2020最新高考数学冲刺预测试卷含答案

2020届高三数学高考押题试卷数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1.已知集合{13,}A x x x Z =≤≤∈，B={2，m ，4}，若A ∩B={2,3}，则实数m= .2.若复数2(1a a +∈+iiR )的实部与虚部互为相反数，则a 的值等于 . 3.两根相距6m 的木杆上系一根水平绳子，并在绳子上随机挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m 的概率为 .4．为了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中若干株树木的底部周长(单位：cm)，其数据绘制的频率分布直方图如图，则估计该片经济林中底部周长在[98，104)中的树木所占比例为 .5. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 .6. 已知数列是}{n a 等比数列，若456,1,a a a +成等差数列，且71a =，则10a = .则获利最大值为 百万元.(cm) 第4题图FEGHDCBAS 4S 2S 3S 113题图8.在△ABC 中，已知BC ＝4，AC ＝3，且cos(A －B)=1718，则cosC ＝ . 9.设向量a ，b 满足2a b +=，6a b -=，则a 与b 夹角的最大值为 . 10.若函数(0)y ax a =>的最小值为4，则a 的值为_______．11. 底面半径为2cm 的圆柱形容器里放有四个半径为1cm 的实心铁球，使得四个球两两相切，其中底层两球与容器底面也相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3.12. 已知点12,F F 分别为双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，点P 为该双曲线左支上的任意一点．若221PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的取值范围是 .13.如图，线段EF 和GH 把矩形ABCD 分割成四个小矩形，记四个小矩形的面积分别为(=1,2,3,4)i S i .已知AB=1，11S ≥，21S ≥，31S ≥，42S ≥，则BC 的最小值是 .14.若方程log x a a x =(1)a >有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 . 二、解答题: 本大题共6小题， 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．， 解答时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． 15．设(,1)a x =，(2,1)b =-，(,1)c x m m =--（,x m ∈∈R R ）． （1）若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围； （2）解关于x 的不等式a c a c +<-．16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点． （1）求证：1BD 面EAC ；（2）求四面体1EACB 的体积．17．如图，开发商欲对边长为1km 的正方形ABCD 地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF （点E F 、分别在BC CD 、上），根据规划要求ECF ∆的周长为2km ． （1）试求EAF ∠的大小；（2）欲使EAF ∆的面积最小，试确定点E F 、的位置．18．如图，线段AB 两端点分别在x 轴，y 轴上滑动，且AB a b =+（a b >）．M 为线1D A1B D E1A 1CB C FE DCB A段AB 上一点，且MB a =，MA b =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）已知圆O ：221x y +=，设P 为轨迹C 上任一点，若存在以点P 为顶点，与圆O 外切且内接于轨迹C 的平行四边形，求证：22111a+=．19．已知数列{}n a 的各项均为整数，其前6项依次构成等比数列，且从第5项起依次构成等差数列．（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且44a =，81a =-．①求满足0n S <的n 的最小值；②是否存在正整数m ，使得221m m m m a a a a ++⋅+-=成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．（2）设数列{}n a 的前6项均为正整数，公比为q ，且(1,2)q ∈，求6a 的最小值．20．已知函数2)(x x ae e x f -+=，2)(xx e e x g --=，(,)x a ∈∈R R .⑴当1=a 时，试用)(),(),(),(y g x g y f x f 表示)(y x f +；⑵研究函数)(x f y =的图象发现：取不同的a 值，)(x f y =的图象既可以是中心对称图形，也可以是轴对称图形（对称轴为垂直于x 轴的一条直线），试求其对称中心的坐标和对称轴方程；⑶设函数)(x h 的定义域为R ，若对于任意的实数y x ,，函数)(x h 满足)()()()()()(x yh y xh xy f x yf y xf xy h ++=++，且1)()(≤-x f x h ．证明：)()(x f x h =数学附加题部分（考试时间30分钟，试卷满分40分） 21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四个小题中只能选做2个小题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图，1O 和2O 外切于点P ，延长1PO 交1O 于点A ，延长2PO 交2O 于点D ，若AC 与2O 相切于点C ，且交1O 于点B. （1）PC 平分BPD ∠；（2）2PC PB PD =⋅.B ．选修4-2:矩阵与变换已知矩阵2113A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦将直线:10l x y +-=变换成直线l '. （1）求直线l '的方程；（2）判断矩阵A 是否可逆？若可逆，求出矩阵A 的逆矩阵1A -；若不可逆，请说明理由．C ．选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点P 为圆22sin 70ρρθ+-=上任一点.求点P 到直线cos sin 70ρθρθ+-=的距离的最小值与最大值.D ．选修4-5：不等式选讲设2()13f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()2(1)f x f a a -<+．22. 必做题（1）用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？（2）用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．.①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；②记花圃中红色鲜花区域的块数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望()E ξ．23．必做题已知抛物线x y =2的焦点为F ，点),(00y x M （与原点不重合）在抛物线上． （1）作一条斜率为021y -的直线交抛物线于H G ,两点，连接MH MG ,分别交x 轴于B A ,两点，（直线MH MG ,与x 轴不垂直），求证MB MA =；（2）设D C ,为抛物线上两点，过D C ,作抛物线的两条切线相交于点P ，（D C ,与M 不重合，与M 的连线也不垂直于x 轴），求证:PFC PFD ∠=∠．命题人员：鲍立华 王正军 陆明明图一图二数学试题参考答案 一、填空题1．3 2．0 3． 4． 75% 5．11 6．18 7．14．75 8．169．120 10．1 11．83π+12．(1,3] 13．3+．11e a e << 二、解答题15．（1）由题知：210a b x ⋅=-<，解得12x <；又当2x =-时，a 与b 的夹角为π， 所以当a 与b 的夹角为钝角时， x 的取值范围为1(,2)(2,)2-∞-⋃-．…………………6分（2）由a c a c +<-知，0a c ⋅<，即(1)[(1)]0x x m ---<；……………………8分 当2m <时，解集为{11}x m x -<<；………………………………10分 当2m =时，解集为空集；………………………………12分当2m >时，解集为{11}x x m <<-．………………………………14分 16．（1）连接BD 交AC 于O 点，连接OE ． 由题知，O 为BD 中点．∴在1BDD 中，OE 为中位线，∴OE ∥1BD ………………………………4分 又OE ⊆面EAC ，1BD ⊄面EAC∴1BD ∥面EAC ．………………………………6分 （2）连接1OB ．∵O 为AC 中点，EA=EC ，11B A B C = ∴EO AC ⊥，1B O AC ⊥∴1B OE ∠为二面角1E AC B --的平面角由正方体的棱长为2，得EO =1OB 13EB = ∴22211EO OB EB +=，即12B OE π∠=∴EO ⊥面1AB C ，即EO 为四面体1E AB C -的高………………………………12分∴1113E AB C AB C V EO S -=⋅11232=⨯=………………………………14分17．解：（1）设,BAE DAF αβ∠=∠=，,(01,01)CE x CF y x y ==<≤<≤， 则tan 1,tan 1x y αβ=-=-，由已知得：2x y +=，即2()2x y xy +-=…………………………………4分tan tan 112()2()tan()11tan tan 1(1)(1)[22()]x y x y x y x y x y xy x y x y αβαβαβ+-+--+-++=====----+-++-+0,24ππαβαβ<+<∴+=，即.4EAF π∠=…………………………8分（2）由（1）知，1111sin 244cos cos 4cos cos AEF S AE AF EAF AE AF αβαβ∆=⋅∠=⋅=⋅==2111142cos (sin cos )sin 22cos sin 2cos 21cos cos()4πααααααααα⋅===++++-=1)14πα++．…………………………………………………12分04πα<<，242ππα∴+=，即8πα=时AEF ∆1．22tan8tan,tan 1481tan 8ππππ=∴=-，故此时1BE DF ==所以，当1BE DF ==时，AEF ∆的面积最小．………………………………14分 18．（1）点M 的轨迹C 的方程为22221x y a b+=………………………………6分（2）显然圆O 外切的平行四边形为菱形，连接PO 并延长交椭圆C 于点Q ，过O 作PQ 垂线交椭圆于C ，D ，连接PC 与圆O 切于点H.当PO 斜率不存在时，可得22111a b+=………………………………8分 当PO 斜率存在时设为k ，PO 方程y kx =与22221x y a b +=联立解得222222a b x b a k =+，2222222a b k y b a k =+………………………………10分所以2222222222211b a k OP x y a b a b k +==++同理可求得2222222221a b k OC a b a b k+=+ 所以22221111OP OC a b +=+………………………………14分 又Rt POC ∆的斜边与圆O 切于点H ，故222111OP OC OH+= 所以22111a b +=………………………………16分 19.（1）①设数列{}n a 的前6项等比数列的公比为q ，从第5项起等差数列的公差为d ．由544a a q q ==，22644a a q q ==，则244d q q =-； 又285343(44)1a a d q q q =+=+-=-，解得12q =或16q =（舍，因为n a 为整数）， 所以12q =，1d =-．故61()(6,*)27(7,*)n n n n N a n n n N -⎧≤∈⎪=⎨⎪-≥∈⎩．……2分所以164[1()](6,*)2(7)(6)63(7,*)2n n n n N S n n n n N ⎧-≤∈⎪⎪=⎨--⎪-≥∈⎪⎩…………4分∵0n S < ∴7n ≥ 由(7)(6)6302n n ---<得17n >所以，满足0n S >的n 的最小值为18．……………………………6分②假设存在正整数m ，使得221m m m m a a a a ++⋅+-=成立， 即2(1)(1)0m m a a +-+= 由1m a =或21m a +=-得6m =所以，存在正整数6m =，使得221m m m m a a a a ++⋅+-=成立．…………………10分 （Ⅱ）设11n n a a q -=，由1a ，…，6a 都是正整数，则q 必为有理数．设sq r =，其中s ，r 都是正整数，且(,)1s r =，22r s r ≤<<，则5615s a a r =．由(,)1s r =，得55(,)1s r =，所以1a 是5r 的整数倍．因此，5556153243s a a s r=≥≥=．……………14分 当2r =，3s =时，即32q =，512a =时，6a 取到最小值243．……16分 20．⑴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--2)(2)(x x xx ee x g e e xf 得⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-)()()()(xg x f e x g x f e x x )()()()(2)(y g x g y f x f e e e e y x f yx y x +=+=+--……………………………4分 （2）设)(x f 关于点),(n m 对称，则n x m f x f 2)2()(=-+n ae e ae e m x x m x x 422=+++---0)(4)(22222=++-+m m x m m x e a e e ne a e e 对R x ∈恒成立⎪⎩⎪⎨⎧==+04022m m ne a e 故当0<a 时存在对称点（)0),ln(21(a - …………………………7分 同理当0>a 时存在对称轴a x ln 21=……………………………9分 当0=a 时函数不存在对称点或对称轴 ……………………………10分 （3）设)()()(x f x h x G -=,假设存在实数a 使得0)(≠a G因为)()()()()()(x yh y xh xy f x yf y xf xy h ++=++所以)()()(x yG y xG xy G +=)()()(x aG a xG xa G += ……………………………12分 )()()(x aG a xG xa G +=)()(x aG a xG -≥ 1a a G x -≥)()(1a G ax +≤ ……………………………14分即只有当)(1a G ax +≤时，)()()(x aG a xG xa G +=)()(x aG a xG -≥不等式才能恒成立与R x ∈矛盾所以不存在实数a 使得G （a ）0≠,故)()(x f x h = ……………………………16分附加题部分21．A ．选修4-1：几何证明选讲（1）连结2O C ，AC 切2O 于点C ，2AC OC ∴⊥，又AP 是1O 的直径，90ABP AB PB ∴∠=∴⊥，2//PB O C ∴， (2)分2BPC O PC ∴∠=∠，又22O P O C =，22O PC O CP ∴∠=∠， (4)分PC∴平分BPD ∠.………………………………………………………………………5分（2）连结CD ，可得BCP D ∠=∠，…………………………………………………6分又BPC CPD ∠=∠，BPC CPD ∴∆∆，………………………………………………………………… 8分PB PC PC PD∴=， 2PC PB PD ∴=⋅. ……………………………………………………………… 10分B ．选修4-2:矩阵与变换（1）在直线l 上任取一点00(,)P x y ，设它在矩阵2113A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下变为(,)Q x y ．∵002113x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，………………………………………………………………2分∴000023x x y y x y =+⎧⎨=-+⎩，即003727x y x x y y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，……………………………………………………4分又∵点00(,)P x y 在直线:10l x y +-=， ∴321077x y x y -++-=， 即直线l '的方程为470x y +-=.…………………………………………………………5分（2）21013≠-，∴矩阵A 可逆． ………………………………………………7分设1a b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ……………………………………………8分∴21203031a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解之得37171727a b c d ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩，∴131771277A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. ……………………10分 C ．选修4-4:坐标系与参数方程圆22sin 70ρρθ+-=的普通方程为22270x y y ++-=，……………… 2分直线cos sin 70ρθρθ+-=的普通方程为70x y +-=， (4)分设点,1)P αα-，则点到直线70x y +-=的距离d == (8)分∴min d ==max d ==……………………………………10分 D ．选修4-5：不等式选讲2()13f x x x =-+， 22()()-=--+f x f a x x a a ……………………………………………………2分 1=-⋅+-x a x a ……………………………………………………………………4分 1<+-x a ，………………………………………………………………………… 5分 又1()21+-=-+-x a x a a …………………………………………………… 7分 21≤-+-x a a ………………………………………………………………………9分 1212(1)<++=+a a ．………………………………………………………………10分22. （1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：432248⨯⨯⨯=种．…………2分（2）① 设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图二，当区域A 、D 同色时，共有54313180⨯⨯⨯⨯=种；当区域A 、D 不同色时，共有54322240⨯⨯⨯⨯=种；因此，所有基本事件总数为：180+240=420种.……………4分它们是等可能的。

2020年全国高考数学临考押题试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，则|z|＝（）A2 B C D12已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A{0，1，2，3} B{1，2，3} C{﹣1，0，1} D{﹣1，0}32020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据报表中2015年至2019年三次产业增加值占国内生产总值比重等高图，判断下列说法不正确的是（）A2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重比较稳定B2015年至2019年每年第一产业产值持续下降C第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加D第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数4在等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，则a10＝（）A10 B11 C12 D135已知sin2（）＝，则sin（）＝（）A B﹣C D﹣6若a＝5，b＝0.70.2，c＝0.30.5，则（）A a＞b＞cB c＞b＞aC b＞a＞cD b＞c＞a7“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8过圆O；x2﹣2x+y2﹣15＝0内一点M（﹣1，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为（）A16 B17 C18 D199将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的周期为π，且函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，则函数y＝f（x）的单调递增区间为（）A，k∈Z B，k∈ZC，k∈Z D，k∈Z10已知P是椭圆＝1上第一象限内一点，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，且满足＝0，若点P到直线y+m＝0的距离小于，则m的取值范围是（）A（﹣∞，7）∪（5，+∞）B（7，5）C（﹣10，0）D（﹣10，5）11在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA ＝PD＝3，AD＝2，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为（）A B C D12已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣有两个极值点，且x1＜x2，则下列选项错误的是（）A x1+lnx2＞0B x1+x2＝1C x2D m二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知定义在R上的函数y＝f（x）+3是奇函数，且满足f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝14已知非零向量，满足（+）⊥（﹣），且＝，则向量与的夹角为15已知双曲线（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线右支于A，B两点，若|OA|＝，|BF1|＝5a，则双曲线的离心率为16已知数列{a n}满足（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），且a1＝，S n 为数列{a n}的前n项和，若S n＞，则正整数n的最小值为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c （1）求角B（2）若b＝3，求△ABC面积的最大值18（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝5AB＝5，AD＝2（1）求证：BC⊥平面BDD1（2）若二面角A﹣BC﹣D1的平面角的正切值为，求四棱锥D1﹣ABCD的体积19（12分）区块链是分布式数据存储、点对点传输、共识机制、加密算法等计算机技术的新型应用模式某校为了了解学生对区块链的了解程度，对高三600名文科生进行了区块链相关知识的测试（百分制），如表是该600名文科生测试成绩在各分数段上的人数分数[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数25 125 150 175 