高中数学选修2-2《数学归纳法及其应用举例》说课稿

高中选修2-2 2.3《数学归纳法》教学设计一、教材分析数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学内容中占有重要的地位，其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要.数学归纳法的证明过程中展现的推理和逻辑思维让学生体会到数学的严谨和规范.学习数学归纳法后学生对等差等比数列、数列求和、二项式定理、整除问题等问题的解决有了新的方法.首先，我们需要初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，这是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段.但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法.因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法，这是促进思维从有限性发展到无限性的一个重要环节，掌握数学归纳法的证明过程是培养严密的推理能力、训练抽象思维能力、体验数学内在美的好素材.二、教学目标1．知识目标（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，初步理解数学归纳法原理.（2）能以递推思想为指导，理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论.（3）初步会用数学归纳法证明一些与正整数相关的简单的恒等式.2. 能力目标（1）通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力.（2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想.（3）在学习中培养学生大胆猜想，小心求证的辨证思维素质以及发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力.3. 情感目标（1）通过对数学归纳法原理的探究，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴含的数学思想和辨正唯物主义观点.（2）体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟数学的内在美，激发学生学习热情，使学生喜欢数学.（3）学生通过置疑与探究，初步形成正确的数学观，创新意识和严谨的科学精神.三、教学重点与难点1．教学重点借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式，特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用.2．教学难点（1 如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性.（2）递推步骤中如何利用归纳假设，即如何利用假设证明当1=+时结论n k正确.四、教学方法本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发.在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望.师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证明一些与正整数n有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力.既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性.五、教学过程（一）创设情境，提出问题情景一：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字.这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的.情境二：平面内三角形内角和是180︒，四边形内角和是2180︒⨯，五边形内角和是3180︒⨯，于是得出：凸n 边形内角和是()2180n ︒-⋅ .情境三：数列{}n a 的通项公式为()2255n a n n =-+可以求得12341,1,1,1a a a a ====于是猜想出数列{}n a 的通项公式为1n a =.情景四：粉笔盒中有10支白色粉笔，怎么证明它们是白色的呢？结论：情景一到情景三都是由殊事例得出的一般性结论，即不完全归纳法不一定正确.因此,它不能作为一种论证方法，情景四是完全归纳法，结论可靠但要一一核对,工作量大.提出问题：如何寻找一个科学有效的方法证明结论的正确性呢？我们本节课要 学习的数学归纳法就是解决这一问题的方法之一.（二）实验演示，探索解决问题的方法1．几何画板演示动画多米诺骨牌游戏，师生共同探讨：要让这些骨牌全部倒 下，必须具备哪些条件呢 ① 第一块骨牌必须倒下.② 两块连续的骨牌，当前一块倒下一定导致后一块倒下.可以看出，条件②事实上给出了一个递推关系：当第k 块倒下时，相邻的第1k + 块也倒下.这样，只要第1块倒下，其他所有的就能够相继倒下.无论多少块，只要①②成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.演示小节：数学归纳法原理就如同多米诺骨牌一样.2． 数学归纳法原理 证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1） （归纳奠基） 当n 取第一个值0n （*0n ∈）时命题成立； （2） （归纳递推）假设当()*0,n k k k n =∈≥时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立. 上述证明方法称为数学归纳法.主要有两个步骤、一个结论: 其中第一步是递推的基础，解决了特殊性；第二步是递推的依据，解决了从有限到无限的过渡.这两步缺一不可.只有第一步，属不完全归纳法；只有第二步，假设就失去了基础.（注：数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的重要方法.在用数学归纳法证题时注意以下三句话“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.”）（三）迁移应用，理解升华例1 用数学归纳法证明：如果{}n a 是一个等差数列，那么()11n a a n d =+- 对于一切*n ∈ 都成立.证明: (1)当1n = 时,左边1,a = 右边()1111,a d a =+-=结论成立(2)假设当n k = 时结论成立， 即 ()11k a a k d =+-则当1n k =+ 1k k a a d +=+()1[11]a k d =++- ∴ 当1n k =+时，结论也成立.由(1)和(2)知,等式对于任何*n ∈都成立.例2 已知数列{}n a 其通项公式为21,n a n =-试猜想该数列的前n 项和公式,n S 并用数学归纳法证明你的结论.解： （1）111S a == 212134S S a =+=+=(2) 猜想2,n S n =问题转化为证明213521.n n ++++-=证明:（1） 当1n =时,左边=1,右边=1,等式是成立的.(2) 假设当n k =时等式成立，即有则当1n k =+,有因此，当1n k =+时，等式也成立由(1)和(2)知,等式对于任何*n ∈都成立.（四）反馈练习，巩固提高课堂练习：课本第95页练习1，2（五）课堂小结：让学生归纳本节课所学内容，不足的老师补充.n k = 到1n k =+ 有什么变化 用假设凑结论1. 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法2. 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推思想，证明程序为，两个步骤一个结论.3数学归纳法的科学性：基础正确，可传递.用有限的步骤证明无限的结论. （六）布置作业课本第96页习题 2.3 A组1、2.。

