向量的实际背景与概念

专题01向量的实际背景与概念复习与检测一、选择题1．下列说法错误的是（ ）A ．向量CD 与向量DC 长度相等B ．单位向量都相等C ．向量的模可以比较大小D ．任一非零向量都可以平行移动【答案】B【详解】A.CD 和DC 长度相等，方向相反，故正确；B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误；C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确；D.向量只与长度和方向有关，无位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确.故选：B.2．在等式①00a ⋅=; ①00a ⋅=；①()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；①22||a a =；①若a b a c ⋅=⋅，则b c =；正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【详解】零向量与任何向量的数量积都为0，00a ⋅=错误；0乘以任何向量都为零向量，00a ⋅=正确；向量的加减、数乘满足结合律，而向量点乘不满足结合律，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅错误；向量模的平方等于向量的平方，22||a a =正确；a b a c ⋅=⋅不一定有b c =，故错误；故选：C3．下列说法中正确的是（ ）A ．平行向量不一定是共线向量B ．单位向量都相等C ．若a b →→，满足a b →→>且a →与b →同向，则a b →→> D ．对于任意向量a b →→，，必有a b a b →→→→+≤+ 【答案】D【详解】解：对于A ，平行向量也叫共线向量，故A 不正确；对于B ，单位向量的模相等，方向不一定相同，故B 不正确；对于C ，因为向量有方向，所以向量不能比较大小，故C 不正确；对于D ，若a →与b →共线同向，则a b a b →→→→+=+，若a →与b →共线反向，则a b a b →→→→+<+， 若a →与b →不共线，则根据向量的加法的平行四边形法则和三角形法则中， 得出在三角形中两边之和大于第三边，则a b a b →→→→+<+，综上可知，对于任意向量a b →→，，必有a b a b →→→→+≤+，故D 正确. 故选：D.4．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．①两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．①若0a λ= (λ为实数)，则λ必为零．①λ，μ为实数，若a b λμ=，则a b ，共线．其中错误的命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【详解】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．①正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小． ①错误，当0a =时，不论λ为何值，0a λ=.①错误，当λ=μ=0时，0a b λμ==，此时，a 与b 可以是任意向量．故选C ．5．以下说法正确的是（ ）A ．空间异面直线的夹角取值范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．直线与平面的夹角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．二面角的取值范围是[]0,πD．向量与向量夹角的取值范围是0,【答案】C【详解】 A 项：空间异面直线的夹角取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，A 错误；B 项：直线与平面的夹角的取值范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B 错误； C 项：二面角的取值范围是[]0,π，C 正确；D 项：向量与向量夹角的取值范围是[]0,π，D 错误，故选：C.6．下列说法正确的是（ ）A ．单位向量都相等B ．若//a b ，则a b =C ．若a b =，则a b =D ．若λa b ，（0b ≠），则a 与b 是平行向量 【答案】D【详解】解：对于A ，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，所以A 错误；对于B ，当//a b 时，其模长a 与b 可能相等或a b λ=0λ≥，或b a λ=0λ≥，所以B 错误； 对于C ，当a b =时，不一定有a b =，因为a b =要a b =且a 与b 同向，所以C 错误；对于D ，λab ，（0b ≠），则a 与b 是平行向量，D 正确． 故选：D ． 7．下列各量中是向量的是（ ）A ．时间B ．速度C ．面积D ．长度【答案】B【详解】解：既有大小，又有方向的量叫做向量；时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故选：B ．8．下列命题中，正确的是A ．若||||a b =，则a b =B ．若a b =，则||||a b =C ．若||||a b >，则a b >D ．