求函数解析式的几种方法
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一
０
Ａ＼
个 交 点 为 Ｑ，连 接 ｏ Ｏ Ｐ、 Ｑ，求 △ Ｏ Ｑ Ｐ 源自．的面积 ． ， ，
图 １
．
解 ： １ 把 点 Ｃ（１ ８） 入 ｙ 生 （ （ ） 代 ＝ ≠０ 得 ： １ ×８ ４ ） ＝
・ ．
．
反 比例 函 数 的解 析 式 为 ｙ ！ ． ＝
又 ． ‘点 Ｑ（ ｍ） 该 反 比 例 函数 图像 上 ， ４， 在
Ｗ 一 ０ ０ ｘ一 １ ８０ ０ 一 ０ ７ ） ４ ５ ０，， ｍ ２ ｘ ＋３０ ０ ０ ０＝ ２ （一 ５ ０ ｏ ＋ ｍ一２ ０＜０ ，
・ ．
．
当 ７ ≤ ７ ６≤ ８时 ， 随 的 增 大 而 减 小 ．
・ ．
．
当 ｘ７ ＝ ６时 ， 有 最 大 值 ， 大 值 ＝ ２ ７ 最 一 ０（ ６—７ ２ ０ ＝ ５） ＋４ ５ ０
・
． ．
４ ４， 得 ｍ＝ ， Ｑ点 的 坐 标 为 （ １ ． ｍ＝ 解 ｌ即 ４， ）
而直线 ｙ 一 ＋ ＝ ｘ ｂ经 过 点 Ｑ（ １ ， ４， ）
・ ． ．
１ ：一４＋ｂ， 得 ｂ ５ ． 解 ＝ ． ・ 线为 ｙ 一 ．直 ＝ ＋５ ．
ｌ＿ 得－ ’ ． ｛’＝ ＝ 解；或 １ 二 ｒ 【 ＝ｖ ４ １
Ｄ． ＝ （ ＞０ 二 ＾ ）
解 ： ｙ ｃ 点 Ａ（ ， ） 于 轴 对 称 的 点 为 （ ， 设 ＝／ ２ ２ ＿ １２ 关 １ 一２ ， 以 ）所
．
ｋ＝一２ ２ ．又 ‘ ． ’图像 在 正 半 轴 ． ＞０ ．选 Ｄ．
温 馨 小 提 示 ： 据 函数 图像 求 解 析 式 ， 果 能 找 到 图像 中 已知 根 如 的 点、 线段 、 线 的数 量 关 系或 位 置 关 系 ， 简捷 解 题 ． 直 可
４４０ 元 ） ８ （ ．
・ ． ．
商 场 获 得 的 最 大 利 润 是 ４ ４ ０元 ． ８
温 馨 小 提 示 ： 据 实际 情 况 列 函数 关 系式 ， 先 要 弄 清 楚 各 个 根 首
变 量 、常 量 之 间的 内在 联 系 ，再 依 据 它们 的数 量 关 系建 立 适 当的 函数 模 型 ． 自变 量 的 取 值 除 使 函 数 本 身 有 意 义 外 ，还 要 使 实 际 问
例 ２ （ ０ １年 成 都 卷 ） 图 １ 已 知 反 比 例 函数 ） Ｌ （ ２１ 如 ， ， ： ｋ＃ｏ Ｉ ） Ｎ 像 经 过 点 Ｃ（ ， ） 直 线 Ｙ 一 ＋ １ ８ ， ＝ ６经 过
该 反 比例 函数 图 像 上 的点 Ｑ ４ ｍ） （， ．
日
（） 反 比例 函数 和 直 线 的表 达 式 ； １求 （）设 该 直 线 与 轴 、 ２ Ｙ轴 分 别 相 交 于 Ａ 、 两 点 ，与 反 比例 函 数 图像 的 另
０） 移 时 ， 将 抛 物 线 的 解 析 式 化 为 ｙ ａ — ）＋ 形 式 ， 后 两 平 先 ＝ （ ｈ 然 者 依 据 “自变 量 左 加 右 减 ， 量 上 加 下 减 ” 法 则 确 定 解析 式 ． 常 的
例 ４ （ ０ １年 新 疆 卷 ）如 图 ２， 是 反 比 ２１ ｆ
．
・ ．
．
Ｐ点 坐 标 为 （ ， ． １ ４）
由ｙ 一 ＝ ＋５得 Ａ 点 为 （ ， ） 曰点 为 （ ， ） ５０ ， ０５．
’ ． ．
Ｓ△ ｐ＝ ＾ Ｓ△ ［ ． ｏ ＯＱ Ｓ△ ０口 ０ ］ｓ △
＝ ５５ ５ 一 ５ ＝ ××一 × 争×× 孚． ×