第2课时教学目标1．知识与技能目标(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(2)进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．(3)掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．2．过程与方法目标(1)利用“归纳—猜想—证明”模式解决问题，培养学生自觉运用数学归纳法的意识．(2)培养学生综合运用知识的能力及解题时的目标意识．(3)培养学生思维的严谨性，培养学生观察、归纳、发现的能力，并能以递推的思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，使学生的抽象思维和概括能力进一步提升．3．情感、态度与价值观通过对数学归纳法的学习，培养学生勇于探索、创新的个性品质，培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，进一步培养学生思维的严密性．通过学生之间的交流和讨论，增强学生之间的团结合作意识，提高学生的语言交流能力．重点难点重点：(1)由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时项的确定．(2)处理P(k ＋1)时“拆、分、并、补”等配凑技巧的应用．难点：(1)初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式．(2)处理P(k ＋1)时“拆、分、并、补”等配凑技巧的应用．(3)运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现递推关系．教学过程复习巩固让学生独立完成下列练习题1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k(k ∈N )时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( )A ．当n ＝6时命题不成立B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立2．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k(k ∈N )时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立．．．，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立3．已知f(n)＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则下列说法正确的是( ) A ．f(n)中共有n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13B ．f(n)中共有n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋14C ．f(n)中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13D ．f(n)中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋144．设f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N )，那么f(k ＋1)－f(k)等于…( ) A.12k ＋1 B.12k ＋2C.12k ＋1＋12k ＋2D.12k ＋1－12k ＋2活动结果：1.B 2.C 3.D 4.D设计意图练习中4个题难度不大，但题目小巧灵活，用来复习旧知，为师生共同探讨下面的例题作准备．5．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N )． 思路分析：注意数学归纳法的两步一结论，特别是归纳假设的利用．证明：(学生板演)(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1等式成立． (2)假设当n ＝k(k ∈N )时等式成立，即12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6， 那么，当n ＝k ＋1时左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6＝右边，即当n ＝k ＋1时等式成立． 根据(1)和(2)可知等式对任何n ∈N 都成立．点评：应用归纳假设的过程中要注意变形的目的性，否则由n ＝k 到n ＝k ＋1的变形不易完成．设计意图通过本题复习数学归纳法的证明步骤，体会由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时归纳假设的应用及在证明过程中强化“目标意识”．典型示例类型一：用数学归纳法证明“等式”例1设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *.求a 2，a 3，a 4，由此猜想a n 的一个通项公式，并证明你的结论．思路分析：在“推理与证明”一节课中已经熟悉了这种模式，由于这是一个与正整数有关的命题，可以考虑用数学归纳法证明．由于上节课刚学完数学归纳法，此题学生想到用数学归纳法证明很容易．证明：由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5.由此猜想a n ＝n ＋1，下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，a 1＝1＋1，猜想成立．(2)假设当n ＝k 时，猜想成立，即a k ＝k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a 2k －ka k ＋1＝(k＋1)2－k(k ＋1)＋1＝k ＋2＝(k ＋1)＋1.所以，当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由(1)(2)知，对于任意n ∈N *都有a n ＝n ＋1成立．点评：此例属于用数学归纳法证明“等式”．以数列为背景，培养学生“观察→分析→归纳→猜想→证明”这种从特殊到一般的数学思维，体会数学归纳法在数列中的应用．巩固练习是否存在常数a 、b 、c ，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2＋bn ＋c)对一切正整数成立？并证明你的结论．解：假设存在a 、b 、c 使上式对n ∈N 均成立，则当n ＝1,2,3时上式显然也成立，此时可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1×22＝16(a ＋b ＋c )，1×22＋2×32＝12(4a ＋2b ＋c )，1×22＋2×32＋3×42＝9a ＋3b ＋c ，解此方程组可得a ＝3，b ＝11，c ＝10，下面用数学归纳法证明等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n ＋1)2＝n (n ＋1)12(3n 2＋11n ＋10)对一切正整数均成立．(1)当n ＝1时，命题显然成立．(2)假设n ＝k 时，命题成立．即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k ＋1)2＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k ＋112[k(3k 2＋11k ＋10)＋12(k ＋2)2]＝(k ＋1)(k ＋2)12(3k 2＋17k ＋24)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]12[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]．所以，当n ＝k ＋1时，命题也成立． 综上所述，存在常数a ＝3，b ＝11，c ＝10，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2＋bn ＋c)对一切正整数均成立． 类型二：用数学归纳法证明“不等式”例2(2009山东高考理20题改编)已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N ，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1都成立． 思路分析：没有要求用哪种方法来证明，首先要综合分析是选用分析法？综合法、反证法、还是数学归纳法来证明．此题与正整数有关可以考虑数学归纳法，当然也不能把学生试图用其他方法证明的想法一棍子打死．证明方法的选用体现了新学知识与旧知识的融合，而不能仅停留在刚学完什么方法就用什么方法证明的思维误区中，以至于在复习考试时非常被动．证明：由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n. 下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1成立． ①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立． ②假设当n ＝k(k ≥1且k ∈N )时不等式成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k >k ＋1成立． 则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2 >k ＋12k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1)＝4k 2＋12k ＋94(k ＋1) >4k 2＋12k ＋84(k ＋1)＝4(k 2＋3k ＋2)4(k ＋1)＝4(k ＋1)(k ＋2)4(k ＋1) ＝k ＋2 ＝(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①、②可得不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1对任意的n ∈N 都成立．点评：本题属高考改编题，与高考题相比，删去了与数学归纳法无关的某些内容，一方面提高了课堂效率，突出了本节课的重点，同时也体现了数学归纳法在证明不等式中的应用，结合了分析法、放缩法等其他方法证明不等式．用数学归纳法证明不等式要有目标意识，考虑到n ＝k ＋1时不等式的左边为分式右边为根式，所以一般先将要证明的不等式两端都化成同一种形式(同为分式或根式)，再根据目标进行合理放缩．本题证法的关键是“4k 2＋12k ＋94(k ＋1)>4k 2＋12k ＋84(k ＋1)”这一步的放缩． 巩固练习证明不等式1＋12＋13＋…＋1n <2n(n ∈N )． 证明：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2.左边<右边，不等式成立．②假设n ＝k 时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)<2k. 那么当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1<k ＋(k ＋1)＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1＝右边， 这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意正整数都成立．类型三：用数学归纳法证明整除性问题例3对于n ∈N *，求证：(x ＋1)n ＋1＋(x ＋2)2n －1可被(x 2＋3x ＋3)整除．思路分析：此题既不是证明等式也不是证明不等式，代数式的整除性是第一次遇到，用以前学过的方法不好处理，又由于此命题与正整数有关，故考虑用数学归纳法来证明．证明：(1)当n ＝1时，(x ＋1)n ＋1＋(x ＋2)2n －1＝(x ＋1)2＋(x ＋2)1＝x 2＋3x ＋3可被(x 2＋3x＋3)整除，命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即(x ＋1)k ＋1＋(x ＋2)2k －1＝(x 2＋3x ＋3)·f(x)．当n ＝k ＋1时，(x ＋1)k ＋2＋(x ＋2)2k ＋1＝(x ＋1)(x ＋1)k ＋1＋(x ＋2)2(x ＋2)2k －1＝(x ＋1)(x ＋1)k ＋1＋(x ＋2)2(x ＋2)2k －1＋(x ＋1)(x ＋2)2k －1－(x ＋1)(x ＋2)2k －1＝(x ＋1)[(x ＋1)k ＋1＋(x ＋2)2k －1]＋[(x ＋2)2－(x ＋1)](x ＋2)2k －1＝(x ＋1)(x 2＋3x ＋3)·f(x)＋(x 2＋3x ＋3)(x ＋2)2k －1＝(x 2＋3x ＋3)·[(x ＋1)f(x)＋(x ＋2)2k －1]，∴当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知对一切n ∈N *，(x ＋1)n ＋1＋(x ＋2)2n －1可被(x 2＋3x ＋3)整除．