江西省赣州市大余县新城中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题

2020—2021年度第一学期第1次月考高二数学试题考试时间：120分钟一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的4个★答案★只有1个是正确★答案★）1..在等比数列{}n a 中，若151,4a a ==，则3a =( )A . 2 B. 2-2或 C. 2- D. 22.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π33．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知263,11a a ==，则7S 等于（）A ．13B ．35C ．49D ．634. 不等式()()120x x +-<的解集是（）A ．{}1x x >-B ．{}1x x <C ．{}12x x -<<D ．{}12x x x <->或5．ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a,b,c ．若a,b,c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（） A ．B ．C ．D ．6.在由正数组成的等比数列{}n a 中，若4563a a a =, 则1289a a a a 的值为( )A ．3B ．9C ．27D ．817. 已知数列{}n a 满足111,32(2)n n a a a n n -==+-≥，则{}n a 的通项公式为（） A ．23n a n =B ．23n a n n =+143423C ．232n n na -=D ．232n n na +=8.在ABC ∆中，60A =，3,2a b ==，则B =( ) A ．45°或135°B．60°C．45° D ．135° 9. 设2,2x a a y a =-=-，则x 与y 的大小关系为（） A. x y > B. x y = C.x y < D. 与a 有关 10. 符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3B ．a ＝1，b ＝2，A ＝30°C ．a ＝1，b ＝2，A ＝100°D ．b ＝c ＝1，B ＝45°11. 在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形12. 在ABC ∆中，已知3,1,30AB AC B ===,则ABC ∆的面积等于（ ） A.32 B. 34 C. 332或 D.3324或二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 边长为2的等边ABC ∆的外接圆的面积 14. 计算111244698100+++=+++15 . 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，49S S =,当n =时，n S 最大 16. 计算239111112392222⨯+⨯+⨯++⨯=三、解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，其余每题12分，共70分。

覃塘高中(gāozhōng)2021年秋季期10月月考试题高二数学试卷说明：本套试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷为试题〔选择题和客观题〕，学生自已保存，Ⅱ卷一般为答题卷，在考试完毕之后只交Ⅱ卷。

一、选择题〔每一小题5分，一共60分。

给出的四个选项里面，只有一项符合题目的要求〕1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，中选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，那么〔〕A. P1＝P2＜P3B. P2＝P3＜P1C. P1＝P3＜P2D. P1＝P2＝P32．以下命题中，错误的选项是〔〕A．命题“假设，那么x＝2”的逆否命题是“假设x≠2，那么〞B．x，，那么x＝y是成立的充要条件C．命题p：，使得，那么¬p：，那么D．命题p和q，假设为假命题，那么命题p与q中必一真一假3．假设样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，…，1＋x n的平均数是10，方差为2，那么对于样本2＋x1，2＋x2，…，2＋x n，以下结论正确的选项是〔〕A. 平均数为10，方差为2B. 平均数为11，方差为3C. 平均数为11，方差为2D. 平均数为12，方差为44．从随机编号为0 001，0 002，…，1 500的1 500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本进展质量检测，样本中编号最小的两个编号分别为0 018，0 068，那么样本中最大的编号应该是〔〕A. 1 468B. 1 478C. 1 488D. 1 4985．，那么(nà me)“〞是“＜1”的〔〕6．为了理解高一年级学生的体锻情况，随机抽查了该年级20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锻炼的时间是(分钟)，根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是[0，5)，[5，10)，…[35，40]，作出的频率分布直方图如下图，那么原始的茎叶图可能是〔〕A. B.C. D.7．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如下图，那么〔〕A．甲的成绩(chéngjì)的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差8．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，那么此点取自黑色局部的概率是〔〕A. B. C. D.9．某校10位同学组成的志愿者组织分别由李教师和杨教师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李教师和杨教师分别将各自活动通知的信息HY、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．那么甲同学收到李教师或者杨教师所发活动通知信息的概率为〔〕A. B. C. D.10．执行如下图的程序框图，假设输出的，那么判断框内应填入的条件是〔〕A. K>3?B. K>4?C. K>5?D. K>6?11. ?周易?历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深入而又朴素的认识，是中华人文文化的根底，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代(jìndài)术语解释为：把阳爻“〞当做数字“1”，把阴爻“〞当做数字“0”，那么八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤000 0震001 1坎010 2兑011 3以此类推，那么六十四卦中的“屯〞卦，符号“〞表示的十进制数是〔〕A. 18B. 17C. 16D. 1512．12．向量，，其中，假设，那么成立的一个必要不充分条件是〔〕A．λ>3或者λ<－3 B．λ>1或者λ<－1 C．－3<λ<3 D．－1<λ<1第II卷〔非选择题〕二、填空题〔每一小(yī xiǎo)题5分，一共20分〕13.用秦九韶算法求f(x)＝3x3＋x－3当x＝3时的值时，v2＝________．14．运行下面的程序时，WHILE循环语句的执行次数是 .15．p(x)：，假如p〔1〕是假命题，p〔2〕是真命题，那么实数m的取值范围是__________________．16．三位同学参加跳高、跳远、铅球工程的比赛．假设每人都选择其中两个工程，那么有且仅有两人选择工程完全一样的概率是________(结果用最简分数表示)．三、解答题〔此题一共70分，请写出必要的证明过程和计算步骤〕17.(10分〕以下程序是求1＋3＋5＋…＋99的程序，读程序完成问题.i＝1P＝0WHILE i<＝99P＝P＋ii＝i＋2WENDPRINT PEND问题：(1)程序中的循环语句是________型的循环语句；(2)将程序改成另一类型的循环语句.18.(12分〕某大学艺术(yìshù)专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．19．(12分)给定两个命题P：对任意实数x都有恒成立；Q：关于x的方程有实数根．假如P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，务实数a的取值范围．20．(12分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．〔1〕求A1被选中的概率；〔2〕求B1和C1不全被选中的概率．21．(12分)在某城气象部门的数据(shùjù)中，随机抽取100天的空气质量指数的监测数据如表：空气质量指数t 〔0，50] 〔50，100]〔100，150]〔150，200] 〔200，300]〔300，+∞〕质量等级优良细微污染轻度污染中度污染严重污染天数K 5 23 22 25 15 10 〔1〕假设该城各每天收治上呼吸道病症总人数y与当天的空气质量〔t取整数〕存在如下关系且当t＞300时，y＞500，估计在某一收治此类病症人数超过200人的概率；〔2〕假设在〔1〕中，当t＞300时，y与t的关系拟合的曲线为，现已取出了10对样本数据〔t i，y i〕〔i=1，2，3，…，10〕，且知试用可线性化的回归方法，求拟合曲线的表达式．〔附：线性回归方程中，，．〕22．(12分)汽车厂消费A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和HY型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：A类轿车10辆．〔1〕求z的值；〔2〕用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；〔3〕用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4，8．6，9．2，9．6，8．7，9．3，9．0，8．2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率．2021年秋季期高二数学10月份月考答案一、选择题。

