向量的实际背景及基本概念

2.1平面向量的实际背景 及基本概念
主讲人:王海田老师
北
前言:
西
Ａ 南
东 Ｂ
位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表 示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置. 如图,如何由A点确定B点的位置? 一种常用的方法是,以A点为参照点,用B点与A点之间 的方位和距离确定B点的位置,如,B点在A点南偏东45度,30 千米处.这样在A点与B点之间,我们可以用有向线段AB表示 . A B , AB B点相对于A点的位置.有向线段AB就是A点与B点之间的 位移.位移简明地表示了位置之间的相对关系.像位移这种 既有大小又有方向的量,加以抽象,就是我们本章将要研究 的向量. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有深刻的几 何背景,是解决几何问题的有力工具.向量是沟通代数、几 何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在 数学和物理学科中具有广泛的应用。 那么你能举出一些这样既有方向，又有大小的量吗？
练习
练习： 练习： （1）下列各量中是向量的是（ B ） ）下列各量中是向量的是（ A．动能 B．重力 ． ． C．质量 D．长度 ． ．
F （2）等腰梯形 ABCD ，对角线 AC BD相交于点腰 AD 、 上， 过点 P且 EF // AB ，则下列等式正 确的是（ 确的是（ D ） A． AD = BC B．AC = BD ． ．
× ×
零向量 零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什 ）若两个向量在同一直线上，
例
的中心， 例2．如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中 ．如图，
OB 、 相等的向量． OC 相等的向量． 与向量OA 、
解： = CB = DO OA OB = DC = EO

在相等向量旳定义下，任意两个相等旳非 零向量，都可用同一条有向线段表达，而 且与有向线段旳起点无关，在平面上，两 个长度相等且指向一致旳有向线段表达同 一种向量，因为向量完全由它旳方向和模 拟定
如图，a, b, c 是一组平行向量，任作一条与 所分在别直作线出平: O行A旳= 直a 线OlB，=在bl上O任C取= c点O这，则就可是在说l
既有大小，又有方向旳量叫做向量（物理学 中称为矢量） 只有大小，没有方向旳量（如年龄、身高长度 等）叫做数量（物理学中称为标量）
巩固与练习
例1 说说向量与数量旳区别与联络。
主要旳是向量不能够比较大小，而数量能够比 较大小；但是向量旳模是非负数，所以能比较 大小
例3 请同学们思索“向量就是有向线段，有向线段就
任一组平行向量都能够移动到同一条直线上，
所以，平行向量也叫做共线向量。
a
b
c
CO
l BA
巩固与练习
例：如图，D,E ,F分别是等腰Rt△ABC旳各边中点， ∠BAC=90℃。 （1）分别写出图中与向量 DE, FD长度相等旳向量。 （2）分别写出图中与向量 DE,FD 相等旳向量。 （3）分别写出图中与向量 DE, FD 共线旳向量。
是向量”旳说法对吗？
错，有向线段只是向量旳表达，并不是说向量就
是有向线段
next
例2 列物理量不是向量旳是（ ）
① 质量 ② 速度 ③ 位移 ④ 力
⑤ 加速度 ⑥ 旅程 ⑦ 密度
⑧功 next
二、向量旳几何表达
1、数量旳表达：因为实数与数轴上旳点一一相应 所以数量经常用数轴上旳一种点表达。而 且不同旳点表达不同旳数量
向量能够用有向线段表达，于是：
向量AB 旳大小，也就是向量AB 长度（或称模）

注：向量与数量的区分 ①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比 较大小.
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量． 注：向量与数量的区分
①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比 较大小.
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
注：我们所学的向量常被称为自由向量.
1、有向线段的三要素：起点、方向、长度
B（终点）
向量就是有向线段么？
2、向量的表示
A（起点）
（1）向量的几何表示：可以用有向线段表示.
（2）向量的符号表示：①
a
,
b
,
c
,
. . .印刷体可
当堂测试
1、下列物理量中， 不能称为向量的是
（）
A．距离 B．加速度 C．力 D．位移
2、下列四个命题正确的是
（）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都 相同
3、下列说法错误的是
（）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
。② 以用黑体表示向量 AB CD ，
模 向量| AB | 的 长度（大小）就是向量 | AB |的模，
注：向量的模是可以比较大小的。
零向量 :长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
记作 | AB |
注：零向量也有方向，并且规定零向量的方向是任意的 单位向量 ：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.

