图形计数(及问题详解)

几何图形计数问题☆基础题1、数一数下图中有多少条线段？2、从郑州到上海的一列火车，中间要停5站，那么在此次列车上，铁路部门要为旅客准备多少种不同的火车票？3、下图中有多少个三角形？4、下图中有多少个正方形？5、下图中有多少个长方形？☆☆提高题1、有20个钉子如图摆放，以钉子为顶点围成一个正方形，可以围成多少个正方形？2、下图中有多少个正方形？多少个三角形？3、下图中有多少个三角形？4、下图中，有多少个包含“★”的长方形。

5、下图中，有多少个长方形同时包含“★”和“☆”。

6、下图中梯形的个数与三角形的个数的差是多少？☆☆☆竞赛题1、如下图，边界上各条线段的长度依次是5厘米、12厘米、8厘米、1厘米、2厘米、4厘米、7厘米、3厘米。

（1）图中一共有多少个长方形？（2）这些长方形的面积和是多少平方厘米？2、下图中的正方形被分成了9个相同的小正方形，它们有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影三角形的面积一样大的三角形有多少个？3、下图中有多少个正方形？4、一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，……，共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？参考答案☆基础题1、答案：36条解析：基本线段是指：只有一条线段组成的线段叫做基本线段，本题中基本线段的条数是8条，所有线段的条数是：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（条）2、答案：42种解析：去时要准备：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（种）一共要准备：21×2＝42（种）3、答案：12个解析：可以把这个三角形分成两部分来看，上层红色部分有：3＋2＋1＝6（个），下层蓝色部分有：3＋2＋1＝6（个），所以一共有：6×2＝12（个）4、答案：32个解析：如下图，把原长方形分成两个同样大小的正方形，（3×3＋2×2＋1×1）×2＝28（个）在蓝色部分的长方形中，还有2个正方形，以蓝色长方形的长为边的正方形还有2个，所以正方形的总个数是：28＋2＋2＝32（个）5、答案：150个解析：先沿着长的方向数：基本线段的条数数是5个，则所有线段的条数是：5＋4＋3＋2＋1＝15（条）；再沿着宽的方向数：基本线段的条数是4个，则所有线段的条数是：4＋3＋2＋1＝10（条），则在这个图中所有长方形的个数：15×10＝150（个）☆☆提高题1、答案：21个解析：如下图，①形如玫红色正方形有：5＋4＝9（个）；②形如黄色正方形有：4个；③形如黑色正方形有：4个；④形如蓝色正方形有：2个；⑤形如红色正方形有2个，所有正方形的总个数是：9＋4＋4＋2＋2＝21（个）2、答案：正方形个数：10个；三角形个数：44个。

第十七讲图形计数进阶一、乘法原理我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．来完成，这几步是完．．．．的独立步骤成这件任务缺一不可的．．．．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”.二、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘三、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说从A地到B地有三种交通方式，从B地到C地有2种交通方式，问从A地到C地有多少种乘车方案；2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几位数的偶数，有多少种排法．1.掌握加法乘法原理2.熟练运用加乘方法3.解决加乘及计数综合性题目1.联欢会上有一则数字谜语，谜底是一个八位数。

现已猜出：□54□7□39，主持人提示：“这个无重复数字的八位数中，最小的数是2。

”要猜出这个谜语，最多还要猜次。

解析：根据题意三个方框只能从2,6,8中选，根据乘法原理最多还要猜3×2×1=6答案：62.在右面每个方格中各放1枚围棋子(黑子或白子)，有（）种放法．解析：由于每个方格有2种填法，依此根据乘法原理进行解答。

泉州五中初一数学奥数培优练习（1）——图形的计数及线段班级______ 座号________ 姓名______________1、计算下列各图中线段的总条数．2、计算下列各图中三角形的总个数．3、计算下列各图中正方形的总个数．4、如图所示，平面上有16个点，在每个点上钉上钉子，如以这些钉子为顶点，用线把它们围起来，你能围出几个正方形？5、请计算图中所示的正五边形ABCDE 中三角形的个数．6、计算图中长方体（包括正方体）的个数．A B C D E A B C D E FA B C DE F P GHQ 甲 乙7、如图，一只甲虫从A 点出发，沿图中线段爬到F 点，如果爬行时， 同一个点或同一条线段只能经过一次，那么这只甲虫最多有多少种 不同的爬行方法？8、上图是由小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形的数字表示在该位置的小立方块的个数，再根据左视图所提供的信息，确定x 和y 的值，并画出主视图．9、图中8条直线最多能把平面分成多少部分？10．在一条直线上有四个不同的点依次是A ，B ，C ，D ，那么到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点是（）A ．可以是直线AD 外的某一点B ．只有点B 或点C C ．只是线段AD 的中点 D ．有无穷多个11．如图，B 、C 、D 依次是AE 上的三点，已知AE = 8.9cm ，BD = 3cm ，则图中以A 、B 、C 、D 、E 这5个点为端点的所有线段长度的和为 cm ．12．如图，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，Pl 4 l 3l 2l 1（1） x 2 1 y 2俯视图 左视图A B C D EABCQ P MN为NA 的中点，Q 为MA 的中点，则MN ：PQ = ．泉州五中初一数学奥数培优练习（1） ——图形的计数及线段参考答案1、解：图甲中的线段上共有4条基本线段AB ，BC ，CD ，DE ；由两条基本线段组成的线段有3条：AC ，BD ，CE ；由三条基本线段组成的线段有2条：AD ，BE ；由四条基本线段组成的线段有1条：AE ．所以，图甲中线段的总条数是4+3+2+1=10．用同样的方法，我们可以求得图乙中线段的总条数是5+4+3+2+1=15．2、解： 数三角形的总个数的规律与数线段方法类似，如图（a ），三角形的总个数为1+2+3+4+ (7)2)17(7+=28． 图(b)是一个复合图形，可采用分类的方法去数：先看在ABC ∆中三角形的个数，应为1+2+3+4=10个，显然在ACD ∆中也应有10个三角形．另外，以BD 为底边的三角形有4个．因此共有10+10+4=24个三角形．请数出图(c)中三角形的个数．3、解： 为方便起见，假设每个小方格的边长为1个单位，并称为基本线段．在（1）中，每边有两条基本线段，所以长为1个长度单位的正方形有2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有1×1=1（个），即1×1+2×2=52122=+（个）． 在（2）中，每边有3条基本线段，有2条2个长度单位的线段，有1条3个长度单位的线段，所以边长为1个长度单位的正方形有3×3=9（个），边长为2个长度单位的正方形有2×2=4（个），边长为3个长度单位的正方形有1×1=1（个），即1×1+2×2+3×3=14321322=++（个）． 在（3）中，3043212222=+++（个）． 在（4）中，555432122222=++++（个）．4、解： 这个问题与前面数正方形个数是不同的．这个问题的正方形的边不是先画好的，而是要我们自己去定．我们知道，正方形是四个角都是直角，四条边都相等的四边形．所以，只要四个顶点选得好，就可用线围出一个正方形来． 很明显，我们能围出14个图甲那样的正向的正方形．除此之外，我们还能围出如图乙和图丙所示的斜向正方形来，但不能围出更小或更大的斜向正方形．图乙中所示的斜向正方形有4个；图丙中所示的斜向正方形2个，因此，在图中共可围出20个正方形．5、解：在正五边形ABCDE 中，根据三角形的形状和大小可分如下六类：如△ABE 的有5个；如△ABP 的有10个；如△ABF 的有5个；如△AFP 的有5个； 如△ACD 的有5个；如△AGD 的有5个.所以，图中共有35个三角形． 6、解：长方体的长AB 棱上共有线段：15256=⨯条．长方体的宽棱上共有线段3223=⨯条．而长方体的高棱共有线段：6234=⨯条．15×3×6＝270个．因此，图中共有长方体270个．7、解：从点A 出发，有三条路可走：AB ，AE ，AD ．因此，可以分成三类计算不同的爬法数： 沿AB 出发，共有3种爬法；沿AE 出发，共有3种爬法；沿AD 出发，共有3种爬法．所以，最多有9种不同的爬法．8、解：结合俯视图和左视图，可得x ＝1或2；y ＝3，所以主视图有两种，如图9、1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分；现在添上第4条直线，它与前面的3条直线最多有3个交点，这个3交点将第4条直线分成4段，其中第一段原来所在平面部分一分为二．所以，4条直线最多将平面分成7+4＝11个部分．完全类似地，5条直线最多将平面分成11+5＝16个部分；6条直线最多将平面分成16+6＝22个部分；7条直线最多将来面分成22+7＝29个部分；8条直线最多将平面分成29+8＝37个部分；8条直线最多将平面分成37个部分． 一般地，n 条直线最多将平面分成)2(213222++=++++n n n 个部分． 10．在一条直线上有四个不同的点依次是A ，B ，C ，D ，那么到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点是（D ）A ．可以是直线AD 外的某一点B ．只有点B 或点C C ．只是线段AD 的中点D ．有无穷多个解：在线段BC 上的点到A 、B 、C 、D 距离和最少为AD + BC ，而BC 上的点有无穷多个甲 乙 丙 或11．如图，B、C、D依次是AE上的三点，已知AE = 8.9cm，BD = 3cm，则图中以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段长度的和为41.6 cm．解：其长度总和= 4AB + 6BC + 6CD + 4DE= 4(AB + DE) + 6(BC + CD)= 4(AE–BD) + 6BD= 4AE + 2BD= 41.6cm12．如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P 为NA的中点，Q为MA的中点，则MN：PQ = 2：1 ．解：MN = AN–AMPQ = P A–QA=12(AN–AM)A B C D EA B CQ P M N。