点评：整除问题一般要面临因式分解，所以在证明n ＝k ＋1时，要对式子进行合理的添加项使得既能提取公因式进行因式分解又能利用归纳假设，一般添加项的项是从两项中各取一个因式然后相乘得到．本题中添加的项是(x ＋1)(x ＋2)2k －1，也可以是(x ＋1)k ＋1(x ＋2)2.巩固练习求证：对于任意n ∈N ，3×52n －1＋23n －2可被17整除．证明：(1)当n ＝1时，即3×5＋2＝15＋2＝17命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即3×52k －1＋23k －2＝17M ，M ∈N ．则当n ＝k ＋1时，3×52k ＋1＋23k ＋1＝25×3×52k －1＋8×23k －2＝25×3×52k －1＋8×23k －2＋25×23k －2－25×23k －2＝25(3×52k －1＋23k －2)－17×23k －2＝25×17M －17×23k －2＝17(25M －23k －2)，∴n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知对于任意n ∈N ，3×52n －1＋23n －2可被17整除．类型四：用数学归纳法证明相关问题例4平面上有n(n ∈N *，n ≥2)条直线，任意两条不平行，任意三条不共点，求证：(1)共有交点a n ＝12n(n －1)个； (2)构成线段或射线b n ＝n 2条．思路分析：用数学归纳法证明平面几何中与自然数有关的证明题的时候，关键是分析好由n ＝k 到n ＝k ＋1时的证明思路，而要找到证明思路就要通过分析当直线的条数由n ＝2增加到n ＝3时交点(线段或射线)增加的数目以及为什么增加，这样由特殊到一般就容易找到由n ＝k 到n ＝k ＋1时交点(线段或射线)增加的数目以及为什么增加，从而找到证明思路．证明：(1)①当n ＝2时，a 2＝1，结论成立，②假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝12k(k －1)， 则当n ＝k ＋1时，第k ＋1条直线与前k 条有k 个交点，∴a k ＋1＝a k ＋k ＝12k(k －1)＋k ＝12k(k ＋1)．∴结论成立． 由①②知，结论共有交点a n ＝12n(n －1)(n ≥2)个成立．(2)①n ＝2时，b 2＝4，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即b k ＝k 2，则当n ＝k ＋1时，第k ＋1条直线上有k 个交点，将第k ＋1条直线分成k ＋1部分，k 个交点在原k 条线上，每一点将所在线段或射线分成两部分，增加了k 部分．∴b k ＋1＝b k ＋(k ＋1)＋k ＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.∴结论成立．由①②知，对一切n ∈N ，n ≥2，b n ＝n 2成立．巩固练习平面上有n(n ∈N *，n ≥2)条直线，任意两条不平行，任意三条不共点，求证：将平面分成c n ＝12n(n ＋1)＋1部分． 证明：①n ＝2时，两条相交直线将平面分成4部分，c 2＝12·2·(2＋1)＋1＝4，结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即c k ＝12k(k ＋1)＋1， 当n ＝k ＋1时，第k ＋1条直线被分成k ＋1段，每一段将原来那一部分分成两部分，即增加了k ＋1部分．∴c k ＋1＝c k ＋(k ＋1)＝12k(k ＋1)＋(k ＋1)＋1＝12(k ＋1)(k ＋2)＋1， 即n ＝k ＋1时结论成立．由①②知对一切n ∈N ，n ≥2，c n ＝12n(n ＋1)＋1成立． 变练演编用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n)＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N )时，从“n ＝k →n ＝k ＋1”两边需同乘以一个代数式，它是( )A ．2k ＋2B ．(2k ＋1)(2k ＋2)C.2k ＋2k ＋1D.(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1解析：当n ＝k 时，(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k)＝2k ·1·3·…·(2k －1)，当n ＝k ＋1时，(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝2k ＋1·1·3·…·[2(k ＋1)－1]．通过对比等式左边可知，增加了两个因式(2k ＋1)(2k ＋2)，减少了一个因式k ＋1.故答案选D.答案：D达标检测1．如果命题P(n)对于n ＝k(k ∈N *)时成立，则它对n ＝k ＋2也成立，若P(n)对于n ＝2时成立，则P(n)对所有的________都成立．①正整数 ②正偶数 ③正奇数 ④大于1的正整数2．如果命题p(n)对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋1也成立，现知p(n)对n ＝4不成立，则下列结论正确的是( )A ．p(n)对n ∈N 成立B ．p(n)对n>4且n ∈N 成立C ．p(n)对n<4且n ∈N 成立D ．p(n)对n ≤4且n ∈N 不成立3．利用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n >1324时，由k 递推到k ＋1不等式左边应添加的项是( )A.12(k ＋1)B.12k ＋1＋12(k ＋1)C.12k ＋1－12(k ＋1)D.12k ＋1答案：1.② 2.D 3.C反考老师已知m 为正整数，用数学归纳法证明当x>－1时，(1＋x)m ≥1＋mx.证明：(ⅰ)当m ＝1时，原不等式成立；当m ＝2时，左边＝1＋2x ＋x 2，右边＝1＋2x ， ∵x 2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；(ⅱ)假设当m ＝k 时，不等式成立，即(1＋x)k ≥1＋kx ，则当m ＝k ＋1时，∵x>－1，∴1＋x>0，于是在不等式(1＋x)k ≥1＋kx 两边同乘以1＋x 得(1＋x)k ·(1＋x)≥(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2≥1＋(k ＋1)x ，所以(1＋x)k ＋1≥1＋(k ＋1)x ，即当m ＝k ＋1时，不等式也成立．综合(ⅰ)(ⅱ)知，对一切正整数m ，不等式都成立．课堂小结1．知识收获：(1)数学归纳法的证明步骤．(2)用数学归纳法证明等式、不等式、整除等问题的主要思路．2．方法收获：目标意识，用数学归纳法证明时有一个技巧，即当n ＝k ＋1时，代入假设后再写出结论，然后往中间”凑”．3．思维收获：体会数学的严谨性，提高思维的深刻性和批判性，养成严谨缜密的思维习惯．布置作业教材习题2.3 A 组第2题，B 组第1,2题．补充练习基础练习1．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1. 所以，当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误．．是__________． 2．对于n ∈N *，n ≥2，求证：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n. 答案：1.没有用上归纳递推2．证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋14＝54<32＝2－12＝右边，所以不等式成立． (2)假设n ＝k 时不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k， 当n ＝k ＋1时，左＝1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－(k ＋1)－1k (k ＋1)＝2－1k ＋1， 即n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)(2)知对一切n ∈N *，n ≥2不等式成立．拓展练习3．首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2n ＋3)，n ∈N *. 证明若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数．证明：已知a 1是奇数，可假设a k ＝2m －1，其中m 为正整数，则由递推关系得a k ＋1＝a 2k ＋34＝m(m －1)＋1是奇数． 根据数学归纳法，对任何n ∈N ，a n 都是奇数．设计说明第1课时已经理解了数学归纳法的原理及步骤，本节课主要熟悉用数学归纳法证明各种题型，进一步加深对数学归纳法的理解，特别是证明当n ＝k ＋1时有一个技巧：即代入假设后再写出结论，然后往中间”凑”．对于教学中学生可能遇到的障碍也通过例题得到清除．常见障碍：1．由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时项的确定(产生此障碍的原因：没弄清计数规律，这类问题，通常按“找规律，定项数”的方法来处理)．2．若命题中n 为正奇数(或正偶数)，在第二步假设“n ＝k 时命题成立”，误认为需证明“n ＝k ＋1时命题也成立”(错因：忽略相邻的正奇数相差2)．3．处理P(k ＋1)时不善于“拆、分、并、补”等配凑技巧的应用(原因：缺乏目标意识)．4．不能灵活运用其他证明不等式的方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法(原因：对“数学归纳法”缺乏认识，忽略了应用数学归纳法证题时可以结合其他数学方法)．备课资料例1：(2009陕西卷理)已知数列{x n }满足，x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n ∈N *. 猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论．思路分析：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题，关键是第二步，要注意当n ＝k ＋1时，等式两边的式子与n ＝k 时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，或减少了哪些项，问题就容易解决．解：由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321. 由x 2>x 4>x 6猜想：数列{x 2n }是递减数列．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，x 2>x 4，命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2.易知x 2k >0，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋1(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3) ＝x 2k －x 2k ＋2(1＋x 2k )(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋2)(1＋x 2k ＋3)>0， 即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2.也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立，结合(1)和(2)知，命题成立．例2：求证：(1＋1)(1＋13)…(1＋12n －1)>2n ＋1，n ∈N *. 思路分析：与正整数有关的不等式证明可以考虑数学归纳法，关键在于由假设n ＝k 时不等式成立推出当n ＝k ＋1时不等式成立，在这个过程中可以应用分析法或者是放缩法．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1＋1＝2＝4>3＝右边，所以不等式成立．(2)假设n ＝k 时不等式成立，即(1＋1)(1＋13)…(1＋12k －1)>2k ＋1， 当n ＝k ＋1时，左＝(1＋1)(1＋13)…(1＋12k －1)(1＋12k ＋1)>2k ＋1(1＋12k ＋1)＝2k ＋22k ＋1， 欲证：左边>2(k ＋1)＋1＝右边，只需证(2k ＋22k ＋1)2－(2k ＋3)2＝(2k ＋2)2－(2k ＋1)(2k ＋3)2k ＋1＝12k ＋1>0. ∴2k ＋22k ＋1>2k ＋3.∴n ＝k ＋1时不等式成立． 由(1)(2)知对一切n ∈N *不等式成立．点评：由假设n ＝k 时不等式成立推出当n ＝k ＋1时不等式成立的过程中也可以应用放缩法：左边＝(1＋1)(1＋13)…(1＋12k －1)＋(1＋12k ＋1)>2k ＋1(1＋12k ＋1) ＝2k ＋22k ＋1＝(2k ＋2)22k ＋1＝4k 2＋8k ＋42k ＋1>4k 2＋8k ＋32k ＋1＝(2k ＋1)(2k ＋3)2k ＋1 ＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1＝右边．(设计者：张建霞)。

