2019-2020学年高一数学新教材第二册学案8.5 空间直线、平面的平行(第二课时原卷版)

8.5 空间直线、平面的平行【教学设计】(3课时) -高中数学人教A版新教材2019必修第二册小单元教学+专家指导（视频+课件+教案）教学目标：1.了解空间直线、平面的定义及性质；2.学会判断两条直线、两个平面之间是否平行；3.掌握利用向量方法和解析几何方法判断两条直线、两个平面之间是否平行。

教学重难点：重点：空间直线、平面的平行性质。

难点：利用向量方法和解析几何方法判断两条直线、两个平面之间是否平行。

教学过程：一、引入1. 教师可列举日常生活中的平行例子，让学生感受平行的概念和性质。

2. 调用幻灯片或其他现实例子，演示和解释空间三元组和空间中的直线、平面、点、线段等基本概念。

3. 引入空间直线、平面的定义及性质。

二、讲解1. 空间直线、平面的定义及重要性质。

2. 判断两条直线、两个平面之间是否平行的方法：（1）向量法。

（2）解析几何法。

三、练习1. 给定两条直线，让学生利用向量法判断是否平行。

2. 给定两个平面，让学生利用解析几何法判断是否平行。

四、巩固与评价1. 学生自主讨论、解答教师提出的问题。

2. 教师提出相关题目，让学生巩固练习。

3. 添加一些趣味性小游戏，让学生在轻松愉快的环境中复习巩固知识。

五、课堂小结1. 回顾、总结本节课所学内容。

2. 提醒学生下节课预习内容。

教学评价：本节课通过题目练习，引发学生对空间直线、平面的定义及平行性质的深入思考，并通过生动有趣的小游戏巩固知识点，既加深了学生的理解，又提高了学生的学习兴趣和积极性。

在教学过程中，教师不仅让学生学会了课堂所讲的定义及相关知识点，更重要的是培养了学生的分析能力和判断能力，让学生在学习中得到了更多的思考和成长。

最后，也要提醒学生，要加强对空间直线、平面的学习和理解，掌握相关方法和技巧，不断提升自己的数学素养。

8.5 空间直线、平面的平行一、判定定理：定理表示线面平行的判定定理面面平行的判定定理文字叙述平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号表示ab aa bααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭aba b Aabαααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪⋂=⇒⎬⎪⎪⎪⎭图形表示二、性质定理：线面平行的性质定理面面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言aa a bbαβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭=a a a bbαβγβγ⎫⎪⋂⇒⎬⎪⋂=⎭知识梳理图形语言作用线面平行⇒线线平行面面平行⇒线线平行题型一线面平行判定例1如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为梯形，//AB CD，4AB=，2CD=，点M在棱PD上. 求证：//CD平面PAB【详解】因为//CD AB，CD⊄平面PAB，AB平面PAB，所以//CD平面PAB；已知三棱柱111ABC A B C-中，1AA⊥平面ABC，BA AC⊥，12AB AA AC===，M为AC中点.证明:直线1//B C平面1A BM【分析】连接1AB交1A B于点O，再证明1//OM B C，得证；巩固练习知识典例【详解】证明：连接1AB 交1A B 于点O ，连接OM ，11A ABB 为平行四边形，O ∴为1AB 的中点，又M 为AC 的中点，1//OM B C ∴.又OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM .1//B C ∴平面1A BM .题型二 面面平行判定例 2 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、11A B 、11A C 的中点.（1）求证：B 、C 、H 、G 四点共面； （2）求证：平面1//EFA 平面BCHG ；（3）若1D 、D 分别为11B C 、BC 的中点，求证：平面11//A BD 平面1AC D . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）证明出//GH BC ，即可证明出B 、C 、H 、G 四点共面；（2）证明//EF BC ，可得//EF 平面BCHG ，证明四边形1A EBG 是平行四边形，可得出1//A E BG ，可证明出1//A E 平面BCHG ，再利用面面平行的判定定理可证明出结论；（3）连接1A C 交1AC 于点M ，可得出1//DM A B ，可证明出//DM 平面11BD A ，证明出四边形11BDC D 为平行四边形，可得出11//C D BD ，可得出1//C D 平面11BD A ，然后利用面面平行的判定定理可证明出结论. 【详解】 （1）GH 是111A B C ∆的中位线，11//GH B C ∴.在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC 且11BB CC =，则四边形11BB C C 为平行四边形，11//B C BC ∴，//GH BC ∴，因此，B 、C 、H 、G 四点共面；（2）E 、F 分别为AB 、AC 的中点，//EF BC ∴.EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，//EF ∴平面BCHG .在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB 且11AA BB =，则四边形11AA B B 为平行四边形，11//AB A B ∴且11AB A B =，E 、G 分别为AB 、11A B 的中点，1//AG BE ∴且1AG BE =， ∴四边形1A EBG 是平行四边形，则1//A E BG ，1A E ⊄平面BCHG ，BG ⊂平面BCHG ，1//A E ∴平面BCHG .1A E EF E ∴⋂=，且1A E ⊂平面1EFA ，EF ⊂平面1EFA ，∴平面1//EFA 平面BCHG ；（3）如图所示，连接1A C ，设1A C 与1AC 的交点为M ，连接DM ， 四边形11A ACC 是平行四边形，M ∴是1A C 的中点，D 为BC 的中点，1//A B DM ∴.DM ⊄平面11BD A ，1A B ⊂平面11BD A ，//DM ∴平面11BD A .由（1）知，四边形11BB C C 为平行四边形，则11//BC B C 且11BC B C =，D 、1D 分别为BC 、11B C 的中点，所以，11//BD C D 且11BD C D =，∴四边形11BDC D 为平行四边形，11//C D BD ∴，又1DC ⊄平面11BD A ，1BD ⊂平面11BD A ，1//DC ∴平面11BD A . 又1DC DM D ⋂=，1DC ⊂平面1AC D ，DM ⊂平面1AC D ，∴平面11//A BD 平面1AC D.如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，棱PD 与EC 均垂直于底面ABCD ，2PD EC =，求证：平面//EBC 平面PDA.【答案】见解析 【分析】由正方形的性质得出//BC AD ，可得出//BC 平面PDA ，由线面垂直的性质定理得出//CE PD ，可得出//CE 平面PDA ，再利用面面平行的判定定理可证得结论.【详解】由于四边形ABCD 是正方形，//BC AD ∴，BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，//BC ∴平面PDA ， PD ⊥平面ABCD ，CE ⊥平面ABCD ，//CE PD ，CE ⊄平面PDA ，PD ⊂平面PDA ，//CE ∴平面PDA ，BC CE C =，∴平面//EBC 平面PDA .题型三 性质应用例 3 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过点G 和AP 作平面，交平面BDM 于GH ，点H 在线段BD 上.求证：//AP GH .巩固练习【答案】证明见解析 【分析】连接AC 交BD 于点O ，连接MO ，推导出//MO PA ．从而//AP 平面BMD ．由线面平行的性质定理可证明//AP GH ． 【详解】证明：如图，连接AC ，设AC 交BD 于点O ，连接MO ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点又M 是PC 的中点，∴//MO PA .又MO ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM ， ∴//PA 平面BDM又PA ⊂平面PAHG ，平面PAHG ⋂平面BDM GH =， ∴//AP GH ．如图，过正方体1111ABCD A B C D -的顶点1B 、1D 与棱AB 的中点P 的平面与底面ABCD 所在平面的交线记为l ，则l 与11B D 的位置关系为_________.巩固练习【答案】11//l B D 【分析】利用面面平行的性质定理可得出l 与11B D 的位置关系. 【详解】如图所示，连接1D P 、1B P ，在正方体1111ABCD A B C D -中，平面//ABCD 平面1111D C B A ，且平面11B D P 平面111111A B C D B D =，平面11B D P平面ABCD l =，所以11//l B D . 故答案为：11//l B D .题型四 翻折问题例 4 如图甲，在直角梯形ABED 中，//AB DE ，AB BE ⊥，AB CD ⊥，F 、H 、G 分别为AC 、AD 、DE 的中点，现将ACD ∆沿CD 折起，如图乙.求证：平面//FHG 平面ABE .【答案】证明见解析 【分析】分别证明出//FH 平面ABE ，//GH 平面ABE ，然后利用面面平行的判定定理可得出平面//FHG 平面ABE . 【详解】翻折前，在图甲中，AB CD ⊥，AB BE ⊥，//CD BE ∴，翻折后，在图乙中，仍有//CD BE ，F 、H 、G 分别为AC 、AD 、DE 的中点，//FH CD ∴，//HG AE ，//FH BE ∴，BE ⊂平面ABE ，FH ⊄平面ABE ，//FH ∴平面ABE .AE ⊂平面ABE ，HG ⊄平面ABE ，HG ∴//平面ABE .又FH HG H ⋂=，∴平面//FHG 平面ABE .如图，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，//AD BC ，6AD =，24BC AB ==，E F ，分别在BC ，AD 上，且EF AB ∥，现将四边形ABEF 沿EF 折起，使BE EC ⊥.若1BE =，在折叠后的线段AD 上是否存在一点P ，使得//CP 平面ABEF？若存在，求出APPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】存在；32AP PD 【分析】巩固练习存在P ，使得//CP 平面ABEF ，此时32AP PD ，易知35AP AD ，过P 作//MP FD ，与AF 交M ，则35MPFD ，可证四边形MPCE 为平行四边形，得到//CP ME ，因此//CP 平面ABEF 成立． 【详解】在折叠后的线段AD 上存在一点P ，使得//CP 平面ABEF ，此时32AP PD 以下为证明过程： 当32AP PD 时，35AP AD ，过点P 作//MP FD ，交AF 于点M ，连接EM ，则有35MP AP FD AD ==. ∵1BE =，∴5FD ，∴3MP =.又3EC =，////MP FD EC ，四边形MPCE 为平行四边形， ∴//CP ME ，又CP 平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，∴//CP 平面ABEF 成立.题型五 比值求解例 5 如图所示，已知α，β，γ都是平面，且////αβγ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F . 求证：AB DEBC EF=.【答案】证明见解析 【分析】连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ，连,BG GE ，根据面面平行的性质定理，可得//BG AD ，利用三角形相似关系，即可证明结论. 【详解】证明：连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ， 则平面ACD 与平面α，β分别相交于直线AD ，BG ， 平面DCF 与平面β，γ分别相交于直线GE ，CF . 因为//αβ，所以//BG AD ，因此CBGCAD ，因此AB DG BC GC =.同理可得DG DE GC EF=.因此AB DEBC EF =.已知：如图，三棱柱111ABC A B C -中，点D ，1D 分别为AC ，11A C 上的点．若平面1BC D 平面11AB D ，求ADDC的值．巩固练习【答案】1【分析】连接1A B 交1AB 于点O ，连接1OD ，由平面1BC D平面11AB D ，得到11BC D O ，由平面1BC D 平面11AB D ，得到11AD DC ，11ADC D 是平行四边形，根据111112D C AC =，得到11111122AD C D AC AC ===，所以得到1AD DC=. 【详解】如图，连接1A B 交1AB 于点O ，连接1OD ．由棱柱的性质，知四边形11A ABB 为平行四边，所以点O 为1A B 的中点．因为平面1BC D 平面11AB D ， 且平面11A BC ⋂平面111AB D D O =，平面11A BC ⋂平面11BC D BC =，所以11BC D O ，所以1D 为线段11A C 的中点，所以111112D C AC =． 因为平面1BC D 平面11AB D ，且平面11AAC C 平面11BDC DC =，平面11AAC C平面111AB D AD =， 所以11AD DC ． 又因为11AD D C ，所以四边形11ADC D 是平行四边形，所以11111122AD C D AC AC ===，所以1AD DC=．1、如图，在四面体A BCD-中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且3AQ QC=求证：//PQ 平面BCD.【答案】证明见解析【分析】取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得3DF FC=，连接OP、OF、FQ，证明出四边形OPQF为平行四边形，可得出//PQ OF，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出//PQ平面BCD.【详解】如下图所示，取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得3DF FC=，连接OP、OF、FQ.3AQ QC=，3AQ DFQC FC∴==，//QF AD∴，且14QF AD=.O、P分别为BD、BM的中点，//OP AD∴，且12OP DM=.M为AD的中点，14OP AD∴=.//OP QF∴且OP QF=，四边形OPQF是平行四边形，//PQ OF∴.PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，//PQ∴平面BCD.巩固提升2、如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、E 、F 、N 分别为11A B 、11B C 、11C D 、11D A 的中点，求证：（1）E 、F 、D 、B 四点共面；（2）平面//AMN 平面EFDB ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用中位线的性质得出11//EF B D ，再证明出11//BD B D ，利用平行线的传递性得出//EF BD ，即可证明出E 、F 、D 、B 四点共面；（2）连接NE 、MF ，证明四边形ABEN 是平行四边形，可得出//AN BE ，利用直线与平面平行的判定定理可证明出//AN 平面EFDB ，同理可证明出//AM 平面EFDB ，最后利用平面与平面平行的判定定理可证明出平面//AMN 平面EFDB ．【详解】（1）E 、F 分别是11B C 、11C D 的中点，11//EF B D ∴，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD ，∴四边形11BB D D 为平行四边形，11//BD B D ∴，//EF BD ∴，因此，E 、F 、D 、B 四点共面；（2）如下图所示，连接NE 、FM ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111//A D B C ，N 、E 分别为11A D 、11B C 的中点，11//A N B E ∴，则四边形11A B EN 为平行四边形，11//NE A B ∴，11//AB A B ，//AB EN ∴，则四边形ABEN 为平行四边形，//AN BE ∴，AN ⊄平面EFDB ，BE ⊂平面EFDB ，//AN ∴平面EFDB ，同理可证//AM 平面EFDB ，AN AM A =，∴平面//AMN 平面EFDB .3、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 、P 分别是棱AB ，11A B 的中点，求证：（1）1AC ∥平面1B CD ；（2）平面1APC 平面1B CD ．【答案】（1）见证明；（2）见证明【分析】（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，证明1OD AC ，再由线面平行的判定可得1AC ∥平面1B CD ；（2）由P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，证得四边形1ADB P 为平行四边形，得到1AP DB ，进一步得到AP ∥平面1B CD ．再由1AC ∥平面1B CD ，结合面面平行的判定可得平面1APC 平面1B CD ． 【详解】证明：（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，∵四边形11BCC B 为平行四边形，∴O 为1B C 中点，又D 是AB 的中点，∴OD 是三角形1ABC 的中位线，则1OD AC ， 又∵1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，∴1AC ∥平面1B CD ；（2）∵P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，∴1ADB P 且1AD B P =，则四边形1ADB P 为平行四边形， ∴1AP DB ，又∵AP ⊄平面1B CD ，1DB ⊂平面1B CD ，∴AP ∥平面1B CD ．又1AC ∥平面1B CD ，1AC AP P =，且1AC ⊂平面1APC ，AP ⊂平面1APC ， ∴平面1APC 平面1B CD ．4、已知底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论.【答案】见解析【解析】【分析】连接BD 交AC 于O ，连接OE ，过B 点作OE 的平行线交PD 于点G ，过点G 作GF CE ∥，交PC 于点F ，连接BF ，利用线面平行的判定定理，证得BG 平面AEC ，同理GF 平面AEC ，证得平面BGF ∥平面AEC ，得到BF ∥平面AEC ，进而得到GF CE ∥，即可得到答案．【详解】在棱PC 上存在点F ，使BF ∥平面AEC ，证明：如图所示，连接BD 交AC 于O ，连接OE ，过B 点作OE 的平行线交PD 于点G ，过点G 作GF CE ∥，交PC 于点F ，连接BF ，因为BG OE ∥，BG ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以BG平面AEC ，同理，GF 平面AEC ， 又BG GF G =，所以平面BGF ∥平面AEC ，所以BF ∥平面AEC ，因为BG OE ∥，O 是BD 的中点，所以E 是GD 的中点，又因为:2:1PE ED =，所以G 是PE 的中点，而GF CE ∥，所以F 为PC 的中点，综上可知，当点F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC .5、如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是矩形，2AB =，1AF =，M 是线段EF 的中点.求证：//AM 平面BDE .【答案】证明见解析【分析】设AC 与BD 的交点为O ，连接OE ，利用线面平行的判定定理，即可证明结果.【详解】证明：如图，记AC 与BD 的交点为O ，连接OE .∵,O M 分别是,AC EF 的中点，四边形ACEF 是矩形，∴//EM OA ，且EM OA =，∴四边形AOEM 是平行四边形，∴//AM OE .又OE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴//AM 平面BDE.6、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M N ，分别是AC 和1BB 的中点.求证：//MN 平面11A B C .【答案】证明见解析【分析】取1A C 的中点D ，由中位线定理和平行线的传递性可证四边形1DMNB 为平行四边形，可得1MN B D ∥，再根据线面平行的判定定理即可证明结果.【详解】证明：取1A C 的中点D ，连接MD ，1B D.∵M ，D 分别为AC ，1A C 的中点，∴1//MD AA 且112MD AA =. 又N 为1B B 的中点，∴11//B N AA 且1112B N AA =， ∴1//MD B N 且1MD B N =，∴四边形1DMNB 为平行四边形，∴1//MN B D .∵MN ⊄平面111A B C B D ⊂，平面11A B C ，∴//MN 平面11A B C .7、如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，1D 为11A C 上的点．当1111A D D C 为何值时，1BC 平面11AB D ？【答案】当11111A D D C =时，1BC 平面11AB D . 【分析】 先由题意，判断出结果；再连接1A B 交1AB 于点O ，连接1OD ，根据线面平行的判定定理，证明1BC 平面11AB D 即可.【详解】当11111A D D C =时，1BC 平面11AB D . 如图，连接1A B 交1AB 于点O ，连接1OD . 由三棱柱的性质知，四边形11A ABB 为平行四边形， 所以点O 为1A B 的中点. 在11A BC 中，1O D ，分别为111A B A C ，的中点， 11OD BC ∴∥.又1OD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ， 1BC ∴∥平面11AB D ， ∴当11111A D D C =时，1BC 平面11AB D .。