图形的计数（四年级奥数秋季思维训练教程）教学内容：第二讲图形的计数（四年级秋季思维训练教程）课时：第一、二课时课型：新授课教学目的：知识与技能理解并掌握数线段的两种方法：基本线段法、定端点法。

学会灵活地将数图形（三角形、正方形、长方形等）问题转化为数线段问题。

过程与方法通过引导学生复习旧知，鼓励学生总结归纳数线段的基本方法，培养学生的观察能力、抽象概括能力，增强学生探究问题的本领。

在观察、分析图形的过程中，要逐步培养学生掌握从特殊到一般的研究问题的方法。

情感态度与价值观在观察、总结归纳数线段的基本方法的过程中，体会探索新知的乐趣，养成善于思考，勇于探索，乐于交流的习惯。

在数图形个数时，要求按一定的顺序去做，做到不遗漏，不重复，提高学生的逻辑思维能力，养成严密的数学思维习惯。

教学重、难点：重点：通过观察、分析复杂图形并数出其中基本图形的个数的过程中，促进学生掌握类比转化的方法，培养学生分析和解决问题的能力。

难点：如何将复杂图形的计数问题转化为线段的计数问题教具、学具准备：教学过程：复习旧知，凝疑导入同学们，看看我左手上是什么？（粉笔）数数有几只？（三只）。

再看看老师右手上拿了什么？（纸）瞅瞅它们共有几张呢？我们两三岁时家人就开始教我们数数了，所以刚刚那两个问题对同学们来说都是小菜一碟，有没有？但是，不知，同学们还是否记得我们之前学过一种稍微复杂一点的数数问题---数线段。

下面我们来简单地复习一下：问题一：数一数下面图形中共有多少条线段？(10条)线段：有两个端点的直线组成的图形要求：不遗漏不重复展示与总结：定端点法：4+3+2+1=10（条）基本线段法：有4条基本线段由两条基本线段组成的线段：3条由三条基本线段组成的线段：2条由四条基本线段组成的线段：1条共有4+3+2+1=10（条）这道题有没有唤起同学们对以前学过知识的记忆呢？同学们应该都知道，学习是一个连续且不断发展的过程，随着我们年龄和年级的不断增加，我们会对同一个大问题进行更深入的研究，所以，理所当然，数数问题也需要我们对它进行更深一步的探究。

在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．例1如图1－65所示，数一数图中有多少条不同的线段？解对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数：(1)以A为左端点的线段有AB，AC，AD，AE，AF共5条；(2)以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条；(3)以C为左端点的线段有CD，CE，CF共3条；(4)以D为左端点的线段有DE，DF共2条；(5)以E为左端点的线段只有EF一条．所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条)．一般地，如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)，那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2例2图1－66中有多少个三角形？解以OA为一边的三角形有△OAB，△OAC，△OAD，△OAE，△OAF共5个；以OB为一边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数，下同)，它们是△OBC，△OBD，△OBE，△OBF；以OC为一边的三角形有△OCD，△OCE，△OCF共3个；以OD为一边的三角形有△ODE，△ODF共2个；以OE为一边的三角形有△OEF一个．所以，共有三角形5+4+3+2+1=15(个)．说明其实，不同的三角形数目等于线段AF中不同线段的条数．一般地，当原三角形的一条边上有n+1个点(包括两端点)时，它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2.例3(1)图1－67中一共有多少个长方形？(2)所有这些长方形的面积和是多少？解(1)图中长的一边有5个分点(包括端点)，所以，长的一边上不同的线段共有1+2+3+4=10(条)．同样，宽的一边上不同的线段也有10条．所以，共有长方形10×10=100(个)．(2)因为长的一边上的10条线段长分别为5，17，25，26，12，20，21，8，9，1，宽的一边上的10条线段长分别为2，6，13，16，4，11，14，7，10，3．所以，所有长方形面积和为(5×2+5×6+…+5×3)+(17×2+17×6+…+17×3)+…+(1×2+1×6+…+1×3)=(5+17+...+1)×(2+6+ (3)= 144×86=12384．例4图1－68中共有多少个三角形？解显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类：最大的三角形1个(即△ABC)，第二大的三角形有1+2=3(个)，第三大的三角形有1+2+3=6(个)，第四大的三角形有1+2+3+4=10(个)，第五大的三角形有1+2+3+4+5=15(个)，最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24(个)．我们的计数是有规律的．当然，要注意在△ABC外面还有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个)，所以最小的三角形不是21个而是24个．于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(个)．图中共有三角形59×2=118(个)．例6(1)图1－70(a)中有多少个三角形？(2)图1－70(b)中又有多少个三角形？解(1)图1－70(a)中有6条直线．一般来说，每3条直线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交于同一点，那么，它们就不能围成三角形了．从6条直线中选3条，有种选法(见说明)，每次选出的3条直线围成一个三角形，但是在图1－70(a)中，每个顶点处有3条直线通过，它们不能围成三角形，因此，共有20-3=17个三角形．(2)图1－70(b)中有7条直线，从7条直线中选3条，有7×6×5/6=35种选法．每不过同一点的3条直线构成一个三角形．图1－70(b)中，有2个顶点处有3条直线通过，它们不能构成三角形，还有一个顶点有4条直线通过，因为4条直线中选3条有4种选法，即能构成4个三角形，现在这4个三角形没有了，所以，图1－70(b)中的三角形个数是35-2-4=29(个)．说明从6条直线中选2条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，共有6×5种选法．但是每一种被重复算了一次，例如l1l2与l2l1实际上是同一种，所以，不同的选法是6×5÷2=15种．从6条直线中选3条，第一条有6种选法，第二条有5种选法，第三条有4种选法，共有6×5×4种选法．但是每一种被重复计算了6次，例如，111213，111312，121113，121311，131112，131211实际上是同一种，所以，不同的选法应为6×5×4/6=20种．下面我们利用递推的方法来计算一些图形区域问题．例7问8条直线最多能把平面分成多少部分？解 1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分；现在添上第4条直线．它与前面的3条直线最多有3个交点，这3个交点将第4条直线分成4段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，如图1－71，所以4条直线最多将平面分成7+4=11个部分．完全类似地，5条直线最多将平面分成11+5=16个部分；6条直线最多将平面分成16+6=22个部分；7条直线最多将平面分成22+7=29个部分；8条直线最多将平面分成29+8=37个部分．所以，8条直线最多将平面分成37个部分．说明一般地，n条直线最多将平面分成个部分．例8平面上5个圆最多能把平面分成多少个部分？解 1个圆最多能把平面分成2个部分；2个圆最多能把平面分成4个部分；3个圆最多能把平面分成8个部分；现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点．如图1－72所示．因此得6个交点，这6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是，4个圆最多将平面分成8+6=14个部分．同样道理，5个圆最多将平面分成14+8=22个部分．所以，5个圆最多将平面分成22个部分．说明用上面类似的方法，我们可以计算出n个圆最多分平面的部分数为2+1×2+2×2+…+(n-1)×2=2+2［1+2+…+(n-1)］=n2-n+2．例9平面上5个圆和一条直线，最多能把平面分成多少个部分？解首先，由上题可知，平面上5个圆最多能把平面分成22个部分．现在加入一条直线．由于一条直线最多与一个圆有两个交点，所以，一条直线与5个圆最多有10个交点．10个点把这条直线分成了11段，其中9段在圆内，2条射线在圆外．9条在圆内的线段把原来的部分一分为二，这样就增加了9个部分；两条射线把圆外的平面一分为二，圆外只增加了一个部分．所以，总共增加了10个部分．因此，5个圆和1条直线，最多将平面分成22+10=32个部分．例10平面上5条直线和一个圆，最多能把平面分成多少个部分？解首先，由例7知，5条直线最多将平面分成16个部分．现在加入一个圆，它最多与每条直线有两个交点，所以，与5条直线最多有10个交点．这10个交点将圆周分成10段圆弧，每一段圆弧将原来的部分一分为二，所以，10段圆弧又把原来的部分增加了10个部分．因此，5条直线和一个圆，最多能把平面分成16+10=26个部分．例11三角形ABC内部有1999个点，以顶点A，B，C和这1999个点为顶点能把原三角形分割成多少个小三角形？解设△ABC内部的n-1个点能把原三角形分割成a n-1个小三角形，我们考虑新增加一个点P n之后的情况：(1)若点P n在某个小三角形的内部，如图1－73(a)，则原小三角形的三个顶点连同P n将这个小三角形一分为三，即增加了两个小三角形；(2)若点P n在某两个小三角形公共边上，如图1－73(b)．则这两个小三角形的顶点连同点P n将这两个小三角形分别一分为二，即也增加了两个小三角形．所以，△ABC内部的n个点把原三角形分割成的小三角形个数为a n=a n-1+2．易知a0=1，于是a1=a0+2，a2=a1+2，…，a n＝a n-1+2．将上面这些式子相加，得a n=2n+1．所以，当n=1999时，三个顶点A，B，C和这1999个内点能把原三角形分割成2×1999+1=3999个小三角形．练习十九1．填空：(1)在圆周上有7个点A，B，C，D，E，F和G，连接每两个点的线段共可作出______条．(2)已知5条线段的长分别是3，5，7，9，11，若每次以其中3条线段为边组成三角形，则最多可构成互不全等的三角形_____个．(3)三角形的三边长都是正整数，其中有一边长为4，但它不是最短边，这样不同的三角形共有_____个．(4)以正七边形的7个顶点中的任意3个为顶点的三角形中，锐角三角形的个数是_______．(5)平面上10条直线最多能把平面分成_____个部分．(6)平面上10个圆最多能把平面分成_____个区域．2．有一批长度分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11厘米的细木条，它们的数量足够多，从中适当选取3根木条作为三条边，可围成一个三角形，如果规定底边是11厘米长，你能围成多少个不同的三角形？3．图1－74中有多少个三角形？4．图1－75中有多少个梯形？5．在等边△ABC所在平面上找到这样一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点的个数有多少？6．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？。