若||0a =，则0a =【答案】B【详解】 若||||a b =，但是两个向量的方向未必相同,所以a b =不一定成立,A 不正确;若a b =，则两向量的方向相同,模长相等,则||||a b =,B 正确;向量不能比较大小,C 不正确;若||0a =，则0a =,D,不正确.故选:B.9．下列四个命题正确的是（ ）A ．两个单位向量一定相等B ．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．共线的单位向量必相等D ．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同【答案】B【详解】解：两个单位向量一定相等错误，可能方向不同； 若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．故选：B ．10．下列关于向量的描述正确的是A ．若向量a ，b 都是单位向量，则a b =B ．若向量a ，b 都是单位向量，则1a b ⋅=C ．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量D ．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆【答案】D【详解】对于选项A ：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为1，方向不定，故向量a 和b 不一定相同，故选项A 错误；对于选项B ：因为cos cos a b a b θθ⋅=⋅⋅=，由[]cos 1,1θ∈-知，1a b ⋅=不一定成立，故选项B 错误； 对于选项C ：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C 错误；对于选项D ：因为所有单位向量的模为1，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为1的圆周上，故选项D 正确；故选：D. 二、解答题11．如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA a =，OB b =，OC c =，若||1a =，求正六边形的边长.【答案】1【详解】由题意，根据正六边形性质知，FOA ∆为等边三角形且||1a =， 所以正六边形的边长1AF a ==.12．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：（1）与AB →相等的向量共有几个；（2）与AB →方向相同且模为【答案】（1）5；（2）2.【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，AB →平行，则AB →==，（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，则与AB →相等的向量共有5个，如图1；（2）与AB →方向相同且模为2个，如图2.13．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：（1）OA，使|OA|＝，点A在点O北偏东45°；（2）AB，使AB＝4，点B在点A正东；（3）BC，使BC＝6，点C在点B北偏东30°.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如下图所示．（2）由于点B在点A正东方向处，且AB＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如下图所示．（3）由于点C在点B北偏东30°处，且BC＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为，于是点C 位置可以确定，画出向量BC 如下图所示．14．判断下列命题是否正确，请说明理由：（1）若向量a 与b 同向，且a b >，则a b >； （2）若向a b =，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； （3）对于任意向量a b =，若a 与b 的方向相同，则a =b ； （4）由于0 方向不确定，故0 不与任意向量平行； （5）向量a 与b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．【答案】（1）不正确，理由见解析 （2）不正确，理由见解析（3）正确，理由见解析 （4）不正确，理由见解析 （5） 不正确，理由见解析【详解】（1）不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小． （2）不正确．由|a b =只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系． （3）正确．因为|a b =，且a 与b 同向，由两向量相等的条件，可得a =b （4）不正确．依据规定：0与任意向量平行． （5）不正确．因为向量a 与b 若有一个是零向量，则其方向不定．15．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．（1）作出向量AB，BC，CD；（2）求AD的模．【答案】（1）见解析；（2）5AD=【详解】（1）作出向量AB，BC，CD；如图所示：（2）由题意得，①BCD是直角三角形，其中①BDC＝90°，BC＝米，CD＝10米，所以BD＝10米．①ABD是直角三角形，其中①ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝(米)，所以|5 AD=.试卷第11页，总11页。

