⊥ AB，即∠ OEA＝90°.∵∠ C＝90°，∠ A＝∠ A，∴Rt △ACB∽ Rt △AEO，OE AO∴＝ . ∵BC＝ 5，AC＝12，BC ABOE 12－OE10∴ AB＝13，∴ 5 ＝，∴ OE＝13 3 .要点二圆的切线的判断例 2 已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，过点A作AD∥OC，交⊙ O于点 D.求证： DC是⊙ O的切线.证明如图，连结 OD，设∠ OAD＝∠1，∠ODA＝∠2，∠ BOC＝∠3，∠COD＝∠4.∵OA＝ OD，∴∠1＝∠2.∵AD∥ OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∴∠ 1＝∠ 2＝∠ 3＝∠ 4.又∵ OB＝ OD，∠3＝∠4， OC＝ OC.∴△ OBC≌△ ODC，∴∠ OBC＝∠ ODC.∵ BC是⊙ O的切线，∴∠ OBC＝90°.∴∠ ODC＝90°，即 OD⊥ CD.∴ DC是⊙ O的切线.规律方法判断一条直线是圆的切线时，常用协助线的作法：(1)若是已知这条直线与圆有公共点，则连结圆心与这个公共点，想法证明连结所获取的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”.追踪操练2以以下列图，在△ABC中，已知 AB＝AC，以 AB为直径的⊙ O交 BC于 D， DE⊥AC，垂足为 E.求证： DE是⊙ O的切线.证明连结 OD和 AD.∵ AB是⊙ O的直径，∴AD⊥ BC，又∵ AB＝AC，∴BD＝ CD，又∵ AO＝BO，∴OD∥ AC.∵ DE⊥ AC，∴OD⊥ DE，∴ DE是⊙ O的切线.要点三圆的切线的判断与性质定理的综合应用例 3以以下列图，正方形ABCD是⊙ O的内接正方形，延伸BA到 E，使 AE＝ AB，连结 ED.(1)求证：直线 ED是⊙ O的切线.(2)连结 EO交 AD于点 F，求证： EF＝2FO.证明(1) 以以下列图，连结OD.∵四边形 ABCD为正方形， AE＝AB，∴AE＝ AB＝ AD，∠ EAD＝∠ DAB＝90°.∴∠ EDA＝45°，又∠ ODA＝45°.∴∠ ODE＝∠ ADE＋∠ ODA＝90°.∴直线 ED是⊙ O的切线.(2)以以下列图，作 OM⊥AB于 M.∵ O为正方形 ABCD的中心，∴ M为 AB的中点.∴AE＝ AB＝2AM，又 AF∥ OM，EF AE∴＝＝ 2，∴EF＝ 2FO.FO AM规律方法对圆的切线的性质与判断的综合察看经常是热点，其解答思路经常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解有关结果.追踪操练3已知：如图， A 是⊙ O上一点，半径OC的延伸线1与过点 A 的直线交于B点， OC＝BC， AC＝2OB.(1)求证： AB为⊙ O的切线；(2)若∠ ACD＝45°， OC＝2，求弦 CD的长.(1) 证明如图，连结OA，1∵OC＝ BC，AC＝2OB，∴ OC＝BC＝ CA＝OA，∴△ ACO为正三角形，∴∠O＝60°，∴∠ B＝30°，∴∠ OAB＝90°，∴ AB为⊙ O的切线.(2)解∵∠ ACD＝45°，∴Rt△ ACE中， AE＝ EC，2又∵△ ACO为正三角形，∴AE＝ EC＝2 AC＝2，1又∵ CD＝2∠ AOC＝30°，在Rt△ AED中，DE＝3AE＝6，∴ CD＝ CE＋ DE＝2＋6.1.圆的切线的判断方法有(1)定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)几何法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；(3) 判判断理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线.2.圆的切线的性质与判断的综合运用在解决有关圆的切线问题，增加协助线有以下规律：(1) 已知一条直线是圆的切线时，平常连结圆心和切点，这条半径垂直于切线.(2)要证明某条直线是圆的切线时，若已知直线经过圆上的某一点，则需作出经过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，获取垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记为“作垂直，证半径”.1.(2016·石家庄模拟) 以以下列图，直线l 与⊙ O相切于点A，B是l上任一点( 与点A 不重合) ，则△OAB是()A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形剖析∵ l 与⊙ O相切，∴ l ⊥ OA.∴ OA⊥AB.∴∠ OAB＝90°，△ OAB是直角三角形.答案C2. 已知AB是⊙O的切线，以下给出的条件中，能判断AB⊥ CD的是()A. AB与⊙O相切于直线CD上的点CB. CD经过圆心OC. CD是直线D.