2021年-2021年高二上学期(xuéqī)第一次月考卷数学试卷一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕1.在中，，，，那么A. B. C. D.2.在中，，，，那么A. B. C. D. 或者3.在等差数列中，，那么A. 20B. 12C. 10D. 364.在中，假设，，，那么边b等于A. B. C. D. 15.假设的三个内角A，B，C满足：：：12：13，那么一定是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 无法确定6.数列满足，假设，那么等于A. 1B. 2C. 64D. 1287.在中，，，，那么a的值是A. 3B. 23C.D. 28.在中，，且的外接圆半径，那么A. B. C. D.9.等差数列中，，，那么的前n项和的最大值是A. 15B. 20C. 26D. 3010.数列(shùliè)满足，且，那么A. B. C. D. 211.是等比数列，且，，那么的值等于A. 5B. 10C. 15D. 2012.数列，前n项和为A. B. C. D.第II卷二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕13.在中，，，，那么______．14.设等差数列的公差不为0，，且、、成等比数列，那么______．15.如下图，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为，那么水塔的高度为______ 米16.17.18.19.数列前n项和为，那么的通项等于______ ．三、解答(jiědá)题〔本大题一一共6小题，一共分〕20.等比数列，，21.求数列的通项公式．22.求的值．23.24.25.26.27.28.29.30.在三角形ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，，且．31.Ⅰ求b；32.Ⅱ求．33.34.35.36.37.等差数列(děnɡ chā shù liè)满足：，，其前n项和为．38.求数列的通项公式及；39.假设，求数列的前n项和为．40.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．41.求角A的值；42.假设，求的面积S．43.44.45.46.47.48.设等差数列(děnɡ chā shù liè)的前n项和满足，且，，成公比大于1的等比数列．49.求数列的通项公式；50.设，求数列的前n项和．51.52.22、在海岸A处，发现北偏向，间隔A为海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，间隔A为2 海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里时的速度追截走私船，此时，走私船正以10 海里时的速度从B处向北偏向逃窜Ⅰ问C船与B船相距多少海里？C船在B船的什么方向？Ⅱ问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间是．2021-2021上学期(xuéqī)高二第一次月考数学答案和解析【答案】1. D2. D3. C4. C5. C6. C7. C8. C9. C10. D11. A12. A13.14.15.16.17. 解：由题意，是等比数列，设公比为q，，，即，解得：，通项公式．根据等比数列的前n项和那么18. 解：Ⅰ由，，且，由正弦定理可得，，解得；Ⅱ由，，，由余弦定理可得，，由，可得．19. 解：设等差数列(děnɡ chā shù liè)的公差为d，那么，解得：，，，．，数列的前n项和为．20. 解：在中，，，，，，可得：．，，，可得：，可得：．．21. 解：设等差数列的首项为，公差为d，，所以，，，成公比大于1的等比数列，所以，即：，所以或者舍去，所以．所以，数列的通项公式为：；由可知：设，，；可得：，．22. 解：由题意可知，，，在中，由余弦定理得：，．由正弦(zhèngxián)定理得：，即，解得，，船在B船的正西方向．由知，，设t小时后缉私艇在D处追上走私船，那么，，在中，由正弦定理得：，解得，，是等腰三角形，，即．缉私艇沿东偏北方向行驶小时才能最快追上走私船．【解析】1. 解：在中，，，，那么．应选：D．直接利用正弦定理化简求解即可．此题考察正弦定理的应用，考察计算才能．2. 解：在中，，，，由正弦定理可得：，，应选：D．由及正弦定理可求的值，由题意可得范围，进而可求A的值．此题主要考察了正弦定理在解三角形中的应用，属于根底题．3. 解：利用等差数列(děnɡ chā shù liè)的性质可得：．应选：C．利用等差数列的性质可得：即可得出．此题考察了等差数列的性质，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．4. 解：由余弦定理可得：，解得．应选：C．利用余弦定理即可得出．此题考察了余弦定理，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．5. 解：角A、B、C满足：：：12：13，根据正弦定理，整理得a：b：：12：13，设，，，满足因此，是直角三角形．应选：C．根据题意，结合正弦定理可得a：b：：6：8，利用勾股定理判断三角形是直角三角形即可．此题给出三角形个角正弦的比值，判断三角形的形状，着重考察了利用正弦定理解三角形的知识，属于根底题．6. 解：数列(shùliè)满足，公比为．，那么，解得．应选：C．数列满足，可得公比，再利用通项公式即可得出．此题考察了等比数列的通项公式，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．7. 解：，，，由余弦定理，可得：，整理可得：．应选：C．由及余弦定理即可计算得解．此题主要考察了余弦定理在解三角形中的应用，属于根底题．8. 解：中，，且的外接圆半径，那么由正弦定理可得，解得，应选：C．由条件利用正弦定理求得a的值．此题主要考察正弦定理的应用，属于根底题．9. 解：设等差数列的公差为d，，，，解得．，令，解得，时，的前4项和获得最大值：．应选：C．利用等差数列的通项公式与求和公式、单调性即可得出．此题考察了等差数列的通项公式与求和公式、单调性，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．10. 解：数列(shùliè)满足，，可得，，，，，数列的周期为3．．数列满足，，可得，利用周期性即可得出．此题考察了数列的递推关系、数列的周期性，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．11. 解：由等比数列的性质得：，可化为又应选A先由等比数列的性质求出，，再将转化为求解．此题主要考察等比数列性质和解方程．12. 解：数列，的前n项之和．应选A．数列找到，利用分组求和法，根据等差数列和等比数列的前n项和公式可以得到结果．此题主要考察了数列求和的应用，关键步骤是找到，利用分组求法进展求解，属于根底题．13. 解：在中，，，，由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)可得，代入数据可得，解得，舍去；由正弦定理可得，故答案为：．由题意和余弦定理可得b的方程，解方程由正弦定理可得．此题考察正余弦定理解三角形，求出边b是解决问题的关键，属根底题．14. 解：等差数列的公差不为0，，且、、成等比数列，，且，解得，，．故答案为：．利用等差数列通项公式及等比数列性质列出方程组，求出首项与公差，由此能求出．此题考察数列的通项公式的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．15. 解：设，那么(nà me)，，那么，，故答案为．利用AB表示出BC，让BD减去BC等于20即可求得AB长．此题主要考察了三角函数的定义，根据三角函数可以把问题转化为方程问题来解决．16. 解：当时，，时，，当时，，合适上式．故答案为，利用公式可求出数列的通项．此题考察数列的递推公式的应用，解题时要注意公式中对的检验．17. 根据等比数列的通项公式建立关系，求解公比q，可得数列的通项公式；根据等比数列的前n项和公式，求的值即可．此题主要考察等比数列的应用，比拟根底．18. Ⅰ由正弦定理可得，，结合条件，即可得到b的值；Ⅱ由，，，由余弦定理可得，代入计算，结合三角形的内角，即可得到所求值．此题考察解三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考察转化思想和运算才能，属于根底题．19. 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．利用“裂项求和〞方法即可得出．此题考察了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和〞方法，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．20. 由利用正弦(zhèngxián)定理，三角函数恒等变换的应用化简可得，结合，可求，进而可求A的值．由及余弦定理，平方和公式可求bc的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．此题主要考察了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，平方和公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考察了计算才能和转化思想，属于根底题．21. 利用等差数列的首项与公差通过数列的和求出，利用，，成公比大于1的等比数列，求出公差，然后求解数列的通项公式．化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．此题考察数列求和，数列通项公式的应用，考察计算才能．22. 在中根据余弦定理计算BC，再利用正弦定理计算即可得出方位；在中，利用正弦定理计算，再计算BD得出追击时间是．此题考察了正余弦定理解三角形，解三角形的实际应用，属于中档题．内容总结。

江西省赣州市大余县新城中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知//,a b αα⊂，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交或异面C. 异面D. 平行或异面 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用直线与平面平行的性质定理以及定义，推出结果即可．【详解】∵a ∥α，∴a 与α没有公共点，∵b ⊂α，∴a 、b 没有公共点， ∴a 、b 平行或异面． 故答案为：D【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系的判断与应用，基本知识的考查． 2.如图所示的直观图的平面图形ABCD 中，2AB =，24AD BC ==，则原四边形的面积( )A. 43B. 83C. 12D. 10【答案】C 【解析】 【分析】本题首先可以根据直观图绘出原图，并根据直观图的各边长得出原图的各边长，最后根据梯形的面积公式即可得出结果。