6。

1 平面向量的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书—必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》,本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。

本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念,并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。

在“向量的物理背景与概念"中介绍向量的定义；在“向量的几何表示"中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量;在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量,共线向量定义等1。

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.2.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.多媒体意的,单位向量的方向具体而定.（2）注意:向量是不能比较大小的，但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的。

例1。

在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离(精确到1km）（三）。

相等向量与共线向量思考1:向量由其模和方向所确定.对于两个向量b a,，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？【答案】模相等，方向相同；模相等，方向不相同;模不相等，方向相同; 模不相等,方向不相同；1.平行向量定义：[来源：学科网ZXXK]通过例题进一步理解向量的概念，提高学生用向量解决问题的能力。

通过思考，引入平行向量，提高学生的理解问题的能力。

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ.2。

相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明:（1)向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等;（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线．．．．段的起点无关．．．．．．。

6.1平面向量的概念 (精讲）6.1.1向量的实际背景与概念6.1.2向量的几何表示6.1.3相等向量与共线向量目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1：向量的有关概念题型2：向量的几何表示角度1：向量的模角度2：零向量与单位向量题型3：相等向量与共线向量角度1：相等向量角度2：平行向量（共线向量）一、必备知识分层透析知识点1：向量的概念（1）向量在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.②向量与向量之间不能比较大小.（2）数量只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等（3）向量与数量的区别①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的).知识点2：向量的几何表示(1)有向线段具有方向的线段叫做有向线段①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以A为起点、B为终AB. 表点的有向线段记作AB(如图所示),线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作||示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头.②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.（2）向量的表示①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.②字母表示:向量可以用字母a,b,c,…表示（3）向量的模AB.向量AB的大小称为向量AB的长度(或称模),记作||（4）两种特殊的向量零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0.单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.与0的区别与联系,0是一个向量|0|；书写时0表示零向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a 与b 平行,记作a b .规定:零向量与任意即对于任意向量a ,都有0a .长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a 与b 相等,记作a b =.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量与有向线段的起点无关.）共线向量任一组平行向量都可以平移到同一条直线上共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合·高一课时练习）下列四个命题正确的是（ ）．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量．两个相等的向量起点、方向、长度必须都．（2022·全国·高一专题练习）下列命题中，正确的是||||a b =，则a b =．若a b =，则||||a b = ||||a b >，则a b > ||0a =，则0a = ．（2022·全国·高一假期作业）有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若||a b |=|，则a b =； ③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形；m n =，n k =，则m k =；⑤若//a b ，//b c ，则//a c ； ⑥有向线段就是向．（2022·高一课时练习）下列说法正确的是（．向量AB与向量BA的长度相等例题2．（BD=________.例题3．（·全国·高一专题练习）若在一个边长为的正三角形所对应的有向线段为AD（其中则向量AD的模的最小值为高一专题练习）如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行机飞行的路程为s，位移为a，那么（a aa a不能比大小2022·高一课时练习）已知在边长为ABCD中，∠，则BD=2022·高一课时练习）已知圆O的周长是，AB是圆O的直径，是圆周上一点，π=⊥CD=___________.,CD角度2：零向量与单位向量典型例题．向量就是有向线段>，则a b||||a b>．（2022秋·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（e=．单位向量均相等．单位向量1．零向量与任意向量平行．若向量a，b满足||||a b=，则a b=±．（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）下列说法错误的是（．若0a =，则0a =．零向量是没有方向的 ．（多选）（2022春·广东佛山向量的说法正确的是（ ）．单位向量：模为1的向量例题1．（2022春·广东揭阳·中，AB DC =，则下列向量相等的是（．AD 与CB．OC 与OA ．AC 与DB D ．DO OB =例题2．（2022·全国·高三专题练习）“a b =”是“||||a b =”的（ ．充分非必要条件B ．必要非充分条件 ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件例题3．（多选）（2022·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）||||a b =，则a b = B ．若a b ≠，则||||a b ≠||||a b =，则a 与b 可能共线||||a b ≠，则a 一定不与b 共线(1)分别写出与AO 、BO 相等的向量；写出与AO 共线的向量；写出与AO 的模相等的向量；写出与AO 的夹角为90︒的向量；向量AO 与CO 是否相等？（多选）（2022秋·浙江嘉兴若非零向量a ，b ，下列命题正确的是．若a b =，则a b =．若a b =，则a b = ．若//a b ，则a b = ．若a b =，则//a b．（多选）（2022秋·山东菏泽高一统考期中）设点O 是平行四边形ABCD 点，则下列结论正确的是（ ）．AO OC = B ．AO BO = ．AO BO = D ．AB 与CD 共线 ．（2022·高一课时练习）如图所示，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AB 中点.(1)写出与向量FC 共线的向量；(2)求证：BE FD =.4．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD 、BC 的中点，如图．(1)写出与向量FC 共线的向量；(2)求证：BE FD =．角度2：平行向量（共线向量）典型例题例题1．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知,,,A B C D 为平面上四点，则“向量AB CD ∥”是“直线AB CD ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例题2．（2022秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）①加速度是向量；②若//a b 且//b c ，则//a c ；③若AB CD =，则直线AB 与直线CD 平行．上面说法中正确的有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．3同类题型演练1．（2022秋·湖北·高一校联考期中）“//b a ”是“a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）命题：若//,//a b b c ，则//a c ，则命题为_______（填写：真命题或假命题）3．（2022·高一课时练习）已知命题“若//a b ，//b c ，则//a c ”是假命题，则b =__________.。