课题：2.3数学归纳法（1）教材：普通高中课程标准实验教科书数学选修2－2一、教学目标1.知识与技能（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。

（2）初步理解数学归纳法原理。

（3）理解与记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。

（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。

2.过程与方法（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力与严密的逻辑推理能力。

（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。

3.情感、态度与价值观（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度与不怕困难，勇于探索的精神。

（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。

（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。

二、教学重、难点1.重点（1）初步理解数学归纳法的原理，明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。

（2）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。

2.难点（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。

（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。

三、教学方法与手段本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。

在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。

师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证明一些与正整数n 有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力。

既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性与合作性。

四、教学过程（一）创设问题情景情景一：观察下列等式，12+1+17＝19，22+2+17＝23，32+3+17＝29，42+4+17＝37……你能得出形如n 2+n+17的数为什么数（质数）？进一步提问，你得出的结论对吗？请你将16代入检验，（得出猜想是错的）说明这种不完全归纳得出的结论不可靠。

数学归纳法说课稿我所说课的内容是人教A版选修2-2，第二章第三节第一课时，围绕本章节的地位，从内容及要求、还有教法、学法和教学过程等这几个方面简单阐述：一、教材内容及教学目标(一)教材分析本章是推理与证明，从整个章节的完整性看，第三节数学归纳法必不可少。

在本章的第一第二节已经埋下伏笔：本章第一节是从归纳和类比能得到正确的数学结论中让学生产生兴趣，对于第一节中出现了归纳猜想例题1，而且每个学生都能猜出才对答案：An=1/n，而后出现的的大家并不陌生的逻辑推理，即演绎推理，让学生明白了合情推理得到的结论还需要严格的证明。

所以学生很是期待第二节中具体证明方法的学习。

在第二节，学生学习了直接证明中的综合法、分析法还有间接证明的反证法，同时让学生觉得这么多证明方法却没有对第一节中数列的猜想问题加以证明，而我们肯定会告诉学生还有数学证明方法，这已是为数学归纳法埋下伏笔。

