2．3数学归纳法整体设计教材分析本节课是人教A版选修2－2的第二章第三单元．“数学归纳法”是继学习分析法和综合法之后，进一步研究的另一种特殊的直接证明方法．它通过有限步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形．通过本节的学习，可以更好地理解数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯．课时分配2课时．第1课时教学目标1．知识与技能目标(1)理解“归纳法”和“数学归纳法”的含义和本质．(2)掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论．(3)会用“数学归纳法”证明简单的恒等式．(4)初步掌握归纳与推理的方法．2．过程与方法目标培养学生观察、归纳、发现的能力，并能以递推的思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，使学生的抽象思维和概括能力得到进一步的提升．3．情感、态度与价值观通过对数学归纳法的学习，培养学生勇于探索、创新的个性品质，培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，进一步培养学生数学思维的严密性，通过学生之间的交流和讨论，增强学生之间的团结合作意识，提高学生的语言交流能力．重点难点重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题．难点：(1)学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明．(2)运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．教学过程引入新课提出问题：问题1：一个盒子里有十个乒乓球，如何证明里面的球全为橙色？问题2：你知道谚语“天下乌鸦一般黑”的由来吗？问题3：一个数列的通项公式是a n＝(n2－5n＋5)2，容易验证a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝1.由此作出结论：对于一切n∈N，a n＝(n2－5n＋5)2＝1都成立．请问这个结论正确吗？问题4：对于数列{a n}，已知a1＝1，a n＋1＝a n1＋a n，试写出a1，a2，a3，a4并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？问题5：请说出以上4个问题的异同点．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视引导，并注意与学生交流．活动成果：教师板书“一一进行验证”(学生回答问题1的时候抓住关键词)“只能验证有限个”(学生在回答问题2的时候)“结论不一定正确”(学生在回答问题3、4的时候)“归纳法，完全归纳法，不完全归纳法”(学生在回答问题5的时候)同时说明：归纳法是指由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法．归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法．点明不完全归纳法的缺憾之处：仅根据一系列有限的特殊事例得出一般结论是要冒很大风险的，因为有可能产生不正确的结论．学情预测：对于问题1及问题2估计学生会比较感兴趣，这两个问题有利于活跃课堂气氛，拉近师生之间的距离，让学生的思维过渡到课堂的思考中来．问题3大部分学生应该能判断准确．对于问题4最初可能会有一部分学生认为正确，但是由问题3的引导也会对问题4的正确性产生怀疑．设计意图让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛．在学生已有认知基础上给出问题，从生活问题自然过渡到数学问题．由问题3的不正确引导，学生对问题4的正确性产生怀疑，从而使学生对学过的知识进行及时的反思，在不断反思中得到提高(教师可以在学生回答完问题4后顺便提问学生以前学过的结论中哪些用到了不完全归纳法)．通过问题的设计使学生了解归纳法的分类，让学生自然领悟到不完全归纳法的缺憾，使学生对本节课的知识产生期待，从而引出本节课的课题“数学归纳法”．探究新知实例：播放多米诺骨牌录像，思考以下问题：提出问题：你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？活动设计：学生讨论交流，各抒己见．活动成果：根据学生的发言板书以下内容(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．(板书时注意格式，为数学归纳法的步骤提供类比依据．)可以再举几则生活事例：推倒自行车，早操排队对齐等．学情预测：大部分学生在电脑或电视节目中或者小时候玩的玩具中都遇到过多米诺骨牌，通过讨论，教师再加以引导，学生对所提出的问题基本能解决．设计意图：通过直观具体的画面让“归纳递推”这一难点在学生的头脑中建立载体，便于帮助学生理解从有限到无限的过渡．提出问题：对于数列{a n}，已知a1＝1，a n＋1＝a n1＋a n(n＝1,2,3,4，…)，求a4，a100.活动设计：学生进行计算推理后，展示思考结果(学生板演)．教师追问：问1：根据递推公式a n＋1＝a n1＋a n，可以由a1出发，推出a2，再由a2推出a3，由a3推出a4，说说你又是如何求得a100的呢？学情预测：学生可能会回答：“由前四项归纳猜想a100＝1 100”．问2：归纳猜想的结果并不可靠，你能对a 100＝1100给出严格的证明吗？ 针对学生的回答情况，教师可进行追问：问3：利用递推公式，命题可以由a 1推出a 2，由a 2推出a 3，由a 3推出a 4，…，由a 99推出a 100，这样要严格证明n ＝100时结论成立，需要进行多少个步骤的论证呢？(教师在刚才学生板演的基础之上板书以下推理过程，可以再多写出第六步，第七步，第八步直到学生开始有反应：嫌麻烦等情绪的出现)第一步，a 1＝1，第二步，a 2＝a 11＋a 1＝11＋1＝12，(由a 1推a 2) 第三步，a 3＝a 21＋a 2＝121＋12＝13，(由a 2推a 3) 第四步，a 4＝a 31＋a 3＝131＋13＝14，(由a 3推a 4) ……第99步，a 99＝a 981＋a 98＝1981＋198＝199，(由a 98推a 99) 第100步，a 100＝a 991＋a 99＝1991＋199＝1100.(由a 99推a 100) 学情预测：通过板书上的推理过程，学生可能窃窃私语“太麻烦”，出现畏难情绪．教师可以抓住这一契机继续追问：问4：你认为上述推理的麻烦之处在哪里？