【详解】如图，根据直观图的相关性质可绘出原图，其中4=AD ，4AB =，2BC =， 故原四边形的面积为122AD BC SAB ，故选C 。

【点睛】本题考查通过直观图绘出原图，直观图图中与x 轴平行的直线在原图中长度不变，直观图图中与y 轴平行的直线为原图中长度的一半，考查绘图能力，是简单题。

3.边长为a 的正四面体的表面积是（ ） A. 334B. 3312a C.234a D. 2 3a【答案】D 【解析】∵边长为a 的正四面体的表面为4个边长为a 正三角形， ∴表面积为：4×132a ⨯32， 故选：D4.已知直线l ，平面α，β，//αβ，l α⊆，那么l 与平面β的关系是（ ） A. l β// B. l β⊆C. l β//或l β⊆D. l 与β相交 【答案】A 【解析】 【分析】本题首先可根据面面平行的相关性质以及//αβ得出平面α内的所有直线都与平面β平行，然后根据l α⊆即可得出结果。

2020—2021学年度第一学期月考高二年级数学试题一､选择题1. 数列3，3，15，21，…，则33是这个数列的第（ ） A. 8项 B. 7项 C. 6项 D. 5项【★答案★】C 【解析】 【分析】根据已知中数列的前若干项，我们可以归纳总结出数列的通项公式，进而构造关于n 的方程，解方程得到★答案★．【详解】解：数列3，3，15，21，⋯， 可化为：数列3，9，15，21，⋯， 则数列的通项公式为：63n a n =-， 当6333n a n =-=时，则6333n -=， 解得：6n =，故33是这个数列的第6项. 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是数列的函数特性，数列的通项公式，其中根据已知归纳总结出数列的通项公式，是解答的关键．2. 若数列{}n a 满足2nn a =，则数列{}n a 是（ ）A. 递增数列B. 递减数列C. 常数列D. 摆动数列【★答案★】A 【解析】 【分析】作差可得1n n a a +>恒成立,所以{}n a 是递增数列.【详解】112220n n nn n a a ++-=-=>，∴1n n a a +>，即{}n a 是递增数列． 故选:A【点睛】本题考查了数列的单调性的判断,作差(或作商)是判断数列单调性的常用方法,本题属于基础题.3. 等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) A. 8B. 10C. 12D. 14【★答案★】C 【解析】试题分析：假设公差为d ,依题意可得1323212,22d d ⨯+⨯⨯=∴=.所以62(61)212a =+-⨯=.故选C.考点：等差数列的性质.4. 已知数列{}n a 为等差数列，若17134a a a π++=，则()212tan a a +=（ ） A. 33-B.3C.33D. 3-【★答案★】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得a 7=43π，而tan （a 2+a 12）=tan （2a 7），代值由三角函数公式化简可得． 【详解】∵数列{a n }为等差数列且a 1+a 7+a 13=4π， ∴a 1+a 7+a 13=3a 7=4π，解得a 7=43π， ∴tan （a 2+a 12）=tan （2a 7） =tan83π=tan （3π﹣3π）=﹣tan 3π=﹣3 故选D ．【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及三角函数中特殊角的正切函数值的运算，属基础题． 5. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin a b A =，则B 等于（ ） A. 30或60︒B. 45︒或60︒C. 60︒或120︒D. 30或150︒【★答案★】D【解析】 【分析】由于ABC 中，2sin a b A =，利用正弦定理将等式两边的边化成相应角的正弦即可求解． 【详解】解：ABC 中，2sin a b A =，由正弦定理得：sin 2sin sin A B A =， 又sin 0A ≠，1sin 2B ∴=， 又B 为三角形内角，30B ∴=︒或150︒． 故选：D ．【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，着重考查正弦定理的转化与应用，属于基础题． 6. 已知数列{n a }为等差数列，其前n 项和为n S ，2a 7－a 8＝5，则S 11为 A. 110 B. 55 C. 50D. 不能确定【★答案★】B 【解析】∵数列{n a }为等差数列，2a 7－a 8＝5，∴()6885a a a +-=, 可得a 6=5，∴S 11=()111112a a +⨯=611a=55．故选：B ． 7. 下列四个命题： ①任何数列都有通项公式；②给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列； ③给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式； ④数列的通项公式n a 是项数n 的函数 其中正确的有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【★答案★】B 【解析】 【分析】根据数列的表示方法以及数列的通项公式的定义即可判断各命题的真假．【详解】对①，根据数列的表示方法可知，不是任何数列都有通项公式，比如：π的近似值构成的数列3,3.1,3.14,3.141,，就没有通项公式，所以①错误；对②，根据数列的表示方法可知，②正确；对③，给出了数列的有限项，数列的通项公式形式不一定唯一，比如：1,1,1,1,--，其通项公式既可以写成()11n n a +=-，也可以写成()11n n a -=-，③错误；对④，根据数列通项公式的概念可知，④正确． 故选：B ．【点睛】本题主要考查数列的表示方法以及数列的通项公式的定义的理解，属于基础题． 8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a cos A ＝b cos B ，且c 2＝a 2+b 2﹣ab ，则△ABC 的形状为（ ） A. 等腰三角形或直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【★答案★】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角转化a cos A ＝b cos B ，逆用余弦定理转化c 2＝a 2+b 2﹣ab ，即可判断三角形形状.【详解】因为a cos A ＝b cos B ，故可得sinAcosA sinBcosB =，即22sin A sin B =， 又(),0,A B π∈，故可得A B =或2A B π+=；又c 2＝a 2+b 2﹣ab ，即12cosC =，又()0,C π∈，故可得60C =︒. 综上所述，60A B C ===︒. 故三角形ABC 是等边三角形. 故选：D .【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，属综合基础题.9. 已知ABC ∆的三个内角之比为::3:2:1A B C =，那么对应的三边之比::a b c 等于（ ） A. 3:2:1 B.3:2:1C.3:2:1 D. 2:3:1【★答案★】D【解析】∵已知△ABC 的三个内角之比为::3:2:1A B C =,∴有2,3B C A C ==,再由A B C π++=,可得6C π=，故三内角分别为236A B C πππ===、、.再由正弦定理可得三边之比31::::1::2:3:122a b c sinA sinB sinC ===， 故★答案★为2:3:1点睛：本题考查正弦定理的应用，结合三角形内角和等于π，很容易得出三个角的大小，利用正弦定理即出结果10. 已知数列{}n a 首项12a =，且当*N n ∈时满足12n n a a +-=，若△ABC 的三边长分别为4a 、5a 、6a ，则△ABC 最大角的余弦值为（ ）A.916B.58C.34D.18【★答案★】D 【解析】 【分析】由题意得数列{}n a 为等差数列，则可求出4a 、5a 、6a ，然后利用余弦定理求解最大角的余弦值. 【详解】当*N n ∈时满足12n n a a +-=，则数列{}n a 为首项是2公差为2的等差数列，则4a 、5a 、6a 分别为8，10，12，则最大角的余弦值为222810121cos 28108θ+-==⨯⨯，故选：D.【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查等差数列的概念及通项的运用，较简单.11. 一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ） A. 102海里 B. 103海里 C. 203海里D. 202海里【★答案★】A【解析】 【分析】先确定∠CAB 和∠ACB ,然后由正弦定理可直接求解.【详解】如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得sin 30BC︒＝sin 45AB ︒， 解得BC ＝102 (海里)． 故选：A【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，属于基础题.12. 已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A.10112020B.20192020C.20202021D.10102021【★答案★】D 【解析】 【分析】由题意，设每一行的和为i c ，可得11...(21)i i i n i c a a a n n i ++-=+++=++，继而可求解212...2(1)n n b c c c n n =+++=+，表示12(1)n n b n n =+，裂项相消即可求解. 【详解】由题意，设每一行的和为i c故111()...(21)2i n i i i i n i a a nc a a a n n i +-++-+=+++==++因此：212...[(3)(5)...(21)]2(1)n n b c c c n n n n n n n =+++=+++++++=+1111()2(1)21n n b n n n n ==-++ 故202011111111(1...)(1)22232020202122021S =-+-++-=-=10102021故选：D【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.二､填空题13. 已知ABC 中，22,23,60a b B ===︒，那么A =________．【★答案★】45° 【解析】 【分析】直接利用正弦定理即可得解． 【详解】解：由正弦定理可得：sin 22sin 602sin 223a B Ab ⨯︒===， 即2sin 2A =， 又因为22,23,60a b B ===︒，即a b <，则A B <， 所以45A =.故★答案★为：45．【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，属于基础题．14. 已知等差数列的前n 项和为n S ，且12130,0S S ><，则使n S 取得最大n 为__________．【★答案★】6 【解析】 【分析】由12130,0S S ><结合 等差数列的前n 项和公式得到第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大． 【详解】因为等差数列中，12130,0S S ><， 所以()126713760,130S a a S a =+>=<，6770,0a a a ∴+><，670,0a a ∴><，∴n S 达到最大值时对应的项数n 的值为6． 