一次函数的应用一次函数的应用一、学习目标：1. 巩固一次函数的知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题．2. 熟练掌握一次函数与方程，不等式的关系，有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力．二、重点、难点：运用一次函数与正比例函数的图象和性质解决实际问题。
各种数学思想的渗透和应用。
三、考点分析：利用函数解决实际问题，并求最值，这是近三年中考应用题的新特点。
一次函数的概念、图象和性质是中考的必考内容，一次函数的应用是中考的热点内容。
中考对这部分内容的要求是结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数的表达式；会画一次函数的图象，根据图象与表达式探索并理解其性质；根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；利用一次函数解决实际问题。
利用一次函数解决实际问题的题型多样，填空、选择、解答、综合题都有，主要考查学生应用函数知识分析、解决问题的能力．典型例题此前我们学习了有关一次函数的一些知识，认识了变量间的变化情况，并系统学习了一次函数的有关概念及应用，且用函数观点重新认识了方程及不等式，利用函数观点把方程（组）、不等式有机地统一起来，使我们解决相关实际问题时更方便了．例1. 乘坐某种出租汽车，当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元（即起步价4元）；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米的部分每千米收费1.5元．（1）请你求出x≥2时乘车费用y（元）与行驶路程x（千米）之间的函数关系式；（2）按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整（如计费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元），小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x的范围。
思路分析：1）题意分析：本题考查一次函数与不等式的综合运用。
2）解题思路：注意审题。
注意考虑函数的取值范围，能灵活应用所学知识解决问题。
解答过程：（1）根据题意可知：y＝4+1.5（x－2），∴y＝1.5x+1（x≥2）（2）依题意得：7.5≤1.5x+1＜8.5∴≤x＜5解题后的思考：一次函数的性质：当k>0，时y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小。
第4课时一次函数的应用教师备课素材示例●情景导入某通信公司手机话费的收取有A套餐(月租费12元，通话费为0.1元/min)和B套餐(月租费0元，通话费为0.20元/min)两种．设A套餐每月话费为y1(元)，B套餐每月话费为y2(元)，月通话时间为x(min).(1)分别表示出y1，y2与x之间的函数解析式；(2)月通话时间为多长时，A，B两种套餐收费一样？(3)什么情况下A套餐更省钱？解：(1)y1＝0.1x＋12；y2＝0.20x；(2)y1＝y2，即0.1x＋12＝0.20x，解得x＝120；(3)y1＜y2，即0.1x＋12＜0.20x，解得x＞120.【教学与建议】教学：通过现实问题引发学生对数学问题的思考，让学生感受生活中的数学无处不在．建议：用函数的方式表示话费，可以用多种形式表示函数，这样方便学生比较话费的多少．●置疑导入某航运公司年初用140万元购进一艘运输船，在投入运输后，每一年的总收入为62万元，需要支出的各种费用为30万元．(1)设运输x年后，盈利为y万元，y与x之间的函数解析式是__y＝32x－140__；(不必写出自变量的取值范围)(2)该船运输__5__年后开始盈利．【教学与建议】教学：设置现实情境，启发学生利用所学知识解决实际问题．建议：首先弄清楚数量之间的关系，以及关键词的含义，根据数量关系列出函数解析式，进一步转化为不等式进行解答，最后根据实际意义确定结果．分配方案问题经常和二元一次方程组、费用最低的问题结合在一起，解题的方法是构造有关费用的函数，然后根据函数的增减性求得费用最低时对应的自变量的值．【例1】A城有肥料200t，B城有肥料300t，现要把这些肥料全部运往C，D两乡，从A城往C，D两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元；从B城往C，D两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元．已知C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t，怎样调运总运费最少？解：设从A城运往C乡xt肥料，那么A城运往D乡(200－x)t，B城运往C乡(240－x)t，B城运往D乡[260－(200－x)]t.根据题意，得y费用＝20x＋25(200－x)＋15(240－x)＋24[260－(200－x)]＝4x＋10040(0≤x≤200).∵k＝4＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝0时，y最小＝10040.答：从A城运往C乡0t，运往D乡200t，从B城运往C乡240t，运往D乡60t，此时总费用最少，为10040元．销售问题通常的解题方法是构造销售类的函数，并结合自变量的取值范围和函数的增减性解决问题，销售问题中的相等关系是总价＝单价×数量(质量)．【例2】小明在暑期社会实践活动中，从批发市场购进若干荔枝到市场上去销售，在销售了40kg之后，余下的荔枝降价全部售完，销售金额y(元)与售出荔枝的重量x(kg)之间的关系如图所示．请根据图象提供的信息完成以下问题：(1)①降价前售出荔枝的单价为__16__元/kg；②降价前销售金额y(元)关于售出荔枝的重量x(kg)的函数解析式为__y＝16x__；(2)降价后的价格是多少？降价多少元？(3)小明销售了46kg，销售金额是多少元？解：(2)(760－640)÷(50－40)＝12(元/kg)，16－12＝4(元).答：降价后的价格为12元/kg，降价4元；(3)设降价后的函数解析式为y＝kx＋b.