75 50 （1）根据表判断某文科生72分的成绩是否达到该校高三年级文科生的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）为了让学生重视区块链知识，该校高三年级也组织了800名理科学生进行测试，若学生取得80分及以上的成绩会被认为“对区块链知识有较好掌握”，且理科生中有75人取得了80分及以上的成绩，试完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”（3）用分层抽样的方式在“对区块链知识有较好掌握”的学生中抽取8人，再在8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人学理科的概率文科理科总计较好掌握非较好掌握总计参考公式：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.82820（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上任意一点，F为抛物线C的焦点，|PF|的最小值为1（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，求证：为定值21（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）证明：当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）直线l的参数方程为（t为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程，并求曲线C上的点到原点的最大距离（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，O为坐标原点，求直线l的普通方程[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|（1）当a＝3时，求f（x）≥6的解集（2）若f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知z＝a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，则|z|＝（）A2 B C D1【分析】利用复数的运算法则、复数相等可得a，b，再利用模的计算公式即可得出【解答】解：（1+ai）（2﹣i）＝3+bi，化为：2+a+（2a﹣1）i＝3+bi，∴2+a＝3，2a﹣1＝b，解得a＝1，b＝1∴z＝1+i，则|z|＝＝，故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A{0，1，2，3} B{1，2，3} C{﹣1，0，1} D{﹣1，0}【分析】求出集合A，B，再由交集的定义求出A∩B【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x∈Z|﹣1≤x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|y＝}＝{x|x≤0}，∴A∩B＝{﹣1，0}故选：D【点评】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算能力，是基础题32020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据报表中2015年至2019年三次产业增加值占国内生产总值比重等高图，判断下列说法不正确的是（）A2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重比较稳定B2015年至2019年每年第一产业产值持续下降C第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加D第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数【分析】根据题中给出的图形中的数据，对四个选项逐一分析判断即可【解答】解：由题意，2015年至2019年这五年内每年第二产业增加值占国内生产总值比重都在39%～40.8%，故选项A正确；2015年至2019年每年第一产业增加值占国内生产总值比重先下降后上升，但无法据此判断第一产业产值是否在下降，故选项B错误；第三产业增加值占国内生产总值比重从2015年至2019年连续五年增加，第三产业增加值占国内生产总值比重在2015年至2019年这五年每年所占比例均超过半数，故选项C，D正确故选：B【点评】本题考查了条形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题4在等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，则a10＝（）A10 B11 C12 D13【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求出首项a1和公差d，即可求出a10的值【解答】解：等差数列{a n}中，a3＝5，S3＝12，所以，解得a1＝3，d＝1，所以a n＝3+（n﹣1）×1＝n+2，a10＝10+2＝12故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式应用问题，是基础题5已知sin2（）＝，则sin（）＝（）A B﹣C D﹣【分析】利用二倍角公式化简已知等式可得cos（2α﹣）＝，进而根据诱导公式即可化简求解【解答】解：因为sin2（）＝＝，可得cos（2α﹣）＝，所以sin（）＝sin[+（2α﹣）]＝cos（2α﹣）＝故选：A【点评】本题主要考查了二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题6若a＝5，b＝0.70.2，c＝0.30.5，则（）A a＞b＞cB c＞b＞aC b＞a＞cD b＞c＞a【分析】判断a＜0，由幂函数y＝x0.2的单调性得出0.70.2＞0.30.2，由指数函数y＝0.3x 的单调性得出0.30.2＞0.30.5，判断b＞c＞0，即可得出结论【解答】解：因为a＝5＝﹣log35＜0，由幂函数y＝x0.2在（0，+∞）上是单调增函数，且0.7＞0.3，所以0.70.2＞0.30.2，又指数函数y＝0.3x是定义域R上的单调减函数，且0.2＜0.5，所以0.30.2＞0.30.5，所以0.70.2＞0.30.5＞0，即b＞c＞0所以b＞c＞a故选：D【点评】本题考查了根据函数的单调性判断函数值大小的应用问题，是基础题7“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】x2﹣mx+4＞0对于∀x∈[3，+∞）恒成立，可得m＜x+，求出x+的最小值，可得m的取值范围，再根据充要条件的定义即可判断【解答】解：∵x∈[3，+∞），由x2﹣mx+4＞0x＞0，得m＜x+，∵当x∈[3，+∞）时，x+≥，当x＝3时，取得最小值∴m＜，∵{m|m＜4}⫋{m|m}∴“m＜4”是“∀x∈[3，+∞），x2﹣mx+4＞0恒成立”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式恒成立问题和充要条件的判断，属于基础题8过圆O；x2﹣2x+y2﹣15＝0内一点M（﹣1，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB＝CD，则四边形ACBD的面积为（）A16 B17 C18 D19【分析】根据题意画出相应的图形，连接OM，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，利用垂径定理得到E、F分别为AB、CD的中点，由AB＝CD得到弦心距OE＝OF，可得出四边形EMFO 为正方形，由M与O的坐标，利用两点间的距离公式求出OM的长，即为正方形的对角线长，求出正方形的边长OE，由圆的方程找出半径r，得OA的长，在直角三角形AOE中，由OA与OE的长，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AB与CD的长，再利用对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，即可求出四边形ACBD的面积【解答】解：由x2﹣2x+y2﹣15＝0，得（x﹣1）2+y2＝16，则圆心坐标为O（1，0），根据题意画出相应的图形，连接OM，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，∴E为AB的中点，F为CD的中点，又AB⊥CD，AB＝CD，∴四边形EMFO为正方形，又M（﹣1，3），∴|OM|＝，∴|OE|＝×＝，又|OA|＝4，∴根据勾股定理得：|AE|＝，∴|AB|＝|CD|＝2|AE|＝，则S四边形ACBD＝|AB|•|CD|＝19故选：D【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质，两点间的距离公式，以及对角线互相垂直的四边形面积求法，当直线与圆相交时，常常由垂径定理根据垂直得中点，然后由弦心距，弦长的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题，是中档题9将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，函数y＝g（x）的周期为π，且函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，则函数y＝f（x）的单调递增区间为（）A，k∈Z B，k∈ZC，k∈Z D，k∈Z【分析】首先利用关系式的平移变换和伸缩变换的应用，求出函数的关系式，进一步利用正弦函数的性质的应用求出结果【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（ωx+ω+φ）的图象，因为函数y＝g（x）的周期为π＝，可得ω＝2，所以g（x）＝sin（2x++φ），因为函数y＝g（x）图象的一条对称轴为直线x＝，且g（x）是由f（x）的图像向左平移个单位长度得到，所以f（x）的一条对称轴为x＝+＝，所以2×+φ＝kπ+，k∈Z，解得φ＝kπ﹣，k∈Z，因为|φ|＜，可得φ＝，可得f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，函数y＝f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题10已知P是椭圆＝1上第一象限内一点，F1，F2分别是该椭圆的左、右焦点，且满足＝0，若点P到直线y+m＝0的距离小于，则m的取值范围是（）A（﹣∞，7）∪（5，+∞）B（7，5）C（﹣10，0）D（﹣10，5）【分析】设出点P的坐标，根据椭圆方程求出左右焦点的坐标，然后利用点P在椭圆上以及点P满足的向量关系联立求出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立不等关系，进而可以求解【解答】解：设点P的坐标为（x0，y0），则x0＞0，y0＞0，由椭圆的方程可得：a2＝30，b2＝5，则c＝，所以F1（﹣5，0），F2（5，0），则＝（﹣5﹣x0，﹣y0）•（5﹣x0，﹣y0）＝x…①又…②，联立①②解得：x（负值舍去），所以点P的坐标为（2，1），则点P到直线AB的距离为d＝＝，解得﹣10，即实数m的取值范围为（﹣10，0），故选：C【点评】本题考查了椭圆的性质以及向量的坐标运算性质，考查了学生的运算能力，属于中档题11在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA ＝PD＝3，AD＝2，则三棱锥P﹣AOD的外接球的体积为（）A B C D【分析】取AD中点M，连接PM，ON，MN，求解三角形证明OM＝MA＝MD＝MP，说明三棱锥P﹣AOD的外接球的球心O，在PM上，求出外接球的半径，然后求解外接球的体积【解答】解：如图，取AD中点M，连接PM，∵平面PAD⊥底面ABCD，菱形ABCD的两条对角线交于点O，又PA＝PD＝3，AD＝2，所以M为底面△AOD的外心，PM⊥平面AOD，所以三棱锥P﹣AOD的外接球的球心在PM上，球心为O，设球的半径为R，PM＝＝2，所以R2＝（2R）2+12，解得R＝，∴PD⊥AD，PD⊥ON，三棱锥P﹣AOD的外接球的体积：＝故选：D【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣有两个极值点，且x1＜x2，则下列选项错误的是（）A x1+lnx2＞0B x1+x2＝1C x2D m【分析】利用极值点的定义，结合题意得到方程f'（x）＝0有两个正解，从而求解得出正确结论【解答】解：∵函数的定义域为：x∈（0，+∞），∴函数有两个极值点，即得f'（x）＝0有两个正解，∵f'（x）＝∴方程x2﹣x﹣m＝0有两个正解x1，x2，故有x1+x2＝1，即得B正确；根据题意，可得△＝1+4m＞0⇒m＞，且有x1•x2＝﹣m＞0⇒m＜0所以可得＜m＜0，故D正确；又因为根据二次函数的性质可知，函数y＝x2﹣x﹣m的对称轴为x＝，由上可得0＜x1＜，＜x2＜1，故C正确；∴﹣ln2＜lnx2＜0，∴x1+lnx2∈（﹣ln2，），故A错误故选：A【点评】本题考查函数极值点的定义，以及函数零点与方程的根的关系属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知定义在R上的函数y＝f（x）+3是奇函数，且满足f（1）＝﹣2，则f（﹣1）＝﹣4【分析】根据y＝f（x）+3是R上的奇函数，并且f（1）＝﹣2即可得出f（﹣1）+3＝﹣（﹣2+3），然后解出f（﹣1）即可【解答】解：∵y＝f（x）+3是R上的奇函数，且f（1）＝﹣2，∴f（﹣1）+3＝﹣[f（1）+3]，即f（﹣1）+3＝﹣（﹣2+3），解得f（﹣1）＝﹣4 故答案为：﹣4【点评】本题考查了奇函数的定义，考查了计算能力，属于基础题14已知非零向量，满足（+）⊥（﹣），且＝，则向量与的夹角为【分析】根据条件可得出，进而可求出的值，从而可得出与的夹角【解答】解：∵，∴，∴，且，∴，且，∴故答案为：【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题15已知双曲线（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线l交双曲线右支于A，B两点，若|OA|＝，|BF1|＝5a，则双曲线的离心率为【分析】由|OA|＝c，得到AF1⊥AB，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，可得a，c的关系，进而得到离心率【解答】解：设双曲线的半焦距为c，由|OA|＝＝c＝|OF1|+|OF2|，可得AF1⊥AB，由|BF1|＝5a，可得|BF2|＝5a﹣2a＝3a，设|AF1|＝m，可得|AF2|＝m+2a，|AB|＝m+3a，由直角三角形ABF1，可得（m+3a）2+（m+2a）2＝（5a）2，化为m2+5ma﹣6a2＝0，解得m＝a，则|AF1|＝3a，|AF2|＝a，所以（3a）2+a2＝（2c）2，即为c＝a，则离心率e＝＝故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义和性质，以及勾股定理法运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题16已知数列{a n}满足（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），且a1＝，S n 为数列{a n}的前n项和，若S n＞，则正整数n的最小值为1010【分析】根据已知关系式推出，然后利用累乘法求出a n，再利用裂项相消法求出S n，进而可以求解【解答】解：由已知（a n﹣a n﹣l）•2n2+（5a n﹣1﹣a n）•n﹣a n﹣3a n﹣1＝0（n≥2），则（2n2﹣n﹣1）a，即（2n+1）（n﹣1）a n＝（2n﹣3）（n﹣1）a n﹣1，所以，则a×＝＝，则S＝，因为S，则，解得n，所以n的最小值为1010，故答案为：1010【点评】本题考查了数列的递推式的应用，涉及到利用累乘法求解数列的通项公式以及裂项相消求和的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C+c （1）求角B（2）若b＝3，求△ABC面积的最大值【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos B，进而可求B；（2）由余弦定理可求bc的范围，然后结合三角形的面积公式可求【解答】解：（1）因为a＝b cos C+c，所以sin A＝sin B cos C+sin C＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B，即sin C＝sin C cos B，因为sin C＞0，所以cos B＝，由B∈（0，π）得B＝；（2）由余弦定理得b2＝9＝a2+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号，故ac≤9，△ABC面积S＝＝故面积的最大值【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了三角形的面积公式的应用，属于中档题18（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝5AB＝5，AD＝2（1）求证：BC⊥平面BDD1（2）若二面角A﹣BC﹣D1的平面角的正切值为，求四棱锥D1﹣ABCD的体积【分析】（1）由已知可得D1D⊥平面ABCD，则D1D⊥BC，再证明BC⊥BD，由直线与平面垂直的判定可得BC⊥平面BDD1；（2）由（1）可知，∠D1BD为二面角A﹣BC﹣D1的平面角，求得DD1＝5，再由棱锥体积公式求四棱锥D1﹣ABCD的体积【解答】（1）证明：已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，则D1D⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴D1D⊥BC，在直角梯形ABCD中，过B作BE⊥CD，则BE＝AD＝2，CE＝DC﹣DE＝DC﹣AB＝4，∴BC＝，BD2＝AD2+AB2＝5，∴BC2+BD2＝CD2，即BC⊥BD，∵BD∩DD1＝D，∴BC⊥平面BDD1；（2）解：由（1）可知，∠D1BD为二面角A﹣BC﹣D1的平面角，且tan∠D1BD＝，则DD1＝5∴四棱锥D1﹣ABCD的体积V＝【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题19（12分）区块链是分布式数据存储、点对点传输、共识机制、加密算法等计算机技术的新型应用模式某校为了了解学生对区块链的了解程度，对高三600名文科生进行了区块链相关知识的测试（百分制），如表是该600名文科生测试成绩在各分数段上的人数分数[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）人数25 125 150 175 75 50 （1）根据表判断某文科生72分的成绩是否达到该校高三年级文科生的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）为了让学生重视区块链知识，该校高三年级也组织了800名理科学生进行测试，若学生取得80分及以上的成绩会被认为“对区块链知识有较好掌握”，且理科生中有75人取得了80分及以上的成绩，试完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”（3）用分层抽样的方式在“对区块链知识有较好掌握”的学生中抽取8人，再在8人中随机抽取2人，求2人中至少有1人学理科的概率文科理科总计较好掌握非较好掌握总计参考公式：，其中n＝a+b+c+dP（K2≥k0）0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828【分析】（1）求出平均值，由72与平均值比较大小得结论；（2）由题意填写2×2列联表，再求出K2的观测值k，与临界值表比较得结论；（3）利用分层抽样求出8人中文理科所占人数，再由古典概型概率计算公式求解【解答】解：（1）由表可得高三600名文科生的成绩的平均值为：＝70，∴某文科生72分的成绩达到该校高三年级文科生的平均水平；（2）2×2列联表：文科理科总计较好掌握125 75 200非较好掌握475 725 1200 总计600 800 1400 K2的观测值k＝≈36.762＞10.828，故有99.9%的把握认为“对区块链知识有较好掌握与学生分科情况有关”；（3）由分层抽样方法从200名学生中抽取8名，文科所占人数为人，则理科有3人在8人中随机抽取2人，2人中至少有1人学理科的概率为P＝＝【点评】本题考查频率分布表，考查独立性检验，训练了古典概型概率的求法，是中档题20（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），P为C上任意一点，F为抛物线C的焦点，|PF|的最小值为1（1）求抛物线C的方程（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，求证：为定值【分析】（1）由抛物线的定义和范围，可得|PF|的最小值为，可得所求抛物线的方程；（2）设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及中点坐标公式和两直线垂直的条件，求得|DF|，即可得到定值【解答】解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，设P（x0，y0），x0≥0，可得x0+的最小值为＝1，即p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；（2）证明：设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以AB的中点坐标为（1+2m2，2m），AB的垂直平分线方程为y﹣2m＝﹣m（x﹣1﹣2m2），令y＝0，解得x＝2+2m2，即D（3+2m2，0），|DF|＝2（1+m2），又|AB|＝x1+x2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，则为定值【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题21（12分）已知函数f（x）＝x﹣sin x（1）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）证明：当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3【分析】（1）f′（x）＝1﹣cos x，可得f′（π），又f（π）＝π，利用点斜式即可得出曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程（2）令g（x）＝f（x）﹣x3＝x﹣sin x﹣x3，x∈（0，π），g（0）＝0多次利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣cos x，f′（π）＝1﹣cosπ＝2，又f（π）＝π﹣sinπ＝π，∴曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣π＝2（x﹣π），即y＝2x ﹣π（2）证明：令g（x）＝f（x）﹣x3＝x﹣sin x﹣x3，x∈（0，π），g（0）＝0 g′（x）＝1﹣cos x﹣x2＝h（x），h（0）＝0，x∈（0，π），h′（x）＝sin x﹣x＝u（x），u（0）＝0，x∈（0，π），u′（x）＝cos x﹣1＜0，x∈（0，π），∴u（x）在x∈（0，π）上单调递减，∴h′（x）＝u（x）＜u（0）＝0，∴h（x）在x∈（0，π）上单调递减，∴g′（x）＝h（x）＜h（0）＝0，∴函数g（x）在x∈（0，π）单调递减，∴g（x）＜g（0）＝0∴x﹣sin x﹣x3＜0，即当x∈（0，π）时，6f（x）＜x3【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题选考题:共10分,请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）直线l的参数方程为（t为参数）（1）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系求曲线C的极坐标方程，并求曲线C上的点到原点的最大距离（2）已知直线l与曲线C交于A，B两点，若|OA|+|OB|＝2，O为坐标原点，求直线l的普通方程【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，再利用三角函数的关系式的变换和三角函数的性质的应用求出结果（2）利用直线与圆的位置关系和一元二次方程根和系数关系式的应用求出直线的方程【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝4，根据，转换为极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ﹣3＝设曲线上的点的坐标为P（2cosθ，1+2sinθ），原点的坐标为O（0，0），所以，当（k∈Z）时，|PO|max＝3（2）直线l的参数方程为（t为参数），转换为极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），由于直线与圆相交，故，整理得ρ2﹣2ρsinα﹣3＝0，所以ρA+ρB＝2sinα，ρAρB＝﹣3，故|OA|+|OB|＝＝，整理得sinα＝0，所以直线与x轴平行，故直线的方程为y＝0【点评】本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|（1）当a＝3时，求f（x）≥6的解集（2）若f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）把a＝3代入函数解析式，然后根据f（x）≥6，利用零点分段法解不等式即可；（2）根据绝对值不等式性质可得f（x）≥|a+2|，把不等式f（x）≥2a，对任意x∈R 恒成立转化为|a+2|≥2a恒成立，然后求出a的取值范围【解答】解：（1）把a＝3代入f（x）＝|x+2|+|x﹣a|，可得f（x）＝|x+2|+|x﹣3|＝，当x≤﹣2时，f（x）≥6等价于﹣2x+1≥6，解得x≤，则x≤﹣，当﹣2＜x＜3时，f（x）≥6等价于5≥6，此式不成立，当x≥3时，f（x）≥6等价于2x﹣1≥6，解得x，则x综上，不等式f（x）≥6的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）（2）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣a|＝|x+2|+|a﹣x|≥|x+2+a﹣x|＝|a+2|，∴不等式f（x）≥2a，对任意x∈R恒成立转化为|a+2|≥2a恒成立，若2a＜0，即a＜0，则不等式|a+2|≥2a成立，若2a≥0，即a≥0，则a2+4a+4≥4a2，即3a2﹣4a﹣4≤0，解得≤a≤2，则0≤a≤2综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题。