故★答案★为：6【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；（2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=- ；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （4）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.15. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n a n =-，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为______． 【★答案★】22n n+；【解析】 【分析】根据数列{}n a 满足21n a n =-，得到数列{}n a 是等差数列，求得n S ，进而得到nS n n=，再利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】因为数列{}n a 满足21n a n =-， 所以数列{}n a 是等差数列， 所以()()1212122n n n a a n n S n ++-===，所以nS n n=， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()12n n n S '+=，故★答案★为：22n n+【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和公式的运算，属于基础题.16. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝222222142a c b a c ⎡⎤⎛⎫+--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为________. 【★答案★】3 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角互化可得ac ＝4，代入(a ＋c )2＝12＋b 2，从而可得★答案★. 【详解】根据正弦定理及a 2sin C ＝4sin A ，可得ac ＝4， 由(a ＋c )2＝12＋b 2，可得a 2＋c 2－b 2＝4，所以ABC S ＝222222142a c b a c ⎡⎤⎛⎫+--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝()116434⨯-=.故★答案★为：3【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化，考查了考生的基本运算求解能力，属于基础题.三､解答题17. 在△ABC 中，120A =︒，37c a =. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求△ABC 的面积. 【★答案★】（1）3314；（2）1534. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可求得sin C 的值；（2）根据同角的三角函数的关系求出cos C ，再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出sin B ，利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）因为37c a =，所以由正弦定理得3333sin sin sin1207714C A ===； （2）若7a =，则3c =，C A ∴<，22sin cos 1C C +=，又由（1）可得13cos 14C =， ()31313353sin sin sin cos cos sin 21421144B AC A C A C ∴=+=+=⨯-⨯=， 115315sin 73322144ABC S ac B ∆∴==⨯⨯⨯=． 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于基础题目. 18. 已知数列{}n a 满足12a =，122nn n a a a +=+. （1）数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为等差数列？请说明理由； （2）求数列{}n a 的通项公式. 【★答案★】（1）数列是以12为首项，以12为公差的等差数列，理由见解析；（2）2n a n=. 【解析】 【分析】 （1）由122n n n a a a +=+可得11112n n a a +-=，则可证明出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）由（1）的结果，先写出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，然后得出{}n a 的通项公式. 【详解】解：（1）数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，理由如下：由122n n n a a a +=+可得：1211122n n n n a a a a ++==+，即11112n n a a +-=，根据等差数列的定义可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，公差为12的等差数列.（2）由（1）可知()1111222n nn a =+-=，则2n a n=. 【点睛】本题考查等差数列的判断及证明，考查数列通项公式的求解问题，较简单. 19. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求A ； （2）若3,,2b ac 成等差数列，ABC ∆的面积为23，求a ． 【★答案★】（1）3π； （2）23. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简已知可得sinA=sin （A +3π），结合范围A ∈（0，π），即可计算求解A 的值； （2）利用等差数列的性质可得b +c=3a ，利用三角形面积公式可求bc 的值，进而根据余弦定理即可解得a 的值．【详解】（1）∵asinB=bsin （A+3π）． ∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin （A +3π）． ∵sinB≠0， ∴sinA=sin （A+3π）． ∵A ∈（0，π），可得：A +A+3π=π， ∴A=3π． （2）∵b ，32a ，c 成等差数列， ∴b+c=3a ，∵△ABC 的面积为23，可得：S △ABC =12bcsinA=23， ∴123bc sin π⨯⨯=23，解得bc=8，∴由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣2bc ﹣2bccos 3π =（b+c ）2﹣3bc=（3a ）2﹣24， ∴解得：a=23．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20. 已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为15， （1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）若公差0d >，求数列{}n a 的前n 项和n T .【★答案★】（1）49n a n =-或74n a n =-（2）25,1{2712,2nn T n n n ==-+≥【解析】 【分析】（1）设等差数列的{}n a 的公差为d ，由1233a a a ++=-，12315a a a =，建立方程组求解； （2）由（1）可知49n a n =-，根据项的正负关系求数列{}n a 的前n 项和n T . 【详解】（1）设等差数列的{}n a 的公差为d 由1233a a a ++=-，得233a =-所以21a =-又12315a a a =得1315a a =-，即1111(2)15a d a a d +=-⎧⎨+=-⎩所以154a d =-⎧⎨=⎩，或 134a d =⎧⎨=-⎩即49n a n =-或74n a n =- （2）当公差0d >时，49n a n =-1）当2n ≤时，490n a n =-<，112125,6T a T a a =-==--= 设数列{}n a 的前项和为n S ，则2(549)272n n S n n n -+-=⨯=-2）当3n ≥时，490n a n =->123123n n n T a a a a a a a a =++++=--+++()()123122n a a a a a a =++++-+2222712n S S n n =-=-+当1n =时，15T =也满足212171127T ≠⨯-⨯+=， 当2n =时，26T =也满足222272126T =⨯-⨯+=，所以数列{}n a 的前n 项和25127122n n T n n n =⎧=⎨-+≥⎩ 【点睛】本题考查等差数列的通项，等差数列求和，以及含绝对值数列的前n 项的和，属于中档题. 21. 如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位．（1）求第六排的座位数；（2）某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？（提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排的参会人数最多）【★答案★】（1）19；（2）95． 【解析】 【分析】（1）构造等差数列，写出首项及公差，利用等差数列通项公式求得结果； （2）构造等差数列，利用等差数列求和求得结果.【详解】解：（1）依题意，得每排的座位数会构成等差数列{}n a ，其中首项19a =，公差2d =， 所以第六排的座位数()616119a a d =+-=．（2）因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多，第一排应坐5人，第二排应坐6人，第三排应坐7人，……，这样，每排就坐的人数就构成等差数列{}n b ， 首项15b =，公差1d '=，所以数列前10项和10110910952S b d ⨯'=+⨯=． 故该报告厅里最多可安排95人同时参加会议．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列求和，属中档题.22. 已知,,a b c 分别是ABC ∆角,,A B C 的对边，满足sin 4sin 4sin ac A C c A += （1）求a 的值；（2）ABC ∆的外接圆为圆O (O 在ABC ∆内部)，3,43OBC S b c ∆=+=，判断ABC ∆的形状，并说明理由.【★答案★】（1）2a =；（2）等边三角形. 【解析】试题分析：（I ）根据正弦定理把sin 4sin 4sin ac A C c A +=化成边的关系可得，约去c ，即可求得a ；（II ）设BC 中点为13,23OBC D S BC OD OD ∆=⋅⋅==，故120BOC ∠=,圆O 的半径为233r =,由正弦定理可知3sin 22a A r ==,所以60A =,再根据余弦定理求得bc =，据此判断出三角形性质.试题解析：（I ）由正弦定理可知,sin ,sin 22a cA C R R==, 则 2sin 4sin 4sin 44ac A C c A a c c ac +=⇔+=,()2220,444420c a c c ac a a a ≠∴+=⇔+=⇔-=,可得2a =.（II ）记BC 中点为13,23OBC D S BC OD OD ∆=⋅⋅==，故120BOC ∠=,圆O 的半径为233r =, 由正弦公式可知3sin 22a A r ==,故60A =,由余弦定理可知,2222cos a b c bc A =+-, 由上可得224b c bc =+-,又4b c +=,则2b c ==,故ABC ∆为等边三角形.考点：正弦定理、余弦定理解三角形.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