你能否对此过程进行优化？只用最少的步骤就能证明这个结论呢？学情预测：学生思考、讨论之后可能会总结出：推理麻烦之处在于除了第一步论证之外，其余99个步骤的证明实际上都是类似的．教师因势利导：后面99个步骤都可以概括成一个命题的证明，即转化为对以下命题的证明：若n 取某一个值时结论成立，则n 取其下一个值时结论也成立，即若a k ＝1k (k ≥1，k ∈N )，则a k ＋1＝1k ＋1(*)．(a k ＋1＝a k 1＋a k ＝1k 1＋1k ＝1k ＋1) 问5：你能进一步说明命题(*)的证明对原命题的证明起到什么作用吗？问6：有了命题(*)的证明，你能肯定a 100＝1100吗？你能肯定a 101＝1101吗？你能肯定a 102＝1102吗？甚至你能肯定a 1 000＝11 000吗？…… 问7：给定a 1＝1及命题(*)，你能推出什么结论呢？学情预测：通过追问4、5、6、7，学生可能对“归纳递推”这一步骤有了清晰的认识，逐渐领悟了从有限到无限的飞跃，有了对数学问题解决过程的体验，对于问7部分学生有能力对这一模式的特征概括出“可以证明对任意的正整数n ，结论a n ＝1n(n ∈N )都成立”．(为了更直观可以用多媒体投出下列图示) 反思与总结：a n ＝1n(n ∈N *)？问8：已知数列{a n }：a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n(n ∈N *)，求证：a n ＝1n . 教师在上述板书的基础之上把后99步用彩笔圈起，在附近用同色彩笔写下下面的(2)中的推理过程，然后用板书完善数学归纳法的“两步一结论”．证明：(1)当n ＝1时，a 1＝1＝11，所以结论成立． (2)假设当n ＝k(k ∈N )时，结论成立，即a k ＝1k， 则当n ＝k ＋1时a k ＋1＝a k 1＋a k(已知) ＝1k 1＋1k(代入假设) ＝1k k ＋1k(变形) ＝1k ＋1(目标)， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可得，对任意的正整数n 都有a n ＝1n成立． 问9：你能否总结出这一证明方法的一般模式？活动成果：板书以下内容(注意与多米诺骨牌得到的结论写在一起便于之后的类比)一般地，证明一个与正整数n 有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N )时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n ＝k(k ≥n 0，k ∈N )时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． 证明命题P (n )(n ∈N *)说明：(1)是归纳基础，(2)是归纳递推，两者缺一不可．数学归纳法实质上是将对原问题的证明转化为对两个步骤的证明和判断．通过对a 4的求解，让学生体会到只需知道某一项，就可求出其下一项的值．通过对a 100的求解过程总结领悟到99步的证明“汇成一句话”： 设计意图“若a k ＝1k (k ∈N )，则a k ＋1＝1k ＋1(k ∈N )(*)”为学生理解从有限到无限提供了依托，再加之追问5、6、7使学生容易实现从有限到无限的思维“飞跃”，直观的框图式结构为刚才的思维过程加以“浓缩”使观点得以提炼，再加上问题(8)的趁热打铁可以说学生对“归纳递推”的认识也基本到位．至此从具体实例中概括出数学归纳法已经是水到渠成．提出问题：你认为证明数列的通项公式是a n ＝1n与多米诺骨牌游戏有相似性吗？ 活动设计：首先学生独立思考，然后学生自由发言，最后教师总结并形成新知． 活动结果：通过类比让学生进一步理解数学归纳法的原理，增加对数学学习的兴趣，通过从不同的角度审视，更有利于学生全面地了解数学归纳法的本质． 理解新知提出问题：用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．(2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立． 由(1)和(2)可知对任何n ∈N 等式都成立．活动设计：给学生充足的时间让学生对照黑板上板书的数学归纳法的步骤，积极思考、交流，不仅要明确数学归纳法的步骤，还要明确数学归纳法的实质．学情预测：生甲：证明是对的．生乙：证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．(指出错误，并分析出错原因，是澄清学生模糊认识的有效方法)从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n ＝k ＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．生丙：“则当n ＝k ＋1时1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立．”应该改为“则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2”．活动成果：数学归纳法的核心是在验证n 取第一个值n 0正确的基础上，由P(k)正确证明P(k ＋1)正确，也就是说核心是证明命题具有递推性．因此，今后用数学归纳法证明时，第二步必须由归纳假设P(k)的正确性来推导出P(k ＋1)的正确性．可见，正确使用归纳假设，是用数学归纳法证明的关键．不能机械地套用两个步骤，而要深入理解其实质及两个步骤之间的内在联系．设计意图通过判断正误，使学生在一个看似完美的证明过程中发现问题，以加深对数学归纳法“核心技术”的理解而不是仅仅停留在数学归纳法的形式上，从而突出重点．生丙的改正错误实际上是重点练习了归纳假设的应用．提出问题：用数学归纳法证明命题的两个步骤中，仅有第一步验证而没有第二步递推性的证明是不行的，那么，没有第一步行吗？活动设计：生甲：第一步仅是验证当n 取第一个值n 0时结论正确，其实这是显然的，可以省略．生乙：第一步是第二步递推的基础，没有第一步是不行的．师：让我们举一个例子来看一下：试问等式2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1成立吗？ 设n ＝k 时成立，即2＋4＋6＋…＋2k ＝k 2＋k ＋1，则2＋4＋6＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝(k 2＋k ＋1)＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋1.这就是说，n＝k＋1时等式也成立，若仅由这一步就得出等式对任何n∈N都成立的结论，那就错了．