8.5 空间直线、平面的平行-人教A版高中数学必修第二册（2019版）教案一、教学目标1.了解空间直线与空间平面的平行的概念，掌握平行的判定方法。

2.掌握平面与平面、直线与平面平行的判定方法。

3.能够运用平行的概念和判定方法解决相关数学问题。

二、教学重点1.空间直线与空间平面的平行的概念。

2.平行的判定方法。

3.平面与平面、直线与平面平行的判定方法。

三、教学难点1.掌握平面与平面、直线与平面平行的判定方法。

2.能够灵活运用平行的概念和判定方法解决相关数学问题。

四、教学过程1. 导入环节请同学们在笔记本上用自己的话简要概括一下“平行”的概念。

2. 讲解与练习2.1 空间直线与空间平面的平行•平行的概念：在同一个平面内，两条直线不相交，称这两条直线平行；在空间中，一条直线和一个平面不相交，称这条直线和这个平面平行。

•平行的判定方法：方法1：两条直线平行的充要条件是它们的方向向量成比例。

方法2：一条直线和一个平面平行的充要条件是它们的方向向量分别平行。

•练习：请同学们画出一条直线与一个平面的平行示意图，并根据判定方法给出判断过程。

2.2 平面与平面的平行•平面与平面平行的判定方法：方法1：两个平面如果有公共的一条直线与它们的法向量垂直，则这两个平面平行。

方法2：两个平面如果它们的法向量成比例，则这两个平面平行。

•练习：请同学们画出两个平面的平行示意图，并根据判定方法给出判断过程。

2.3 直线与平面的平行•直线与平面平行的判定方法：方法1：如果一条直线在一个平面上，它的方向向量与这个平面的法向量平行，则这条直线与这个平面平行。

方法2：如果一条直线在一个平面上，这个平面的法向量与直线方向向量的矢量积为零，则这条直线与这个平面平行。

•练习：请同学们画出一条直线与一个平面的平行示意图，并根据判定方法给出判断过程。

3. 思考与讨论请同学们思考以下问题：1.为什么平面和平面的平行可以用法向量来判断？2.同一个平面内的两条直线平行的充要条件是什么？4. 总结与拓展请同学们用自己的话总结本节课讲解的所有内容，并想想还有哪些与这次课程相关的问题可以探讨。

8.5空间直线、平面的平行【学习目标】1.掌握直线与平面平行的判定定理；2.掌握两平面平行的判定定理；3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题．【要点梳理】要点一、直线与直线平行基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：//a b ，////b c a c ⇒.基本事实4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.要点二、直线和平面平行的判定判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.图形语言：符号语言：a α⊄、b α⊂，//a b //a α⇒.要点诠释：（1）用该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件：①直线a 在平面α外，即a α⊄；②直线b 在平面α内，即b α⊂；③直线a ，b 平行，即a ∥b ．这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．（2）定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．要点三、直线和平面平行的性质定理定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.符号语言：若//a α，a β⊂，b αβ=，则//a b .图形语言：要点诠释：直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a ∥α，αβ⊂，，则a ∥b ．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a 与b 平行时，必须具备三个条件：（1）直线a 和平面α平行，即a ∥α；（2）平面α和β相交，即b αβ=；（3）直线a 在平面β内，即a β⊂．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．要点四、两平面平行的判定判定定理：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.图形语言：符号语言：若a α⊂、b α⊂，，且//a β、//b β，则//αβ.要点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行⇒面面平行．要点五、平面和平面平行的性质定理定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号语言：若//αβ，a αγ=，b βγ=，则//a b .图形语言：要点诠释：（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．要点六、平行关系的综合转化空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：空间之中两直线，平行相交和异面．线线平行同方向，等角定理进空间．判断线和面平行，面中找条平行线；已知线和面平行，过线作面找交线．要证面和面平行，面中找出两交线．线面平行若成立，面面平行不用看．已知面与面平行，线面平行是必然．若与三面都相交，则得两条平行线．【典型例题】类型一、直线与直线平行例1．如右图所示，在空间四边形ABCD （不共面的四边形称为空间四边形）中，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）如果AC=BD ，求证：四边形EFGH 是菱形．例2．如右图所示，△ABC 和△'''A B C 的对应顶点的连线AA ＇，BB ＇，CC ＇交于同一点D ，且2'''3AO BO CO OA OB OC ===．（1）求证：//''AB A B ，//''AC A C ，//''BC B C ； （2）求'''ABC A B C S S ∆∆的值．【总结升华】“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广，但平面几何中的“如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补”推广到空间中就不成立．因此，我们必须慎重地类比推广平面几何中的相关结论．在运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的途径有二：一是判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；二是判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补．举一反三：【变式1】 已知E 、E 1分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AD 、A 1D 1的中点．求证：∠BEC=∠B 1E 1C 1．类型二、直线与平面平行的判定例3．已知AB ，BC ，CD 是不在同一平面内的三条线段，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CD 的中点，求证：AC//平面EFG ， BD//平面EFG ．【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论．例4．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内，P 、Q 分别为对角线AE 、BD 上的点，且AP=DQ ，如右图．求证：PQ ∥平面CBE ．【总结升华】证线面平行，需证线线平行，寻找平行线是解决此类问题的关键．举一反三：【变式1】在正方体1111ABCD A B C D 中，1O 是正方形1111A B C D 的中心，求证：1//AO 面1BC D ．【变式2】 已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC.【总结升华】要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用．【变式3】如右图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．（1）证明：EF∥平面PAD；（2）求三棱锥E—ABC的体积V．类型三：直线与平面平行的性质定理例5．四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP 作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤：（1）确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；（2）确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面；（3）确定交线；（4）由定理得出结论．例6．如图所示，已知异面直线AB、CD都平行于平面α，且AB、CD在α的两侧，若AC、BD与α分别交于M、N两点，求证：AM BN MC ND=．【总结升华】利用线面平行的性质定理，可以把有的立体问题转化为平面内的平行问题，利用平行线截割定理，可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问题．在应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，本例通过连接AD作出平面ACD与平面ABD，得到交线MQ和NQ．举一反三：【变式1】已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，平面α平面β=b，求证//a b．类型四、平面与平面平行的判定例7．如右图，已知正方体ABC D —A 1B 1C 1D 1，求证：平面AB 1D 1∥平面BDC 1．【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出（或作出）两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判定定理得出结论．例8．如右图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ．【总结升华】应用判定定理时，一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件，问题最终转化为证明直线和直线的平行．举一反三：【变式1】点P 是△ABC 所在平面外一点，123,,G G G 分别是△PBC ，△APC ，△ABP 的重心，求证：面123//G G G 面ABC .【变式2】 如右图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D ，E 分别是BC 与B 1C 1的中点．求证：平面A 1EB ∥平面ADC 1．【变式3】 已知在正方体''''ABCD A B C D -中 ，M ，N 分别是''A D ，''A B 的中点，在该正方体中作出过顶点且与平面AMN 平行的平面，并证明你的结论．类型五：平面与平面平行的性质定理例9．已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F （如图）．求证：AB DE BC EF =．【总结升华】利用面面平行的性质定理判定两线平行的程序是：（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两线中的一条；（2）判定这两个平面平行；（3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面内；（4）由定理得出结论．举一反三：【变式1】 已知面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，直线AB ，CD 交于点S ，且SA=8，SB=9，CD=34．（1）若点S 在平面α，β之间，则SC=________；（2）若点S 不在平面α，β之间，则SC=________． 例10．如图所示，平面α∥平面β，A ，C ∈α，D ∈β，点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE CF EB FD=．求证：EF ∥β．【总结升华】（1）面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合运用．解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题．如在本例的第二种情况：面面平行→线线平行→平行四边形→线面平行→面面平行→线面平行．（2）由面面平行的定义可知，一个面内任意一条直线与另一个平行平面都没有交点，因而有面面平行的一个重要性质：两个平行平面中的一个平面内任意一条直线必平行另一个平面，如本例（2）中由平面EFG∥β得出EF∥β，便是这一性质的灵活运用．举一反三：【变式1】四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1，问在棱PC上能否找到一点F，使BF∥平面AEC？试说明你的看法．类型六：线面平行的判定与性质的综合应用例11．如图所示，已知平面α∥平面β，AB与CD是两条异面直线，且AB⊂α，CD⊂β．如果E，F，G分别是AC，CB，BD的中点，求证：平面EFG∥α∥β．【总结升华】（1）要善于对线线、线面平行的概念、判定和性质进行类比、探索、总结，特别要注意相互转化，使之统一．（2）要能够灵活地作出辅助线和辅助平面来解题，在作辅助线和辅助平面时，必须有理论依据，也就是要以某一定理为依据，切忌主观臆断，随意地作辅助线、辅助平面．举一反三：【变式1】如图所示，已知点P是ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PBC∩平面APD=l．（1）求证：l∥BC；（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．判定【巩固练习】 1．下列说法中正确的是（ ）A ．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行B ．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行C ．如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行D ．如果两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行3．已知m ，n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出下列三个命题：①////m m n n ββ⎧⇒⎨⊂⎩；②//m n n m ββ⎧⇒⎨⎩与异面与相交；③//////m n m n αα⎧⇒⎨⎩。

8.5.3 平面与平面平行第1课时平面与平面平行的判定本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习平面与平面平行的判定定理及其应用。

本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用,具有重要的意义与地位。

空间中平面与平面之间的位置关系中,平行是一种非常重要的位置关系,它不仅应用较多。

而且是空间问题平面化的典范空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法。

本节课是在前面已经学习空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点,类比直线与平面平行的判定定理探究过程,结合有关的实物模型,通过直观感知操作确认(合情推理),归纳出平面与平面平行的判定定理。

本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用。

1.教学重点：空间平面与平面平行的判定定理；2.教学难点：应用平面与平面平行的判定定理解决问题。

多媒体一、复习回顾，温故知新1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线与平面平行的方法呢? 【答案】（1）定义法；（2）直线与平面平行的判定定理2. 平面与平面有几种位置关系？分别是什么？ 【答案】相交、平行3.怎样判断两平面平行？ 二、探索新知1.思考：若平面α∥β，则α中所有直线都平行β吗？反之，若α中所有直线都平行β ，则α∥β吗？ 【答案】平行，平行探究：如图8.5-11（1）,a 和b 分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图8.5-11（2),c 和d 分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？ 【答案】硬纸片与桌面可能相交，如图，三角尺与桌面平行，如图，平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 .符号表示：βαααββ////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂b a P b a b a通过复习以前所学，引入本节新课。

【新教材】8.5.1 直线与直线平行（人教A版）直线与直线平行是所有平行关系的基础，在初中已经学过平行四边形，中位线与底边等平行关系，本节教材重点介绍了平面的基本事实4,等角定理，对平面中直线与直线的平行关系进一步深化.也为后续线面平行、面面平行打下基础.课程目标1.正确理解基本事实4和等角定理；2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.数学学科素养1.直观想象：基本事实4及等角定理的理解；2.逻辑推理：基本事实4及等角定理的应用.重点：能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.难点：能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行.在空间中，是否也有类似的结论？举例说明.要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本133-135页，思考并完成以下问题1、平行于同一条直线的两条直线有什么关系？2、空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1.平行线的传递性基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示:a∥b,b∥c⇒a∥c.2.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.四、典例分析、举一反三题型一基本事实4的应用例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.【答案】证明见解析.【解析】证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，BD.所以EH∥BD，且EH=12BD.同理，FG∥BD，且FG=12所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.解题技巧（证明两直线平行的常用方法）(1)利用平面几何的结论,如平行四边形的对边,三角形的中位线与底边;(2)定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;(3)利用基本事实4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.跟踪训练一1、如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,若M,N分别是A′D′,C′D′的中点,求证:四边形ACNM是梯形.。