与⊙O 相切于点，过圆心OAB C CD剖析由图①②③可知，依照选项A， B，C 中的条件都不能够判断A B⊥ CD；因为圆的切线垂直于经过切点的半径，所以选项D正确 ( 如图④ ).答案D3.以以下列图， DB， DC是⊙ O的两条切线， A 是圆上一点，已知∠ D＝46°，则∠ A＝________.剖析如图②所示，连结 OB，OC，则 OB⊥BD，OC⊥ CD，故∠ DBO＋∠ DCO＝90°＋90°＝180°，则四边形 OBDC内接于一个圆.1则有∠ BOC＝180°－∠ D＝180°－46°＝134°，所以∠ A＝21∠BOC＝2×134°＝67°.答案67°一、基础达标1. 以下说法中正确的个数是()①过圆心且垂直于切线的直线必过切点；②过切点且垂直于切线的直线必过圆心；③过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；④同心圆内大圆的弦AB是小圆的切线，则切点是AB的中点.剖析由切线的判断及性质定理知：①②④正确，③不正确，过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线或直径.答案B2.以以下列图，⊙ O是正△ ABC的内切圆，切点分别为 E，F，G，点P 是弧 EG上的随意一点，则∠EPF等于()A.120 °B.90 °C.60 °D.30 °剖析以以下列图，连结OE， OF.∵OE⊥ AB， OF⊥ BC，∴∠ BEO＝∠ BFO＝90°.∴∠ EOF＋∠ ABC＝180°.∴∠ EOF＝120°.1∴∠ EPF＝2∠EOF＝60°.答案C3.如图，在⊙ O中， AB为直径， AD为弦，过 B 点的切线与 AD的延伸线交于C，若 AD＝DC，则sin∠ ACO等于()102A. 10B. 1052C. 5D. 4剖析连结 BD，作 OE⊥ AC于 E.∵BC切⊙ O于 B，∴ AB⊥ BC，∵AB为直径，∴ BD⊥ AC，∵AD＝ DC，∴ BA＝ BC，∠ A＝45°，设⊙ O的半径为 R，∴OC＝ BC2＋ OB2＝ 4R2＋R2＝ 5R.2OE＝2OE 2R10 R，∴sin∠ ACO＝＝＝. 2OC5R10答案A4. 如图，在矩形ABCD中， AB＝5， BC＝12，⊙ O1和⊙ O2分别是△ ABC和△ ADC的内切圆，则 | O1O2| ＝ ________.剖析设⊙ O1和⊙ O2的半径均为r，11则 S△ABC＝2· AB· BC＝2· r ·( AB＋ BC＋AC).11×(5 ＋ 12＋). ∴＝2.∴ ×5×12＝×22r52＋ 122r∴| O1O2| ＝（5－4）2＋（12－4）2＝65.答案655.如图，在 Rt △ABC中，∠C＝ 90°，AC＝ 3 cm，BC＝ 4 cm，以C为圆心，r为半径作圆，若 AB与圆相切，则 r ＝________.剖析过 C作 CD⊥ AB，垂足为 D，在 Rt △ABC中，AB＝AC2＋BC2＝5，∴CD· AB＝AC· BC，∴ CD＝AC·BCAB＝ 2.4 cm ，∵AB与圆相切，∴r ＝ CD＝2.4 cm.答案 2.4 cm16.如图，△ OAB是等腰三角形，∠ AOB＝120°.以 O为圆心，2OA为半径作圆 .(1) 证明：直线AB与⊙O相切；(2)点 C，D在⊙ O上，且 A，B，C，D四点共圆，证明： AB∥ CD. 证明(1) 设E是AB的中点，连结OE.因为 OA＝ OB，∠ AOB＝120°，所以 OE⊥ AB，∠ AOE＝60°，在 Rt △中，＝1，即O到直线的距离等于⊙O的半径，所以直线与AOE OE2AO AB AB ⊙O相切.(2)因为 OA＝2OD，所以 O不是 A， B， C，D四点所在圆的圆心.设 O′是 A， B， C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.由已知得O 在线段 AB 的垂直均分线上，又O′在线段AB 的垂直均分线上，所以OO′⊥ AB.同理可证， OO′⊥ CD，所以 AB∥CD.二、能力提升7.以以下列图， EB为半圆 O的直径，点 A在 EB的延伸线上， AD切半圆 O于点 D，BC⊥ AD于点 C，AB＝2，半圆 O的半径为2，则BC的长为()剖析连结 OD，∵ AD切⊙ O于 D，∴OD⊥ AD，又∵ BC⊥AD，∴ OD∥ BC，∴△ DOA∽△ CBA，∴BC BA2×2＝，∴ BC＝＝ 1. OD OA4答案B8.以以下列图， CD是⊙ O的直径， AE切⊙ O于 B， DC的延伸线交AB于 A，∠ A＝20°，则∠ DBE＝________.剖析连结 OB，则 OB⊥ AB，∴∠ AOB＝90°－∠ A＝70°，∴∠ BOD＝180°－∠ AOB＝110°，又∵ OB＝ OD，1∴∠ OBD＝2(180°－∠ BOD)＝35°，∴∠ DBE＝90°－∠ OBD＝55°.答案55°9.以以下列图， AC切⊙ O于 D，AO的延伸线交⊙ O于 B，且 AB⊥BC，若 AD∶ AC＝1∶2，则 AO∶ OB＝________.剖析以以下列图，连结OD，则 OD⊥ AC.∵ AC是⊙ O的切线，∴ OB＝ OD， OC＝ OC，∠ ODC＝∠ OBC＝90°.