Ａ ． ｙ＝２ ｘ－ １ Ｂ． ｙ ｘ一 ２ ＝２
） ．
Ｃ． ｙ＝ ｘ ＋ １ ２ Ｄ． ｙ ｘ ＋ ２ ＝２
解： 函数 ｙ 向右 平 移 １个 单 位 ， 自变 量 变 成 一 ， ’ ＝ 即 １得 ， ＝
２ 一 ） （ １ ．选 Ｂ．
温 馨 小提 示 ： 线 ｙ ｋ ＋ （ 直 ＝ ｘ ６ ｋ≠ ０ 与 抛 物 线 Ｙ 似 ｂ ＋ （ ） ＝ ＋ ｘ ｃ ａ≠
例 函 数 ｙ 在 第 一 象 限 内 的 图 像 ， 经 过 点 ＝ 且
４（ ， ．ｆ关 于 轴 对 称 的 图 像 为 Ｚ， 么 ｆ １ ２） ：那 ｚ
的函数表达 式为 （ ） ．
Ａ．ｙ （ ＜０ ： ） Ｂ．ｙ （ ＞０） ＝ 图
２
Ｃ．ｖ 二 ＜０ ： （ ＾ ）
解 ：１ 根据题意得 （ ） ｙ ２ ０＋（ ０一 ＝０ ８ ）×２ ＝一２ ｘ＋１８ ０ ０ ０ ０．
（ ） 一６ ） ＝ 一６ ） ２ ＝（ ０ｙ （ ０ （一２ ｘ ｌ８ ０） ０ ＋ ０
＝ 一
２ ｘ＋３ ０ ０ 一 １ ０ ０ ２ ０ ｘ ０８ ０ ０．
（ ） 据 题 意 得 一 ０ ３根 ２ ｘ＋１８ ０≥２ ０且 ≥７ ．６≤ ０ ４ ６ ７ ≤７ ． ８
温 馨 小 提 示 ： 定 系数 法是 求 函数 解 析 式 最 常 用 的 方 法 ． 题 待 解
步 骤 是 ： ， ， ． 先 设 出解 析 式 ， 依 据 条 件 列 出 方 程 （ ） 设 列 解 即 再 组 ，
然 后 解 方 程 （ ） 出 系数 ， 而 求 出解 析 式 ． 次 函 数 的 解 析 式 有 组 求 从 二
② 当 ｒ ≠０时 ，若 函数 ｙ ｒ ｔ ：
一 ＋１ 图像 与 轴 只有 一 个 的
交 点 ， 方 程 。 ｘ＋１０ 两 个 相 等 的实 数 根 ． 则 一６ ＝有
・ ．
．
△＝ （一６） —４ ＝ ， ｍ＝ ． ｍ Ｏ 即 ９
若 该 函 数 图像 与 轴 只 有 一 个 交 点 ， ｍ 为 ０或 ９ 则 ．
三种 ： 般 式、 点式和 顶点 式 ， 根据 条件灵 活地选取 ． 一 交 应
三 、 用 平 移 规 律 求 解 析 式 利
例 ３ （ ０ １年 乌 鲁 木 齐 卷 ） 直 线 ｙ ２ ２１ 将 ＝ ｘ向 右 平 移 １ 单 位 后 个 所 得 图 像 对 应 的 函数 解 析 式 为 （
（ ２）写 出 获得 的利 润 Ｗ元 与 销 售 单 价 元 之 间 的 函数关 系式 ；
（ ３）若 童 装 厂 规 定 销 售 单 价 不 低 于 ７ ６元 ， 商 场 要 完 成 不 少 且 于 ２０件 的 销 售 任 务 ， 商 场 获 得 的 最 大 利 润 是 多 少 ？ ４ 则
五 、 据 实 际 问 题 求 解 析 式 根
例 ５ （０ １ 青 岛卷 ） 商 场 经 营 某 种 品 牌 的 童装 ， 进 时 的 ２１ 年 某 购
单价 是 ６ ０元 ． 根 据 市 场 调 查 ， 一 段 时 间 内 ， 售 单 价 是 ８ 在 销 ０元 时 ， 售 量 是 ２ ０件 ， 销 ０ 而销 售 单 价 每 降 低 １ ， 可 多 售 出 ２ 元 就 ０件 ． （ ）写 出销 售 量 Ｙ件 与 销 售 单 价 元 之 间 的 函数 关 系 式 ； １
温 馨 小 提 示 ： 掌 握 常 见 函 数 解 析 式 的 特 征 是 解 此 类 题 的 关
键 ． 在 本 题 中 ， 定 要 注 意 二 次 项 系数 ｍ 等 于 ０和 不 等 于 ０两 种 一
情 况 ， 别 表 示 一 次 函数 和 二 次 函数 ． 分