事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3，左边≠右边，可能有的同学已经看出，该式左边总是偶数，而右边总是奇数，因此对任何n∈N该式都是不成立的．活动成果：数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据．缺了第一步，递推失去基础，缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去．设计意图通过具体的例子让学生体会到用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可．应当克服教师反复强调，而学生只知其一不知其二，仅停留在“了解、知道”的层面上的弊端．一个好的例子胜过千百次的强调．运用新知例1证明若{a n}是首项是a1，公差是d的等差数列，则a n＝a1＋(n－1)d对于一切n∈N 都成立．思路分析：题目没有要求用什么方法证明，这就要分析可以用哪种方法去证明，这是一个与正整数有关的数学命题，故可以用数学归纳法进行证明．证明：(教师可以要求学生板演)(1)当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即a k＝a1＋(k－1)d，则当n＝k＋1，a k＋1＝a k＋d＝a1＋(k－1)d＋d＝a1＋[(k＋1)－1]d.所以当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知如果{a n}是一个等差数列，则a n＝a1＋(n－1)d对于一切n∈N都成立．点评：通过证明学生学过的命题，体现了用数学归纳法在证明问题之前的选择与判断．此题由n＝k到n＝k＋1的变形比较简单，利用简单问题来突出证明步骤，防止复杂的变形冲淡数学归纳法的核心．变式练习用数学归纳法证明若{a n}为首项是a1，公比是q(q≠1)的等比数列，则其前n项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q. 证明：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝a 1(1－q 1)1－q，结论成立． (2)假设当n ＝k 时命题成立，即S k ＝a 1(1－q k )1－q， 则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝a 1(1－q k )1－q ＋a k ＋1＝a 1(1－q k )1－q ＋a 1q k (1－q )1－q ＝a 1(1－q k ＋1)1－q.所以当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知若等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q(q ≠1)，则其前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q. 变练演编1．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n>n 0的正整数n 成立”时，第一步证明中的起始值n 应取( )A ．1B ．2C ．3D ．52．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<n(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，不等式左端增加的项数是( )A ．1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1答案：1.D 2.C设计意图通过变练演编，使学生的认识不断加深，进一步巩固数学归纳法证明数学问题的两个步骤，培养学生思维的严谨性．达标检测用数学归纳法证明当n ∈N 时，11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n 2n ＋1.请分析下面的证法是否正确，若不正确请改正．证明：①n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12＋1＝13，左边＝右边，等式成立． ②假设n ＝k 时，等式成立，即11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1， 那么当n ＝k ＋1时，有11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝12[(1－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(12k －1－12k ＋1)＋(12k ＋1－12k ＋3)] ＝12(1－12k ＋3)＝12·2k ＋22k ＋3＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1. 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切n ∈N 等式成立．解：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n ＝k 这一步，当n ＝k ＋1时，是用裂项法推出来的，这样归纳假设没起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n ＝k ＋1时左边＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝(2k ＋1)(k ＋1)(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1＝右边． 这就说明，当n ＝k ＋1时，等式亦成立． 课堂小结1．知识收获：学习数学归纳法应掌握下列几个要点：(1)数学归纳法证题的步骤：①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N )时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k(k ≥n 0，k ∈N )时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 根据①②，可知命题对任何n ∈N 都成立．(2)数学归纳法的核心是在验证P(n 0)正确的基础上，证明P(n)(n ≥n 0)的正确具有递推性．第一步是递推的基础或起点，第二步是递推的依据，因此两步缺一不可，证明中，恰当地运用归纳假设是关键．