空间直线、平面的平行【第一学时】直线与直线平行【学习目标】1．理解基本事实4，并会用它解决两直线平行问题2．理解定理的内容，套用定理解决角相等或互补问题【学习重难点】1．基本事实42．等角定理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．基本事实4的内容是什么？2．定理的内容是什么？二、新知探究基本事实4的应用例1：如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．定理的应用例2：如图所示，不共面的三条射线OA ，OB ，OC ，点A 1，B 1，C 1分别是OA ，OB ，OC 上的点，且OA 1OA ＝OB 1OB ＝OC 1OC .求证：△A 1B 1C 1∽△ABC .【学习小结】 1．基本事实4（1）平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递性．（2）符号表示：⎭⎬⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【精炼反馈】1．如图，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 是AD 的中点，N 是B 1C 1的中点，求证：CM ∥A 1N .【第二学时】直线与平面平行【学习目标】1．理解直线与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，会用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面位置关系2．理解并能证明直线与平面平行的性质定理，明确定理的条件，能利用直线与平面平行的性质定理解决有关的平行问题【学习重难点】1．直线与平面平行的判定2．直线与平面平行的性质【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．直线与平面平行的判定定理是什么？2．直线与平面平行的性质定理是什么？二、合作探究直线与平面平行的判定例1：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.线面平行性质定理的应用例2：如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.【学习小结】1．直线与平面平行的判定定理【精炼反馈】1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是（）A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交2．给出下列命题：①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2 D．33．三棱台ABC­A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是（）A．相交B．平行C．在平面内D．不确定4．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.【第三学时】平面与平面平行【学习目标】1．理解平面与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理，会用平面与平面平行的判定定理证明空间面面位置关系2．理解并能证明平面与平面平行的性质定理，能利用平面与平面平行的性质定理解决有关的平行问题【学习重难点】1．平面与平面平行的判定2．平面与平面平行的性质【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．面面平行的判定定理是什么？2．面面平行的性质定理是什么？二、合作探究平面与平面平行的判定例1：如图所示，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1. （1）求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；（2）若E ，F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD .[变条件]把本例（2）的条件改为“E ，F 分别是AA 1与CC 1上的点，且A 1E ＝14A 1A ”，求F 在何位置时，平面EB 1D 1∥平面FBD ?解：当F 满足CF ＝14CC 1时，两平面平行，下面给出证明：在D 1D 上取点M ，且DM ＝14DD 1， 连接AM ，FM ， 则AE ═∥D 1M ，从而四边形AMD 1E 是平行四边形． 所以D 1E ∥AM . 同理，FM ═∥CD ，又因为AB ═∥CD ，所以FM ═∥AB ，从而四边形FMAB 是平行四边形．所以AM ∥BF . 即有D 1E ∥BF .又BF ⊂平面FBD ， D 1E ⊄平面FBD ，所以D 1E ∥平面FBD . 又B 1B ═∥D 1D ，从而四边形BB 1D 1D 是平行四边形．故而B 1D 1∥BD ， 又BD ⊂平面FBD ，B 1D 1⊄平面FBD ， 从而B 1D 1∥平面FBD ， 又D 1E ∩B 1D 1＝D 1，所以平面EB1D1∥平面FBD.面面平行性质定理的应用例2：如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.1．[变条件]在本例中将M，N分别为AB，CD的中点换为M，N分别在线段AB，CD上，且AMMB＝CNND，其他不变．证明：MN∥平面α.证明：作AE∥CD交α于点E，连接AC，BD，如图．因为α∥β且平面AEDC与平面α，β的交线分别为ED，NP AC，所以AC∥ED，所以四边形AEDC为平行四边形，作∥DE交AE于点P，连接MP，BE，于是CNND＝APPE.又因为AMMB＝CNND，所以AMMB＝APPE，所以MP∥BE.而BE⊂α，MP⊄α，所以MP∥α.同理PN∥α.又因为MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面α.又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.2．[变条件、变问法]两条异面直线与三个平行平面α，β，γ分别交于A，B，C和D，E，F，求证：ABBC＝DEEF.证明：连接AF交平面β于点M.连接MB，ME，BE，AD，CF，因为α∥β，所以ME∥AD.所以DEEF＝AMMF.同理，BM∥CF，所以ABBC＝AMMF，即ABBC＝DEEF.平行关系的综合问题例3：在正方体ABCD A1B1C1D1中，如图．（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.【学习小结】文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α图形语言2．平面与平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言【精炼反馈】1．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（）A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交2．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC于A′，B′，C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于（）A．2∶25B．4∶25C．2∶5 D．4∶53．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．4．如图，已知AB与CD是异面直线，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝G，BC∩α＝H.求证：四边形EFGH是平行四边形．【参考答案】【第一学时】二、新知探究例1：【答案】如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.因为E是AA1的中点，所以EQ═∥A1D1.因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1═∥B1C1，所以EQ═∥B1C1，所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E═∥C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，所以QD═∥C1F，所以四边形DQC1F为平行四边形，所以C1Q═∥FD.又B1E═∥C1Q，所以B1E═∥FD，故四边形B1EDF为平行四边形．例2：【答案】在△OAB中，因为OA1OA＝OB1OB，所以A1B1∥AB.同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.所以△A1B1C1∽△ABC.【精炼反馈】1．【答案】证明：取A1D1的中点P，连接C1P，MP，则A1P＝12A1D1.又N为B1C1的中点，B1C1═∥A1D1，所以C1N═∥P A1，四边形P A1NC1为平行四边形，A1N∥C1P.又由PM═∥DD1═∥CC1，得C1P∥CM.所以CM∥A1N.2．【答案】如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点．求证：∠A′B′C′＝∠C′D′E′.证明：因为A′，B′分别是AD，DB的中点，所以A′B′∥a，同理C′D′∥a，B′C′∥b，D′E′∥b，所以A′B′∥C′D′，B′C′∥D′E′.又∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边的方向都相同，所以∠A′B′C′＝∠C′D′E′.【第二学时】二、合作探究例1：【答案】连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.又AB═∥A1B1═∥D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，所以EF∥平面AD1G.例2：【答案】如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．又因为点M是PC的中点，所以AP∥OM.又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以AP∥平面BDM.因为平面P AHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面P AHG，所以AP∥GH.【精炼反馈】1．【答案】D【解析】选D.若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.2．【答案】B【解析】选B.①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错．3．【答案】B【解析】选B.在三棱台ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1.4．【答案】证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.【第三学时】例1：【答案】（1）因为B1B═∥DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD，又BD⊄平面B1D1C，B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.（2）由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，又因为AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG.易得GF∥AD，又因为GF＝AD，所以四边形ADFG是平行四边形，所以AG∥DF，所以B1E∥DF，所以DF∥平面EB1D1.又因为BD∩DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.例2：【证明】如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，BD，AC.因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC.则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因为α∥β，所以AC∥DE.又P，N分别为AE，CD的中点，所以PN∥DE，PN⊄α，DE⊂α，所以PN∥α.又M，P分别为AB，AE的中点，所以MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α.所以MP∥α，因为MP∩PN＝P，所以平面MPN∥α.又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.例3：【答案】解：（1）证明：因为在正方体ABCD A1B1C1D1中，AD═∥B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.（2）如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接A1C，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．证明A1E＝EF＝FC的过程如下：因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF ∥AE ，所以F 是CE 的中点，即CF ＝FE ，所以A 1E ＝EF ＝FC .【精炼反馈】1．【答案】D【解析】选D.选项A 、C 不正确，因为两个平面可能相交；选项B 不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D 正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.2．【答案】B【解析】选B.因为平面α∥平面ABC ，平面P AB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ，所以AB ∥A ′B ′，同理B ′C ′∥BC ，易得△ABC ∽△A ′B ′C ′，S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫P A ′P A 2＝425. 3．【答案】92【解析】在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，因为平面MCD 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1，所以平面MCD 1∩平面ABB 1A 1＝MN ，且MN ∥CD 1，所以N 为AB 的中点，所以该截面为等腰梯形MNCD 1，因为正方体的棱长为2，易知，MN ＝2，CD 1＝22，MD 1＝5，所以等腰梯形MNCD 1的高MH ＝（5）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝322. 所以截面面积为12（2＋22）×322＝92. 4．【答案】证明：因为AB ∥平面α，AB ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面α＝EH ，所以AB ∥EH ，因为AB ∥平面α，AB ⊂平面ABD ，平面ABD∩平面α＝FG，所以AB∥FG，所以EH∥FG，同理由CD∥平面α可证EF∥GH，所以四边形EFGH是平行四边形．。

第八章立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行8.5.1 直线与直线平行教学设计一、教学目标1.掌握基本事实4的内容及应用；2.理解空间等角定理的内容及应用.二、教学重难点1.教学重点基本事实4与等角定理的应用.2.教学难点等角定理中角的相等与互补的辨别.三、教学过程（一）新课导入复习：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行.在空间中，是否也有类似的结论？（二）探索新知问题1 如图，在长方体中，，. 与平行吗？可以发现，.问题2 观察教室，黑板边所在直线和门框所在直线都平行于墙与墙的交线，那么与平行吗？可知，.所以空间中的平行直线具有与平面内的平行直线类似的性质.我们把它作为基本事实.基本事实4（平行线的传递性）平行于同一条直线的两条直线平行.基本事实4表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行.它给出了判断空间两条直线平行的依据.例1 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接BD.∵EH是△ABD的中位线，∴，且.同理，且.∴EH FGP.∴四边形EFGH为平行四边形.问题3 在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.在空间中，这一结论是否仍然成立呢？当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图8.5-4所示的两种位置.对于图8.5-4（1），可以构造两个全等三角形，使和是它们的对应角，从而证明.如图8.5-5，分别在和的两边上截取AD，AE 和，，使得，.连接∵AD A D ''=P ， ∴四边形是平行四边形.∴AA DD ''=P . 同理可证 AA EE ''=P . ∴DD EE ''=P . ∴四边形是平行四边形. ∴. ∴. ∴. 问题4 类比上述方法，对于图8.5-4（2）给出证明.证明：如图，延长CA 得射线AD ，分别在和的两边上截取AD ，AE 和，使得，.连接∵AD A D ''=P ， ∴四边形是平行四边形. ∴AA DD ''=P . 同理可证AA EE ''=P . ∴DD EE ''=P . ∴四边形是平行四边形. ∴. ∴. ∴.又，∴，即与互补.定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.（三）课堂练习1. 若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为（）A.130°B.50°C.130°或50°D.不能确定答案：C解析：根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.2. 若，，有下列结论：①；②；③或.则一定成立的是____________（填序号）.答案：③解析：∵，，∴或.3.如图，所示，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F、E′、F′分别是AB、BC、A′B′、B′C′的中点. 求证：EE′∥FF′.证明：∵E、E′分别是AB、A′B′的中点，∴BE∥B′E′，且BE＝B′E′.∴四边形EBB′E′是平行四边形．∴EE′∥BB′.同理可证FF′∥BB′.∴EE′∥FF′.4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点.求证：∠NMP=∠BA1D.证明：如图，连接CB1，CD1，∵CD A 1B1，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C.∵M，N分别是CC1，B1C1的中点，∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.∵BC A 1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1.∵M，P分别是CC1，C1D1的中点，∴MP∥CD1，∴MP∥A1B，∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，∴∠NMP=∠BA1D.（四）小结作业小结：1.用基本事实4判断空间两条直线平行；2.等角定理.作业：四、板书设计8.5.1 直线与直线平行1.基本事实4；2.等角定理.。