2020年高考数学冲刺逆袭必备卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．若集合{|12}A x x =-<≤，则A =R ð（ ） A ．{|1x x <-或2}x > B ．{|1x x ≤-或2}x > C ．{|1x x <-或2}x ≥ D ．{|1x x ≤-或2}x ≥【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的定义，即可求得A 的补集. 【详解】∵{|12}A x x =-<≤，∴A =R ð{|1x x ≤-或2}x >， 故选：B 【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，属于基础题. 2．设3i12iz -=+，则z =A ．2 BCD ．1【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ． 【详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．3．“方程221 71x ym m+=--表示的曲线为椭圆”是“17m<<”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据方程表示椭圆的条件列不等式组，解不等式组求得m的取值范围，由此判断充分、必要条件. 【详解】由于方程22171x ym m+=--表示的曲线为椭圆，所以701071mmm m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得17m<<且4m≠.所以“方程22171x ym m+=--表示的曲线为椭圆”是“17m<<”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本小题主要考查方程表示椭圆的条件，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.4．若函数()f x的导函数()f x'的图象如右图所示，则函数()y xf x'=的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据导函数()f x'的零点和函数值的符号，判断出()y xf x'=的图象.由于()f x '的图象可知2x =-是()f x '的零点，所以()y xf x '=的零点为0和2-.当2x <-时，()'0f x >，所以()'0xf x <；当20x -<<时，()'0f x <，所以()'0xf x >；当0x >时，()'0f x <，所以()'0xf x <.由此可知正确的()y xf x '=的图象为D.故选：D 【点睛】本小题主要考查主要考查导函数图象的运用，属于基础题. 5．若sin 12πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．12-C．2D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件和二倍角公式，先计算出cos 26πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值，再将所要求的2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据诱导公式进行化简，得到答案. 【详解】因为sin 122πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以2cos 2126πα⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭⎝⎭12=- 2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.6．已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切，则双曲线C 的离心率为（ ） AB ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】先得到双曲线C 的渐近线，然后根据渐近线与圆相切，利用点到直线的距离等于半径，得到a 和c 的关系，求出离心率，得到答案. 【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为b y x a =±因为两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切，所以点(,0)a 到直线b y x a =的距离等于半径2b即2ab b d c ===，又因为222c a b =+ 整理得到2c a =， 故双曲线C 的离心率为2ce a==. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线，根据直线与圆相切求参数关系，求双曲线的离心率，属于简单题. 7．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）A ．[2,3]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[2,7]【答案】C 【解析】 【分析】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果. 【详解】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+//EF Q 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F ⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE Ì平面EFG //GE ∴平面11BDD B又平面ABCD I 平面11BDD B BD =，GE Ì平面ABCD //GE BD ∴E Q 为AB 中点 G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==，max AF AH ==min EF ∴==max EF ==则线段EF 长度的取值范围为：本题正确选项：C 【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.8．若直线2x y m =-+与曲线y =m 的取值范围是（ ）A ．B ．11)C ．(11)+D ．1) 【答案】A 【解析】试题分析：由题意知，曲线y =的图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成，故直线2x y m =-+与曲线y =恰有三个公共点的临界直线有：当直线2xy m =-+过点()2,0时，即01m =-+，故1m =；当直线2xy m =-+与椭圆的上部分相切，即'12y ==-，即x y ==时，此时m =，故实数m 的取值范围是，选项A 为正确答案．考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、数形结合的思想．【易错点晴】本题主要考查的是直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题；要求满足条件：直线2x y m =-+与曲线y =恰有三个公共点，实数m 的取值范围，可以转化为直线2x y m =-+的图象与曲线y =m 的取值范围，作出两个函数的图象，通过图象观察临界直线，从而求出m 的取值范围；本题曲线y =的图象是易错点，画图时要分类讨论，知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成．二、多选题9．甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如图所示，则关于这三家企业下列说法正确的是（ ）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是丙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业【答案】AB D【解析】由题意甲企业产品的成本为10000，其中材料成本1000060%6000⨯=、支付工资1000035%3500⨯=、费用支出500；乙企业产品的成本为12000，其中材料成本1200053%6360⨯=、支付工资1200030%3600⨯=、费用支出2040；丙企业产品的成本为15000，其中材料成本1500060%9000⨯=、支付工资1500025%3750⨯=、费用支出1500015%2250⨯=.所以成本最大的企业是丙企业，费用支出最高的企业是丙企业，支付工资最少的企业是甲企业，材料成本最高的企业是丙企业，A 、B 、D 选项正确，C 选项错误. 故选：AB D. 【点睛】本题主要考查扇形统计图的识图及应用，属基础题.10．关于函数()1f x cosx +=，,23x pp 骣琪Î琪桫的图象与直线y t =（t 为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ）A ．当0t <或2t ≥时，有0个交点B ．当0t =或322t ≤<时，有1个交点 C ．当302t <≤时，有2个交点 D ．当02t <<时，有2个交点【答案】AB 【解析】 【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况,进一步确定结果． 【详解】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A ：当0t <或2t ≥时,有0个交点,故正确．②对于选项B ：当0t =或322t ≤<时,有1个交点,故正确． ③对于选项C ：当32t =时,只有一个交点,故错误． ④对于选项D ：当322t ≤<,只有一个交点,故错误． 故选：AB【点睛】函数的图象的应用,利用函数的图象求参数的取值范围,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ） A ．若59S S =，则必有140S = B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >，则必有78S S > D ．若67S S >，则必有56S S >【答案】AB C 【解析】 【分析】直接根据等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n dS na -=+逐一判断． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n dS na -=+， 若59S S =，则11510936a d a d +=+， ∴12130a d +=，∴1132da =-，∵10a >，∴0d <， ∴1140a a +=，∴()1141407a a S +==，A 对；∴() 112nn n dS na-=+()11322n n dnd-=-+()27492d n⎡⎤--⎣⎦=，由二次函数的性质知7S是n S 中最大的项，B对；若67S S>，则7160a a d=+<，∴16a d<-，∵10a>，∴0d<，∴615a a d=+6d d<-+0d=->，8770a a d a=+<<，∴5656S S S a<=+，7878S S S a>=+，C对，D错；故选：AB C．【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，属于中档题．12．如图，在四边形ABC D中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且3BC EC=u u u r u u u r，F为AE的中点，则（）A．12BC AB AD=-+u u u r u u u r u u u rB．1133AF AB AD=+u u u r u u u r u u u rC．2133BF AB AD=-+u u u r u u u r u u u rD．1263CF AB AD=-u u u r u u u r u u u r【答案】AB C【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题．【详解】解：∵AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法则得BC BA AD DC =++u u u v u u u v u u u v u u u v 12AB AD AB =-++u u u v u u u v u u u v 12AB AD =-+u u uv u u u v ，A 对；∵3BC EC =u u u r u u u r ，∴23BE BC =u u u r u u u r 1233AB AD =-+u u uv u u u v ，∴AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r 1233AB AB AD ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭u u uv u u u v u u u v 2233AB AD =+u u u v u u u v ，又F 为AE 的中点，∴12AF AE =u u u v u u u v 1133AB AD =+u u u v u u u v，B 对；∴BF BA AF =+u u u v u u u v u u u v 1133AB AB AD =-++u u u v u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u uv u u u v ，C 对；∴CF CB BF =+u u u v u u u v u u u v BF BC =-u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u u v u u u v 12AB AD ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v 1263AB AD =--u u uv u u u v ，D 错；故选：AB C ． 【点睛】本题主要考查向量加法的三角形法则、数乘运算，考查平面向量基本定理，属于基础题．第II 卷（非选择题)三、填空题13．曲线C ：2()ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________． 【答案】320x y --= 【解析】分析：根据切线方程的求解步骤即可，先求导，求出切线斜率，再根据直线方程写法求出即可. 详解：由题可得：1'()2f x x x=+(),1f =1，'(1)3,f ∴=∴切线方程为：y -1=3（x -1） 即320x y --=，故答案为：320x y --=点睛：考查导数的几何意义切线方程的求法，属于基础题. 14．已知向量a r、b r满足|a r|＝2，且b r 与b a rr-的夹角等于6π，则|b r |的最大值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】在OAB V 中，令,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，可得6π∠=OBA ，可得点B 在半径为R 的圆上，22sin R A=，可得R ，进而可得||b u u r的最大值． 【详解】∵向量a r 、b r 满足|a r |＝2，且b r 与b a -r r 的夹角等于6π，如图在OAB V 中，令OA a =uu u r r ，OB b =uuu r r ，可得6π∠=OBA可得点B 在半径为R 的圆上，2R 2sinA==4，R ＝2． 则|b r|的最大值为2R ＝4【点睛】本题考查了向量的夹角、模的运算，属于中档题．15．设a 为()sin 3cos x x x R ∈的最大值，则二项式6a x x ⎛ ⎝展开式中含2x 项的系数是_____. 【答案】192-【解析】由题意设a 为()sin 3cos x x x R ∈的最大值，则二项式6a x x ⎛ ⎝展开式中含2x 项的系数是.因为a 为()sin 3cos x x x R ∈的最大值 所以2a =代入到二项式6a x x ⎛⎝中，得62x x ⎛⎝，其第1r +项为(616rrr r T C-+⎛= ⎝()63612rr rr C x --=-⋅⋅⋅含2x 项，则1r =其系数是()151612192C -⋅⋅=-【点睛】本题考查三角函数化简，二项式展开式中指定项的系数.16．已知a b ，为正实数，直线y x a =-与曲线1ln()y x b y x b '⎛⎫=+=⎪+⎝⎭相切于点()00x y ，，则11a b+的最小值是______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用切点和斜率列方程组，化简求得,a b 的关系式，进而利用基本不等式求得11a b+的最小值. 【详解】依题意令11y x b '==+，解得01x b =-，所以()00001ln ln10y x a b a y x b =-=--⎧⎨=+==⎩，所以10b a --=，所以1a b +=，所以()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭224b a a b =++≥+=，当且仅当12a b ==时等号成立，所以11a b+的最小值为4. 故答案为：4【点睛】本小题主要考查导数与切线有关的计算问题，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.四、解答题17．若向量,0)(cos ,sin )(0)m x n x x ωωωω==->r r，在函数()()f x m m n t =⋅++r r r 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为,4π且当[0,],()3x f x π∈时的最大值为1．（I ）求函数()f x 的解析式； （II ）求函数()f x 的单调递增区间．【解析】（I ）由题意得()()f x m m n t =⋅++r r r2m m n =+⋅r r r23sin cos 33cos 2sin 22223)32x x x t x x t x tωωωωωπω=+⋅+=-++=-++ ∵对称中心到对称轴的最小距离为4π ()f x ∴的最小正周期为T π=2,12ππωω∴=∴=. 3()),32[0,],2[,]3333f x x t x x πππππ∴=-++∈-∈-当时2,()333x x f x πππ∴-==即时取得最大值3t +max ()1,31,21()).32f x t t f x x π=∴+=∴=-∴=--Q （II ）222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈.55222,2612125()[,]()1212k x k k x k f x k k k Z ππππππππππππ-≤≤+-≤≤+∴-+∈函数的单调递增区为18．定义：对于任意*n N ∈，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列. （1）若()2*8n a n n n =-+∈N，证明：数列{}na 是T 数列；（2）设数列{}n b 的通项为502n b n =- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围； （3）设数列()*1,12n pc n p n=-∈<<N ，若数列{}n c 是T 数列，求p 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭；（3）615p <≤. 【解析】 【分析】（1）根据题中的新定义代入即可证出.（2）设1n n b b +≥， 1n n b b -≥，2n ≥，代入通项3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解不等式组，使()max n M b ≥即可求解.（3）首先根据12p <<可求1n =时，11c p =-，当2n ≥时，1n pc n=-，根据题中新定义求出13220c c c +-≤成立，可得615p <≤，再验证2120n n n c c c +++-<恒成立即可求解. 【详解】（1）Q ()22841616n a n n n =-+=--+≤，且()()()()22221282822116120n n n a a a n n n n n n +++-=-+-+++++-+=-<， 则满足212n n n a a a +++≤，则数列{}n a 是T 数列. 综上所述，结论是：数列{}n a 是T 数列. （2）设1n n b b +≥， 1n n b b -≥，2n ≥则()()11335050122335050122n n n n n n n n +-⎧⎛⎫⎛⎫-≥+-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-≥-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 得3322log 1001log 100n ≤≤+，n N *∈Q ，12n ∴=，则数列{}n b 的最大值为126002b =- ⎪⎝⎭， 则1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭（3）Q 12p <<112n pc ∴=-<， 当1n =时，11c p =- 当2n ≥时，1n p c n=-， 由132521122033p p c c c p p +-=-+--+=-+≤，得615p <≤， 当2n ≥时，()()2122211202112n n n p p p pc c c n n n n n n ++-+-=-+--+=<++++恒成立， 则要使数列{}n c 是T 数列，则p 的取值范围为615p <≤. 