第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念1．丰富多彩的背景，引人入胜的内容．教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性，接着介绍了平面向量的有关知识．学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示．向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．最后介绍了平面向量的应用．2．教学的最佳契机，全新的思维视角．向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的．反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．这一章的内容虽然概念多，但大都有其物理上的来源，虽然抽象，却与图形有着密切的联系，向量应用的优越性也是非常明显的．全新的思维视角，恰当的教与学，使得向量不仅生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机．3．本章充分体现出新教材特点．以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容，注重向量运算与数的运算的对比，特别注意知识的发生过程．对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论．这一章中的一些例题，教科书不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法．解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题．对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力．向量的坐标实际上是把点与数联系起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题．4作者：赵勇，永安三中教师，本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖整体设计教学理念新的课程标准要求我们创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、合作交流和创新等过程，获得知识、能力、情感的全面发展．本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变．教学目标1．通过力的分析等实例，了解向量的实际背景；理解向量的概念．2．理解向量的几何表示；掌握零向量、单位向量、平行向量等概念；3．理解相等向量和共线向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量．教学重点、难点1．通过学生自主探究，并在教师的引导下，使学生理解向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等是本节课的重点．2．难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解．学情和教材分析《向量》是高中数学新教材必修四第二章第1节．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具．向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系．向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用．所以，向量是高考必考的重点内容，又因为其抽象性，它还是学生在学习中的一个难学内容．本节内容是向量一章的第一节课，因此，是十分关键、重要的一节课．教学准备多媒体课件教学过程导入新课位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．如图1，如何由点A确定点B的位置？图1一种常用的方法是，以A为参照点，用B点A点之间的方位和距离确定B点的位置．如，B点在A点东偏南45°，30千米处．这样，在A点与B点之间，我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置．有向线段AB就是A点与B点之间的位移．位移简明地表示了位置之间的相对关系．像位移这种既有大小又有方向的量，加以抽象，就是我们本章要研究的向量．推进新课新知探究本章引言中，我们知道，位移是既有大小，又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？图2请大家阅读课本2.1.1向量的物理背景与概念；2.1.2向量的几何表示．并回答下面问题： (1)什么是向量？向量和数量有何不同？ (2)向量如何表示？(3)什么是零向量和单位向量？ (4)什么是平行向量？待学生阅读完后，老师总结并展示课件： 1．什么是向量？向量和数量有何不同？(数量：只有大小，没有方向的量) 在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？ 数量有：质量、身高、面积、体积 向量有：重力、速度、加速度提问：角度，海拔，温度是向量吗？ 2．向量如何表示？(1)几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．图3 注：以A 为起点，B 为终点的有向线段记为AB →，线段AB 的长度记作|AB →|(读为模)； (2)也可以表示为a ，b ，c ，…，大小记作：|a|、|b|、|c |、…说明一：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置．所以数学中的向量也叫自由向量．如图4：它们都表示同一个向量．图4练习：向量AB →和BA →是同一个向量吗？为什么？ 不是，方向不同．探究：向量就是有向线段吗？有向线段就是向量吗？ 说明二：有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向．向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向．图5有向线段AB →、CD →是不同的．图6向量AB →、CD →是同一个向量． 3．什么是零向量和单位向量？零向量：长度为0的向量，记为0； 单位向量：长度为1的向量．注：零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的． 向量之间的关系： 4．什么是平行向量？方向相同或相反的非零向量叫平行向量． 注：1.若是两个平行向量，则记为a ∥b .2．我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a . 练习：判断下列各组向量是否平行？图7向量的平行与线段的平行有什么区别？ 练习：已知下列命题：(1)向量AB →和向量BA →长度相等；(2)方向不同的两个向量一定不平行；(3)向量就是有向线段；(4)向量0＝0；(5)向量AB →大于向量CD →.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B例1试根据图8中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A 地至B 、C 两地的位移，并求出A 地至B 、C 两地的实际距离(精确到1 km)．图8请同学们阅读课本2.1.3相等向量与共线向量，并回答问题：什么是相等向量和共线向量？待学生回答后，老师总结并展示课件： 5．什么是相等向量和共线向量？长度相等且方向相同的向量叫相等向量．a ＝b ＝c A 1B 1→＝A 2B 2→＝A 3B 3→＝A 4B 4→图9注：1.若向量a ，b 相等，则记为a ＝b ；2．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．平行向量也叫共线向量．注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上． 练习：判断下列命题是否正确：(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；(2)若|a|＝|b |，则a ＝b ；(3)若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；(4)平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(5)若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；(6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中不正确命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C练习：下列说法正确的是( ) A ．若|a|>|b|，则a>b B ．若|a |＝0，则a ＝0C ．若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ∥b ，则a ＝bE ．若a ＝b ，则|a|＝|b |F ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量G ．若a ＝0，则－a ＝0 答案：EG例2如图10，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的向量．图10解：OA →＝CB →＝DO →， OB →＝DC →＝EO →， OC →＝AB →＝ED →＝FO →.练习：如图11，EF 是△ABC 的中位线，AD 是BC 边上的中线，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：图11(1)与向量CD →共线的向量有________个，分别是________________________________；(2)与向量DF →的模一定相等的向量有________个，分别是______________________；(3)与向量DE →相等的向量有________个，分别是__________．答案：(1)7 DC →、DB →、BD →、FE →、EF →、CB →、BC → (2)5 FD →、EB →、BE →、EA →、AE →(3)2 CF →、FA →课堂小结 通过本节课的学习，要求大家能够理解向量的概念；掌握向量的几何表示；理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用．作业习题2.1A 组2,5设计思路1．首先先对本节课教材内容进行分析2．教材内容的安排和处理根据我所教学生的特点，我对教材进行了如下处理，先由物理中的位置关系导入新课，然后提出问题，并要求学生带着问题去阅读课本，最后由老师总结，并对概念进行概念辨析，以加大学生的思维的深度，拓宽了学生的视野，实现本节课难点的突破，整堂课充分发挥学生的主导作用．3．教法“问题是数学的灵魂，也是学好数学的必然手段”，本节课总体上以问题串的形式，设计为七问五练．着重抓四个知识点，突出学生的“主导地位”．并通过多媒体课件的演示，直观展示向量的有关内容，激发学生的兴趣．4．学法指导以问题为载体，通过提问、阅读、归纳，练习的过程，掌握思考、讨论、交流的学习方法，并体验探究和发现的乐趣．。