∴△ CDO≌△ CBO.∴BC＝ DC.AD 1∵＝，∴ AD＝ DC.AC 21∴BC＝2AC.又 OB⊥ BC，∠ ABC＝90°，∴∠ A＝30°.1AO 2∴OB＝ OD＝ AO.∴＝.2OB 1答案2∶ 110.如图， AB是⊙ O的直径，∠ BAC＝30°， M是 OA上一点，过M作 AB的垂线交 AC于点 N，交 BC的延伸线于点E，直线 CF交EN于点 F，且∠ ECF＝∠ E.求证： CF是⊙ O的切线.证明连结 OC，∵ AB是⊙ O的直径.∴∠ ACB＝90°，∵∠ BAC＝30°，∴∠ ABC＝60°，又∵ OB＝ OC，∴∠ OCB＝∠ OBC＝60°.在 Rt △EMB中，∵∠ E＋∠ MBE＝90°，∴∠ E＝30°.∵∠ E＝∠ ECF，∴∠ ECF＝30°，∴∠ ECF＋∠ OCB＝90°，又∵∠ ECF＋∠ OCB＋∠ OCF＝180°，∴∠ OCF＝90°，∴ CF为⊙ O的切线.11. 如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延伸线上，弦CD⊥AB于E，∠POC＝∠PCE.(1)求证： PC是⊙ O的切线；(2)若 OE∶EA＝1∶2， PA＝6，求⊙ O半径. (1) 证明在△ OCP与△ CEP中，∵∠ POC＝∠ PCE，∠ OPC＝∠ CPE，∴∠ OCP＝∠ CEP.∵ CD⊥ AB，∴∠ CEP＝90°，∴∠ OCP＝90°.又 C点在圆上，∴ PC是⊙ O的切线.(2) 解设OE＝x，则 EA＝2x， OC＝ OA＝3x.∵∠ COE＝∠ AOC，∠ OEC＝∠ OCP＝90°，∴△ OCE∽△ OPC，∴OC OP＝ . OE OC即 (3 x) 2＝x(3 x＋ 6) ，∴x＝ 1，∴ OA＝3x＝3，即圆的半径为 3.三、研究与创新12.如图， A， B， C，D四点在同一圆上， AD的延伸线与 BC的延伸线交于 E 点，且 EC＝ ED.(1)证明： CD∥ AB；(2)延伸 CD到 F，延伸 DC到 G，使得 EF＝ EG.证明： A，B， G， F四点共圆. 证明(1) 因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为 A， B，C， D四点在同一圆上，所以∠ EDC＝∠ EBA.故∠ ECD＝∠ EBA.所以 CD∥ AB.(2)由 (1) 易知，AE＝BE. 因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，进而∠FED＝∠GEC. 连结 AF， BG，则△ EFA≌△ EGB，故∠ FAE＝∠ GBE.因为 CD∥ AB，∠ EDC＝∠ ECD，所以∠ EAB＝∠ EBA，所以∠ FAB＝∠ GBA.所以∠ AFG＋∠ GBA＝180°.故 A，B， G， F四点共圆.。

三圆的切线的性质及判定定理[对应学生用书P25]1．切线的性质(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．如图，已知AB切⊙O于A点，则OA⊥AB.(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2．圆的切线的判定方法(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．(2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．(3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线．其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的．[说明]在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线．[对应学生用书P25][例1]如图，已知∠C＝90°，点O在AC上，CD为⊙O的直径，⊙O切AB于E，若BC＝5，AC＝12.求⊙O的半径．[思路点拨]⊙O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联想到连接OE构造Rt△OAE，再利用相似三角形的性质，求出⊙O的半径．[解]连接OE，∵AB与⊙O切于点E，∴OE⊥AB，即∠OEA＝90°.∵∠C＝90°，∠A＝∠A，∴Rt△ACB∽Rt△AEO，∴OE BC ＝AO AB. ∵BC ＝5，AC ＝12，∴AB ＝13， ∴OE 5＝12－OE 13， ∴OE ＝103.即⊙O 的半径为103.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．1．如图，AB 切⊙O 于点B ，延长AO 交⊙O 于点C ，连接BC .