关系，没有大小之分，“对于向量 、a，b
这种a说法b是错误的.
或a b”
例2．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中
与向量 OA、OB、OC 相等的向量.
解：OA CB DO; OB DC EO; OC AB ED FO.
向量的几何表示
由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数 轴上的一个点表示，而且不同的点表示不同的数量.
对于向量，我们常用带箭头的线段——有向线段来表 示，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量 的大小，箭头的指向表示向量的方向.
有向线段：带有方向的线段叫有向线段.（如图）我们在 有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B 为终点的有向线段记作 AB ,起点写在终点的前面.
③用字母 a ，b，c 等表示.
问题1：“向量就是有向线段，有向线段就是向量.”的说 法对吗？
不对，①向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与 起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同 的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点 不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
向量的长度（或称模）：向量 AB的大小，也就是向量 AB
1:8000000
解： AB表示A地至B地的位移，且
AB 240kmቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
AC 表示A地至C地的位移，且 AC 300km .
相等向量与共线向量 平行向量定义：
a
b c
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定 0 与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；
（2）向量 a,b,c平行，记作 a // b // c .
（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有 向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.在平 面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示 同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定.

向量的减法
要点一
性质
向量减法满足反交换律，即 $\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$。同时，向量减法不满 足结合律。
• 意义：数乘向量在实际问题中具有重要意义，如表示平行四边形和梯形的性质、求解物理问题中等。
向量的点乘
• 定义：两个向量之间的点乘运算称为内积或标量积。点乘结 果是一个实数，记作$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b}$。
向量的加法
• 性质：向量加法满足交换律和结合律，即$\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$，$(\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}) + \overset{\longrightarrow}{c} = \overset{\longrightarrow}{a} + (\overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{c})$。
向量的点乘
• 性质：点乘满足交换律和分配律，即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} \cdot \overset{\longrightarrow}{a}$， $(\lambda\mu)\overset{\longrightarrow}{a} = \lambda(\mu\overset{\longrightarrow}{a})$。此外， 点乘还满足正交变换不变性和垂直性质。

《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标：1. 了解平面向量的实际背景，理解向量的概念及物理意义。

