相似三角形平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CA【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；E AO（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。

三 相似三角形的判定及性质庖丁巧解牛知识·巧学一、平行线分线段成比例定理1。

定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.2.用符号语言表示:如图1-2-1所示，a ∥b ∥c ，则EF DE BC AB =.图1—2-13。

定理的证明：若BCAB 是有理数，则将AB 、BC 分成相等的线段,把问题转化为平行线等分线段,达到证明的目的，再推广到整个实数范围，其完整的推广过程等学到高等数学时才会实现。

4。

定理的条件:与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行,构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交，即被平行线a 、b 、c 所截.平行线的条数还可以更多。

知识拓展对于3条平行线截两条直线的图形,要注意以下变化（如图121）：如果已知是a ∥b ∥c ，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如FDFE CA CB DF DE AC AB ==,等. 记忆要诀 对于平行线分线段成比例定理，可以归纳为右左右左全上全上下上下上===1，，等,便于记忆.二、平行线分线段成比例定理的推论1。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。

2。

符号语言表示:如图1-2-2所示,a ∥b ∥c,则BC DE AC AE AB AD ==(1) （2）图1—2—23.推论的证明：直接利用平行线分线段成比例定理，应当注意的是一定要将线段对应好.误区警示实际应用时,通常图形中不会出现三条平行线，此时要注意正确识别图形,如图123.图1-2-3问题·探究问题1 平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？怎样正确使用平行线分线段成比例定理？思路:从两个定理的条件和结论两方面进行对比，可以找到它们的共同点和区别点.探究：我们学习的平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等（如图1—2-4，若l 1∥l 2∥l 3，AB ＝BC ，则DE=EF)。

平行线分线段成比例定理证明方法平行线分线段成比例定理，也被称为延长线分线段成比例定理，是初中数学中的一个重要定理。

它是指当一条直线与两条平行线相交时，所相交的线段在平行线上的投影之间成等比例。

本文将介绍该定理的证明方法。

我们来看一下平行线分线段成比例定理的表述：设有两条平行线l 和m，直线AB与这两条平行线相交于点C和D，点E是直线AB上的一个任意点。

那么，有线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比，即CE/DE=AC/BD。

接下来，我们开始证明平行线分线段成比例定理。

我们假设线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比，即CE/DE=AC/BD。

我们要证明的是，当直线AB与平行线l和m相交时，线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比。

根据平行线分线段成比例定理，我们可以得到以下等式：CE/DE=AC/BD接下来，我们需要利用一些几何性质来证明这个等式。

我们可以利用相似三角形的性质。

根据平行线的性质，我们可以得到∠ACB=∠CDE和∠BDC=∠CED。

因此，三角形ACB与三角形CDE相似，三角形BDC与三角形CED相似。

根据相似三角形的性质，我们可以得到以下等式：AC/CE=AB/DE （1）BD/DE=AB/CE （2）接下来，我们将等式（1）和等式（2）相除，得到：(AC/CE)/(BD/DE)=(AB/DE)/(AB/CE)AC/BD=CE/DE因此，我们得到了CE/DE=AC/BD的等式，即平行线分线段成比例定理成立。

通过上述推导，我们可以看出，平行线分线段成比例定理的证明方法主要依赖于相似三角形的性质。

通过利用相似三角形的性质，我们可以得到线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比。

平行线分线段成比例定理在数学中有着广泛的应用。

例如，在解决平面几何问题时，我们经常会利用该定理来求解未知线段的长度。

同时，在解决实际问题时，该定理也能为我们提供有效的解题思路。

平行线分线段成比例定理是初中数学中的一个重要定理。

戴氏教育中高考名校冲刺教育中心【态 度 决 定 高 度】 平行线分线段成比例1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=.l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