2.1平面向量的实际背景及基本概念一、教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.二、教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.三、教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.四、学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.五、教具：多媒体课件六、教学设计：（一）、情景设置：（1）在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？（2）现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等。

在数学上，如何正确理解、区分这些量呢？（二）、新课学习：1、图片展示：物理中常见的浮力、压力、压力等，提问：这些力有什么共同特征？（学生答）他们都是有大小和方向的量。

（板书1）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

提问：向量和数量一样吗？它们有什么区别？（学生答）向量：既有大小，又有方向的量。

数量：只有大小，没有方向的量。

思考:时间,路程,功是向量吗?速度,加速度是向量吗?总结：向量的两要素：大小、方向2、探究学习：如何表示向量？由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，…而且不同的点表示不同的数量。

对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向。

有向线段：在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设A 为起点，B 为终点，我们就说线段AB 具有方向。

第一节向量及其运算复习目标学法指导1.平面向量的实际背景及基本概念(1)向量的物理背景与概念向量的概念.(2)向量的几何表示零向量、单位向量、向量模的概念.(3)相等向量、平行向量、共线向量的概念.2.平面向量的线性运算(1)①向量加法的定义及几何意义.②向量加法的交换律和结合律.(2)①相反向量的概念.②向量减法的定义及几何意义.(3)①向量的数乘运算.②向量数乘运算的几何意义. 1.熟记概念,对于概念中的前提条件引起重视.2.解决向量的概念问题要注意两点,一是考虑大小,更要考虑方向;二是考虑零向量的特殊性.3.向量的线性运算,要在所表达的图形上多思考、多联系相关几何图形.一、平面向量的有关概念1.向量的有关概念(1)定义既有大小又有方向的量叫做向量.(2)表示方法①用字母表示:如a,b,c等;②用有向线段表示:有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.如AB u u u r,CD u u u r等.(3)模向量的大小叫做向量的模,记作|a|,|b|或|AB u u u r|,|CD u u u r|.2.特殊向量相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为01.概念理解(1)仅从向量的模定义零向量和单位向量,它们方向不确定,因此解题时注意特殊性.(2)按照方向相同或相反定义平行向量和共线向量,因此两个向量方向相同或相反即可判定是否为共线向量.2.与零向量有关的结论(1)零向量与任意向量为共线向量;(2)0·a=0.二、平面向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|=|λ||a|.当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb概念理解(1)利用三角形法则进行加法运算时,要注意两向量的首尾相连,在几何图形中求和向量时,一般要进行向量的平移让两个向量首尾相连.(2)减法运算必须要求两向量有相同起点,差向量即为从减数终点指向被减数终点的向量,如:AB u u u r-AC u u u r= CB u u u r.三、共线向量定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa. 1.概念理解(1)向量的平行和直线平行不同,两向量所在直线重合也可以称平行向量.(2)注意定理中a ≠0的条件. 2.与共线向量相关联的结论(1)若a,b,c 均不为零向量,则平行具有传递性. (2)在a(a ≠0)方向上的单位向量:a a.(3)利用共线向量定理证明三点共线的步骤: 第1步:三点构造两个向量; 第2步:证明两向量之间成倍数关系.1.如图,e 1,e 2为互相垂直的单位向量,则向量a-b 可表示为( C )(A)3e 2-e 1 (B)-2e 1-4e 2 (C)e 1-3e 2 (D)3e 1-e 2解析:由题图可知a=-4e 2,b=-e 1-e 2, 则a-b=e 1-3e 2. 故选C.2.设两个非零向量e 1和e 2,且e 1与e 2不共线,AB u u u r =e 1-e 2, BC u u u r=3e 1+2e 2,CD u u u r=-8e 1-2e 2,则下列三点共线的是(D )(A)A,B,C (B)A,B,D (C)B,C,D (D)A,C,D 解析:AB u u u r =e 1-e 2,AC u u u r =AB u u u r + BC u u u r=4e 1+e 2, 因为AC u u u r=-12CD u u u r,且有公共点C,所以A,C,D 三点共线.故选D.3.在△ABC 中,点M,N 满足AM u u u u r =2MC u u u u r ,BN u u u r =NC u u u r .若MN u u u u r =x AB u u u r +y AC u u u r,则x= ,y= . 解析:由题中条件得MNu u u u r =MC u u u u r +CN u u u r=13ACu u u r+12CB u u u r =13AC u u u r +12(AB u u u r -AC u u u r)=12AB u u u r -16ACu u u r=x AB u u u r +y AC u u u r,所以x=12,y=-16. 答案:12 -16考点一 平面向量的基本概念 [例1] (1)下列有关向量相等的命题: ①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D 是不共线的四点,则AB u u u r =DC u u u r是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若a=b,b=c,则a=c;④a=b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b. 其中正确命题的序号是( )(A)②③ (B)①② (C)③④ (D)②③④(2)设a,b 都是非零向量,则“a=2b ”是“a a=b b”成立的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(3)下列与共线向量有关的命题:①相反向量就是方向相反的向量;②若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;③λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线;④两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件.