2020年湖北省黄冈中学高考数学冲刺试卷(理科)(二)(附详解)

2020年湖北省黄冈中学高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =„，{|()0}B x f x '=„，则(A B =I)A ．[1-，0]B ．[1-，2]C ．[0，1]D ．(-∞，1][2U ，)+∞2．（5分）设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||(z z z += )A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+3．（5分）命题“(0,1)x ∀∈，x e lnx ->”的否定是( ) A ．(0,1)x ∀∈，x e lnx -„ B ．0(0,1)x ∃∈，00x e lnx ->C ．0(0,1)x ∃∈，00x e lnx -<D ．0(0,1)x ∃∈，00x e lnx -„4．（5分）已知||3a =r ，||2b =r ，若()a a b ⊥-r r r ，则向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为() A ．12B ．72 C ．12-D ．72-5．（5分）在三角形ABC 中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的( )条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A．11 12B．6C．112D．2237．（5分）木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为()A．2493π+B．4893π+C．48183π+D．144183π+8．（5分）函数cos23sin2([0,])2y x x xπ=∈的单调递增区间是()A．[0，]6πB．[0，]3πC．[6π，]2πD．[3π，]2π9．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x yx yx y-+⎧⎪+-⎨⎪-+⎩„„…所表示的平面区域内存在点(x，0)y，使不等式0010x my++„成立，则实数m的取值范围为()A．(-∞，5]2-B．(-∞，1]2-C．[4，)+∞D．(-∞，4]-10．（5分）已知函数1()2xf x e x-=+-的零点为m，若存在实数n使230x ax a--+=且||1m n-„，则实数a的取值范围是()A．[2，4]B．[2，7]3C．7[3，3]D．[2，3]11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x yE a ba b-=>>满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线24y x=的焦点F重合；②双曲线E与过点(4,2)P的幂函数()af x x=的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是() A31+B51+C．32D5112．（5分）已知函数1()xf x xe-=，若对于任意的(0x∈，]e，函数2()()1g x lnx x ax f x=-+-+在(0，]e内都有两个不同的零点，则实数a的取值范围为()A ．(1，]eB ．2(e e-，]e C ．2(e e -，2]e e +D ．(1，2]e e-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.） 13．（5分）6(12)(1)x x -+的展开式中2x 的系数为 ．14．（5分）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程2px q =中，p 为“隅”， q 为“实”．即若ABC ∆的大斜、中斜、小斜分别为a ，b ，c ，则22222221[()]42a cb S ac +-=-．已知点D 是ABC ∆边AB 上一点，3AC =，2BC =，45ACD ∠=︒，tan BCD ∠=，则ABC ∆的面积为 ． 15．（5分）过直线7y kx =+上一动点(,)M x y 向圆22:20C x y y ++=引两条切线MA ，MB ，切点为A ，B ，若[1k ∈，4]，则四边形MACB 的最小面积S ∈的概率为 16．（5分）三棱锥S ABC -中，点P 是Rt ABC ∆斜边AB 上一点．给出下列四个命题： ①若SA ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的四个面都是直角三角形；②若4AC =，4BC =，4SC =，SC ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -的外接球体积为；③若3AC =，4BC =，SC S 在平面ABC 上的射影是ABC ∆内心，则三棱锥S ABC -的体积为2；④若3AC =，4BC =，3SA =，SA ⊥平面ABC ，则直线PS 与平面SBC 所成的最大角为60︒． 其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4618a a +=，11121S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(3)2n n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．18．（12分）某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本)，并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．。

2020年湖北省黄冈中学高考数学适应性试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|22x﹣3＜1}，则A∩B＝（）A．B．C．D．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2+i，则z1z2＝（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2a n﹣1，则a5的值为（）A．8B．16C．32D．814．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝1og a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．5．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”．若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．陀螺是中国民间较早的体育活动工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现．如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的体积为（）A．B．C．D．20π7．若（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a0+a1+a2+…+a7的值是（）A．﹣1B．﹣2C．126D．﹣1308．已知a＝0.20.2，b＝0.20.3，c＝log20.3，d＝log0.30.2，则执行如图所示的程序框图，输出的x值等于（）A．a B．b C．c D．d9．已知向量、、满足，，，E、F分别是线段BC、CD的中点．若，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．10．已知函数，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4的取值的范围是（）A．（40，64）B．（40，48）C．（20，32）D．（20，36）11．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在Y轴上，下列说法：①函数f（x）的最小正周期是2π；②函数f（x）的图象关于点成中心对称；③点M的坐标是，其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．312．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A关于平面BDC1对称点为M，则M到平面A1B1C1D1的距离为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O是坐标原点．点A在抛物线C上，且|AO|＝|AF|，则线段|AF|的长是．14．已知函数，则曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程为．15．已知双曲线C的中心在原点，F（﹣2，0）是一个焦点，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣3，﹣1），则C的方程是．16．在△ABC中，若，则cos C的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必做考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，分别用甲、乙两种方法培育该品种花苗．为比较两种培育方法的效果，选取了40棵花苗，随机分成两组，每组20棵．第一组花苗用甲方法培育，第二组用乙方法培育．培育完成后，对每棵花苗进行综合评分，绘制了如图茎叶图：（1）分别求两种方法培育的花苗综合评分的中位数．你认为哪一种方法培育的花苗综合评分更高？并说明理由．（2）综合评分超过80的花苗称为优质花苗，填写如表的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为优质花苗与培育方法有关？优质花苗非优质花苗合计甲培育法乙培育法合计附：．P（K2≥k0）0.0100.0500.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，点E，F分别为AC，PC的中点，PA＝1，AB＝2．（1）求证：平面BEF⊥平面PAC；（2）在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．19．如图，已知椭圆过点，其左、右顶点分别是A，B，下、上顶点分别是C，D，P是椭圆上第一象限内的一点，直线PA，PB的斜率k1，k2满足．（1）求椭圆C的方程；（2）过P点的直线PO交椭圆于另一点Q，求四边形APCQ面积的取值范围．20．今年上半年“新冠肺炎”全球大爆发．在某个时间点，某城市从有人发病到发现人传人时，已有发病人数a0＝0.3（千人），从此时起，每周新增发病人数a t（单位：千人）与时间t（单位：周）之间近似地满足a t＝e（t∈N*），且当t＝2时，a2＝2（千人）．为阻止病毒蔓延，该城市第3周后果断采取了封城的隔离措施，再经过2周后隔离措施产生了效果，新增发病人数．（1）求该城市第5，6，7周新增发病人数；（2）该城市从发现人传人时，就不断加大科技投入，第t周治愈人数b t（单位：千人）与时间t（单位：周）存在关系，为了保障每一位“新冠肺炎”病人能及时入院治疗，该城市前9周（不考虑死亡人数的前提下）至少需准备多少张床位？（注：出院人数不少于新增发病人数时，总床位不再增加）21．已知函数f（x）＝axlnx﹣（a+1）lnx，f（x）的导数为f'（x）．（1）当a＞﹣1时，讨论f'（x）的单调性；（2）设a＞0，方程有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的普通方程为，曲线C1的参数方程为（θ为参数），若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得曲线C2．（1）求直线l的斜率和曲线C2的普通方程；（2）设点P（0，2），直线l与曲线C2的两个交点分别为A，B，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：（1）a+b+c≥；（2）++≥（++）．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|22x﹣3＜1}，则A∩B＝（）A．B．C．D．【分析】先求出集合A，B，进而可求．解：，所以．又A＝（1，4），故选：C．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2+i，则z1z2＝（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．解：z1＝2+i对应的点的坐标为（2，6），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则对应的复数，z2＝﹣5+i，故选：A．3．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2a n﹣1，则a5的值为（）A．8B．16C．32D．81【分析】分别把1，2，3，4，5代入S n＝2a n﹣1，即可求解结论．解：因为S n＝2a n﹣1，∴S1＝2a1﹣1⇒a1＝1，S3＝4a3﹣1＝a5+a2+a3⇒a3＝4，S5＝7a5﹣1＝a6+a2+a3+a4+a5⇒a5＝16，故选：B．4．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝1og a（x+）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】对a进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断；解：由函数y＝，y＝1og a（x+），当a＞2时，可得y＝是递减函数，图象恒过（0，1）点，当1＞a＞0时，可得y＝是递增函数，图象恒过（6，1）点，∴满足要求的图象为：D故选：D．5．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”．若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】由题得到甲和丙中有1人说法正确，进而可判断每个人的说法解：因为只有1人判断正确，而甲和丙说法矛盾，故两人中有1人判断正确，故乙和丁都判断错误，则乙获奖，故丙没获奖，即丙判断正确，故选：C．6．陀螺是中国民间较早的体育活动工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现．如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的体积为（）A．B．C．D．20π【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．解：由三视图知该几何体是上部为圆锥，中部为圆柱，下部为圆锥的组合体．其中，上部圆锥的底面半径为2，高为2；中部圆柱的底面半径为2，高为1；下部的圆锥的底面半径为4，高为3，所以该陀螺模型的体积为．故选：B．7．若（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a0+a1+a2+…+a7的值是（）A．﹣1B．﹣2C．126D．﹣130【分析】先令x＝1求出系数和，再根据二项式系数的特点求出a8，即可求出a0+a1+a2+…+a7．解：令x＝1，得﹣2＝a0+a1+a5+…+a8．又，故选：C．8．已知a＝0.20.2，b＝0.20.3，c＝log20.3，d＝log0.30.2，则执行如图所示的程序框图，输出的x值等于（）A．a B．b C．c D．d【分析】模拟程序的运行，可得程序中输出的x的值是a，b，c，d中的最大值，利用指数函数，对数函数的图象和性质即可比较大小即可．解：程序中输出的x的值是a，b，c，d中的最大值．