2. 掌握平面向量的基本运算，包括加法、减法、数乘和共线定理。

3. 能够运用平面向量的知识解决实际问题。

二、教学内容：1. 平面向量的实际背景：引入向量的概念，解释向量在物理学、几何学等领域的应用。

2. 向量的概念：定义向量的基本属性，包括大小、方向和起点。

3. 向量的表示：介绍平面向量的几何表示法和坐标表示法。

4. 向量的加法：定义向量加法，讲解平行四边形法则和三角形法则。

5. 向量的减法：定义向量减法，转化为加法运算。

6. 向量的数乘：定义向量的数乘，讲解数乘对向量大小和方向的影响。

7. 向量共线定理：介绍共线定理及其应用。

三、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出向量的概念。

2. 利用几何图形和物理情境，帮助学生直观地理解向量的运算。

3. 运用案例分析和练习题，巩固学生对向量知识的理解和应用。

四、教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量概念的理解。

2. 布置课后作业，检验学生掌握向量运算的能力。

3. 进行小组讨论和报告，评估学生对向量应用问题的解决能力。

五、教学资源：1. 教案、PPT课件。

2. 几何图形和物理情境的图片或视频。

3. 练习题和案例分析题。

4. 小组讨论和报告的评价标准。

六、教学重点与难点：1. 教学重点：向量的概念、表示方法、基本运算（加法、减法、数乘）及共线定理。

2. 教学难点：向量加法、减法的几何意义，数乘对向量的影响，共线定理的应用。

七、教学步骤：1. 引入向量的概念：通过实际问题，引导学生认识向量，理解向量表示物体运动和力的作用。

2. 向量的表示：讲解几何表示法和坐标表示法，让学生能用图形和坐标表示向量。

3. 向量加法：讲解平行四边形法则和三角形法则，让学生理解向量加法的几何意义。

4. 向量减法：转化为加法运算，让学生掌握减法与加法的联系。

22
练习2
判断下列说法是否正确
（1）若a与b都是单位向量，则 a b
（2）a // b且b // c,则a与c共线
（3）0与任意向量都平行
（×） （×） （√）
23
向量可以用有向线段表示，那么 “向量就是有向线段，有向线段就 是向量”这种说法正确吗？
24
例2：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别
a b （没有意义）
a b （有意义）
18
例1.如图，试根据图 中的比例尺以及三地 的位置，在图中分别 用向量表示A地至B、C 两地的位移，并求出A 地至B、C两地的实际 距离（精确到1km）.
AB 216 千米
AC 264 千米
19
说 下图中（正方形的边长为1）向量的方向和大小 一 说
a
b cA
B
C
E
F
D
20
向量间的关系
相等向量 相反向量 平行向量
方向相同，大小相等的向量
记作a b
方向相反，大小相等的向量
记作a -b
方向相同或相反的非零向量
记作a // b
规定： 0 与任一向量平行。
21
只要大小和方向不变，向量可以在平面内任意平移， 与位置无关
结论：平行向量又叫做共线向量
单位向量和零向量都只对大小进行了要求
16
想一想 （1）单位向量唯一吗? （不唯一） （2）在平面上把所有单位向量的
起点平移到同一点，那么它们的 终点的集合组成什么图形？
17
想一想：数量之间有大小关系如 5 4,0 1 ，
那么向量之间有大小关系吗？
结论:向量不能比较大小，只能比较向量的模的大小

2.1 平面向量的实际背景及基本概念向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.课堂训练一、选择题1、下列物理量中， 不能称为向量的是 （ ）A ．距离B ．加速度C ．力D ．位移2、下列四个命题正确的是 （ ）A ．两个单位向量一定相等B ．若与不共线，则与都是非零向量C ．共线的单位向量必相等D ．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同3、下列说法错误的是 （ ）A ．向量OA 的长度与向量AO 的长度相等B ．零向量与任意非零向量平行C ．长度相等方向相反的向量共线D ．方向相反的向量可能相等4、对于以下命题：（1）平行向量一定相等； （2）不相等的向量一定不平行；（3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线。

其中真命题的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5、在△ABC 中,AB=AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则 （ ） A. 与AC 共线 B. 与CB 共线 C. 与相等 D. 与相等6、两个向量共线是两个向量相等的 （ ）A 、 充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、 既不充分也不必要条件二、填空题1、与非零向量平行的单位向量的个数是_______。

2、||||b a =是b a =的___ __条件。

3、已知B ，C 是线段AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出___ __个互不相等的非零向量。

4、已知平面上不共线的四点满足=，则以下四个命题：（1）ABCD 是平行四边形；（2）ACBD 是平行四边形；（3）ADBC 是平行四边形；（4）ACDB 是平行四边形。

a＝b
有向线段 条________来表示，并且与有向线段的起点无
关．在平面上，两个长度相等且方向一致的有 向线段表示同一个向量
第二章
2.1
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相同或相反 方向____________的非零向量叫做平
行向量 平行 规定：零向量与任何向量都______ 平行 向量 说明：任一组平行向量都可以移动到
个向量间不能比较大小，因此，A不正确．两个向量的模相 等，但方向却不一定相同，因此B不正确．相等的向量方向一 定相同，相等向量一定共线，因此C正确．对于选项D，两个 向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a 与b有共线的可能，故D不正确.
第二章
2.1
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ABCD中分别找出长度相等且方向相同的向量即可；(2)共线 向量只需找方向相同或相反的向量即可．
第二章 2.1
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[解析] 1，
(1)作出图形如图，由已知，有|a|＝|c|＝|e|＝|g|＝
|b|＝|d|＝|f|＝|h|＝ 2 ，而在正方形ABCD中，|AB|＝|CD|＝ |BC|＝|AD|＝1，|AC|＝|BD|＝ 2.
第二章
2.1
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单位向量的长度等于(
)
A．0 B．1 C．2 D．不确定
[答案] B
第二章
2.1
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→ 如图所示，在平行四边形ABCD中，与 AB 共线的向量有 ________．
→ → → [答案] BA，DC，CD
第二章
→ 行到B地的位移，则|AB|＝1400km. → BC 表示飞机从B地按东偏南75° 方向飞行到C地的位移， → 则|BC|＝1400km.