(3)数学归纳法适用的范围是：一般用于证明某些与正整数n(n 取无限多个值)有关的数学命题，但是并不能简单的说，所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明，如果问题中存在可以利用的递推关系，数学归纳法才有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难．(4)归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法，归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．2．方法收获：类比方法、数形结合方法、特殊到一般、有限到无限方法．3．思维收获：递推思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．布置作业教材习题2.3 A 组第1题．补充练习基础练习1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线条数为12n(n －3)条时，第一步验证n 等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．02．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，第2步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时正确，再推证n ＝2k ＋3时正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推证n ＝2k ＋1时正确C ．假设n ＝k(k ≥1)时正确，再推证n ＝k ＋2时正确D ．假设n ≤k(k ≥1)时正确，再推证n ＝k ＋2时正确3．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f(n)是( ) A ．1 B.13C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确 4．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明不等式f(2n )>n 2时，f(2k ＋1)比f(2k )多出的项数是__________．答案：1.C 2.B 3.C 4.2k拓展练习5．已知数列{a n }满足：a 1＝32，且a n ＝3na n －12a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明对于一切正整数n ，不等式a 1·a 2·a 3·…·a n <2·n ！.(1)解：将条件变为：1－n a n ＝13(1－n －1a n －1)，因此{1－n a n }为一个等比数列，其首项为1－1a 1＝13，公比为13，从而1－n a n ＝13n ，据此得a n ＝n·3n3n －1(n ≥1)．① (2)证明：据①得a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n ！(1－13)(1－132)…(1－13n )， 要证a 1·a 2·a 3·…·a n <2·n ！，只要证n ∈N 时，有(1－13)(1－132)…(1－13n )>12.② 显然，左端每个因式都是正数，只需证明，对每个n ∈N ，有(1－13)(1－132)…(1－13n )≥1－(13＋132＋…＋13n )．③ 用数学归纳法证明③式：(ⅰ)n ＝1时，③式显然成立，(ⅱ)假设n ＝k 时，③式成立，即(1－13)(1－132)…(1－13k )≥1－(13＋132＋…＋13k )． 则当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－132)…(1－13k )(1－13k ＋1)≥[1－(13＋132＋…＋13k )]·(1－13k ＋1) ＝1－(13＋132＋…＋13k )－13k ＋1＋13k ＋1(13＋132＋…＋13k ) ≥1－(13＋132＋…＋13k ＋13k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，③式也成立． 故对一切n ∈N ，③式都成立．利用③得，(1－13)(1－132)…(1－13n )≥1－(13＋132＋…＋13n )＝1－13[1－(13)n ]1－13＝1－12[1－(13)n ]＝12＋12(13)n >12.故②式成立，从而结论成立． 设计说明本节课是数学归纳法的第一课时，新课标要求不能仅以用数学归纳法解决一些简单问题为标准，只让学生通过各种题型的操练，学会第一步证什么，如何证；第二步证什么，如何证．这样训练出来的学生，能知道数学归纳法的步骤，也会套用数学归纳法证明一些数学命题，但不一定知道为什么要这样做，这样做可行的理由、依据是什么．这样的教学看似容易完成，但被动地训练使学生可能会增添的是：数学是机械的、枯糙的；一定会丢失的是：对数学以及数学方法、思想的进一步认识与理解．所以本节课的设计没有急于去进行大量的练习，而是把主要精力用在了由“假设P(k)(k ∈N 且k ≥n 0)成立，推证P(k ＋1)成立”的突破上，从生活出发加强了数学与生活的联系，消除了学生的畏惧感，通过问题串将学生从有限逐步引领到无限的高峰．备课资料《归纳法的分类》(一)第一数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，有如下步骤：(1)证明当n 取第一个值n 0时命题成立；(2)假设当n ＝k(k ≥n 0，k 为自然数)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．(二)第二数学归纳法：对于某个与自然数n 有关的命题，(1)验证n ＝n 0时P(n)成立；(2)假设n 0<n ≤k 时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k ＋1)成立．综合(1)(2)对一切正整数，命题P(n)都成立．(三)倒推归纳法(反向归纳法)：(1)对于无穷多个自然数命题P(n)成立；(2)假设P(k＋1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，综合(1)(2)，对一切自然数n(n>n0)，命题P(n)都成立．(四)螺旋式归纳法：P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如(1)P(n0)成立；(2)假设P(k)(k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k＋1)成立，综合(1)(2)，对于一切自然数n(n>n0)，P(n)，Q(n)都成立．(设计者：张建霞)。