因为a＝0.20.2，b＝2.20.3，c＝log20.3，d＝log6.30.2，所以a，b，c，d中d最大．故选：D．9．已知向量、、满足，，，E、F分别是线段BC、CD的中点．若，则向量与向量的夹角为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，结合求得，从而向量与向量的夹角为．解：如图＝．∴cos＝，则，故选：A．10．已知函数，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4的取值的范围是（）A．（40，64）B．（40，48）C．（20，32）D．（20，36）【分析】做出函数f（x）的图象，结合函数图象的性质，找到x1、x2，x3、x4之间的关系，将x1x2x3x4转化为关于x3的函数，求值域即可．解：函数f（x）的图象如下图所示．点（x3，t），（x4，t），关于直线x＝6对称，所以x5＝12﹣x3．而x3∈（2，4），故x1x2x3x4＝x3x4∈（20，32）．故选：C．11．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f（x）的图象交于M，N两点，且M在Y轴上，下列说法：①函数f（x）的最小正周期是2π；②函数f（x）的图象关于点成中心对称；③点M的坐标是，其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】①根据函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的图象以及圆C的对称性，转化求解函数的周期，判断①．②通过函数图象关于点对称，求出函数图象的对称中心为．判断②．③求出函数的解析式，然后求解M的坐标，判断③．解：①根据函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的图象以及圆C的对称性，可得M，N两点关于圆心C（c，0）对称，所以函数的周期为T＝π，所以①错误．②由函数图象关于点对称，及周期T＝π知，函数图象的对称中心为．③由ω＝2及的相位为0，得，从而，所以③正确．故选：B．12．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点A关于平面BDC1对称点为M，则M到平面A1B1C1D1的距离为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BDC1的法向量＝（1，﹣1，1），从而平面BDC1的方程为x﹣y+z＝0，进而过点A（1，0，0）且垂直于平面BDC1的直线方程为（x﹣1）＝﹣y＝z，推导出过点A（1，0，0）且垂直于平面BDC1的直线方程与平面BDC1的交点为（，，﹣），得到点A关于平面BDC1对称点M（，，﹣），由此能求出M到平面A1B1C1D1的距离．解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），B（1，8，0），C1（0，1，1），A（1，0，7），A1（1，0，3），设平面BDC1的法向量＝（x，y，z），∴平面BDC1的方程为x﹣y+z＝0，（x﹣1）＝﹣y＝z，代入平面方程x﹣y+z＝0，得t+1+t+t＝0，解得t＝﹣，∴点A关于平面BDC3对称点M（，，﹣），∴M到平面A1B1C1D1的距离为d＝＝．故选：D．二、填空题：本题有4小题，每小题5分，共20分．13．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，O是坐标原点．点A在抛物线C上，且|AO|＝|AF|，则线段|AF|的长是．【分析】不妨设点A在x轴上方，求出A的坐标，然后求解线段|AF|的长即可．解：不妨设点A在x轴上方，则由|OF|＝1知，，所以，即，故答案为：．14．已知函数，则曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程为y＝x．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．解：∵，∴，则f'（0）＝＝2，∴曲线y＝f（x）在（0，0）处的切线方程为y＝x．故答案为：y＝x．15．已知双曲线C的中心在原点，F（﹣2，0）是一个焦点，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣3，﹣1），则C的方程是﹣y2＝1．【分析】先利用点F，N的坐标求出直线AB的斜率，再利用点差法得到a2＝3b2，结合a2+b2＝4求出a，b的值，从而得到双曲线C的方程．解：因为F（﹣2，0），N（﹣3，﹣1），所以直线AB的斜率k l＝1，设双曲线方程为，则a2+b2＝4，由，，得，于是a2＝3，b2＝1，所以C的方程为．16．在△ABC中，若，则cos C的最小值为．【分析】由已知即正弦定理可得c2＝，进而由余弦定理，基本不等式可得cos C 的最小值．解：因为，所以，即，即，即，由正弦定理得c2＝ab cos C．当且仅当a＝b时等号成立，所以cos C的最小值为．故答案是：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必做考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，分别用甲、乙两种方法培育该品种花苗．为比较两种培育方法的效果，选取了40棵花苗，随机分成两组，每组20棵．第一组花苗用甲方法培育，第二组用乙方法培育．培育完成后，对每棵花苗进行综合评分，绘制了如图茎叶图：（1）分别求两种方法培育的花苗综合评分的中位数．你认为哪一种方法培育的花苗综合评分更高？并说明理由．（2）综合评分超过80的花苗称为优质花苗，填写如表的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为优质花苗与培育方法有关？优质花苗非优质花苗合计甲培育法乙培育法合计附：．P（K2≥k0）0.0100.0500.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）根据题意计算中位数或平均数、分布等，从某一角度说明即可．（2）填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．解：（1）第一组花苗综合评分的中位数为；第二组花苗综合评分的中位数为，（2）列联表如表所示．所以有99.5%的把握认为优质花苗与培育方法有关．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，点E，F分别为AC，PC的中点，PA＝1，AB＝2．（1）求证：平面BEF⊥平面PAC；（2）在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．【分析】（1）证明平面PAC⊥平面ABC，推出BE⊥AC，然后证明BE⊥平面PAC，得到平面BEF⊥平面PAC．（2）以E为坐标原点，分别以，，方向为x，y，z轴正方向建立如图坐标系，求出平面PBC的法向量，求出，利用空间向量的数量积推出结果即可．解：（1）证明：∵PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．又平面PAC∩平面ABC＝AC，BE⊂平面ABC，∴平面BEF⊥平面PAC．又点E，F分别为AC，PC的中点，又由于BE⊥平面PAC，∴BE⊥AC，BE⊥EF，以E为坐标原点，分别以，，方向为x，y，z轴正方向建立如图坐标系．由于A（0，﹣1，0），P（0，﹣1，4），，C（0，1，2），设平面PBC的法向量，则，于是．，则．故存在满足条件的G点，G点是线段PB的中点．19．如图，已知椭圆过点，其左、右顶点分别是A，B，下、上顶点分别是C，D，P是椭圆上第一象限内的一点，直线PA，PB的斜率k1，k2满足．（1）求椭圆C的方程；（2）过P点的直线PO交椭圆于另一点Q，求四边形APCQ面积的取值范围．【分析】（1）设P（x0，y0），则．通过．结合椭圆C过点，列出方程求解a，b，即可得到椭圆方程．（2）设直线PQ的方程为y＝kx（k＞0），求出点A，C到直线P，Q的距离，联立求出|PQ|．表示四边形APQC的面积表达式，然后四边形APCQ面积的取值范围．解：（1）设P（x0，y0），则．又，所以．①由①②得a＝2，b＝7，故椭圆方程为．设直线PQ的方程为y＝kx（k＞2），又由得，所以．由得．故四边形APCQ面积的取值范围是．20．今年上半年“新冠肺炎”全球大爆发．在某个时间点，某城市从有人发病到发现人传人时，已有发病人数a0＝0.3（千人），从此时起，每周新增发病人数a t（单位：千人）与时间t（单位：周）之间近似地满足a t＝e（t∈N*），且当t＝2时，a2＝2（千人）．为阻止病毒蔓延，该城市第3周后果断采取了封城的隔离措施，再经过2周后隔离措施产生了效果，新增发病人数．（1）求该城市第5，6，7周新增发病人数；（2）该城市从发现人传人时，就不断加大科技投入，第t周治愈人数b t（单位：千人）与时间t（单位：周）存在关系，为了保障每一位“新冠肺炎”病人能及时入院治疗，该城市前9周（不考虑死亡人数的前提下）至少需准备多少张床位？（注：出院人数不少于新增发病人数时，总床位不再增加）【分析】（1）根据a2＝2计算e，再计算a5，a6，a7；（2）判断a t﹣b t﹣1的单调性，得出床位需求量达到最大时的时间，再计算床位总数．解：（1），当3≤t≤5时，；∴，，．（2）．当2≤t≤9时，，至少需准备的床位数为a0+a1+a2+…+a6﹣（b1+b5+…+b5）故该城市前9周至少需准备23.55千张床位．21．已知函数f（x）＝axlnx﹣（a+1）lnx，f（x）的导数为f'（x）．（1）当a＞﹣1时，讨论f'（x）的单调性；（2）设a＞0，方程有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），求证：．【分析】（1）求导得f′（x），再对f′（x）求导，讨论a的范围，确定导数的正负，然后结合导数与单调性的关系，可求f'（x）的单调性；（2）令，则g'（x）＝f'（x）+1．由结合导数与单调性的关系可得g （x）的单调区间，计算g（）＞0，g（1）＜0，g（e）＞0，可得，x2＜e，即可得证．【解答】（1）解：，．若﹣1＜a＜0，则当时，f''（x）＞0，f'（x）单调递增；当时，f''（x）＜0，f'（x）单调递减．故当﹣1＜a＜0时，在上f'（x）在（0，+∞）上单调递增；在上单调递减．当a≥0时，在（0，+∞）上f'（x）单调递增．由（1）知，在（0，+∞）上，g'（x）单调递增．又，，，所以，x2＜e，故．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的普通方程为，曲线C1的参数方程为（θ为参数），若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得曲线C2．（1）求直线l的斜率和曲线C2的普通方程；（2）设点P（0，2），直线l与曲线C2的两个交点分别为A，B，求的值．【分析】（1）结合直线的直角坐标方程可求直线的斜率，再求出直线的倾斜角，然后结合直线过的定点及普通方程与参数方程的互化，求解即可；（2）联立直线与曲线方程，然后结合直线的参数方程的几何意义，求解即可．解：（1）直线l的斜率为．曲线C2的参数方程为，化为直角坐标方程为．将l的参数方程代入，并整理得．则，，所以t1＜2，t2＜0，故．[选修4-5：不等式选讲]23．设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：（1）a+b+c≥；（2）++≥（++）．【分析】（1）运用分析法证明．要证a+b+c≥，结合条件，两边平方，可得a2+b2+c2≥1，运用重要不等式，累加即可得证．（2）问题转化为证明a+b+c≤1，根据基本不等式的性质证明即可．【解答】证明：（1）运用分析法证明．要证a+b+c≥，由a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca＝1，即为a2+b2+c2≥5，①相加可得a2+b2+c2≥zb+bc+ca＝1，综上可得，原不等式成立．而由（1）a+b+c≥，故只需≥++，即：a+b+c≤ab+bc+ac，∴a+b+c≤ab+bc+ac＝4成立，（当且仅当a＝b＝c＝时）．。

黄冈中学高三5月第二次模拟考试数学（理科）试卷 试卷满分：150分一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}223,1,0,1,2,3A x y x x B ==--=-，则()R C A B =I （ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}1,3- 2. 若复数232018|34|134i z i i i i i-=++++++-…，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．15-B ．95-C ．95D ．95i -3. 设537535714(),(),log 755a b c -===，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<4．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是( ) A ．1623+ B ．1625+C ．2023+D ．2025+5. 下列命题正确的个数是（ ）1:p 若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥2:p 命题“32000,10x x x ∃∈-+≤R ”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+≥”3:p 函数sin()6y x πω=+在2x =处取得最大值，则正数ω的最小值为6π4:p 若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=.已知随机变量()~6,4X N ，则()280.8185P X <≤=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 过双曲线22:1x yΓ-=上任意点P作双曲线Γ的切线，交双曲线Γ两条渐近线分别交于,A B两点，若O为坐标原点，则AOB∆的面积为( )A．4 B．3 C．2 D．17. 函数2sin()xxf xe=在[,]ππ-的图像大致为( )8.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列前n项和的程序框图，执行该程序框图，输入10m=，则输出的S为（）A. 100B. 250C. 140D. 1909．已知ABC∆所在平面内有两点,P Q，满足0,PA PC QA QB QC BC+=++=u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r，若4,2AB AC==u u u r u u u r，23APQS∆=,则2AB AC BC⋅+u u u r u u u r u u u r的值为( )n=1,S=01结束是n为奇数?否输入正整数ma=n22开始n=n+1 a=n2-12S=S+an≥m?输出S是否图二A. ±B. 8±C. 12±D. 20±10.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的体积为( )A.27B.9C.27D.2711.实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，它表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p .由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为( )A ．12B ．23C ．35D ．4312. 若函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. 