若∠A ＝40°，则∠C ＝( )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°解析：连接OB ，因为AB 切⊙O 于点B ，所以OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°，所以∠AOB ＝50°.又因为点C 在AO 的延长线上，且在⊙O 上， 所以∠C ＝12∠AOB ＝25°.答案：B2.如图，已知P AB 是⊙O 的割线，AB 为⊙O 的直径．PC 为⊙O的切线，C 为切点，BD ⊥PC 于点D ，交⊙O 于点E ，P A ＝AO ＝OB ＝1.(1)求∠P 的度数； (2)求DE 的长． 解：(1)连接OC .∵C 为切点，∴OC ⊥PC ，△POC 为直角三角形． ∵OC ＝OA ＝1，PO ＝P A ＋AO ＝2， ∴sin ∠P ＝OC PO ＝12.∴∠P ＝30°.(2)∵BD ⊥PD ，∴在Rt △PBD 中， 由∠P ＝30°，PB ＝P A ＋AO ＋OB ＝3， 得BD ＝32.连接AE .则∠AEB ＝90°，∴AE ∥PD . ∴∠EAB ＝∠P ＝30°，∴BE ＝AB sin 30°＝1， ∴DE ＝BD －BE ＝12.[例2] 已知D ＝45°，∠ADB ＝60°，求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．[思路点拨]连接OB ，OC ，OD →∠BOD ＝90°→ ∠OBC ＝∠OCB ＝30°→∠ABO ＝90°→结论. [证明] 如图，连接OB ，OC ，OD ，OD 交BC 于E .∵∠DCB 是 BD所对的圆周角， ∠BOD 是 BD所对的圆心角，∠BCD ＝45°， ∴∠BOD ＝90°.∵∠ADB 是△BCD 的一个外角， ∴∠DBC ＝∠ADB －∠ACB ＝60°－45°＝15°， ∴∠DOC ＝2∠DBC ＝30°， 从而∠BOC ＝120°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°. 在△OEC 中，因为∠EOC ＝∠ECO ＝30°， ∴OE ＝EC ，在△BOE 中，因为∠BOE ＝90°，∠EBO ＝30°.∴CE BE ＝CD DA ＝12， ∴AB ∥OD ，∴∠ABO ＝90°， 故AB 是△BCD 的外接圆的切线．要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外，还有圆心到直线的距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂线是常用辅助线．3．本例中，若将已知改为“∠ABD ＝∠C ”，怎样证明：AB 是△BCD 的外接圆的切线． 证明：作直径BE ，连接DE ， ∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BDE ＝90°， ∴∠E ＋∠DBE ＝90°. ∵∠C ＝∠E ，∠ABD ＝∠C ， ∴∠ABD ＋∠DBE ＝90°. 即∠ABE ＝90°.∴AB 是△BCD 的外接圆的切线．4.如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sin B ＝12，∠D ＝30°.(1)求证：AD 是⊙O 的切线． (2)若AC ＝6，求AD 的长． 解：(1)证明：如图，连接OA ， ∵sin B ＝12，∴∠B ＝30°，∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°， ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOC ＝90°， ∴AD 是⊙O 的切线． (2)∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC 是等边三角形，∴OA ＝AC ＝6， ∵∠OAD ＝90°，∠D ＝30°，[例3]如图，AB为⊙O的直径，D是 BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长．[思路点拨](1)连接OD，证明OD⊥DE；(2)作DG⊥AB.[证明](1)连接OD，∵D是 BC中点，∴∠1＝∠2.∵OA＝OD，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴OD∥AE.∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切线．(2)过D作DG⊥AB，∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3.在Rt△ODG中，OG＝52－32＝4，∴AG＝4＋5＝9.∵DG⊥AB，FB⊥AB，∴DG∥FB.∴△ADG∽△AFB.∴DGBF＝AGAB.∴3BF＝910.∴BF＝103.对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果．5.如图，已知两个同心圆O，大圆的直径AB交小圆于C、D，大圆的弦EF切小圆于C，ED交小圆于G，若小圆的半径为2，EF＝43，试求EG 的长．