把(40，640)，(50，760)代入函数解析式，得错误!解得错误!∴函数解析式为y＝12x＋160.把x＝46代入上式，得y＝712.答：小明销售了46kg，销售金额是712元．行程问题中的相等关系是路程＝速度×时间，解题的方法是：根据相等关系建立函数模型，结合函数图象，分析题意．【例3】“五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170km的某地，如图是他们离家的距离y(km)与汽车行驶时间时，汽车一共行驶的时间是(C)A．2hB．2.2hC．2.25hD．2.4h（例3题图）（例4题图）【例4】钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态化巡逻．某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达．如图是该艇行驶的路程y(n mile)与所用时间t(h)的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是__7：00__．高效课堂教学设计1．能通过函数图象获取信息，发挥形象思维．2．利用一次函数的图象与性质解决实际问题．▲重点正确建立一次函数模型，利用图象和性质解决简单的实际问题．▲难点正确建立一次函数模型，正确表示分段函数．◆活动1 新课导入1．回顾一次函数的图象和性质．2．若一次函数y＝(m－3)＞3 D．m＜3前面我们学习了一次函数的概念、图象、性质及一次函数解析式的求法，今天我们将学习用一次函数解决实际问题．◆活动2 探究新知教材P94例5.提出问题：(1)请完成表1911；(2)第(2)问中求函数解析式时，为何要分情况讨论？(3)请分别求出当0≤x≤2及x＞2时的函数解析式，y与x的函数解析式能否合起来表示？合起来表示要注意什么？(4)所画出的函数图象是一条直线吗？由几部分构成？学生完成并交流展示．◆活动3 知识归纳1．在实际问题中经常抽象出函数的__解析式__和__图象__，我们要利用函数的__解析式__和__图象__性质来解决实际问题．2．在某一变化过程中，随着自变量在不同范围内的取值，函数值有不同的变化规律，这类函数称为__分段函数__．3．在解决分段函数问题时，要特别注意相应的自变量__取值范围__的划分，要准确而又符合实际．◆活动4 例题与练习例1 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min 内只进水不出水，在随后的8min 内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示．(1)当4≤x≤12时，求y 关于x 的函数解析式；(2)直接写出每分钟进水、出水各多少升．解：(1)y ＝54x ＋15(4≤x≤12)； (2)每分钟进水5L ，每分钟出水3.75L ．例2 某社区活动中心准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A ，B 两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A 超市：所有商品均打九折(按标价的90%)销售；B 超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．设在A 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y A (元)，在B 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y B (元).请解答下列问题：(1)分别写出y A ，y B 与x 之间的关系式；(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？(3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．解：(1)由题意，得y A ＝(10×30＋3×10x)×0.9＝27x ＋270，y B ＝10×30＋3(10x －2×10)＝30x ＋240；(2)当y A ＝y B 时，27x ＋270＝30x ＋240，解得x ＝10；当y A ＞y B 时，27x ＋270＞30x ＋240，解得x ＜10，∵x≥2，∴2≤x ＜10；当y A ＜y B 时，27x ＋270＜30x ＋240，解得x ＞10.综上所述，当2≤x＜10时，到B超市购买更划算；当x＝10时，两家超市费用相同；当x＞10时，在A超市购买更划算；(3)由题意知，x＝15.∵15＞10，∴只在一家超市购买时，选择A超市划算，y A＝27×15＋270＝675(元).在两家超市购买时，先选择B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球：(10×15－20)×3×0.9＝351(元)，共需要费用10×30＋351＝651(元).∵651元＜675元，∴最佳方案是先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球．练习1．教材P95练习第2题．2．“五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170km的某地，如图是他们离家的距离y(km)与汽车行驶时间时，汽车一共行驶的时间是( C )A．2h B．2.2h C．2.25h D．2.4h 3．某水库的水位在5h内持续上涨，初始的水位高度为6m，水位以每小时0.3m的速度匀速上升，则水库的水位高度ym与时间，动点P由点A(起点)沿折线ABCD向点D(终点)移动，设点P移动的路程为2)，试写出S与x之间的函数关系式，并画出其函数图象．解：①当点P在AB上由点A向点B移动时，S＝5x(0＜x＜4)；②当点P在BC上由点B向点C移动时，S＝20(4≤x＜14)；③当点P在CD上由点C向点D移动时，S＝90－5x(14≤x＜18).综上所述，S＝错误!其图象如图．◆活动5 完成附赠手册◆活动6 课堂小结1．一次函数的实际应用．2．利用一次函数解决分段函数问题．1．作业布置(1)教材P99习题19.2第9，11题；(2)学生用书对应课时练习．2．教学反思。