1(1,)1e e e --B. 1[1,]1e e e --C. 1(,1)1e e e ---D. 1[,1]1e e e ---二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.若()6111ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是11-，则实数a 的值为_________.14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=相交的，则椭圆的离心率为_________.15.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S 且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为_________.16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6a c +=，(3cos )tan sin 2BA A -=，则ABC ∆的面积的最大值为 ．三.解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22()(2a b c bc --=．（1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且1sin 1=A a ，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SCD ∆为钝角三角形，侧面SCD 垂直于底面ABCD ，CD SD =，点M 是SA 的中点，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==.（1）求证：平面MBD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求二面角B MD C --余弦值．19.（本小题满分12分）IC 芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作IC 芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅.为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的30片单晶的晶圆中有28片达标，没有使用该工艺的20片单晶的晶圆中有12片达标．（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准有关？（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为23，每个环节出错需要修复的费用均为20元，第四环节生产正常的概率为34，此环节出错需要修复的费用为10元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：22()=,()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=+++++++ 参考数据： 20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.0250.01 0.005 0.00120.（本小题满分12分）已知抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点的距离为3，线段AB 的两端点()11,A x y ， ()22,B x y 在抛物线C 上. （1）求抛物线C 的方程；（2）在抛物线C 上存在点()33,D x y ，满足312x x x <<，若ABD ∆是以角A 为直角的等腰直角三角形，求ABD ∆面积的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()().2a f x x x g x x x a a R ==+-∈ （1）若直线(0)()(),x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点,且曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；（2）设()()()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且12.0,x x λ>>已知若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.（二）选考题 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为1()2x y ααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数，直线1:0l x =，直线 2:0l x y -=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系.（1）求曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求线段AB 的长.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0a >，0b >，且222a b +=． （1）若2214|21||1|x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； （2）证明：5511()()4a b ab++≥．黄冈中学高三5月第二次模拟考试数学（理科）答案 试卷满分：150分一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{{},1,0,1,2,3A x y B ===-，则()R C A B =I （ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}1,3- 【答案】B2.若复数232018|34|134i z i i i i i-=++++++-…，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．15- B ．95-C ．95D ．95i -【答案】B3.设537535714(),(),log 755a b c -===，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】D4. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是( )A ．16+B ．16+C ．20+D ．20+【答案】B5.下列命题正确的个数是（ ）1:p 若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥【错误】2:p 命题“32000,10x x x ∃∈-+≤R ”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+≥”【错误】3:p 函数sin()6y x πω=+在2x =处取得最大值，则正数ω的最小值为6π【正确】4:p 若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=.已知随机变量()~6,4X N ，则()280.8185P X <≤=【正确】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B6. 过双曲线22:1x y Γ-=上任意点P 作双曲线Γ的切线，交双曲线Γ两条渐近线分别交于,A B 两点，若O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 7. 函数2sin ()xxf x e=在[,]ππ-的图像大致为( )8. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的 推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理. 数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪 数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数 列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列 前n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入10m =，则输 出的S 为（ ）A. 100B. 250C. 140D. 190【答案】D9．已知ABC ∆所在平面内有两点,P Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r，若4,2AB AC ==u u u r u u u r ，23APQ S ∆=,则2AB AC BC ⋅+u u u r u u u r u u u r的值为( )A. 43±B. 843±C. 1243±D. 2043±【答案】D【解析】因为0PA PC +=u u u r u u u r r，所以P 为AC 中点，又因为QA QB QC BC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r 即QA QB BC QC BQ +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2QA BQ =u u u r u u u r ，所以Q 为线段AB 的靠近B 的三等分点．所以13APQ ABC S S ∆∆=，所以1sin 22ABCS AB AC A ∆==u u u r u u u r ，所以1sin 2A =，3cos A =或3-．故cos 43AB AC AB AC A ⋅=⋅=±u u u r u u u r u u u r u u u r .10.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的体积为( ) A.86π B.43π C.43π D.323π 【答案】D11．实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，它表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p .由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为( )A ．12B ．35C ．23D ．43【答案】C【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭处取得最小值，且最小值为12z =，即112p =．区域C 的面积为1112222⨯⨯=，平面区域D 的面积为33320233d 63x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰，故2112612p ==，所以121224133p p -=-=．12. 若函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. 1(1,)1e e e -- B.1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D. 1[,1]1e e e --- 【解析】由题意可得ln ,(0,)ln x xa x x x x=-∈+∞-有3个不同解，令ln (),ln x xg x x x x=--22221ln 1ln ln (1ln )(2ln )(0,),'(),(ln )(ln )x x x x x x x g x x x x x x x ----∈+∞=-=--则当(0,)x ∈+∞时，令2ln y x x =-，则1211'2,(0,),'0,2x y x y y x x -=-=∈<当递减；当1(,),'0,2x y y ∈+∞>递增，则min 11ln1ln 20,(0,)2y x =-=+>∈+∞则当时，恒有2ln 0.'()0,x x g x ->=令得1x =或,(0,1),'()0,()x e x g x g x =∈<且时递减；(1,),'()0,()x e g x g x ∈>时递增；(,)x e ∈+∞时，'()0,()g x g x <递减，则()g x 的极小值为(1)1,()g g x =的极大值为1(),1e g e e e=--结合函数图象可得实数a 的取值范围是1(1,)1e e e--.[答案]A 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13. 若()6111ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是11-，则实数a 的值为_________. 【答案】214．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=相交的，则椭圆的离心率为_________.15.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S 且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为_________. 【解析】由题意可得：9101112128a a a a S S +++=-,由8426S S -=可得8446S S S -=+,由等比数列的性质可得：484128,,S S S S S --成等比数列,则()()2412884S S S S S -=-,综上可得：249101112128444(6)361224S a a a a S S S S S ++++=-==++≥当且仅当46S =时等号成立.综上可得,则9101112a a a a +++的最小值为24.16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6a c +=，(3cos )tan sin 2BA A -=，则ABC ∆的面积的最大值为 ．【答案】 Q (3cos )tansin 2B A A -=，∴sin (3cos )sin 1cos B A A B-=+，整理得 3sin sin sin B A C =+，则3b a c =+ 又6a c +=，∴2b =.又2222cos b a c ac B =+-，则24()22cos 362(1cos )a c ac ac B ac B =+--=-+,∴16cos 1B ac=-∴11cos 22ABC S ac B ∆===，Q 6a c +=，∴9ac ≤∴ABC S ∆=，当且仅当3a c ==时取等号.三.解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且22()(2a b c bc --=．（1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且1sin 1=A a ，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和nS ．【解析】（1）由22()(23)a b c bc --=-，2223a b c bc --=-，所以2223cos 2b c a A bc +-==6A π∴=（2）设{}n a 的公差为d ，由得21=a ，且2428a a a =，∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++．又0d ≠，∴2d =，∴2n a n =．∴14111(1)1n n a a n n n n +==-++， ∴11111111(1)()()()122334111n n S n n n n =-+-+-++-=-=+++… 18. 