解：连接GC ，则GC ⊥ED . ∵EF 和小圆切于C ， ∴EF ⊥CD ，EC ＝12EF ＝2 3.又CD ＝4，∴在Rt △ECD 中， 有ED ＝EC 2＋CD 2 ＝(23)2＋42＝27.由射影定理可知EC 2＝EG ·ED ， ∴EG ＝EC 2ED ＝(23)227＝677.6．如图，以Rt △ABC 直角边AC 上一点O 为圆心，OC 为半径的⊙O 与AC 的另一个交点为E ，D 为斜边AB 上一点且在⊙O 上，AD 2＝AE ·AC .(1)证明：AB 是⊙O 的切线； (2)若DE ·OB ＝8，求⊙O 的半径． 解：(1)证明：连接OD ，CD ，∵AD 2＝AE ·AC ， ∴AD AE ＝ACAD.又∵∠DAE ＝∠DAC ， ∴△DAE ∽△CAD ，∴∠ADE ＝∠ACD . ∵OD ＝OC ，∴∠ACD ＝∠ODC ， 又∵CE 是⊙O 的直径，∴∠ODE ＋∠CDO ＝90°，∴∠ODA ＝90°， ∴AB 是⊙O 的切线． (2)∵AB ，BC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥DC ，∴DE ∥OB ，∴∠CED ＝∠COB ， ∵∠EDC ＝∠OCB ，∴△CDE ∽△BCO ， ∴DE CO ＝CEBO，DE ·OB ＝2R 2＝8， ∴⊙O 的半径为2.[对应学生用书P27]一、选择题1．下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案：C2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于D .AB＝6，BC ＝8，则BD 等于( )A ．4B ．4.8C ．5.2D ．6 解析：∵AB 是⊙O 的直径，∴BD ⊥AC . ∵BC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BC . ∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10. ∴BD ＝AB ·BCAC ＝4.8.答案：B3.如图，CD 切⊙O 于B ，CO 的延长线交⊙O 于A ，若∠C ＝36°，则∠ABD 的度数是( )A ．72°B ．63°C ．54°D ．36° 解析：连接OB .∵CD 为⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90°. ∵∠C ＝36°，∴∠BOC ＝54°. 又∵∠BOC ＝2∠A ，∴∠A ＝27°， ∴∠ABD ＝∠A ＋∠C ＝27°＋36°＝63°. 答案：B4．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若AD ＝DC ，则sin ∠ACO 等于( )A.1010 B.210 C.55D.24 解析：连接BD ，则BD ⊥AC .∵AD ＝DC ，∴BA ＝BC ，∴∠BCA＝45°.∵BC是⊙O的切线，切点为B，∴∠OBC＝90°.∴sin ∠BCO＝OBOC＝OB5OB＝55，cos ∠BCO＝BCOC＝2OB5OB＝255.∴sin ∠ACO＝sin(45°－∠BCO)＝sin 45°cos ∠BCO－cos 45°sin ∠BCO＝22×255－22×55＝1010.答案：A二、填空题5．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2为半径作⊙M.若点M 在OB边上运动，则当OM＝________时，⊙M与OA相切．解析：若⊙M与OA相切，则圆心M到直线OA的距离等于圆的半径2.过M作MN⊥OA于点N，则MN＝2.在Rt△MON中，∵∠MON＝30°，∴OM＝2MN＝2×2＝4.答案：46．已知P A是圆O的切线，切点为A，P A＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B 点，PB＝1.则圆O的半径R＝________.解析：AB＝AP2－PB2＝ 3.由AB2＝PB·BC，∴BC＝3，Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝2 3.∴R＝ 3.答案： 37．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝________，DC＝________.解析：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.又∠DCA＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠DCA＝∠OCB，∵OC＝3，BC＝3，∴△OCB是正三角形．∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°.∴∠DAC＝30°.