其中错误命题的序号为.(填序号)解析:(1)①不正确.两个向量的长度相等,它们的方向不一定相同.②正确.因为AB u u u r=DC u u u r,所以|AB u u u r|=|DC u u u r|且AB u u u r∥DC u u u r,又A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则AB u u u r∥DC u u u r且|AB u u u r|=|DC u u u r|,AB u u u r与DC u u u r方向相同,因此,AB u u u r= DC u u u r.③正确,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c 的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且|a|=|b|,不一定a=b,也可以是a=-b.故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③.解析:(2)因为aa =bb,则向量a与向量b方向相同,但它们的模没有关系.因此“a=2b”是“aa =bb”成立的充分不必要条件.故选A.解析:(3)①不正确.相反向量满足方向相反,长度相等.②不正确,两向量不能比较大小;③不正确.当λ=μ=0时,a与b可能不共线;④正确.答案:(1)A (2)A (3)①②③(1)相等向量具有传递性,共线向量不具有传递性,只有当非零向量之间才具有传递性.(2)注意0的特殊性,验证命题为假命题时,通常采用举反例的方式,在向量概念问题的判定上,反例通常可以选取0.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量相等.下列命题中正确的个数为( B )①向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;②若向量a与b满足a+b=0,则a与b共线;③若向量a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等;④设e为单位向量,若a与e平行,则a=|e|·a.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①不正确,若向量a与向量b中有一个为零向量,则两个向量方向不一定相同或相反;③不正确,因为|a+b|≤|a|+|b|,所以|a+b|与|a|+|b|不一定相等;④正确,因为|e|=1,所以a=|e|a成立.故选B.考点二平面向量的线性运算[例2] 下列各式不能化简为PQ u u u r的是( )(A)AB u u u r+(PA u u u r+ BQ u u u r)(B)(AB u u u r+PC u u u r)+(BA u u u r-QC u u u r)(C)QC u u u r-QP u u u r+CQ u u u r(D) PA u u u r+AB u u u r-BQ u u u r解析:选项A,AB u u u r+(PA u u u r+BQ u u u r)= AB u u u r+BQ u u u r+PA u u u r=AQ u u u r+PA u u u r=PQ u u u r;选项B,( AB u u u r+PC u u u r)+(BA u u u r-QC u u u r)=(AB u u u r+BA u u u r)+(PC u u u r-QC u u u r)=PQ u u u r;选项C,QC u u u r-QP u u u r+CQ u u u r=QC u u u r+CQ u u u r- QP u u u r= PQ u u u r;选项D,PA u u u r+ AB u u u r-BQ u u u r=PB u u u r-BQ u u u r得不到PQ u u u r.故选D.三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法,在运算时,要注意两种法则的适用条件.在三棱锥O-ABC中,若D为BC的中点,则AD u u u r等于( C )(A)12OAu u u r+12OCu u u r-OBu u u r(B)12OAu u u r+12OBu u u r+OCu u u r(C)12OBu u u r+12OCu u u r-OAu u u r(D)12OB u u u r +12OC u u u r +OA u u u r解析:如图根据向量加法三角形法则,AD u u u r =12(AC u u u r +AB u u u r )=12(OC u u u r -OA u u u r +OB u u u r -OA u u u r),所以AD u u u r =12OC u u u r+12OB u u u r-OA u u u r.故选C.考点三 共线向量定理及应用 [例3] 设两个非零向量a 与b 不共线, (1)若AB u u u r =a+b,BC u u u r =2a+8b,CD u u u r=3(a-b), 求证:A,B,D 三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b 和a+kb 同向. (1)证明:因为AB u u u r =a+b,BC u u u r =2a+8b,CD u u u r=3(a-b), 所以BD u u u r =BC u u u r +CD u u u r=2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b =5(a+b)=5AB u u u r. 所以AB u u u r,BD u u u r 共线, 又因为它们有公共点B, 所以A,B,D 三点共线. (2)解:因为ka+b 与a+kb 同向,所以存在实数λ(λ>0),使ka+b=λ(a+kb), 即ka+b=λa+λkb.所以(k-λ)a=(λk-1)b.因为a,b 是不共线的两个非零向量,1,10,k k λλ-=⎧⎨-=⎩解得1,1k λ=⎧⎨=⎩或1,1,k λ=-⎧⎨=-⎩ 又因为λ>0,所以k=1.(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别:只有两向量有公共点且共线时,才能得出三点共线.(2)a 与b 共线是指存在不全为零的λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0,若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则a 与b 不共线.1.设a,b 是不共线的两个非零向量,若OA u u u r=ka+12b,OB u u u r =4a+5b,OC u u u r=-ka+10b,且点A,B,C 三点共线,则k= .解析:AB u u u r =OB u u u r -OA u u u r=(4-k)a-7b,CB u u u r =OB u u u r -OC u u u r=(4+k)a-5b,因为A,B,C 三点共线,所以44k k -+=75--,k=-23. 答案:-232.在△ABC 所在平面内有一点P,如果PA u u u r +PB u u u r +PC u u u r =AB u u u r,则△PAB 与△ABC 的面积之比是 . 