如图，在四棱锥S ABCD -中，SCD ∆为钝角三角形，侧面SCD 垂直于底面ABCD ，CD SD =，点M 是SA 的中点，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==. （1）求证：平面MBD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求二面角B MD C --余弦值．【解析】（1）证明：取BC 中点E ，连接DE ，设AB AD a ==，2BC a =， 依题意得，四边形ABED 为正方形，且有BE DE CE a ===，2BD CD a ==，所以222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，又平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD I 底面ABCD CD =，BD ⊂底面ABCD ， 所以BD ⊥平面SCD . 又BD ⊂平面MBD ，所以平面MBD ⊥平面SCD （2）过点S 作CD 的垂线，交CD 延长线于点H ，连接AH ，因为平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD I 底面ABCD CD =，SH CD ⊥SH ⊂平面SCD ，所以SH ⊥底面ABCD ，故DH 为斜线SD 在底面ABCD 内的射影， SDH ∠为斜线SD 与底面ABCD 所成的角，即60SDH ∠=︒由（1）得，2SD a =，所以在Rt SHD ∆中，2SD a =，22DH a =，6SH =，在ADH ∆中，45ADH ∠=︒，AD a =，22DH a =，由余弦定理得22AH a =， 所以222AH DH AD +=，从而90AHD ∠=︒，过点D 作DF SH ∥，所以DF ⊥底面ABCD ，所以,,DB DC DF 两两垂直，如图，以点D 为坐标原点，DB uuu r 为x 轴正方向，DC uuu r 为y 轴正方向，DF uuu r为z轴正方向建立空间直角坐标系，则()2,0,0Ba ，()2,0C a ，260,S ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，22,,022A a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，226,42M a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面MBD 的法向量(),,n x y z =r00n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uuu u r 得202260424x x y z =-+=⎩ 取1z =得3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，设平面MCD 的法向量(),,m x y z '''=u r00m DC m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uuu u r 得202260424y x y z ⎧'=⎪'''-+=⎪⎩，取1z '=得，()3,0,1m =-u r ， 所以17cos ,724n mn m n m⋅===⋅⋅r u rr u r r u r 故所求的二面角B MD C --的余弦值为77.19. IC 芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作IC 芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅.为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的30片单晶的晶圆中有28片达标，没有使用该工艺的20片单晶的晶圆中有12片达标．（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准有关？（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为23，每个环节出错需要修复的费用均为20元，第四环节生产正常的概率为34，此环节出错需要修复的费用为10元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：22()=,()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=+++++++ 参考数据：【解析】（1）由题意列列表为：故250(288212)257.879302040103K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯ 故有99.5%的把握认为晶圆的制作效果与使用西门子制程这一工艺技术有关（2）设i A 表示检测到第i 个环节有问题，(1,2,3,4)i =，X 表示成为一个合格的多晶圆需消耗的费用，则X 的可能取值为：0,10,20,30,40,50,60,700X =，表明四个环节均正常312342324(0)()()34108P X P A A A A ====g10X =表明第四环节有问题31234218(10)()()34108P X P A A A A ====g20X =表明前三环节有一环节有问题12312336(20)()()334108P X C ===g g 30X =表明前三环节有一环节及第四环节有问题12312112(30)()()334108P X C ===g g 40X =，表明前三环节有两环节有问题22312318(40)()()334108P X C ===g g50X =表明前三环节有两环节及第四环节有问题2231216(50)()()334108P X C ===g g60X =表明前三环节有问题31234133(60)()()34108P X P A A A A ====g70X =四环节均有问题31234111(70)()()34108P X P A A A A ====g费用X 分布列为：X 0 10 20 30 40 50 60 70 P241088108361081210818108610831081108故：108542EX ===（元）故大约需要耗费452元20. 已知抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点的距离为3，线段AB 的两端点()11,A x y ， ()22,B x y 在抛物线C 上. （1）求抛物线C 的方程；（2）在抛物线C 上存在点()33,D x y ，满足312x x x <<，若ABD ∆是以角A 为直角的等腰直角三角形，求ABD ∆面积的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）最小值为16.【解析】（1）设抛物线的方程为22x py =，抛物线的焦点为F ，则322pQF ==+，所以1p =，则抛物线C 的方程为24x y =.（2）如图所示，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233(,)4x D x ，根据抛物线关于y 轴对称，取10x ≥，记1AB k k =， 2AD k k =，则有2114x x k +=， 3124x x k +=，所以2114x k x =-， 3214x k x =-， 121k k ⋅=-， 又因为ABD ∆是以A 为顶点的等腰直角三角形，所以AB AD =，2212123111k x x k x x +-=+-，将23,x x 代入得：221112211212k k x k k x +-=+- 化简求出1x ，得： 3112114422k x k k -=+，则()2222112114411||122ABDk S AB k k k ∆⎛⎫+=⋅=⨯+⨯ ⎪+⎝⎭，可以先求AB 的最小值即可， 2211211441k AB k k k +=+⋅+，令()3222222111t t y t t t t t++=+⋅=++， 则()()()()()1322222223122112t t t t t t y t t+⋅⋅+-+++'=()()()()()()11233223222222213322111t tt t t t tt t t t tt t ++----+-+-==++()()()()122222111tt t t t +-+=+所以可以得出当1t =即11k =时， AB 最小值为42，此时10x =，即当()0,0A ， ()4,4B ， ()4,4D -时， ABD ∆为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为16.21. 已知函数2()ln ,()().2a f x x x g x x x a a R ==+-∈ （1）若直线(0)()(),x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点,且曲线()y f x = 在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；（2）设()()()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且12.0,x x λ>>已知 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.【解析】（1）依题意，函数()f x 的定义域为（0，+∞），'()ln 1,'() 1.f x x g x ax =+=+因为曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，所以'()'()(0,)f t g t =+∞在有解，即方程ln 0(0,)t at -=+∞在有解.……………………2分方程ln 0(0,)t at -=+∞在有解转化为函数ln y x y ax ==与函数的图像在(0,)+∞上有交点，如图，令过原点且与函数ln y x =的图像相切的直线的斜率为k ，只须.a k ≤令切点为000000ln 1(,ln ),'|,x x x A x x k y k x x ====则又，所以000ln 1,x x x =解得01,x e k e ==于是，所以1.a e≤………………………………………5分（2）2()()()ln (0),'()ln .2a h x f x g x x x x x a x h x x ax =-=--+>=-所以 因为12,()x x h x 为在其定义域内有两个不同的极值点，所以12,ln 0x x x ax -=是方程的两个根，即12112212ln ln ln ,ln ,.x x x ax x ax a x x -===-作差得……………………………6分因为120,0,,x x λ>>>所以112121ln ln 1e x x x x λλλλλ+<⋅⇔+<+⇔+<1212121()ax ax a x x a x x λλλλ++=+⇔>+⇔121121212212ln ln (1)()1ln x x x x x x x x x x x x λλλλ-+-+>⇔>-++⇔112122(1)(1)ln .x xx x x x λλ+->+……8分令12x t x =，则(1,)t ∈+∞，由题意知，不等式(1)(1)ln (1,)t t t t λλ+->∈+∞+在上恒成立. 令2222(1)(1)1(1)(1)()()ln ,'().()()t t t t t t t t t t t λλλϕϕλλλ+-+--=-=-=+++则 （ⅰ）若21,(1,),'()0,t t λϕ≥∈+∞>对一切所以()(1,)t ϕ+∞在上单调递增，又(1)0,ϕ=所以()0t ϕ>(1,)+∞在上恒成立，符合题意.……………………………10分（ⅱ）若221,(1,)t λλ>∈当时，2'()0;(,),t t ϕλ<∈+∞当时2'()0,()(1,)t t ϕϕλ>所以在上单调递减，在2(,)λ+∞上单调递增，又(1)0,())t ϕϕ=∞所以在(1,+上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综合（ⅰ）（ⅱ）得，若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立，只须21.0,1λλλ≤>≤又所以0<.………12分（二）选考题 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为1()2x y ααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数，直线1:0l x =，直线 2:0l x y -=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系.（1）求曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求线段AB 的长.23. 选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，且222a b +=． （1）若2214|21||1|x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； （2）证明：5511()()4a b ab++≥．【解析】（1）设,1,1|21||1|32,1,21,.2x x y x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=---=-≤<⎨⎪⎪-<⎪⎩由222a b +=，得221()12a b +=，故22222222221411414()()(14)22b a a b a b a b a b +=++=+++2222149(142)22b a a b ≥++⋅=， 所以9|21||1|2x x ≥---． 当1x ≤时，92x ≤，得912x ≤≤； 当112x ≤<时，9322x -≤，解得136x ≤，故112x ≤<； 当12x <时，92x -≤，解得92x ≥-，故9122x -≤<． 综上，9922x -≤≤． （2）55554411()()b a a b a b a b a b ++=+++5522222222()2()=4b a a b a b a b a b=+++-≥+。