2.3 数学归纳法问题导学一、用数学归纳法证明等式 活动与探究1(1)用数学归纳法证明对任何正整数n 有 13＋115＋135＋163＋…＋14n 2－1＝n 2n ＋1． (2)用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N *)． 迁移与应用1．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N )，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A ．12n ＋1B ．12n ＋2C ．12n ＋1＋12n ＋2D ．12n ＋1－12n ＋22．用数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)24(n ∈N *)． 名师点津应用数学归纳法的两个要点：(1)第一步验证是证明的基础，第二步递推是证明的关键，有一无二是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，递推就失去了基础，结论同样不可靠．即二者缺一不可． (2)在推证当n ＝k ＋1时命题也成立时，必须使用n ＝k 时的结论(即归纳假设)，否则就不是数学归纳法．二、用数学归纳法证明不等式 活动与探究2(1)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1n ＞n (其中n ∈N *，n ＞1)． (2)若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论． 迁移与应用1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，且n ＞1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12＜2B ．1＋12＋13＜2C ．1＋12＋13＜3D ．1＋12＋13＋14＜32．用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2＜1－1n (n ≥2，n ∈N *)．名师点津运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明，(1)中在第②步的证明过程中，运用了两种方法，方法1是利用了比较法，而方法2则是利用了放缩法．在实际证明中要结合不等式的具体情况灵活选用．三、用数学归纳法证明整除问题 活动与探究3用数学归纳法证明f (n )＝3×52n ＋1＋23n ＋1(n ∈N *)能被17整除．迁移与应用1．用数学归纳法证明32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除．2．证明：a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *．名师点津用数学归纳法证明整除性问题时，证明n ＝k ＋1时成立是关键，将n ＝k ＋1时的被除式凑成一部分能利用归纳假设，另一部分能被除式整除的形式．证明整除性问题的关键是“凑项”，常采用的手段有增项、减项、拆项和因式分解等． 四、归纳、猜想、证明 活动与探究4在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ． (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．迁移与应用1．数列{a n }中，a 1＝1，且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，写出S 2，S 3，S 4，由此猜想S n ＝__________． 2．已知数列{a n }满足条件(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，且a 2＝6，设b n ＝a n ＋n (n ∈N *)，求{b n }的通项公式． 名师点津(1)由已知条件首先计算数列{a n }的前几项的值，根据前几项值的特点，猜想出数列{a n }的通项公式或递推公式，利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法．(2)在对猜想得到的结论用数学归纳法进行证明时，要注意从归纳的过程中发现证明的方法，例如活动与探究4中求a 2，a 3的过程与方法实际就是证明的第②步中采用的方法． 当堂检测1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋2n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A ．1 B ．1＋3 C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋42．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝3n 2－3n ＋2的自然数等于( )A．1 B．1或2 C．1,2,3 D．1,2,3,43．已知1111133557(21)(21)nSn n=++++⨯⨯⨯-+，则S1＝__________，S2＝__________，S3＝__________，S4＝__________，猜想S n＝__________．4．用数学归纳法证明1111+2321nn+++<-(n∈N，且n＞1)，第二步证明从“k到k＋1”，左端增加的项数是________．5．平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数(1)()2n nf n-=．参考答案问题导学活动与探究1思路分析：(1)根据数学归纳法证明步骤进行，注意由n＝k到n＝k＋1时的(2)要注意用数学归纳法证明n 的第一个取值不是1，而是2． 