解析:因为PA u u u r +PB u u u r +PC u u u r =AB u u u r =PB u u u r -PA u u u r, 所以2PA u u u r +PC u u u r=0,PC u u u r =-2PA u u u r =2AP u u u r ,所以点P 是线段AC 的一个靠近点A 的三等分点. 所以△PAB 与△ABC 的面积之比是1∶3.答案:1∶3类型一平面向量的基本概念1.以下给出了4个命题:(1)两个长度相等的向量一定相等;(2)相等的向量起点必相同;(3)若a·b=a·c,且a≠0,则b=c;(4)若向量a的模小于b的模,则a<b.其中正确命题共有( D )(A)3个(B)2个(C)1个(D)0个解析:长度相等方向相同的向量是相等向量,故(1)错误;根据相等向量的定义知,相等向量起点不一定相同,故(2)错误;因为a·b=a·c,所以a·(b-c)=0,又因为a≠0,所以必有a⊥(b-c),而b=c不一定成立,故(3)错误;向量不能比较大小,故(4)错误.故选D.2.如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若AC u u u r=λAM u u u u r+μBD u u u r (λ,μ∈R),则λ+μ等于( B )(A)43(B)53(C)158(D)2解析:根据向量的平行四边形加法法则,AC u u u r =AB u u u r +AD u u u r, 又根据向量的三角形加法法则,AMu u u u r =AB u u u r +AM u u u u r =AB u u u r +12BC u u ur =AB u u u r +12AD u u u r ,BD u u u r =AD u u u r -AB u u u r ,所以AC u u u r =λAM u u u u r +μBD u u u r= λ(AB u u u r +12AD u u u r 0+μ(AD u u u r -AB u u u r )=(λ-μ)AB u u u r +(12λ+μ)AD u u u r, 所以1,11,2λμλμ-=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得4,31,3λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以λ+μ=53. 故选B.类型二 平面向量的线性运算3.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F,若AC u u u r=a,BD u u u r =b,则AF u u u r等于( B )(A)14a+12b (B)23a+13b (C)12a+14b (D)13a+23b 解析:AF u u u r =AD u u u r +DF u u u r,DE ∶BE=1∶3=DF ∶AB,所以DF u u u r =13AB u u ur ,所以AF u u u r=12a+12b+13(12a-12b)=23a+13b. 故选B.4.在△ABC 中,G 为△ABC 的重心,D 在边AC 上,且CD u u u r =3DA u u u r,则( B )(A)GD u u u r =13AB u u u r +712AC u u u r(B)GD u u u r=-13AB u u u r -112AC u u u r(C)GD u u u r =-13AB u u u r +712AC u u u r (D)GD u u u r=-13AB u u u r+112AC u u u r解析:如图所示,GD u u u r =GA u u u r +AD u u u r,AG u u u r =23×12(AB u u u r +AC u u u r)=13(AB u u ur +AC u u u r ),AD u u u r =14ACu u ur .所以GD u u u r=-(13AB u u u r+13AC u u u r)+14AC u u u r=-13AB u u u r-112AC u u u r. 故选B.5.任意四边形ABCD 中,E,F 分别是AD,BC 的中点,则EF u u u r= (用向量AB u u u r,DC u u u r表示).解析:因为EF u u u r =EA u u u r +AB u u u r +BF u u u r,EF u u u r =ED u u u r +DC u u u r +CF u u u r ,所以2EF u u u r =AB u u u r +DC u u u r +BF u u u r +CF u u u r +EA u u u r +ED u u u r =AB u u u r +DC u u u r, 所以EF u u u r =12(AB u u u r +DC u u u r). 答案:12(AB u u u r+DC u u u r) 类型三 共线向量定理6.已知O 为△ABC 内一点,且AO u u u r =12(OB u u u r +OC u u u r ),AD u u u r =t AC u u u r,若B,O,D 三点共线,则t 等于( B ) (A)14(B)13(C)12(D)23解析:设E 是BC 边的中点, 则12(OB u u u r +OC u u u r )=OE u u u r,由题意得AO u u u r =OE u u u r,所以AO u u u r =12AE u u ur =14(AB u u u r +AC u u u r )=14AB u u u r +14AD tu u ur ,又因为B,O,D 三点共线,所以14+14t =1,解得t=13, 故选B.7.已知点P 是△ABC 所在平面内一点,边BC 的中点为D,若2PD u u u r=(1-λ)PA u u u r +CB u u ur ,其中λ∈R,则P 点一定在( C )(A)AB 边所在的直线上 (B)BC 边所在的直线上 (C)AC 边所在的直线上 (D)△ABC 的内部 解析:因为D 为边BC 的中点, 所以2PD u u u r =PB u u u r +PC u u u r=(1-λ)PA u u u r +CB u u u r=(1-λ)PA u u u r+PB u u u r -PC u u u r, 即2PC u u u r=(1-λ)PA u u u r, 故A,P,C 三点共线,即点P 在AC 边所在的直线上. 故选C.8.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若OA u u u r -4OB u u u r +3OCu u u r=0,则AB BCu u u r u u u r 等于( A )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析:由OA u u u r-4OB u u u r+3OC u u u r=0,得OA u u u r -OB u u u r =3(OB u u u r -OC u u u r ),即BA u u u r =3CB u u u r, 所以AB u u u r =3BC u u u r, 所以|AB u u u r |=3|BC u u u r|, 所以AB BCu u u r u u u r =3.故选A.。