在Rt△ACB中，AC＝AB2－BC2＝33，DC＝AC sin 30°＝32 3.答案：30°33 2三、解答题8.如图所示，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，PD是⊙O的切线，P是切点，∠D＝30 °.求证：P A＝PD.证明：如图，连接OP，∵PD是⊙O的切线，P为切点．∴PO⊥PD.∵∠D＝30°，∴∠POD＝60°.又∵OA＝OP，∴∠A＝∠APO＝30°.∴∠A＝∠D.∴P A＝PD.9.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E.求证：(1)DE⊥AC；(2)BD2＝CE·CA.证明：(1)连接OD，AD.∵DE是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DE.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又AB＝AC，∴BD＝DC.∴OD∥AC.∴DE⊥AC. (2)∵AD⊥BC，DE⊥AC，∴△CDE∽△CAD.∴CDCA＝CECD.∴CD2＝CE·CA.∴BD＝DC.∴BD2＝CE·CA.10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠DBC＝30°，DE＝1 cm，求BD的长．解：(1)证明：连接OA.∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.∴∠OAD＝∠EDA.∴OA∥CE.∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠OAE＝∠DEA＝90°.∴AE⊥OA.∴AE是⊙O的切线．(2)∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°.∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°.∴∠BDE＝120°.∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°.∴∠ABD＝∠EAD＝30°.在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE.在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE.∵DE的长是1 cm，∴BD的长是4 cm.。

三圆的切线的性质及判定定理
1．掌握切线的性质定理及其推论，并能解决有关问题．(重点、难点) 2．掌握切线的判定定理，会判定直线与圆相切．(易错、易混点)
[基础·初探]
教材整理1切线的性质定理及推论
阅读教材P30倒数第2行以上部分，完成下列问题．
1．性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
如图2-3-1，已知AB切⊙O于点A，则OA⊥AB.
图2-3-1
2．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
3．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
AB是⊙O的切线，能确定CD⊥AB的条件是()
A．O∈CD B．CD过切点
C．O∈CD，且CD过切点D．CD是⊙O的直径
【解析】由切线的性质定理知，选项C正确．
【答案】 C
教材整理2切线的判定定理
阅读教材P30～P31，完成下列问题．
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
下列说法：
①与圆有公共点的直线是圆的切线；
②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；
③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．
其中正确的有() 【导学号：07370037】
A．①②B．②③
C．③④D．①④
【解析】根据切线的定义及判定定理知③④正确．
【答案】 C
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
O相切于点C，AC平分∠DAB，AD⊥CD.。

高中数学人教A版选修4-1几何证明选讲第二讲《三圆的切线的性质及判定定理》省级名师优质课教案比赛获奖教案示
范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.掌握切线的性质定理及其推论,并能解决有关问题.
2.掌握切线的判定定理,会判定直线与圆相切.
2重点难点
2.掌握切线的判定定理,会判定直线与圆相切.
3教学过程
3.1一课时
教学活动
1【导入】一课时
1.切线的性质定理及推论
图2-3-1
(1)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.