南康中学2021学年度第一学期高二第一次大考数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．22．若,A B 表示点,a 表示直线,α表示平面,则下列叙述中正确的是（ ）A ．若,AB αα⊂⊂,则AB α⊂B ．若,A B αα∈∈,则AB α∈C ．若,A a a α∉⊂,则AB α∉D ．若A a ∈,a α⊂,则A α∈3．已知正三角形ABC 的边长为2，那么△ABC 的直观图A B C '''∆的面积为（ ）A ．43B ． 26C ．46D ． 3 4.已知直线310ax y --=与直线2()103a x y -++=垂直，则a 的值为（ ）A ．11,3-B ．1,13C ．1,13--D ．1,13-5. 已知半径为1的动圆与定圆16)7()5(22=++-y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ．25)7()5(22=++-y xB ．3)7()5(22=++-y x 或15)7()5(22=++-y x C ．9)7()5(22=++-y xD ．25)7()5(22=++-y x 或9)7()5(22=++-y x6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（ ） A ．16＋4π B ．16＋2π C ．48＋4π D ．48＋2π7．点B 是点(1,2,3)A 在坐标平面yoz 内的射影，则｜OB ｜等于（ ）A ．14B ．13C ．10D ．58．圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC ＝6cm ，点P 是母线BC 上一点，且PC ＝23BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是（ ） A ．6(4)π+㎝ B ．5cm C ．35㎝ D ．7cm9．已知三棱锥P-ABC 的底面ABC 是边长为2的等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A.683πB.20πC.48πD. 283π 10．如图，在四棱锥中，底面ABCD 为正方形，且SA SB SC SD ===,其中,,E M N 分别是,,BC CD SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：S ABCD -①EP AC ⊥；②//EP BD ；③//EP 面SBD ；④EP ⊥面SAC ，其中恒成立的为（ ） A ． ①③ B ． ③④ C ． ①④D ． ②③11．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱111,B B B C 的中点，点G 是棱1CC 的中点，则过线段AG 且平行于平面1A EF 的截面的面积为（ ） A ．1B ．98 C ．89D ． 2 12. 在等腰直角ABC ∆中，,2,AB AC BC M ⊥=为BC 中点，N 为AC 中点，D 为BC 边上一个动点，ABD ∆沿AD 翻折使BD DC ⊥，点A 在面BCD 上的投影为点O ，当点D 在BC 上运动时，以下说法错误的是（ ） A. 线段NO 为定长 B. ||[1,2)CO ∈C. 180AMO ADB ∠+∠>︒D. 点O 的轨迹是圆弧二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0x ＋3≥0y －2≤0，则z ＝2x －y 的最大值为14.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为第14题图 第15题图 第16题图15．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，090=∠ACB ，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使DF C 平面⊥AB 11，则线段B 1F 的长为16．如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长均相等，D 为A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本题满分10分）已知圆221C x y ：与直线:30l x y m -+=相交于不同的A B 、两点，O 为坐标原点.（1）求实数m 的取值范围； （2）若3AB =，求实数m 的值.18、（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PB PD =，E ，F 分别为AB 和PD 的中点． （1）求证：EF ∥平面PBC ． （2）求证：BD ⊥平面PAC ．19.（本题满分12分）已知圆22:2430C x y x y ++-+=（1）已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； （2）求经过原点且被圆C 截得的线段长为2的直线方程.20. （本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知22,2=====PD PB PA AD AB ． （1）求点B 到面PAD 的距离；（2）取AB 中点O ，过O 作OE ⊥BD 于E, ①求证：∠PEO 为二面角A BD P --的平面角； ②求∠PEO 的正切值.FECBAP D21．（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD-中，22,//,,AB AD BC BC AD AB AD PBD ===⊥∆为正三角形.且23PA =.（1）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）若点P 到底面ABCD 的距离为2，E 是线段PD 上一点，且PB //平面ACE ，求四面体A CDE -的体积.22．（本题满分12分）如图1，在长方形ABCD 中，4,2,AB BC O ==为DC 的中点，E 为线段OC 上一动点．现将AED ∆沿AE 折起，形成四棱锥D ABCE -.图1 图2 图3（1）若E 与O 重合，且AD BD ⊥ (如图2).证明：BE ⊥平面ADE ；（2）若E 不与O 重合，且平面ABD ⊥平面ABC (如图3)，设DB t =，求t 的取值范围.南康中学2021学年度第一学期高二第一次大考数学（理）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDCDDBBBDABC二、填空题（每小题5分,共20分）DP A BCEF GO13、4 14、24＋π 15、21 16、45三、解答题（本大题共6小题，共70分．）17、解析：（1）由22130x y x y m ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 消去y 得2242310x mx m ++-=，----------2分由已知得，22(23)16(1)0m m -->得240m -<，得实数m 的取值范围是(2,2)-；---5分（2）因为圆心(0,0)C 到直线30l x y m -+=的距离为231m md ==+， ----7分 所以2222=22144m AB r d m -=-=-24=3m -1m =±.---10分 18、解：（1）证明：取PC 中点为G ，∵在PCD △中，F 是PD 中点，G 是PC 中点，∴FG CD ∥，且12FG CD =，------------------2分又∵底面ABCD 是菱形， ∴AB CD ∥， ∵E 是AB 中点，∴BE CD ∥，且12BE CD =，∴BE FG ∥，且BE FG =，∴四边形BEFG 是平行四边形，∴EF BG ∥，--------------------------------4分 又EF ⊄平面PBC ，BG ⊄平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ．--------------------------------6分 （2）证明：设ACBD O =，则O 是BD 中点，∵底面ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，-------------------------8分 又∵PB PD =，O 是BD 中点，∴BD PO ⊥，-----------------------------10分 又ACPO O =，∴BD ⊥平面PAC ．----------------------------12分19.（1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为x y a +=.............1分∴圆心C （-1,22，..............3分 122a-+-2分∴1a =-或3a =..................5分所求切线方程为：10x y ++=或30x y +-= ………………6分（2）当直线斜率不存在时，直线即为y 轴，此时，交点坐标为(0,1),(0,3),线段长为2，符合 故直线0x =.................8分当直线斜率存在时，设直线方程为y kx =，即0kx y -= 由已知得，圆心到直线的距离为1，.................9分 223141k k k --=⇒=-+，.................11分直线方程为34y x =-综上，直线方程为0x =，34y x =-. ................12分 20、（方法1）（1）∵PA=PB=AB=2，PA=AD=2，PD=22∴PAB S ∆=132232⨯⨯=，PAD S ∆=12222⨯⨯= 设点B 到平面PAD 的高为h,由V B-PAD =V D-PAB 得1133PAD PAB S h S AD ∆∆=即1123233h =∴3h =……………………5分 方法二：过B 作PA 的垂线BE,BE PA AD BE AD PA A ⊥⊥⋂=，BE ∴⊥面PAD即BE 为点B 到面PAD 距离PAB ∆为边长为2的正三角形323BE ∴==(2)①在△PAB 中，PA=PB=AB=2 ∴PO ⊥AB由（1）知AD⊥平面PAB ，PO ⊂平面PAB ∴PO ⊥AD 而ABAD A =，,AB AD ⊂平面ABCD∴PO ⊥平面ABCD∵BD ⊂平面ABCD ∴PO ⊥BD又OE⊥BD ∴BD ⊥PE ∴BD⊥平面POE∴∠PEO 为二面角P-BD-A 的平面角……………………9分 ②223PO PA AO =-=，11222442OE AC ==•= 在△POE 中，∠POE=900∴3tan 62PO PEO OE∠===． ……………………12分21．解析：（Ⅰ）证明：，且，，又为正三角形，所以，又，，所以，--------------2分又，//，， --------------------------------4分，所以平面，--------------------------------5分 又因为平面，所以平面平面.---------------------------6分（Ⅱ）如图，连接，交于点，因为//， 且，所以，--------------------7分 连接，因为//平面，所以//，则，---9分由（Ⅰ）点到平面的距离为2，所以点到平面的距离为，----------10分所以，即四面体的体积为.-----------------12分22．解析：（Ⅰ）由与重合，则有,--------------------------2分因为DE AD ⊥，D DE BD = ,所以BDE AD 平面⊥,----------------------4分,所以平面. --------------------6分（Ⅱ）如图，作于,作于，连接.由平面平面且可得平面,故,由可得平面,故在平面图形中，三点共线且.--------------------8分设，由，故,-------------------10分，所以，.---------------------12分。

