费马大定理证明
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【法1】
等轴双曲线方程的通解与费尔玛大定理的证明
滕锡和
(河南鲁山 江河中学 邮编:467337)
摘 要: 由等轴双曲线方程与费尔玛方程的内在联系,寻找到一种费尔玛方程是否有正整数解
的充要条件,再由对此条件的否定,证明了费尔玛大定理,并且把费尔玛大定理与勾股定理有机地统一起来。 关键词: 完全+
Q 解;可导出+
Q 解;连环解
中图法分类号: 文献标识码:A 文章编号:
1 R +通解
本文所用数集:N ---自然数集,Q ---有理数集,R ---实数集。本文讨论不超出+R 的范围。 本文中方程n
n
n
z y x =+及同类方程中的指数n ∈N ,以后不再说明。 引理1 方程
n
n
n
z y x =+ (n ≥2) (1)
有N 解的充要条件是它有+
Q 解。
引理2 方程(1)n
n
n
z y x =+(n ≥2)有N 解的充要条件是它有既约N 解。 这样,在以后的讨论中只需讨论+
Q 解及既约N 解的情形,可使过程简化。 引理3 方程(1)n n
n
z y x =+(n ≥2)有N 解的充要条件是方程
-1n n
X Y = (n ≥2) (2)
有+
Q 解。
证明 充分性 如果方程(2)-1n n X Y =(n ≥2)有+
Q 解,设(v
u
v w ,)()u v w N ∈两两互素,,为其+
Q 解,则(
v w )n -(v
u )n =1,n
n n w v u =+ 。于是方程(1)n n n z y x =+(n ≥2)有N 解()w v u ,,。
必要性 如果方程(1)n
n
n
z y x =+(n ≥2)有N 解,设()w v u ,,()
u v w N ∈两两互素,,
为其N 解,则n n n w v u =+,(v w )n -(v
u )n =1。于是方程(2)-1n n X Y =(n ≥2)有+
Q 解(
v
u
v w ,)。证毕 引理4 如果方程(1)n
n
n
z y x =+(n ≥2)有+
Q 解,那么,只有两类:
i )完全+
Q 解()w v u ,,(
)+
∈Q
w v u ,,;
ii )可导出+
Q 解()
w v u λλλ,,()Q u v w Q λ+
+
∈∈,,,。
证明 第i )类属显然。
第ii )类,把()w v u λλλ,,代入方程(1),得()()()n
n
n
u v w λλλ+=, ∴ n n n w v u =+
于是导出方程(1)的+
Q 解()w v u ,,。
除此以外,由其它任何形式的带无理因子的解,都不能导出+
Q 解。事实上,设()
123u v w λλλ,,(123λλλ,,中至少有一个∈+Q 且三个数中含有不可通约的无理因子,w v u ,, ∈+
Q )为方程(1)的解,则由321λλλ,,的定义知,它们的无理因子是不能从上式中完全提到括号外面去的,即由它不能导出方程(1)的+
Q 解。证毕
从引理4及其证明过程可以得到以下三条结论: (1)
若将第i )类+
Q 解的三个数同乘以一个数ξ(ξ∈+
Q ),得到ξ()w v u ,,,则此解
仍是方程(1)的第i )类+Q 解;若将三个数同乘以一个数λ(λ∈+
Q ),得到λ()w v u ,,,则此解变为方程(1)的第ii )类+
Q 解。
(2)
若将第ii )类+
Q 解的三个数同乘以一个数
()1
Q λλ
+
∈,得到()w v u ,,,则此解变为方程(1)的第i )类+
Q 解;若将三个数同乘以一个数δ(δ∈R Q δλ++
∉且),
得到δλ()w v u ,,,则此解仍是方程(1)的第ii )类+
Q 解。
(3)
方程(1)的第i )、ii )类+Q 解与非第i )、ii )类+
Q 解之间是封闭的。即无论对数组的三个数同乘以一个什么正实数,它们之间都不可能互化。
定理1 方程(1)n
n n z y x =+(n ≥2)的 +
R 解公式是
111A d R d λλ+=∈> (、,), 或 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=n n n r r r B 2222222121)(,,)(λ (21r R r λ+∈>、,)。
证明 当+∈R z y x ,,时,由n
n n z y x =+得1=-n n x
y x z )()(。根据引理3,这两个方
程在是否存在+
Q 解方面是等价的。从而得到
12222
=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n
n n n x y x z x y x z )()()()( 于是设22
1n n
z y d d x x
+=>()()(),则d x y x z n
n 122=-)()(。由此解得d
d x y d d x z n
n 21
212222-=+=),()( 。恢复x z :和x y :的比例系数后得)
()(),()()(+∈⋅⋅-=⋅⋅+=R d d x y d d x z n
n 00
022002221
21λλλλλ,拆开后即得
01A x y z R d λ+==∈>(,,) (,)
111R d λλ+==
> (,)
。 又,由n n n z y x =+得,)()(12
22
2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x y z 12222
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n
n n n y x y z y x y z )()()()(。 设221n n
z x r r y y +=>()()(),则r
y x y z n
n 122=-)()(。仿上法又得到
22221B x y z r R r λλ+⎫==∈>⎪⎪⎭
(,,) (、,)。
若设a p
d r a b p q R b q
+=
=∈、(、、、,),q p b a >>, 则B A 、之间的变换关系是.p p a b d r p q a b
++=
=--,将B A 、两式分别代入方程(1),等式成立。因此,B A 、两式都是方程(1)的+
R 解公式。证毕
定理1说明 i )方程(1)的任何一个+
R 解都可以由B A 、两式同时表出; B A 、两式表出