二 、 用 待 定 系数 法 求 解 析 式 利
题 有意 义．
０
Ａ＼
个 交 点 为 Ｑ，连 接 ｏ Ｏ Ｐ、 Ｑ，求 △ Ｏ Ｑ Ｐ 源自．的面积 ． ， ，
图 １
．
解 ： １ 把 点 Ｃ（１ ８） 入 ｙ 生 （ （ ） 代 ＝ ≠０ 得 ： １ ×８ ４ ） ＝
・ ．
．
反 比例 函 数 的解 析 式 为 ｙ ！ ． ＝
又 ． ‘点 Ｑ（ ｍ） 该 反 比 例 函数 图像 上 ， ４， 在
Ｗ 一 ０ ０ ｘ一 １ ８０ ０ 一 ０ ７ ） ４ ５ ０，， ｍ ２ ｘ ＋３０ ０ ０ ０＝ ２ （一 ５ ０ ｏ ＋ ｍ一２ ０＜０ ，
・ ．
．
当 ７ ≤ ７ ６≤ ８时 ， 随 的 增 大 而 减 小 ．
・ ．
．
当 ｘ７ ＝ ６时 ， 有 最 大 值 ， 大 值 ＝ ２ ７ 最 一 ０（ ６—７ ２ ０ ＝ ５） ＋４ ５ ０
・
． ．
４ ４， 得 ｍ＝ ， Ｑ点 的 坐 标 为 （ １ ． ｍ＝ 解 ｌ即 ４， ）
而直线 ｙ 一 ＋ ＝ ｘ ｂ经 过 点 Ｑ（ １ ， ４， ）
・ ． ．
１ ：一４＋ｂ， 得 ｂ ５ ． 解 ＝ ． ・ 线为 ｙ 一 ．直 ＝ ＋５ ．
ｌ＿ 得－ ’ ． ｛’＝ ＝ 解；或 １ 二 ｒ 【 ＝ｖ ４ １
Ｄ． ＝ （ ＞０ 二 ＾ ）
解 ： ｙ ｃ 点 Ａ（ ， ） 于 轴 对 称 的 点 为 （ ， 设 ＝／ ２ ２ ＿ １２ 关 １ 一２ ， 以 ）所
．
ｋ＝一２ ２ ．又 ‘ ． ’图像 在 正 半 轴 ． ＞０ ．选 Ｄ．
温 馨 小 提 示 ： 据 函数 图像 求 解 析 式 ， 果 能 找 到 图像 中 已知 根 如 的 点、 线段 、 线 的数 量 关 系或 位 置 关 系 ， 简捷 解 题 ． 直 可
４４０ 元 ） ８ （ ．
・ ． ．
商 场 获 得 的 最 大 利 润 是 ４ ４ ０元 ． ８
温 馨 小 提 示 ： 据 实际 情 况 列 函数 关 系式 ， 先 要 弄 清 楚 各 个 根 首
变 量 、常 量 之 间的 内在 联 系 ，再 依 据 它们 的数 量 关 系建 立 适 当的 函数 模 型 ． 自变 量 的 取 值 除 使 函 数 本 身 有 意 义 外 ，还 要 使 实 际 问
例 ２ （ ０ １年 成 都 卷 ） 图 １ 已 知 反 比 例 函数 ） Ｌ （ ２１ 如 ， ， ： ｋ＃ｏ Ｉ ） Ｎ 像 经 过 点 Ｃ（ ， ） 直 线 Ｙ 一 ＋ １ ８ ， ＝ ６经 过
该 反 比例 函数 图 像 上 的点 Ｑ ４ ｍ） （， ．
日
（） 反 比例 函数 和 直 线 的表 达 式 ； １求 （）设 该 直 线 与 轴 、 ２ Ｙ轴 分 别 相 交 于 Ａ 、 两 点 ，与 反 比例 函 数 图像 的 另
０） 移 时 ， 将 抛 物 线 的 解 析 式 化 为 ｙ ａ — ）＋ 形 式 ， 后 两 平 先 ＝ （ ｈ 然 者 依 据 “自变 量 左 加 右 减 ， 量 上 加 下 减 ” 法 则 确 定 解析 式 ． 常 的
例 ４ （ ０ １年 新 疆 卷 ）如 图 ２， 是 反 比 ２１ ｆ
．
・ ．
．
Ｐ点 坐 标 为 （ ， ． １ ４）
由ｙ 一 ＝ ＋５得 Ａ 点 为 （ ， ） 曰点 为 （ ， ） ５０ ， ０５．
’ ． ．
Ｓ△ ｐ＝ ＾ Ｓ△ ［ ． ｏ ＯＱ Ｓ△ ０口 ０ ］ｓ △
＝ ５５ ５ 一 ５ ＝ ××一 × 争×× 孚． ×
Ａ ． ｙ＝２ ｘ－ １ Ｂ． ｙ ｘ一 ２ ＝２
） ．