第十讲 平面图形的计数和面积一、 基础知识本讲的主要内容包括两部分：平面图形计数和平面图形面积计算。

（一）平面图形计数平面图形计数是指求满足一定条件的某种几何图形的个数。

解决这类问题常用方法是穷举（枚举）计数法，分类计数法，归纳递推法，应用原理（加法原理和乘法原理）。

这里为同学总结常用的一些公式。

1．数线段：一条线段上有n 个点（包括最两边端点），则共有线段条。

数角和三角形可借用此公式。

2．数长方形：长边有n 个点，宽边有m 个点，则共有长方形（包括正方形）·个。

3. 数正方形：每边有n 个点，则共有正方形（n-1）2+（n －2）2+（n －3）2+···+22+124. 直线分平面：平面上有n 条直线，则最多可把平面分成1+n （n+1）/2 类似的还有圆、三角形等分平面。

（二）平面图形面积计算1．图形面积是平面几何的重要内容之一．常用的面积公式有： (1)三角形面积公式：，其中a 为三角形的边长，a h 为边a 上的高．(2)平行四边形面积公式：..a b S a h b h ==，其中a 、b 分别为平行四边形的两条邻边的长，a h ﹑b h 分别为平行四边形a 、b 边上的高． (3)梯形面积公式：S 梯形=，其中a 、b 和h 分别为梯形的上底、下底和高.(4)圆面积公式：S 圆=兀R 2，其中R 为圆的半径．2．图形面积的有关性质：(1)一个图形的面积等于其各部分面积的和．(2)等底(同底)等高(同高)的两个三角形面积相等．(3)等底(同底)等高(同高)的三角形面积是平行四边形面积的一半． (4)等底(高)的两个三角形面积之比等于对应高(底)的比.3．面积问题通常包括两方面的内容：一是几何图形的面积计算与证明：二县用面积法解题．本讲重点介绍如何计算面积，一般有下面两种方法：(1)把一个不规则图形分割成三角形、平行四边形、梯形等规则图形，利用面积的和、差来计算； (2)利用等积变换进行代换．求一个图形的面积，关键在于如何转化为三角形的面积或规则图形的面积；证明面积之间的关系重点在于运用面积公式及等积变换进行比较、转化二、活题巧解（一）平面图形计数例1．在同一平面内有4点，过每2点画一条直线，则直线的条数是( )．A ．1条B ．4条C ．6条D ．1条或4条或6条解: D 若4点在同一直线上，则直线仅有一条；若4点中有3点在同一直线上，则符合条件的直线有4条;若4点中任3点都不在同一直线上，则直线有6条。

第一讲图形的计数问题一、知识点：几何图形计数问题常常没有不言而喻的次序，并且要数的对象往常是重叠交织的，要正确计数就需要一些智慧了．实质上，图形计数问题，往常采纳一种简单原始的计数方法－一列举法．详细而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证列举时无一重复、．无一遗漏，而后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培育同学们思想的有序性和优秀的学习习惯．二、典例解析：例（ 1）数出右图中总合有多少个角解析：在∠ AOB内有三条角分线 OC1、OC2、OC3，∠ AOB被这三条角分线分红 4 个基本角，那么∠ AOB内总合有多少个角呢？第一有这 4 个基本角，其次是包括有 2 个基本角构成的角有 3 个（即∠ AOC2、∠ C1OC3、∠ C2OB），而后是包括有 3 个基本角构成的角有 2 个（即∠ AOC3、∠C1OB），最后是包括有 4 个基本角构成的角有 1 个（即∠ AOB），因此∠ AOB内总合有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋ 2＋ 1＝10（个）答：图中总合有10 个角。

方法 2：用公式计算：边数×（边数—1）÷ 25 ×（ 5-1 ）÷ 2=10练一练：数一数右图中总合有多少个角？例（ 2 ）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？解析：①要数多少条线段：先看线段 AB、AD、AE、AF、AC纵向线段，再看 BC、MN、 GH 这 3 条横向线段：（4×3÷2）×5+（5×4÷2）×3=60（条）②要数有多少个三角形，先看在△ ABC中，被 GH和 MN分红了三层，每一层的三角形同样多，因此只需算出一层三角形个数就能够了。

(5 ×4÷2)×3=30(个)答：在△ ABC中共有线段60 条，共有三角形30 个。

练一练：图中共有多少个三角形？例（ 3）数一数图中长方形的个数解析：长边线段有：6× 5÷ 2=15宽边线段有： 4 ×3÷2=6共有长方形： 15×6 = 90（个）答：共有长方形90 个。

最短路线这一讲里，我们将会解决这个特殊的计数问题：最短路线问题。

怎样计数从A到B的最短路线的条数呢？我们将介绍一种非常巧妙的方法——对角线法（也叫标号法）。

一、长方形方格标号：【例1】咱们先做个游戏：在方格纸上任取一点A作为起点，再在A的右上方任取一点B 作为终点划一条由A到B的最短路线。

聪明的小朋友，你能划出来吗？总共能划出几条呢？分析：教师可提问如ACIHGFB是最短路线吗？为什么不是？如果要划从A到B的最短路线，那么从A点出发只能向上或向右（每一条都是横划2格竖划2格），可以是ACDEB、ACIEB、ACIFB、AHGFB、AHIEB、AHIFB这六条路线。

在上面这个游戏中，你是用什么方法找到从A到B的最短路线呢？如果A、B两点变成图1、2、3的位置，那么从A到B的最短路线有几条呢？分析：图1、2、3中从A到B的最短路线均为6条。

例2、按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共有多少条?AB421 1 1 1 11 14 422 3 4 52 5 9 145 14 28【分析】如下图，为了方便叙述，我们将某些点边标上字母， 按箭头所示，走1A 有一条路，到1B 有2种办法；再往下到2A 有从1A 走和2B 走两种方法，这样到2A 有3条路线；到2B 可从2A 、1B 走，有5种方法到2B ．过3A 可从2A 、2B 走，共有8条路线；到3B 可走3A 、2B ，这样共有13种走法；经过4A 可从3A 、3B 两条路走，有21种方法都到4B ；到达4B 可以走4A 和3B ，因而有34种路线到达4B ．这样由A 到B ，可经过4A 和4B 两个交叉点，共有34+21=55条路线 ，如图所示．因此，从A 点到B 点的不同路线共有55条．例3：动物园的门票1元1张，每人限购1张。

