2.1平面向量的实际背景及基本概念知识点归纳与练习(含详细答案).doc

姓名，年级：时间：2．1 平面向量的实际背景及基本概念[教材研读]预习课本P74～76，思考以下问题1．向量是如何定义的?向量与数量有什么区别？2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些?3．两个向量（向量的模）能否比较大小？4．零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别? 5．如何判断相等向量或共线向量?向量错误!与向量错误!是相等向量吗？［要点梳理］1．向量的概念和表示方法（1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)向量的表示2.向量的长度（或称模）与特殊向量（1)向量的长度(或模)定义：向量的大小叫做向量的长度(或模）．（2)向量的长度表示：向量错误!,a的长度分别记作：|错误!|，|a｜。

(3）特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0；②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．3．向量间的关系（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量,记作:a ＝b。

（2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．［自我诊断]判断(正确的打“√"，错误的打“×”)1．两个向量能比较大小．（)2．向量的模是一个正实数．（)3．单位向量的模都相等．( ）4．向量错误!与向量错误!是相等向量．( )［答案］1。

×2。

× 3.√ 4.×错误!思考：已知下列各量:①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移;⑦加速度；⑧重力;⑨路程;⑩密度．其中是数量的有__________，是向量的有__________．提示:②④⑤⑨⑩①③⑥⑦⑧下列说法正确的有__________．（填序号)①若｜a|＝｜b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；②若|a｜＝｜b|，且a与b的方向相同，则a＝b；③由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；④向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反；⑤起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量．［思路导引] 利用向量的有关概念逐一判断．[解析] ①不正确．由|a|＝｜b|只能判断两向量长度相等,不能确定它们方向的关系．②正确．因为|a｜＝｜b｜，且a与b同向，由两向量相等的条件,可得a＝b.③不正确．依据规定：0与任一向量平行．④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．⑤正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．[答案] ②⑤解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,如:共线向量的核心是方向相同或相反,长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0;规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．［跟踪训练]下列说法错误的有__________．（填上你认为所有符合的序号)①两个单位向量不可能平行；②两个非零向量平行，则它们所在直线平行;③当两个向量a，b共线且方向相同时，若｜a｜〉｜b｜，则a>b.[解析］①错误，单位向量也可以平行；②错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；③错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．[答案] ①②③错误!思考：向量就是有向线段，这种说法对吗？提示:不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1）,用直尺和圆规画出下列向量:（1）错误!,使|错误!|＝4错误!，点A在点O北偏东45°；（2)错误!，使｜错误!|＝4，点B在点A正东；（3)错误!，使｜错误!|＝6，点C在点B北偏东30°。

平面向量的实际背景及基本概念1．向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)向量的表示：表示法几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如AB，…字母表示：用小写字母a，b，c，…表示，手写时必须加箭头[点睛]向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．2．向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．(2)向量的长度表示：向量AB，a的长度分别记作：|AB|，|a|.(3)特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0；②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．[点睛]定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．3．向量间的关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．[点睛]共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．向量的有关概念[典例]有下列说法：①向量AB和向量BA长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．[活学活用]有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4向量的表示[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[活学活用]一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量AB，BC，CD，AD.共线向量或相等向量[典例]如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC相等的向量．2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？层级一学业水平达标1．下列说法正确的是()A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量3．向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的为() A．向量AC与向量AB一定同向B．向量AC，向量AB，向量BC一定共线C．向量AC与向量BC一定相等D．以上说法都不正确4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE平行的向量有()A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知向量a，b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的单位向量，则下列各式正确的是()A．AO＝BO B．AO＝BO或AO＝－BOC．AO＝1 D．|AO|＝|BO|6．已知|AB|＝1，|AC|＝2，若∠ABC＝90°，则|BC|＝________.7．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．9.如图，O是正方形ABCD的中心．(1)写出与向量AB相等的向量；(2)写出与OA的模相等的向量．10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB.(2)求B地相对于A地的位移．层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是() A．AD＝BC B．AC＝BDC．PE＝PF D．EP＝PF2．下列说法正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．终点相同的两个向量不共线C ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线D ．单位向量的长度为1 3．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式： ①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1. 其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．③④D ．②③4．在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，则如图所示的向量中相等向量有( )A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组5．四边形ABCD 满足AD ＝BC ，且|AC |＝|BD |，则四边形ABCD 是______(填四边形ABCD 的形状)．6.如图，O 是正三角形ABC 的中心，四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形，则与向量AD 相等的向量为________；与向量OA 共线的向量为__________；与向量OA 的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)7．如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点． (1)写出图中所示向量与向量DE 长度相等的向量． (2)写出图中所示向量与向量FD 相等的向量．(3)分别写出图中所示向量与向量DE ，FD 共线的向量．8．如图，已知函数y ＝x 的图象l 与直线m 平行，A ⎝⎛⎭⎫0，－22，B (x ，y )是m 上的点．求(1)x ，y 为何值时，AB ＝0； (2)x ，y 为何值时，AB 为单位向量．。