南康中学2021学年度第一学期高二第一次大考数学（文）试卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}124x A x =<≤，(){}ln 1B x y x ==-，则AB =（ ）A ．{}12x x ≤<B ．{}12x x <≤C ．{}02x x <≤D ．{}02x x ≤<2．一个长方体切去一个小长方体,所得几何体的主视图与左视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为()3．如图，'''A B C △是ABC △的直观图，其中''''A B A C =， 那么ABC △是（ ） A ．等腰三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形4．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．m n ⊥，m α⊂，n βαβ⊂⇒⊥B ．αβ⊥，m αβ=，m n n β⊥⇒⊥C ．n αβ=，m α⊂，m m n β⇒∥∥D ．m α∥，n α⊂，m n ⇒∥5．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是 ( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝06．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．已知直线l 和平面α，若l α∥，P α∈，则过点P 且平行于l 的直线（ ）A ．只有一条，不在平面α内B ．只有一条，且在平面α内C ．有无数条，一定在平面α内D ．有无数条，不一定在平面α内8．已知向量,a b 满足1,2a b ==，()(2)8a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．2πB ．4πC ．3πD ．6π9．当圆x 2＋y 2＋2x ＋ky ＋k 2＝0的面积最大时，圆心坐标是 ( )A ．( 0 ，－1)B ．(－1,0)C ．( 1 ，－1)D ．(－1,1 )10．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．有下列四个命题：①若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥；②若m α⊥，m β∥，则αβ⊥；③若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥；④若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥． 其中错误．．命题的序号是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．②③④ D ．①④11．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是 ( )A ． 36B ． 18C ． 52D ． 6 212．如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，PDC △，PBC △，PAB △，PDA △为全等的等边三角形，E 、F 分别为PA 、PD 的中点，在此几何体中，下列结论中正确的个数有（ ） ①平面BCD ⊥平面PAD ②直线BE 与直线AF 是异面直线 ③直线BE 与直线CF 共面④面PAD 与面PBC 的交线与BC 平行 A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．在平面直角坐标系xOy 中,直线l 过(43,5)P 与(3,2)Q 两点,则其倾斜角θ的值为_________.14．已知四棱锥P-ABCD 的底面为平行四边形，E ，F ，G 分别为PA ，PD ，CD 的中点，则BC 与平面EFG 的位置关系为.15．已知向量(2sin19,2sin109)a =︒︒，1a b -=，,60a a b <->=︒，则b =_____16.已知四边形ABCD 是矩形，4AB =，3AD =，沿AC 将ADC △向上折起，使D 为D '，且平面AD C '⊥平面ABC ，F 是AD '的中点，E 是AC 上一点，给出下列结论：①存在点E ，使得EF ∥平面BCD '；②存在点E ，使得EF ⊥平面ABC ； ③存在点E ，使得D E '⊥平面ABC ；④存在点E ，使得AC ⊥平面BD E '． 其中正确结论的序号是__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在等差数列{}n a 中，54a =，389a a +=；（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令21n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. (本小题满分12分)如图，三棱柱111ABC A B C -，1A A ⊥底面ABC ，且ABC △为正三角形，D 为AC 中点． （1）求证：直线1AB ∥平面1BC D ； （2）求证：平面1BC D ⊥平面11ACC A ；19. (本小题满分12分)已知圆C:9)1(22=+-y x 内有一点P (2,2),过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点.(1) 当l 经过圆心C 时,求直线l 的方程; (2) 当弦AB 的长为24时,求直线l 的方程.20. (本小题满分12分)在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 所对的边，()sin sin sin B C A C -=-．(1)求角A ；(2)若3a =ABC ∆的面积是33，求b c +的值．21. (本小题满分12分)如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面）111ABC A B C -中，9AC =，12BC =，15AB =，点D 是AB 的中点．（1）求证：1AC B C ⊥； （2）求证：1AC ∥平面1CDB ．22.(本小题满分12分)已知圆心为C 的圆过原点(0,0)O ，且直线220x y -+=与圆C 相切于点(0,2)P . （1）求圆C 的方程；（2）已知过点(0,1)Q 的直线l 的斜率为k ，且直线l 与圆C 相交于,A B 两点， （i ）若2k =，求弦AB 的长；（ii ）若圆C 上存在点D ，使得CA CB CD +=成立，求直线l 的斜率k .南康中学2021学年度第一学期高二第一次大考数学（文）试卷参考答案一、选择题BCD C A C B C B D D A 二、填空题 13.6π14． 平行 15．3 16．①②③ 三、解答题17．（10分）（1）1n a n =-；（2）22n S n n =-18.【解析】（1）连结1B C 交1BC 于O ，连结OD ，在1B AC △中，D 为AC 中点，O 为1B C 中点，所以1OD AB ∥，又OD ⊂平面1BC D ，∴直线1AB ∥平面1BC D ． （2）∵1A A ⊥底面ABC ，∴1A A BD ⊥． 又BD AC ⊥，∴BD ⊥平面11ACC A ，又BD ⊂平面1BC D ，∴平面1BC D ⊥平面11ACC A ． 19. 【解析】 (1)圆心坐标为(1,0),21202=--=k ,)1(20-=-x y ,整理得022=--y x . (2)圆的半径为3,当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为)2(2-=-x k y ,整理得0)22(=-+-k y kx ,圆心到直线l 的距离为1|220|1)22(3222+-+-==-=k k k d ,解得43=k ,代入整理得0243=+-y x . 当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为2=x ,经检验符合题意.∴直线l 的方程为0243=+-y x 或2=x .20．解析：(1)在ABC 中，A B C π++=，那么由()sin sinC sin B A C -=-，可得()()sin sin sin A C C A C +-=-， sin cos cos sin sin A C A C C +-sin cos cos sin A C A C =-∴2cos sin sin 0A C C =≠，∴1cos 2A =，∴在ABC 中，3A π=．(2)由(1)知3A π=，且1sin 332ABCSbc A ==12bc =，由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-，那么，2222cos a b c bc A =+-()2223b c bc b c bc =+-=+-，则()22348b c a bc +=+=，可得3b c +=21．【解析】（1）直三棱柱111ABC A B C -，1CC ∴⊥面ABC ，1CC AC ∴⊥，又9AC =，12BC =，15AB =，222AB BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥，1CC BC C =，AC ∴⊥面11BB C C ，1AC B C ∴⊥．（2）取11A B 的中点1D ，连结11C D 和1AD ， 11AD D B ∥，且11AD D B =， ∴四边形11ACB D 为平行四边形，11AD DB ∴∥，1AD ∴面1CDB ，11CC DD ∥，且11CC DD =，∴四边形11CC D D 为平行四边形，11C D CD ∴∥，11C D ∴∥面1CDB ， 1111AD C D D =，∴面11AC D ∥面1CDB ，1AC ∴∥平面1CDB ．22.【解析】（1）由已知得，圆心在线段OP 的垂直平分线1y =上，圆心也在过点()0,2P 且与220x y -+=垂直的直线122y x =-+上， 由1122y y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩得圆心()2,1C ， 所以半径22215r OC ==+=C 的方程为()()22215x y -+-=；（2）①由题意知，直线l 的方程为12y x -=，即210x y -+=，∴圆心()2,1C 到直线l 的距离为5d =2224652255AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭； ②∵圆C 上存在点D ，使得CA CB CD +=成立，∴四边形CADB 是平行四边形， 又CA CB CD r ===，∴,CAD CBD ∆∆都是等边三角形，∴圆心C 到直线l 的距离为52r = 又直线l 的方程为1y kx -=，即10kx y -+=22521k k =+，解得55k =±.。