2020年湖北省黄冈中学高考数学冲刺试卷（理科）（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|x2−2x−3≤0}，B={x|x−1>0}，则集合A∩B=()A. {2,3}B. {−1,1}C. {1,2，3}D. ⌀=n+i(m,n∈R)，其中i为虚数单位，则m+n=()2.己知m−2iiA. −1B. 1C. 3D. −33.已知向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=1,|2a⃗+b⃗ |=√7，且a⃗与b⃗ 的夹角为60°，则|b⃗ |=()A. 1B. 3C. √3D. √54.已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3−a5=3，则S7=()A. 42B. 21C. 7D. 35.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图(90后指1990年及以后出生，80后指1980−1989年之间出生，80前指1979年及以前出生)，则下列结论中不一定正确的是()A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C. 互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%(其中e为自然对数的底数)的图象大致为()6.函数f(x)=e x+1x3(e x−1)A. B.C. D.7.已知抛物线y2=4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|=5，则线段MN的中点到y轴的距离为()A. 3B. 32C. 5 D. 528.如图，我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠．若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为()A. 57B. 47C. 27D. 179.已知函数f(x)=2sin(2x+π6)，将f(x)的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x=π6对称，则θ的最小值为()A. π6B. π3C. π2D. π10.设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点．有下列四个命题：①在α内存在直线与直线AB异面；②在α内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与α垂直；④存在过直线AB的平面与α平行．其中，一定正确的是()A. ①②③B. ①③C. ①④D. ③④11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2=45°，则双曲线的渐近线方程为()A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±xD. y=±2x12.已知球O是正四面体A−BCD的外接球，BC=2，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是()A. 89π B. 11π18C. 512π D. 4π9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1.如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n的值为6，则输出i的值为______．14.已知cos(2α+π6)=−25，则sin(2α−π3)=______．15.若(3+ax)(1+x)4展开式中x的系数为13，则展开式中各项系数和为______(用数字作答)．16.已知函数f(x)={e x−1−e1−x,x≤1|x−2|−1,x>1(其中e为自然对数的底数)，则不等式f(x)+ f(x−1)<0的解集为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}中，a1=1且2a n+1=6a n+2n−1(n∈N∗).(1)求证：数列{a n+n2}为等比数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n．18.如图，在四棱锥S−ABCD中，已知四边形ABCD是边长为√2的正方形，点S在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心点O，点P在棱SD上，且△SAC的面积为1．(1)若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC；(2)在棱SD上是否存在一点P使得二面角P−AC−D的余弦值为√5？若存在，求出5点P的位置；若不存在，说明理由．19.已知椭圆的一个顶点A(0,−1)，焦点在x轴上，离心率为√3．2(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．20.东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内(含4小时)每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内(含24小时)收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间(假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次)，得到下面的频数分布表：以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．(1)现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的2×2列联表：完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？(2)(i)X表示某辆车一天之内(含一天)在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望E(X)；(ii)现随机抽取该停车场内停放的3辆车，ξ表示3辆车中停车费用大于E(X)的车辆数，求P(ξ≥2)的概率．参考公式：k2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.已知函数f(x)=e2x+mx，x∈(0,+∞)(其中e为自然对数的底数)．(1)求f(x)的单调性；(2)若m=−2，g(x)=a2x2e x，对于任意a∈(0,1)，是否存在与a有关的正常数x0，使得f(x02)−1>g(x0)成立？如果存在，求出一个符合条件x0；否则说明理由．22.在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为x2+y2−4x−6y+5=0.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=−3√22．(1)写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点P在C上，点Q在l上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．23.已知函数f(x)=|x+1|−|x−2|．(1)解不等式f(x)≤1；(2)记函数f(x)的最大值为s，若√a+√b+√c=s(a,b，c>0)，证明：√a b√c≥3．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A={x∈Z|−1≤x≤3}={−1,0，1，2，3}，B={x|x>1}，∴A∩B={2,3}．故选：A．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D=n+i，得m−2i=i(n+i)=−1+ni，【解析】解：由m−2ii∴m=−1，n=−2．则m+n=−3．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得m，n的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=1,|2a⃗+b⃗ |=√7，∴4a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=7．又a⃗与b⃗ 的夹角为60°，∴4+4⋅1⋅|b⃗ |⋅cos60°+|b⃗ |2=7，则|b⃗ |=1，或|b⃗ |=−3(舍去)，故选：A．由题意利用两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：∵数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3−a5=3，∴a1+5d+a1+2d−a1−4d=a1+3d=3，∴S7=7(a1+a7)=7(a1+3d)=21．2故选：B．利用等差数列通项公式求出a1+3d=3，再由S7=72(a1+a7)=7(a1+3d)，能求出结果．本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图，知：在A中，互联网行业从业人员中90后占56%，故A正确；在B中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故B错误；在C中，互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多，故C正确；在D中，互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%，故D正确．故选：B．利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图直接求解．本题考查例题真假的判断，考查整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】D【解析】解：f(−x)=e −x+1(−x)3(e−x−1)=−1+e xx3(1−e x)=e x+1x3(e x−1)=f(x)，故函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当x→+∞时，x3(e x−1)>>e x+1，f(x)→0，故排除B．故选：D．由函数为偶函数，排除AC；由x→+∞时，f(x)→0，排除B，由此得到答案．本题考查函数图象的确定，考查读图识图能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】【分析】考查抛物线的定义的应用，属于基础题．抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可．【解答】解：由抛物线方程得，准线方程为：x=−1，设M(x,y)，N(x′,y′)，由抛物线的定义得，MF+NF=x+x′+p=x+x′+2=5，线段MN的中点的横坐标为x+x′2=32，线段MN的中点到y轴的距离为：32．故选：B．8.【答案】A【解析】解：我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠．从某一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n=C73=35，至少含有一颗上珠包含的基本事件个数m=C22C51+C21C52=25，∴至少含有一颗上珠的概率为P=mn =2535=57．故选：A．从某一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n=C73=35，至少含有一颗上珠包含的基本事件个数m=C22C51+C21C52=25，由此能求出至少含有一颗上珠的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】C【解析】解：函数f(x)=2sin(2x+π6)，将f(x)的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得y=f(x−θ)=2sin[2(x−θ)+π6]=2sin(2x−2θ+π6)；又函数y的图象关于直线x=π6对称，即2×π6−2θ+π6=kπ+π2，k∈Z；解得θ=−12kπ，k∈Z；又θ>0，所以θ的最小值为π．2故选：C．根据三角函数图象平移法则写出平移后的函数解析式，再根据函数图象关于直线x=π6对称求出θ的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了图象平移问题，是基础题．10.【答案】B【解析】解：对于①，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都在α内存在直线与直线AB异面，所以①正确；对于②，当直线AB与α平行时，平面α内不存在直线与直线AB相交，所以②错误；对于③，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都存在过直线AB的平面与α垂直，所以③正确；对于④，若直线AB与α相交，则不存在过直线AB的平面与α平行，所以④错误；综上知，正确的命题序号是①③．故选：B．根据空间中的直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断题目中的命题真假性即可．本题考查了空间中的直线与平面以及平面与平面的位置关系应用问题，是基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，进而得到所求渐近线方程．【解答】解：设切点为N ，连接ON ，作F 2作F 2A ⊥MN ，垂足为A ， 由|ON|=a ，且ON 为△F 1F 2A 的中位线，可得 |F 2A|=2a ，|F 1N|=√c 2−a 2=b ， 即有|F 1A|=2b ， 因为∠F 1MF 2=45°，所以在等腰直角三角形MF 2A 中，可得|MF 2|=2√2a ， 即有|MF 1|=2b +2a ，由双曲线的定义可得|MF 1|−|MF 2|=2b +2a −2√2a =2a ， 可得b =√2a ，则双曲线的渐近线方程为y =±√2x. 故选A ．12.【答案】A【解析】解：作AO′⊥面BCD ，垂足为O′连接BO′并延长交CD 于F ，由题意得F 时CD 的中点，且O′为三角形BCD 的外接圆的圆心，设三角形BCD 的外接圆半径为r ，则r =BO′=23BF =23⋅√32BC =√33⋅2=2√33，高ℎ=AO′=√AB 2−BO′2=(2√33)=2√63，设外接球的球心为O ，设外接球的半径为R ，则由题意知O 在AO′上，连接OB ，R =OB ，在三角形BOO′中：R 2=r 2+(ℎ−R)2，所以2Rℎ=r 2+ℎ2，将r ，h 值代入可得：R =√62，所以OO′=AO′−R =2√63−√62=√66， 因为点E 在线段BD 上，且BD =3BE ，BD =2，所以BE =23，在三角形BEO′中，由余弦定理：O′E =√BO′2+BE 2−2⋅BO′⋅BE ⋅cos30°=√(2√33)2+(23)2−2⋅2√33⋅23⋅√32=23，正三角形OEO′中，OE 2=O′E 2+OO′2=(23)2+(√66)2=1118当过E 的截面与OE 垂直时，截面的面积最小，设截面的半径为r′则r′2=R 2−OE 2=(√62)2−1118=1618=89，所以截面的面积S =πr′2=89π，故选：A．由正四面体的棱长求出底面外接圆的半径即棱锥的高，再由外接球的半径与高和底面外接圆的半径之间的关系求出外接球的半径，在△BEO′，由余弦定理求出EO′的值，当过E的截面与OE垂直时，截面的面积最小，求出OE，再求求出截面的半径，进而求出截面的面积．考查正四面体的外接球的半径与棱长的关系，及截面面积最小时的情况．属于中档题．13.【答案】8【解析】解：i=0，n=6；n为偶数，n=3，i=1；n为奇数，n=10，i=2；n为偶数，n=5，i=3；n为奇数，n=16，i=4；n为偶数，n=8，i=5；n为偶数，n=4，i=6；n为偶数，n=2，i=7；n为偶数，n=1，i=8；跳出循环，输出结果8，故答案为：8．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出相应变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．14.【答案】25【解析】解：因为sin(2α−π3)=cos[π2−(2α−π3)]=cos(5π6−2α)=cos[π−(2α+5π6)]=−cos(2α+π6)=25．故答案为：25．直接根据诱导公式把所求问题转化为sin(2α−π3)=cos[π2−(2α−π3)]=cos(5π6−2α)=cos[π−(2α+5π6)]=−cos(2α+π6)即可求解．本题主要考查诱导公式在解题中的应用，属于基础题目．15.【答案】64【解析】解：∵(3+ax)(1+x)4展开式中x 的系数为：3C 41+aC 44=12+a =13，∴a =1， 令x =1，得：(3+x)(1+x)4展开式中各项系数和为：(3+1×1)(1+1)4=64， 故答案为：64．依题意，可得3C 41+aC 44=12+a =13，求得a =1，再赋值x =1，即可求得展开式中各项系数和．本题考查二项式定理，依题意，求得a =1是关键，考查赋值法的灵活应用，属于中档题．16.