五、平面向量1．向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。

(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

平面向量的实际背景及基本概念[学习目标] 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．知识点一 向量的概念数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、体积等)称为数量．注意：①向量的两个要素：大小和方向，缺一不可．解题时，注意从两个要素出发考虑问题． ②数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．思考 已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度． 其中是数量的有________________，是向量的有________________．答案 ②④⑤⑨⑩ ①③⑥⑦⑧知识点二 向量的表示方法(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.(2)向量的字母表示：向量可以用字母a, b, c ，…，表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用a →，b →，c →)．(3)向量AB →的大小：也就是向量AB →的长度(或称模)，即有向线段AB →的长度，记作|AB →|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．思考 在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是________．答案 单位圆知识点三 相等向量与共线向量(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．①记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b .②规定：零向量与任一向量平行．(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．思考 向量平行具备传递性吗？答案 向量的平行不具备传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，则未必有a ∥c ，这是因为，当b ＝0时，a 、c 可以是任意向量，但若b ≠0，必有a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c .因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”．题型一 向量的基本概念例1 判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；②若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；④若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0；⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .解 两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a 与b 有共线的可能，故①不正确．②AB →＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故②不正确．③在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，③正确．④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确．⑤a ＝b ，则|a |＝|b |且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |且b 与c 方向相同，则a 与c 方向相同且模相等，故a ＝c ，⑤正确．若b ＝0，由于a 的方向与c 的方向都是任意的，a ∥c 可能不成立；b ≠0时，a ∥c 成立，故⑥不正确．跟踪训练1 下列说法正确的有________．(1)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；(2)向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上；(3)向量AB →与BA →是平行向量；(4)任何两个单位向量都是相等向量．答案 (3)解析 (1)错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系．(2)错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB →、CD →必须在同一直线上，因此点A 、B 、C 、D 不一定在同一条直线上．(3)正确．向量AB →和BA →是长度相等，方向相反的两个向量．(4)错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．题型二 向量的表示及应用例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →；(2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD .∴四边形ABCD 为平行四边形．∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略)．题型三 平行向量与共线向量例3 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →的模大小相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点， 所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →.(3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →.跟踪训练3 如图，已知四边形ABCD 为▱ABCD ，则(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)与OA →的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)写出与AB →共线的向量．解 (1)与OA →的模相等的向量有AO →，OC →，CO →三个向量．(2)与OA →的模相等且方向相反的向量为OC →，AO →.(3)与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.对向量的有关概念理解不清致误例4下列说法正确的个数是()①向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．A．1 B．2 C．3 D．4错解向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同(包括起点、终点)，同起点共线向量不是平行向量．答案B或C或D错因分析对共线向量的概念理解不清，零向量与任一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同．正解事实上，对于①，由于零向量与任意向量都共线，因此①不正确；对于②，由于向量都是自由向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故②不正确；对于④，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故④不正确；a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则，不妨设a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，从而③正确．答案 A1．下列说法错误的是()A ．若a ＝0，则|a |＝0B ．零向量是没有方向的C ．零向量与任一向量平行D ．零向量的方向是任意的2．下列说法正确的是( )A ．若|a |>|b |，则a >bB ．若|a |＝|b |，则a ＝bC ．若a ＝b ，则a 与b 共线D ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线3．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( )A.AB →＝DC →B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →>DC →D.AB →<DC →4.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．(1)写出与AF →、AE →相等的向量；(2)写出与AD →模相等的向量．5．如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是AD ，BC 上的点且CN →＝MA →，求证：四边形DNBM 是平行四边形．一、选择题1．下列条件中能得到a ＝b 的是( )A ．|a |＝|b |B ．a 与b 的方向相同C ．a ＝0，b 为任意向量D ．a ＝0且b ＝02．下列说法正确的是( )A ．若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c3．命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ”( )A ．总成立B ．当a ≠0时成立C ．当b ≠0时成立D ．当c ≠0时成立 4．如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则图中相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OB →与OD →C.AC →与BD →D.AO →与OC →5．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1，其中正确的是( )A ．①④B ．③C ．①②③D ．②③6．判断下列命题中不正确的是命题个数为( )①若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ；②若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；③对于任意|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；④向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题7．若对任意向量b ，均有a ∥b ，则a 为________．8．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号)9．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为________．10．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD →|＝________.三、解答题11．一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地．(1)画出AD →，DC →，CB →，AB →；(2)求B 地相对于A 地的位置向量．12．如图，已知AA ′—→＝BB ′—→＝CC ′—→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′；(2)AB →＝A ′B ′——→，AC →＝A ′C ′———→.13．O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图所示的向量中：(1)分别找出与AO →，BO →相等的向量；(2)找出与AO →共线的向量；(3)找出与AO →模相等的向量；(4)向量AO →与CO →是否相等？当堂检测答案1．答案 B解析 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B 是错误的．2．答案 C解析 A 中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a |>|b |，但a 与b 的方向不确定，不能说a >b ，A 不正确；同理B 错误；D 中，a ≠b ，a 可与b 共线．故选C.3．答案 B解析 |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．4.解 (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →.(2)DA →，CF →，FC →.5．证明 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ，BC 平行且相等．又∵CN →＝MA →，∴四边形CNAM 为平行四边形，∴AN ，MC 平行且相等，∴DN ，MB 平行且相等，∴四边形DNBM 是平行四边形．当堂检测答案一、选择题1．答案 D2．答案 D3．答案 C解析 当b ＝0时，不一定成立，因为零向量与任何向量都平行．4．答案 D解析 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 、BD 互相平分，∴AO →＝OC →.5．答案 B解析 a 为任一非零向量，故|a |＞0.6．答案 C解析 ①不正确．因为向量是不同于数量的一种量．它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确．②不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，并不能判断方向．③正确．∵|a |＝|b |，且a 与b 同向．由两向量相等的条件可得a ＝b .④不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不确定．二、填空题7．答案 零向量8．答案 ①③④解析 相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④成立．9．答案 菱形解析 ∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC∴四边形ABCD 是平行四边形，∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形．10．答案 2 3解析 易知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC 与BD 交于点O ，则AO ＝12AB ＝1.在Rt △ABO 中，易得|BO →|＝3，∴|BD →|＝2|BO →|＝2 3.三、解答题11．解 (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示．(2)由题意知AD →＝BC →，∴AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．12．证明 (1)∵AA ′—→＝BB ′—→，∴|AA ′—→|＝|BB ′—→|，且AA ′—→∥BB ′—→.又∵A 不在BB ′—→上，∴AA ′∥BB ′.∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形．∴|AB →|＝|A ′B ′———→|.同理|AC →|＝|A ′C ′———→|，|BC →|＝|B ′C ′———→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′———→，且|AB →|＝|A ′B ′———→|.∴AB →＝A ′B ′———→.同理可证AC →＝A ′C ′———→.13．解 (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →.(2)与AO →共线的向量有BF →，CO →，DE →.(3)与AO →模相等的向量有：CO →，DO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →.(4)向量AO →与CO →不相等，因此它们的方向不相同．班级工作计划15机电班，作为一个全男生班，管理上要特别对待。