与向量OA相等旳向量。 OA = DO = CB
变式一：与向量OA长度相等旳向量 有多少个？
11个 变式二：是否存在与向量OA长度相等，方向
相反旳向量？（ 相反向量）
存在，为 FE 变式三：与向量OA长度相等旳共线向量有哪些？
CB、DO、FE
例2.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后 变化方向按东北方向走了 10 2 米到达C点,到 达C点后又变化方向向西走了10米到达D点.
下列结论正确旳是：
（1）假如两向量相等，那么它们旳 起点和终点分别重叠；
（2）两个相等向量旳模相等；
（3）任历来量与它旳相反向量 (长度相同,方向相反旳向量)不相等.
（1）若两个向量在同一条直线上， 那么这两个向量是什么向量？
（2）共线向量一定在一条直线上吗？
（3）
若a
//
b,b
//
c,
则a
F
M
（2）DB、MC、AD
B
E
C
C D
D
C
方向和大小
向量
定义 表达
几何表达法：有向线段
符号表达法： a, b , AB
长度(模)
零向量
特殊向量
向量旳有关概念
单位向量
向量间 旳关系
平行(共线)向量 相等向量
拓广延伸
对于下列多种情况，各向量旳终点旳集合 分别是什么图形？
（1）把全部单位向量旳起点平行移动到同一点P；
是以P点为圆心，以1个单位长为半径旳圆； (2) 把平行于直线l 旳全部单位向量旳起点 平移到直线 l 上旳点P；
是直线 l 上与点P旳距离为1旳两个点；
(3) 把平行于直线l 旳全部向量旳起点平移 到直线 l 上旳点P；

§2.1 平面向量的实际背景及基本概念学习目标：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.学习重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.学习难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学习过程：一、复习引入 请同学想想哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：1.向量的概念：我们把____________________________________叫向量数量与向量的区别：_______________________________________2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；.有向线段：____________线段就叫做有向线段，三个要素：______________- ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.零向量、单位向量概念：①_______________叫零向量，记作____ 的方向是任意的注意0 与0的区别②__________________________叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①__________________________叫平行向量；②我们规定_________与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .6、相等向量定义：___________________________________叫相等向量.A(起点) B （终点）a说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与．有向线段的起点无关．．．．．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有．．向线段的起点无关）．．．．．．．．．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.三：理解和巩固：例1 书本第75页例1.例2 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？变式三：与向量共线的向量有哪些？练习1.（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？2．课本77页练习四小结：向量及向量的有关概念、表示方法，还知道有两个特殊向量，最后学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量课后作业：课本77页习题2.1A组第3、4、5题。