如图2-3-1,已知AB切⊙O于点A,则OA⊥AB.
(2)推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
(3)推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
2.切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
1.“以圆的两条平行切线的切点为端点的线段是圆的直径”这句话对吗?为什么?
【提示】正确.如图AB、CD分别切⊙O于E、F,连接EO并延长交CD于F′,∵AB是⊙O的切线,∴OE⊥AB.∵AB∥CD,∴OF′⊥CD,∴F′为切点,∴F′与F重合,即EF是⊙O的直径.。

互动课堂重难突破一、圆的切线的性质定理及推论1.圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.此定理强调半径必须经过切点,否则结论不成立.由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直,所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点;反过来,过切点垂直于切线的直线一定经过圆心,因此可以得到两个推论: 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.2.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得出如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.(1)垂直于切线;(2)过切点;(3)过圆心.于是在利用切线性质时,过切点的半径是常作的辅助线.3.另外,圆的切线还有两条性质应当注意,一是切线和圆只有一个公共点;二是切线和圆心的距离等于圆的半径.在许多实际问题中,我们也利用它们来解决二、切线的判定定理1.切线的判定定理是经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.在定理中要分清定理的题设和结论,强调“经过半径外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线,如图2-3-1的例子就不同时满足两个条件,所以都不是圆的切线图2-3-2.用判定定理证明一直线与圆相切时,必须满足两个条件:①过半径的外端;②垂直于这条半径.因此在解决相关问题时,若已知要证的切线经过圆上一点,则需把这点与圆心相连,证这直线与这半径垂直;否则需先向这直线作垂线,再证这垂线段是圆的半径三、刨根问底问题1判断一条直线是否是圆的切线,通常有哪些方法？一般如何选取合适的方法？探究:判定切线通常有三种方法（1）和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线（2）和圆心距离等于半径的直线是圆的切线（3）过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线“过半径外端,垂直于这条半径的直线是圆的切线”只是把“到圆心距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化,在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法,如果涉及到数值计算或距离问题,通常利用（2）,如果涉及到线段的位置关系等,通常选取（3）问题2 已知下列5个命题(1)过半径外端的直线是圆的切线(2)垂直于半径的直线是圆的切线(3)经过半径外端和这条直线垂直的直线是圆的切线(4)过直径端点且和这条直径垂直的直线是圆的切线(5)和圆有一个交点的直线是圆的切线其中正确的命题序号是探究:首先判断这些命题的条件与切线判定定理或定义是否一致.(3)(4)正确.活学巧用【例1】 如图2-3-2所示,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠C =90°,且AD +BC =AB ,AB 为⊙O 的直径,求证:⊙O 与CD 相切图2-3-2思路解析:欲证⊙O 与CD 相切只需证明圆心O 到直线CD 的距离等于⊙O 的半径即可证明:过O 点作OE ⊥CD ,垂足为E∴AD ∥OE ∥BC∵O 为AB 的中点,∴E 为CD 的中点∴OE =21(AD +BC ).又∵AD +BC =AB ∴OE =21AB =⊙O 的半径.∴⊙O 与CD 相切.【例2】如图2-3-3所示,已知AB 为半圆O 的直径,直线MN 切半圆于点C ,AD ⊥MN 于点D ,BE ⊥MN 于点E ,BE 交半圆于点F ,AD =3 cm,BE图2-3-3（1）求⊙O 的半径 （2）求线段DE 的长思路解析:（1）连结OC,证点C 为DE 的中点.