从而第三节的出现学生是期待的。

本章这第三节数学归纳法既是对直接证明方法的一个补充，使整个章节更加完善，又能更高层次的让学生体会以理服人，本节能很好的培养学生的逻辑表达能力，、训练学生的抽象思维能力、甚至能辅助教育学生严谨的做人做事！(二)教学目标根据教学内容特点、课标要求、学生实际、以及学生终生发展需要而制订以下教学目标.1.知识目标（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确.（2）初步理解数学归纳法原理.（3）掌握数学归纳法证题的两个步骤.（4）会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的命题.2.能力目标（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力.（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力.3.情感目标（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难、勇于探索的精神.（2）通过提问与置疑，培养学生严谨独立的人格与敢于创新的精神.根据以上教材分析、教学目标和学情，确定如下教学重难点：(三)教学重难点1.重点（1）对数学归纳法原理的理解.（2）掌握数学归纳法证题的两个步骤.2.难点（1）为什么数学归纳法的两个步骤缺一不可.（2）假设的利用，即如何利用假设证明当时结论正确.二、说教法为了使学生参与整个教学过程,体现学生的主体性和主动性,根据数学归纳法的特点,本课采用交互式的教学方法,这种教学方法的优点是学生之间、师生之间共同探讨大胆交流，在这种民主平等的氛围下，学生心态开放，独立的个性得到张扬，因而创造性得到激发.教师在本课中的主要作用是提出研究课题，组织学生参加探究学习，并以学习者的角色参与学习活动.三、说学法本课学生主要采用“探究式学习法”进行学习.其主要程序如下：观察情境提出问题分析问题猜想置疑论证说理解决问题.探究式学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程.在探究的过程中激发学生的好奇心和创新意识;在探究过程中学习科学研究的方法;在探究过程中培养坚韧不拔的精神.学生掌握了这种学习方法后，对学生终生学习，终生发展都有积极意义.主干层次为：创设情境（提出问题）探索方法（建立模型）方法尝试（感性认识）理解升华（理性认识）方法应用（解决问题）课堂小结（反馈提高）这种设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开.这样安排强调过程，符合学生的认知规律，使学习过程成为学生对书本知识的再发现、再创造的过程，从而培养学生的创新意识.四、教学过程：(一)创设情境情境一：已知数列的通项公式.（1）学生分别计算、、、的值：;（2）猜想的值：;（3）计算的值：.情境二：学生回忆第一节的数列归纳猜想的结论，思考正确吗？以上设计意图是：(1)把数学归纳法的产生寓于归纳法的分析当中,使学生了解数学归纳法产生的背景.(2)达成知识目标（1），能力目标（2）（二）探索方法1. 演示多米诺骨牌游戏. （Flash演示）师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：（1）第一块要倒下;（2）假设前面一块倒下时，后面一块肯定倒下;当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下.2.学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法与步骤（建立数学模型）.（1）n取第一个值(例如)时命题成立;（2）假设时命题成立，利用它证明时命题也成立.完成了这两个步骤后，命题对一切，n均成立.这种证明方法叫做数学归纳法.以上设计意图是：(1)使抽象的原理寓于简单的事例当中，通俗易懂.为深刻理解数学归纳法原理打好基础.(2)使学生自悟道理自寻方法，培养学生的探索精神。