现在有10个小朋友排队买票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票.售票员没有准备零钱，问有多少种排队的方法能够使售票员找得开零钱？分析与解答：假设拿1元的5个小朋友无差别,拿2元的5个小朋友也无差别.用标数法求共有多少种排队方法.如图用横线表示拿1元的小朋友,用竖线表示拿2元的小朋友,从A 到B 只能向右或向上走(从任何一个持有2元钞票的小朋友向前看，持1元钞票的小朋友都要多一些),共有42种走法,即有42种排队方法.我们再考虑拿1元的小朋友有差别，共有 55P =5×4×3×2×1＝120（种）, 同理拿2元的小朋友有差别，共有 55P =5×4×3×2×1＝120（种）. 根据乘法原理排队方法共有42×120×120=604800（种）.二、不规则图形标号：【例4】下图是小明家和学校的示意图，你们觉得小明从家到学校一共有几条最短路线呢？分析：我们采用对角线法（如图），但本题图形有变化，，例如D点：从学校到C点有2种走法，再到D点最短路线的选择只能从C点走，所以从学校到D点有2 种走法。

几何图形计数问题的思路作者：蔡宗厚来源：《新课程·上旬》2012年第08期在现行九年制义务教育阶段的初中数学教材中，学生在解有关几何图形计数问题时，经常会发生错误。

因此，在解这类问题时，需要仔细观察图形，认真分析图形的特点，掌握图形的内在联系，准确把握图形的自身规律，从规律中寻求解决问题的方法，就能准确地求出结果。

现举例说明。

一、重叠法例1.如图1，在每条线段上有5个点，图中共有多少个点？在每条线段上若有n个点呢？分析讲解：若在每条线段上有5个点，图中三条线段共有15个点，因A，B，C三点各重叠一次，所以图中共有15-3=12个点。

若在每条线段上有n（n大于1，且n为整数）个点，图中三条线段共有3n个点，因A，B，C三点各重叠一次，所以，图中共有（3n-3）（n大于1，且n为整数）个点。

二、依序枚举法例2.如图2，已知直线l上有5个点，图中共有几条线段？若有n个点呢？分析讲解：以A为线段左端点，有AB、AC、AD、AE共4条线段；以B为线段左端点，有BC、BD、BE共3条线段；以C为线段左端点，有CD、CE共2条线段；以D为线段左端点，只有DE一条线段。

因此，在一条直线上若有5个点，共有线段4+3+2+1=10（条）。

同理，在一条直线上若有6个点，共有线段5+4+3+2+1=15（条），若有n个点，则有线段（n-1）+（n-2）+…+3+2+1= （条）。

例3.如图3，经过一点引5条射线构成小于平角的角，共有几个角？若引n条射线呢？分析讲解：以OA为始边，以OB、OC、OD、OE为终边，共有4个角；以OB为始边，以OC、OD、OE为终边，共有3个角；以OC为始边，以OD、OE为终边，共有2个角；以OD为始边，以OE为终边，有1个角。

因此，经过一点引5条射线构成小于平角的角共有4+3+2+1=10（个）。

经过一点引n条射线构成小于平角的角，则共有{（n-1）+（n-2）+…+3+2+1}= （个）。

图形的计数
【知识精讲】
我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。

要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。

要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：
1.弄清被数图形的特征和变化规律。

2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。

【经典例题】
例1、数一数下图中共有多少个三角形。

例2、数一数下图中有多少个长方形？
例3、数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）
例4、数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）
例5、从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？
【课堂练习】
1、数一数下图中有多少个长方形。

2、数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）
3、从上海到武汉的航运线上，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？。

第一讲图形计数课前复习数一数下面的图形.（ 10 ）条线段（ 18 ）个长方形（ 10 ）个正方形（ 16 ）个三角形（ 8 ）个圆同学们,我们已经会数平面图形的个数了（如三角形、正方形、长方形、圆形等）.这一节我们要一起来学习数立体图形,比如数小方块等,在数这一类图形中,一定要认真仔细观察图形特点及摆布特点,有次序地去数,不能遗漏也不能重复,只有这样我们才能又快又准的数出这些图形的个数.同学们,加油吧！实践应用【例1】下面的这堆木方块共有多少块?【分析】引导学生按顺序来数,可以一层一层的数;也可以一排一排的数;还可以先数看得见的,再数看不见的,我们一般根据图形的特点来选择合适的方法.（1）3+1=4（块）（2）5+2=7（块）（3）7+4=11（块）（4）4×2=8（块）拓展训练数一数,下面的方块各有多少？（ 9 ）块（ 10 ）块（ 9 ）块列式：5+4=9（块）列式：6+3+1=10（个）列式：6+3=9（块）或：4+3+2=9（块）或：5+4=9（块）（ 12 ）块（ 16 ）块（ 12 ）块列式：6×2=12（块）列式：9+5+2=16（块）列式：9+3=12（块）【例2】下面的图形中一共有几个小方块?【分析】这个图形的数法非常多,在众多的方法中要经过比较,找到最简便的方法：拓展训练这堆方木块共有多少块?方法一：分层数：一共有木方块6+12+18=36(块)或6×6=36（块）.方法二：分列数：6×6=36(块)【例3】下面这堆木方块共有多少块?(中间打阴影部分是空心)【分析】因为中间是空心的,所以一层只有8块,一共8×4=32(块).延伸：想一想还可以怎样数?方法二：第一列有12个,第二列有8个,第三列有12个,一共有：12+8+12=32（块）方法三：不看阴影部分一共有：12×3=36（块）,中间缺得部分是4个,一共有方块：36-4=32（块）拓展训练下图由多少块正方体组成?（中间阴影部分是空心的）【分析】虽然部分方块被遮住了,但是我们还是可以发现,如果不看中间空心的部分,每边是3个方块,共3层.方法一：9+6+9=24（块）或3×8=24（块）方法二：一层8个,共8×3=24（块）方法三：3×9-3=24（块）【例4】数一数,图1和图2中各有多少黑方块和白方块?【分析】图1：仔细观察图1,可发现黑方块和白方块同样多．因为每一行中有4个黑方块和4个白方块,共有8行,所以黑方块是：4×8＝32(个);白方块是：4×8＝32(个).图2：再仔细观察图2,从上往下看：第一行．白方块5个,黑方块4个; ,第二行白方块4个,黑方块5个;第三、五、七行同第一行,第四、六、八行同第二行;但最后的第九行是白方块5个,黑方块4个．可见白方块总数比黑方块总数多1个．白方块总数：5+4+5+4+5+4+5+4＋5＝41(个)黑方块总数：4+5+4-5+4+5+4＋5+4＝40(个)再一种方法是：每一行的白方块和黑方块共9个．共有9行,所以,白、黑方块的总数是：9×9＝81(个)．由于白方块比黑方块多1个,所以白方块是41个,黑方块是40个．【例5】书库里把书如图所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书共有多少本？【分析】方法1：从左往右一摞一摞地数：10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10=135（本）.方法2：把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个三角形“尖顶”组成.长方形中的书 10×11=110 三角形中的书 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 总数：110+25=135（本）.【例6】请你数一数,这个跳棋盘上可以放多少个棋子？【分析】要知道可以放多少个棋子,就要数有多少个棋孔.因为棋孔较多,应找出排列规律,以便于计数.仔细观察可知,图中大三角形ABC上的棋孔的排列规律是（从上往下数）：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1,2,3,所以棋孔总数是：（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）+（1+2+3）×3=66+6×3=84（个）.拓展训练如图所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成,问需要几块正六边形的砖才能把它补好?【分析】仔细观察,并发挥想象力可得出答案,用七块正六边形的砖可把这个墙洞补好．如果动手画一画,就会看得更清楚了.【例7】将10个小长方体组成一个“工"字形,再将表面涂成蓝色,然后把小正方体分开,(1)3面涂成蓝色的小长方体有几个?(2)4面涂成蓝色的小长方体有几个?(3)5面涂成蓝色的小长方体有几个?【分析】整个图形表面涂成蓝色,只有那些“黏在一起”的面没有被涂色.左、右两端中间各有1个小正方体3面涂色,中间的4个小正方体4面涂色,剩下的4个小正方体都是5面涂色.3面涂成蓝色的小正方体有2个; 4面涂成蓝色的有4个;5面涂成蓝色的有4个.【例8】一个大长方体的表面上都涂上红色,然后切成18个小立方体（切线如图中虚线所示）.在这些切成的小立方体中,问：（1）1面涂成红色的有几个？（2）2面涂成红色的有几个？（3）3面涂成红色的有几个？【分析】仔细观察图形,并发挥想象力,可知：（1）上下两层中间的2块只有一面涂色;（2）每层四边中间的1块有两面涂色,上下两层共8块;（3）每层四角的4块有三面涂色,上下两层共有8块.最后检验一下小立体总块数：2+8+8=18（个）.【例9】如图所示,一个木制的正方体,棱长为3厘米,它的六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长为1厘米的小正方体.求：（1）3面涂成红色的有多少块？（2）2面涂成红色的有多少块？（3）1面涂成红色的有多少块？（4）各面都没有涂色的有多少块？（5）切成的小正方体共有多少块？【分析】（1）3面涂色的有8块：它们是最上层四个角上的4块和最下层四个角上的4块.（2）2面涂色的有12块：它们是上、下两层每边中间的那块共8块和中层四角的4块.（3）1面涂色的有6块：它们是各面（共有6个面）中心的那块.（4）各面都没有涂色的有一块：它是正方体中心的那块.（5）共切成了3×3×3=27（块）. 或是如下计算：8+12+6+1=27（块）.【例10】一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的外表面（包括底面）全部涂成绿色,那么当把“塔”完全拆开时,3面被涂成绿色的小正方体有多少块？【分析】3面被涂成绿色的小正方体共有16块,就是图中有“点”的那些块（注意最下层有2块看不见）.附加题（以下提供的内容,供老师参考使用）1.如图所示为一块地板,它是由1号、2号和3号三种不同图案的瓷砖拼成．问这三种瓷砖各用了多少块?【分析】因为图形复杂,要特别仔细,最好是有次序地按行分类数,再进行统计：1号瓷砖共12块统计： 2号瓷砖共16块总数：36块．3号瓷砖共8块2.下图中还差多少个小正方体可以组成一个较大的正方体？【分析】先从整体上考虑组成一个较大的正方体需要多少个小正方体,再数出已有的小正方体的个数,便能得出相差的个数.组成较大的正方体需要的小正方体个数：3×3×3＝27（个）已有小正方体个数：9＋6＋3＝18（个）还差正方体个数：27－18＝9（个）答：还差9个小正方体可以组成一个较大的正方体.3.染色问题补充：右图是一个正方体木块,在它的表面涂上颜色,然后沿图中虚线竖直切开.没有涂颜色的面共有几个？【分析】先分析能切成多少块,再考虑每块上有几个面没涂颜色.解：2×8＝16(个）答：没有涂颜色的面共有16个.4. 下图所示为棱长4厘米的正方体,将它的表面全染成蓝色,然后锯成棱长1厘米的小正方体.问：（1）有3面被染成蓝色的多少块？ 8块;（2）有2面被染成蓝色的多少块？ 24块;（3）有1面被染成蓝色的多少块？ 24块;（4）各面都没有被染色的多少块？ 8块;（5）锯成的小正方体木块共有多少块？ 64块.练习一1．图中有多少个小正方体?【答案】 7+2=9(个).2．这堆木方块共有多少块?你能用几种不同的方法数出来和算出来吗?【答案】6+4+2=12(块)或6×2=12（块）.3．这堆木方块共有多少块?(中间打阴影部分是空心)【答案】3×3×5-2×3=39(块)或3×3×3+6×2=39（块）4. 用不同的方法数这两个图形各有多少个方块?【答案】(1)4+3+1=8(个);(2)3×2+4=10(个).5.小狗与小猫的外形是用绳子围成的,你知道哪一条绳子长吗？（仔细观察,想办法比较出来）.【答案】分类数一数可知,围成小猫的那条绳子比较长.因为小狗身体的外形是由32条直线段和6条斜线段组成;小猫身体的外形是由32条直线段和8条斜线段组成.6.将8个小立方块组成“丁”字型,再将表面都涂成红色,然后就把小立方块分开,（1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？（2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？【答案】看着图,想象涂色情况.当把整个表面都涂成红色后,只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接触的面）,没有被涂色.每个小立方体都有6个面,减去没涂色的面数,就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都写在了它的上面.3面涂色的小立方体共有1个;4面涂色的小立方体共有4个;5面涂色的小立方体共有3个.数学故事从一加到一百高斯有许多有趣的故事,故事的第一手资料常来自高斯本人,因为他在晚年时总喜欢谈他小时候的事,我们也许会怀疑故事的真实性,但许多人都证实了他所谈的故事. 高斯的父亲作泥瓦厂的工头,每星期六他总是要发薪水给工人.在高斯三岁夏天时,有一次当他正要发薪水的时候,小高斯站了起来说：“爸爸,你弄错了.”然后他说了另外一个数目.原来三岁的小高斯趴在地板上,一直暗地里跟着他爸爸计算该给谁多少工钱.重算的结果证明小高斯是对的,这把站在那里的大人都吓的目瞪口呆.高斯常常带笑说,他在学讲话之前就已经学会计算了,还常说他问了大人字母如何发音后,就自己学着读起书来.七岁时高斯进了小学.大约在十岁时,老师在算数课上出了一道难题：“把1到100的整数写下来,然后把它们加起来！”每当有考试时他们有如下的习惯：第一个做完的就把石板﹝当时通行,写字用﹞面朝下地放在老师的桌子上,第二个做完的就把石板摆在第一张石板上,就这样一个一个落起来.这个难题当然难不倒学过算数级数的人,但这些孩子才刚开始学算数呢！老师心想他可以休息一下了.但他错了,因为还不到几秒钟,高斯已经把石板放在讲桌上了,同时说道：“答案在这儿！”其他的学生把数字一个个加起来,额头都出了汗水,但高斯却静静坐着,对老师投来的,轻蔑的、怀疑的眼光毫不在意.考完后,老师一张张地检查着石板.大部分都做错了,学生就吃了一顿鞭打.最后,高斯的石板被翻了过来,只见上面只有一个数字：5050（用不着说,这是正确的答案.）老师吃了一惊,高斯就解释他如何找到答案：1＋100＝101,2＋99＝101,3＋98＝101,……,49＋52＝101,50＋51＝101,一共有50对和为101的数目,所以答案是50×101＝5050.由此可见高斯找到了算术级数的对称性,然后就像求得一般算术级数合的过程一样,把数目一对对地凑在一起.。