平面向量讲义§2.1平面向量的实际背景及基本概念1．向量：既有，又有的量叫向量．2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作．3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为的向量叫做零向量，记作．(2)单位向量：长度为的向量叫做单位向量．(3)相等向量：且的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作．②规定：零向量与平行．考点一向量的有关概念例1判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a≠b，则a一定不与b共线；②若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形中，一定有＝；④若向量a与任一向量b 平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.变式训练1判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a与b同向，且>，则a>b；(2)若向量＝，则a与b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意＝，且a与b的方向相同，则a＝b；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．考点二向量的表示方法例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100到达D点．(1)作出向量、、；(2)求|.考点三相等向量与共线向量例3如图所示，O是正六边形的中心，且＝a，＝b，＝c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．§2.2平面向量的线性运算1．向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝＋＝.(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B 三点不共线，以，为邻边作，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝.(2)结合律：(a＋b)＋c＝.3.相反向量(1)定义：如果两个向量长度，而方向，那么称这两个向量是相反向量．(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝.②若a，b互为相反向量，则a＝，a＋b＝.③零向量的相反向量仍是．4.向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的．(2)作法：在平面内任取一点 O ，作＝a ，＝b ，则向量 a －b ＝.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点 为，被减向量的终点为的向量．例如：－＝.5．向量数乘运算实数 λ 与向量 a 的积是一个，这种运算叫做向量的，记作，其长度与方向规定如下： (1)|λ＝.(2)λa (a ≠0)的方向错误!；特别地，当 λ＝0 或 a ＝0 时，0a ＝或 λ0＝.6．向量数乘的运算律 (1)λ(a μ)＝.(1)(λ＋μ)a ＝. (3)λ(a ＋b )＝.特别地，有(－λ)a ＝＝； λ(a －b )＝.7．共线向量定理向量 a (a ≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使．8．向量的线性运算向量的、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a 、b ，以及任意实数 λ、μ 、μ ，恒 有λ(μ a ±μ b )＝.考点一 运用向量加法法则作和向量例 1如图所示，已知向量 a 、b ，求作向量 a ＋b .变式训练 1 如图所示，已知向量 a 、b 、c ，试作和向量 a ＋b ＋c .考点二 运用向量加减法法则化简向量 例 2 化简：（1）＋；(2)＋＋；(3)＋＋＋＋. （4）(－)－(－)．(5)(－)－(－)； （6）(＋＋)－(－－)．1 212变式训练2如图，在平行四边形中，O是和的交点．(1)＋＝；(2)＋＋＝；(3)＋＋＝；(4)＋＋＝.变式训练3如图所示，O是平行四边形的对角线、的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.考点三向量的共线例3设e，e是两个不共线的向量，若向量m＝－e＋(k∈R)与向量n＝e－2e共线，则121221()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝变式训练4已知△的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则( )A．P在△内部B．P在△外部C．P在边上或其延长线上D．P在边上考点四：三点共线例4两个非零向量a、b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)求实数k使＋b与2a＋共线．变式训练5已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( ) A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D变式训练 6 已知平面内 O ，A ，B ，C 四点，其中 A ，B ，C 三点共线，且＝＋，则 x ＋y ＝.§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理 (1)定理：如果 e ，e 是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量 a ，实数 λ ，λ ， 使 a ＝.(2)基底：把的向量 e ，e 叫做表示这一平面内向量的一组基底．2.两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个和 b ，作＝a ，＝b ，则＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量 a 与 b 的夹角． ①范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是． ②当 θ＝0°时，a 与. ③当 θ＝180°时，a 与.(2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是，则称 a 与 b 垂直，记作．3．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个，j 作为基 底，对于平面内的一个向量 a ，有且只有一对实数 x ，y 使得 a ＝，则叫作向量 a 的坐标，叫 作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A (x ，y )，则＝，若 A (x ，y )，B (x ，y )，则＝. 4．平面向量的坐标运算(1)若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a ＋b ＝，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标 的和．(2)若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a －b ＝，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标 的差．(2)若 a ＝(x ，y )，λ∈R ，则 λa ＝，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相 应坐标．5．两向量共线的坐标表示 设 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )． (1)当 a ∥b 时，有． (2)当 a ∥b 且 x y ≠0 时，有．即两向量的相应坐标成比例．6．若＝λ，则 P 与 P 、P 三点共线． 当 λ∈时，P 位于线段 P P 的内部，特别地 λ＝1 时，P 为线段 P P 的中点； 当 λ∈时，P 位于线段 P P 的延长线上； 当 λ∈时，P 位于线段 P P 的反向延长线上．考点一 对基底概念的理解1 2 1 2 1 21 12 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2例 1 如果 e ，e 是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe ＋μe (λ、μ∈R )可以表示平面 α 内的所有向量；②对于平面 α 内任一向量 a ，使 a ＝λe ＋μe 的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量 λ e ＋μ e 与 λ e ＋μ e 共线，则有且只有一个实数 λ，使得 λ e ＋μ e ＝λ(λ e ＋μ e )；④若存在实数 λ，μ 使得 λe ＋μe ＝0，则 λ＝μ＝0. A ．①②B ．②③C ．③④D ．②变式训练 1 设 e 、e 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 与 e ＋e ；②e －2e 与 e －2e ； ③e －2e 与 4e －2e ；④e ＋e 与 e －e . 其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是．(写出所有满足条件的序号)考点二 用基底表示向量例 2 .如图，梯形中，∥，且＝2，M 、N 分别是和的中点，若＝a ，＝b 试用 a ，b 表示、、变式训练 2 如图，已知△中△ ，D 为的中点，E ，F 为的三等分点，若＝a ，＝b ，用 a ，b 表 示，，.考点三 平面向量基本定理的应用例 3 如图所示， △在中，点 M 是的中点，点 N 在边上，且＝2，与相交于点 P ，求证：∶ ＝4∶1.变式训练 3 如图所示，已知△中，点 C 是以 A 为中点的点 B 的对称点，＝2，和交于点 E ， 设＝a ，＝b .(1)用 a 和 b 表示向量、； (2)若＝λ，求实数 λ 的值．1 212 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 22 12 21 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2考点四平面向量的坐标运算例4已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求(1)－；(2)＋2；(3)－.变式训练4已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.考点五平面向量的坐标表示例5已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.变式训练5设i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，a＝i－(2m－1)j，b＝2i＋(m∈R)，已知a∥b，求向量a、b的坐标．考点六平面向量坐标的应用例6已知的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求顶点D的坐标．变式训练6已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．考点七平面向量共线的坐标运算例7已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？变式训练7已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？考点八平面向量的坐标运算例8已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线上，且|＝2|，求点P的坐标．变式训练8已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，|＝2，求点B的坐标．考点九利用共线向量求直线的交点例9如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求与的交点P 的坐标．变式训练9平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线上，且＝，连接，点E在上，且＝，求E点坐标．§2.4 平面向量的数量积1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a · b ， 即 a · b ＝ θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为．(3)投影：设两个非零向量 a 、b 的夹角为 θ，则向量 a 在 b 方向的投影是，向量 b 在 a 方向 上的投影是．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积 a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积．3．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝(交换律)； (2)(λa )· b ＝＝(结合律)； (3)(a ＋b )· c ＝(分配律)．4．平面向量数量积的坐标表示 若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a·b ＝. 即两个向量的数量积等于．5．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )， 则 a ⊥ b .6．平面向量的模(1)向量模公式：设 a ＝(x ，y )，则＝. (2)两点间距离公式：若 A (x ，y )，B (x ，y )，则|＝.7．向量的夹角公式 设两非零向量 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，a 与 b 的夹角为 θ，则 θ＝＝.考点一 求两向量的数量积例 1 已知＝4，＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与 b 的夹角为 30°时，分别求 a 与 b 的数 量积．变式训练 1 已知正三角形的边长为 1，求： (1)· ；(2)· ；(3)·.考点二 求向量的模长1 12 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2例2已知＝＝5，向量a与b的夹角为，求＋，－.变式训练2已知＝＝1，|3a－2＝3，求|3a＋.考点三向量的夹角或垂直问题例3设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m 的夹角．变式训练3已知＝5，＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量－b与a＋2b垂直？考点四向量的坐标运算例4已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.变式训练4若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝；a·(b·c)＝.考点五向量的夹角问题例5已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．变式训练5已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．考点六向量数量积坐标运算的应用例6已知在△中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，为边上的高，求|与点D的坐标．变式训练6以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直△角，∠B＝90°，求点B和的坐标．§2.5平面向量应用举例1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔⇔.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔⇔.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式θ＝＝.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：＝.2．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．(1)相同点：力和向量都既要考虑又要考虑．(2)不同点：向量与无关，力和有关，大小和方向相同的两个力，如果不同，那么它们是不相等的．3．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是．(4)功即是力F与所产生位移s的．考点一三角形问题例1点O是三角形所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△的()A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点变式训练1在△中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则边的中线的长是()A．2C．3变式训练2若O是△所在平面内一点，且满足－|＝＋－2|，△则的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形变式训练3设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，△则的形状一定是．考点二向量的计算例2已知平面上三点A、B、C满足|＝3，|＝4，|＝5.则·＋·＋·＝.变式训练4如图，在△中，点O是的中点，过点O的直线分别交直线、于不同的两点M、N，若＝，＝，则m＋n的值为．考点三向量的应用例3两个大小相等的共点力F，F，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的12夹角为120°时，合力大小为()A．40N B．10N C．20N D．10N变式训练5在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为．。