2．3数学归纳法整体设计教材分析本节课是人教A版选修2－2的第二章第三单元．“数学归纳法”是继学习分析法和综合法之后，进一步研究的另一种特殊的直接证明方法．它通过有限步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形．通过本节的学习，可以更好地理解数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理，论证有据的习惯．课时分配2课时．第1课时教学目标1．知识与技能目标(1)理解“归纳法”和“数学归纳法”的含义和本质．(2)掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论．(3)会用“数学归纳法”证明简单的恒等式．(4)初步掌握归纳与推理的方法．2．过程与方法目标培养学生观察、归纳、发现的能力，并能以递推的思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，使学生的抽象思维和概括能力得到进一步的提升．3．情感、态度与价值观通过对数学归纳法的学习，培养学生勇于探索、创新的个性品质，培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，进一步培养学生数学思维的严密性，通过学生之间的交流和讨论，增强学生之间的团结合作意识，提高学生的语言交流能力．重点难点重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题．难点：(1)学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明．(2)运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．教学过程引入新课提出问题：问题1：一个盒子里有十个乒乓球，如何证明里面的球全为橙色？问题2：你知道谚语“天下乌鸦一般黑”的由来吗？问题3：一个数列的通项公式是a n＝(n2－5n＋5)2，容易验证a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝1.由此作出结论：对于一切n∈N ，a n＝(n2－5n＋5)2＝1都成立．请问这个结论正确吗？问题4：对于数列{a n}，已知a1＝1，a n＋1＝a n1＋a n，试写出a1，a2，a3，a4并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？问题5：请说出以上4个问题的异同点．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视引导，并注意与学生交流．活动成果：教师板书“一一进行验证”(学生回答问题1的时候抓住关键词)“只能验证有限个”(学生在回答问题2的时候)“结论不一定正确”(学生在回答问题3、4的时候)“归纳法，完全归纳法，不完全归纳法”(学生在回答问题5的时候)同时说明：归纳法是指由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法．归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法．点明不完全归纳法的缺憾之处：仅根据一系列有限的特殊事例得出一般结论是要冒很大风险的，因为有可能产生不正确的结论．学情预测：对于问题1及问题2估计学生会比较感兴趣，这两个问题有利于活跃课堂气氛，拉近师生之间的距离，让学生的思维过渡到课堂的思考中来．问题3大部分学生应该能判断准确．对于问题4最初可能会有一部分学生认为正确，但是由问题3的引导也会对问题4的正确性产生怀疑．设计意图让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛．在学生已有认知基础上给出问题，从生活问题自然过渡到数学问题．由问题3的不正确引导，学生对问题4的正确性产生怀疑，从而使学生对学过的知识进行及时的反思，在不断反思中得到提高(教师可以在学生回答完问题4后顺便提问学生以前学过的结论中哪些用到了不完全归纳法)．通过问题的设计使学生了解归纳法的分类，让学生自然领悟到不完全归纳法的缺憾，使学生对本节课的知识产生期待，从而引出本节课的课题“数学归纳法”．探究新知实例：播放多米诺骨牌录像，思考以下问题：提出问题：你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？活动设计：学生讨论交流，各抒己见．活动成果：根据学生的发言板书以下内容(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．(板书时注意格式，为数学归纳法的步骤提供类比依据．)可以再举几则生活事例：推倒自行车，早操排队对齐等．学情预测：大部分学生在电脑或电视节目中或者小时候玩的玩具中都遇到过多米诺骨牌，通过讨论，教师再加以引导，学生对所提出的问题基本能解决．设计意图：通过直观具体的画面让“归纳递推”这一难点在学生的头脑中建立载体，便于帮助学生理解从有限到无限的过渡．提出问题：对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n(n ＝1,2,3,4，…)，求a 4，a 100. 活动设计：学生进行计算推理后，展示思考结果(学生板演)．教师追问：问1：根据递推公式a n ＋1＝a n 1＋a n，可以由a 1出发，推出a 2，再由a 2推出a 3，由a 3推出a 4，说说你又是如何求得a 100的呢？学情预测：学生可能会回答：“由前四项归纳猜想a 100＝1100”．问2：归纳猜想的结果并不可靠，你能对a 100＝1100给出严格的证明吗？ 针对学生的回答情况，教师可进行追问：问3：利用递推公式，命题可以由a 1推出a 2，由a 2推出a 3，由a 3推出a 4，…，由a 99推出a 100，这样要严格证明n ＝100时结论成立，需要进行多少个步骤的论证呢？(教师在刚才学生板演的基础之上板书以下推理过程，可以再多写出第六步，第七步，第八步直到学生开始有反应：嫌麻烦等情绪的出现)第一步，a 1＝1，第二步，a 2＝a 11＋a 1＝11＋1＝12，(由a 1推a 2) 第三步，a 3＝a 21＋a 2＝121＋12＝13，(由a 2推a 3) 第四步，a 4＝a 31＋a 3＝131＋13＝14，(由a 3推a 4) ……第99步，a 99＝a 981＋a 98＝1981＋198＝199，(由a 98推a 99) 第100步，a 100＝a 991＋a 99＝1991＋199＝1100.(由a 99推a 100) 学情预测：通过板书上的推理过程，学生可能窃窃私语“太麻烦”，出现畏难情绪．教师可以抓住这一契机继续追问：问4：你认为上述推理的麻烦之处在哪里？你能否对此过程进行优化？只用最少的步骤就能证明这个结论呢？学情预测：学生思考、讨论之后可能会总结出：推理麻烦之处在于除了第一步论证之外，其余99个步骤的证明实际上都是类似的．教师因势利导：后面99个步骤都可以概括成一个命题的证明，即转化为对以下命题的证明：若n 取某一个值时结论成立，则n 取其下一个值时结论也成立，即若a k ＝1k (k ≥1，k ∈N )，则a k ＋1＝1k ＋1(*)．(a k ＋1＝a k 1＋a k ＝1k 1＋1k ＝1k ＋1) 问5：你能进一步说明命题(*)的证明对原命题的证明起到什么作用吗？问6：有了命题(*)的证明，你能肯定a 100＝1100吗？你能肯定a 101＝1101吗？你能肯定a 102＝1102吗？甚至你能肯定a 1 000＝11 000吗？…… 问7：给定a 1＝1及命题(*)，你能推出什么结论呢？学情预测：通过追问4、5、6、7，学生可能对“归纳递推”这一步骤有了清晰的认识，逐渐领悟了从有限到无限的飞跃，有了对数学问题解决过程的体验，对于问7部分学生有能力对这一模式的特征概括出“可以证明对任意的正整数n ，结论a n ＝1n(n ∈N )都成立”．(为了更直观可以用多媒体投出下列图示) 反思与总结：a n ＝1n(n ∈N *)？问8：已知数列{a n }：a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n(n ∈N *)，求证：a n ＝1n . 教师在上述板书的基础之上把后99步用彩笔圈起，在附近用同色彩笔写下下面的(2)中的推理过程，然后用板书完善数学归纳法的“两步一结论”．证明：(1)当n ＝1时，a 1＝1＝11，所以结论成立． (2)假设当n ＝k(k ∈N )时，结论成立，即a k ＝1k， 则当n ＝k ＋1时a k ＋1＝a k 1＋a k(已知) ＝1k 1＋1k(代入假设) ＝1k k ＋1k(变形) ＝1k ＋1(目标)， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可得，对任意的正整数n 都有a n ＝1n成立． 问9：你能否总结出这一证明方法的一般模式？活动成果：板书以下内容(注意与多米诺骨牌得到的结论写在一起便于之后的类比) 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N )时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n ＝k(k ≥n 0，k ∈N )时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．证明命题P (n )(n ∈N *)说明：(1)是归纳基础，(2)是归纳递推，两者缺一不可．数学归纳法实质上是将对原问题的证明转化为对两个步骤的证明和判断．通过对a 4的求解，让学生体会到只需知道某一项，就可求出其下一项的值．通过对a 100的求解过程总结领悟到99步的证明“汇成一句话”：设计意图“若a k ＝1k (k ∈N )，则a k ＋1＝1k ＋1(k ∈N )(*)”为学生理解从有限到无限提供了依托，再加之追问5、6、7使学生容易实现从有限到无限的思维“飞跃”，直观的框图式结构为刚才的思维过程加以“浓缩”使观点得以提炼，再加上问题(8)的趁热打铁可以说学生对“归纳递推”的认识也基本到位．至此从具体实例中概括出数学归纳法已经是水到渠成．提出问题：你认为证明数列的通项公式是a n ＝1n与多米诺骨牌游戏有相似性吗？ 活动设计：首先学生独立思考，然后学生自由发言，最后教师总结并形成新知． 活动结果：设计意图通过类比让学生进一步理解数学归纳法的原理，增加对数学学习的兴趣，通过从不同的角度审视，更有利于学生全面地了解数学归纳法的本质．理解新知提出问题：用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．(2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立． 由(1)和(2)可知对任何n ∈N 等式都成立．活动设计：给学生充足的时间让学生对照黑板上板书的数学归纳法的步骤，积极思考、交流，不仅要明确数学归纳法的步骤，还要明确数学归纳法的实质．学情预测：生甲：证明是对的．生乙：证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．(指出错误，并分析出错原因，是澄清学生模糊认识的有效方法)从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n ＝k ＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．生丙：“则当n ＝k ＋1时1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立．”应该改为“则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2”．活动成果：数学归纳法的核心是在验证n 取第一个值n 0正确的基础上，由P(k)正确证明P(k ＋1)正确，也就是说核心是证明命题具有递推性．因此，今后用数学归纳法证明时，第二步必须由归纳假设P(k)的正确性来推导出P(k ＋1)的正确性．可见，正确使用归纳假设，是用数学归纳法证明的关键．不能机械地套用两个步骤，而要深入理解其实质及两个步骤之间的内在联系．设计意图通过判断正误，使学生在一个看似完美的证明过程中发现问题，以加深对数学归纳法“核心技术”的理解而不是仅仅停留在数学归纳法的形式上，从而突出重点．生丙的改正错误实际上是重点练习了归纳假设的应用．提出问题：用数学归纳法证明命题的两个步骤中，仅有第一步验证而没有第二步递推性的证明是不行的，那么，没有第一步行吗？活动设计：生甲：第一步仅是验证当n 取第一个值n 0时结论正确，其实这是显然的，可以省略．生乙：第一步是第二步递推的基础，没有第一步是不行的．师：让我们举一个例子来看一下：试问等式2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1成立吗？ 设n ＝k 时成立，即2＋4＋6＋…＋2k ＝k 2＋k ＋1，则2＋4＋6＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝(k 2＋k ＋1)＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋1.这就是说，n ＝k ＋1时等式也成立，若仅由这一步就得出等式对任何n ∈N 都成立的结论，那就错了．事实上，当n ＝1时，左边＝2，右边＝3，左边≠右边，可能有的同学已经看出，该式左边总是偶数，而右边总是奇数，因此对任何n ∈N 该式都是不成立的．