8.5 空间直线、平面的平行【知识点一】直线与直线平行1.平行公理(公理4) 平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2.等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．【知识点二】直线与平面平行的判定【知识点三】平面与平面平行的判定定理【知识点四】直线与平面平行的性质【知识点五】平面与平面平行的性质【例1-1】下列四个结论中错误命题的个数是________．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．【变式1】下列三种说法：①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是________．【例1-2】(公理4与等角定理的应用) 如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N 分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.【变式1】如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若AC ⊥BD ，求证：四边形EFGH 是矩形．【例2-1】如图，正方体1111ABCD A B C D 中，E 为1DD 中点．求证：1//BD 平面AEC ．【变式1】如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面P AD .【变式2】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==，3BC =．求证：1//AB 平面1BC D ；【例3-1】（平面与平面平行的证明）如如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G 分别是BC，DC，SC的中点，求证：（1）直线EG//平面BDD1B1；（2）平面EFG//平面BDD1B1.【变式1】如图，在四棱锥P－ABCD中，点E为P A的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD.【变式2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点S是B1D1的中点，点E，F，G分别是BC，DC 和SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【例4-1】(线面平行的性质)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．【变式1】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.【变式2】如图，在五面体EF ABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF.【例5-1】(面面平行的性质)（1）如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长．（2）如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC 于A′，B′，C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于()A．2∶25 B．4∶25C．2∶5 D．4∶5【变式1】如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.课后练习题1．如图所示，在三棱柱ABC ­111A B C 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面；（2）1A E ∥平面BCHG .2．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，BC=3，BD=4，直线AD 与平面BCD 所成的角为45°，点E ，F 分别是AC ，AD 的中点．（1）求证：EF ∥平面BCD ；（2）求三棱锥A ﹣BCD 的体积．3.如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形.4.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC//平面PAD，12BC AD，E是PD的中点.（1）求证：BC//AD；（2）求证：CE//平面PAB.5.如图，梯形ABCD中，//BC AD，E是PD的中点，过BC和点E的平面与PA交于点F.求证：//BC EF.6.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.7.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.8.5 空间直线、平面的平行【知识点一】直线与直线平行1.平行公理(公理4) 平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2.等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．【知识点二】直线与平面平行的判定【知识点三】平面与平面平行的判定定理【知识点四】直线与平面平行的性质【知识点五】平面与平面平行的性质【例1-1】下列四个结论中错误命题的个数是________．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．【答案】2【解析】①④均为错误命题．①可举反例，如a，b，c三线两两垂直．④如图甲，c，d与异面直线l1，l2交于四个点，此时c，d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面相交．【变式1】下列三种说法：①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是________．【答案】 1【解析】若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行、异面均有可能，故①不对；若a⊥b，b⊥c，则a，c平行、相交、异面均有可能，故③不对；②正确．【例1-2】(公理4与等角定理的应用) 如图，已知在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.证明 (1)如图 ，连结AC ，在△ACD 中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，且MN ＝12AC .由正方体的性质，得 AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1. ∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知，MN ∥A 1C 1.又ND ∥A 1D 1，且∠DNM 与∠D 1A 1C 1的两边的方向相同，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.【变式1】如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若AC ⊥BD ，求证：四边形EFGH 是矩形．证明 (1)如图所示，连结EF ，FG ，GH ，HE ，在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理FG ∥BD ，且FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)由(1)知EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形．∵HG 是△ADC 的中位线，∴HG ∥AC .又EH ∥BD ，AC ⊥BD ，∴EH ⊥HG ，∴四边形EFGH 为矩形． 【例2-1】如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 中点．求证：1//BD 平面AEC ．【解析】证明：连结BD 与AC 交于点H ，连结HE . 在1BDD 中，,E H 分别为1DD 、BD 的中点. 得1//EH BD .又因为1BD ⊄平面AEC ，EH ⊂平面AEC ， 所以1//BD 平面AEC【变式1】如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面P AD .【解析】如图，取PD 的中点G ，连接GA ，GN .∵G ，N 分别是△PDC 的边PD ，PC 的中点， ∴GN ∥DC ，GN ＝12DC .∵M 为平行四边形ABCD 的边AB 的中点， ∴AM ＝12DC ，AM ∥DC ，∴AM ∥GN ，AM ＝GN ，∴四边形AMNG 为平行四边形，∴MN ∥AG . 又MN ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .【变式2】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==，3BC =．求证：1//AB 平面1BC D ；【答案】详见解析 【解析】如图所示：连接1B C 与1C B 交于点O ，连接OD ， 因为O ，D 为中点， 所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ， 所以1//AB 平面1BC D ；【例3-1】（平面与平面平行的证明）如如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：（1）直线EG //平面BDD 1B 1； （2）平面EFG //平面BDD 1B 1.【解析】证明：（1）如图，连接SB ，因为E ，G 分别是BC ，SC 的中点， 所以EG //SB .又因为SB ⊂平面BDD 1B 1，EG ⊄平面BDD 1B 1， 所以直线EG //平面BDD 1B 1.（2）连接SD ，因为F ，G 分别是DC ，SC 的中点， 所以FG //SD .又因为SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1， 所以FG //平面BDD 1B 1，由（1）有直线EG//平面BDD1B1；又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG=G，所以平面EFG//平面BDD1B1.【变式1】如图，在四棱锥P－ABCD中，点E为P A的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD.【解析】证明因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，所以点O为BD的中点．又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD.又OF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以OF∥平面PCD，因为点O，E分别是AC，P A的中点，所以OE∥PC，又OE⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以OE∥平面PCD.又OE⊂平面EFO，OF⊂平面EFO，且OE∩OF＝O，所以平面EFO∥平面PCD.【变式2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点S是B1D1的中点，点E，F，G分别是BC，DC 和SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【解析】证明(1)如图，连接SB.∵点E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD.∵点F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.【例4-1】(线面平行的性质)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．证明因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形．【变式1】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明 连接MO .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点．又∵M 是PC 的中点，∴AP ∥OM . 又∵AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， ∴AP ∥平面BDM .又∵AP ⊂平面APGH ，平面APGH ∩平面BDM ＝GH ，∴AP ∥GH .【变式2】如图，在五面体EF ABCD 中，已知四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，求证：AD ∥EF .证明 ∵AD ∥BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF ， ∴AD ∥平面BCEF ，∵AD ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面BCEF ＝EF ， ∴AD ∥EF .【例5-1】(面面平行的性质)（1）如图，平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝3，BS ＝9，CD ＝34，求CS 的长．证明 设AB ，CD 共面γ，因为γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， 所以AC ∥BD ，所以△SAC ∽△SBD ，所以SC SC ＋CD ＝SASB ，即SC SC ＋34＝39，所以SC ＝17.（2）如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶5答案 B解析 ∵平面α∥平面ABC ，平面P AB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ，∴AB ∥A ′B ′， 同理B ′C ′∥BC ，易得△ABC ∽△A ′B ′C ′，S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫A ′B ′AB 2＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝425. 【变式1】如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q 分别是BC ，C 1D 1，AD 1，BD 的中点．(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1；(2)求PQ 的长；(3)求证：EF ∥平面BB 1D 1D .解析：(1)证明 如图，连接AC ，CD 1.因为ABCD 是正方形，且Q 是BD 的中点，所以Q 是AC 的中点，又P 是AD 1的中点，所以PQ ∥CD 1.又PQ ⊄平面DCC 1D 1，CD 1⊂平面DCC 1D 1，所以PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)解 由(1)易知PQ ＝12D 1C ＝22a .(3)证明 方法一 取B 1D 1的中点O 1，连接FO 1，BO 1，则有FO 1∥B 1C 1且FO 1＝12B 1C 1.又BE ∥B 1C 1且BE ＝12B 1C 1， 所以BE ∥FO 1，BE ＝FO 1.所以四边形BEFO 1为平行四边形，所以EF ∥BO 1，又EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO 1⊂平面BB 1D 1D ，所以EF ∥平面BB 1D 1D .方法二 取B 1C 1的中点E 1，连接EE 1，FE 1，则有FE 1∥B 1D 1，EE 1∥BB 1，且FE 1∩EE 1＝E 1，FE 1，EE 1⊂平面EE 1F ，B 1D 1，BB 1⊂平面BB 1D 1D ，所以平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D .又EF ⊂平面EE 1F ，所以EF ∥平面BB 1D 1D .课后练习题1．如图所示，在三棱柱ABC ­111A B C 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点，求证：（1）B ，C ，H ，G 四点共面；（2）1A E ∥平面BCHG .【解析】（1）∵G ，H 分别是11A B ，11A C 的中点，∴11//GH B C ，而11//B C BC ，∴//GH BC ，即B ，C ，H ，G 四点共面.（2）∵E ，G 分别是AB ，11A B 的中点，∴1,AG EB 平行且相等，所以四边形1A EBG 为平行四边形，即1//A E GB ，又1A E ⊄面BCHG ，GB ⊂面BCHG ，∴1//A E 面BCHG ，2．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC=3，BD=4，直线AD与平面BCD所成的角为45°，点E，F分别是AC，AD的中点．（1）求证：EF∥平面BCD；（2）求三棱锥A﹣BCD的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）8【解析】（1）∵点E，F分别是AC，AD的中点，∴EF∥CD，又∵EF⊄平面BCD，CD⊂平面BCD，∴//EF平面BCD；（2）∵AB⊥平面BCD，∴∠ADB为直线AD与平面BCD所成的角，45,4ADB AB BD∴∠=︒∴==，∵BC⊥BD，162BCDBCS BD∴=⨯⨯=,∴三棱锥A﹣BCD的体积183BCDV s AB=⋅=．3.如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形.【解析】证明∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC ∥平面P AD .∵平面BCFE ∩平面P AD ＝EF ，BC ⊂平面BCFE ，∴BC ∥EF .∵AD ＝BC ，AD ≠EF ，∴BC ≠EF ，∴四边形BCFE 是梯形.4.如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，BC//平面PAD ，12BC AD =，E 是PD 的中点.（1）求证：BC//AD ；（2）求证：CE//平面PAB .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：()1在四棱锥P ABCD -中，//BC 平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面PAD AD =，//BC AD ∴，()2取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，E 是PD 的中点，//EF AD ∴，12EF AD =， 又由()1可得//BC AD ，且12BC AD =， //BC EF ∴，BC EF =，∴四边形BCEF 是平行四边形，∴，EC FB//EC⊄平面PAB，FB⊂平面PAB，∴平面PAB.EC//BC AD，E是PD的中点，过BC和点E的平面与PA交于点F.求证：5.如图，梯形ABCD中，//BC EF.//【答案】证明见解析BC AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，【解析】∵//BC平面PAD，∴//∵BC⊂平面BCEF，平面BCEF平面PAD EF=，BC EF∴//6.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.证明因为F为CD的中点，H为PD的中点，所以FH∥PC，又FH⊄平面PEC，PC⊂平面PEC，所以FH∥平面PCE.又AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，又AF⊄平面PCE，CE⊂平面PCE，所以AF∥平面PCE.又FH⊂平面AFH，AF⊂平面7.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.证明因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.。

《直线与平面平行》教学设计一、教材分析本节课是由人民教育出版社出版的《普通高中教科书·数学·必修（第二册）》（2019年版A版）第八章“立体几何初步”的第五节“空间直线、平面的平行”的第2小节，是继线线平行之后对空间中平行关系的进一步探索。

线面平行是连接线线平行与面面平行的桥梁，起着承上启下的作用。

线面平行的判定定理是以线线平行为判定条件的，这体现了线面平行前承线线平行；而面面平行判定定理又是以线面平行为判定条件的，这体现了线面平行后启面面平行。

本节课是在学习了线线平行、线面平行定义的基础上，探究线面平行的判定定理和性质定理。

线面平行的判定定理反映了线与面在具备什么条件时互相平行的问题，即线面平行的充分条件；线面平行的性质定理反映了线与面平行的条件下，能推出什么结论，即线面平行的必要条件。

教材从学生熟悉的生活场景出发，引导学生通过动手操作和空间想象以及合情推理，得出线面平行的判定定理，并用得到的结论解决问题。

此过程在渗透降维思想、数学模型思想的同时，有利于提升学生数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养。

二、学情分析学生已经具备一定的生活和知识经验，能够从实际生活场景中直观感受到线面平行，也能举出一些线面平行的例子。

知识基础上，学生已经学习过空间中点、线、面之间的位置关系，清楚线面平行的定义是直线与平面没有交点，但也只懂得用定义去判断线与面是否平行。

能力水平上，学生已经具备一定的归纳概括能力和推理能力。

由于在前面的学习中降维思想的渗透并不突出，所以将空间问题平面化、将线面平行问题转化为线线平行问题将成为学生学习本节内容时的突出挑战。

三、教学目标1.掌握线面平行的判定定理和性质，能够利用判定定理和性质定理进行一些简单的推理证明。

2.通过从生活场景中抽象出线线平行、线面平行的模型，提高数学抽象能力；经历对判定定理的推理过程，提高逻辑推理和直观想象能力；通过小组合作探究，提升动手实践和团队协作能力。

8.5.2 直线与平面平行(教师独具内容)课程标准：1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的平行关系.2.归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理，并加以证明．教学重点：直线与平面平行的判定定理和性质定理的应用．教学难点：综合运用直线与平面平行的判定定理和性质定理进行线线平行、线面平行的相互转化．核心素养：通过发现、推导、应用直线与平面平行的判定定理和性质定理的过程，发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．直线与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可①直线a和平面α平行，即a∥α.②平面α和平面β相交于直线b，即α∩β＝b.③直线a在平面β内，即a⊂β.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)如果一条直线与一个平面平行于同一条直线，则这条直线和这个平面平行．( )(3)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线平行．( )(4)若直线a∥平面α，则平面α内有唯一一条直线与直线a平行．( )2．做一做(1)下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( )A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行(2)梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交(3)已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是____.(4)如图，空间四边形ABCD中，若M，N，P分别是AB，BC，CD的中点，则与MN平行的平面是____，与NP平行的平面是____.题型一直线与平面平行判定定理的理解例1 能保证直线a与平面α平行的条件是( )A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b[跟踪训练1] 给出下列几个说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中正确说法的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3题型二直线与平面平行的判定例2 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．求证：PD∥平面MAC.[跟踪训练2] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线A1B，B1C 的中点．求证：EF∥平面ABCD.题型三直线与平面平行性质定理的应用例3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1 .[跟踪训练3] 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B 的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．相交或平行2．如图，下列正三棱柱ABC－A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是( )3．(多选)过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线分别为a，b，c，…，则这些交线的位置关系可能为( )A．都平行B．都相交于同一点C．都相交但不交于同一点D．以上均不正确4. 如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝____.5．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC.一、选择题1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，m∥l，m⊂α，则必有( )A．l∥αB．α∥γC．m∥β且m∥γD．m∥β或m∥γ2．已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，则a与b( )A．相交B．平行C．异面D．共面或异面3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是( )A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC4. 如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为AA′，BB′的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，点H，则HG与AB的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面5. (多选)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为PA的中点，O 为AC与BD的交点，下面说法正确的是( )A．OQ∥平面PCD B．PC∥平面BDQC．AQ∥平面PCD D．CD∥平面PAB二、填空题6．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有____条．7．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝____.8．如图所示，在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是____.三、解答题9. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，E是PC的中点．求证：PA∥平面BDE.10. 如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．1．对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是( )A．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1上存在一点E(不与端点重合)，使得BD1∥平面B1CE，则( )A．BD1∥CE B．AC1⊥BD1C．D1E＝2EC1D．D1E＝EC13. 如图所示的正方体的棱长为4，点E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为____.4．如图，在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.5．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M 是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．8.5.2 直线与平面平行(教师独具内容)课程标准：1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的平行关系.2.归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理，并加以证明．教学重点：直线与平面平行的判定定理和性质定理的应用．教学难点：综合运用直线与平面平行的判定定理和性质定理进行线线平行、线面平行的相互转化．核心素养：通过发现、推导、应用直线与平面平行的判定定理和性质定理的过程，发展数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．直线与平面平行的性质定理使用时三个条件缺一不可①直线a和平面α平行，即a∥α.②平面α和平面β相交于直线b，即α∩β＝b.③直线a在平面β内，即a⊂β.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)如果一条直线与一个平面平行于同一条直线，则这条直线和这个平面平行．( )(3)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线平行．( )(4)若直线a∥平面α，则平面α内有唯一一条直线与直线a平行．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( )A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行(2)梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交(3)已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是____.(4)如图，空间四边形ABCD中，若M，N，P分别是AB，BC，CD的中点，则与MN平行的平面是____，与NP平行的平面是____.答案(1)C (2)B (3)l⊄α(4)平面ACD平面ABD题型一直线与平面平行判定定理的理解例1 能保证直线a与平面α平行的条件是( )A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b[解析]A错误，若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α；B错误，若b⊂α，c ∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a⊂α或a与α相交；D正确，恰好是定理所具备的不可缺少的三个条件．故选D.[答案] D平行问题的实质(1)平行问题是以无公共点为主要特征的，直线与平面平行即直线与平面没有任何公共点，紧紧抓住这一点，平行的问题就可以顺利解决．(2)正确理解直线与平面平行的判定定理和掌握直线与平面的位置关系是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法．[跟踪训练1] 给出下列几个说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中正确说法的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 B解析对于①，直线a在平面α外包括两种情况：a∥α或a与α相交，∴a与α不一定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行，∴③说法正确．故选B.题型二直线与平面平行的判定例2 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．求证：PD∥平面MAC.[证明]如图所示，连接BD交AC于点O，连接MO，则MO为△BDP的中位线，∴PD∥MO.∵PD⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，∴PD∥平面MAC.证明线面平行的方法、步骤(1)利用判定定理判断或证明直线与平面平行的关键是在已知平面α内找一条直线b和已知直线a平行．即要证直线a与平面α平行，先证直线a与直线b 平行．即由立体向平面转化．(2)证明线面平行的一般步骤：①在平面内找一条直线；②证明线线平行；③由判定定理得出结论．(3)在与中点有关的平行问题中，常考虑中位线定理．[跟踪训练2] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线A1B，B1C的中点．求证：EF∥平面ABCD.证明如图，分别取AB，BC的中点G，H，连接EG，FH，GH.则由三角形中位线的性质知：EG∥AA1，EG＝12AA1，FH∥BB1，FH＝12BB1，又AA1∥BB1，AA1＝BB1，∴EG∥FH，且EG＝FH，∴四边形EGHF是平行四边形，∴EF∥GH.∵EF⊄平面ABCD，而GH⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.题型三直线与平面平行性质定理的应用例3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1 .[证明]因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.利用直线与平面平行的性质定理解题的步骤[跟踪训练3] 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明如图，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又M是PC的中点，∴AP∥OM.又AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B 的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．相交或平行答案 B解析由线面平行的判定定理可知，B正确．2．如图，下列正三棱柱ABC－A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是( )答案 C解析在图A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP；在图C中，AB与平面MNP相交，故选C.3．(多选)过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线分别为a，b，c，…，则这些交线的位置关系可能为( )A．都平行B．都相交于同一点C．都相交但不交于同一点D．以上均不正确答案AB解析因为l⊄α，所以l∥α或l∩α＝A.若l∥α，则由直线与平面平行的性质定理可知，l∥a，l∥b，l∥c，…，所以由基本事实4可知，a∥b∥c….若l∩α＝A，则A∈a，A∈b，A∈c，…，a∩b∩c∩…＝A，故选AB.4. 如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝____.答案20 9解析∵a∥α，平面ABD∩α＝EG，∴EG∥a.∴AFAC＝EGBD，∴54＋5＝EG4，即EG＝209.5．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC.证明如图，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.∵M，N分别是△ABD和△BCD的重心，∴BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1，∴MN∥PQ.又MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，∴MN∥平面ADC.一、选择题1．如果直线l ，m 与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l ，m ∥l ，m ⊂α，则必有( )A ．l ∥αB ．α∥γC ．m ∥β且m ∥γD ．m ∥β或m ∥γ答案 D 解析⎭⎬⎫β∩γ＝l ，l ⊂β，l ⊂γm ∥l ，m ⊂α⇒m ∥β或m ∥γ.若m 为α与β的交线或为α与γ的交线，则不能同时有m ∥β，m ∥γ.故选D.2．已知直线a ∥平面α，a ∥平面β，α∩β＝b ，则a 与b ( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．共面或异面答案 B解析 因为直线a ∥α，a ∥β，所以在平面α，β中分别有一直线平行于a ，不妨设为m ，n ，所以a ∥m ，a ∥n ，所以m ∥n .又α，β相交，m 在平面α内，n 在平面β内，所以m ∥β，所以m ∥b ，所以a ∥b .3．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当BD ∥平面EFGH 时，下列结论中正确的是( )A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC 答案 D解析 由于BD ∥平面EFGH ，由直线与平面平行的性质定理，有BD ∥EH ，BD ∥FG ，则AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC .4. 如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别为AA ′，BB ′的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，点H，则HG与AB的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面答案 A解析∵E，F分别为AA′，BB′的中点，∴EF∥AB.∵AB⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.又平面EFGH∩平面ABCD＝HG，∴EF∥HG，∴HG∥AB.5. (多选)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为PA的中点，O 为AC与BD的交点，下面说法正确的是( )A．OQ∥平面PCD B．PC∥平面BDQC．AQ∥平面PCD D．CD∥平面PAB答案ABD解析因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以AO＝OC.又Q为PA的中点，所以QO∥PC.由直线与平面平行的判定定理，可知A，B正确．又四边形ABCD 为平行四边形，所以AB∥CD，故CD∥平面PAB，故D正确．AQ与平面PCD相交，C错误．故选ABD.二、填空题6．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线有____条．答案 6解析如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1，共6条．7．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝____.答案22a 3解析∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ.易知DP＝DQ＝2a 3 .故PQ＝2a·23＝22a3.8．如图所示，在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是____.答案平面ABC和平面ABD解析连接CM并延长交AD于E，连接CN并延长交BD于F，则E，F分别为AD，BD的中点，连接MN，EF，∴EF∥AB.易得MN∥EF，∴MN∥AB.∵MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴MN∥平面ABD.三、解答题9. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，E是PC的中点．求证：PA∥平面BDE.证明如图，连接AC交BD于点O，连接OE.在▱ABCD中，O是AC的中点，又E是PC的中点，∴OE是△PAC的中位线．∴OE∥PA.∵PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE.10. 如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．证明∵AB∥平面MNPQ，过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN.又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ.同理可证NP∥MQ.∴四边形MNPQ为平行四边形．1．对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是( )A．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n答案 C解析对于A，如图①所示，此时n与α相交，则A不正确；对于B，如图②所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图③所示，m与n相交，故D不正确．故选C.2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1上存在一点E(不与端点重合)，使得BD1∥平面B1CE，则( )A．BD1∥CE B．AC1⊥BD1C．D1E＝2EC1D．D1E＝EC1答案 D解析如图，连接BC1，设B1C∩BC1＝O，连接OE，∵BD1∥平面B1CE，平面BC1D1∩平面B1CE＝OE，∴BD1∥OE，∵O为BC1的中点，∴E为C1D1的中点，∴D正确，C 错误；由异面直线的定义，知BD1，CE是异面直线，故A错误；连接AD1，在矩形ABC1D1中，AC1与BD1不垂直，故B错误．故选D.3. 如图所示的正方体的棱长为4，点E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为____.答案45＋6 2解析由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝45＋6 2.4．如图，在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.证明如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.在三棱台DEF－ABC中，AC＝2DF，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形．所以O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD.又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.5．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M 是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．解若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF.因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，所以四边形FBMN是平行四边形，所以MN＝BF＝1.而EC∥FB，EC＝2FB＝2，所以MN∥EC，MN＝12EC＝1，故MN是△ACE的中位线．所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF.。