名称定义向量既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或称模) 零向量长度为零的向量叫作零向量，其方向是任意的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这两个向量叫作平行向量，平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量易误提醒1．对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行．(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．2．单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制．[自测练习]1．若向量a与b不相等，则a与b一定( )A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量解析：若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．答案：C2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k( )A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线解析：可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D 正确．答案：D向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫作a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb易误提醒1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点． 2．数乘向量仍为向量只是模与方向发生变化，易认为数乘向量为实数．[自测练习]3．已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么下列各式中正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC →B.AB →＝12BC →＋DA →C.AD →－DC →＝AC → D ．2CD →＋BA →＝CA →解析：本题考查向量的线性运算．A 错，应为AB →＋AC →＝2AD →；B 错，应为12BC →＋DA →＝BD →＋DA →＝BA →；C 错，应为AC →＝AD →＋DC →；D 正确，2CD →＋BA →＝CB →＋BA →＝CA →，故选D.答案：D知识点三 共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 易误提醒1．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 2．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． 必记结论 三点共线等价关系：A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[自测练习]4．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－13考点一 向量的基本概念|1．已知a ，b ，c 是任意向量，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ∥b ，则a ，b 方向相同或相反； ③若a ＝－b ，则|a |＝|b |；④若a ，b 不共线，则a ，b 中至少有一个为零向量，其中正确命题的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：按照平面向量的概念逐一判断．若b ＝0，则①②都错误；若a ＝－b ，则|a |＝|b |，③正确；若a ，b 不共线，则a ，b 中一定没有零向量，④错误，所以正确命题只有1个．答案：D2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( ) A ．a ＝2b B ．a ∥b C ．a ＝－13bD ．a ⊥b解析：由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a ，b 共线且方向相反，因此当向量a ，b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立．对照各个选项可知，选项A中向量a ，b 的方向相同，选项B 中向量a ，b 共线，方向相同或相反，选项C 中向量a ，b 的方向相反，选项D 中向量a ，b 互相垂直，故选C.答案：C解决向量的概念问题应关注五点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(5)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．考点二 平面向量的线性运算|(1)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →[解析] 由题意得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →，故选A.[答案] A(2)(2015·东北三校联考(二))已知在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________. [解析] 因为AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB→－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.[答案]3平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合平行四边形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．1．设O 为△ABC 内部的一点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为( )A.32 B.53 C ．2D ．1解析：取AB 的中点E ，连接OE ，则有OA →＋OB →＋2OC →＝2(OE →＋OC →)＝0，OE →＋OC →＝0，所以E ，O ，C 三点共线，所以有△AEO 与△BEO 面积相等，因此△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为1，故选D.答案：D考点三 共线向量定理的应用|设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. [解析] 由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.[答案]21．共线向量定理的应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a，b不共线，则λa＋μb＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB→＝λAC→，则A、B、C三点共线．2．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，AF→＝3e1－k e2，且A，C，F三点共线，求k的值．解：(1)证明：AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，∴AC→＝AB→＋BC→＝4e1＋e2，又CD→＝－8e1－2e2，∴CD→＝－2AC→，∴AC→与CD→共线．又∵AC→与CD→有公共点C，∴A，C，D三点共线．(2)∵AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，∴AC→＝AB→＋BC→＝3e1－2e2.∵A，C，F三点共线．∴AC →∥AF →，从而存在实数λ，使得AC →＝λAF →. ∴3e 1－2e 2＝3λe 1－λk e 2， 又e 1，e 2是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，－2＝－λk ，因此k ＝2.∴实数k 的值为2.13.方程思想在平面向量呈线性运算中的应用【典例】 如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.[思路点拨] (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)既然OM →能用a ，b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． [解] 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋m b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C ，M ，B 三点共线， ∴CM →与CB →共线．∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[方法点评] (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A ，M ，D 三点共线和B ，M ，C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．[跟踪练习] 如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n＝________.解析：由GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D (图略)，则CH →＝12CG→＝13CD →＝16(CA →＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.答案：6课时跟踪检测 A 组 考点能力演练1．关于平面向量，下列说法正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．平面内的单位向量是唯一的C ．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D ．共线向量就是相等向量解析：对于A ，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 不正确；对于B ，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B 不正确；对于C ，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C 正确；对于D ，由共线向量和相等向量的定义可知D 不正确，故选C.答案：C2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( ) A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA →－OB →D ．－OA →＋2OB →解析：因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.答案：C3．已知在△ABC 中，M 是BC 的中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( ) A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析：AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a .答案：A4.(2015·海淀期中)如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋32BD →＝AB →＋32(AD →－AB →)＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n＝32，所以m －n ＝－2. 答案：B5．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 的起点相同，已知a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在同一条直线上，则t ＝( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 解析：设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，则AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t a －a .要使A ，B ，C 三点共线，只需AC →＝λAB →，即－23a ＋13b ＝λt b －λa 即可，又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12，∴当三个向量的终点在同一条直线上时，t ＝12.答案：A6．(2016·长沙一模)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)解析：在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC→＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)．答案：12(5e 1＋3e 2)7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.解析：因为a 与b 共线，所以a ＝x b ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，λx ＝－1，故λ＝－12.答案：－128.已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，如图所示，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，O 是坐标原点，则|OA →|的最大值为________．解析：因为点G 是△ABC 的外心，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，所以点G 是BC 的中点，△ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角．又GA →，GB →，GC →是三个单位向量，所以BC ＝2，又△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧．又|GA →|＝1，所以当OA 经过BC 的中点G 时，|OA →|取得最大值，且最大值为2|GA →|＝2.答案：29．已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．10．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心． 解：如图，记AM →＝AB→|AB→|，AN →＝AC→|AC→|，则AM →，AN →都是单位向量，∴|AM →|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．B 组 高考题型专练1．)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC → 解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →，故选C. 答案：C2．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2解析：对于A 选项，设向量a ，b 的夹角为θ，∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≤|a ||b |，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a ，b 反向时，|a －b |≥||a |－|b ||，∴B 选项错误；对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，故D 选项正确，综上选B.答案：B3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案：124．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.解析：∵AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，∴a ＝12AB →，b ＝BC →，又△ABC 是边长为2的等边三角形，∴|a |＝1，|b |＝2，故①正确，②错误，③错误；由b ＝BC →，知b ∥BC →，故④正确；∵4a ＋b ＝2AB →＋BC →＝AB →＋AC →，∴(4a ＋b )·BC →＝(AB →＋AC →)·BC →＝－2＋2＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确．答案为①④⑤.答案：①④⑤。