例1、如图，已知EF CD AB ////，则下列结论正确的是 （ ）A.CE BC DF AD = B .AD DFCE BC=C .BE BC EF CD =D .AFAD EF CD =变式训练：如图，∆ABC 中，D 在AB 上，E 在AC 上，下列条件中，能判定BC DE //的是（ ）A. AD AC AE AB ⋅=⋅B.AD AE EC DB ⋅=⋅ C. AD AB AE AC ⋅=⋅D. BD AC AE AB ⋅=⋅例2、如图，28,40,15,====AC AB AD ECAEDB AD ，求AE 的长．变式训练：如图，已知在ABC ∆中，9,6,2,//,//===BC AB CE AE AB EF BC DE ．求四边形BDEF 的周长．例3、已知菱形BEDF 内接于∆ABC ，点G D E ,,分别在BC AC AB ,,，若AB BC ==1512，，求菱形边长．典型例题B F CAB CD E变式训练：如图，在矩形ABCD 中，3,2==BC AB ，点H G F E ,,,分别在矩形ABCD 的各边上，//,////EH HG AC EF FG BD //，则四边形EFGH 的周长是 （ ）A.10 B .13 C .102 D .132例4、如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，E 是ABC ∆内一点，BC DE //，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于,F CF 与AB 交于P ，求证：PBPAPF PE =．变式训练：如图，在ABC ∆中，CD EF BC DE //,//，求证：AD 是AB 和AF 的比例中项．例5、如图，∆ABC 中，AD 是角平分线，DE AC //交AB 于E ，已知AB =12，AC =8，求DE ．变式练习：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则=AE EF :（ ）A.4:1 B .3:1 C .3:2 D .2:1A利用平行线分线段成比例基本事实的推论求线段长或线段比的方法：当三角形被一条与一边平行的直线所截形成“A ”字形或“X ”字形的图形，并且所求的线段不在平行的边上，通常考虑运用平行线分线段成比例基本事实的推论构建包含待求线段与已知线段的比例关系，然后把已知线段代入即可求出待求线段． 例6、下列说法正确的是 （ ）A.两个等腰三角形相似 B .所有的等腰梯形相似 C .两个等腰直角三角形相似 D .所有的正多变形相似变式练习：如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为1:2，则下列结论正确的是 （ ） A.K E ∠=∠2 B .HI BC 2=C .六边形ABCDEF =六边形GHIJKL 的周长D .G HIJKL ABCDEF S S 四边形四边形=例7、已知矩形ABCD 中，1=AB ，在BC 上取一点E ，沿AE 将ABE∆向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则=AD （ ） A.215- B .215+ C .3 D .2变式练习：如图，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，则ADAB等于 （ ） A.618.0 B .22 C .2 D .2例8、如图，在菱形ABCD 中，点F E ,分别在边CD BC ,上，DAE BAF ∠=∠，AE 与BD 交于点G ． （1）求证：DF BE =；（2）当DFADFC DF =时，求证：四边形BEFG 是平行四边形．1、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA2、如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

平行线分段成比例的定理平行线分段成比例的定理概述平行线分段成比例的定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一条直线被平行线分割后所得到的两个线段之间的比例关系。

该定理在解决平面几何问题时经常被使用，特别是在求解三角形相似性问题时。

定义在平面几何中，如果一条直线被两条平行线分割，那么这条直线上任意两点所构成的线段与其中一条平行线所构成的对应线段之间的比值相等。

符号表示设有两条平行线l和m，它们分别与另一条直线n相交于A、B、C、D四点。

则有：AB/BC = AD/DC证明我们可以使用相似三角形来证明这个定理。

具体步骤如下：步骤1：连接AC和BD两条对角线，并延长BD至E点。

步骤2：由于l和m是平行的，所以∠ABC = ∠ACD（同旁内角）。

步骤3：同样地，由于n与l和m相交，所以∠ABC = ∠ADE（同旁内角）。

步骤4：因此，∆ABC与∆ADE是相似三角形。

步骤5：根据相似三角形的定义，我们可以得到：AB/AD = BC/DE步骤6：又因为BD = AD + DE，所以有：AD/BD = AD/(AD + DE) = AB/(AB + BC)步骤7：移项可得：AB/BC = AD/DC结论根据上述证明过程，我们可以得出结论：如果一条直线被两条平行线分割，那么这条直线上任意两点所构成的线段与其中一条平行线所构成的对应线段之间的比值相等。

应用平行线分段成比例的定理在解决平面几何问题时经常被使用。

以下是一些常见的应用场景：1. 求解三角形相似性问题：当两个三角形中有两个角分别相等时，我们可以使用该定理来判断它们是否相似。

2. 求解平面图形内部点的位置关系：当一个点在一个多边形内部时，我们可以使用该定理来判断它到多边形各边的距离关系。

3. 求解直线交点坐标问题：当两条直线之间存在比例关系时，我们可以使用该定理来求出它们的交点坐标。

总结平行线分段成比例的定理是几何学中一个重要且实用的定理，它描述了一条直线被平行线分割后所得到的两个线段之间的比例关系。