【答案】(−∞,72)【解析】解：因为f(x)={e x−1−e 1−x ,x ≤1|x −2|−1,x >1，∴当x ≤1时，x −1≤0，∴由f(x)+f(x −1)<0，得e x−1−e 1−x +e x−2−e 2−x <0，∴x ≤32，又x ≤1，∴x ≤32； 当1<x ≤2时，0<x −1≤1，∴由f(x)+f(x −1)<0， 得|x −2|−1+e x−2−e 2−x <0，∴|x −2|<1−e x−2+e 2−x ， ∵当1<x ≤2时，|x −2|∈[0,1)，1−e x−2+e 2−x ∈[1,1+e +1e )， ∴当1<x ≤2时，f(x)+f(x −1)<0成立，∴1<x ≤2， 当x >2时，由f(x)+f(x −1)<0，得|x −2|−1+|x −3|−1<0，∴|x −2|+|x −3|<2， ∴32<x <72，又x >2，∴2<x <72， 综上，不等式的解集为(−∞,72)． 故答案为：(−∞,72)．根据f(x)+f(x −1)<0，分x ≤1，1<x ≤2和x >2三种情况解不等式即可． 本题考查了指数不等式和绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和计算能力，属中档题．17.【答案】(1)证明：∵2a n+1=6a n +2n −1(n ∈N ∗)∴a n+1=3a n+n−12；∴a n+1+n+1 2a n+n2=3a n+n−12+n+12a n+n2=3a n+32na n+n2=3；∴{a n+n2}为等比数列，首项为32，公比为3．(2)解：由(1)得：a n+n2=(a1+12)×3n−1=32×3n−1=12×3n；∴a n=12×3n−n2；S n=a1+a2+a3+⋯…+a n=12(31+32+33+⋯…+3n)−12(1+2+3+⋯…+n) =123(1−3n)1−3−12n(n+1)2=3(3n−1)4−n2+n4=3n+1−n2−n−34．【解析】(1)把已知的递推关系式整理即可证明结论；(2)先利用(1)的结论求出通项公式，再直接利用分组求和即可求解．本题主要考查由数列的递推关系式求数列的通项以及分组求和的应用，是对数列知识的综合考查，属于中档题目．18.【答案】解：(1)∵点S在底面ABCD上的射影为点O，∴SO⊥平面ABCD，∵四边形ABCD是边长为√2的正方形，∴AC=2；∵三角形SAC的面积为1，∴12×2×SO=1，即SO=1，∴SC=√2，∵CD=√2，点P是SD的中点，∴CP⊥SD，同理可得AP⊥SD；又因为AP∩CP=P，AP，CP⊂平面PAC；∴SD⊥平面PAC，∵SD⊂平面SCD，∴平面SCD⊥平面PAC．(2)如图，连接OB，易得OB，OC，OS两两互相垂直，分别以OB，OC，OS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O−xyz，则A(0,−1,0)，C(0,1，0)，S(0,0，1)，D(−1,0，0)；假设存在点P 使得二面角P −AC −D 的余弦值为√55，不妨设SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λSD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又点P 在棱SD 上，∴0≤λ≤1， 又SD⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，−1)， ∴SP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,0，−λ)，∴P(−λ,0，1−λ)， 设平面PAC 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,1，1−λ)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， ∴{−λx +y +(1−λ)z =02y =0， 令z =λ，可得x =1−λ，∴平面PAC 的一个法向量为n⃗ =(1−λ,0，λ)， 又平面ACD 的一个法向量为OS⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)，二面角P −AC −D 的余弦值为√55； ∴|cos <OS ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|OS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||OS ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=√(1−λ)2+λ2=√55， 即3λ2+2λ−1=0，解得λ=13或λ=−1(不合题意，舍去)；所以存在点P 符合题意，点P 为棱SD 靠近端点S 的三等分点．【解析】(1)根据题意证明CP ⊥SD ，AP ⊥SD ，得出SD ⊥平面PAC ，即可证明平面SCD ⊥平面PAC ；(2)连接OB ，易知OB ，OC ，OS 两两互相垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，设存在点P 使得二面角P −AC −D 的余弦值为√55，SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λSD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则0≤λ≤1； 利用法向量表示二面角的余弦值，求出λ的值，从而求出点P 的位置．本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了利用空间向量求出二面角余弦的计算问题，是中档题．19.【答案】解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a +y2b =1(a >b >0)， 则{b =1ca =√32,a 2=b 2+c 2,解之得：a =2,b =1,c =√3．故椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设P(x 0,y 0)弦MN 的中点，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 由{y =kx +m,x 24+y 2=1,得(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 因为直线与椭圆相交，所以x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4(m 2−1)4k 2+1，△=(8km)2−16(4k 2+1)(m 2−1)>0⇒m 2<1+4k 2，① ∴x 0=x 1+x 22=−4km4k 2+1，所以y 0=kx 0+m =m4k +1． ∴k AP =y 0+1x 0=−m+1+4k 24km，又|AM|=|AN|，∴AP ⊥MN ，则−m+1+4k 24km=−1k，即3m =4k 2+1，②把②代入①得m 2<3m ，解得0<m <3， 由②得k 2=3m−14>0，解得m >13．综上可知m 的取值范围为(13,3)．【解析】(1)根据顶点、离心率建立方程求出椭圆的标准方程；(2)先由直线与椭圆方程联立方程组，由判别式得出不等关系，根与系数关系，再将条件|AM|=|AN|转化为A 在线段MN 的垂直平分线上，建立等量关系，最后将它们相结合进行求解．本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的综合问题，有一定难度，属于中档题目．20.【答案】解：(1)2×2列联表如下：根据上表数据代入公式可得K 2=100×(20×30−10×40)230×70×60×40=5063≈0.794<2.706，所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关． (2)(i)由题意知：X 的可取值为5，8，11，15，19，30， P(X =5)=110，P(X =8)=110，P(X =11)=15， P(X =15)=15，P(X =19)=720，P(X =30)=120．所以X 的分布列为：∴E(X)=5×110+8×110+11×15+15×15+19×720+30×120=14.65． (ii)由题意得P(X >14.65)=15+720+120=35， ∴ξ～B(3,35)，∴P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=C 32(35)2(25)+(35)3=3×925×25+27125=81125．【解析】(1)作出2×2列联表，求出K 2=100×(20×30−10×40)230×70×60×40=5063≈0.794<2.706，从而没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关．(2)(i)由题意知：X 的可取值为5，8，11，15，19，30，分别求出相应的概率，由此有求出X 的分布列和数学期望．(ii)由题意得P(X >14.65)=15+720+120=35，从而ξ～B(3,35)，由此能求出P(ξ≥2)的概率．本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=2e 2x +m ，①当m ≥0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上的单调递增；②当−2≤m <0时，x ∈(0,+∞)，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上的单调递增； ③当m <−2时，由f′(x)=0得x =12ln(−m2)>0，x ∈(0,12ln(−m2))时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x ∈(12ln(−m 2),+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 综上所述：当m ≥−2时，f(x)在(0,+∞)上的单调递增；当m <−2时，f(x)在(0,12ln(−m2))上单调递减，f(x)在(12ln(−m2),+∞)上单调递增；(2)f(x02)−1>g(x 0)⇒e x 0−x 0−1>a2x 02e x 0⇒1−x 0+1e x 0>a2x 02⇒a2x 02+x 0+1e x 0−1<0(∗)，需求一个x 0，使(∗)成立，只要求出t(x)=a2x 2+x+1e x−1的最小值，满足t(x)min <0，∵t′(x)=x(a −1e x )∴t(x)在(0,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增， ∴t(x)min =t(−lna)=a2ln 2a +a(−lna +1)−1，只需证明a2ln 2a +a(−lna +1)−1<0在a ∈(0,1)内成立即可，令φ(a)=a 2ln 2a +a(−lna +1)−1⇒φ′(a)=12ln 2a >0， ∴φ(a)在a ∈(0,1)单调递增，∴φ(a)<φ(1)=12ln 21+1×(−ln1+1)−1=0，所以t(x)min <0，故存在与a 有关的正常数x 0=−lna(0<a <1)使(∗)成立．【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可判断， (2)需求一个x 0，满足结论成立，只要求出t(x)=a2x 2+x+1e x−1的最小值，满足t(x)min <0，结合函数的性质及导数即可证明．本题考查了导数的综合应用，考查了一定的推理与运算的能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)圆C 的方程可化为(x −2)2+(y −3)2=8，圆心为C(2,3)，半径为2√2，∴圆C 的参数方程为{x =2+2√2cosαy =3+2√2sinα(α为参数)直线l 的极坐标方程可化为ρsinθ+ρcosθ=−3， ∵{ρcosθ=x ρsinθ=y， ∴直线l 的直角坐标方程为x +y +3=0． (2)：曲线C 是以C(2,3)为圆心，半径为2√2的圆， 圆心C(2,3)到直线l ：x +y +3=0的距离d =22=4√2，所以|PQ|min =4√2−2√2=2√2，此时直线PQ 经过圆心C(2,3)，且与直线l ：x +y +3=0垂直，k PQ ⋅k l =−1， 所以k PQ =1，PQ 所在直线方程为y −3=x −2，即y =x +1． 联立直线和圆的方程{y =x +1x 2+y 2−4x −6y +5=0，解得{x =0y =1或 {x =4y =5当|PQ|取得最小值时，点P 的坐标为(0,1) 所以|PQ|min =2√2，此时点P 的坐标为(0,1)．【解析】(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和方程组的解法的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，方程组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)f(x)={−3,x ≤−12x −1,−1<x <23,x ≥2，①当x ≤−1时，−3≤1恒成立，所以x ≤−1；②当−1<x <2时，2x −1≤1，即x ≤1，所以−1<x ≤1； ③当x ≥2时，3≤1显然不成立，所以不合题意； 综上，不等式的解集为(−∞,1]． (2)证明：由(1)知f(x)max =3=s ， 于是√a +√b +√c =3， 所以√a√a √b√b +√c+√c≥2√b +2√c +2√a =6，当且仅当a =b =c =1时取等号， 所以√a √b √c ≥3．【解析】(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤1分别解不等式即可； (2)先由(1)得到f(x)的最大值s ，然后利用基本不等式即可证明√a √b √c ≥3成立．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