活动成果：数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据．缺了第一步，递推失去基础，缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去．设计意图通过具体的例子让学生体会到用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可．应当克服教师反复强调，而学生只知其一不知其二，仅停留在“了解、知道”的层面上的弊端．一个好的例子胜过千百次的强调．运用新知例1证明若{a n }是首项是a 1，公差是d 的等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d 对于一切n ∈N 都成立．思路分析：题目没有要求用什么方法证明，这就要分析可以用哪种方法去证明，这是一个与正整数有关的数学命题，故可以用数学归纳法进行证明．证明：(教师可以要求学生板演)(1)当n ＝1时，a 1＝a 1＋(1－1)d ，命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即a k ＝a 1＋(k －1)d ，则当n ＝k ＋1，a k ＋1＝a k ＋d ＝a 1＋(k －1)d ＋d ＝a 1＋[(k ＋1)－1]d.所以当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知如果{a n }是一个等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d 对于一切n ∈N 都成立． 点评：通过证明学生学过的命题，体现了用数学归纳法在证明问题之前的选择与判断．此题由n ＝k 到n ＝k ＋1的变形比较简单，利用简单问题来突出证明步骤，防止复杂的变形冲淡数学归纳法的核心．变式练习用数学归纳法证明若{a n }为首项是a 1，公比是q(q ≠1)的等比数列，则其前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q. 证明：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝a 1(1－q 1)1－q，结论成立． (2)假设当n ＝k 时命题成立，即S k ＝a 1(1－q k )1－q， 则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝a 1(1－q k )1－q ＋a k ＋1＝a 1(1－q k )1－q ＋a 1q k (1－q )1－q ＝a 1(1－q k ＋1)1－q .所以当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知若等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q(q ≠1)，则其前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q. 变练演编1．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n>n 0的正整数n 成立”时，第一步证明中的起始值n 应取( )A ．1B ．2C ．3D ．52．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<n(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，不等式左端增加的项数是( )A ．1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1答案：1.D 2.C设计意图通过变练演编，使学生的认识不断加深，进一步巩固数学归纳法证明数学问题的两个步骤，培养学生思维的严谨性．达标检测用数学归纳法证明当n ∈N 时，11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n 2n ＋1.请分析下面的证法是否正确，若不正确请改正．证明：①n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12＋1＝13，左边＝右边，等式成立． ②假设n ＝k 时，等式成立，即11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1， 那么当n ＝k ＋1时，有11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝12[(1－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(12k －1－12k ＋1)＋(12k ＋1－12k ＋3)] ＝12(1－12k ＋3)＝12·2k ＋22k ＋3＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1. 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切n ∈N 等式成立．解：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n ＝k 这一步，当n ＝k ＋1时，是用裂项法推出来的，这样归纳假设没起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n ＝k ＋1时左边＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2k －1)(2k ＋1)＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋1)(2k ＋3)＝(2k ＋1)(k ＋1)(2k ＋1)(2k ＋3)＝k ＋12k ＋3＝k ＋12(k ＋1)＋1＝右边． 这就说明，当n ＝k ＋1时，等式亦成立．课堂小结1．知识收获：学习数学归纳法应掌握下列几个要点：(1)数学归纳法证题的步骤：①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N )时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k(k ≥n 0，k ∈N )时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 根据①②，可知命题对任何n ∈N 都成立．(2)数学归纳法的核心是在验证P(n 0)正确的基础上，证明P(n)(n ≥n 0)的正确具有递推性．第一步是递推的基础或起点，第二步是递推的依据，因此两步缺一不可，证明中，恰当地运用归纳假设是关键．(3)数学归纳法适用的范围是：一般用于证明某些与正整数n(n 取无限多个值)有关的数学命题，但是并不能简单的说，所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明，如果问题中存在可以利用的递推关系，数学归纳法才有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难．(4)归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法，归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．2．方法收获：类比方法、数形结合方法、特殊到一般、有限到无限方法．3．思维收获：递推思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．布置作业教材习题2.3 A 组第1题．补充练习基础练习1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线条数为12n(n －3)条时，第一步验证n 等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．02．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，第2步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时正确，再推证n ＝2k ＋3时正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推证n ＝2k ＋1时正确C ．假设n ＝k(k ≥1)时正确，再推证n ＝k ＋2时正确D ．假设n ≤k(k ≥1)时正确，再推证n ＝k ＋2时正确3．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f(n)是( ) A ．1 B.13C ．1＋12＋13D ．以上答案均不正确 4．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明不等式f(2n )>n 2时，f(2k ＋1)比f(2k )多出的项数是__________．答案：1.C 2.B 3.C 4.2k拓展练习5．已知数列{a n }满足：a 1＝32，且a n ＝3na n －12a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明对于一切正整数n ，不等式a 1·a 2·a 3·…·a n <2·n ！.(1)解：将条件变为：1－n a n ＝13(1－n －1a n －1)，因此{1－n a n }为一个等比数列，其首项为1－1a 1＝13，公比为13，从而1－n a n ＝13n ，据此得a n ＝n·3n3n －1(n ≥1)．① (2)证明：据①得a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n ！(1－13)(1－132)…(1－13n )， 要证a 1·a 2·a 3·…·a n <2·n ！，只要证n ∈N 时，有(1－13)(1－132)…(1－13n )>12.② 显然，左端每个因式都是正数，只需证明，对每个n ∈N ，有(1－13)(1－132)…(1－13n )≥1－(13＋132＋…＋13n )．③ 用数学归纳法证明③式：(ⅰ)n ＝1时，③式显然成立，(ⅱ)假设n ＝k 时，③式成立，即(1－13)(1－132)…(1－13k )≥1－(13＋132＋…＋13k )． 则当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－132)…(1－13k )(1－13k ＋1)≥[1－(13＋132＋…＋13k )]·(1－13k ＋1) ＝1－(13＋132＋…＋13k )－13k ＋1＋13k ＋1(13＋132＋…＋13k ) ≥1－(13＋132＋…＋13k ＋13k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，③式也成立． 故对一切n ∈N ，③式都成立．利用③得，(1－13)(1－132)…(1－13n )≥1－(13＋132＋…＋13n )＝1－13[1－(13)n ]1－13＝1－12[1－(13)n ]＝12＋12(13)n >12.故②式成立，从而结论成立． 设计说明本节课是数学归纳法的第一课时，新课标要求不能仅以用数学归纳法解决一些简单问题为标准，只让学生通过各种题型的操练，学会第一步证什么，如何证；第二步证什么，如何证．这样训练出来的学生，能知道数学归纳法的步骤，也会套用数学归纳法证明一些数学命题，但不一定知道为什么要这样做，这样做可行的理由、依据是什么．这样的教学看似容易完成，但被动地训练使学生可能会增添的是：数学是机械的、枯糙的；一定会丢失的是：对数学以及数学方法、思想的进一步认识与理解．所以本节课的设计没有急于去进行大量的练习，而是把主要精力用在了由“假设P(k)(k∈N 且k≥n0)成立，推证P(k＋1)成立”的突破上，从生活出发加强了数学与生活的联系，消除了学生的畏惧感，通过问题串将学生从有限逐步引领到无限的高峰．备课资料《归纳法的分类》(一)第一数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：(1)证明当n取第一个值n0时命题成立；(2)假设当n＝k(k≥n0，k为自然数)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．(二)第二数学归纳法：对于某个与自然数n有关的命题，(1)验证n＝n0时P(n)成立；(2)假设n0<n≤k时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k＋1)成立．综合(1)(2)对一切正整数，命题P(n)都成立．(三)倒推归纳法(反向归纳法)：(1)对于无穷多个自然数命题P(n)成立；(2)假设P(k＋1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，综合(1)(2)，对一切自然数n(n>n0)，命题P(n)都成立．(四)螺旋式归纳法：P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，假如(1)P(n0)成立；(2)假设P(k)(k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k＋1)成立，综合(1)(2)，对于一切自然数n(n>n0)，P(n)，Q(n)都成立．(设计者：张建霞)。