Ｃ． ｙ＝ ｘ ＋ １ ２ Ｄ． ｙ ｘ ＋ ２ ＝２
解： 函数 ｙ 向右 平 移 １个 单 位 ， 自变 量 变 成 一 ， ’ ＝ 即 １得 ， ＝
２ 一 ） （ １ ．选 Ｂ．
温 馨 小提 示 ： 线 ｙ ｋ ＋ （ 直 ＝ ｘ ６ ｋ≠ ０ 与 抛 物 线 Ｙ 似 ｂ ＋ （ ） ＝ ＋ ｘ ｃ ａ≠
例 函 数 ｙ 在 第 一 象 限 内 的 图 像 ， 经 过 点 ＝ 且
４（ ， ．ｆ关 于 轴 对 称 的 图 像 为 Ｚ， 么 ｆ １ ２） ：那 ｚ
的函数表达 式为 （ ） ．
Ａ．ｙ （ ＜０ ： ） Ｂ．ｙ （ ＞０） ＝ 图
２
Ｃ．ｖ 二 ＜０ ： （ ＾ ）
解 ：１ 根据题意得 （ ） ｙ ２ ０＋（ ０一 ＝０ ８ ）×２ ＝一２ ｘ＋１８ ０ ０ ０ ０．
（ ） 一６ ） ＝ 一６ ） ２ ＝（ ０ｙ （ ０ （一２ ｘ ｌ８ ０） ０ ＋ ０
＝ 一
２ ｘ＋３ ０ ０ 一 １ ０ ０ ２ ０ ｘ ０８ ０ ０．
（ ） 据 题 意 得 一 ０ ３根 ２ ｘ＋１８ ０≥２ ０且 ≥７ ．６≤ ０ ４ ６ ７ ≤７ ． ８
温 馨 小 提 示 ： 定 系数 法是 求 函数 解 析 式 最 常 用 的 方 法 ． 题 待 解
步 骤 是 ： ， ， ． 先 设 出解 析 式 ， 依 据 条 件 列 出 方 程 （ ） 设 列 解 即 再 组 ，
然 后 解 方 程 （ ） 出 系数 ， 而 求 出解 析 式 ． 次 函 数 的 解 析 式 有 组 求 从 二
② 当 ｒ ≠０时 ，若 函数 ｙ ｒ ｔ ：
一 ＋１ 图像 与 轴 只有 一 个 的
交 点 ， 方 程 。 ｘ＋１０ 两 个 相 等 的实 数 根 ． 则 一６ ＝有
・ ．
．
△＝ （一６） —４ ＝ ， ｍ＝ ． ｍ Ｏ 即 ９
若 该 函 数 图像 与 轴 只 有 一 个 交 点 ， ｍ 为 ０或 ９ 则 ．
三种 ： 般 式、 点式和 顶点 式 ， 根据 条件灵 活地选取 ． 一 交 应
三 、 用 平 移 规 律 求 解 析 式 利
例 ３ （ ０ １年 乌 鲁 木 齐 卷 ） 直 线 ｙ ２ ２１ 将 ＝ ｘ向 右 平 移 １ 单 位 后 个 所 得 图 像 对 应 的 函数 解 析 式 为 （
（ ２）写 出 获得 的利 润 Ｗ元 与 销 售 单 价 元 之 间 的 函数关 系式 ；
（ ３）若 童 装 厂 规 定 销 售 单 价 不 低 于 ７ ６元 ， 商 场 要 完 成 不 少 且 于 ２０件 的 销 售 任 务 ， 商 场 获 得 的 最 大 利 润 是 多 少 ？ ４ 则
五 、 据 实 际 问 题 求 解 析 式 根
例 ５ （０ １ 青 岛卷 ） 商 场 经 营 某 种 品 牌 的 童装 ， 进 时 的 ２１ 年 某 购
单价 是 ６ ０元 ． 根 据 市 场 调 查 ， 一 段 时 间 内 ， 售 单 价 是 ８ 在 销 ０元 时 ， 售 量 是 ２ ０件 ， 销 ０ 而销 售 单 价 每 降 低 １ ， 可 多 售 出 ２ 元 就 ０件 ． （ ）写 出销 售 量 Ｙ件 与 销 售 单 价 元 之 间 的 函数 关 系 式 ； １
温 馨 小 提 示 ： 掌 握 常 见 函 数 解 析 式 的 特 征 是 解 此 类 题 的 关
键 ． 在 本 题 中 ， 定 要 注 意 二 次 项 系数 ｍ 等 于 ０和 不 等 于 ０两 种 一
情 况 ， 别 表 示 一 次 函数 和 二 次 函数 ． 分
二 、 用 待 定 系数 法 求 解 析 式 利
题 有意 义．