在解有关圆的切线问题时,常常需要作出过切点的半径.对于（2）则连结AF ,证四边形ADEF 为矩形,从而得到AD =EF ,DE =AF ,然后在Rt △ABF 中运用勾股定理,求AF 的长解:（1）连结OC .∵MN 切半圆于点C ,∴OC ⊥MN ∵AD ⊥MN ,BE ⊥MN,∴AD ∥OC ∥BE ∵OA =OB ,∴CD =CE .∴OC =21（AD ＋BE ）∴⊙O 的半径为（2）连结AF .∵AB 为半圆O 的直径 ∴∠AFB =90°.∴∠ 又∠ADE =∠DEF =90°,∴四边形ADEF 为矩形∴DE =AF ,AD =EF在Rt △ABF 中,BF =BE －EF =4 cm,AB =2OC由勾股定理,得22BF AB -=AF =22410-=212∴212=DE .【例3】如图2-3-4所示,AB 为⊙O 的直径,BC 、CD 为⊙O 的切线,B 、D 为切点图2-3-4（1）求证:AD ∥OC（2）若⊙O 的半径为1,求AD ·OC 的值思路解析:对于（1）,连结OD 、BD ,证AD ⊥BD ,OC ⊥BD ;对于（2）,连结BD ,证△A BD ∽△OCB 即可（1）证明:连结OD 、BD .∵BC 、CD 是⊙O 的切线 ∴OB ⊥BC ,OD ⊥CD∴∠OBC =∠ODC ＝又∵OB =OD ,OC =OC∴Rt △OBC ≌ Rt △O DC∴BC =CD .∵OB =OD ,∴OC ⊥BD又∵AB 为⊙O 的直径∴∠ADB即AD ⊥BD .∴AD ∥OC（2）解:∵AD ∥OC ,∴∠A =∠BOC 又∠ADB =∠OBC =90°,∴△ABD ∽△OCB∴OC AB =OBAD∴AD ·OC =AB ·OB =2×1=2. 【例4】如图2-3-5,已知两个同心圆O ,大圆的直径AB 交小圆于C 、D ,大圆的弦EF 切小圆于C ,ED 交小圆于G ,若小圆的半径为2,34=EF ,试求EG 的长图2-3-5思路解析:由EF 和小圆切于点C ,易知EF ⊥CD.因为CD 为小圆的直径,联想“直径上的圆周角为90°”,考虑连结GC ,则GC ⊥ED .由已知条件容易求出CD 、EC 的长.在Rt △ECD 中利用勾股定理和射影定理不难求出EG 的长 解:连结GC ,则GC ⊥ED ∵EF 和小圆切于C∴EF ⊥CD ,EC =21EF又∵CD =4,∴在Rt △ECD 中,有22CD EC +=ED =224)32(+=72∵EC 2=EG·E D∴ED EC 2EG =72)32(2=776.。

三圆的切线的性质及判定定理课堂探究探究一圆的切线的性质的应用利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算时，连接圆心和切点的半径是常用辅助线．【典型例题1】如图所示，AB为⊙O的直径，BC，CD为⊙O的切线，B，D为切点，(1)求证：AD∥OC；(2)若⊙O的半径为1，求AD·O C的值．思路分析：(1)要证AD∥OC，由于AB是⊙O的直径，所以BD⊥AD.故可转化为证明BD ⊥OC；(2)由AD·OC可以联想到△ABD∽△OCB，利用等积式转化线段间的关系．(1)证明：如图，连接OD，BD.∵BC，CD是⊙O的切线，∴OB⊥BC，OD⊥CD.∴∠OBC＝∠ODC＝90°.又∵OB＝OD，OC＝OC，∴Rt△OBC≌Rt△ODC.∴BC＝CD.又∵OB＝OD，∴OC⊥BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.∴AD∥OC.(2)解：∵AD∥OC，∴∠A＝∠BOC.又∠ADB＝∠OBC＝90°，∴△ABD∽△OCB.∴ABOC＝ADOB.∴AD·OC＝AB·OB＝2×1＝2.点评若题目中有圆的切线，则首先想到的是连接圆心和切点构造垂直关系．探究二圆的切线的判定在不知道圆与直线是否有公共点的情况下，通常过圆心作直线的垂线段，然后证垂线段的长等于半径，即“作垂直，证半径”，这是证直线与圆相切的常用方法之一．【典型例题2】如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过E作直线与AF 垂直，交AF的延长线于点D，且交AB的延长线于点C.求证：CD是⊙O的切线．分析：连接OE，只需证明OE⊥CD即可．证明：如图，连接OE.∵OA＝OE，∴∠1＝∠2.又∵AE平分∠BAF，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴OE∥AD.∵AD⊥CD，∴OE⊥CD.∴CD与⊙O相切于点E.规律小结定理法判定圆的切线是平面几何中最常用的方法．这种方法的步骤是：①连接圆心和公共点；②转化为证明直线过公共点且垂直于所连线段．由此看出，证明圆的切线可转化为证明直线垂直．。