【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AA AC CB ==，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若1A A 与平面ABC 所成的线面角为60︒，求二面角11C AB C --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）34. 【解析】（1）因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A I 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠=︒，所以BC ⊥平面11ACC A ，因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC A C ⊥. 因为11B C BC ∥，所以111AC B C ⊥. 因为11ACC A 是平行四边形，且1AA AC =， 所以四边形11ACC A 是菱形，则11A C AC ⊥. 因为1111AC B C C =I ，所以1A C ⊥平面11AB C .又1AC ⊂平面11A B C ，所以平面11AB C ⊥平面11A B C . （2）如图，取AC 的中点M ，连接1A M ， 因为四边形11ACC A 是菱形，160A AC ∠=︒， 所以1△ACA 是正三角形，所以1A M AC ⊥，且132A M AC =. 令122AA AC CB ===，则13A M =.以C 为坐标原点，以CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过点C 且平行于1A M 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()11,0,3C -，()0,1,0B，()11,0,3A ，()2,0,0CA =u u u r，()()111111,0,30,1,0CB CC C B CC CB =+=+=-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r ()1,1,3=-，()11,0,3CA =u u u r.设平面1ACB 的法向量为(),,x y z =n ，则100CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，所以2030x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，得0x =，令1z =，则3y =-，所以()0,3,1=-n .由（1）知1A C ⊥平面11AB C ，所以()11,0,3CA =u u u r是平面11AB C 的一个法向量，所以111cos ,CA CA CA ⋅<>=⋅u u u ru u u r u u u r n n n 3341331==+⨯+. 所以二面角11C AB C --的余弦值为34. 20．某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从A 农场购进一批优质棉花，厂方技术人员从A 农场存储的优质棉花中随机抽取了100朵棉花，分别测量了其纤维长度（单位：cm ）的均值，收集到100个样本数据，并制成如下频数分布表：（1）求这100个样本数据的平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）将收集到的数据绘制成直方图可以认为这批棉花的纤维长度()2~,X N μσ，其中22,x s ≈≈μσ.①利用正态分布，求()2P X >-μσ；②纺织厂将A 农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取20朵测量其纤维均值()1,2,,20y i =L 的数据如下：若20个样本中纤维均值2Y >-μσ的频率不低于①中()2P X >-μσ，即可判断该批优质棉花合格，否则认为农场运送是掺杂了次品，判断该批棉花不合格.按照此依据判断A 农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由. 附：若()2~,Z N μσ，则()0.6827,P Z -<<+=μσμσ()220.9543.P Z -<<+=μσμσ12.28 3.504≈.【答案】（1）平均数为31，方差为12.28；（2）①0.97715；②该批优质棉花合格，理由见解析.【解析】（1）1(4249261628100x =⨯⨯+⨯+⨯2430183214341036+⨯+⨯+⨯+⨯538)31+⨯=， 22221(4795163241100s =⨯⨯+⨯+⨯+⨯22218114310557)12.28+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）棉花的纤维长度()2~,X N μσ，其中31,12.28 3.504=≈≈μσ，①利用正态分布，则()()12110.95432P X >-=-⨯-μσ0.97715=. ②因为2312 3.50423.992-=-⨯≈μσ， 故()()223.9921P Y P Y >-=>=μσ>0.97715， 故满足条件，所以认为该批优质棉花合格.21．如图，已知抛物线2:8C y x =的焦点是F ，准线是l .（Ⅰ）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）已知点()8,8P ，若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点A 、B （均与P 不重合），直线PA 、PB 分别交l 于点M 、N 求证：MF NF ⊥.【答案】（Ⅰ）()2,0F ，准线l 的方程为2x =-；（Ⅱ）见解析.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据抛物线C 的标准方程可得出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）设直线AB 的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，求出点M 、N 的坐标，计算出0MF NF ⋅=u u u r u u u r，即可证明出MF NF ⊥. 【详解】（I ）抛物线C 的焦点为()2,0F ，准线l 的方程为：2x =-；（Ⅱ）设直线AB 的方程为：()2x my m R =+∈，令()11,A x y ，()22,B x y ， 联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程228x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得28160y my --=， 由根与系数的关系得：1216y y =-.直线PB 方程为：228888y x y x --=--，()2222288888888y y xy x y y -+=-+=+-， 当2x =-时，228168y y y -=+，228162,8y N y ⎛⎫-∴- ⎪+⎝⎭，同理得：118162,8y M y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.228164,8y FN y ⎛⎫-∴=- ⎪+⎝⎭u u u r ，118164,8y FM y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭u u u u r ,()()()()()()21212121211688816816816816168888y y y y y y FN FM y y y y +++----∴⋅=+⨯=++++u u u r u u u u r ()()()()()()122121801680161608888y y y y y y +-+===++++，FN FM ∴⊥u u u r u u u u r，MF NF ∴⊥.【点睛】本题考查利用抛物线方程求焦点坐标和准线方程，同时也考查了直线与抛物线的综合问题，涉及到两直线垂直的证明，一般转化为两向量数量积为零来处理，考查计算能力，属于中等题. 22．已知1()ln mf x x m x x-=+-，m ∈R . （1）讨论()f x 的单调区间；（2）当202e m <≤时，证明：2()1x e x xf x m >-+-.【答案】（1）()f x 在(1,1)m -上单调递减；在(0,1)和(1,)m -+∞上单调递增.（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，再进行求导得2(1)[(1)]()x x m f x x---'=，对m 分成1m £，12m <<，2m =三种情况讨论，求得单调区间；（2）要证由2()1xe x xf x m >-+-，等价于证明ln x e mx x >，再对x 分01x <≤，1x >两种情况讨论；证明当1x >时，不等式成立，可先利用放缩法将参数m 消去，转化成证明不等式2ln 2xe e x x >成立，再利用构造函数22()ln x e g x x x -=-，利用导数证明其最小值大于0即可。

4)的一条对称轴是（4 ,Bx =3Cx = - 3D x = -第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、在等比数列｛a n ｝中， 若 a 1a a a a = 1 ， 则 ( )2 3 4 5Aa 1=1B a 3=1C a 4=1D a 5=12、对于任意实数 a 、b 、c 、d ，命题：① 若a > b , c < 0, 则ac > bc ；② 若a > b , 则ac 2 > bc 2 ；③ 若ac 2 < bc 2 , 则a < b ； ④ 若a > b , 则 1 < 1 ；⑤ 若a > b > 0, c > d > 0, 则ac > bd ． a b其中真命题的个数是） （A 、1B 、2C 、3D 、43、若 tan α =2 , 则 sin α cos α 的 值为D1A1 2B 23C 254、函数y=sin(2x- π）A x =π π π π 8⋅ = ( )2，-⎨ 的解集为（ ）⎧⎪log ( x 2 - 1) > 15、 2sin 2αcos 2α 1 + cos 2α cos2α Atan αBtan 2α C 1D1 26、.已知等差数列{a n }的前 20 项的和为 100，公差是-2，则数列前（ ）项的和最大。

A.12D.107、已知函数 y ＝小值分别是()B.13C.12 或 132 cosx, x ∈[- π ,３π ] ,则函数 y 的最大值、最3 4A. 2 2，-1 B. 1， -1 C. 2 2 D. 2 ，-18、不等式组2⎪⎩ x - 2 < 2A （0，3）B （ 3， 2）C （ 3， 4）D （2， 4）9 、已知函数 y = f ( x ) 图象如图n →∞< 3 , 1 + 1 + 1 < 5 , 1 + 1 + 1 + 1 <10、给出① lim x 3 + 3x 2 + 2 x ；②曲线 y = x 4+5 在 x=0 处的切x →-2 x 2 - x - 6线的斜率值；③数列{a n }中， a n = (-1) n n ，则 lim a 的值；④函数 ny=x 4-2x 2+5 在[-2，2]上的最小值。

2020届全国高考数学（理）冲刺高考预测卷（一）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{y |y ＝log 3x,0<x ≤9}，B ＝{x |2 019x >1}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,2) B ．(0,2] C ．(－∞，2]D ．R解析 集合A ＝{y |y ＝log 3x,0<x ≤9}＝{y |y ≤2}， 集合B ＝{x |2 019x >1}＝{x |x >0}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤2}＝(0,2]．故选B. 答案 B2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝1＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－1＋i B ．2 C ．－2D ．－1－i解析 因为两个复数对应的点关于虚轴对称，所以两个复数的实部互为相反数且虚部相同，所以复数z 2＝－1＋i ，z 1z 2＝(1＋i)(－1＋i)＝－2，故选C.答案 C3.如图，A 、B 、C 是单位圆上的三等分点，下列说法错误的是( )A.OA →＝－(OB →＋OC →)B.OA →与BO →的夹角为120° C.OA →⊥(OB →－OC →) D.OA →在OB →上的投影为－12解析 对于A ，由平行四边形法则可知OB →＋OC →＝AO →＝－OA →，正确； 对于B ，OA →与BO →的夹角为60°，错误；对于C ，OA →·(OB →－OC →)＝OA →·OB →－OA →·OC →＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，正确；对于D ，OA →在OB →上的投影为－12，正确，故选B. 答案 B4．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，若b n ＝(n －5)a n ，则b n 的最小值为( ) A ．－252 B ．－12 C ．－8D ．－52解析 当n ＝1时，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，当n ＝1时显然适合上式，所以a n ＝2n ，n ∈N *，所以b n ＝(n －5)a n ＝2n (n －5)．令f (x )＝2x (x －5)，易知对称轴为x ＝52， 所以b n 的最小值为b 2＝b 3＝－12.故选B. 答案 B5．已知p ：x ≤m ，q ：4x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1) 解析 设A ＝{x |x ≤m }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪4x ＋1<1＝{x |x <－1或x >3}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，∴m <－1，∴实数m 的取值范围是(－∞，－1)．故选D.答案 D6．从6人中选出4人参加数学、物理、化学、生物竞赛，每人只能参加其中一项，每项竞赛必须有人参加，其中甲、乙两人都仅能参加化学竞赛，其他4人四项竞赛都能参加，则不同的参赛方案的种数为( )A ．48B ．72C ．144D ．480解析 分成两类：(1)甲乙均不参加比赛：共有A 44＝24种情况；(2)甲乙有且只有一人参加比赛：共有C 12A 34＝48种情况．∴不同的参赛方案共有24＋48＝72种．故选B.答案 B7．如图所示的程序框图的输出结果为y＝44.5，则循环体的判断框内应填()A．x<88? B．x≤89?C．x<89? D．x≤88?解析因为cos21°＋cos22°＋…＋cos289°＝44(cos21°＋cos289°)＋cos245°＝44(cos21°＋sin21°)＋cos245°＝44.5，所以x≤89.答案 B8．已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a3＝7，且{a n＋1－a n}成等比数列，则满足不等式1 1＋a n－11＋a n＋1≥λ1＋a n＋2的实数λ的最大值是()A．2 B．3C．5 D．6解析由a2－a1＝2，a3－a2＝4，得公比q＝2，所以a n＋1－a n＝(a2－a1)·2n－1＝2n.所以a n＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.从而，由不等式11＋a n－11＋a n＋1≥λ1＋a n＋2，得12n－12n＋1≥λ2n＋2，即λ≤2.则λ的最大值是2. 答案 A9．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为4π3，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．12 3B ．2 3C ．6 3D ．48 3解析 由43πR 3＝43π，得球的半径R ＝1， ∴正三棱柱的高等于球的直径，即h ＝2R ＝2. 设三棱柱的底面边长为a ， 则13×32a ＝1，∴a ＝23，∴该正三棱柱的体积V ＝34×(23)2×2＝63，故选C. 答案 C10．已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的部分图像如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12，－2，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋k π，5π3＋k π(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＋k π，13π6＋k π(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋k π，17π12＋k π(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12＋k π，23π12＋k π(k ∈Z ) 解析 依题意，T 2＝13π12－7π12＝π2，所以T ＝π＝2πω，解得ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝12，所以7π6＋φ＝π6＋2n π(n ∈Z )或7π6＋φ＝5π6＋2n π(n ∈Z )，解得φ＝－π＋2n π(n∈Z )或φ＝－π3＋2n π(n ∈Z )．因为－π2<φ<0，所以φ＝－π3，所以f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令π2＋2k π<2x－π3<3π2＋2k π(k ∈Z )，解得5π12＋k π<x <11π12＋k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z )．因为函数f (x )的最小正周期为π，所以选项D 符合题意．故选D. 答案 D11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( )A.2＋12 B ．2＋1 C.3＋12D ．3＋1解析 取PF 2的中点A ，则由(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，得2OA →·F 2P →＝0，即OA →⊥F 2P →.在△PF 1F 2中，OA 为△PF 1F 2的中位线，所以PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2.又由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而|PF 1|＝3|PF 2|，所以|PF 2|＝c ，所以(3－1)c ＝2a ，解得e ＝3＋1.故选D.答案 D12．已知函数f (x )＝e x |x |，关于x 的方程f 2(x )－2af (x )＋a －1＝0(a ∈R )有3个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫e 2－12e －1，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，e 2－12e －1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，e 2－12e －1 D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫e 2－12e －1 解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx ，x >0，－e xx ，x <0，当x >0时，f ′(x )＝e x (x －1)x 2，当0<x <1时，f ′(x )<0，函数单调递减，当x >1时，f ′(x )>0，函数单调递增， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e.当x <0时，f ′(x )＝－e x (x －1)x 2>0，函数单调递增， 如图，画出函数的图像，设t ＝f (x )，当t >e 时，t ＝f (x )有3个根，当t ＝e 时，t ＝f (x )有2个实根，当0<t <e 时，t ＝f (x )有1个实根，考虑到原方程的判别式大于零恒成立，所以原方程等价于t 2－2at ＋a －1＝0有2个相异实根，其中t 1＝e ，t 2∈(0，e)或t 1≤0，t 2>e ，当t ＝e 时，e 2－2a e ＋a －1＝0，解得a ＝e 2－12e －1，检验满足条件；由t 1≤0，t 2>e 得⎩⎨⎧02－2a ×0＋a －1≤0，e 2－2a e ＋a －1<0，无解．故选D.答案 D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线，给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________. 解析 本题考查空间直线和平面间的位置关系．当l ⊥m ，m ∥α时，l 与α不一定垂直，可能相交，也可能平行；当l ⊥m ，l ⊥α时，m ∥α；当m ∥α，l ⊥α时，l ⊥m ，综上可知，正确命题是若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α.或若m ∥α，l ⊥α，则l ⊥m .答案 若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α(答案不唯一)14．某企业对2018年1－4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：月份x 1 2 3 4 利润y /万元13.55.58y 关于x 的线性回归方程为________．解析 设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，∵x →＝2.5，y →＝4.5，∴由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4.5＝2.5b ^＋a ^，23.5＝12b ^＋a ^，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ^＝－0.5，b ^＝2，∴线性回归方程为y ^＝2x －0.5.答案 y ^＝2x －0.515．在(1－x ＋x 2)(1＋x )7的展开式中，x 4的系数为________．解析 (1＋x )7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7·x r ，所以x 4的系数为C 47－C 37＋C 27＝C 27＝21.答案 2116．若直线l 交抛物线y 2＝4x 于A 、B 两点，△OAB 内有一点M (6,2)满足S △AOM ∶S △BOM ∶S △AMB ＝1∶2∶3，则直线l 的斜率为________．解析 解法一：设点A ，B 到直线OM 的距离分别为d A ，d B ，直线OM 交直线AB 于点Q ，则|QA ||QB |＝d A d B ＝S △AOM S △BOM ＝12⇒S △AMQ ＝13S △AMB ＝S △AOM ，故M 为OQ 的中点，所以Q (12,4)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则BQ →＝2QA →⇒⎩⎨⎧ 12－x 2＝2(x 1－12)，4－y 2＝2(y 1－4)，所以⎩⎨⎧x 2＝36－2x 1，y 2＝12－2y 1.