飞尔幼儿园停课不停学线上“微”活动设计一、导入1、今年的假期因为疫情而显得特别的长，我们小朋友们是不是在家里吃了很多的零食啊？其中最多的饼干吧？它们的形状你们都还认识吗，我们一起来复习一下吧。

二、题目讲解1、第一题:【平面图形计数】我们学过的平面的图形有三角形，正方形，长方形，梯形还有圆形，如果我们分开来数，我们聪明的小朋友们是能数得清的，那我们如果把它们重叠在一起的时候我们还能数得清吗？题目讲解：下面两个图形由好多个三角形拼在一起的，我们可以先数一数它们分别是由几个三角形拼图拼在一起的呢？然后我们再数一数两个拼图一起有没有拼成一个新的三角形呢？三个拼图呢？四个拼图呢？这样我们就可以数出全部的三角形了。

家长指导建议:幼儿的思维要逐渐的从形象思维过渡到抽象思维，但是也是有规律可以遵循的，从他们的拼图经验来引导，会更能增加他们对题目的理解性。

家长可以用同样的方式来辅导幼儿数一数下面的图形中分别有几个长方形和正方形？第二题：【计算运用】题目讲解：认识完角的分类，我们来做个游戏，老师来当顾客，请小朋友来当超市店长，老师要来买2瓶牛奶，带了10元钱，一瓶牛奶的价格是3元，那么请问老师带的钱够不够付两瓶牛奶呢？家长指导建议：这道题其实分步来就很简单，第一步先算两瓶牛奶的价格一共是多少元，然后再把两瓶的价格和老师带的钱作比较，看谁的大就行了。

家长在辅导孩子时切记不要急，要先理清思路，一个一个问题解决。

另外也可以换一种思路，老师先买一瓶，剩下的钱看看还够不够再买一瓶，这也是一种思路，鼓励大家用不同的思路去解决生活中的数学问题。

三、课后作业1、第一题:【平面图形计数】数一数下面的图形中分别有多少个三角形？有多少个正方形？2、第二题：【计算运用】周末的时候，小蓝的妈妈带着小蓝和妹妹一起去公园玩，他们看到一个玩套圈的游戏，妈妈买了12个套圈，妹妹投了3次，小蓝投了4次，还剩下几个可以让妈妈投呢？温馨提示：小朋友平时学习时要时刻注意自己的坐姿哦，头正身直脚放平。