证明：(1)①当n ＝1时，左边＝13，右边＝12＋1＝13，∴等式成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即 13＋115＋135＋163＋…＋14k 2－1＝k2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，13＋115＋135＋163＋…＋14k 2－1＋14(k ＋1)2－1 ＝k 2k ＋1＋14(k ＋1)2－1＝k 2k ＋1＋1(2k ＋3)(2k ＋1)＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋3)(2k ＋1) ＝(k ＋1)(2k ＋1)(2k ＋3)(2k ＋1)＝k ＋12(k ＋1)＋1． ∴当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②知等式对任何正整数n 都成立．(2)①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边，∴n ＝2时等式成立． ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ，那么n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时等式成立．综合①②知，对任意n ≥2，n ∈N *等式恒成立． 迁移与应用 1．【答案】D【解析】 f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2．2．证明：(1)当n ＝1时，左边＝13＝1，右边＝12×224＝1，(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即13＋23＋33＋…＋k 3＝k 2(k ＋1)24， 则当n ＝k ＋1时，13＋23＋33＋…＋k 3＋(k ＋1)3＝k 2(k ＋1)24＋(k ＋1)3＝(k ＋1)2·⎣⎡⎦⎤(k ＋1)＋k 24＝ (k ＋1)2·k 2＋4k ＋44＝(k ＋1)2·(k ＋2)24，∴当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)知原等式成立．活动与探究2 思路分析：(1)按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由n ＝k 证n ＝k ＋1成立时，可利用比较法或放缩法证得结论． (2)先从特例入手探求正整数a 的最大值，再用归纳法证明． (1)证明：①当n ＝2时，左边＝1＋12，右边＝2，⎝⎛⎭⎫1＋12－2＝1－22＞0，所以左边＞右边，即不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k＞k ，则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 ＞k ＋1k ＋1． (方法1)由于⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1－k ＋1＝k 2＋k ＋1－(k ＋1)k ＋1＝k 2＋k －k k ＋1＝k k ＋1(k 2＋k ＋k )＞0，所以k ＋1k ＋1＞k ＋1， 即1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1． (方法2)由于k ＋1k ＋1＝k 2＋k ＋1k ＋1＞k 2＋1k ＋1＝k ＋1k ＋1＝k ＋1，所以1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1． 即当n ＝k ＋1时原不等式也成立， 由①②知原不等式成立．(2)解：取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624，令2624＞a24⇒a ＜26，且a ∈N *，所以取a ＝25．下面用数学归纳法证明 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524． ①n ＝1时，已证结论正确． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＞2524， 则当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝⎛⎭⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1＞2524＋⎣⎡⎦⎤13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)． 因为13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8＞6(k ＋1)9k 2＋18k ＋9＝6(k ＋1)9(k ＋1)2＝23(k ＋1)，所以13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)＞0，所以1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1＞2524，即n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②可知，对一切n ∈N *，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524．故a 的最大值为25． 迁移与应用 1．【答案】B2．证明：(1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12．∵14＜12，∴不等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2＜1－1k ． 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＜1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2＜1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1．∴当n ＝k ＋1时不等式也成立．综合(1)(2)知，对任意n ≥2的正整数，不等式均成立．活动与探究3 思路分析：在应用归纳假设时通过添项，减项方法，凑出含有17的因数． 证明：(1)当n ＝1时，f (1)＝3×53＋24＝391＝17×23，所以f (1)能被17整除．(2)假设当n ＝k 时，命题成立， 即f (k )＝3×52k ＋1＋23k＋1能被17整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝3×52k ＋3＋23k ＋4 ＝52×3×52k ＋1＋52×23k ＋1－52×23k ＋1＋23k ＋4 ＝25f (k )－17×23k ＋1，由假设知，f (k )能被17整除，且17×23k＋1显然可被17整除，故f (k ＋1)能被17整除．