平面向量的实际背景及基本概念教学设计本节课的内容是数学必修4，第二章《平面向量》的引言和第一节平面向量的实际背景及基本概念两部分，所需课时为1课时。

一教材分析向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。

向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。

向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。

本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。

本节概念课，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能二学情分析在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。

三目标定位根据以上的分析，本节课的教学目标定位：1）、知识目标⑴通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；⑵学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；⑶理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。

2）、能力目标培养用联系的观点，类比的方法研究向量；获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；3）、情感目标使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。

重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程；四、教学过程概述：4.1 向量概念的形成4.1.1 让学生感受引入概念的必要性引子：章节引言意图：向量概念不是凭空产生的。

用这一简单直观的问题让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容，学生会有亲切感，有助于激发学习兴趣。

《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标1. 让学生理解平面向量的实际背景，了解向量在现实生活中的应用。

2. 掌握平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法、相等向量、相反向量等。

3. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘等。

4. 培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力。

二、教学内容1. 向量的实际背景：介绍向量在物理学、工程学等领域的应用，如力的表示、位移的表示等。

2. 向量的定义：介绍向量的概念，强调向量是有大小和方向的量。

3. 向量的表示方法：介绍向量的表示方法，包括箭头表示法、坐标表示法等。

4. 相等向量、相反向量：介绍相等向量和相反向量的概念，强调它们的性质和运算规律。

5. 向量的线性运算：介绍向量的加法、减法和数乘运算，包括运算规则、运算性质等。

三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出向量的概念和运算规律。

2. 利用多媒体辅助教学，通过动画、图片等形式展示向量的实际背景和运算过程。

3. 采用小组讨论、合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。

4. 结合例题讲解，让学生通过实践操作理解和掌握向量的运算方法和技巧。

四、教学评估1. 通过课堂提问、作业批改等方式及时了解学生的学习情况，发现问题并及时解决。

2. 设计一些实际问题，让学生运用所学的向量知识解决，评估学生对知识的掌握程度。

3. 组织课堂讨论，评估学生的参与程度和团队协作能力。

五、教学资源1. 多媒体教学课件：包括向量的实际背景图片、向量运算的动画演示等。

2. 教材：提供相关章节的学习材料，供学生预习和复习使用。

3. 练习题库：提供丰富的练习题，包括填空题、选择题、解答题等，用于巩固所学知识。

4. 参考资料：提供一些相关的研究论文、书籍等，供有兴趣深入学习的学生参考。

六、教学安排1. 课时安排：本章节共需4课时，每课时45分钟。

2. 课堂活动安排：第一课时：向量的实际背景介绍，向量的定义和表示方法学习。