平面向量的实际背景及基本概念北京市第二中学范方兵一．教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学4》（人教A版）第二章第一节的第一课时（2.1）《平面向量的实际背景及基本概念》．本节内容属于概念性知识．向量是集数与形于一身的数学概念，有着丰富的实际背景和广泛应用，是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁．在现实生活中随处可见的力、位移、速度等既有大小，又有方向的量是其物理背景，有向线段是其几何背景，向量就是从这些实际对象中抽象出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学工具，广泛地应用于解决数学、物理学科或实际生活中的问题.因此，它在整个高中数学的地位是很重要的.本节课是《平面向量》的起始课，通过本节课的学习，让学生体会到向量具有大小和方向两个基本特征，研究向量我们可以从大小和方向两个角度入手.另外，实数学习的经验可以启发我们对向量的学习，引进一个量，就要研究它的运算，研究相应的运算律，因此，《平面向量》这一章，后续将要研究的内容就比较明朗了，这体现了本节课内容，对这一章的教学具有“统领全局”的作用.另外，对于本节课的教学，重要的是让学生去体会研究数学新对象的方法和基本思路，而不是向量的形式化定义及几个相关概念.因此，本节课内容的学习，它的理论意义远远大于它在解题中的作用．因此，我认为本节课的教学重点是向量的概念，向量的几何表示，相等向量的概念.二. 学生学情分析学生在物理中已经学习了力、位移、速度等矢量的概念，认识到一些既有大小，又有方向的量，也能认识到生活中一些只有大小，没有方向的量，这些学习内容及生活经验为本节课奠定了一定的基础.学生在之前也学习了实数的概念及实数的运算，也学习了直线平行等知识，这都为本节课的学习作了一定的准备．北京二中是北京市示范高中，我所任教的班级学生基础比较扎实，思维有一定的灵活性.但对于向量的学习，其研究内容和研究方法都是陌生的，学生的严谨性和深刻性仍需培养．本节课的教学难点是：研究向量的基本方法.三．教学目标设置根据本节课的内容特点以及学生的认知水平，确定本节课的教学目标是：1. 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解向量相等的含义，理解向量的几何表示.2. 在向量概念的形成过程中，提高抽象与概括能力，在向量的表示、特殊向量、向量的特殊关系的探讨过程中，体会向量具有数和形两个特征．3. 由具有物理意义的量抽象出向量的概念，积累从具体到抽象的活动经验；在向量的概念、向量的表示、特殊向量、向量的特殊关系的探讨过程中，自觉形成从大小和方向两个角度来进行思考的习惯，培养理性思维．四．教学策略分析为了更好的突出教学重点，突破教学难点，完成教学目标，我采用引导启发的教学方式，通过“创设情境，引入课题——问题引领，逐步探究——阅读课本，巩固练习——归纳小结，延伸课堂”这些环节循序渐进地将问题逐步引向深入，从而完成本节课的目标．为了让学生体会引入向量的必要性，我提出一个生活中有关物理的问题，让学生直观感知，引导学生思考，并和学生一起完成一个试验，进行操作确认，最后利用TI图形计算器来进行理论分析，在这个过程中让学生体会到，我们不仅要关心力的大小，还要关心力的方向，从而为引入向量的概念作准备．在向量的表示、零向量和单位向量、相等向量、共线向量等概念的形成过程中，不急于得到结论，而是让学生充分利用向量的物理背景和几何背景，通过作出力的图示，在正六边形中画出一些具体的向量，在丰富的实例中进行概括.并且教师利用投影，图形计算器，自制教具等进行教学，让演示更直观，让探究更便捷，从而帮助学生进行理解.五．教学过程设计（一）创设情境，引入课题【问题1】晾衣服的绳可不可以拉成一条直线？如果可以，那我们就可以晾更多的衣服了.师生活动：教师提出问题，并引导学生思考.设计意图：教师提出一个生活中的实际问题，学生进行直观感知、猜想、思考，激发学生学习兴趣，为下一步引出试验作铺垫.【课堂活动】师生分别握住一根绳子的一端，中间系一个重物.开始的时候，将绳的两端接近，将重物抬起，慢慢将绳的两端离远一点，将重物抬起，感受一下绳作用在手上的力的变化.师生活动：教师和学生一同演示试验，学生认真观察试验现象并进行思考，教师组织学生交流.设计意图：1.通过试验操作，进一步让学生思考现象背后的原理，让学生经历由直观感知到操作确认的过程；2.让学生初步体会到在这个试验过程当中，起决定作用的不仅只有力的大小，还有力的方向，为向量概念的引出作准备；3.通过试验，让学生对现象背后的原理产生浓厚的兴趣，为进一步利用图形计算器进行探究作铺垫.【课堂活动】学生利用图形计算器对试验中涉及到的力的分析进行探究.师生活动：教师将课件发到学生的图形计算器上，学生利用课件进行探究，教师演示同学们的操作过程，并组织学生交流.设计意图：1.利用图形计算器进行探究，让学生完整经历由生活经验到试验操作确认，再到严谨的理论分析，提高学生分析问题解决问题的能力；2.利用动态演示，让学生能直观观察到力的合成情况，从而提高课堂效率，并进一步从理论上认识到在对实际问题的分析中，不仅要关注力的大小，还要关注力的方向.【问题2】大家能否再举出一些既有大小，又有方向的量?生活中有没有只有大小，没有方向的量？请你举例．师生活动：教师提出问题，学生回答老师提出的问题，由其他同学补充.设计意图：通过设问激活学生已有的相关经验、知识，从丰富的实例中让学生感知概念的本质特征，发现并意识到概念的非本质特征，引导学生提炼、概括向量的本质属性，形成对向量的初步认识，为进一步抽象概括做准备．1.向量的概念回顾学习数的概念，我们从一枝笔，一棵树，一本书中抽象出只有大小的数量“1”，类似地，我们可以从力、位移、速度等这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的研究对象——向量．数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量．而把那些只有大小，没有方向的量叫做数量．（二）问题引领，逐步探究2.向量的表示【问题3】你认为怎样表示一个向量比较合理?