第一讲图形计数课前复习数一数下面的图形.（ 10 ）条线段（ 18 ）个长方形（ 10 ）个正方形（ 16 ）个三角形（ 8 ）个圆同学们，我们已经会数平面图形的个数了（如三角形、正方形、长方形、圆形等）.这一节我们要一起来学习数立体图形，比如数小方块等，在数这一类图形中，一定要认真仔细观察图形特点及摆布特点，有次序地去数，不能遗漏也不能重复，只有这样我们才能又快又准的数出这些图形的个数.同学们，加油吧！实践应用【例1】下面的这堆木方块共有多少块?【分析】引导学生按顺序来数，可以一层一层的数；也可以一排一排的数；还可以先数看得见的，再数看不见的，我们一般根据图形的特点来选择合适的方法.（1）3+1=4（块）（2）5+2=7（块）（3）7+4=11（块）（4）4×2=8（块）拓展训练数一数，下面的方块各有多少？（ 9 ）块（ 10 ）块（ 9 ）块列式：5+4=9（块）列式：6+3+1=10（个）列式：6+3=9（块）或：4+3+2=9（块）或：5+4=9（块）（ 12 ）块（ 16 ）块（ 12 ）块列式：6×2=12（块）列式：9+5+2=16（块）列式：9+3=12（块）【例2】下面的图形中一共有几个小方块?【分析】这个图形的数法非常多，在众多的方法中要经过比较，找到最简便的方法：拓展训练这堆方木块共有多少块?方法一：分层数：一共有木方块6+12+18=36(块)或6×6=36（块）.方法二：分列数：6×6=36(块)【例3】下面这堆木方块共有多少块?(中间打阴影部分是空心)【分析】因为中间是空心的，所以一层只有8块，一共8×4=32(块).延伸：想一想还可以怎样数?方法二：第一列有12个，第二列有8个，第三列有12个，一共有：12+8+12=32（块）方法三：不看阴影部分一共有：12×3=36（块），中间缺得部分是4个，一共有方块：36-4=32（块）拓展训练下图由多少块正方体组成?（中间阴影部分是空心的）【分析】虽然部分方块被遮住了，但是我们还是可以发现，如果不看中间空心的部分，每边是3个方块，共3层.方法一：9+6+9=24（块）或3×8=24（块）方法二：一层8个，共8×3=24（块）方法三：3×9-3=24（块）【例4】数一数，图1和图2中各有多少黑方块和白方块?【分析】图1：仔细观察图1，可发现黑方块和白方块同样多．因为每一行中有4个黑方块和4个白方块，共有8行，所以黑方块是：4×8＝32(个)；白方块是：4×8＝32(个).图2：再仔细观察图2，从上往下看：第一行．白方块5个，黑方块4个；，第二行白方块4个，黑方块5个；第三、五、七行同第一行，第四、六、八行同第二行；但最后的第九行是白方块5个，黑方块4个．可见白方块总数比黑方块总数多1个．白方块总数：5+4+5+4+5+4+5+4＋5＝41(个)黑方块总数：4+5+4-5+4+5+4＋5+4＝40(个)再一种方法是：每一行的白方块和黑方块共9个．共有9行，所以，白、黑方块的总数是：9×9＝81(个)．由于白方块比黑方块多1个，所以白方块是41个，黑方块是40个．【例5】书库里把书如图所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书共有多少本？【分析】方法1：从左往右一摞一摞地数：10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10=135（本）.方法2：把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个三角形“尖顶”组成.长方形中的书 10×11=110 三角形中的书 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 总数：110+25=135（本）.【例6】请你数一数，这个跳棋盘上可以放多少个棋子？【分析】要知道可以放多少个棋子，就要数有多少个棋孔.因为棋孔较多，应找出排列规律，以便于计数.仔细观察可知，图中大三角形ABC上的棋孔的排列规律是（从上往下数）：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1，2，3，所以棋孔总数是：（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）+（1+2+3）×3=66+6×3=84（个）.拓展训练如图所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，问需要几块正六边形的砖才能把它补好?【分析】仔细观察，并发挥想象力可得出答案，用七块正六边形的砖可把这个墙洞补好．如果动手画一画，就会看得更清楚了.【例7】将10个小长方体组成一个“工"字形，再将表面涂成蓝色，然后把小正方体分开，(1)3面涂成蓝色的小长方体有几个?(2)4面涂成蓝色的小长方体有几个?(3)5面涂成蓝色的小长方体有几个?【分析】整个图形表面涂成蓝色，只有那些“黏在一起”的面没有被涂色.左、右两端中间各有1个小正方体3面涂色，中间的4个小正方体4面涂色，剩下的4个小正方体都是5面涂色.3面涂成蓝色的小正方体有2个；4面涂成蓝色的有4个；5面涂成蓝色的有4个.【例8】一个大长方体的表面上都涂上红色，然后切成18个小立方体（切线如图中虚线所示）.在这些切成的小立方体中，问：（1）1面涂成红色的有几个？（2）2面涂成红色的有几个？（3）3面涂成红色的有几个？【分析】仔细观察图形，并发挥想象力，可知：（1）上下两层中间的2块只有一面涂色；（2）每层四边中间的1块有两面涂色，上下两层共8块；（3）每层四角的4块有三面涂色，上下两层共有8块.最后检验一下小立体总块数：2+8+8=18（个）.【例9】如图所示，一个木制的正方体，棱长为3厘米，它的六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长为1厘米的小正方体.求：（1）3面涂成红色的有多少块？（2）2面涂成红色的有多少块？（3）1面涂成红色的有多少块？（4）各面都没有涂色的有多少块？（5）切成的小正方体共有多少块？【分析】（1）3面涂色的有8块：它们是最上层四个角上的4块和最下层四个角上的4块.（2）2面涂色的有12块：它们是上、下两层每边中间的那块共8块和中层四角的4块.（3）1面涂色的有6块：它们是各面（共有6个面）中心的那块.（4）各面都没有涂色的有一块：它是正方体中心的那块.（5）共切成了3×3×3=27（块）. 或是如下计算：8+12+6+1=27（块）.【例10】一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的外表面（包括底面）全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块？【分析】3面被涂成绿色的小正方体共有16块，就是图中有“点”的那些块（注意最下层有2块看不见）.附加题（以下提供的内容，供老师参考使用）1.如图所示为一块地板，它是由1号、2号和3号三种不同图案的瓷砖拼成．问这三种瓷砖各用了多少块?【分析】因为图形复杂，要特别仔细，最好是有次序地按行分类数，再进行统计：1号瓷砖共12块统计： 2号瓷砖共16块总数：36块．3号瓷砖共8块2.下图中还差多少个小正方体可以组成一个较大的正方体？【分析】先从整体上考虑组成一个较大的正方体需要多少个小正方体，再数出已有的小正方体的个数，便能得出相差的个数.组成较大的正方体需要的小正方体个数：3×3×3＝27（个）已有小正方体个数：9＋6＋3＝18（个）还差正方体个数：27－18＝9（个）答：还差9个小正方体可以组成一个较大的正方体.3.染色问题补充：右图是一个正方体木块，在它的表面涂上颜色，然后沿图中虚线竖直切开.没有涂颜色的面共有几个？【分析】先分析能切成多少块，再考虑每块上有几个面没涂颜色.解：2×8＝16(个）答：没有涂颜色的面共有16个.4. 下图所示为棱长4厘米的正方体，将它的表面全染成蓝色，然后锯成棱长1厘米的小正方体.问：（1）有3面被染成蓝色的多少块？ 8块；（2）有2面被染成蓝色的多少块？ 24块；（3）有1面被染成蓝色的多少块？ 24块；（4）各面都没有被染色的多少块？ 8块；（5）锯成的小正方体木块共有多少块？ 64块.练习一1．图中有多少个小正方体?【答案】 7+2=9(个).2．这堆木方块共有多少块?你能用几种不同的方法数出来和算出来吗?【答案】6+4+2=12(块)或6×2=12（块）.3．这堆木方块共有多少块?(中间打阴影部分是空心)【答案】3×3×5-2×3=39(块)或3×3×3+6×2=39（块）4. 用不同的方法数这两个图形各有多少个方块?【答案】(1)4+3+1=8(个)；(2)3×2+4=10(个).5.小狗与小猫的外形是用绳子围成的，你知道哪一条绳子长吗？（仔细观察，想办法比较出来）.【答案】分类数一数可知，围成小猫的那条绳子比较长.因为小狗身体的外形是由32条直线段和6条斜线段组成；小猫身体的外形是由32条直线段和8条斜线段组成.6.将8个小立方块组成“丁”字型，再将表面都涂成红色，然后就把小立方块分开，（1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？（2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？【答案】看着图，想象涂色情况.当把整个表面都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接触的面），没有被涂色.每个小立方体都有6个面，减去没涂色的面数，就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都写在了它的上面.3面涂色的小立方体共有1个；4面涂色的小立方体共有4个；5面涂色的小立方体共有3个.数学故事从一加到一百高斯有许多有趣的故事，故事的第一手资料常来自高斯本人，因为他在晚年时总喜欢谈他小时候的事，我们也许会怀疑故事的真实性，但许多人都证实了他所谈的故事. 高斯的父亲作泥瓦厂的工头，每星期六他总是要发薪水给工人.在高斯三岁夏天时，有一次当他正要发薪水的时候，小高斯站了起来说：“爸爸，你弄错了.”然后他说了另外一个数目.原来三岁的小高斯趴在地板上，一直暗地里跟着他爸爸计算该给谁多少工钱.重算的结果证明小高斯是对的，这把站在那里的大人都吓的目瞪口呆.高斯常常带笑说，他在学讲话之前就已经学会计算了，还常说他问了大人字母如何发音后，就自己学着读起书来.七岁时高斯进了小学.大约在十岁时，老师在算数课上出了一道难题：“把1到100的整数写下来，然后把它们加起来！”每当有考试时他们有如下的习惯：第一个做完的就把石板﹝当时通行，写字用﹞面朝下地放在老师的桌子上，第二个做完的就把石板摆在第一张石板上，就这样一个一个落起来.这个难题当然难不倒学过算数级数的人，但这些孩子才刚开始学算数呢！老师心想他可以休息一下了.但他错了，因为还不到几秒钟，高斯已经把石板放在讲桌上了，同时说道：“答案在这儿！”其他的学生把数字一个个加起来，额头都出了汗水，但高斯却静静坐着，对老师投来的，轻蔑的、怀疑的眼光毫不在意.考完后，老师一张张地检查着石板.大部分都做错了，学生就吃了一顿鞭打.最后，高斯的石板被翻了过来，只见上面只有一个数字：5050（用不着说，这是正确的答案.）老师吃了一惊，高斯就解释他如何找到答案：1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，……，49＋52＝101，50＋51＝101，一共有50对和为101的数目，所以答案是50×101＝5050.由此可见高斯找到了算术级数的对称性，然后就像求得一般算术级数合的过程一样，把数目一对对地凑在一起.。