①、了解直线与平面平行的证明方法②、掌握平面与平面平行的证明方法③、理解平行公理与空间等角定理一、直线与直线平行1、基本事实：平行于同一条直线的两条直线平行定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补二、直线与平面平行1、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号语言：a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭∥∥2、性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行符号语言：a a b b ααβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭∥∥三、平面与平面平行1、判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言：,,a b a b P a b βββααα⊂⊂⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⎭∥∥∥2、性质定理:两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言：a a b b αβαγβγ⎫⎪⋃=⇒⎬⎪⋂=⎭∥∥8.5 空间直线、平面的平行1.如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AD//BC，AB⊥AD，AB=2BC=4，E是棱PD上的动点（除端点外），F，M分别为AB，CE的中点．（1）求证：FM//平面PAD；（2）若直线EF与平面PAD所成的最大角为30°，求平面CEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明：取CD的中点N，连结FN，MN，因为F，N分别为AB，CD的中点，所以FN//AD，又因为FN⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以FN//平面PAD，同理，MN//平面PAD，又因为FN∩MN=N，所以平面MFN//平面PAD，又因为FM⊂平面MFN，所以FM//平面PAD（2）解：因为平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ， AB ⊥AD ，所以 AB ⊥ 平面 PAD ，所以 ∠AEF 即为直线 EF 与平面 PAD 所成的角，且 tan∠AEF =AF AE =2AE ，当 AE 最小，即 E 为 PD 中点时， AE ⊥PD ，此时 ∠AEF 最大为 30° ，又因为 AF =2 ，所以 AE =2√3 ，所以 AD =4 ．取 AD 的中点 O ，连结 PO ， OC ，易知 PO ⊥ 平面 ABCD ，因为 AO//BC 且 AO =BC ，所以四边形 ABCO 为平行四边形，所以 AO ⊥OC ，以 O 为坐标原点， OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 O −xyz ． 则 O(0,0,0) ， C(4,0,0) ， D(0,2,0) ， P(0,0,2√3) ， E(0,1,√3) ， F(2,−2,0) ， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,1,√3) ，FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0) ， 设 n ⃗ 1=(x,y,z) 为平面 CEF 的法向量，则 {n ⃗ 1⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ 1⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x+2y=0,−4x+y+√3z=0,可取n⃗1=(√3,−√3,5)．设平面PAD的法向量为n⃗2=(1,0,0)，所以cos〈n⃗1,n⃗2〉=n⃗1⋅n⃗2|n⃗1|⋅|n⃗2|=√3√31=√9331，所以平面CEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为√9331【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析】（1）根据直线与平面平行的判定定理证明；（2）先用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，列方程求最值解，再用向量数量积求二面角的余弦值．2.如图所示，直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，点E是线段CC1的中点．（1）求证：AC1//平面BDE；（2）求证：BD⊥A1E．【答案】（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，连接OE；因为О，E分别为线段AC，CC1的中点，故OE//AC1，而OE⊂平面BDE，AC1⊂平面BDE，故AC1//平面BDE（2）证明：因为直棱柱ABCD−A1B1C1D1，故CC1⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD．因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又AC∩CC1=C，AC⊂平面ACC1A1，CC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1．因为A1E⊂平面ACC1A1，故BD⊥A1E【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定【解析】（1）连接AC交BD于点O，连接OE，因为О，E分别为线段AC，CC1的中点，所以利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，进而推出线线平行，再利用线线平行证出线面平行，从而证出AC1//平面BDE。

《8.5.2直线与平面平行》教学设计课型新授课授课对象高一学生授课时长45分钟学习内容分析本节课选自普通高中教科书·数学（A版）必修第二册中第八章《立体几何初步》中的第五节《直线与平面平行》的第二小节，主要学习直线与平面的一种特殊关系——平行。

教材按“判定→性质”展开直线与平面平行的内容，对于直线与平面平行的判定，教材首先从定义出发提出问题，由于直线的无限延伸和平面的无限延展，很难去判断直线与平面是否有公共点，因此很难直接利用定义判断，借此引出本节课的主要内容。

在知识结构上，本堂课起到了一个承前启后的作用，既是对前面学习过的直线与平面位置关系的进一步探讨，也为后续研究直线与平面垂直奠定了基本思想方法。

学习者分析在学习本节课内容之前，学生已经学习了《空间点、直线、平面之间的位置关系》，简单初步了解了直线与平面的三种位置关系，这位本堂课学习做好了相关知识储备。

并且学生在日常生活中也随处可接触到直线与平面平行的实例，但对数学中如何严谨准确去判定直线与平面平行还是有些陌生的。

本节教学内容既有数学基础知识，又联系实际生活，有助于培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学学科核心素养。

教学目标（1）通过观察、动手操作等环节发现直线与平面平行的判定定理，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，会用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面位置关系。

（2）探究并证明直线与平面平行的性质定理，明确定理的条件，能利用直线与平面平行的性质定理解决有关的实际平行问题。

（3）通过自主探究直线与平面平行的判定定理，体会数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学学科核心素养。

教学重难点重点直线与平面平行的判定定理难点用符号语言描述直线与平面平行教学策略本节课是概念课，采用“情景导入——问题引导——抽象概念——解释说明——实际运用——归纳总结——课外思考”的探究发现式的教学策略，采用讲授法、讨论法的教学方法进行教学展开。

8.5.1 直线与直线平行~8.5.2 直线与平面平行学习目标核心素养1.能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理．(重点)2．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点) 3．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点)1.通过基本事实4和等角定理，培养直观想象的核心素养．2．借助直线与平面平行的判定与性质定理，提升逻辑推理的核心素养.『自主预习』1．基本事实4文字表述：平行于同一条直线的两条直线．这一性质叫做空间平行线的． 符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒. 2．等角定理如果空间中两个角的两条边分别，那么这两个角． 3．直线与平面平行的判定及性质 定理条件结论图形语言符号语言判定如果一条直线与此的一条直线平行该直线与此平面⎭⎪⎬⎪⎫l ⊄α，m ⊂α，且⇒l ∥α性质一条直线与一个平面，如果过该直线的平面与此平面该直线与平行⎭⎬⎫l ∥α，l ⊂β，⇒l ∥m思考：若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行，对吗？『基础自测』1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对2．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是()A．a⊄α，b⊂α，a∥bB．b⊂α，a∥bC．b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥cD．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线有___________条．『合作探究』类型一基本事实4、等角定理的应用『例1』如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.『思路探究』(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．『规律方法』1．空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．2．求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．『跟踪训练』1．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.类型二直线与平面平行的判定『例2』如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.『思路探究』(1)要证EH∥平面BCD，只要证EH∥BD便可；(2)要证BD∥平面EFGH，只要证BD∥EH便可．『规律方法』1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、基本事实4等．『跟踪训练』2．已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.类型三直线与平面平行的判定与性质『探究问题』1．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？『例3』求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．『思路探究』先写出已知求证，再借助线面平行的性质定理求解．『母题探究』若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．『规律方法』线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论．『课堂小结』证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．『当堂达标』1．判断正误(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等．()(2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．()(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．()(4)如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．()2．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝.4．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是．5．过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证：BB1∥EE1.——★参*考*答*案★——『自主预习』1．平行传递性a∥c2．对应平行相等或互补3．平面外平面内平行l∥m平行相交交线α∩β＝m思考：『提示』根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误．『基础自测』1．B『因为AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR与∠ABC相等或互补．因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.』2．A『由直线与平面平行的判定定理知选A.』3．1『如图所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．』『合作探究』『例1』『解』(1)∵ABCD-A1B1C1D1为正方体．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB 1M 1M 为平行四边形，∴B 1M 1＝BM . 同理可得四边形CC 1M 1M 为平行四边形，∴C 1M 1＝CM . 又∵B 1C 1＝BC ，∴△BCM ≌△B 1C 1M 1，∴∠BMC ＝∠B 1M 1C 1. 『跟踪训练』1．『证明』 (1)在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD . 同理FG ∥BD ，则EH ∥FG . 故E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知EH ∥BD ，同理AC ∥GH .又∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ⊥GH ，故AC ⊥BD .类型二直线与平面平行的判定『例2』『解』 (1)∵EH 为△ABD 的中位线，∴EH ∥BD . ∵EH ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴EH ∥平面BCD .(2)∵BD ∥EH ，BD ⊄平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH ，∴BD ∥平面EFGH . 『跟踪训练』2．『证明』 如图，作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，连接MN ，则PM ∥QN ，PM AB ＝EP EA ，QN CD ＝BQBD .∵EA ＝BD ，AP ＝DQ ，∴EP ＝BQ . 又∵AB ＝CD ，∴PM 綊QN ，∴四边形PMNQ 是平行四边形，∴PQ ∥MN .又∵PQ ⊄平面CBE ，MN ⊂平面CBE ，∴PQ ∥平面CBE .类型三直线与平面平行的判定与性质『探究问题』 1．『提示』 不是．2．『提示』 若a ∥α，则过a 且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a之间相互平行．『例3』『解』已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.『母题探究』『解』已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.证明：如图所示，∵a∥b，b⊂β，a⊄β，∴a∥β，又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.『当堂达标』1．『『答案』』(1)×(2)√(3)×(4)√2．D『直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．』3．135°『由等角定理可知β＝135°.』4．平行或相交或b在α内『如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面ABCD为α，A1B1为a，则a∥α，当分别取EF，BC1，BC为b时，均满足a与b异面，于是b∥α，b∩α＝B，b⊂α(其中E，F为棱的中点)．』5．『证明』如图所示，∵CC1∥BB1，∴CC1∥平面BEE1B1.又∵平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，∴CC1∥EE1.由于CC1∥BB1，∴BB1∥EE1.。