平面向量重要知识点1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，向量是可以平移的，（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是||AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

提醒平行向量无传递性！（因为有0r )2.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

3、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ：当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反4、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：（2）平面向量的数量积：规定：零向量与任一向量的数量积是0注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

（3）b 在a 上的投影为||cos b θr ，它是一个实数，但不一定大于0。

（4）a •b 的几何意义：数量积•等于的模||a r 与在上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则：①0a b a b ⊥⇔•=r r r r ；②当a ，b 同向时，a •b ＝a b r r ，特别地，22,a a a a a =•==r r r r r ；当a 与b 反向时，•＝－a b r r ；当θ为锐角时，•＞0，且 a b r r 、不同向，0a b ⋅>r r 是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，•＜0，且 a b r r 、不反向，0a b ⋅<r r 是θ为钝角的必要非充分条件； ③非零向量，夹角θ的计算公式：cos a b a bθ•=r r r r ；④||||||a b a b •≤r r r r 。

1.何表示．212．向量可以用有向线段AB →表示，也可用字母表示，印刷中用黑体小写字母a ，b ，c ，…表示，书写时，可以用带箭头的小写字母a →，b →，c →，…表示．3．表示向量的有向线段的长度，叫向量的模，模为零的向量叫零向量；模为1的向量叫单位向量．4．模相等、方向相同的向量叫相等向量；方向相同或相反的两个向量叫平行向量，也一、选择题1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个答案：A解析：速度、位移、力、加速度，这4个物理量是向量，它们都有方向和大小．2．已知D 为平行四边形ABPC 两条对角线的交点，则|PD →||AD →|的值为( ) A.12 B.13C ．1D ．2答案：C解析：因为四边形ABPC 是平行四边形，D 为对角线BC 与AP 的交点，所以D 为P A的中点，所以|PD →||AD →|的值为1. 3．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a |>|b |，则a >bD ．单位向量的长度为1答案：D解析：A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．4．如图，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量答案：C5．下列命题正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ＝bB ．若a ≠b ，则|a |≠|b |C ．若|a |＝|b |，则a 与b 可能共线D ．若|a |≠|b |，则a 一定不与b 共线答案：C解析：因为向量既有大小又有方向，只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A 错误．两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B 错误．不论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C 正确，D 错误．6．给出下列四个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③设a 0是单位向量，若a ∥a 0，且|a |＝1，则a ＝a 0；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：①不正确．两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②正确．根据向量相等的定义判定．③不正确．a 与a 0均是单位向量，a ＝a 0或a ＝－a 0.④不正确．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ，b 同向．二、填空题7．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 是________．答案：梯形8．给出下列四个条件：(1)a ＝b ；(2)|a |＝|b |；(3)a 与b 方向相反；(4)|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________．答案：(1)(3)(4)解析：若a ＝b ，则a 与b 大小相等且方向相同，所以a ∥b ；若|a |＝|b |，则a 与b 的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a ∥b ；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a 与b 方向相反，则有a ∥b ；零向量与任意向量平行，所以若|a |＝0或|b |＝0，则a ∥b . 9.如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则(1)与AO →相等的向量有________；(2)与AO →共线的向量有________；(3)与AO →模相等的向量有________个．答案：(1)BC →，OD →，FE →；(2)BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，EF →，OA →，AD →，DA →；(3)23解析：根据向量的相关概念，可得(1)与AO →相等的向量有BC →，OD →，FE →；(2)与AO →共线的向量有BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，EF →，OA →，AD →，DA →；(3)正六边形的每一条边和每一条中心与顶点连成的线段，长度与AO →的模都相等，这样的线段共有12条，再注意到方向，共24个向量，除去AO →本身，满足条件的向量有23个．三、解答题10．已知在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，求AD →与BC →分别满足什么条件时，四边形ABCD满足下列情况．(1)四边形ABCD 是等腰梯形；(2)四边形ABCD 是平行四边形．解：(1)|AD →|＝|BC →|，且AD →与BC →不平行．∵AB →∥CD →，∴四边形ABCD 为梯形或平行四边形．若四边形ABCD 为等腰梯形，则|AD →|＝|BC →|，同时两向量不共线．(2)AD →＝BC →(或AD →∥BC →)．若AD →＝BC →，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD 为平行四边形．11．一架飞机向北飞行了300 km ，然后又向西飞行了300 km.(1)飞机飞行的路程是多少？(2)两次飞行结束后，飞机在出发地的什么方位？距离出发地多远？(保留根号)解：(1)300＋300＝600(km)，飞机飞行的路程是600 km.(2)两次飞行结束后，飞机在出发地的西北方向(或北偏西45°)，距离出发地300 2 km.12．如图所示的4×5的矩形(每个小方格都是正方形)，与AB →相等，并且要求向量的起点和终点都在方格的顶点处的向量可以作出________个．答案：3 13．如图，已知正比例函数y ＝x 的图象m 与直线n 平行，A ⎝⎛⎭⎫0，－22、B (x ，y )是直线n 上的两点，问：(1)x 、y 为何值时，AB →＝0?(2)x 、y 为何值时，AB →为单位向量？解：(1)已知点B (x ，y )是直线n 上的动点，要使得AB →＝0，必须且只需点B (x ，y )与A 重合，于是x ＝0，y ＝－22，即当x ＝0，y ＝－22时，AB →＝0. (2)如图，要使得AB →是单位向量，必须且只需|AB →|＝1.由已知m ∥n 且A ⎝⎛⎭⎫0，－22， ∴点B 1的坐标是⎝⎛⎭⎫22，0. 在Rt △AOB 1中，有|AB 1→|2＝|OA →|2＋|OB 1→|2＝1.上式表明，向量AB 1→是单位向量，同理可得，当点B 2的坐标是⎝⎛⎭⎫－22，－2时，向量AB 2→也是单位向量． 综上，有当x ＝22，y ＝0或x ＝－22，y ＝－2时，AB →为单位向量．。

