向量的概念与背景

平面向量的实际背景及基本概念1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。

数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。

4.有向线段的三要素：起点，大小，方向 5.有向线段与向量的区别； （1）相同点：都有大小和方向（2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。

②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线 段表示相同（等）的向量。

③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成 6.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；7.向量的模：向量AB 的大小（长度）称为向量的模，记作|AB |. 8.零向量、单位向量概念：长度为零的向量称为零向量，记为：0。

长度为1的向量称为单位向量。

9.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0 ∥ａ。

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 10.相等向量A(起点)B（终点）a长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．． 向线段的起点无关．．．．．．．．. 11.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．． 说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。

（2）共线向量是可以相互平行的。

例1.判断下列说法是否正确，为什么？ （1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。

向量的基础知识及应用向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将介绍向量的基础知识，包括向量的定义、性质、表示方法以及向量的应用。

## 一、向量的定义在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。

向量可以在空间中表示为有向线段，起点和终点分别表示向量的起点和终点。

向量常用字母加上箭头表示，如$\vec{a}$、$\vec{b}$。

向量的大小称为模，通常用两点间的距离表示。

向量的方向可以用与某一坐标轴的夹角表示。

向量的模和方向唯一确定一个向量。

## 二、向量的性质1. 向量相等：两个向量的模和方向完全相同，则这两个向量相等。

2. 零向量：模为0的向量称为零向量，记作$\vec{0}$，零向量的方向是任意的。

3. 平行向量：模相等且方向相同或相反的向量称为平行向量。

4. 共线向量：如果存在一个非零实数$k$，使得$\vec{a}=k\vec{b}$，则称向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$共线。

5. 相反向量：模相等方向相反的向量称为相反向量，记作$-\vec{a}$。

## 三、向量的表示方法1. 坐标表示法：在直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数组$(a_1, a_2, a_3)$，其中$a_1$、$a_2$、$a_3$分别是向量在$x$轴、$y$轴、$z$轴上的投影。

2. 分解表示法：将一个向量分解为与坐标轴平行的分量，如$\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}$，其中$\vec{i}$、$\vec{j}$、$\vec{k}$分别是$x$轴、$y$轴、$z$轴的单位向量。

3. 几何表示法：在空间中用有向线段表示向量，起点为原点，终点为向量的终点。

## 四、向量的运算1. 向量的加法：向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$的和记作$\vec{a}+\vec{b}$，满足三角形法则。

2. 向量的数乘：实数$k$与向量$\vec{a}$的乘积$k\vec{a}$，其模为$k$倍的$\vec{a}$的模，方向与$\vec{a}$相同（$k>0$）或相反（$k<0$）。

平面向量的实际背景及基本概念【要点梳理】要点一：向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．要点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．要点二：向量的表示法1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．2.向量的表示方法:(1)字母表示法:如,,,a b c 等.(2)几何表示法:以A 为始点，B 为终点作有向线段AB （注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段AB 表示向量，通常我们就说向量AB .要点诠释：（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．要点三：向量的有关概念1．向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).要点诠释：（1）向量a 的模||0a ．（2）向量不能比较大小，但||a 是实数，可以比较大小．2．零向量:长度为零的向量叫零向量.记作0 ，它的方向是任意的．3．单位向量:长度等于1个单位的向量.要点诠释：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4．相等向量:长度相等且方向相同的向量.要点诠释：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．要点四：向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:0 与任一向量共线.要点诠释：1.零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.2.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．【典型例题】类型一：向量的基本概念例1．下列各题中，哪些是向量？哪些不是向量？（1）密度；（2）浮力；（3）风速；（4）温度．【变式1】下列物理量中，不能称为向量的是（）A ．质量B ．速度C ．位移D ．力例2．下列说法正确的是（）．A ．向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 必在同一直线上B ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反C ．向量AB 的长度与向量BA 的长度相等D ．单位向量都相等【变式1】判断下列命题的正误：（1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若向量a 与向量b 不共线，则a 与b 都是非零向量；（4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（5）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量。