【例1】 下列命题中，正确的个数是（ ）①平行于同一条直线的两直线平行 ②平行于同一个平面的两直线平行 ③垂直于同一条直线的两直线平行 ④垂直于同一个平面的两直线平行 ⑤平行于同一条直线的两平面平行 ⑥平行于同一个平面的两平面平行A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】平行关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】略【解析】正确的为①④⑥，选C ． 【答案】C ；【例2】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅； ④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【考点】平行关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】略【解析】③④；两个相交平面内也存在平行直线，故①错误；若②中的两条直线平行，则得不到平面平行的结论，②错误；在两个平行平面中的任一个平面内的直线都平行于另一个平面，从而平行于另一个平面内的任意一条直线，③正确；两条相交直线与两个平面都平行，可得到这两个平面平典例分析直线与平面平行行，因为可以在其中分别找到两条相交直线，对应平行，④正确．【答案】③④【例3】 平行于平面α的a ，b 是两异面直线，且分别在平面α的两侧，,,,A B a C D b ∈∈，若AC 与α平面交于点M ，BD 与α平面交于点N ．求证：AM BNMC ND=． ABCDαabMN【考点】平行关系的判断与证明【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】连结AD ，设AD Q α=，连结,QM QN ，Q NMbaαDCBA∵//b α，b ⊂平面ACD ，平面ACD MQ α=，∴b MQ ∥，即//CD MQ ，有AM AQMC QD=． 同理，有//QN AB ，ND QDBN AQ=， ∴AM AQ BN MC QD ND==，命题得证【例4】 已知平面//αβ，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD的中点．求证：//EF α，//EF β．【考点】平行关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】βBGDFEαCA连接AF 并延长交β于G ． ∵AG CD F =∴ AG ，CD 确定平面γ，且AC γα=，DG γβ=．∵//αβ，所以 //AC DG ， ∵CF DF =，∴AF FG =． 又AE BE =，∴//EF BG ，BG β⊂． 故 //EF β． 同理//EF α【例5】 如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若9PA =，12AB =，12BQ =，ACF ∆的面积为72，求BDE ∆的面积．βD QB EαPC AF【考点】平行关系的判断与证明【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无【解析】略【答案】分析：已知ACF ∆的面积，若BDE ∆与ACF ∆的对应边有联系的话，可以利用ACF ∆的面积求出BDE ∆的面积．∵平面QAFAF α=，平面QAF BE β=，又∵//αβ，∴//AF BE ． 同理可证：//AC BD ，∴FAC ∠与EBD ∠相等或互补，即sin sin FAC EBD ∠=∠．由//FA BE ，得::12:241:2BE AF QB QA ===，∴12BE AF =由//BD AC ，得::9:213:7AC BD PA PB ===，∴73BD AC =．又∵ACF ∆的面积为72，即1sin 722AF AC FAC ⋅⋅∠=．∴1sin 2DBE S BE BD EBD ∆=⋅⋅∠117sin 223AF AC FAC =⋅⋅⋅∠71sin 62AF AC FAC =⋅⋅⋅∠772846=⨯=． ∴BDE ∆的面积为84．【例6】 如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC BCD ︒∠=∠=，12DC AB =，E 是PB 的中点． 求证：EC ∥平面APD ．E PDABC【考点】平行关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】（法一：线线平行⇒线面平行）如图，取PA 中点F ，连结EF ，FD ，CBADE∵E 是BP 的中点，∵EF ∥AB 且12EF AB =， 又∵DC ∥AB ，12DC AB =， ∴EF ∥DC 且EF DC =，∴四边形EFDC 是平行四边形，故得EC ∥FD ． 又∵EC ⊄平面PAD ，FD ⊂平面PAD ∴EC ∥平面APD（法二：面面平行⇒线面平行）ME PDABC取AB 中点M ，连结CM ，EM ， ∵E ，M 分别为PB ，AB 的中点， ∴EM ∥AP ，又∵CD ∥AB ，12CD AB =，12AM AB =， ∴CD ∥AM ，且CD AM =，∴四边形CDAM 为平行四边形，CM ∥AD ， 又CMEM M =，且CM ⊂面CEM ，EM ⊂面CEM ，∴面CEM ∥面PAD ，∵EC ⊂面CEM ，∴EC ∥平面APD ．【例7】 已知空间四边形ABCD ，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，求证：//AC 平面EFG ，//BD 平面EFG ．【考点】平行关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】GFEDB在ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点． ∴//AC EF ．又EF ⊂平面EFG ，AC ⊄平面EFG ， ∴AC //平面EFG ．同理，//BD FG ，∴BD //平面EFG ．【例8】 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边 形，E 是PC 的中点．求证：PA ∥平面BDE ．OPDBCAE【考点】平行关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】略 【解析】略【答案】连结AC ，设AC 交BD 于O ，连结EO ，∵ 底面ABCD 是平行四边形 ∴ 点O 是AC 的中点在PAC ∆中，EO 是中位线∴ //PA EO ∵EO ⊂平面BDE ，且/⊂PA 平面BDE ， ∴//PA 平面BDE ．【例9】 已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，求证：//PQ 平面ACD ．【考点】平行关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】证明：（法一）取BC 的中点E ，∵P 是ABC ∆的重心，Q 为BCD ∆的重心， ∴连结AE ，DE ，有,P AE Q DE ∈∈， 且有:2:1,:2:1AP PE DQ QE ==在AED ∆中，有::AP PE DQ QE =，从而//PQ AD ．NMABCDP Q QPD CBAE又AD ⊂平面ACD ，PQ ⊄平面ACD ， ∴//PQ 平面ACD ．（法二）连结,BP BQ 分别交,AC CD 于,M N ，连结MN ， ∵::2:1BP PM BQ QN ==， ∴//PQ MN ，又MN ⊂平面ACD ， ∴//PQ 平面ACD ．【例10】 已知,,,E F G M 分别是四面体的棱,,,AD CD BD BC 的中点，G FEDCB AMN求证：//AM 面EFG ．【考点】平行关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】略 【解析】略【答案】连结MD 交GF 于N ，连结EN ，MAB CDEFG因为GF 是BCD ∆的中位线，所以点N 为MD 的中点， 又∵E 是AD 的中点，∴EN 是AMD ∆的中位线，故//EN AM ， 又EN ⊂平面EFG ，AM ⊄平面EFG ， ∴//AM 面EFG ．【例11】 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AEC E PDABCF【考点】平行关系的判断与证明 【难度】3星【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】（法一）取PE 的中点M ，连结FM ，则FM ∥CE ①OFM CBADPE由12EM PE ED ==，知E 是MD 的中点． 连结,BM BD ，设BD AC O =，则O 为BD 的中点． ∴BM ∥OE ② 由①，②知，平面BFM ∥平面AEC∵BF ⊂平面BFM ，∴BF ∥平面AEC ．（法二）∵11()22BF BC CP AD CD DP =+=++1322AD CD DE =++13()()22AD AD AC AE AD =+-+-31.22AE AC =- ∴BF 、AE 、AC 共面．又BF ⊄平面AEC ，从而BF ∥平面AEC【例12】 如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点． 求证：AF ∥平面PCE ．CADEFP【考点】平行关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】（法一：线线平行⇒线面平行）取PC 的中点G ，连结EG ，FG ，由F 为PD 中点， 知FG ∥CD ．又由已知有1//2AE CD ，∴//FG AE∴四边形AEGF 是平行四边形．CADEF GP∴AF ∥EG ，又AF ⊄平面PCE ，EG ⊂平面PCE ∴AF ∥平面PCE ．（法二：面面平行⇒线面平行）MPFE DA B取DC 中点M ，连结FM ，AF ，AM ，∵四边形ABCD 是矩形，,E M 分别是,AB CD 的中点 ∴AM ∥EC ，∵F 、M 分别是,PD CD 的中点， ∴FM ∥PC ， 又FMAM M =，AM ⊂面AFM ，FM ⊂面AFM ，∴面AFM ∥面PCE ∵AF ⊂平面PCE ∴AF ∥平面PCE【例13】 如图，四边形ABCD 是矩形，P ∉面ABCD ，过BC 作平面BCEF 交AP 于E ，交DP于F ，求证：四边形BCEF 是梯形．PFE DCBA【考点】平行关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】∵四边形ABCD 是矩形，∴//BC AD ，又AD ⊂平面PAD ，∴//BC 平面PAD 又∵BC ⊂平面BCFE ，平面BCFE 平面PAD EF =，∴//BC EF ．又∵//BC AD ，∴//EF AD ，从而EF AD ≠， 又AD BC =，∴EF BC ≠， ∴四边形BCEF 是梯形．【例14】 已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，⑴若,,,E F G H 都分别是所在边的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形；⑵若//EH FG ，求证：//EH BD ．H GFE D CBA【考点】平行关系的判断与证明【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】⑴∵E 是AB 的中点，H 是AD 的中点，∴//EH BD 且12EH BD =， 同理有1//,2FG BD FG BD =，∴//EH FG 且EH FG =， 故四边形EFGH 为平行四边形，⑵证明：//EH FG ，EH ⊄面BCD ，FG ⊂面BCD ∴EH // 面BCD 又∵EH ⊂面ABD ，面BCD 面ABD BD =，∴//EH BD ．若将⑴加条件BD AC =，求证：四边形EFGH 为菱形；HG FED C B则有1122EF AC BD EH ===， ∴四边形EFGH 为菱形【例15】 如图，B 为ACD ∆所在平面外一点，M ，N ，G 分别为ABC ∆，ABD ∆，BCD∆的重心，⑴求证：平面MNG ∥平面ACD ； ⑵求:MNG ADC S S ∆∆GFDC BAMNPH【考点】平行关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无 【解析】略【答案】⑴连结BM 、BN 、BG 并延长分别交AC 、AD 、CD 于P 、F 、H∵M ，N ，G 分别为ABC ∆，ABD ∆，BCD ∆的重心 ∴2BM BN BG MP NF GH=== 连结PF 、FH 、PH 有MN PF ∥ 又PF ⊂平面ACD ∴MN ∥平面ACD同理，MG ∥平面ACD ，MGMN M =∴平面MNG ∥平面ACD⑵由⑴可知：23MG BG PH BH ==∴23MG PH =又12PH AD =，∴13MG AD =同理，13NG AC =，13MN CD =∴MNG ∆∽ACD ∆个，其相似比为1:3 ∴:1:9MNG ACD S S ∆∆=【例16】 如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点． 求证：1A C //平面1AB D ．EABCA 1B 1C 1D【考点】平行关系的判断与证明【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】（法一：线线平行⇒线面平行）连结1A B ，记11A BAB E =，连接DE ．∵111ABC A B C -是三棱柱，∴四边形11A ABB 是平行四边形，∴E 是1A B 的中点，又D 是BC 的中点，∴DE ∥1A C ， ∵DE ⊂平面1AB D ， 1A C ⊄平面1AB D ，∴1A C ∥平面1AB D ． （法二：面面平行⇒线面平行）MABCA 1B 1C 1D取11B C 中点M ，连结1A M ，CM ，DM ， ∵111ABC A B C -是三棱柱，∴MC ∥1B D ，∵M ，D 分别为11B C ，BC 的中点，∴MD ∥1A A ，MD =1A A ， ∴四边形1AA MD 是平行四边形，有1A M ∥AD ，又1A M MC M =，且1A M ⊂面1A MC ，且MC ⊂面1A MC ∴面1A MC ∥面1AB D∵1AC ⊂面1A MC ，∴1A C ∥平面1AB D【例17】 已知正方体11112ABCD A B C D AB -=，，M 为1BC 与1B C 的交点，N 为11A C 与11B D 的交点，则MN 的长度为_______．NMD 1C 1B 1A 1D CBA【考点】平行关系的判断与证明【难度】2星 【题型】填空 【关键词】略 【解析】112MNA B，故12MN =⨯【例18】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点．求证：1B D ∥面11A C E ．EFABCDB 1C 1D 1A 1【考点】平行关系的判断与证明【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】连结11B D ，与11A C 交于点F ，连结EF ，∵在11B D D 中，E 为1DD 的中点，F 为11B D 的中点， ∴EF ∥1B D ，EF ⊂平面11A C E ，1B D ⊄面11A C E ∴1B D ∥面11A C E ．【例19】 如图，正方体1AC 中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：MN ∥平面11AA B B ．D 1C 1B 1M B NFECDA 1A【考点】平行关系的判断与证明 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】过M 点作//ME BC ，过N 点作//NF AD ，分别交1BB 和AB 于E F 、，连结EF ．∵//ME BC ， ∴11B MME BC B C =， 又∵//NF AD ， ∴NF BNAD BD=，又已知CM DN =，1B C BD =，∴1B M BN =，11B M BN B C BD =，从而有ME NFBC AD=， 又∵//,BC AD BC AD =， ∴,//ME NF ME NF =， ∴MNFE 是平行四边形， ∴//MN EF ． 又MN ⊄平面11ABB A ，EF ⊂平面11ABB A ， ∴//MN 平面11ABB A ．【例20】 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为a ，,M N 分别为1AB 和11A C 上的点，1A N AM =．N MFEAB 1C 1D 1DC B A 1⑴求证：MN ∥平面11BB C C ；⑵求MN 的最小值．【考点】平行关系的判断与证明 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】解题关键是在平面11BB C C 内找到与MN 平行的直线．该解法不只找到了这样的直线EF ，而且由于MN EF =，所以使第二个问题求MN 的最小值问题转化为求EF 的最小值问题，从而便于解题．⑴作11//NE A B 交11B C 于E ，作//MF AB 交1BB 于F ．连结EF ，则//NE MF ，∵11//NE A B ，∴11111C NNE A B AC =， 又MF ∥AB ，∴11B MMF AB AB =∵111AC AB =，1A N AM = ∴11C N B M =，11NE MFA B AB =⋅又11AB A B =，∴NE MF =．∴四边形MNEF 是平行四边形，//MN EF 且MN EF =． 又MN ⊄平面11BB C C ，EF ⊂平面11BB C C ， ∴//MN 平面11.BB C C⑵设1B E x =，由⑴知11C N B M =，且11111C E B FB C BB =， ∴11C E B F =，1B E BF = ∴1B F a x =-从而MN EF =∴当2ax =时，MN． 本题可采用寻找MN 所在平面方法证明⑴，辅助线作法为过N 作NG ∥11B C 交11A B 于G ，连结GM ，根据比例关系有GM ∥1A A ∥1B B ，从而由面GMN ∥面11BB C C ，得线面平行．【例21】 设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、1111A B C D 的中心，如图，⑴证明：//PQ 平面11AA B B ； ⑵求线段PQ 的长．AB CDA 1B 1C 1D 1PQ【考点】平行关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】⑴连结11,AD AB ，∵Q 是面1111A B C D 的中心∴1AD 必交1A D 交于点P ，且P 是1AD 的中点． 又Q 是11B D 的中点，∴PQ 是11AB D ∆的中位线，从而1//PQ AB ， 又1AB ⊂平面11AA B B ，PQ ⊄平面11AA B B ， ∴//PQ 平面11AA B B ． ⑵∵PQ 是11AB D ∆的中位线∴112PQ AB =．【例22】 正方体1111ABCD A B C D -中，E 、G 分别是BC 、11C D 的中点，如下图．求证：//EG 平面11BB D D ．D 1C 1B 1A 1GEDCBA【考点】平行关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】法一：通过线线平行，证线面平行．分析：要证明//EG 平面11BB D D ，根据线面平行的判定定理，需要在平面11BB D D 内找到与EG 平行的直线，要充分借助于E 、G 为中点这一条件．ABCDEFGA 1B 1C 1D 1证明：取BD 的中点F ，连结EF 、1D F ． ∵E 为BC 的中点，∴EF 为BCD ∆的中位线，则//EF DC ，且12EF CD =．∵G 为11C D 的中点，∴1//D G CD 且112D G CD =，∴1//EF D G 且1EF D G =， ∴四边形1EFD G 为平行四边形，∴1//D F EG ，而1D F ⊂平面11BDD B ，EG ⊄平面11BDD B ， ∴//EG 平面11BDD B ．法二：利用面面平行，证线面平行．MABCDEGA 1B 1C 1D 1分析：关键是构造一个与平面11BB D D 平行的平面，且EG 在此平面内． 证明：取11B C 的中点M ，连结,GM ME ， ∵,G M 分别是1111,C D C B 的中点， ∴11//GM B D ，∴//GM 平面11BDD B ， 又∵11//,BE B M BE B M =， ∴四边形1BEMB 为平行四边形， ∴1//ME BB ，从而//ME 平面11BDD B ， 又GMME M =，∴平面//GME 平面11BDD B ， ∵EG ⊂平面GME ， ∴//EG 平面11BDD B ．【例23】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,,,M N E F 分别是11111111,,,A B A D B C C D 的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ．【考点】平行关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】连结MF ，∵,M F 是11A B ，11C D 的中点，四边形1111A B C D 为正方形，FE N MA 1BCDD 1C 1B 1A∴11//MF A D ，又11//A D AD ，∴//MF AD ，∴四边形AMFD 是平行四边形，∴AM ∥DF∵DF ⊂面EFDB ，AM ⊄面EFDB ∴AM ∥面EFDB ，同理由//AN BE ，可得AN ∥面EFDB ，又,AM AN ⊂平面AMN ，AM AN A =∴平面AMN ∥平面EFDB【例24】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是11B C 、11A D 、11A B 的中点，求证：平面EBD ∥平面FGA ．D 1C 1B 1A 1GF ED CBA【考点】平行关系的判断与证明 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】略【答案】∵F 、G 、E 分别为所在棱的中点，∵AF BE ∥，11FG B D BD ∥∥， 又AF ⊂平面AGF 、FG ⊂平面AGF ， ∴BE ∥平面AGF ，BD ∥平面AGF ． 又∵BEBD B =，BE 、BD 均在平面BDE 内，∴平面EBD ∥平面FGA ．【例25】 已知正方体1111-ABCD A B C D ，求证：平面11//AB D 平面1C BD ．ACDA 1B 1C 1D 1【考点】平行关系的判断与证明【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】略【答案】∵1111-ABCD A B C D 为正方体，∴1111//,AB C D AB C D =∴四边形11ABC D 为平行四边形，∴11//D A C B ，又 1C B ⊂平面1C BD ，故 1//D A 平面1C BD ．同理 11//D B 平面1C BD ．又 1111D A D B D =，∴ 平面11//AB D 平面1C BD ．【例26】 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱1//2EF BC ． 求证：FO ∥平面CDE F ED C B AO【考点】平行关系的判断与证明【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】略【答案】取CD 中点M ，连结OM ，EMO AB CD EF在平行四边形ABCD 中，1//2OM BC ，又1//2EF BC ， 则//EF OM ，于是四边形EFOM 为平行四边形．∴FO ∥EM 又∵FO ⊄平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ， ∴FO ∥平面CDE【例27】 已知长方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是','AA CC 的中点．求证：平面//BDF 平面''B D E ．A A'B B'C C'D D'EF【考点】平行关系的判断与证明【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】略【答案】∵'//',''BB DD BB DD =，∴四边形''BDD B 为平行四边形，故有//''BD B D ． 取'BB 的中点G ，连结,AG FG ，∵//','AE B G AE B G =，∴四边形'AEB G 为平行四边形，故有//'AG B E ． 又∵////,GF BC AD GF BC AD ==，∴四边形ADFG 为平行四边形，故有//AG DF ． ∴'//B E DF ，又'''',B EB D B DF BD D ==， ∴平面//BDF 平面''B D E ．【例28】 过平行六面体1111ABCD A B C D -任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBB D 平行的直线共有（ ）．A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条【考点】平行关系的判断与证明【难度】3星【题型】选择【关键词】2018年，湖南高考 【解析】如图所示，在1A A 和11BB D D 之间的四条棱的中点E 、F 、G 、H组成的平面中，有EF 、FG 、GH 、HE 、EG 、HF 6条直线与平面11BB D D 平行，另一侧还有6条，共12条．B 1D 1C 1G F ECB A 1A D H【答案】D ；【例29】 如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为AC '、CB '、A B '、B C ''的中点，G 为ABC ∆的重心．从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（ ）A ．KB ．HC ．GD ．B 'A'B【考点】平行关系的判断与证明【难度】4星【题型】选择【关键词】2018年，湖北高考【解析】如图，若取K 点为P 点，连结FK ，则FK CC '∥．B A'故CC '∥面KEF ．而其他侧棱AA '、BB '均与CC '平行． 故此时与面PEF 平行的有3条棱． 若取H 点为P 点，可以得面HEF ∥面ABC ∥面A B C '''， 则与面PEF 平行的棱有底面中的6条棱； 若取G 点为P 点，AB EF ∥，A B EF ''∥， 故只有棱AB 、A B ''与面PEF 平行； 若取B '点为P 点，AB EF ∥，只有棱AB 与面PEF 平行．故选C ．【答案】C ；。