人教版高中选修(B版)2-22.3.2数学归纳法应用举例课程设计一、课程背景本课程是高中数学选修课程中的一部分，内容涉及数学归纳法的应用举例。

数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，它可以用来证明一些结论在自然数范围内成立。

在数学学科中的许多理论都是基于数学归纳法而建立的，因此掌握数学归纳法的应用技巧和方法对于学生们来说是至关重要的。

二、教学目标通过本课程的学习，学生将了解以下内容：1.掌握数学归纳法的基本概念和原理；2.学习数学归纳法的应用技巧和方法；3.能够使用数学归纳法解决数学问题；4.培养学生的逻辑推理能力和创新思维能力。

三、教学内容及方法1. 教学内容1.数学归纳法的基本概念和原理；2.数学归纳法的应用技巧和方法；3.数学问题的解决方法。

2. 教学方法1.讲授法：通过讲解数学归纳法的基本概念和原理，帮助学生理解数学归纳法的应用条件和方法；2.演示法：通过举一些具体的数学问题，演示数学归纳法的应用过程；3.组织实践活动：通过组织学生进行小组讨论，解决一些实际问题，帮助学生提高自己的解决问题的能力；4.课堂互动：通过提问、答疑等互动方式，促进学生参与课堂，激发学生学习的积极性。

四、教学过程设计1. 导入环节通过提出一个关于数学归纳法的问题引导学生思考，激发学生的学习兴趣。

例如：如果证明一个命题在自然数n=1时成立，同时假设当n=k时成立，证明当n=k+1时也成立，我们会用到哪个方法呢？2. 分组讨论学生们分成小组进行讨论，解决一些实际问题，例如：1.证明1+2+3+…+n=n(n+1)/2；2.证明任何正整数的平方一定是奇数或偶数；3.证明2^n>n，n>=4；4.证明S(n)=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6。

学生们在小组内讨论，交流想法和解题方法，达到相互学习的效果。

3.虚拟实验通过在电子课本或网上模拟工具上进行一些数学归纳法的应用实验，学生可以更加深入地了解数学归纳法的应用。

人教版高中《数学》选修2-2§2.3 数学归纳法（第一课时）一、教学目标：1、了解数学归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握归纳法证明的两个步骤；2、会证明简单的与正整数有关的命题。

二、教学重点、难点：1、重点：借助具体实例，了解数学归纳法的基本思想，掌握基本步骤，会用它证明一些与正整数n 有关的命题；2、难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二步的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

三、教学手段：借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；四、教学过程：（一）创设情境，引入课题师：前面我们学习推理，并且知道由推理得到的结论是否正确，需要我们进一步验证。

我们来看这样的一道题目：已知数列{}n a 中，*111,()1n n na a a n N a +==∈+，试猜想数列的通项公式n a = 生：分别求出12341111,,,234a a a a ====，从而猜测1n a n=。

师：那么这个猜想是否正确？我们又该如何证明这个猜想？生：方法1：从n=5逐个验证？（由于n 为正整数，为无限个，所以可行性不高）方法2：通过构造新数列{}n b ，其中1n nb a =，先求出数列{}n b 的通项公式，从而得到{}n a 的通项公式；（技巧性较高，且有时新数列{}n b 不易构造）方法3：能否通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数时，通项公式都成立？ 师：带着这个问题，我们来观察一个关于多米诺骨牌游戏的视频。

（二）观看视频，动手实验观看多米诺骨牌游戏视频后，由学生来展示骨牌游戏：实验步骤：1、摆好骨牌，并由教师动手轻轻碰了第一块（并未推倒），发现实验不成功；2、由学生自己动手推倒骨牌，实验成功；3、再次摆好骨牌，教师调整最后3块的距离，发现并未全部倒下，实验失败。

师：我们一起来总结3次实验，那么要使游戏成功，所需条件有哪些？生：（1）第一块骨牌要倒下；（2）相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块也倒下；师：若将每一块骨牌相应的看成数列的1234,,,a a a a ，那么这两个条件分别相当于：（1）首项1a 要符合n a 的通项公式；（2）假设n=k 时猜想成立，则必将导致n=k+1时猜想也成立；这样一来，就可以发现由n=1成立，就有n=2成立；n=2成立，就有n=3成立；n=3成立，就有n=4成立；n=4成立，就有n=5也成立……，所以对任意的正整数n ，猜想都成立。

某某省某某市湖天中学2014高中数学《2-2 数学归纳法的应用举例》教案 新人教A 版选修2数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。

一、用数学归纳法证明恒等式问题对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．例1、是否存在常数c b a ,,，使得等式)(12)1()1(32212222c bn an n n n n +++=+•++•+•对一切自然数n 成立？并证明你的结论．解：假设存在c b a ,,，使得题设的等式成立，则当时3,2,1=n 也成立，代入得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614 解得10,11,3===c b a ，于是对3,2,1=n ，下面等式成立：)10113(12)1()1(32212222+++=+•++•+•n n n n n n 令222)1(3221+•++•+•=n n S n假设k n =时上式成立，即)10113(12)1(2+++=k k k k S k 那么21)2)(1(+++=+k k S S k k 22)2)(1()10113(12)1(++++++=k k k k k k 2)2)(1()53)(2(12)1(++++++=k k k k k k )101253(12)2)(1(2+++++=k k k k k ]10)1(11)1(3[12)2)(1(2++++++=k k k k 这就是说，等式当1+=k n 时也成立．综上所述，当10,11,3===c b a 时，题设的等式对一切自然数n 都成立．二、用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明一些与n 有关的不等式时，推导“n ＝k ＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．例3、已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-= （Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n n n b ；（Ⅱ）证明.332<n S 证明：解：（Ⅰ）证明：当.1121)(,0≥++=≥x x f x 时因为a 1=1，所以*).(1N n a n ∈≥下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1--≤n nn b （1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立，（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1--≤k kk b 那么kk k k a a a b +--=-=+-1|3|)13(|3|11.2)13(2131k k k b +-≤-≤ 所以，当n=k+1时，不等也成立。

课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。