专题4.1 平面图形中的计数问题【例题精讲】【例1】如图，以A为一个端点的线段共有( )A．1条B．2条C．3条D．4条【解答】解：以A为端点的线段有AB、AC、AD，共三条，故选：C．【例2】济青高铁北线，共设有5个不同站点，要保证每两个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票( )A．20种B．42种C．10种D．84种【解答】解：如图，图中有5个站点．经分析，往同一个方向（从1站点往5站点的方向），需要印制不同的火车票种类的数量有432110+++=（种)．\保证任意两个站点双向都有车票，需要印制车票种类的数量为21020´=（种)．故选：A．【例3】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：①两直线相交，最多1个交点；②三条直线相交最多有3个交点；③四条直线相交最多有6个交点；那么十条直线相交交点个数最多有( )A．40个B．45个C．50个D．55个【解答】解：10条直线两两相交，最多有11(1)10945 22n n-=´´=．故选：B ．【例4】如图所示，从一点O 出发，引两条射线可以得到一个角，引三条射线可以得到三个角，引四条射线可以得到六个角，引五条射线可以得到十个角，如果从一点出发引(n n 为大于等于2的整数）条射线，则会得到多少个角？如果8n =时，检验你所得的结论是否正确．【解答】解：当2n =时，角的个数为1；当3n =时，角的个数为123+=；当4n =时，角的个数为1236++=；当5n =时，角的个数为123410+++=；当射线的条数为n 时，角的个数为11234(2)(1)(1)2n n n n ++++¼+-+-=-，当8n =时，1(81)8282´-´=．所以n 条射线可组成1(1)2n n -g 个角，这个结论也是正确的．【题组训练】1．阅读：在直线上有n 个不同的点，则此图中共有多少条线段？通过分析、画图尝试得如下表格：图形直线上点的个数共有线段的条数两者关系2 1 2(21)0112´-+==3 3 3(31)01232´-++==464(41)012362´-+++== ¼ ¼ ¼ ¼n问题：（1）把表格补充完整；（2）根据上述得到的信息解决下列问题：①某学校七年级共有20个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？②乘火车从A站出发，沿途经过10个车站方可到达B站，那么在A，B两站之间需要安排多少种不同的车票？【解答】解：（1）图形直线上点的个数共有线段的条数两者关系212(21)0112´-+==333(31)01232´-++==464(41)012362´-+++==¼¼¼¼n22n n-2(1)0123(1)22n n n nn--++++¼+-==；（2）①把每一个班级看作一个点，则20(201)1902´-=（场)；②由题意可得：一共12个车站看作12个点，线段条数为1211662´=（条)，因为车票有起点和终点站之分，所以车票要266132´=（种)．2．观察图①，由点A和点B可确定　1　条直线；观察图②，由不在同一直线上的三点A 、B 和C 最多能确定 条直线；（1）动手画一画图③中经过A 、B 、C 、D 四点的所有直线，最多共可作 条直线；（2）在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定 条直线、n 个点(2)n …最多能确定 条直线．【解答】解：①由点A 和点B 可确定1条直线；②由不在同一直线上的三点A 、B 和C 最多能确定3条直线；经过A 、B 、C 、D 四点最多能确定6条直线；直在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定10条线、根据1个点、两个点、三个点、四个点、五个点的情况可总结出n 个点(2)n …时最多能确定：(1)2n n -条直线．故答案为：1；3，6，10，(1)2n n -．3．在一条直线上取两上点A 、B ，共得几条线段在一条直线上取三个点A 、B 、C ，共得几条线段在一条直线上取A 、B 、C 、D 四个点时，共得多少条线段在一条直线上取n 个点时，共可得多少条线段？【解答】解：2个点时1条线段，3个点时有213+=条线段；4个点时有3216++=条线段；¼n 个点时有(1)(1)(2)3212n n n n --+-+¼+++=条线段．4．平面内有三点A 、B 、C ，过其中任意两点画直线，有如下两种情况：（1）若平面内有四个点A 、B 、C 、D ，过其中任意两点画直线，有多少种情况？请画图说明；（2）若平面内有6个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直线？（3）若平面内有n 个点，过其中任意两点画直线，最多可以画多少条直线？（直接写出结果）【解答】解：（1）（2）最多可画：1234515++++=（条)；（3）最多可画：(1)12312n n n -+++¼+-=（条)．5．根据题意填空：（1）~（2）每小问1分，（3）每小问2分，共6分）（1）1l 与2l 是同一平面内两条相交直线，他们有一个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线3l ，那么这三条直线最多有　3　个交点．（2）如果在（1）的基础上在这个平面内再画第四条直线4l ，那么这四条直线最多可有 个交点．（3）由（1）（2）我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有 个交点，(1)n n >条直线最多可有 条交点．（用含有n 的代数式表示）【解答】解：（1）123+=；（2）336+=；（3）1234515++++=；21232n nn-+++¼+=．6．如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点，（1）填写下表：点的个数所得线段的条数所得射线的条数1234（2）在直线上取n个点，可以得到几条射线？（3）用这种方法可以得到15条线段吗？如果可以，请指出取几个点；不能，请说明理由．【解答】解：（1）点的个数所得线段的条数所得射线的条数102214336468（2）可以得2n条；（3）能，取6个点．Q(1)152n n-=时，6n=，所以取6个点．7．画出线段AB．（1）如图（1）所示，在线段AB上画出1个点，这时图中共有几条线段？（2）如图（2）所示，在线段AB上画出2个点，这时图中共有几条线段？（3）如图（3）所示，在线段AB上画出3个点，这时图中共有几条线段？（4）当在线段AB上画出n个点时，则共有几条线段？【解答】解：（1）三条线段（2）六条线段（3）十条线段（4）111n n n+++-+¼+或1(1)(2)2n n++条线段．8．【观察思考】如图线段AB上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有　6　条．【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 条线段．【拓展应用】若有8位同学参加班级的演讲比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？【解答】解：【观察思考】Q以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，\共有3216++=（条)．故答案为：6；【模型构建】设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则(1)(2)(3)321x m m m=-+-+-+¼+++，\倒序排列有123(3)(2)(1)x m m m =+++¼+-+-+-，2(1)x m m m m m m \=+++¼+=-，1(1)2x m m \=-．故答案为：1(1)2m m -；【拓展应用】把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作一条线段，由题知，当8m =时，(1)8(81)2822m m -´-==．答：一共要进行28场比赛．9．观察图形，并回答下列问题：（1）图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路；（2）请你用上面的思路来解决“十五个同学聚会每个人都与其他人握一次手，共握了多少次”这个问题；（3）十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？【解答】解：（1）以A 为端点的线段有AB 、AC 、AD 、AE 四条；以B 为端点的且与前面不重复的线段有BC 、BD 、BE 三条；以C 为端点的且与前面不重复的线段有CD 、CE 两条；以D 为端点的且与前面不重复的线段有DE 一条．或直接利用(1)2n n -公式，则432110+++=（条)．答：图中共有10条线段；（2）由上面结论可知15142105´¸=（次)．答：共握了105次；（3）1514210´=（张)．答：共送了210张．11．（1）在AOB Ð内部画1条射线OC ，则图1中有　3　个不同的角；（2）在AOB Ð内部画2条射线OC ，OD ，则图2中有 个不同的角；（3）在AOB Ð内部画3条射线OC ，OD ，OE ，则图3中有 个不同的角；（4）在AOB Ð内部画10条射线OC ，OD ，OE ¼，则图中有 个不同的角；（5）在AOB Ð内部画n 条射线OC ，OD ，OE ¼，则图中有 个不同的角．【解答】解：（1）在AOB Ð内部画1条射线OC ，则图中有3个不同的角，故答案为：3．（2）在AOB Ð内部画2条射线OC ，OD ，则图中有6个不同的角，故答案为：6．（3）在AOB Ð内部画3条射线OC ，OD ，OE ，则图中有10个不同的角，故答案为：10．（4）在AOB Ð内部画10条射线OC ，OD ，OE ，¼，则图中有123101166+++¼++=个不同的角，故答案为：66．（5）在AOB Ð内部画n 条射线OC ，OD ，OE ，¼，则图中有(1)(2)123(1)2n n n n +++++¼+++=个不同的角．故答案为：(1)(2)2n n ++．12．过一个角的顶点，在这个角的内部引1条射线，共形成多少个角（包括原来的角）？如果引2条、3条这样的射线呢？由此，请猜想，过一个角的顶点，如果在这个角的内部引n 条射线，共形成多少个角？【解答】解：在AOBÐ的内部引1条射线，即3条射线能组成3(31)32´-=个角；引2条射线即4条射线能组成4(41)62´-=个角；引3条射线即5条射线能组成5(51)102´-=个角；¼引n条射线即(2)n+条射线能组成(2)(1)2n n++个角．13．（1）数一数图①中共有　3　个角，图②中共有 个角；图③中共有 个角．（2）从（1）中你能找到一种数图④中角的个数的规律吗？【解答】解：（1）图①中共有3个角，图②中共有6个角，图③中共有10个角．故答案为：3，6，10；（2）123+=Q，1236++=，123410+++=，\第n个图形共有：(1)(11)(1) 123(1)22n n n nn-+--+++¼+-==．14．（1）如图①，过角的顶点在角的内部作一条射线，那么图中一共有多少个角？（2）如图②，过角的顶点在角的内部作两条射线，那么图中一共有多少个角？（3）如图③，过角的顶点在角的内部作n条射线，那么图中一共有多少个角？【解答】解：（1）在角的内部作一条射线，共有三条射线，那么图中一共有13232´´=个角；（2）在角的内部作两条射线，共有四条射线，那么图中一共有14362´´=个角；（3）在角的内部作n 条射线，共有(2)n +条射线，那么图中一共有1(2)(1)2n n ++个角．15．如图，在AOB Ð的内部：（1）画1条射线1OA ，则图中共有几个角？把它表示出来．（2）画2条射线1OA ，2OA ，则图中共有几个角？画3条呢？（3）画行n 条射线1OA ，2OA ，¼，n OA ，图中共有几个角？【解答】解：（1）有3个角，分别为1AOA Ð，10A B Ð，AOB Ð；（2）如图，画2条射线有6个角，分别为2AOA Ð，1AOA Ð，AOB Ð，210A A Ð，20A B Ð，1A OB Ð，共有：3216++=个，画3条射线，共有：432110+++=个；（3）画n 条射线，共有：(1)(2)(1)212n n n n +++++¼++=个角．16．已知如图，AOB Ð是锐角，以O 为端点向AOB Ð内部作一条射线，则图中有多少个角？若作二条、三条射线有多少个角？n 条时有多少个角？画一画，你发现什么规律？【解答】解：图（1）中有3个角；图（2）中有6个角；图（3）中有10个角；即AOB Ð内部有一条射线时，有12+个角；AOB Ð内部有二条射线时，有123++个角；AOB Ð内部有三条射线时，有1234+++个角；AOB Ð内部有n 条射线时，有1234(1)n ++++¼++个角；17．观察下图，回答下列问题：（1）在图①中有几个角？（2）在图②中有几个角？（3）在图③中有几个角？（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n 条射线，此时共有多少个角？【解答】解：由分析知：（1）①图中有2条射线，则角的个数为：2(21)12´-=（个)；（2）②图中有3条射线，则角的个数为：3(31)32´-=（个)；（3）③图中有4条射线，则角的个数为：4(41)62´-=（个)；（4）由前三问类推，角内有n 条射线时，图中共有(2)n +条射线，则角的个数为(1)(2)2n n ++个．18．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，如图所示，如果过角的顶点：（1）在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？（2）在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？（3）在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？（4）在角的内部作n条射线，那么图中一共有几个角？【解答】解：（1）在角的内部作一条射线，共有三条射线，那么图中一共有3232´=个角；（2）在角的内部作两条射线，共有四条射线，那么图中一共有4362´=个角；（3）在角的内部作三条射线，共有5条射线，那么图中一共有54102´=个角；（4）在角的内部作n条射线，共有(2)n+条射线，那么图中一共有(2)(1)2n n++个角．19．如图，在AOBÐ的内部引一条射线，能组成多少个角？引两条射线能组成多少个角？引三条射线呢？引五条射线呢？引n条射线呢？【解答】解：在AOBÐ的内部引一条射线，即3条射线能组成3(31)2´-个角；引两条射线即4条射线能组成4(41)62´-=个角；引三条射线即5条射线能组成5(51)2´-个角；引五条射线即7条射线组成7(71)2´-个角；引n条射线即(2)n+条射线能组成(2)(1)2n n++个角．20．如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点，（1）填写下表：点的个数所得线段的条数所得射线的条数1　0 2 3 4 （2）在直线上取n个点，可以得到几条线段，几条射线？【解答】解：（1）表格如下：点的个数所得线段的条数所得射线的条数102214336468（2）可以得到(1)2n n-条线段，2n条射线．21．（1）图中共有几条线段？说明你分析这个问题的具体思路．（2）你能用上面的思路来解决“十五个同学聚会，每个人都与其他人握一次手，共握多少次？”这个问题吗？请解决．（3）若改为“十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？”【解答】解：（1）以A为端点的线段有AB、AC、AD、AE四条；以B为端点的且与前面不重复的线段有BC、BD、BE三条；以C为端点的且与前面不重复的线段有CD、CE两条；以D为端点的且与前面不重复的线段有DE一条．或直接利用(1)2n n-公式则432110+++=条．答：图中共有10条线段；（2）由上面结论可知15142105´¸=（次)．答：共握了105次；（3）1514210´=（张)．答：共送了210张．22．众所周知，过两点确定一条直线，过三点中的任意两点最多能画三条直线．（1）过四点、五点中的任意两点最多能画几条直线，请画出相应的图形；（2）过n点中的任意两点最多能画几条直线，请说明理由；（3）小明有12种不同颜色的颜料，在颜料的调色中，若只能将它们中的任意两种颜料按2:1的比例混合调配，那么小明画一幅图，总共有几种不同颜色颜料可供使用．【解答】解：（1）过四点，最多可以画6条；过五点最多可以画10条；（2）设平面上点有n个，过其中的每两点画直线，最多可以画(1)2n n-条直线；（3）由题意得，12(121)132-=（种)；23．如图，过两点可画出2112´=条直线，过不共线的三点最多可以作出3232´=条直线，过无三点共线的四个点最多可作出4362´=条直线，¼，依此类推，经过平面上的n个点，（无三点共线）最多可作出多少条直线？试说明道理．【解答】解：(1)2n n-．理由：对于n个点，因为任意三点不在一条直线上，所以以一点来看，它与其它所有点存在(1)n-条直线，由于这样的点有n个，所以共有(1)n n-条，又这样每条直线重复一次，所以共有(1)2n n-．。