专题8.5 空间直线、平面的平行（第一课时）运用一概念的辨析【例1】(1)b是平面α外的一条直线,下列条件中可得出b Pα的是（）A．b与α内的一条直线不相交 B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交 D．b与α内的所有直线不相交(2)（2019·运城市景胜中学高二月考（文））直线l是平面α外的一条直线,下列条件中可推出//lα的是（）A．l与α内的一条直线不相交B．l与α内的两条直线不相交C．l与α内的无数条直线不相交D．l与α内的任意一条直线不相交【举一反三】1．已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,有下列四个说法：(1)若m∥α,n∥α,则m∥n；(2)若m∥α,n∥α,m,n⊂β,则α∥β；(3)若m∥n,n⊂α,则m∥α；(4)若α∥β,m⊂α,则m∥β.其中正确说法的个数为________个.2．（2019·辽宁高考模拟（文））下列三个命题在“_______”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题（其中,l m 为直线,,αβ为平面）,则此条件是__________.①____l m m α⎫⎪⎬⎪⎭P P l α⇒P ；②____m l m α⊂⎫⎪⎬⎪⎭P l α⇒P ；③____l m m α⊥⎫⎪⊥⎬⎪⎭l α⇒P运用二 线面平行【例2-1】（2019·山西省长治市第二中学校节选）如图,四棱锥P ABCD -中,90BAD ABC ︒∠=∠=,证明：BC ∥平面PAD【例2-2】（2019·江西省大余县新城中学高二月考节选）如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,F 是AB 的中 点,E 是PD 的中点,//PB 平面AEC【例2-3】（2019·黑龙江高三月考节选）如图,已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形, //AB DC 且12DC AB =,M 是PB 的中点,证明: //MC 平面PAD-中,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且【例2-4】如图,在四面体A BCD=求证：//3AQ QCPQ平面BCD.【举一反三】-中,底面ABCD为平行四边形,点M为PC中点,证1．（2019·江苏高一期末）如图,在四棱锥P ABCDPA平面BDM；明：//2．（2019·云南师大附中高三月考节选）如图,在三棱锥A-BCD中,点M,N分别在棱AC,CD的中点,求证：AD//平面BMN3．（2019·江苏淮阴中学高二月考节选）四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,求证：//CD 平面PAB4．（2019·广西桂林十八中高二月考节选）如图,已知四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是棱长为2的菱形,2,60PA ABC =∠=o ,E 是BC 中点,若H 为PD 上的点,AH =求证：EH P 平面PAB5．（2019·江西上高二中高二月考节选）如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,底面ABCD 是菱形,点O 是对角线AC 与BD 的交点,M 是PD 的中点,求证：OM ∥平面PAB6．（2019·广东高三月考节选）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PD DC =,点E 是PC 的中点,求证：//PA 平面BDE运用三 动点问题【例3-1】（2019·湖北高二期末（理））如图,四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是直角梯形,AB ∥CD ,试在棱AB 上找一点M ,使得BC ∥平面SDM【例3-2】．如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,1D 为11A C 上的点。

8.5.2 直线与平面平行一、教学目标1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理以及性质定理.2.掌握由线线平行证明线面平行以及由线面平行推出线线平行.3.能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.二、教学重难点1、教学重点直线与平面平行的判定定理和性质定理.2、教学难点直线与平面平行的判定定理和性质定理及其应用.三、教学过程1、新课导入在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系. 怎样判定直线与平面平行呢？根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点. 但是，直线是无限延伸的，平面是无限延展的，如何保证直线与平面没有公共点呢？这节课我们就来一起学习一下直线与平面平行.2、探索新知1.直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.符号表示：a α⊄，b α⊂，且a b a α⇒.图形表示：例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.已知：如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点.求证：EF 平面BCD .证明：连接BD .AE EB =，AF FD =EF BD ∴.又EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∴平面BCD .2.直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.符号表示：a α，a β⊂，b a b αβ⋂=⇒.图形表示：例2 如图所示的一块木料中，棱BC 平行于面A C ''.（1）要经过面A C ''内的一点P 和棱BC 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ （2）所画的线与平面AC 是什么位置关系？分析：要经过面A C ''内的一点P 和棱BC 将木料锯开，实际上是经过BC 及BC 外一点P 作截面，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线. 我们可以依据直线与平面平行的性质定理、基本事实4和推论1画出所需要的线段.解：（1）如图，在平面A C ''内，过点P 作直线EF ，使//EF B C ''，并分别交棱A B ''，D C ''于点E ，F ，连接BE ，CF ，则EF ，BE ，CF 就是应画的线.（2）因为棱BC 平行于平面A C ''，平面B C ''与平面A C ''相交于B C ''，所以//BC B C ''，由（1）知，//EF B C ''，所以//EF BC ，而BC 在平面AC 内，EF 在平面AC 外，所以//EF 平面AC ，显然，BE ，CF 都与平面AC 相交.3、课堂练习1.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为棱1AA ，1BB 的中点，过MN 作一平面分别交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A.//MF NEB.四边形MNEF 为梯形C.四边形MNEF 为平行四边形D.11//A B NE 答案：B 解析：在平行四边形11AA B B 中，1AM MA =，1BN NB =，//AM BN ∴，//MN AB ∴，MN AB =.又MN ⊂/平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，//MN ∴平面ABC .又MN ⊂平面MNEF ，平面MNEF 平面ABC EF =，//MN EF ∴，//EF AB ∴.显然在ABC △中，EF AB ≠，EF MN ∴≠，∴四边形MNEF 为梯形.故选B.2.如图，在五面体FEABCD 中，四边形CDEF 为矩形，M ，N 分别是BF ，BC 的中点，则MN 与平面ADE 的位置关系是_____________.答案：平行解析：因为M ，N 分别是BF ，BC 的中点，所以//MN CF .又四边形CDEF 为矩形，所以//CF DE ，所以//MN DE .又MN ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，所以//MN 平面ADE . 3.如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是矩形，2AB =，1AF =，M 是线段EF 的中点.求证： //AM 平面BDE .解析：如图，记AC 与BD 的交点为O ，连接OE .O ，M 分别是AC ，EF 的中点，四边形ACEF 是矩形，//EM OA ∴，且EM OA =，∴四边形AOEM 是平行四边形，//AM OE ∴.又OE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，//AM ∴平面BDE .4、小结作业小结：本节课学习了直线与平面平行的判定定理和性质定理及其应用.作业：完成本节课课后习题.四、板书设计8.5.2 直线与平面平行1.直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.符号表示：a α⊄，b α⊂，且a b a α⇒.图形表示：2.直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.符号表示：a α，a β⊂，b a b αβ⋂=⇒.图形表示：。