湖北省黄冈中学2020年高考适应性考试模拟卷（二）数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+在复平面内对应的点在第 象限 A.一 B.二 C.三 D.四2．已知集合{}1,0,1,2M =-，{}2,N x x a a M ==∈，则集合M N =I ( )A.{}0B. {}0,2-C. {}2,0,2-D. {}0,23．若()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( )A ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),3-∞D ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,5，解关于x 的不等式20cx bx a ++>”，给出如下一种解法：由20ax bx c ++>的解集为()2,5，得2110a b c x x ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为11,52⎛⎫ ⎪⎝⎭，即关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集为11,52⎛⎫⎪⎝⎭.类比上述解法，若关于x 的不等式0x a x b +<+的解集为()1,3，则关于x 的不等式1log 301log 3x x a b +<+的解集为（ ）A ．()3,27B ．()3,9C ．()1,27D ．()1,95．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（ ） A ．获得A 等级的人数减少了 B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍 C ．获得D 等级的人数减少了一半 D ．获得E 等级的人数相同6．函数()()2244log xxf x x-=-的图象大致为A ．B ．C ．D ．7．G 是ABC △的重心，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若aGA bGB +=0u u u r u u u r u u ur，则角A =A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°8．执行如图所示的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =A ．2B ．3C ．4D ．59．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个“九儿问甲歌”问题：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则3456719a a a a a a a ++++--=（ ） A ．46B ．69C ．92D ．13810．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += )222S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒11．己知点(1,0)A -，(1,0)B 分别为双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右顶点，点M 在双曲线C 上，若ABM V 是顶角为120︒的等腰三角形，则双曲线C 的方程为A ．2214y x -= B ．2213y x -= C ．2212y x -=D ．221x y -=12．已知正六棱锥 P ABCDEF -的所有顶点都在一个半径为1的球面上，则该正六棱锥体积的最大值为（ ）A BC D 第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年湖北省武汉市黄冈中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=xcosx + sinx 的图象大致为（A）（B）(C) (D)参考答案：D函数y=xcosx + sinx为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B，C.当时，,排除A,选D.2. 已知各项均为正数的等差数列{a n}的公差为2，等比数列{b n}的公比为-2，则（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】由已知求得等比数列{b n}的通项公式，作比即可得到．【详解】∵等差数列{a n}的公差为2，数列{b n}是公比为﹣2的等比数列，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础题．3. 设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最小值为A 6B 7C 8D 23参考答案：B解析：由已知，先作出线性规划区域为一个三角形区域，得到三个交点（2，1）（1，2）（4，5），那么作一系列平行于直线的平行直线，当过其中点（2，1）时，目标函数最小。

4. 已知集合，，则A. B. C. D.参考答案：D略5. 已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|log x4=2}，则A∪B=（）A．{﹣2，1，2} B．{1，2} C．{﹣2，2} D．{2}参考答案：B【考点】并集及其运算．【分析】先将A，B化简，再计算并集，得出正确选项．【解答】解：∵A={x|x2﹣3x+2=0}={x|（x﹣1）（x﹣2）=0}={1，2}B={x|log x4=2}={2}∴A∪B={1，2}故选B．6. 庆“元旦”的文艺晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须安排往前两位，节目乙不能安排在第一位，节目丙必须安排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有A．36种； B．42种； C．48种； D．54种参考答案：B7. 下列说法错误的是( )A．命题“若，则”的否命题是：“若，则”B．如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题.C．若命题：，则；D．“”是“”的充分不必要条件；参考答案：D8. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( )（A）．y=cos2x，x R （B）．y=log2|x|，x R且x≠0（C）．y=，x R （D）．，x R参考答案：B9. 设集合，，则等于（）A． B． C． D．参考答案：D略10. 如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，，，…，为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，参考答案：B试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故，．【思路点睛】本题主要考查识图的能力，通过对程序框图的识图，根据所给循环结构中的判断框计算输出结果，属于基础知识的考查．由程序运行过程看，两个判断框执行的判断为求50个成绩中成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的个数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有12个，成绩不小于60且小于80的有26个．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （不等式选做题）若不等式对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范圉是．参考答案：12. 给出下列结论：①函数在区间上有且只有一个零点；②已知l是直线，是两个不同的平面.若；③已知表示两条不同直线，表示平面.若；④在中，已知，在求边c 的长时有两解.其中所有正确结论的序号是：参考答案：【知识点】命题的真假判断与应用．A2①④解析：①由，得，当x∈时f′（x）＞0，∴f（x）在上为单调增函数，又，∴函数在区间上有且只有一个零点，①正确；②由，可得l?β或l∥β或l与β相交，②错误；③m⊥α，m⊥n，可得n∥α或n?α，③错误；④在△ABC中，已知a=20，b=28，A=40°，则由正弦定理得：，即，则B有一个锐角和一个钝角，对应的边c的长有两解，命题④正确．∴正确的命题是①④．故答案为：①④．【思路点拨】利用导数判断函数f（x）=lnx﹣的单调性，结合函数零点存在性定理判断①；由空间中的点、线、面的位置关系判断②；利用正弦定理结合已知分析角B的可能情况，从而得到边c的解得情况判断④．13. 已知全集U=R，集合，则集合=________参考答案：14. 下列四种说法①命题“＞0”的否定是“”；②“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；③“若＜，则＜”的逆命题为真；④若A∪B＝A，C∩D＝C，则A B，C D．正确的命题有__________________.（填序号）参考答案：1,215. 在△中，已知，，且的面积为，则边长为．参考答案：7略16. 已知曲线y=ax2在x=1处切线的斜率是﹣4，则实数a的值为．参考答案：-2略17. 若等差数列{a n}的前5项和=25，且，则 .参考答案：7三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年湖北省黄冈中学高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log2x＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣∞，2）D．（﹣1，1）2．（5分）设z＝，是z的共轭复数，则z＝（）A．﹣1B．i C．1D．43．（5分）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值4．（5分）将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．y＝cos x D．y＝sin4x5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是（）A．（30，42）B．（30，42]C．（42，56]D．（42，56）6．（5分）已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π+48，则r＝（）A．2B．4C．1D．37．（5分）已知抛物线C：，定点A（0，2），B（0，﹣2），点P是抛物线C上不同于顶点的动点，则∠PBA的取值范围为（）A．B．C．D．8．（5分）如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）设{a n}（n∈N*）是各项为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列结论错误的是（）A．0＜q＜1B．a7＝1C．K9＞K5D．K6与K7均为K n的最大值10．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，且g（x）＝f（x﹣1），则f（2 017）+f（2 019）的值为（）A．﹣1B．1C．0D．无法计算11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在对角线A1D上取点M，在CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，则线段MN长的最小值为（）A．B．1C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝alnx﹣x+2（a为大于1的整数），若y＝f（x）与y＝f（f （x））的值域相同，则a的最小值是（）（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094）A．5B．6C．7D．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最小值为．14．（5分）现将6张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．15．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线右支于点M，若，则双曲线的离心率为．16．（5分）已知，是两个非零向量，且，，则的最大值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，点D为边BC的中点，△ABC的面积为．（Ⅰ）求sin∠BAD•sin∠BDA的值；（Ⅱ）若BD＝2AB，，求b．18．（12分）设矩形ABCD中，AD＝4，，点F、E分别是BC、CD的中点，如图1．现沿AE将△AED折起，使点D至点M的位置，且ME⊥MF，如图2．（Ⅰ）证明：AF⊥平面MEF；（Ⅱ）求二面角M﹣AE﹣F的余弦值．19．（12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，A为相圆C上一点，AF1与y轴交于B，|AB|＝|F2B|，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线y＝k（x﹣2）（k≠0）交椭圆于P、Q两点若PQ的中点为N，O为原点，直线ON交直线x＝3于点M ．求的最大值．20．（12分）10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W型号，T型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表手机店A B C D E6613811W型号手机销量1291364T型号手机销量（Ⅰ）若在10月1日当天，从A，B这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X表示其中W型号手机销量超过T型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）经测算，W型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部）满足关系η＝3ξ+4．若表中W 型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的W型号手机销售成本的方差S2的值．（用m表示，结论不要求证明）21．（12分）已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣lnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）比较与的大小（n∈N+且n＞2），并证明你的结论．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ+4，直线l1的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝3．（Ⅰ）写出曲线C和直线l1的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l2过点P（﹣1，0）与曲线C交于不同两点A，B，AB的中点为M，l1与l2的交点为N，求|PM|•|PN|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax﹣2|．（1）当a＝4时，求不等式f（x）+|4x+2|≥8的解集；（2）若x∈[2，4]时，不等式f（x）+|x﹣3|≤x+3成立，求a的取值范围．2020年湖北省黄冈中学高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log2x＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣∞，2）D．（﹣1，1）【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|log2x＜0}＝{x|0＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}＝（01，2）．故选：A．2．（5分）设z＝，是z的共轭复数，则z＝（）A．﹣1B．i C．1D．4【解答】解：∵z＝＝，∴z＝|z|2＝1．故选：C．3．（5分）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值【解答】解：在A中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A 错误；在B中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，没有减弱，故B错误；在C中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差大于11月份的方差，故C错误；在D中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，故D正确．故选：D．4．（5分）将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．y＝cos x D．y＝sin4x【解答】解：函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到：y＝sin[2（x+）+]＝sin（2x+）＝cos（2x+），再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为y＝cos（x+）．故选：A．