几何图形的计数【点与线的计数】例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？（全国第二届“华杯赛”决赛试题）讲析：可用“分组对应法”来计数。

将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。

第一排三角形有1个，其下行线有2点；第二排三角形有3个，其下行线有3点；第三排三角形有5个，其下行线有4点；以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。

所以是小三角形个数多。

例2 直线m上有4个点，直线n上有5个点。

以这些点为顶点可以组成多少个三角形？（如图5.46）（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。

直线n上有5个点，这5点共可以组成4＋3+2＋1=10（条）线段。

以这些线段分别为底边，m上的点为顶点，共可以组成4×10=40（个）三角形。

同理，m上4个点可以组成6条线段。

以它们为底边，以n上的点为顶点可以组成6×5=30（个）三角形。

所以，一共可以组成70个三角形。

【长方形与三角形的计数】例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点，以其中不在一条直线上的3点为顶点，可以构成三角形。

在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（全国第三届“华杯赛”复赛试题）为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。

①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4=32（个）；②高为2，底边长为3的三角形有8×2=16（个）。

所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。

例2 图5.48中共有______个三角形。

（《现代小学数学》）邀请赛试题）讲析：以AB边上的线段为底边，以C为顶点共有三角形6个；以AB边上的线段为底边，分别以G、H、F为顶点共有三角形3个；以BD边上的线段为底边，以C为顶点的三角形共有6个。

所以，一共有15个三角形。

例3 图5.49中共有______个正方形。