【教学目标】1. 知识与能力：(1) 了解直线和平面的关系，熟练判断直线与平面的位置关系；(2) 掌握平行面的基本性质，能够熟练应用。

2. 过程与方法：(1) 启发式教学法：通过提出问题或实例引导学生自主探究知识点。

(2) 案例教学法：通过具体的例子和图像讲解知识点，帮助学生理解和记忆。

3. 情感态度价值观：(1) 培养学生自主思考和独立解决问题的意识和能力。

(2) 引导学生珍惜数学学习的机会，培养学生积极认真的学习态度。

【教学重难点】1. 教学重点：(1) 掌握直线和平面的关系，熟练判断直线与平面的位置关系；(2) 掌握平行面的基本性质，能够熟练应用。

2. 教学难点：(1) 如何准确地判断直线与平面的位置关系；(2) 如何熟练应用平行面的基本性质。

【教学过程】一、引入新课1. 导入“平面和平面的位置关系”这一概念，通过提问学生：“在空间中两个平面之间有哪些位置关系？”激发学生探究欲望。

2. 引入“直线和平面的位置关系”，通过图片示例或实物模型呈现，引导学生感性理解。

二、知识讲解1. 直线和平面的位置关系：（1）条直线与平面相交于一点，则这条直线和这个平面是相交的。

（2）若一条直线在一平面内，但不交这个平面，则这条直线与这个平面平行。

2. 判断直线和平面平行和垂直的方法：（1）垂直：若一条直线与平面相交于一点，且这条直线在这个点处垂直于这个平面，则这条直线和这个平面垂直。

（2）平行：若一条直线在一平面内，但不交这个平面，则这条直线与这个平面平行。

3. 平行面基本性质：（1）两个平面平行，当且仅当它们内含一条公共的直线。

（2）同一平面内，通过一点作平面的所有平行于同一直线的直线互相平行。

三、知识应用1. 案例分析法：通过具体的案例和图片示例，引导学生理解直线和平面的位置关系和平行面的基本性质。

2. 组内讨论法：分组进行练习，找出有关直线和平面以及平行面的实际问题，交流各自的解决方案和方法。

四、知识巩固1. 课堂练习：教师提供练习题目，学生独立完成并上台展示自己的答案。

8.5 空间直线、平面的平行（精讲）考法一 线面平行【例1-1】（2021·海原县第一中学高一期末）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 中点．求证：1//BD 平面AEC ．【答案】证明见解析.【解析】证明：连结BD 与AC 交于点H ，连结HE .在1BDD 中，,E H 分别为1DD 、BD 的中点.得1//EH BD .又因为1BD ⊄平面AEC ，EH ⊂平面AEC ，所以1//BD 平面AEC【例1-2】（2020·浙江高一期末）如图，四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，PD ⊥面ABCD ，E、F 分别为PA 、BC 的中点．（1）求证：//EF 面PCD ；（2）若2AB =，1AD PD ==，求三棱锥P BEF -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）112. 【解析】（1）如下图所示，取PD 的中点M ，连接EM 、CM ，因为四边形ABCD 为矩形，则//AD BC 且AD BC =， E 、M 分别为PA 、PD 的中点，则//EM AD 且12EM AD =， F 为BC 的中点，所以，//EM CF 且EM CF =，所以，四边形CMEF 为平行四边形，所以，//EF CM ， EF ⊄平面PCD ，CM ⊂平面PCD ，//EF ∴平面PCD ；（2）如下图所示，连接AF ，取AD 的中点N ，连接EN ，E 为PA 的中点，所以，点P 、A 到平面BEF 的距离相等，所以，P BEF A BEF E ABF V V V ---==， E 、N 分别为PA 、AD 的中点，则//EN PD 且1122EN PD ==，PD ⊥平面ABCD ，EN ∴⊥平面ABCD ， ABF 的面积为111122222ABF S AB BF =⋅=⨯⨯=△， 因此，11111332212P BEF A BEF E ABF ABF V V V S EN ---===⋅=⨯⨯=△. 【一隅三反】 1．（2020·陕西西安市·高一期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==，3BC =．求证：1//AB 平面1BC D ；【答案】详见解析【解析】如图所示：连接1B C 与1C B 交于点O ，连接OD ，因为O ，D 为中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D ；2．（2021·全国高一课时练习）如图，在三棱锥S ABC -中，已知SAC 是正三角形，G 为SAC 的重心，D ，E 分别为SC ，AB 的中点，F 在AB 上，且13AF AB =.求证：//DE 平面SGF【答案】证明见解析【解析】证明：连接AD ，∵D 为SC 的中点，G 为SAC 的重心，∴点G 一定在AD 上，且23AG AD =， ∵E 为AB 的中点，∴12AE AB =， 又13AF AB =，∴12AE AB =，即23AF AE =， ∴AG AF AD AE=， 则//GF DE ，∵GF ⊂平面SGF ，DE ⊄平面SGF ，∴//DE 平面SGF ；3．（2020·咸阳市高新一中高一月考）正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P ，Q ，且AP DQ =．求证：//PQ 平面BCE ．【答案】证明见解析.【解析】如图所示，//PM AB 交BE 于M ，作//QN AB 交BC 于N ，连接MN ．正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，AE BD ∴=．又AP DQ =，PE QB ∴=．又////PM AB QN ，PM PE QB AB AE BD ∴==，QN BQ DC BD =，PM QN AB DC∴=． //PM QN ∴且PM QN =，即四边形PMNQ 为平行四边形，//PQ MN ∴．又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，//PQ ∴平面BCE ．考法二 面面平行【例2】（2021·全国高一课时练习）如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC，SC的中点，求证：（1）直线EG//平面BDD1B1；（2）平面EFG//平面BDD1B1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG//SB.又因为SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，所以直线EG//平面BDD1B1.（2）连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG//SD.又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，所以FG//平面BDD1B1，由（1）有直线EG//平面BDD1B1；又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG=G，所以平面EFG//平面BDD1B1.【一隅三反】1．（2021·全国高一专题练习）下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】B 中，可证AB ∥DE ，BC ∥DF ，故可以证明AB ∥平面DEF ，BC ∥平面DEF ．又AB ∩BC ＝B ，所以平面ABC ∥平面DEF ．故选B ．2．（2021·全国高一课时练习）如图：在正方体1111ABCD A B C D 中，E 为1DD 的中点.（1）求证：1//BD 平面AEC ；（2）若F 为1CC 的中点，求证：平面//AEC 平面1BFD .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连结BD 交AC 于O ，连结EO .∵因为1111ABCD A B C D -为正方体，底面ABCD 为正方形，对角线AC ､BD 交于O 点，所以O 为BD 的中点，又因为E 为1DD 的中点，在1DBD △中∴OE 是1DBD △的中位线∴1//OE BD ；又因为OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC ，所以1//BD 平面AEC .（2）证明：因为F 为1CC 的中点，E 为1DD 的中点，所以1//CF ED ，所以四边形1CFD E 为平行四边形，所以1//D F EC ，又因为EC ⊂平面AEC ，1D F ⊄平面AEC ，所以1D F ∥平面AEC ；由（1）知1//BD 平面AEC ，又因为111BD D F D ⋂=，所以平面//AEC 平面1BFD .3．（2021·全国高一）如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，E 、F 分别为PD 、PA 的中点，AC 、BD 交于点O .（1）求证：平面//PBC 平面EFO ；（2）求三棱锥A EFO -与四棱锥P ABCD -的体积之比.【答案】（1）证明见解析；（2）116【解析】（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，E 、F 为PD 、PA 的中点，AC 、BD 交于点O ， ∴////EF AD BC ，又∵EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴//EF 平面PBC ，又OE 是PBD △的中位线，∴//OE PB ，又OE ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，∴//OE 平面PBC ，∵EF ⊂平面EFO ，OE ⊂平面EFO ，EF OE E ⋂=，∴平面//PBC 平面EFO .（2）∵E 、F 、O 为PD 、PA 、AC 的中点， ∴A EFO E AFO V V --=，14AFO ACP S S ∆∆=， ∴18A EFO E AFO D PAC D PAC V V V V ----==，又12D PAC P ACDP ABCD V V V ---==，∴116A EFO P ABCD V V --=. 考法三 平行的综合运用【例3】（2020·全国高一课时练习）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证：(1)BF ∥HD 1； (2)EG ∥平面BB 1D 1D ； (3)平面BDF ∥平面B 1D 1H .【答案】(1) 见解析；(2) 见解析；(3)见解析.【解析】（1）取BB 1的中点M ，连接HM 、MC 1，四边则HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1． 又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1．（2）取BD 的中点O ，连接EO 、D 1O ，则OE ∥1D C ，OE ＝112D C ．又D 1G ∥DC ，D 1G ＝12DC ，∴OE ∥D 1G ，OE ＝D 1G ，∴四边形OEGD 1是平行四边形，∴GE ∥D 1O ． 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D ．（3）由（1）知D 1H ∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1、HD 1⊂平面HB 1D 1，BF 、BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1＝D 1，DB ∩BF ＝B ，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H ．【一隅三反】1．（2021·全国高一）已知直线a ，b 和平面α，下列命题中正确的是（ ） A ．若//a α，b α⊂，则//a b B ．若//a α，//b α，则//a b C ．若//a b ，b α⊂，则//a α D ．若//a b ，//a α，则//b α或b α⊂【答案】D【解析】对于A ，若//a α，b α⊂，则//a b 或a 与b 异面；所以A 错； 对于B ，若//a α，//b α，则//a b 或a 与b 相交或a 与b 异面；所以B 错； 对于C ，若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，所以C 错；对于D ，因为//a α，所以在α内存在直线c 使得//a c ，因为//a b ，所以//b c ，因为c α⊂，所以b α⊂或b α⊄，当b α⊄时，因为c α⊂，//b c ，所以//b α，故D 正确； 故选：D ．2．（2021·全国高一课时练习）设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则//αβ的一个充分条件是（ ）A ．存在一条直线a ，//a α，//a βB ．存在一条直线a ，a α⊂，//a βC ．存在两条平行直线a 、b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b αD ．存在两条异面直线a 、b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α 【答案】D【解析】对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行.故A 不对； 对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对； 对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对； 对于D ，在直线b 上取点B ，过点B 和直线a 确定一个平面γ，交平面β于a '，因为//a β，所以//a a '；又a α'⊄，a α⊂，所以//a α'， 又因为//b α，b a B '⋂=，b β⊂，a β'⊂，所以//βα； 故选：D3．（2020·北京大兴区·高一期末）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//BC 平面PAD ，12BC AD =，E 是PD 的中点.（1）求证：//BC AD ； （2）求证：//CE 平面PAB ；（3）若M 是线段CE 上一动点，则线段AD 上是否存在点N ，使//MN 平面PAB ？说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在；理由见解析.【解析】证明：（1）在四棱锥P ABCD -中，//BC 平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ， 平面ABCD ∩平面PAD AD =， ∴//BC AD ；（2）取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，∵E 是PD 的中点， ∴//EF AD ，12EF AD =， 又由（1）可得//BC AD ，12BC AD =， ∴//BC EF ，BC EF =，∴四边形BCEF 是平行四边形， ∴//CE BF ，∵CE ⊄平面PAB ，BF ⊂平面PAB ， ∴//CE 平面PAB .（3）取AD 中点N ，连接CN ，EN ， ∵E ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴//EN PA ，∵EN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴//EN 平面PAB ，又由（2）可得//CE 平面PAB ，CE EN E =，∴ 平面//CEN 平面PAB ，∵M 是CE 上的动点，AN ⊂平面CEN ， ∴//MN 平面PAB ，∴ 线段AD 上存在点N ，使//MN 平面PAB .考法四 线面、面面平行的性质【例4-】（2020·全国高一课时练习）在如图所示的几何体中，D 、H 、G 分别是AC 、BF 、CE 的中点，//EF DB ．求证：//GH 平面ABC ．【答案】证明见解析【解析】证明：已知G ，H 分别是EC 和FB 的中点，再取CF 的中点O ，则OG EF //，又//EF DB ，//OG BD ∴，而BD ⊂平面ABC ，//OG ∴平面ABC ．同理，//OH BC ，而BC ⊂平面ABC ，//OH ∴平面ABC ． OG OH O ⋂=，∴平面//OGH 平面ABC ，OG ⊂平面OGH ，//GH ∴平面ABC .【例4-2】（2020·全国高一课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点D 为AC 的中点，点1D 是11A C 上的一点，若1BC //平面11AB D ，则1111A D D C =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】若1BC //平面11AB D ，则11111A D D C =. ①当点1D 满足11111A D D C =时， 由平行四边形11ADC D ，可得1DC //1AD . 又1DC ⊄平面11AB D ，1AD ⊂平面11AB D ，1DC ∴//平面11AB D .同理DB //平面11AB D ，又1DB DC D ⋂=，∴平面1BDC //平面11AB D ， 1BC ∴//平面11AB D ，满足已知条件.②假设点1D 不是线段11A C 的中点由1BC //平面11AB D ，则可取线段11A C 的中点E ， 由①可知，平面1BDC //平面1AB E ， ∴平面11AB D //平面1AB E ， 与平面11AB D 平面11AB E AB =相矛盾，因此假设不成立，故点1D 是线段11A C 的中点. 故选：B.【一隅三反】1．（2020·北京人大附中高一期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AA AB AC ===，1CC 的中点为H ，点N 在棱11A B 上，//HN 平面1A BC ，则111A NA B 的值为________.【答案】12【解析】取111,BB A B 中点,M N ，连接,HM MN ，故MHBC ，1MN A B ∥，又,MH MH 在平面1A BC 外，,BC MN ⊂平面1A BC所以MH ∥平面1A BC ，MN ∥平面1A BC ，又,MH MH 相交在平面HMN 内，故平面1ABC 平面HMN ，即//HN 平面1A BC ，故11112A N AB =. 故答案为：12. 2．（2021·全国高一课时练习）已知平面α//平面β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且6PA =，9AC =，8PD =，则BD 的长为___________. 【答案】245或24【解析】如图：当点P 在两平面之外即在CA 延长线上时， 因为平面α//平面β，平面α平面PCD AB =，平面β平面PCD CD =，所以//AB CD ， 所以PA PBAC BD=， 因为6PA =，9AC =，8PD =， 所以689BDBD -=，解得245BD =，如图：当点P 在两平面之间即在线段CA 上时， 因为平面α//平面β，平面α平面PCD AB =，平面β平面PCD CD =，所以//AB CD ， 所以PA PBPC PD=， 因为6PA =，963PC AC PA =-=-=，8PD =， 所以638PB =，解得16PB =， 所以16824BD PB PD =+=+=， 综上所述：BD 的长为245或24， 故答案为：245或243．（2020·河南高一月考）如图，一个侧棱长为l 的直三棱柱111ABC A B C -容器中盛有液体（不计容器厚度）．若液面恰好分别过棱AC ，BC ，11B C ，11A C 的中点D ，E ，F ，G ．（1）求证：平面//DEFG 平面11ABB A ； （2）当底面ABC 水平放置时，求液面的高． 【答案】（1）证明见解析；（2）34l . 【解析】（1）证明：∵D ，E 分别为棱AC ，BC 的中点，∴DE 是ABC 的中位线，即//DE AB ．又DE ⊄平面11ABB A ，AB 平面11ABB A ，∴//DE 平面11ABB A ．同理，DG//平面11ABB A ，又DEDG D =，DE ⊂平面DEFG ，DG ⊂平面DEFG ，∴平面//DEFG 平面11ABB A ．（2）由（1）可知，当直三棱柱111ABC A B C -容器的侧面11AA B B 水平放置时， 液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱111ABC A B C -容器的高，即侧棱长l ， 当底面ABC 水平放置时，设液面的高为h ，ABC 的面积为S ， 由已知，有CDECAB △△且14CDE S S =△，所以34ABED S S =．由于液体体积前后不变，所以34ABED V Sh S l Sl ===，即34h l =．∴当底面ABC 水平放置时，液面的高为34l ．4．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，高为2，过AB 的截面与上底面交于PQ ，且点P 在棱11A C 上，点Q 在棱11B C 上．（Ⅰ）证明：11//PQ A B ；（Ⅱ）当点P 为棱11A C 的中点时，求四棱锥C ABQP -的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）34. 【解析】（1）因为平面//ABC 平面111A B C ，平面ABC 平面ABQP AB =，平面ABQP平面111A B C QP =，所以//AB PQ ，又因为11//AB A B ，所以11//PQ A B .（2）由点P 为棱11A C 的中点，可得Q 为11B C 的中点， 取PQ 的中点F ，分别连接CQ ，CP 和CF ，因为正三棱柱111ABC A B C -，所以CQ CP =，则CF QP ⊥， 取AB 的中点H ，连接,FH CH ，在等边ABC 中，因为2AB =，可得CH =在等腰梯形ABQP 中，2,1,AB PQ AP BQ ====FH =，连接CF ，在直角CPF 中，12CP PF ==，可得CF ==所以222CF FH CH +=，可得CF FH ⊥， 因为QPFH H =，所以CF ⊥平面ABQP ，即四棱锥C ABQP -的高为CF =，又由梯形ABQP 的面积为11()(21)2224S AB PA FH =+⋅=⨯+⨯=，所以四棱锥C ABQP -的体积为11333424V Sh ==⨯=.。