代入y 22＝4x 2，并结合y 21＝4x 1解得⎩⎨⎧x 1＝16，y 1＝8或⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝0(不合题意，舍去)．故直线l 的斜率k ＝y 1－y Q x 1－x Q ＝8－416－12＝1.解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则MA →＝(x 1－6，y 1－2)，MB →＝(x 2－6，y 2－2)，又MO →＝(－6，－2)，所以由奔驰定理，得MA →·S △OMB ＋MB →·S △AMO ＋MO →·S △BMA ＝0⇒2MA →＋MB →＋3MO →＝0⇒⎩⎨⎧ 2x 1＋x 2－36＝0，2y 1＋y 2－12＝0.把x 1＝y 214，x 2＝y 224代入解得⎩⎨⎧ x 1＝16，y 1＝8，⎩⎨⎧x 2＝4，y 2＝－4.故求得k AB ＝1，即直线l 的斜率为1.结论拓展 奔驰定理：已知O 为△ABC 内一点，则有OA →·S △OBC ＋OB →·S △OAC ＋OC →·S △OAB ＝0.答案 1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分17．(12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝m ，a n ＋1＝S n ＋2. (1)求m 的值；(2)若b n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ＋1，n 为偶数，求b 1＋b 2＋…＋b n 的值．解析 (1)由a n ＋1＝S n ＋2，得a n ＝S n －1＋2(n ≥2)， ∴a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，∴a n ＋1＝2a n (n ≥2)．又a 2＝S 1＋2＝m ＋2，{a n }是等比数列，∴m ＋2m ＝2，∴m ＝2.(4分) (2)由(1)得，a n ＝2n ，∴b n ＝⎩⎨⎧2n ，n 为奇数，n ＋1，n 为偶数，令b 1＋b 2＋…＋b n ＝T n ，则T 2k ＝b 1＋b 2＋…＋b 2k ＝(b 1＋b 3＋…＋b 2k －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2k )＝21＋23＋…＋22k －1＋(3＋5＋…＋2k ＋1)＝2·1－4k 1－4＋k 2＋2k ＝23(4k －1)＋k 2＋2k .(7分)∴当n 为偶数时，T n ＝23(4n 2－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 22＋2·n 2＝23·2n ＋n 24＋n －23.(8分) T 2k －1＝T 2k －b 2k ＝23(4k －1)＋k 2＋2k －(2k ＋1)＝23·4k ＋k 2－53. ∴n 为奇数时，T n ＝23·4n ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122－53＝43·2n ＋n 24＋n 2－1712.(10分) 故b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧23·2n ＋n 24＋n －23，n 为偶数，43·2n ＋n 24＋n 2－1712，n 为奇数.(12分)18．(12分)某企业对现有设备进行了改造，为了了解设备改造后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在[20,60)内，则该产品视为合格品，否则视为不合格品．下图是设备改造前的样本的频率分布直方图，下表是设备改造后的样本的频数分布表．质量指标值频数[10,20) 2[20,30)18[30,40)48[40,50)14[50,60)16[60,70) 2(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关：设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计(2)根据图1和表(3)企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[30,40)内的定为一等品，每件售价180元；质量指标值落在[20,30)或[40,50)内的定为二等品，每件售价150元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元．根据频数分布表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望．附：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k 02.072 2.7063.841 5.024 6.635K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解析 (1)根据图1和表1得到2×2列联表：设备改造前 设备改造后 合计合格品 86 96 182 不合格品 14 4 18 合计100100200(1分)将2×2列联表中的数据代入公式计算得： K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝200×86×4－96×142182×18×100×100＝5 000819≈6.105.(3分)∵6.105<6.635，∴没有99%的把握认为该企业生产的产品的质量指标值与设备改造有关．(4分) (2)根据图1和表1可知，设备改造前的产品为合格品的概率约为86100＝4350，设备改造后产品为合格品的概率约为96100＝2425；显然设备改造后产品合格率更高，因此，改造后的设备更优．(6分)(3)由表1知：一等品的频率为12，即从所有合格产品中随机抽到一件一等品的概率为12； 二等品的频率为13，即从所有合格产品中随机抽到一件二等品的概率为13； 三等品的概率为16，即从所有合格产品中随机抽到一件三等品的概率为16.(7分)由已知得：随机变量X 的取值为：240,270,300,330,360.(8分) P (X ＝240)＝16×16＝136，P (X ＝270)＝C 12×13×16＝19，P (X ＝300)＝C 12×12×16＋13×13＝518，P (X ＝330)＝C 12×12×13＝13，P (X ＝360)＝12×12＝14. ∴随机变量X 的分布列为：X 240 270 300 330 360 P136195181314(10分)∴E (X )＝240×136＋270×19＋300×518＋330×13＋360×14＝320.(12分)19.(12分)如图，在几何体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，四边形ABCD 是边长为22的正方形，四边形A ′B ′C ′D ′是平行四边形，AA ′⊥平面ABCD ，AA ′∥BB ′∥CC ′∥DD ′，DD ′＝4，BB ′＝1，M 是线段CC ′上一点，且CM ＝1，AM ∥平面A ′B ′C ′D ′.(1)求线段AA ′的长；(2)求直线DD ′与平面A ′D ′B 所成角的正弦值．解析 (1)设AA ′＝x ，连接A ′C ′，则由AM ∥平面A ′B ′C ′D ′，平面AMC ′A ′∩平面A ′B ′C ′D ′＝A ′C ′，得AM ∥A ′C ′，所以四边形A ′C ′MA 是平行四边形，则C ′M ＝x ，C ′C ＝x ＋1.连接B ′D ′交A ′C ′于点O ′，连接AC ，BD 交于点O ，连接OO ′，则OO ′为梯形BB ′D ′D 的中位线，得2OO ′＝5.又易知OO ′为梯形A ′C ′CA 的中位线，所以x ＋x ＋1＝2OO ′＝5，得x ＝2，即线段AA ′的长为2.(5分)(2)解法一：延长D ′A ′，DA 交于点Q ，由AA ′＝2，D ′D ＝4，得AA ′是△QD ′D 的中位线．连接BQ ，则AO 为△DQB 的中位线，AO ∥BQ ，所以BQ ⊥BD ，又DD ′∥AA ′，AA ′⊥平面ABCD ，所以BQ ⊥D ′D ， 所以BQ ⊥平面BDD ′B ′，所以平面BQD ′⊥平面BDD ′.作DH ⊥BD ′于点H ，则DH ⊥平面BQD ′，∠DD ′B 即所求线面角．由DB ＝DD ′＝4，得∠DD ′B ＝45°，则直线DD ′与平面A ′D ′B 所成角的正弦值为22.(12分)解法二：以点D 为坐标原点，DA →，DC →，DD ′→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A ′(22，0,2)，D ′(0,0,4)，B (22，22，0)，A ′D ′→＝(－22，0,2)，A ′B →＝(0,22，－2)，D ′D →＝(0,0，－4)．设平面A ′D ′B 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A ′D ′→＝0，m ·A ′B →＝0，所以⎩⎨⎧－22a ＋2c ＝0，22b －2c ＝0.令a ＝1，则m ＝(1,1，2)为平面A ′D ′B 的一个法向量．(9分)故直线DD ′与平面A ′D ′B 所成角的正弦值为|cos 〈m ，D ′D →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ·D ′D →|m |·|D ′D →|＝22.(12分)20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y ＝2x ＋3相切，点P 在椭圆C 上，|PF 1|＝2，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，试求△AOB 的面积(O 为坐标原点)．解析 (1)依题意有b ＝32＋1＝3，∴b 2＝3. 由|PF 1|＝2及椭圆的定义得|PF 2|＝2a －2.由|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，得a 2－3a ＋3＝c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，解得c ＝1，a ＝2. 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，化简可得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)＝48(3＋4k 2－m 2)>0，即3＋4k 2－m 2>0， 又x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2，(6分)所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2.由3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，得3×4(m 2－3)3＋4k 2＋4×3m 2－12k 23＋4k 2＝0，即2m 2＝3＋4k 2.(8分) |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·48(3＋4k 2－m 2)(3＋4k 2)2＝1＋k 2·12m 2，点O 到AB 的距离d ＝|m |1＋k 2＝m 21＋k 2，(10分) 所以S △AOB ＝12·d ·|AB |＝12·1＋k 2·12m 2·m 21＋k 2＝3，故三角形AOB 的面积为 3.(12分) 21．(12分)已知函数f (x )＝a e 2x －a e x －x e x (a ≥0，e 为自然对数的底数)，若f (x )≥0对于x ∈R 恒成立．(1)求实数a 的值；(2)证明：f (x )存在唯一极大值点x 0，且ln 22e ＋14e 2≤f (x 0)<14. 解析 (1)由f (x )＝e x (a e x －a －x )≥0可得g (x )＝a e x －a －x ≥0. ∵g (0)＝0，∴g (x )≥g (0)， ∴x ＝0是g (x )的一个极小值点，∵g ′(x )＝a e x －1，∴g ′(0)＝a －1＝0⇒a ＝1.(2分) 当a ＝1时，g (x )＝e x －1－x ，g ′(x )＝e x －1，∵x ∈(－∞，0)，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，0)上单调递减； x ∈(0，＋∞)，g ′(x )>0，g (x )在(0，＋∞)上单调递增； ∴g (x )≥g (0)＝0，∴a ＝1.(4分)(2)当a ＝1时，f (x )＝e 2x －e x －x e x ，f ′(x )＝e x (2e x －x －2)． 令h (x )＝2e x －x －2，则h ′(x )＝2e x －1，∵x ∈(－∞，－ln 2)，h ′(x )<0，h (x )在(－∞，－ln 2)上为减函数； x ∈(－ln 2，＋∞)，h ′(x )>0，h (x )在(－ln 2，＋∞)上为增函数， ∵h (－1)<0，h (－2)>0，∴在(－2，－1)上存在x ＝x 0满足h (x 0)＝0，(6分)∵h (x )在(－∞，－ln 2)上为减函数， ∴x ∈(－∞，x 0)时h (x )>0，即f ′(x )>0，f (x )在(－∞，x 0)上为增函数； x ∈(x 0，－ln 2)时，h (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )在(x 0，－ln 2)上为减函数． ∴f (x )在(－∞，－ln 2)上只有一个极大值点x 0，(7分) 由于h (0)＝0，且h (x )在(－ln 2，＋∞)上为增函数， ∴x ∈(－ln 2,0)时，h (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )在(－ln 2,0)上为减函数； x ∈(0，＋∞)时，h (x )>0，即f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数． ∴f (x )在(－ln 2，＋∞)上只有一个极小值点0.(8分)综上可知，f (x )存在唯一的极大值点x 0，且x 0∈(－2，－1)．(9分) ∵h (x 0)＝0，∴2e x 0－x 0－2＝0，∴f (x 0)＝e2x 0－e x 0－x 0e x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋222－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋22(x 0＋1)＝－x 20＋2x 04，x 0∈(－2，－1)，(10分) ∵x ∈(－2，－1)时，－x 2＋2x 4<14，∴f (x 0)<14.∵ln 12e ∈(－2，－1)，∴f (x 0)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12e ＝ln 22e ＋14e 2.综上知，ln 22e ＋14e 2≤f (x 0)<14.(12分)(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋4t ，y ＝1＋3t (t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ3＋sin 2θ＝2 3.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)已知点P (1,1)，直线l 与C 交于A ，B 两点，求||P A |－|PB ||的值． 解析 (1)ρ3＋sin 2θ＝23⇔3ρ2＋ρ2sin 2θ＝12 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，得3(x 2＋y 2)＋y 2＝12，化简可得C 的直角坐标方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)由l 的参数方程可得直线l 过点P (1,1)，且直线l 的斜率是34，所以过点P (1,1)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 是参数)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 是参数)代入x 24＋y 23＝1，整理得84t 2＋240t －125＝0，设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－207，t 1t 2＝－12584，所以||P A |－|PB ||＝|t 1＋t 2|＝207.(10分) 23．(10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |－|2x －1| (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥1； (2)求证：f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12.解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|－|2x －1|. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x <12，2－x －1＋2x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ≤2，2－x －2x ＋1≥1，或⎩⎨⎧x >2，x －2－2x ＋1≥1，解得0≤x ≤23，所以当a ＝2时，不等式f (x )≥1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0≤x ≤23.(5分) (2)证明：f (x )＝|x －a |－|2x －1| ＝|x －a |－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≤|a －x |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪(a －x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －12.(10分)。

2020年高考理科数学仿真冲刺卷及答案(共三套) 2020年高考理科数学仿真冲刺卷及答案(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={1,2},B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中元素个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)42.计算()2 017+()2 017等于( )(A)-2i (B)0(C)2i (D)23.在长为16 cm的线段MN上任取一点P,以MP,NP为邻边作一矩形,则该矩形的面积大于60 cm2的概率为( )(A)(B)(C)(D)4.在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)45.已知函数f(x)=ln(e x+e-x)+x2,则使得f(2x)>f(x+3)成立的x的取值范围是( )(A)(-1,3) (B)(-∞,-3)∪(3,+∞)(C)(-3,3) (D)(-∞,-1)∪(3,+∞)6.已知函数f(x)=cos(2x-ϕ)-sin(2x-ϕ)(|ϕ|<)的图象向右平移个单位后关于y轴对称,则f(x)在区间[-,0]上的最小值为( ) (A)-1 (B)(C)-(D)-27.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )(A)96(B)80+4π(C)96+4(-1)π(D)96+4(2-1)π8.执行如图的程序框图,则输出x的值是( )(A)2 016 (B)1 024(C) (D)-19.已知(1-2x)2017=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a2016(x-1)2016+ a2 017(x-1)2 017(x∈R),则a1-2a2+3a3-4a4+…-2 016a2 016+2 017a2 017等于( )(A)2 017 (B)4 034(C)-4 034 (D)010.若0<m<n<2,e为自然对数的底数,则下列各式中一定成立的是( )(A)me n<ne m (B)me n>ne m(C)mln n>nln m (D)mln n<nln m11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,2)(x0>)是抛物线C上一点,圆M与线段MF相交于点A,且被直线x=截得的弦长为|MA|.若=2,则|AF|等于( )(A)(B)1 (C)2 (D)312.现有10支队伍参加篮球比赛,规定:比赛采取单循环比赛制,即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场;每场比赛中,胜方得2分,负方得0分,平局双方各得1分.下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是( )(A)可能有两支队伍得分都是18分(B)各支队伍得分总和为180分(C)各支队伍中最高得分不高于10分(D)得偶数分的队伍必有偶数个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为120°,a+b+c=0,则a与c的夹角为.14.设变量x,y满足则点P(x+y,x-y)所在区域的面积为.15.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A1,A2为其左、右顶点,以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,且∠MA1A2=45°,则双曲线的离心率为.16.已知正四棱锥S ABCD中,SA=2,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在等差数列{a n}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{a n+b n}是首项为1,公比为c的等比数列,求{b n}的前n项和S n.18.(本小题满分12分)从某市统考的学生数学试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本,分别统计出这些试卷总分,由总分得到如图的频率分布直方图.(1)求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s2;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)由直方图可以认为,这批学生的数学总分Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(81<Z<119);②记X表示2 400名学生的数学总分位于区间(81,119)的人数,利用①的结果,求E(X)(用样本的分布估计总体的分布).附:≈19,≈18,若Z～N(μ,σ2),则P(μ-σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 5.19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点.(1)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD;(2)若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,试确定点M的位置,使二面角M BQ C大小为60°,并求出的值.20.(本小题满分12分)已知圆E:(x+1)2+y2=16,点F(1,0),P是圆E上任意一点,线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.(1)求动点Q的轨迹Γ的方程;(2)若直线y=k(x-1)与(1)中的轨迹Γ交于R,S两点,问是否在x轴上存在一点T,使得当k变动时,总有∠OTS=∠OTR?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a x-e(x+1)ln a-(a>0,且a≠1),e为自然对数的底数.