六年级下册数学试题-奥数：第六讲 公因数和公倍数(无答案)全国通用
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第六讲公因数和公倍数
第一课时
【知识概述】我们知道：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数，一般地，把自然数a 和b 的最大公因数记为（a，b）。
几个数共有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数，一般地，把自然数 a 和 b 的最小公倍数记为[a，b]。
两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
即：
（a，b）×[a，b]=a·b
【例题1】有两根彩带，分别长45 厘米和30 厘米。
现在要把这两根彩带剪成长度相等的短彩带且没有剩余，每段短彩带最长是多少厘米？
【点拨与解】这两根彩带要剪成长度一样的小段，且无剩余，每段长度必是45 厘米和30 厘米的公因数。
又要求每段尽可能的长，所求的每段长度就是 45 和 30 的最大公因数。
（45,30）=15
答：每段短彩带最长是 15 厘米。
同步精练
1、陆老师买了 36 个本子、24 支钢笔，分别平均将给五（4）班三好学生，结果正好全部分完，问五（4）班最多共有多少名三好学生？
2、把一张长 12 厘米、宽 20 厘米的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的的正方形，
裁完后没有剩余，至少可以裁多少个？
、
第二课时
例2 有一批地砖，每块长45 厘米，宽30 厘米，至少要用多少块这样的地砖才能铺成正方形地？
【点拨与解】要用这种地砖铺成正方形地，可知正方形地的边长是地砖长和宽的公倍数；又因为要用尽可能少的地砖铺地，可知铺成的正方形地要尽可能小，即正方形地的边长要尽可能小，所以正方形地的边长是地砖长和宽的最小公倍数。
[45,30]=90 （90÷45）×（90÷30）=2×3=6（块）
答：至少要 6 块才能铺成正方形地。
同步精练
1、有一批强化地板，长 150 厘米，宽 20 厘米，至少要用多少块这样的地板才能铺成正方形
地？
2、一路和二路公交车早上 6 点同时从汽车站发车，一路车每 7 分钟发一辆车，二路车每 8
分钟发一辆车。
这两辆车第二次同时发车是几时几分？
3、柴油机上有两个互相咬合的齿轮，甲齿轮有 72 个齿，乙齿轮有 28 个齿，其中某一对齿，
从第一次相遇到第二次相遇，两个齿轮各转了多少圈？
第三课时
例3 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是300，已知其中一个数是75，求另一个数是多少？
【点拨与解】根据两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，可以直接求出另一个数来。
300×15÷75=60
同步精练
1、两个数的最大公因数是 21，最小公倍数是 126，已知其中一个数是 42，求另一个数是多少？
2、已知两个自然数的积是 3072，最大公因数是 16，求这两个数的最小公倍数是多少？
3、已知两个数的最小公倍数是 210，它们的积是 1260，那么这两个数的
最大公因数是多少？
第四课时
例4 从学校到少年宫的这段公路的一侧，一共有37 根电线杆，原来每两根电线杆之间相距 50 米，现在要改为每两根之间相距 60 米，除两端不需要移动外，中途还有多少根不必移动？
【点拨与解】从学校到少年宫的这段公路的总长是50×（37-1）=1800米，（因为有37-1=36 个间隔）。
从路的一端开始，是50 和60 的公倍数处的那根电线杆就不必移动。
因为 50 和60 的最小公倍数是 300，所以，从第一根开始，每隔300 米就有一根电线杆不必移动，1800÷300=6（根），就是有6 根不必移动，去掉最后的那一根，所以，中途共有 5 根不必移动。
[50,60]=300 50×（37-1）÷300=6（根）6-1=5（根）
答：中途还有五根不必移动。
同步精练
1、插一排彩旗共 26 面。
原来没两面之间的距离是 4 米，现在改为 5 米。
除起点一面不移动外，中间还有几面可以不移动？
2、在长 288 米的河堤上，每隔 4 米栽了一棵树。
现在要改为每隔 6 米栽一棵树，可以不拔出来的树有多少棵？
3、一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是 90 米。
原来每隔 2 米植一棵树。
由于小树长大了，必须改为每隔 5 米植一棵树。
如果两端不算，中间有几棵不必移动？
割圆术
数学意义：“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。
刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而来求得较为精确的圆周率。
刘徽发明“割圆术”是为求“圆周率”。
那么圆周率究竟是指什么呢？它其实就是指“圆周长与该圆直径的比率”。
很幸运，这是个不变的“常数”！我们人类借助它可以进行关于圆和球体的各种计算。
如果没有它，那么我们对圆和球体等将束手无策。
同样，圆周率数值的“准确性”，也直接关乎到我们有关计算的准确性和精确度。
这就是人类为什么要求圆周率，而且要求得准的原因。
根据“圆周长/圆直径=圆周率”，那么圆周长=圆直径*圆周率=2*半径*圆周率（这就是我们熟悉的圆周长=2πr的来由）。
因此“圆周长公式”根本就不用背的，只要有小学知识，知道“圆周率的含义”，就可自行推导计算。
也许大家都知道“圆周率和π”，但它的“含义及作用”往往被忽略，这也就是割圆术的意义所在。
由于“圆周率=圆周长/圆直径”，其中“直径”是直的，好测量；难计算精确的是“圆周长”。
而通过刘徽的“割圆术”，这个难题解决了。
只要认真、耐心地精算出圆周长，就可得出较为精确的“圆周率”了。
——众所周知，在中国祖冲之最终完成了这个工作。
圆周率
圆周率（Pi）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。
π也等于圆形之面积与半径平方之比，是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。
在分析学里，π可以严
格地定义为满足sinx=0的最小正实数x。
圆周率用希腊字母π（读作pài）表示，是一个常数（约等于
3.141592653），是代表圆周长和直径的比值。
它是一个无理数，即无限不循环小数。
在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。
而用十位小数3.141592653便足以应付一般计算。
即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百个位。
1965年，英国数学家约翰·沃利斯（John Wallis）出版了一本数学专著，其中他推导出一个公式，发现圆周率等于无穷个分数相乘的积。
2015年，罗切斯特大学的科学家们在氢原子能级的量子力学计算中发现了圆周率相同的公式。