向量概念知识点总结一、向量的概念在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。

向量可以在空间中的任意位置定义，具有位移、速度、力等物理量的特点。

向量可以简单地用一组有序数字表示，也可以用相关的符号表示。

在实际生活中，向量可以用来描述物体的位置、速度、加速度、力等。

Mathematica的向量记号是在向量上加箭头，例如 a，或者使用粗体斜体字母表示，例如 a。

这里，a可以表示一个向量。

二、向量的定义数学上，向量是一个有方向和大小的物理量。

向量是欧几里得空间中的一个元素，它可以用来表示空间中的位置或方向。

在数学中，向量通常用箭头表示，长度表示大小，箭头方向表示方向。

向量可以放在平面坐标系中，也可以用于描述空间中的方向和位置。

根据向量的定义，我们可以将向量表示为(x, y, z)，也可以表示为< x, y, z>。

在数学上，向量还可以表示一个n维空间中的一个点，也可以表示一个n维空间中的矩阵。

三、向量的运算1.向量的加法向量的加法是指将两个向量进行相加，得到一个新的向量。

向量的加法满足交换律和结合律，即a+b = b+a，(a+b)+c = a+(b+c)。

向量的加法可以表示为a + b = <a1+b1, a2+b2,a3+b3>。

在平面坐标系中，可以使用平行四边形法则来求解向量的加法结果。

2.向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。

向量的减法可以表示为a -b = <a1-b1, a2-b2, a3-b3>。

通过向量的减法，我们可以求得两个向量之间的差向量，用来表示两个向量之间的相对位置。

3.向量的数量积和内积向量的数量积又称为内积，是指将两个向量进行点乘得到一个数。

向量的数量积可以表示为a • b = |a| |b| cosθ。

其中，|a|和|b|表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角。

通过向量的数量积，我们可以求得两个向量之间的夹角，也可以求得一个向量在另一个向量上的投影。

高中向量知识点总结向量是数学中的重要概念，它在几何、物理等领域都有着广泛的应用。

在高中数学学习中，向量是一个重要的知识点，掌握好向量的相关知识对于学生的数学学习和未来的发展都具有重要意义。

本文将对高中向量知识点进行总结，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一部分内容。

1. 向量的概念。

向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

在直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对，也可以表示为一个坐标点到另一个坐标点的位移。

向量的大小通常用模长来表示，方向则可以用夹角或者方向角来描述。

2. 向量的运算。

向量的运算包括加法、减法和数量乘法。

向量的加法和减法都是按照平行四边形法则进行的，而数量乘法则是将向量的模长与一个标量相乘，同时改变向量的方向。

向量的运算在几何和物理问题中有着重要的应用，能够帮助我们更好地描述和计算问题。

3. 向量的数量积和向量积。

向量的数量积又称为点积，是两个向量的数量乘积再与它们的夹角的余弦值相乘所得的结果。

向量的数量积具有对称性和分配律，可以用来计算向量的模长、夹角以及投影等问题。

而向量的向量积又称为叉积，是两个向量的数量乘积再与它们的夹角的正弦值相乘所得的结果。

向量的向量积可以用来求得平行四边形的面积和向量的方向。

4. 向量的应用。

在几何中，向量可以用来描述平面图形的性质，比如平行四边形的性质、三角形的性质等。

在物理中，向量则可以用来描述物体的位移、速度、加速度等物理量，是物理学中不可或缺的工具。

另外，在工程和计算机图形学中，向量也有着广泛的应用，比如在计算机游戏中的物体运动、碰撞检测等方面。

总结：通过本文的总结，我们对高中向量知识点有了更深入的了解。

向量作为数学中的重要概念，在几何、物理等领域有着广泛的应用。

掌握好向量的相关知识，不仅有助于学生的数学学习，还能够为他们未来的发展打下坚实的基础。