(1)当a=e时,求函数y=f(x)在区间x∈[0,2]上的最大值;(2)若函数f(x)只有一个零点,求a的值.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为( 为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos θ.(1)求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)若直线θ=(ρ∈R)与曲线C1交于P,Q两点,求|PQ|的长度.23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=的定义域为R.(1)求实数t的取值范围;(2)若t的最小值为s,正实数a,b满足+=s,求4a+5b的最小值.参考答案仿真冲刺卷(一)1.C 由A={1,2}及题意得B={x|x=a+b,a∈A,b∈A}={2,3,4},则集合B中元素个数为3.故选C.2.B 因为===i,=-i.i4=1.所以()2 017+()2 017=(i4)504·i+[(-i)4]504·(-i)=i-i=0.故选B.3.A 设MP=x,则NP=16-x(0<x<16),矩形的面积S=x(16-x)>60,所以x2-16x+60<0,所以6<x<10.由几何概率的求解公式可得,矩形面积大于60 cm2的概率P==, 故选A.4.A AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos 120°,13=AC2+9-2·AC·3×(-),AC2+3AC-4=0,解得AC=1或AC=-4(舍去).故选A.5.D 因为函数f(x)=ln(e x+e-x)+x2,所以f′(x)=+2x,当x>0时,f′(x)>0,f(x)单调递增;又因为f(x)=ln(e x+e-x)+x2是偶函数,所以f(2x)>f(x+3)等价于|2x|>|x+3|,整理得x2-2x-3>0,解得x>3或x<-1,所以使得f(2x)>f(x+3)成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞),故选D.6.C函数f(x)=cos(2x-ϕ)-sin(2x-ϕ)=2cos(2x-ϕ+),(|ϕ|<)的图象向右平移个单位后,可得y=2cos(2x--ϕ+)=2cos(2x-ϕ+) 的图象,再根据所得图象关于y轴对称,可得-ϕ+=kπ,k∈Z,故ϕ=,f(x)=2cos(2x+).在区间[-,0]上,2x+∈[-,],cos(2x+)∈[-,1],故f(x) 的最小值为2×(-)=-,故选C.7.C 由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的,圆锥的底面半径为2,高为2,所以圆锥的母线长为2.所以几何体的表面积为6×42-π×22+π×2×2=96-4π+4π.故选C.8.D 由程序框图可得x=2,y=0时满足条件y<1 024,执行循环体得x=-1,y=1;满足条件y<1 024,执行循环体,x=,y=2;满足条件y<1 024,执行循环体,x=2,y=3;满足条件y<1 024,执行循环体,x=-1,y=4;…;观察规律可知,x的取值周期为3,由于1 024=341×3+1,可得满足条件y<1 024,执行循环体,x=-1,y=1 024;不满足条件y<1 024,退出循环,输出x的值为-1.故选D.9.C 将(1-2x)2017=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a2016(x-1)2016+ a2017(x-1)2017(x∈R)两边求导可得-2×2 017(1-2x)2016=a1+ 2a2(x-1)+…+2 017a2 017(x-1)2 016,令x=0,则-4 034=a1-2a2+3a3-4a4+…-2 016a2 016+2 017a2 017,故选C.10.C 设g(x)=,所以g′(x)=,所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,因为0<m<n<2,所以无法比较g(m)与g(n)的大小,即无法判断me n与ne m的大小.设f(x)=,所以f′(x)=>0在(0,2)上恒成立,所以f(x)在(0,2)上单调递增,所以f(m)<f(n),所以<,即mln n>nln m.,故选C.11.B如图,过M作MD⊥直线x=,由题意:M(x0,2)在抛物线上,则8=2px0, 则px0=4,①由抛物线的性质可知,|DM|=x0-,=2,则|MA|=2|AF|=|MF|=(x0+),因为被直线x=截得的弦长为|MA|,则|DE|=|MA|=(x0+),由|MA|=|ME|=r,在Rt△MDE中,|DE|2+|DM|2=|ME|2,即(x0+)2+(x0-)2=(x0+)2,代入整理得4+p2=20.②由①②,解得x0=2,p=2,所以|AF|=(x0+)=1,故选B.12.D 设每支队伍胜x场,负y场,平z场(x,y,z都是不大于9的自然数),则x+y+z=9,对于A,某支队伍得分18分为满分,也就是胜了9场,那么其他9队至少有一次负,就不可能再得18分,故错误;对于B,总共要进行=45场比赛,每场比赛的得分和都是2分,最后总得分为45×2=90(分),故错误;对于C,最高得分可能超过10分,比如A中可能为18分,故错误;对于D,由B可知,各个队伍得分总和m1+m2+…+m10=90,这10个数中,若有(2k+1)个偶数,则有10-(2k+1)=(9-2k)个奇数,其和必为奇数,不可能等于90,所以这10个数中,有偶数个偶数,正确.故选D.13.解析:因为|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为120°,所以a·b=|a||b|cos 120°=1×2×(-)=-1.因为a+b+c=0,所以-b=a+c,所以-a·b=a·(a+c),所以-(-1)=a2+a·c,所以a·c=0.所以a⊥c.所以a与c的夹角为90°.答案:90°14.解析:令s=x+y,t=x-y,则点P(x+y,x-y)为P(s,t),由s=x+y,t=x-y,得s≤1,x=,y=,又x≥0,y≥0,所以s+t≥0,s-t≥0,所以s,t满足约束条件作出可行域如图,A(1,1),B(1,-1),O(0,0).所以点P(x+y,x-y)所在区域的面积为×2×1=1.答案:115.解析:由题得以F1F2为直径的圆的圆心是(0,0),半径为c,故圆的标准方程为x2+y2=c2,又双曲线的其中一条渐近线方程为y=x,联立可得M(a,b).故MA2垂直于A1A2,所以tan∠MA1A2==tan 45°,所以b=2a,c= a.故双曲线的离心率为.答案:16.解析:设底面边长为a,则高h==,所以体积V=a2h=,设y=12a4-a6,则y′=48a3-3a5,当y取最值时,y′=48a3-3a5=0,解得a=0或a=4时,当a=4时,体积最大,此时h==2.答案:217.解:(1)设等差数列{a n}的公差是d.依题意 a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,从而d=-3.所以 a2+a7=2a1+7d=-23,解得 a1=-1.所以数列{a n}的通项公式为 a n=-3n+2.(2)由数列{a n+b n}是首项为1,公比为c的等比数列,得a n+b n=c n-1,即-3n+2+b n=c n-1,所以 b n=3n-2+c n-1.所以 S n=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+c+c2+…+c n-1)=+(1+c+c2+…+c n-1).从而当c=1时,S n=+n=;当c≠1时,S n=+.18.解:(1)由题意,=60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100,样本方差s2=(60-100)2×0.02+(70-100)2×0.08+(80-100)2×0.14+(90-100)2×0.15+(100-100)2×0.24+(110-100)2×0.15+(120-100)2×0.1+(13 0-100)2×0.08+(140-100)2×0.04=366.(2)①Z～N(100,366),P(81<Z<119)=P(100-19<Z<100+19)=0.682 7;②数学总分位于区间(81,119)的概率为0.682 7,X～(2 400,0.682 7),E(X)=2 400×0.682 7=1 638.48.19.(1)证明:因为PA=PD,Q为AD的中点,所以PQ⊥AD,又因为底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,所以BQ⊥AD,又因为PQ∩BQ=Q,所以AD⊥平面PQB,又因为AD⊂平面PAD,所以平面PQB⊥平面PAD.(2)解:因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ⊥AD,所以PQ⊥平面ABCD.以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QP为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图.则由题意知Q(0,0,0),P(0,0,),B(0,,0),C(-2,,0).设=λ(0<λ<1),则M(-2λ,λ,(1-λ)),平面CBQ的一个法向量是n1=(0,0,1),设平面MQB的一个法向量为n2=(x,y,z),则取n2=(,0,),因为二面角M BQ C大小为60°,所以==,解得λ=,此时=.20.解:(1)连接QF,根据题意,|QP|=|QF|,则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4>|EF|=2,故动点Q的轨迹Γ是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆.设其方程为+=1(a>b>0),可知a=2,c=1,所以b==,所以点Q的轨迹Γ的方程为+=1.(2)假设存在T(t,0)满足∠OTS=∠OTR.设R(x1,y1),S(x2,y2)联立得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,由韦达定理有①,其中Δ>0恒成立,由∠OTS=∠OTR(显然TS,TR的斜率存在),故k TS+k TR=0即+=0 ②,由R,S两点在直线y=k(x-1)上,故y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)代入②得==0,即有2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0③,将①代入③,即有==0 ④, 要使得④与k的取值无关,当且仅当t=4时成立,综上所述存在T(4,0),使得当k变化时,总有∠OTS=∠OTR.21.解:(1)当a=e时,f(x)=e x-e(x+1)ln e-=e x-e(x+1)-,所以f′(x)=e x-e.令f′(x)=0,解得x=1.当x∈[0,1]时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(1,2]时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,因为f(0)=1-e-,f(2)=e2-3e-,所以f(2)-f(0)=e2-3e--1+e+=e2-2e-1>0,所以函数y=f(x)在区间x∈[0,2]上的最大值为e2-3e-.(2)f′(x)=a x ln a-eln a=ln a(a x-e),当0<a<1时,由f′(x)=a x ln a-eln a=ln a(a x-e)<0,得a x-e>0,即x<.由f′(x)=a x ln a-eln a=ln a(a x-e)>0,得a x-e<0,即x>.所以f(x)在(-∞,)上为减函数,在(,+∞)上为增函数,所以当x=时函数取得最小值为f()=-e(+1)ln a-=-eln a-e-.要使函数f(x)只有一个零点,则-eln a-e-=0,得a=;当a>1时,由f′(x)=a x ln a-eln a=ln a(a x-e)<0,得a x-e<0,即x<. 由f′(x)=a x ln a-eln a=ln a(a x-e)>0,得a x-e>0,即x>.所以f(x)在(-∞,)上为减函数,在(,+∞)上为增函数,所以当x=时函数取得最小值为f()=-e(+1)ln a-=-eln a-e-.要使函数f(x)只有一个零点,则-eln a-e-=0,得a=(舍去).综上,若函数f(x)只有一个零点,则a=.22.解:(1)曲线C1的参数方程为(ϕ为参数),利用平方关系消去ϕ可得(x-)2+(y+1)2=9,展开为x2+y2-2x+2y-5=0,可得极坐标方程ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ-5=0.曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos θ,即ρ2=2ρcos θ,可得直角坐标方程x2+y2=2x.(2)把直线θ=(ρ∈R)代入ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ-5=0,整理可得ρ2-2ρ-5=0,所以ρ1+ρ2=2,ρ1·ρ2=-5.所以|PQ|=|ρ1-ρ2|===2.23.解:(1)研究函数y=|x+5|-|x-1|,当x≤-5时,y=-6,当x≥1时,y=6,当-5<x<1时,y=2x+4∈(-6,6),故函数y=|x+5|-|x-1|的值域为[-6,6],因为函数f(x)=的定义域为R,所以被开方的式子恒大于等于0,故t≥6.(2)由(1)知正实数a,b满足+=6,令a+2b=m,2a+b=n,则正数m,n满足+=6,则4a+5b=2m+n=(2m+n)(+)=(5++)≥(5+2)=,当且仅当=即m=n=时取等号,此时a=b=,故4a+5b的最小值为.2020年高考理科数学仿真冲刺卷及答案(二) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.i是虚数单位,若复数z满足zi=-1+i,则复数z的实部与虚部的和是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)32.已知集合A={a,4},B={2,a2},且A∩B={4},则A∪B等于( )(A){2,4} (B){-2,4}(C){-2,2,4} (D){-4,2,4}3.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题:“三百七十八里关,出行健步不为难,次日脚疼减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚疼每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”此人第二天走了( )(A)76里(B)96里(C)146里(D)188里4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某空间几何体的三视图,则该几何体的体积为( )(A)40 (B) (C) (D)5.已知实数x,y满足不等式组则2x-y的取值范围是( )(A)[-1,3] (B)[-3,-1](C)[-1,6] (D)[-6,1]6.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的六天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,不同的安排方法共有( )(A)20种(B)30种(C)40种(D)60种7.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺:礼、乐、射、御、书、数,简称“六艺”,某中学为弘扬“六艺”的传统文化,分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”的六场传统文化知识竞赛,现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定:每场知识竞赛前三名的得分都分别为a,b,c(a>b>c,且a,b,c∈N*);选手最后得分为各场得分之和,在六场比赛后,已知甲最后得分为26分,乙和丙最后得分都为11分,且乙在其中一场比赛中获得第一名,则下列推理正确的是( )(A)每场比赛第一名得分a为4(B)甲可能有一场比赛获得第二名(C)乙有四场比赛获得第三名(D)丙可能有一场比赛获得第一名8.利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)59.已知直线l过点A(-1,0)且与圆B:x2+y2-2x=0相切于点D,以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D,一条渐近线平行于l,则E的方程为( )(A)-=1(B)-=1(C)-x2=1(D)-=110.正四面体ABCD中,M是棱AD的中点,O是点A在底面BCD内的射影,则异面直线BM与AO所成角的余弦值为( )(A) (B)(C) (D)11.设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若曲线y=sin x上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是( )(A)[1,e](B)[e-1-1,1](C)[1,e+1](D)[e-1-1,e+1]12. 在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AB=BC=2AD=2,E,F分别为BC,CD的中点,以A为圆心,AD为半径的圆交AB于G,点P在上运动(如图).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则6λ+μ的取值范围是( )(A)[1,] (B)[,2](C)[2,2] (D)[1,2]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者,若用随机量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望E(ξ)= . (结果用最简分数表示)14.已知α∈R,则函数f(x)=1-sin2(x+α)+cos(x+α)sin(x+α)的最大值为.15.设R n是等比数列{a n}的前n项的积,若25(a1+a3)=1,a5=27a2,则当R n取最小值时,n= .16. 我国唐代诗人王维诗云:“明月松间照,清泉石上流”,这里明月和清泉,都是自然景物,没有变,形容词“明”对“清”,名词“月”对“泉”,词性不变,其余各词均如此.变化中的不变性质,在文学和数学中都广泛存在.比如我们利用几何画板软件作出抛物线C:x2=y的图象(如图),过焦点F作直线l交C于A,B两点,过A,B分别作C的切线,两切线交于点P,过点P作x轴的垂线交C于点N,当动点B在C上运动时,会发现是一个定值,该定值是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos 2A=3cos(B+C)+1.(1)求角A的大小;(2)若cos Bcos C=-,且△ABC的面积为2,求a.18.(本小题满分12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分. 如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.19. (本小题满分12分)在四棱锥P ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,BC=2AD=4,AB=CD=.(1)证明:BD⊥平面PAC;(2)若二面角A PC D的大小为60°,求AP的值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上、下两个焦点分别为F1,F2,过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M,N两点,△MNF2的面积为,椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知O为坐标原点,直线l:y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆C交于A,B两个不同的点,若存在实数λ,使得+λ=4,求m的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数g(x)=ln x-ax2+(2-a)x,a∈R.(1)求g(x)的单调区间;(2)若函数f(x)=g(x)+(a+1)x2-2x,x1,x2(x1<x2)是函数f(x)的两个零点,f′(x)是函数f(x)的导函数,证明:f′()<0.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρsin2θ- 3cos θ=0.(1)求曲线C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程;(2)求直线l与曲线C交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.仿真冲刺卷(二)1.C 复数z满足zi=-1+i,可得z===1+i.复数z的实部与虚部的和是1+1=2.故选C.2.C 因为集合A={a,4},B={2,a2},且A∩B={4},所以a2=4,解得a=2或a=-2,当a=2时,A={2,4},B={2,4},不合题意,舍去;当a=-2时,A={-2,4},B={2,4},则A∪B={-2,2,4}.故选C.3.B 由题意可得:此人每天所走的路程成等比数列{a n}, 其中q=,S6=378.则=378,解得a1=192.所以a2=192×=96.故选B.4.B根据几何体的三视图,可知该几何体是三棱柱BCE AGF割去一个三棱锥A BCD所得的图形,如图所示;所以V几何体=×4×4×4-××(×4×4)×4=.故选B.5.C 设z=2x-y,则y=2x-z,作出不等式组表示的平面区域(阴影部分)如图,平移直线y=2x,由图象可知当直线y=2x-z经过点B(0,1)时,直线y=2x-z在y轴上的截距最大,此时z最小,z min=0-1=-1,当直线y=2x-z经过点C(3,0)时,直线y=2x-z在y轴上的截距最小,此时z最大,z max=2×3-0=6,即-1≤2x-y≤6.故选C.6.C 根据题意,先在周一至周六的六天中任选3天,安排三人参加活动,有=20(种)情况,再安排甲、乙、丙三人的顺序,由于甲安排在另外两位前面,则甲有1种情况,乙、丙安排在甲的后面,有=2(种)情况,则不同的安排方法共有20×2=40(种).故选C.7.C 若每场比赛第一名得分a为4,则甲最后得分最高为4×6=24<26,故A不正确;三人总分为26+11+11=48,那么6(a+b+c)=48,可知a+b+c=8即每场总分数为8分,结合a>b>c可知a=5,b=2,c=1,因此甲比赛名次为5个第一,一个第三,故B不正确;而乙比赛名次有1个第一,所以丙没有一场比赛获得第一名,故D不正确;乙比赛名次为1个第一,4个第三,1个第二,C正确.故选C.8.C 由程序框图知,i=6时,打印第一个点(-3,6),在圆x2+y2=25外,i=5时,打印第二个点(-2,5),在圆x2+y2=25外,i=4时,打印第三个点(-1,4),在圆x2+y2=25内,i=3时,打印第四个点(0,3),在圆x2+y2=25内,i=2时,打印第五个点(1,2),在圆x2+y2=25内,i=1时,打印第六个点(2,1),在圆x2+y2=25内,i=0,结束,所以打印的点在圆x2+y2=25内有4个.故选C.9.D 由题意可设直线l:y=k(x+1),圆B:x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,由相切的条件可得,=1,解得k=±.直线l的方程为y=±(x+1),联立x2+y2-2x=0,解得x=,y=±,即D(,±).由题意可得渐近线方程为y=±x.设双曲线的方程为y2-x2=m(m≠0),代入D的坐标,可得m=-=.则双曲线的方程为-=1.