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是（）A．（30，42）B．（30，42]C．（42，56]D．（42，56）【解答】解：∵该程序的功能是计算2+4+6+…值，由循环变量的初值为1，步长为1，第1次循环：S＝0+2＝2 k＝1+1＝2第2次循环：S＝2+4＝6 k＝2+1＝3第3次循环：S＝6+6＝12 k＝3+1＝4第4次循环：S＝12+8＝20 k＝4+1＝5第5次循环：S＝20+10＝30 k＝5+1＝6第6次循环：S＝30+12＝42 k＝6+1＝7由题意，退出循环．此时S＝42，不满足条件，跳出循环，输出k＝7，则判断框内m的取值范围是m∈（30，42]．故选：B．6．（5分）已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π+48，则r＝（）A．2B．4C．1D．3【解答】解：由题意，直观图为圆锥与三棱锥的组合体，该几何体的体积为×π×9r2×4r+×3r×3r×4r＝24π+48，∴r＝2．故选：A．7．（5分）已知抛物线C：，定点A（0，2），B（0，﹣2），点P是抛物线C上不同于顶点的动点，则∠PBA的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知抛物线的图形如图：当PB与抛物线相切时，∠PBA最大，设直线PB的方程为y＝kx﹣2，联立可得：x2﹣8kx+16＝0，令△＝64k2﹣64＝0，解得k＝±1．此时，∠PBA＝，所以∠PBA的取值范围为：．故选：A．8．（5分）如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设大圆的半径为2，则S大圆＝4π，又S阴＝8×（）＝2π﹣4，所以在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是＝＝，故选：D．9．（5分）设{a n}（n∈N*）是各项为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列结论错误的是（）A．0＜q＜1B．a7＝1C．K9＞K5D．K6与K7均为K n的最大值【解答】解：∵{a n}是各项为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n项的积，由K6＝K7可得a7＝1，故B正确；由K5＜K6可得a6＞1，∴q＝∈（0，1），故A正确；由{a n}是各项为正数的等比数列且q∈（0，1）可得数列单调递减，∴K9＜K5，故C错误；结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确．故选：C．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，且g（x）＝f（x﹣1），则f（2 017）+f（2 019）的值为（）A．﹣1B．1C．0D．无法计算【解答】解：∵f（﹣x﹣1）＝g（﹣x）＝﹣g（x）＝﹣f（x﹣1），又f（x）为偶函数，∴f（x+1）＝f[﹣（x+1）]＝f（﹣x﹣1），于是f（x+1）＝﹣f（x﹣1），∴f（x+1）+f（x﹣1）＝0．∴f（2017）+f（2020）＝f（2018﹣1）+f（2018+1）＝0，故选：C．11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在对角线A1D上取点M，在CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，则线段MN长的最小值为（）A．B．1C．D．【解答】解：作MM1⊥AD于点M1，作NN1⊥CD于点N1，∵线段MN平行于对角面ACC1A1，∴M1N1∥AC．设DM1＝DN1＝x，则MM1＝x，NN1＝1﹣x，在直角梯形MNN1M1，，∴当时，MN的最小值为．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝alnx﹣x+2（a为大于1的整数），若y＝f（x）与y＝f（f （x））的值域相同，则a的最小值是（）（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094）A．5B．6C．7D．8【解答】解：函数f（x）＝alnx﹣x+2（a为大于1的整数），那么f′（x）＝﹣1＝，令f′（x）＝0，可得x＝a，当x∈（0，a），f′（x）＞0，当x∈（a，+∞），f′（x）＜0，∴f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（a）＝alna﹣a+2．即f（x）的值域为（﹣∞，alna﹣a+2）．∴f[f（x）]的值域为（﹣∞，alna﹣a+2），∴alna﹣a+2≥a，∴alna﹣2a+2≥0，设g（a）＝alna﹣2a+2，∴g′（a）＝lna﹣1，当1＜a＜e时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，当a＞e时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，∵g（2）＝2ln2﹣4+2＝2（ln2﹣1）＜0，g（3）＝3ln3﹣4≈3×0.6931﹣4＜0 g（5）＝5ln5﹣8＝5×1.6094﹣8＞0∴a的最小值为5，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最小值为8．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图形知，当目标函数z＝2x+3y过点A时，z取得最小值；由，求得A（1，2）；∴z＝2x+3y的最小值是2×1+3×2＝8．故答案为：8．14．（5分）现将6张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有240种不同的分法（用数字作答）．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、将电影票分成5组，其中1组是2张连在一起，有5种分组方法，②、将连在一起的2张票分给甲乙，考虑其顺序有A22＝2种情况，③、将剩余的4张票全排列，分给其他四人，有A44＝24种分法，则共有5×2×24＝240种不同分法，故答案为：24015．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线右支于点M，若，则双曲线的离心率为．【解答】解：如图：|MF1|﹣|MF2|＝2a，设|MF2|＝t，则|MF1|＝2a+t，∵sin∠MF1F2＝＝，在△MF1F2中，由正弦定理得＝，即＝，∴t＝2a，∴|MF2|＝2，|MF1|＝（2+2）a，由余弦定理得4c2＝8a2+（12+8）a2﹣2××）a×4c2＝12a2，∴c2＝3a2，∴e＝．故答案为：．16．（5分）已知，是两个非零向量，且，，则的最大值为．【解答】解：因为，所以2+4+42＝16，又||＝2，所以+2＝3，令||＝t，t＞0则＝＝+t≤2＝2，当且仅当即t＝时取等号，故答案为：2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，点D为边BC的中点，△ABC的面积为．（Ⅰ）求sin∠BAD•sin∠BDA的值；（Ⅱ）若BD＝2AB，，求b．【解答】解：（Ⅰ）由△ABC的面积为且D为BC的中点，可知：△ABD的面积为，由三角形的面积公式可知，由正弦定理可得：2sin∠BAD•sin∠BDA＝1，所以．（Ⅱ）由于BD＝2AB，所以在△ABD中，由正弦定理可得，所以sin∠BAD＝2sin∠BDA，由（1）可知，所以sin∠BAD＝1，，∵∠BAD∈（0，π），∴，在直角△ABD中，，，所以BD＝2，AB＝1．∵BC＝2BD，BC＝4，在△ABC中用余弦定理，可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝，解得：．18．（12分）设矩形ABCD中，AD＝4，，点F、E分别是BC、CD的中点，如图1．现沿AE将△AED折起，使点D至点M的位置，且ME⊥MF，如图2．（Ⅰ）证明：AF⊥平面MEF；（Ⅱ）求二面角M﹣AE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）由题设知：AM⊥ME，又ME⊥MF，AM∩MF＝M，AM、MF⊂面AMF，∴ME⊥面AMFAF⊂面AMF，∴AF⊥ME，在矩形ABCD中，AD＝4，，E、F为中点，∴AE2＝42+2＝18，EF2＝22+2＝6，AF2＝8+22＝12，∴AE2＝EF2+AF2，∴AF⊥EF，又∵ME，EF⊂面MEF，∴AF⊥面MEF．解：（2）AF⊂面ABCE，由（1）知面MFE⊥面AFE，且∠AFE＝90°∴以F为原点，FE为x轴，FA为y轴，建立如图的空间直角坐标系，在Rt△MFE中，过M作MN⊥EF于N，，，MF＝2，∴．FN＝MF cos∠MFE＝，∴、、F（0，0，0）、，面AFE的一个法向量为设面AME的一个法向量为，、，则，令x＝1，则，，∴，∴，∴二面角M﹣AE﹣F的余弦值为．19．（12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，A为相圆C上一点，AF1与y轴交于B，|AB|＝|F2B|，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线y＝k（x﹣2）（k≠0）交椭圆于P、Q两点若PQ的中点为N，O为原点，直线ON交直线x＝3于点M．求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）连接AF2，由题意得|AB|＝|F2B|＝|F1B|，则BO为△F1AF2的中位线，∵BO⊥F1F2，∴AF2⊥F1F2，且，又，a2＝b2+c2，得a2＝6，b2＝2，故所求椭圆方程为；（Ⅱ）联立，可得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则，，∴，∴PQ的中点N坐标为，．因此直线ON的方程为，从而点M为，则，设，令u＝3k2+1，则＝＝，因此当u＝4，即k＝±1时l有最大值为3，即取得最大值．20．（12分）10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W型号，T型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表手机店A B C D E6613811W型号手机销量1291364T型号手机销量（Ⅰ）若在10月1日当天，从A，B这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X表示其中W型号手机销量超过T型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）经测算，W型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部）满足关系η＝3ξ+4．若表中W 型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的W型号手机销售成本的方差S2的值．（用m表示，结论不要求证明）【解答】解：（I）设事件M1为从A店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W型号手机，设事件M2为从A店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W型号手机，则事件M1，M2相互独立，且P（M1）＝＝，P（M2）＝＝，∴抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率为P ＝++＝．（II）由表格可知W型号手机销售量超过T型号手机的店有2个，故X的肯取值有0，1，2．且P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝．∴X的分布列为：X012P数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．（III）∵D（ξ）＝s02＝m，η＝3ξ+4，∴S2＝D（η）＝9D（ξ）＝9m．21．（12分）已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣lnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）比较与的大小（n∈N+且n＞2），并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）可化f（x）＝，当0＜x＜a时，，从而f（x）在（0，a）上总是递减的，当x≥a时，，此时要考虑a与1的大小．若a≥1，则f'（x）≥0，故f（x）在[a，+∞）上递增，若0＜a＜1，则当a≤x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0，故f（x）在[a，1）上递减，在（1，+∞）上递增，而f（x）在x＝a处连续，所以当a≥1时，f（x）在（0，a）上递减，在[a，+∞）上递增；当0＜a＜1时，f（x）在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当a＝1，x＞1时，x﹣1﹣lnx＞0，即lnx＞1﹣x，所以．所以，＝，，＝，＝，＝．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ+4，直线l1的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝3．（Ⅰ）写出曲线C和直线l1的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l2过点P（﹣1，0）与曲线C交于不同两点A，B，AB的中点为M，l1与l2的交点为N，求|PM|•|PN|．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ+4的直角坐标方程为：x2+y2＝2x﹣4y+4，即（x﹣1）2+（y+2）2＝9，l1：ρ（cosθ﹣sinθ）＝3的直角坐标方程为：x﹣y﹣3＝0；（Ⅱ）直线l2的参数方程（t为参数），将其代入曲线C的普通方程并整理得t2﹣4（cosα﹣sinα）t﹣1＝0，设A，B两点的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝4（cosα﹣sinα）．∵M为AB的中点，故点M的参数为，设N点的参数为t3，把代入x﹣y﹣3＝0，整理得．∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax﹣2|．（1）当a＝4时，求不等式f（x）+|4x+2|≥8的解集；（2）若x∈[2，4]时，不等式f（x）+|x﹣3|≤x+3成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝4时，原不等式即|4x﹣2|+|4x+2|≥8，即|2x﹣1|+|2x+1|≥4，当x时，原不等式等价于（2x﹣1）+（2x+1）≥4，解得x≥1，当﹣＜x＜时，原不等式等价于（1﹣2x）+（2x+1）≥4，不等式无解；当x≤﹣时，原不等式等价于（1﹣2x）﹣（2x+1）≥4，解得x≤﹣1．综上，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）（2）由f（x）+|x﹣3|≤x+3得|ax﹣2|+|x﹣3|≤x+3（*），当x∈[2，3]时，（*）等价于|ax﹣2|+3﹣x≤x+3，即|ax﹣2|≤2x，即|a﹣|≤2，所以﹣2+≤a≤2+，因为≤，所以2+的最小值为，﹣2+最大值为﹣1．所以﹣1≤a≤，当x∈（3，4]时，原不等式等价于|ax﹣2|+（x﹣3）≤x+3，所以|ax﹣2|≤6，所以﹣6≤ax﹣2≤6，即﹣4≤ax≤8．所以﹣≤a≤，因为≤，所以的最小值为2，﹣的最大值为﹣1，所以﹣1≤a≤2，综上，a的取值范围是[﹣1，2]．。