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，f (n )能被17整除． 迁移与应用1．证明：(1)当n ＝1时，34－8×1－9＝64，能被64整除， ∴当n ＝1时，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，32k ＋2－8k －9能被64整除． 则当n ＝k ＋1时， 32(k＋1)＋2－8(k ＋1)－9＝9·32k ＋2－8k －17＝9(32k ＋2－8k －9)＋72k ＋81－8k －17＝9(32k ＋2－8k －9)＋64k ＋64＝9(32k ＋2－8k －9)＋64(k ＋1)． ∵32k ＋2－8k －9与64(k ＋1)都能被64整除， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *，原命题都成立．2．证明：(1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立． (2)假设当n ＝k 时，a k ＋1＋(a ＋1)2k－1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋ (a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1．由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除，故n ＝k ＋1时命题也成立． 由(1)(2)知，对任意n ∈N *命题都成立．活动与探究4 思路分析：此题属探索性问题，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．它的解题思路是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳猜想的结论进行证明． 解：(1)由S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1．因为a n ＞0， 所以a 1＝1．S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2， 得a 22＋2a 2－1＝0，又因为a n ＞0，所以a 2＝2－1． S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－2． (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)． 数学归纳法证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ， 所以a 2k ＋1＋2k a k ＋1－1＝0．又因为a n ＞0，所以a k ＋1＝k ＋1－k ， 即n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，对n ∈N *，a n ＝n －n －1． 迁移与应用 1．【答案】2n －12n －1【解析】由已知得2S n ＋1＝S n ＋2S 1， 当n ＝1时，2S 2＝S 1＋2S 1，∴S 2＝32；当n ＝2时，2S 3＝S 2＋2S 1，∴S 3＝74；当n ＝3时，2S 4＝S 3＋2S 1，∴S 4＝158．猜想S n ＝2n －12n －1．2．解：当n ＝1时，由(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，得a 1＝1． 当n ＝2时，将a 2＝6代入(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)·(a n －1)，得a 3＝15． 同理可得a 4＝28．将a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15，a 4＝28分别代入b n ＝a n ＋n ， 得b 1＝2，b 2＝8，b 3＝18，b 4＝32， 由此猜想b n ＝2n 2．要证b n ＝2n 2，可证a n ＝b n －n ＝2n 2－n ． 下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，a 1＝2×12－1＝1，前面已求得a 1＝1， 所以猜想正确．(2)假设当n ＝k 时，a k ＝2k 2－k (k ∈N *)成立， 由已知(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，得(k －1)a k ＋1＝(k ＋1)(a k －1)，所以当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝k ＋1k －1(a k －1)＝k ＋1k －1(2k 2－k －1)＝k ＋1k －1(2k ＋1)(k －1)＝(k ＋1)(2k ＋1)＝2(k ＋1)2－(k ＋1)， 所以当n ＝k ＋1时，a n ＝2n 2－n 成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，a n ＝2n 2－n 都成立． 所以{b n }的通项公式为b n ＝2n 2． 当堂检测 1．【答案】C 2．【答案】C【解析】逐个代入验证． 3．【答案】13 25 37 49 21nn + 【解析】分别将1,2,3,4代入观察猜想S n ＝21nn +． 4．【答案】2k【解析】当n ＝k 时左端为1111+2321k+++-， 当n ＝k ＋1时左端为11111111+232122121k k k k ++++++++-+-，故增加的项数为2k项．5．证明：(1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个． 又f (2)＝12×2×(2－1)＝1， ∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设n ＝k (k ＞2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)， l 与其他k 条直线交点个数为k ， 从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点， 即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对n∈N*(n≥2)命题都成立．。