希望本文能够帮助学生更好地理解和掌握高中向量知识，为他们的学习和未来的发展提供帮助。

向量知识总结一、引言在数学学科中，向量是一个重要的概念。

它不仅在几何学中有着广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中扮演着重要的角色。

本篇文章将对向量知识进行总结和归纳，希望能够帮助读者更好地理解和运用向量。

二、向量的概念和性质1. 向量的定义：向量可以被看作是有方向和大小的量。

其表示方式可以是一个有序的数组，也可以用箭头表示。

2. 向量的性质：向量具有加法、减法和数乘等运算规则。

加法满足交换律和结合律，减法可以通过加法和数乘来表示。

3. 零向量：长度为零的向量被称为零向量，它在加法运算中作为单位元的角色。

4. 向量的模长：向量的模长是其大小的度量，表示为长度。

向量的模长可以通过勾股定理来计算。

三、向量的表示和运算1. 向量的表示：向量可以用坐标表示，也可以用分量表示。

坐标表示是指将向量的起点放在原点，终点的坐标即为向量的坐标。

分量表示是指将向量的坐标在特定坐标轴方向上的投影。

2. 向量的运算：向量的运算包括加法、减法和数乘。

加法运算是将两个向量的对应分量相加，减法运算是将两个向量的对应分量相减，数乘是将向量的每个分量与一个常数相乘。

3. 内积和外积：向量的内积和外积是两种常见的向量运算。

内积（点乘）表示两个向量之间的夹角关系，外积（叉乘）表示两个向量之间构成的平行四边形的面积。

四、向量的几何应用1. 向量的共线与共面：如果两个向量平行或者反平行，则它们共线；如果三个向量共面，则它们满足线性相关关系。

2. 向量的垂直关系：如果两个向量的内积为零，则它们垂直；如果两个向量的外积为零，则它们共线。

3. 直线和平面的向量表示：直线和平面可以通过向量的参数方程或者法向量方程来表示。

参数方程表示了直线或平面上的所有点，法向量方程则表示了垂直于直线或平面的向量。

5. 向量的投影：向量的投影是指将向量在某一方向上的投影长度。

投影可以用来计算两个向量之间的夹角，或者求解平面上的几何问题。

五、向量的物理应用1. 力学中的向量：在力学中，向量被用来表示物体的受力情况。

向量的实际背景及概念一、教材内容分析向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它是沟通代数、几何、三角的桥梁,对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。

向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，它的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，经过研究，建立起完整的知识体系后，向量又作为数学模型，广泛地运用于解决数学、物理学科及生活实际问题，因此它在整个高中数学中起到联系数形、跨越学科、承前启后的作用。

本节课是人教A版高中数学必修4第二章第一节，是平面向量的起始课，具有“统领全局”的作用。

本节课是概念课，但重要的不仅仅是向量的形式化定义及几个相关概念，还要让学生去体会如何用数学的观点刻画和研究现实事物，获得认识和研究数学新对象的基本思路和方法，进而提高提出问题、分析问题、解决问题的能力。

二、教学目标设置1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系3.经历平面向量及其相关概念的形成过程，初步体会学习新概念的基本思路，同时学生的观察、联系、类比、抽象、概括、归纳、实践等方面的能力都能得到一定程度培养和提高。

三、学生学情分析从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、单位长度、0和1的特殊性。

还有学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备。

从学生现有的学习能力看，学生已经具备了一定的抽象概括的能力，因此，可以尝试让学生从实际背景中抽象并概括出向量的概念。

学生在学习本节课内容过程中，对撇去实际背景后理解向量的概念，一时难以适应；向量的几何表示是向量概念的形象化（几何化），它是学生认识过程中的又一次飞跃，后继的向量运算，以及用向量方法解决几何问题，都是以此为基础。