2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题文 (V)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列对常数列说法正确的是（）A是等差数列 BC既是等差D既不是等差2.在中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列不一定正确的是（）A若，则A B B若，则A BC D若，则3.已知为等差数列，则下列数列不一定为等差数列的是（）A 数列BC D4.已知在中，a=2,b=,A=,则角C等于（）A B C D.5.在中,已知b=4, c=2,C=,则此三角形解得情况是（）A无解 B一个解 C两个解 D无法确定6.已知在中，三个内角A,B,C成等差数列，三边a,b,c成等比数列，则是（）A直角三角形 B等边三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形7.已知等差数列，且=15，=25，则=（）A 30B 35C 40D 458.中，B=,AC=7，AB=5，则的面积为（）A 10B 10C 20D 209.设,分别是两个等差数列的前n项和，如果对于所有正整数n,都有，则（）A B C D10.已知是三角形的内角，且，则正确的是（）A 锐角三角形 B直角三角形 C D11．中,A=2B，b=,则（）A B C D12.在等差数列中，则前n项和时， n 的最大值为（）A 8或9B 9C 15D 16二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.在等差数列中，则=_______14.中，AB=AC=3，BC=4，则=_______15.已知是等差数列=3,，则_____16.已知是数列,满足三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.（10分）已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b-c-a.（1）求角C；（2）若b=2,c=2,求的面积。

18.（12分）设等差数列的前n项和为，且=56，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和为.19.（12分）已知等比数列的首项为2，，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前k项和是=28,求k的值。