【课堂活动】如图是一个放置在水平桌面上的物体，其受到的重力是10N，请作出物体受力的图示.师生活动：教师提出问题，并设计一个课堂活动，学生进行作图练习，教师组织大家讨论，并进行交流，学生之间进行相互补充，在此基础上得出向量的几何表示和字母表示.设计意图：1.让学生通过作图，回顾物理中是如何表示力的，进而让学生进一步体会到向量的实际背景，自觉接受向量的几何表示；2.字母表示是比较抽象的，通过回忆初中平面几何的学习中是如何表示一条线段、一条直线的，实数的学习中是如何表示一个实数的，让学生在已有的基础之上受到启发，得到向量的字母表示，并理解字母表示的抽象性；3.通过对向量的几何表示和字母表示的探讨，让学生体会从大小和方向两个角度来思考向量的问题，体会到几何表示突出向量“形”的特征，而字母表示有利于我们进行表达，为后续学习作准备.3. 特殊向量【问题4】现在我们建立起了一个向量的集合，这个集合中有没有特殊元素？师生活动：教师组织学生进行思考，并进行讨论、交流，学生思维受阻时引导学生从大小的角度类比实数进行思考，从而得到：长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度为1个单位长度的向量叫做单位向量．设计意图：根据先行组织者理论，引导学生充分挖掘原有知识与新知识的关联，为新知识的学习提供借鉴，从学生所熟知的实数的知识出发，得出零向量和单位向量的概念.在后续学习中，也可以类比实数的运算和运算律，来学习向量的运算和运算律，这样更能吸引学生不断求知的欲望，提高学生学习的兴趣．OFEDC B A4.向量的特殊关系【问题5】向量和向量之间有没有一些特殊关系呢? 【课堂活动】请同学们在图中画出一些向量（也可以自选图形），并通过你画出的向量来探索它们之间的关系．师生活动：教师提出问题，引发学生思考，让学生进行作图练习，画出一些向量，并通过画出的向量来进行探讨.组织学生进行交流、讨论，学生代表发言后由其他同学补充，逐步完善，在此过程中得出向量之间的特殊关系.学情预设：学习障碍1：学生画出了一些向量，但是不知道如何去考察它们之间的特殊关系.引导方案：引导学生认识到向量是具有大小和方向的研究对象，我们可以从大小和方向这两个角度入手，最后请学生对研究方法加以总结.学习障碍2：学生提出向量加法、减法等运算，认为这就是向量的关系.引导方案：类比实数的学习，向量加法、减法等属于运算的范畴，而不是两个向量的关系，我们可以类比实数之间的关系来探讨向量的关系.学习障碍3：学生提出两个向量垂直，两个向量夹角为60︒等等. 引导方案：两个向量垂直，两个向量夹角为60︒等等，由于涉及到向量的夹角的定义，我们放到后续去研究，可以预见，对于向量，还有很多内容等着我们去探讨，引导学生关注本节课的教学内容.学习障碍4：难以接受共线向量的概念.引导方案：在得出相等向量的概念后，教师指出“值得注意的是，由相等向量我们可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，就可以任意平行移动”，从而为理解共线向量的概念奠定基础.在学生得出平行向量的概念后，教师利用自制教具来展示我们可以将一组平行向量通过平移（不改变大小和方向）到一条直线上，来让学生直观感知平行向量其实就是共线向量.最后，教师指出，共线向量和平行向量是研究向量的基础， 由此可以将一组平行向量平移（不改变大小和方向）到一条直线上，这给问题的研究带来方便.设计意图：1.通过设置开放性的问题，让学生通过作图、交流、讨论，让学生参与概念的定义过程，让概念成为学生观察、交流、概括之后的自然产物；2.在画出有关向量并且用字母去进行表示的过程中，体会数形结合的数学思想，进一步巩固向量的几何表示和字母表示，自觉应用这两种方法来对向量进行表示；3.在知识的形成过程中进一步体会从大小和方向两个角度去研究向量，形成研究向量的基本方法，培养理性思维.【问题6】向量与物理中的矢量有什么区别和联系？向量平行、共线与线段的平行、共线有什么区别和联系?设计意图：和本节课开始的内容首尾呼应，让学生明确向量概念与其物理背景、几何背景的区别和联系，进一步体会向量是从实际背景中抽象出来的一个新的研究对象，抓住向量的本质特征.（三）阅读课本，巩固练习【课堂活动】阅读教材73页到76页，看看我们的讨论有没有遗漏的地方，并思考下面的例题.例如图，在方格纸上的平行四边形ABCD和折线MPQRST中，点O 是平行四边形ABCD对角线的交点，,,OA a OB b AB c，分别写出图中与===a b c相等的向量.（图附后）,,师生活动：教师指导学生阅读教材，在阅读的基础上让学生提出疑问，教师组织学生思考例题，在此过程中关注学生能否在方格纸中正确识别出向量的大小与方向, 引导学生从大小和方向两个角度去思考.设计意图：通过指导学生阅读教材，让学生重视教材，培养学生的阅读能力和自学能力，通过对例题的讨论，巩固向量的概念、向量的表示以及相等向量等概念.进一步体会从大小和方向两个角度去思考向量问题.（四）归纳小结，延伸课堂【归纳小结】教师与学生一起回顾本节课所学知识，并请学生回答以下问题：（1）这节课你学到了哪些知识？（2）通过本节课的学习，对于研究数学新对象，你有什么体会？（3）你觉得后续我们还将学习什么内容？设计意图：通过设置三个问题，回顾本节课所学知识，并且用结构图来进行展示，使得知识间的逻辑关系更清晰.通过本节课的学习，学生体会研究数学新对象的基本思路.并且作为章起始课，向学生交代本章大致学习内容和学习方法，构建研究蓝图.【布置作业】1.（必做作业）教材P77A组习题2.（选做作业）平面向量既有大小，又有方向，集数与形于一身.我们也知道，平面直角坐标系中，坐标与点是一一对应的，实质上也是沟通了数与形之间的关系，那么，平面向量有没有坐标表示呢？如果有，你觉得应该怎么定义？请课后进行研究.设计意图：布置课后作业，必做作业旨在落实本节课教学内容，教师鼓励学生课后根据自己的兴趣拓展相关知识，继续对问题进行研究. （五）目标检测设计判断下列结论是否正确.(1) 若,a b都是单位向量，则=a b；(2) 若=a b，则,a b是共线向量；(3) 平行向量方向一定相同.设计意图：检测学生对向量的概念、相等向量的概念、共线向量的概念的理解.。