故选D.10.B取BC中点E,DC中点F,连接DE,BF,则由题意得DE∩BF=O,取OD中点N,连接MN,则MN∥AO,所以∠BMN是异面直线BM与AO所成角(或所成角的补角), 设正四面体ABCD的棱长为2,由BM=DE==,OD=DE=,所以AO==,所以MN=AO=,因为O是点A在底面BCD内的射影,MN∥AO,所以MN⊥平面BCD,所以cos∠BMN===,所以异面直线BM与AO所成角的余弦值为.故选B.11.A 由点(x0,y0)在曲线y=sin x上,得y0=sin x0,y0∈[0,1],由题意存在y0∈[0,1]使f(f(y0))=y0成立,则点A(y0,f(y0)),A′(f(y0),y0)都在y=f(x)的图象上, 又f(x)=在[0,1]上单调递增,所以[f(y0)-y0][y0-f(y0)]≥0,即[f(y0)-y0]2≤0,所以f(y0)=y0,即f(x)=x在x∈[0,1]上有解,即=x在[0,1]上有解,也即a=e x+x-x2,x∈[0,1]有解,令ϕ(x)=e x+x-x2,x∈[0,1],则ϕ′(x)=e x+1-2x≥0,x∈[0,1],所以ϕ(x)在[0,1]上单调递增.又ϕ(0)=1,ϕ(1)=e,所以ϕ(x)∈[1,e],即a∈[1,e].故选A.12.C建立如图所示的坐标系,则A(0,0),B(2,0),E(2,1),C(2,2),D(0,1),F(1,),设P(cos θ,sin θ),其中0≤θ≤,=(cos θ,sin θ),=(2,1),=(-1,),因为=λ+μ,所以(cos θ,sin θ)=λ(2,1)+μ(-1,),即解得所以6λ+μ=2sin θ+2cos θ=2sin(θ+), 因为0≤θ≤,所以≤θ+≤π,所以2≤2sin(θ+)≤2,即6λ+μ的取值范围是[2,2].故选C.13.解析:根据题意,ξ的取值为0,1,2,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,所以E(ξ)=0×+1×+2×=.答案:14.解析:f(x)=1-sin2(x+α)+cos(x+α)sin(x+α) =1-+sin 2(x+α)=+sin 2(x+α)+cos 2(x+α)=+sin(2x+2α+).当2x+2α+=+2kπ,k∈Z,即x=-α++kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值为. 答案:15.解析:因为a5=27a2,所以=q3=27,所以q=3.因为25(a1+a3)=1,所以25a1(1+q2)=1,所以a1=.所以a n=·3n-1,若使R n取得最小值,则则a n=·3n-1≤1,a n+1=·3n≥1;因为a1>0,q>1,所以{a n}是单调递增数列,又a6=×36-1=0.972,a7=×37-1=2.916,所以n=6;故当R n取最小值时,n=6,答案:616.解析:线段AB是过抛物线x2=y焦点F的弦,过A,B两点分别作此抛物线的切线,两切线相交于P点.P点在抛物线的准线上.证明:由抛物线x2=y,得其焦点坐标为F(0,).设A(x1,),B(x2,),直线l:y=kx+代入抛物线x2=y得x2-kx-=0.所以x1x2=-,①又抛物线方程为y=x2,求导得y′=2x,所以抛物线过点A的切线的斜率为2x1,切线方程为y-=2x1(x-x1),②抛物线过点B的切线的斜率为2x2,切线方程为y-=2x2(x-x2),③由①②③得y=-.所以P的轨迹方程是y=-,即P在抛物线的准线上; 根据抛物线的定义知|NF|=|NP|,所以是一个定值1.答案:117.解:(1)由cos 2A=3cos(B+C)+1得,2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,所以,cos A=或cos A=-2(舍去),因为A为三角形内角,所以A=.(2)由(1)知cos A=-cos(B+C)=,则cos(B+C)=cos Bcos C-sin Bsin C=-;由cos Bcos C=-,得sin Bsin C=,由正弦定理,有==,则b=,c=.由三角形的面积公式得S=bcsin A==a2,即a2=2,解得a=4.18.解:(1)记A i为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1--=;记B i为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3), 则P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1--=.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”.由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的独立性和互斥性,P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)=×+×+×+×=.所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为.(2)由题意,随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6,由事件的独立性和互斥性,得P(ξ=0)=P(A0B0)=×=,P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=×+×=,P(ξ=2)=P(A1B1)=×=,P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=×+×=,P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=×+×=,P(ξ=6)=P(A3B3)=×=.可得随机变量ξ的分布列为:ξ0 1 2 3 4 6 P所以数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.19.(1)证明:设O为AC与BD的交点,作DE⊥BC于点E.由四边形ABCD是等腰梯形得CE==1,DE==3,所以BE=DE,从而得∠DBC=∠BCA=45°,所以∠BOC=90°,即AC⊥BD.由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD,因为AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC.(2)由(1)知AC⊥BD.以O为原点,OB,OC所在直线为x,y轴,建立空间直角坐标系O xyz,如图所示.由题意知各点坐标如下:A(0,-,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(-,0,0).由PA⊥平面ABCD,得PA∥z轴,故设点P(0,-,t)(t>0).=(-,-2,0),=(-,,-t),设m=(x,y,z)为平面PDC的法向量,由m⊥,m⊥知,取y=1,得m=(-2,1,).又平面PAC的法向量为n=(1,0,0),于是|cos<m,n>|===.解得t=,即AP=.20.解:(1)根据已知设椭圆的焦距为2c,当y=c时,|MN|=|x1-x2|=,由题意得,△MNF2的面积为×|MN|×|F1F2|=c|MN|==,又因为=,解得b2=1,a2=4,所以椭圆C的标准方程为x2+=1.(2)当m=0时,则P(0,0),由椭圆的对称性得=, 即+=0,所以m=0时,存在实数λ,使得+λ=4,当m≠0时,由+λ=4,得=+,因为A,B,P三点共线,所以1+λ=4,⇒λ=3⇒=3,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0,由已知得Δ=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0,即k2-m2+4>0,且x1+x2=,x1x2=.由=3得x1=-3x2,3(x1+x2)2+4x1x2=0,所以+=0⇒m2k2+m2-k2-4=0,显然m2=1不成立,所以k2=,因为k2-m2+4>0,所以-m2+4>0,即>0.解得-2<m<-1或1<m<2.综上所述,m的取值范围为(-2,-1)∪(1,2)∪{0}.21.(1)解:函数g(x)=ln x-ax2+(2-a)x的定义域为(0,+∞), g′(x)=-2ax+(2-a)=-,①当a≤0时,x∈(0,+∞),g′(x)>0,则g(x)在(0,+∞)上单调递增;②当a>0时,x∈(0,)时,g′(x)>0,x∈(,+∞)时,g′(x)<0,则g(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减.(2)证明:f(x)=ln x+x2-ax.由x1,x2(x1<x2)是函数f(x)的两个零点,得f(x1)=ln x1+-ax1=0,f(x2)=ln x2+-ax2=0,两式相减得a=+x1+x2,因为f′(x)=+2x-a,所以f′()=-,故要证明f′()<0,只需证明-<0,(0<x1<x2),即证明>ln x1-ln x2,即证明>ln,(*)令=t∈(0,1),即证>ln t成立,即证2(t-1)>(t+1)ln t, 令h(t)=(1+t)ln t-2t+2,令h′(t)=ln t+-1,h″(t)=-<0,故h′(t)在(0,1)上递减,h′(t)>h′(1)=0,故h(t)在(0,1)上递增,h(t)<h(1)=0,故2(t-1)>(t+1)ln t,即f′()<0.22.解:(1)直线l的参数方程为(t为参数), 普通方程为3x-2y-9=0,极坐标方程为3ρcos θ-2ρsin θ-9=0,曲线C的极坐标方程是ρsin2θ-3cos θ=0,即ρ2sin2θ=3ρcos θ,曲线C的直角坐标方程为y2=3x.(2)两极坐标方程联立,可得ρ2sin2θ-2ρsin θ-9=0, 所以ρsin θ=3或-,即y=3或-,所以x=9或1,所以交点坐标为(9,3),(1,-),所以直线l与曲线C交点的极坐标为(6,),(2,).23.解:(1)当a=-3时,f(x)=当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1,当2<x<3时,f(x)≥3无解,当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4,综上知f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|,当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔|x+a|≤2⇔-2-a≤x≤2-a,由条件得-2-a≤1且2-a≥2即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].2020年高考理科数学仿真冲刺卷及答案(三)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.集合A={x|2x2-3x≤0,x∈Z},B={x|1≤2x<32,x∈Z},集合C满足A ⊂C⊆B,则C的个数为( )(A)3 (B)4 (C)7 (D)82.欧拉是一位杰出的数学家,他发明的公式e ix=cos x+isin x(i为虚数单位),将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知,e-4i表示的复数在复平面中位于( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限3.随着人民生活水平的提高,对城市空气质量的关注度也逐步增大,如图是某城市2016年1月至8月的空气质量检测情况,图中一、二、三、四级是空气质量等级,一级空气质量最好,一级和二级都是质量合格天气,下面叙述不正确的是( )(A)1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个(B)第二季度与第一季度相比,空气达标天数的比重下降了(C)8月是空气质量最好的一个月(D)6月份的空气质量最差4.若a=(-cos x)dx,则(ax+)9展开式中x3项的系数为( )(A)-(B)-(C) (D)5.若圆(x-3)2+y2=1上只有一点到双曲线-=1的一条渐近线的距离为1,则该双曲线离心率为( )(A)(B)(C) (D)6.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )(A)28+6 (B)30+6(C)56+12(D)60+127.我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的值的秦九韶算法,即将f(x)改写成如下形式:f(x)=(…((a n x+a n-1)x+a n-2)x+…+a1)x+a0,首先计算最内层一次多项式的值,然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如图,则在空白的执行框内应填入( )(A)v=vx+a i(B)v=v(x+a i)(C)v=a i x+v (D)v=a i(x+v)8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=-,则角A的最大值是( )。

2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1．设全集为R ，M = {x | f (x ) ≠ 0}，N = {x | g (x ) ≠0}.则集合{x | f（x ）·g （x ）= 0}= （ ）A ．M ∪NB ．M ∩NC ．M ∪ND ．M ∩N2．函数f (x ) = | x - 3 | - | x - 1|，x ∈R ，则f （x ） （ ）A ．有最小值0，最大值4B ．有最小值-4，最大值C ．有最小值-4，最大值4D ．没有最小值及最大值3．已知a ＞0，b ＞0，且a + b = 1，若a 2 + b 2≥k ，则k 的最大值是（ ）A ．1B ．21C ．41D ．814．已知f （cos x ）= cos 2x ，则f (sin 12) = （ ）A ．23B ．-23C ．21D ．-215．双曲线的两条渐近线的夹角为α，则其离心率为 （ ）A ．sec 2αB ．tg 2αC ．tg 2α或ctg 2αD ．sec 2α或csc 2α6．定义在（-∞, +∞）上的函数f （x ）在（-∞，2）上是增函数，且函数f （x +2）为偶函数，则 （ ）A ．f （-1）＜ f （3）B ．f （0）＞ f （3）C ．f （-1）= f （-3）D ．f （2）＜ f （3）7．正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CC 1的中点，则过E 、F 、G 的截面与底面ABCD 所成二面角的正切值是（ ）A ．33B ．22C ．1D ．28．设{a n }是正数组成的等差数列，{b n }是正数组成的等比数列，且a 1= b 1，a 2n +1 = b 2n +1,则有 （ ）A ．a n +1≥b n +1B ．a n +1≤b n +1C ．a n +1＞b n +1D ．a n +1＜b n +19．设集合A = {z | z = i 5k -4，0＜k ≤8且k ∈N}，则A 中所有元素之和为（）A．0 B．1 C．-1 D．4i10．方程121||22=-+-mymx表示焦点y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．1＜m＜2C．m＜-1或1＜m＜2 D．m＜-1或1＜m＜2311．由父母及孩子组成的两个三口之家要分乘两辆小轿车外出游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能单独坐同一辆车，则不同的乘车方法共有（）A．40种B．48种C．60种D．68种12．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y = 3000 + 20x - 0.1x2，其中0＜x＜240，x∈N，若每台产品的售价为25万元，则生产不亏本（销售收入不小于总成本）的最低产量是（）A．100台B．120台C．150台D．180台第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题4分，共16分）13．函数y = θθ2cos 4sin 3-的最大值是____________。

理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足 x2 2x 3 0 ，(x 3)(x 1) 0 ，解得x3或x 1 ，则C UA {x|1 x3}，集合B满足1 2x 20，2x 2x 2 20 0，解得x1，可知(CUA)B {x |1 x 3} .故选 D.2. 【答案】B【解析】由题可得 z i i2020 1 i (1 2i)(1 i) 3 1 i ，可知1 2i 1 2i555| z | (3)2 ( 1)2 10 .故选 B.5553. 【答案】A【解析】由偶函数定义可知，函数 f (x) x2 (a 1)x a 满足f (x) f (x) ，所以 x2 (a 1)x a x2 (a 1)x a 在 [2，2] 上恒成立，解得 a 1 ，所以 f (x) x2 1 ，当 f (x) 2 时，即 x2 1 2 ，解得 1 x 1，可知所求的概率为 P 1 .故选 A. 24. 【答案】B【解析】已知数列 an2n 1 ，其前 n项的和 Sn(2 11 22n 1)n n(n 2) ，则 1 1 1 ( 1 1 ) ，所以 1 1 1Sn n(n 2) 2 n n 2S1 S2Sn 1 (1 1 1 1 1 1 ) 1 (1 1 1 1 ) .故选 B.2 324n n 2 2 2 n 1 n 25. 【答案】D【解析】第一次执行， c 4，a 5，b 4，k 2 ；第二次执行，c 1，a 4，b 1，k 3 ；第三次执行， c 5，a 1，b 5，k 4 ；第四次执行， c 4，a 5，b 4，k 5 ；第五次执行，c 1，a 4，b 1，k 6 ；第六次执行， c 5，a 1，b 5，k 7 ；第七次执行， c 4，a 5，b 4，k 8 ；….故该循环具有周期性，且周期为 6，则输出的 c 的值为 4 .故选 D.6. 【答案】B【解析】设圆心到双曲线的渐近线的距离为 d ，由弦长公式可得，函数 f (x) 的最小值为 2 3 3 ，最大值为 2 3 3 .故选 D.449. 【答案】A【解析】解法一：设 D 是 ABC 的边 BC 的中点，连接GD ，因为G 是 ABC 的重心，所以 A，G，D 三点共线， AG 2 AD 2 331 (AB AC) 1 (AB AC) .又 H 是 BG 的中点，所以 AH 1 ( AB232 AG) 1 [ AB 1 (AB AC)] 1 (4AB AC)，236则 AG·AH 1 (AB AC)·1 (4AB AC)36 1 (4 | AB |2 5 | AB |·| AC | cos BAC | AC |2) 18 1 (4 22 5 2 3 1 32) 20 .故选 A.1829解法二：以点 A 为原点建立平面直角坐标系如图，由已知可得 A(0，0)，B(1， 3)，C(3，0)，G( 4 ， 3 )，H (7 ，2 3 )3363 AG ( 4 ， 3 ) ， AH (7 ，2 3 ) ，3363 AG·AH 4 7 3 2 3 20 .故选 A. 36 3 3 910.【答案】A【解析】如图所示，2 2 d 2 2 ，解得 d 1，又双曲线 C 的渐近线方程为 bx ay 0 ，圆心坐标为 (0，2) ，故 | 0 2a | 1 ，即 2a 1 ，所以双曲线 C 的离a2 b2c心率 e c 2 .故选 B. a7. 【答案】A【解析】在 (2 x3)(x a)5 中，令 x 1 ，得展开式的各项系数和为(1 a)5 32 ，解得 a 1 ，故 (x 1)5 的展开式的通项 Tr1 C5r x5r .当 r 1 时 ， 得 T2 C15x4 5x4 ， 当 r 4 时 ， 得 T5 C54x 5x ， 故 (2 x3)(x 1)5 的展开式中 x4 的系数为 25 5 5 .故选 A.8. 【答案】D【解析】由 f (x) 3 cos(x )cos x 的图象过点 (0， 3) ， 2得 cos 3 .0 π， 5π ， f (x) 3 cos(x 5π)cos x266 3( 3 cos x 1 sin x) cos x 3 cos2 x 3 sin x cos x2222 3(1 cos 2x) 3 sin 2x 3 3 sin 2x 3cos 2x443 2 3 sin(2x π ) 3 3 sin(2x π ) 3 .点 ( π ，0) 不是函数42343f (x) 图象的对称中心，直线 x π 也不是函数 f (x) 图象的对称轴， 3由图知 tan NMF b ，tan FNO c ， MFN NMF 90°，abMFN FNO 90°，NMF FNO ， b c ， ab则 b2 a2 c2 ac ，e2 e 1 0 ，得 e 5 1 .故选 A. 211.【答案】B【解析】由 a2 4ab 16b2 c 0 ，得 a2 4ab 16b2 c ，所以a2 4ab 16b2 12 a2·16b2 4ab 4ab ，可得 ab 的最大值cc ccc c cc为 1 ，当且仅当 a 4b 时取等号，且 c 16b2 ，则 c 4a 3244b 416b2 16b 32 4(b2 b 2) 4[(b 1)2 3(b 1) 4]4b 4b 1b 1 4[(b 1) 4 3] 4(2 (b 1)· 4 3) 4 ，当且仅当 b 1时b 1b 1取得最小值为 4.故选 B.理科数学答案第 1 页（共 3 页）12.【答案】B【解析】易知 f (0) 1 ，故函数 f (x) 有三个不同的零点，可以转化为 | 2x m | 1 有三个不同的非零实数根，即函数 y | 2x m | 与xy 1 (x 0) 的图象有三个不同的交点.易知，当 x m 时，直线x2y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 有且仅有一个交点，当 0 x m 时，x2直线 y 2x m 与曲线 y 1 (x 0) 必须有两个不同的交点.而当x直线y 2x m 与曲线y1 (x 0) x相切时，1 x22 ，解得x 2 ，此时 m 2 2 ，结合图象可知 m 2 2 .故选 B. 2二、填空题13.【答案】 26【解析】由题可得 23 3k 0 ，可得 k 2 ，则 a b (5，1) ， a b 52 1 26 .14.【答案】 234【解析】由题得 x 3 4 a 6 ， y 2.5 3 4 4.5 3.5 ，这组44数据的样本中心点是 (x，3.5) ，代入回归直线方程可得 3.5 0.7（2）由 b 2 ， A π ，S 3ABC1 bc sin A 3 223，得 c 1 3 .-------------------------------------------------------------8 分M 是 AB 的中点， AB c 1 3， AM 1 3 ，-------------------------------------------------------10 分 2在 AMC 中，由余弦定理得， CM 2 b2 AM 2 2b AM cos A 4 (1 3 )2 2 2 1 3 1 4 3 .------------------------12 分222218.【解析】（1） 四边形 ABCD 是矩形， AB CD .CD 平面 DCFE，AB 平面 DCFE ， AB 平面 DCFE .----------------------------------------------------2 分又 AB 平面 ABFE ，平面 ABFE 平面 DCFE EF ， AB EF ，又 AB 平面 ABCD，EF 平面 ABCD ，EF 平面 ABCD .----------------------------------------------------5 分（2）过点 E 作 EO CD 于点 O ，平面 ABCD 平面 DCFE ，EO 平面 ABCD .过点 O 作 OH AD ，交 AB 于点 H ，四边形 ABCD 是矩形，OH CD .以 O 为坐标原点， OH ，OC，OE 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.3 4 a 6 0.35 ，解得 a 5 ，所以样本的中位数为 4 5 4.5 ，42方差为 1 [(3 4.5)2 (4 4.5)2 (5 4.5)2 (6 4.5)2] 5 ，故样本44x 的方差与中位数的和为 23 . 415.【答案】 2【解析】由 S3 ，S9 ，S6 成等差数列，得 2S9 S3 S6 .设等比数列{ an }的公比 q 1 ，则 Sn na1 .