赣州市2020~2021学年度第一学期期未考试高二数学（理科）试题2021年1月（考试时间120分钟，试卷满分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上．1．已知命题:p 对任意1x >，有ln 1x x x >-成立，则p ⌝为（ ）A ．存在01x ，使000ln 1x x x -成立B ．存在01x >，使000ln 1x x x -成立C ．对任意01x ，有000ln 1x x x ≤-成立D ．对任意01x >，有000ln 1x x x -成立2．已知椭圆222116x y m+=的右焦点为(2,0)，则m =（ ）A ．B ．C ．±D ．±3．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸的小正方形的边长是1，则该几何体的体积为（ ）A ．64B ．32C ．16D ．6435．如图是计算11113519++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（ ）A ．10iB ．10i ≤C ．10i >D ．10i <6．正方形ABCD 的边长为2，以A 为起点作射线交边BC 于点E ，则BE <的概率是（ ）A B ．23 C ．13D ．1 7．已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b+=，双曲线2C 的方程为221221,x y C a b -=与2C 的离心率之积为2，则2C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．12y x =± D ．2y x =± 8．以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，由类比推理，在三棱锥P ABC -中，若,,PA PB PC 两两垂直，12APB3,,,,,BPCCPAPA a PB b PC c Ss Ss Ss ======，则ABCS=（ ）A BC D9．围屋始建于唐宋，兴盛于明清．围屋结合了中原古朴遗风以及南方文化的地域特色，是中国五大民居特色建筑之一在形式上主要有方形围屋、半圆形围屋、圆形围屋，如图所示是墙体厚度为1m 的圆形围屋（主要用泥土建筑而成，大部分是客家民居，又称客家土围楼），从地面测量内环直径是16m ，外环直径是30m ，墙体高10m ，则该围屋所有房间的室内总体积（斜屋顶不计入室内体积及忽略房间之间的墙体厚度与楼板厚度）大约是（ ）A ．31610m πB ．31440m πC ．31320m πD ．31150m π 10．已知定圆222212:(3)1,:(3)49C x y C x y ++=-+=，定点(2,1)M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则1||CM CC +的最大值为（ ）A ．8+B ．8C ．16D ．1611．如图，已知校长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点G 是1B C 的中点，点,HE 分别为1,GD C D 的中点，GD ⊥平面,HEα平面α，11A C D 与平面α相交于一条线段，则该线段的长度是（ ）A B C D 12．设直线l 与圆22(2)3x y -+=相切于N ，与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且N 是线段AB 的中点，若直线l 有且积有4条，则p 的取值范围是（ ）A ．B ．(1,3)C ．(0,3)D ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上．13．已知抛物线22y x =，则其准线方程为____________． 14．下面是两个变量的一组数据：这两个变量之间的线性回归方程为159y x =-+，变量y 中缺失的数据是___________．15ABCD 中，对角线AC =ABC 沿AC 折起，使得二面角B ACD --的大小为2π，则三棱锥B ACD -外接球的体积是_________________． 16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点12,,P F F 分别为其左右焦点，圆M 是12PF F 内切圆，且1PF 与圆M 相切于点2,||2c A PA a =（c 为半焦距），若122PF PF >，则双曲线离心率的取值范围是_____．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知:p 方程22114x y m m +=--表示双曲线，q :方程22126x y m m +=+-表示焦点在x 轴上的椭圆． （1）若“p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p 且q ”是假命题，“p 或q ”为真命题，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）1971年，江西省赣州地区信丰县开辟脐橙种植实验基地，1975年11月，出自此基地的脐橙参加赣南农产品大比武大放异彩，1976年广交会上脐橙“一炮打响”，1977年脐橙销往香港市场，1980年中科院考察队认定赣南是得天独厚的柑橘生产地，时至今日赣南脐橙已享誉全球．据市场反馈“腰围”长是25cm ~27cm 的脐橙最受消费者青睐，某种植户在甲、乙两块地种植脐橙，从两种植地采摘的脐橙中分别随机抽取100颗脐橙（“腰围”长均在21cm ~31cm ），根据“腰围”长分类画出如下统计图表：（1）求乙种植地脐橙腰围长的中位数；（2）从甲种植地样本在23cm ~25cm,25cm 27cm -两段中用分层抽样的方法抽出6颗脐橙，某同学随机的从6颗中拿走2颗，问拿到的2颗都是受消费者青睐的概率是多少？ 19．（本小题满分12分）在三棱锥P ABC -中，AE BC ⊥于点,E CF AB ⊥于点F ，且AE CF O ⋂=，若点P 在平面ABC 上的射影为点O ．（1）证明：AC PB ⊥；（2）若ABC 是正三角形，点,G H 分别为,PA PC 的中点． 证明：四边形EFGH 是矩形． 20．（本小题满分12分）已知动圆与直线1x =-相交于,A B 两点，且||AB =． （1）当动圆过定点(2,0)时，求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）过点(1,0)-的直线l 交（1）中动圆圆心C 的轨迹于,M N 两点，点P 为,M N 的中点，过点P 垂直于直线l 的直线交x 轴于点Q ，求点Q 的横坐标的取值范围． 21．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，13B BA π∠=．（1）证明：1B C ⊥平面1ABC ；（2）若平面11ABB A ⊥平面,ABC M 为11A C 的中点，求二面角1C AB M --的余弦值． 22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=的左右顶点分别为12(2,0),(2,0)A A -，椭圆C 上不同于12,A A 的任意一点P ，直线1PA 和2PA 的斜率之积为34-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆内一点(,0)(0)M m m ≠，作一条不垂直于x 轴的直线交椭圆于,A B 两点，点Q 和点B 关于x 轴对称，直线AQ 交x 轴于点(,0)N n ，证明：m n ⋅为定值．赣州市2020~2021学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试题参考答案一、选择题二、填空题13．18y =-； 14．4； 15．6； 16．1)．三、解答题17．解：（1）若p 是真命题，则(1)(4)0m m --< 1分解得14m << 2分而q 是真命题，所以260m m +>-> 3分 解得26m << 4分 因为“p 且q ”为真命题，所以24m << 6分（2）当p 真q 假时：有1420m m m <<⎧⎨≥⎩或，即12m < 8分若p 假q 真时：1426m m m ⎧⎨<<⎩或，解得46m < 10分所以12m <或46m < 12分18．（1）220.1240.2260.4280.15300.1526.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲 2分220.1240.2260.3280.3300.126.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙 4分设乙种植地的中位数为x ，则79(25)0.150.23x x -⨯=⇒=6分 （2）由频率分布直方图可知23cm ~25cm 的脐橙个数为0.210020⨯= 7分 抽出120210⨯=个，假设为12,Q Q 8分 25cm ~27cm 的脐橙个数0.410040⨯=， 9分抽出140410⨯=个，假设为1234,,,C C C C 10分 从这6颗中抽出2颗可能产生的结果为：121112131421222324121314232434,,,,,,,,,C ,,C ,C ,C ,C Q Q Q C Q C Q C Q C Q C Q C Q C Q C C C C C C C C共15种．2颗都是受消费者青睐的包括：121314232434C ,,C ,C ,C ,C C C C C C C C 共6种 11分所以2颗都受消费者青睐的概率62155P == 12分 19．证明：（1）连接BO 并延长交AC 于点M ， 因为,AE BC CF AB ⊥⊥，所以O 为ABC 的垂心 1分所以BM AC ⊥ 2分又因为P 在平面ABC 的射影为O ，所以PO ⊥平面ABC 3分 所以PO AC ⊥ 4分又因为PO BM O ⋂=，所以AC ⊥平面PBM 5分 所以AC PB ⊥ 6分 （2）分别连接,,,EF EH GF GH因为,,AE BC CF AB ABC ⊥⊥为正三角形 所以,E F 分别为,BC BA 的中点 7分 所以//EF AC 8分又由（1）AC PB ⊥，所以EF PB ⊥ 9分 因为,E H 分别为,BC PC 的中点，所以EH 平行等于12PB ， 又因为,F G 分别为,AB PA 的中点，所以GF 平行等于12PB 10分 所以EH 平行等于GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形 11分 又//,EH PB EF PB ⊥，所以EHEF ⊥，所以四边形EFGH 为矩形 12分20．解：（1）设(,)C x y ，则222(1)3(2)x x y ++=-+ 2分 即26y x =，所以圆心C 的轨迹方程为：26y x = 4分 （2）设过点(1,0)-直线:(1)MN y k x =+，联立26(1)y x y k x ⎧=⎨=+⎩，消y 得：()2222260k x k x k +-+= 6分所以()2242640k k ∆=-->，即232k <7分 设()()1122,,,M x y N x y ，根据韦达定理得：1212262,1x x x x k +=-= 9分 所以MN 的中点2331,P kk ⎛⎫-⎪⎝⎭ 10分 过点P 的垂线为23131y x k k k ⎡⎤⎛⎫-=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11分 令0y =，则2324x k =+>， 所以点Q 的横坐标的取值范围(4,)+∞ 12分 21．证明：（1）如图取AB 中点D ，连接1,B D CD ．因为四边形11BCC B 为菱形，所以11B C BC ⊥ 1分 又因为三棱柱的所有棱长均为2，13B BA π∠=，所以ABC 和1ABB 是等边三角形，所以1,B D AB CD AB ⊥⊥因为1,B D CD ⊂平面11,B CD B D CD D ⋂=，所以AB ⊥平面1B CD 3分 所以1B C AB ⊥，而1BC AB B ⋂=， 所以1B C ⊥平面1ABC 4分（2）因为平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线为AB ，由（Ⅰ）知1B D AB ⊥ 5分 所以1B D ⊥平面ABC ．则1,,DB DB DC 两两垂直，则以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，1DB 为z 轴，建立空间直角坐标系．则1(0,0,0),(1,0,0),D A B C -，11(1(C A -- 6分因为M 为11A C的中点，所以32M ⎛- ⎝ 7分所以11(1,3,0),(1,0,3),2AC AB AM ⎛===- ⎝，设平面1AB M 的法向量为1(,,)nx y z =，则11130102AB n x z AM n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1z =，得1(3,3,1)n =-- 8分 同理设平面1AB C 的法向量为()2222,,n x y z =，则1223030AB n x AC n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1z =，得2(3,1,1)n =- 9分11所以121212(cos ,n n n n n n ⋅-<>=== 11分所以所求二面角1C AB M --的余弦值为65 12分22．解：（1）由题可知：2a = 1分令1223(0,),44PA PA b P b k k ⋅==--，所以23b = 3分所以椭圆C 的标准方程为22143x y += 4分（2）显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()y k x m =-， 联立223412()x y yk x m ⎧+=⎨=-⎩，消y 得：()222223484120k x mk x k m +-+-= 6分 设()()1122,,,A x y B x y ，根据韦达定理得：2221212228412,3434mk k m x x x x k k -+==++ 8分 直线()121112:y y AQ y y x x x x +-=--，令0y =，则()1121112111211212y x x y x y x x y x y n x x y y y y ---+++==+=++ 9分()()()()()2222212211212121221212122412822343482234k m mk m k x m x k x m x x x m x x y x x y k k mky y k x m k x m x x m mk ---+--++++====+-+-+--+ ()222222241282448686m k m k mk m mk m m ---===--- 11分所以44m n m m ⋅=⋅=（定值） 12分。