第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念1．向量的概念既有大小又有__________的量叫做向量．只有大小没有方向的量称为数量，如长度、质量、面积、体积等；而向量是不仅有大小而且有方向的量，如位移、速度、加速度、力等．数量可进行代数运算，向量不能比较大小．大小是向量的代数特征，方向是几何特征，即向量具有代数与几何的双重特征．温馨提示：（1）向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度．记作__________．（2）零向量：长度为0的向量．记作__________．0的方向是__________．（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做__________．2．向量的表示法（1）几何表示：用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的__________，箭头所指的方向表示向量的__________．（2）字母表示：用加粗的单个小写字母表示．要注意手写体a与印刷体a的不同．3．相等向量和共线向量（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做__________．若向量a、b相等，则记作a b．（2）共线向量：方向__________的__________向量叫做平行向量，也叫__________．向量a、b平行，记作//a b．规定：零向量与__________平行，即对任一向量a，都有0//a．4．平面向量和空间向量向量是既有大小又有方向的量，向量的引入实现了几何问题代数化．使得许多复杂问题得以迎刃而解，其实高中阶段，我们学习的向量主要有平面向量与空间向量，它们之间有着许多类似之处，现在我们已经学习了平面向量的有关知识，我们可以类比空间向量的有关知识．类比点平面向量空间向量定义在平面中，既有大小又有方向的量在空间中，具有大小和方向的量几何表示法用有向线段表示用有向线段表示字母表示法用小写字母表示或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母来表示相等向量长度相等并且方向相同的平面向量长度相等并且方向相同的空间向量共线向量方向相同或相反的非零平面向量方向相同或相反的非零空间向量空间向量往往是解立体几何的好工具，利用向量的加、减、乘可以表示很多几何意义，尤其是建立了空间坐标系之后，可以用向量求角度或证垂直等，而平面向量有时能单独出题，这相比较于空间向量，则很少单独考査．K知识参考答案：1．方向（1）AB（2）0，任意的（3）单位向量2．（1）大小方向3．（1）相等向量（2）相同或相反非零共线向量任一向量K—重点1．掌握向量的模，零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．2．会区分平行向量、相等向量和共线向量．K—难点了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示．K—易错会区分平行向量、相等向量和共线向量．1．向量的有关概念（1）向量的模①用有向线段表示向量时，向量AB的大小就是对应有向线段的长度，也叫做向量AB的模，记作AB．②AB的取值范围为[0，+ ）．③向量由模、方向来确定，由于方向不能比较大小，因此向量不能比较大小，故故不能用“>”“<”连接，但向量的模是数量，可以比较大．（2）零向量零向量是从长度这个角度进行定义的，不涉及方向．因此，零向量的方向不确定．（3）单位向量模长为1的向量，叫单位向量，单位向量a仅具备|a|=1，方向由具体的向量确定．【例1】下列说法正确的是A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为0D．任意两个零向量方向相同【答案】C【解析】零向量的长度为0，方向不确定，故A，B，D错误．【名师点睛】零向量是特殊向量，只是限制了向量的模为0，但方向不确定．2．向量的表示法（1）几何表示：向量一般用带箭头的有向线段表示，如图中的向量AB．（2）字母表示：向量用起点和终点的字母表示时，起点在前终点在后，上方的箭头不能丢掉，如AB．（3）向量与有向线段的区别和联系：①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的．②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．【例2】已知圆心为O的O上有三点A、B、C，则向量BO、OC、OA是A．有相同起点的相等向量B．长度为1的向量C．模相等的向量D．相等的向量【答案】C【解析】圆的半径||BO OC OAr===，不一定有r=1，故选C．||||【名师点睛】用有向线段表示向量的步骤：3．相等向量和共线向量（1）共线向量（也称平行向量）向量“共线”的含义不是平面几何里的“共线”的含义．向量中的共线包含基线平行和重合两种情况．（2）相等向量①用有向线段表示向量时，向量与有向线段的起点位置没有关系，即同向且等长的有向线段都表示同一向量．因此，我们用有向线段表示向量时，可以根据题意选择合适的起点．②用有向线段的起点和终点的字母表示向量时，一定要注意搞清字母顺序，起点在前，终点在后，例如AB与BA是大小相等，方向相反的两个向量．③如图，虽然下列向量的起点与终点不同，但表示同一向量．由此可知，向量是可以自由平移的．【例3】下面命题说法正确的个数是（1）向量a、b共线，向量b、c共线，则a与c也共线；（2）任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；（3）向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；（4）有相同起点的两个非零向量不平行．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【例4】如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，AB ，BC ，CD ，EF ，DE ，FA 中与OA 共线的向量有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】C【答案】在向量OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，AB ，BC ，CD ，EF ，DE ，FA 中与OA 共线的向量有：向量OD ，BC ，EF ．故选C ．【名师点睛】共线向量和相等向量的判断及应用1．利用向量相等可以证明线段相等或直线平行，但需说明两向量所在的直线无公共点．用平行向量可证明（判断）直线平行，但证明直线平行时，除说明向量平行外还需说明向量所在的直线无公共点． 2．三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则简便得多用向量法证明三点共线的常用方法是：（1）证明由三点中任意两点构造的两个不同向量平行； （2）说明平行的两向量有公共点．【例5】 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC 、BD 的交点，设点集{}S A B C D O =，，，，，向量集合{|}T MN M N S M N =∈，，且，不重合．试求集合T 中元素的个数．【错解】由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB，AC，AD，AO；BA，BC，BD，BO；CA，CB，CD，CO；DA，DB，DC，DO；OA，OB，OC，OD．因此集合T中共有20个元素．【错解辨析】由于方向相同、长度相等的有向线段表示同一向量，应注意AB与DC，AD与BC，DA与CB，BA与CD，AO与OC，OA与CO，DO与OB，OD与BO在集合T中分别只能算作一个元素．【名师点睛】平曲向量的实际背景及概念是向量的基础内容，是高中数学从“数”到“形”的转折点，单独考査的情况并不多见，多与几何知识综合考査，难度不大，多以选择题或填空题出现，解决此类问题的关键是要把握住图形的特点，能用“数”解“形”，实现两者完美结合．1．判断下列命题正确的个数是（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．A．0 B．1 C．2 D．32．下列说法正确的是A．向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上B．