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知识预览
1．向量的概念与几何表示 (1)我们把既有大小又有方向的量叫做向量． (2)具有方向的线段叫做有向线段，A 为起点，B 为终点 → → 的有向线段记作AB， 线段 AB 的长度叫做有向线段AB的长度， → 记作|AB|，有向线段包括三个要素：起点、方向、长度．
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→ 解：(1)由四边形 ABCD 与 ABDE 是平行四边形，知DC， → → → ED与AB长度相等且方向相同，所以与向量AB相等的向量为 → → DC和ED. → → → → → → (2)依据图形可知DC，ED，EC与AB方向相同，BA，CD， → → → → → → DE， 与AB方向相反， CE CD 所以与向量AB共线的向量有BA， ， → → → → → DC，ED，DE，EC，CE.
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自测自评
1．下列各物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤ 加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
解析：②③④⑤是向量． 答案：D
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2．下列结论中错误的是( ．．
)
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2.1 平面向量的实际背景及基本概念
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目标定位
目 标 要 求 1.了解向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象出 向量． 2． 理解向量的概念， 相等向量的概念及向量的几何表示． 3．掌握向量的概念及共线向量的概念. 热 点 提 示 1.对向量概念以及共线向量的考查是本节的热点． 2．本节内容常与三角函数、解析几何结合命题． 3．多以选择题、填空题的形式考查.

解： AB表示A地至B地的位移，且
200km .
AC 表示A地至C地的位移，且
280km .
25
平行向量：
向量间的关系
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向
a
量平行.
b
c
26
讲授新课
6.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. a
b c
决数学问题。
（三）情感态度与价值观
经历平面向量的概念的探索过程，提高自主探究能力，进
一步提高学习数学的乐趣，由感性思维逐步提升到理性思
维。
7
（四）学科核心素养 a. 数学抽象：平面向量的概念 b. 逻辑推理：共线向量的判断 c. 数学运算：向量相等 d. 直观想象：向量的几何表示 e.数学建模：向量概念的建立
直线与直线的位置关 系里,严格区分直线和 直线位置关系,平行就 是共面前提下的无交 点,平行不共线.
29
相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
a
b
ab
对向量的大小和方向都明确规定
a

b

方向相同

a

b
30
思 （1）相等向量一定是平行向量？
考
a
：
是
b
（2）平行向量一定是相等向量？
以A为起点、B为终点的有向线段 记作: AB
起点写在终点的前面.
A(起点)
B (终点)
线段AB的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作: AB
有向线段的三要素：起点、，它的终 点就唯一确定.
22
3. 向量的表示方法：
(1)几何表示法：用有向线段表示

→ 的长度，记作 |AB →| . 向、长度．线段 AB 的长度叫做有向线段AB (2)向量的几何表示法 以A为
起点
，以 B 为
→. 终点 的有向线段记作AB
→ 表示一个向量，通常我们就说向量AB →. 如果有向线段AB
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(3)用字母表示向量 通常在印刷时，用黑体小写字母 a，b，c„表示向量，在手写 时用带箭头的小写字母 a，b，c，„表示向量． →， →. 也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 如AB CD
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自学导引 1．向量 即有
大小 ，又有 方向 的量叫向量．
想一想：两个向量能否比较大小？ 提示 不能．虽然长度可以比较，但方向不能比较大小．
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2．向量的几何表示 (1)有向线段 带有 方向 的线段，叫做有向线段， A 的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小， ∴B 不正确；C 中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的 长度，与方向无关，∴C 不正确；D 中向量的模是一个数量， 可以比较大小，∴D 正确． 答案 D
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题型二 向量的表示 【例 2】 在如图的方格纸上，已知向量 a， 每个小正方形的边长为 1. (1)试以 B 为终点画一个向量 b，使 b＝a； (2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c，使 |c|＝ 5，并说出向量 c 的终点的轨迹是什么？ [思路探索] 用有向线段表示向量时，要注意有向线段的起点和 终点位置．
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3．与向量有关的概念 (1)零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0 . (2)单位向量：长度为 1 的向量叫做单位向量． (3)相等向量： 长度相等 且 (4)平行向量(共线向量)： 方向 平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量 a 平行于 b，记作 a∥b. ②规定：零向量与 任一向量 平行．

“平面向量的实际背景及基本概念”说课稿高一数学组朱雯婷各位领导各位同事大家下午好：很高兴今天能有机会和大家一起在这里交流对说课的理解，我今天说课的题目是普通高中课程标准实验教科书数学必修四第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念，我将从四个方面进行具体说明：1.教材内容分析2.教法学法分析3.教学目标4.教学过程。

一教材内容分析：向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。

向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。

向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。

本课是“平面向量”的入门课，具有“统领全局”的作用。

本节概念课，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力，概念较多，但难度不大，学生可借鉴对物理学中的位移、力、速度等的认识来学习.二.教法学法分析：1.教法分析：本课的教学，我们力求使学生理了解向量概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的问题。

因此，在教学中教师应注意从宏观上为学生勾勒研究框架和总体思路，使学生能“抬头看路”，知道往哪里走，这是起始课的重要任务；微观上，引导学生通过类比，有序地给出向量的定义、讨论向量的表示、定义特殊向量、研究特殊向量的关系。

在引导学生展开对向量及其相关概念的学习过程中，应强调“让学生参与到定义概念的活动中来”，不轻易打断学生的思维和活动，恰如其分地“以问题引导学习”，在质疑——反思的过程中深化概念的理解，使概念的理解成为学生自己主动思维的结果。

AB | | CD | | EF | , 但 CD EF 无意义
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
9
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§ 2.1.2
向量的几何表示
判断题 1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ 2.向量的模是一个正实数。（ 3.若|a|>|b| ，则a > b ） ）
2013-1-10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 23
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
课堂练习 <<教材>> P.5 书面作业 <<教材>> P.77 习题2.1 A组3.4.5.6 B组2 练习1.2.3.4.5
2013-1-10
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
( 2 ) 若 | a | | b |, 则 a b ; ( 3 ) 若 AB DC ， 则 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 AB DC ; ;
( 4 )平行四边形 ( 5 )若 m
ABCD 中 ， 一 定 有 k;
n, n k , 则 m
( 6 ) 若 a // b , b // c , 则 a // c 其中不正确命题的个数 A .2
12
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§2.1平面向量的实际背景及基本概念
§ 2.1.3 相等向量与平行向量 1.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向 量。向量 a 与 b 相等，记作：a b
a b V4 c a=b=c
注：1.若向量 a , b
V1 V2 V3
§2.1平面向量的实际背景及基本概念