向量//a b，则a与b的方向相同或相反C．向量AB的长度与向量BA的长度相等D．单位向量都相等3．下列命题正确的是A．单位向量都相等B．模为0的向量与任意向量共线C．平行向量不一定是共线向量D．任一向量与它的相反向量不相等4．若AB AD=且BA CD=，则四边形ABCD的形状为A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形5．若AB AD=且BA CD=，则四边形ABCD的形状为A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形6．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是__________．7．如图，AD是ABC△的边BC上的高，BE是边AC上的中线，问线段AD、BE是否可以表示向量．8．如图，正方体''''-的棱长为1，求向量AB的模、AC的模以及AC'的模．ABCD A B C D9．若m∥n，n∥k，则向量m与向量kA．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线10．下面有5个命题：①单位向量的模都相等．②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量．③若a与b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b．④两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．⑤对任意非零向量a，b必有|a+b|≤|a|+|b|．其中正确的命题序号是A．①③⑤B．④⑤C．①④⑤D．②④11．下列命题正确的是A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B．单位向量都相等C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D．共线向量一定在同一直线上12．下面命题说法正确的个数是（1）向量a、b共线，向量b、c共线，则a与c也共线；（2）任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；（3）向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；（4）有相同起点的两个非零向量不平行．A．1 B．2 C．3 D．413．如图，△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中，（1）与向量FE共线的有__________．（2）与向量DF的模相等的有__________．（3）与向量ED相等的有__________．14．在如图所示的向量a，b，c，d，e中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量：（1）是共线向量的有__________；（2）是相反向量的为__________；（3）相等向量__________；（4）模相等的向量有__________．15．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：（1）与AO相等的向量有__________；（2）写出与AO共线的向量有__________；（3）写出与AO的模相等的向量有__________；（4）向量AO与CO是否相等？答：__________．16．如图，在长、宽、高分别为AB=3，AD=2，AA1=1的长方体ABCD–A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，（1）单位向量共有多少个？（2）试写出模为5的所有向量；（3）试写出与AB相等的所有向量；（4）试写出AA的相反向量．117．如图，已知在四边形ABCD中，M、N分别是BC，AD的中点，又AB DC=．=．求证：CN MA1 2 3 4 5 9 10 11 12C C B C CD C C A1．【答案】C【解析】（1）错．有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来．（2）错．零向量有方向，是任意的．（3）对．（4）对．3．【答案】B【解析】在A中，单位向量大小相等都是1，但方向不同，故单位向量不一定相等，故A错误；在B中，零向量与任意向量共线，故B正确；在C中，平行向量一定是共线向量，故C错误；在D中，零向量与它的相反向量相等，故D错误．故选B．4．【答案】C【解析】∵BA CD =，∴四边形ABCD 为平行四边形，又∵||||AB AD =，∴平行四边形ABCD 为菱形． 5．【答案】C【解析】∵BA CD =，∴四边形ABCD 为平行四边形，又∵AB AD =，∴四边形为菱形．7．【答案】不能表示向量．【解析】辨别某个量是不是向量，就是要看这个量是否具有“大小”和“方向”两个要素．具有这两个要素的量是向量，否则，这个量不是向量． 8．【答案】1AB =， 2AC =，'3AC =【解析】∵正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1， ∴1AB =，22 112AC =+ 22'||213AC CC AC '=+=+=9．【答案】D【解析】m ∥n ，n ∥k ，若n =0，则向量m 与向量k 可以不共线，当n ≠0，则向量m 与向量k 共线，故选D ． 10．【答案】C【解析】①单位向量的模均为1，故①正确；②共线包括同向和反向，故②不正确；③向量不能比较大小，③不正确；④根据向量的表示，④正确；⑤由向量加法的三角形法则知⑤正确．故选C ． 11．【答案】C【解析】在A 中，当b =0时，a 与c 不一定共线，故A 错误；在B 中，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故B 错误；在C 中，由零向量与任意向量都共线，得到向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，故C 正确；在D 中，共线向量都平行于同一直线，不一定在同一直线上，故D 错误．故选C ． 12．【答案】A【解析】对于（1），由于零向量与任意向量共线，因此（1）不正确；对于（2），若能注意到向量都是自由向量，则两个相等向量可以在同一直线上，故（2）不正确；对于（4），向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故（4）不正确；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则，不妨设a为零向量，则//a b，与a、b不共线矛盾，从而（3）正确．13．【答案】（1）BC、BD、DC、CB、DB、CD；（2）CE，EA，EC，AF；（3）AF，FB．（3）∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB且DE=12 AB，则与向量ED相等的有AF，FB．14．【答案】（1）a∥d，e∥b；（2）a，d；（3）不存在；（4）a，c，d．【解析】观察图形可知，（1）a∥d，e∥b，是共线向量；（2）a和d大小相等，方向相反，是相反向量；（3）没有大小相等，方向相同的向量，所以不存在相等向量；（4）由勾股定理可得模相等的向量有a，c，d．15．【答案】（1）BF；（2）DE，CO，BF；（3）DE，DO，AE，CO，CF，BF，BO；（4）不相等．【解析】由图可知，（1）与AO相等的向量，即大小相等，方向相同的向量有BF；（2）与AO共线的向量，即方向相同或相反的向量有DE，CO，BF；（3）与AO的模相等的向量有DE，DO，AE，CO，CF，BF，BO；（4）模相等，方向相反，故AO与CO不相等．16．【答案】答案详见解析．（3）与向量AB 相等的所有向量（除它自身之外）共有11A B 、DC 及11D C ，共3个． （4）向量1AA 的相反向量为1A A 、1B B 、1C C 、1D D ，共4个．17．【答案】证明详见解析．【解析】∵AB DC =，∴AB DC =且//AB DC ．∴四边形ABCD . 为平行四边形．从而AD BC =，又M 、N 分别是BC 、AD 的中点，于是12AN AD =，12MC BC =，∴AN MC =，又∵//AN MC ，∴四边形AMCN 是平行四边形．∴CN MA =．。

高二数学下册平面向量的实质背景及基本观点知识点数学在科学发展和现代生活生产中的应用特别宽泛，小编准备了高二数学下册平面向量的实质背景及基本观点知识点，详细请看以下内容。

1、数目与向量的差别：数目只有大小，是一个代数目，能够进行代数运算、比较大小;向量有方向，大小，两重性，不可以比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示;②用字母 a、 b(黑体，印刷用 )等表示 ;③用有向线段的起点与终点字母：;④向量的大小―― 长度称为向量的模，记作| |.3.有向线段：拥有方向的线段就叫做有向线段，三个因素：起点、方向、长度.向量与有向线段的差别：(1)向量只有大小和方向两个因素，与起点没关，只需大小和方向同样，则这两个向量就是同样的向量;(2)有向线段有起点、大小和方向三个因素，起点不一样，只管大小和方向同样，也是不一样的有向线段.4、零向量、单位向量观点：①长度为 0 的向量叫零向量，记作0. 0 的方向是随意的.注意 0 与 0 的含义与书写差别.②长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都不过限制了大小.5、平行向量定义：①方向同样或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0 与任一直量平行 .说明： (1)综合①、②才是平行向量的完好定义;(2) 向量 a、b、c 平行，记作a∥ b∥ c.6、相等向量定义：长度相等且方向同样的向量叫相等向量.说明：(1)向量 a 与 b 相等，记作 a=b;(2) 零向量与零向量相等;(3)随意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，而且与有向线段的起点没关.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是由于任一组平行向量都可移到同向来线上 (与有向线段的起点没关).我国古代的念书人,从上学之日起 ,就日诵不辍 ,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌 ,琅琅上口 ,成为博学多才的文人。

平面向量的实际背景及基本概念【学习目标】1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法． 3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量． 4．理解两个向量共线的含义． 【要点梳理】 要点一：向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量。

要点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移。

（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素。

（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小。

要点二：向量的表示法1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。

2．向量的表示方法：(1)字母表示法：如,,,a b c r r rL 等．(2)几何表示法：以A 为始点，B 为终点作有向线段AB u u u r（注意始点一定要写在终点的前面）。

如果用一条有向线段AB u u u r 表示向量，通常我们就说向量AB u u u r ．要点诠释：（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性。

应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段。

由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

要点三：向量的有关概念1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度)． 要点诠释：（1）向量r a 的模||0 ra 。

（2）向量不能比较大小，但||ra 是实数，可以比较大小。

2．零向量：长度为零的向量叫零向量．记作0r，它的方向是任意的。

3．单位向量：长度等于1个单位的向量． 要点诠释：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同。