由 2 9a1 3a1 6a1 ，解得 a1 0 .又因为a2a540，所以 q 1 .所以Sna1(1 qn ) 1 q，所以 2a1(1 q9) 1 qa1(1 q3) 1 qa1(1 q6) 1 q，解得q31（ 2q3 1 舍去）.又因为a2a5 4 ，即 a1q(1 q3) 4 ，所以 a1q 8 ，则 a8 a1q7 (a1q)·(q3)2 8 ( 1)2 2 .216.【答案】 21 3【解析】如图过等边三角形 ABD 的中心 F 作平面 ABD 的垂线 l ，取 BD 的中点 E ，过点 E 作平面 CBD 的垂线 l .设 l l G ，则点G 为四面体 ABCD 的外接球的球心.因为 ABD 是边长为 2 的等边三角形，所以 EF 3 .因为二面角 A BD C 的大小为150°，所 3以 GEF 60°.所以在 Rt EFG 中， GF EF·tan60°1 .所以四面体 ABCD 的外接球的半径为 GA GF 2 AF 2 1 4 21 .33设 BC 1，则 EF ED FC BC 1 ，AB 2BC 2 ，由（1）知， EF CD .在梯形 CDEF 中， EF ED FC 1， DC 2 ， DO 1 ，EO 3 ，--------------------------------------------------7 分22于是 E(0，0， 3 ) ， A(1， 1 ，0) ， C(0，3 ，0) ， F (0，1， 3 )2222则 AE (1，1 ， 3 ) ，CF (0， 1 ， 3 ) .-------------------------10 分2222设异面直线 AE 与 CF 所成的角为 ，则 cos AE·CF1 3 4 42.| AE || CF |24故异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 2 .-------------------12 分 419.【解析】（1）完成 2 2 列联表如下：前 20 名后 30 名总计男生82028女生121022总计203050三、解答题 17.【解析】（1） 4a cos2 B 2a b 2c ，2 2c b 2acosB ，--------------------------------------------------2 分 由正弦定理得， 2sinC sin B 2cos Bsin A ，又 C π A B ， 2sin(A B) sin B 2cos Bsin A ，------------------------------4 分2sin Bcos A sin B . sin B 0 ，cos A 1 ，A π .-----------------------------------6 分 23--------------------------------------------------------------------------------2 分由列联表得 K 2 50 (8 10 20 12)2 3.463 . 28 22 20 303.463 2.706 ， 在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，可以认为该班“成绩是否优等与性别有关”.--------------------------------5 分（2） 的可能取值为 0，1，2， P( 0) C36 5 ， C83 14P( 1)C12C62 C8315 28，P(2)C22C16 C833 28.----------------------8分 的分布列为0125153P142828-------------------------------------------------------------------------------10 分理科数学答案第 2 页（共 3 页）E( ) 1 15 2 3 3 .-------------------------------------------12 分 28 28 420.【解析】（1） 抛物线 ：x2 2 py( p 0) 的焦点为 F(0，1) ，抛物线 的方程为 x2 4y .-----------------------------------------2 分由直线 l1 的斜率为 k1 ，且过 F(0，1) ，得 l1 的方程为 y k1x 1 ，代 入 x2 4y ，化简得 x2 4k1x 4 0 ， 设 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2) ，则 x1 x2 4k1 ， y1 y2 k1(x1 x2) 2 4k12 2 ，-------------------------------------4 分 | AB | y1 y2 2 4k12 4 .又 k1 3 ，| AB |16 .-------------------------------------------------6 分（2）设P( x0，x02 4)，将的方程x2 4y 化为yx2 4，求导得 y x ，------------------------------------------------------------8 分 2斜率为 k2 的直线 l2 与 相切于点 P ， k2x0 2，则P(2k2 ，k22 ) ，由（1）知 x1 x2 4k1 ，且 Q 为 AB 的中点，易得 Q(2k1 ，2k12 1) ，∵直线 PQ 过 (0，2) ， k22 2 2k12 1 ，------------------------10 分2k22k1整理得 (k1k2 1)(k2 2k1) 0 ，l2 与 l1 不垂直，k1k2 1 0 ，则k2 2k1 0 ，即k1 k21 2.---------------------------------------------12分21.【解析】（1）由题可得 f (x) ex b ，当 b 0 时， f (x) 0 ，f (x) 在 (∞， ∞) 上单调递增；------------------------------------2 分 当 b 0 时，若 x ln(b) ，则 f (x) 0 ， f (x) 在 (ln(b)， ∞) 上单调递增，若 x ln(b) ，则 f (x) 0， f (x) 在 (∞，ln(b)) 上单调递减.------------------------------------------------------------------------4 分（2）令 g(x) ex bx 1 ln x(x 0) ，则 g(x) ex b 1 ，易知 xg(x) 单调递增且一定有大于 0 的零点，不妨设为 x0 ，则 g(x0) 0 ，即 ex0b1 x00，b1 x0 ex0，故若g(x)有两个零点，则g(x0) 0 ，即 ex0 bx0 1 ln x0e x0( 1 x0 ex0 ) x0 1 ln x0 ex0 ex0 x0 ln x0 0 ，--------------------------------------------------6 分令 h(x) ex exx ln x(x 0) ，则 h(x) ex x 1 0 ， xh(x) 在 (0， ∞) 上单调递减.又 h(1) 0 ，ex0 ex0 x0 ln x0 0 的解集为 (1， ∞) ， --------------------------------------------------------------------------------8 分b 1 ex0 ，b 1 e . x0当 b 1 e 时，有 ex bx 1 ln x x bx ln x ，则 g(eb) eb beb lneb (b 1)eb b ，----------------------------10 分令 m(x) (x 1)ex x (x 1)(ex 1) 1 ，由于 x 1 e ，x 1 2 e 0 ， ex 1 ，故 m(x) (x 1)ex x 0 ， g(eb) 0 ，故 g(eb)g(x0) 0，g(x) 在 (0，x0) 上有唯一零点， 另一方面，当 x ∞ 时， g(x) ∞ ，b 1 e .-----------12 分22.【解析】（1）曲线 C：(x 2)2 ( y 1)2 9 ，-----------------------2 分故 x2 y2 4x 2y 4 0 ，即曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 2 sin 4 0 .-------4 分（2）由题可知直线 l 的斜率存在，否则无交点.设直线 l 的方程为 y 1 k(x 2) ，即 kx y 2k 1 0 .--------6 分而| AB | 2 ，则圆心到直线 l 的距离 d r2 AB 2 2 91 2 2 .--------------------------------------------------------------------------------8 分又 d | 4k | ， | 4k | 2 2 ，解得 k 1 .k2 1k2 1直线 l 的方程为 x y 1 0 或 x y 3 0 .-------------------10 分23.【解析】（1）当 a 2 时，3，x 2 f (x) | x 2 | | x 1| 1 2x，1 x 2 .3，x 1 f (x) 1，当 x 2 时，不等式无解；--------------------------2 分当 1 x 2 时，令1 2x 1，解得 x 0 ，不等式的解集为1 x 0 ；当 x 1时， 3 1 ，符合题意. 综上可得，不等式 f (x) 1 的解集为 (∞，0] .---------------------5 分 （2） f (x) a2 1 0 恒成立等价于 f (x)max a2 1.| x a | | x 1| | (x a) (x 1) | | a 1| ， | a 1| | x a | | x 1| | a 1| .---------------------------------8 分 | a 1| a2 1 ，a2 1 a 1 a2 1(a2 1 0) ，解得 a 1或 a 2 . 实数 a 的取值范围为 (∞，1] [2， ∞) .---------------------10 分理科数学答案第 3 页（共 3 页）。

2020年全国高考数学试卷及答案(名师押题预测试卷+解析答案，值得下载)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则(A B = )A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．(1，2]D ．(2,)+∞【解析】解：，，则【答案】A ． 2．已知向量，(3,1)b =，若//a b ，则(a b = ) A ．1 B ．1-C ．10-D ．1±【解析】解：，(3,1)b =， 若//a b ，则，1m ∴=-，【答案】C ．3．已知α是第二象限角，若，则sin (α= )A ．223-B ．13-C ．13D ．223【解析】解：α是第二象限角，若可得1cos 3α=-，所以．【答案】D ．4．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若3a 与8a 的等差中项为10，则10(S = ) A ．200B ．100C ．50D ．25【解析】解：由等差数列的性质可得：，则．【答案】B ．5．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若m α⊂，//n α，则//m n ； ②若//m α，//m β，则//αβ； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ． 其中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】解：①若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，故不正确； ②若//m α，//m β，则α与β可能相交或平行，故不正确； ③若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β，m 也可能在平面内，故不正确；④若m α⊥，m β⊥，则//αβ，垂直与同一直线的两平面平行，故正确 【答案】B ．6．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是( )A．11 B．9 C．7 D．5 【解析】解：模拟程序的运行，可得1n=，0S=不满足条件37S，执行循环体，113S=⨯，3n=不满足条件37S，执行循环体，，5n=不满足条件37S，执行循环体，，7n=此时，满足条件37S，退出循环，输出n的值为7．【答案】C．7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD-中，AB⊥平面BCD，BC CD⊥，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为()A．23B．34C．33D．24【解析】解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设，则(1A，0，1)，(1B，0，0)，(0C，0，0)，(0D，1，0)，111 (,,)222 M，则，(0CD =，1，0)，设异面直线BM 与CD 夹角为θ，则．∴异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为33． 【答案】C ．8．设0a >且1a ≠，则“b a >”是“log 1a b >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】解：充分性：当01a <<时，“b a >”时“log 1a b <”故充分性不成立． 必要性：当log 1a b >时，若01a <<，则0b a <<，故充分性不成立． 综上，“b a >”是“log 1a b >”的既不充分也不必要条件． 【答案】D ．9．某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何体的表面积是( )A．322+B．312+C．3122++D．23+【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图是正方体的一部分，三棱锥A BCD-，正方体的棱长为1，所以几何体的表面积为：．【答案】C．10．程序框图如图，若输入的2a=，则输出的结果为()A ．20192B ．1010C ．20232D ．1012【解析】解：模拟程序的运行，可得2a =，0S =，0i = 执行循环体，2S =，12a =，1i = 满足条件2019i ，执行循环体，122S =+，1a =-，2i = 满足条件2019i ，执行循环体，1212S =+-，2a =，3i = 满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，4i = ⋯由于，观察规律可知，满足条件2019i ，执行循环体，，12a =，2020i = 此时，不满足条件2019i ，退出循环，输出．【答案】D ．11．将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”，则概率()P A B 等于( ) A ．14B ．3536C ．518D ．512【解析】解：将三颗骰子各掷一次，设事件A = “三个点数互不相同”， B = “至多出现一个奇数”， 基本事件总数，AB 包含的基本事件个数，∴概率．【答案】C ．12．已知定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，且x R ∀∈，，若在3[,2]2ππ上与函数()f x 的单调性相同，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]- B ．[2-，)+∞ C ．(-∞，2] D ．[2-，1]-【解析】解：定义在R 上的连续可导函数()f x 无极值，方程()0f x '=无解，即()f x 为R 上的单调函数，，则()2018x f x +为定值， 设，则，易知()f x 为R 上的减函数，，，又()g x 与()f x 的单调性相同， ()g x ∴在R 上单调递减，则当3[,2]2x ππ∈，()0g x '恒成立， 即，当3[,2]2x ππ∈，则5[63x ππ+∈，13]6π， 则当26x ππ+=时，取得最大值2，此时取得最小值2-，即2m -，即实数m 的取值范围是(-∞，2]-， 【答案】A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数1()x f x e -=在(1,1)处切线方程是 ． 【解析】解：函数1()x f x e -=的导数为1()x f x e -'=，∴切线的斜率k f ='（1）1=，切点坐标为(1,1)，∴切线方程为1y x -=，即y x =．故答案为：y x =．14．已知P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值是 ．【解析】解：抛物线24y x =的焦点坐标(1,0)，P 是抛物线24y x =上一动点，定点(0,22)A ，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，则||||PA PQ +的最小值，就是PF 的距离减去y 轴与准线方程的距离， 可得最小值为：．故答案为：2．15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为 1nn + ．【解析】解：点(n ，*)()n a n N ∈在直线2y x =上，2n a n ∴=．．∴．则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．故答案为：1nn +． 16．已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为 254π ．【解析】解：由圆锥体积为23π，其底面半径为1， 可求得圆锥的高为2， 设球半径为R ，可得方程：，解得54R =， ∴，故答案为：254π． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，若10a =，角B 是最小的内角，且．（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为42，求b 的值． 【解析】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）由、及正弦定理可得：，⋯⋯由于sin 0A >，整理可得：，又sin 0B >， 因此得3sin 5B =．⋯⋯ （Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin 5B =， 又ABC ∆的面积为42，且10a =， 从而有，解得14c =，⋯⋯又角B 是最小的内角， 所以03Bπ<，且3sin 5B =，得4cos 5B =，⋯⋯ 由余弦定理得，即62b =．⋯⋯18．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0~2000步，（说明：“0~2000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理），B 、2000~5000步，C 、5000~8000步，D 、8000~10000步，E 、步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．若某人一天的走路步数大于或等于8000，则被系统认定为“超越者”，否则被系统认定为“参与者”． （Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000~8000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在8000~12000的微信好友中，按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查，然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率；（Ⅲ）请根据抽取的样本数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“认定类别”与“性别”有关？参与者超越者 合计 男 20 女20合计 40附：，，20()P K k0.10 0.050 0.010 0k 2.706 3.841 6.635【解析】解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走2000~8000步的人数：男12人， 女14人⋯⋯，400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走2000~8000步的人数 约为：人⋯⋯；（Ⅱ）该天抽取的步数在8000~12000的人数：男8人，女4人， 再按男女比例分层抽取9人，则其中男6人，女3人⋯⋯所求概率（或⋯⋯ （Ⅲ）完成22⨯列联表⋯⋯参与者 超越者 合计男 12 8 20女 16 4 20合计 28 12 40计算，⋯⋯因为1.905 3.841<，所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关， 即“认定类别”与“性别”无关 ⋯⋯19．如图，在正三棱柱中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点．（Ⅰ）求证：1//B E 平面ACF ；（Ⅱ）求CE 与平面ACF 所成角的正弦值．【解析】证明：（Ⅰ）取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，在ABC ∆中， 因为E 、M 分别为AB ，AC 的中点，所以//EM BC 且12EM BC =， 又F 为11B C 的中点，11//B C BC ，所以1//B F BC 且112B F BC =，即1//EM B F 且1EM B F =，故四边形1EMFB 为平行四边形，所以，又MF ⊂平面ACF ，1B E ⊂/平面ACF ，所以1//B E 平面ACF ．⋯⋯解：（Ⅱ）取BC 中点O ，连结AO 、OF ，则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ，以O 为原点，分别以OB 、AO 、OF 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 ⋯⋯ 则有， 得 设平面ACF 的一个法向量为(n x =，y ，)z则00n CA n CF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3020x y x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令3z =-，则(23n =，2，3)-，⋯⋯ 设CE 与平面ACF 所成的角为θ，则，所以直线CE 与平面ACF 所成角的正弦值为21919．⋯⋯。

2020年高考押题预测卷01（山东卷）数学·参考答案13．2e14．6 121515．816．11217．（本小题满分10分）【解析】若选①，∵m ＝⎝⎛⎭⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，sin A 2，且12m n ⋅=-2211cos sin ,cos 0,222223A A A A A ππ⎛⎫∴-+=-∴=∈∴∠= ⎪⎝⎭Q .（3分） 24,4sin 4sin sin 3ABC a l B B A π⎛⎫=∴=-++ ⎪⎝⎭V Q6ABC l B π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭V .（6分）=362ABC A B πππ⎛⎫∠∴∠∈ ⎪⎝⎭Q V 锐角且， (2,6633ABC B l πππ⎛⎫∴+∈∴∈+ ⎪⎝⎭V .（10分） ②∵cos A(2b-c)＝a cos C12cos cos cos 2cos cos 2b A a Cc A b A b A ∴=+∴=∴=0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭Q .（3分）24,4sin 4sin sin 3ABC a l B B A π⎛⎫=∴=-++ ⎪⎝⎭V Q6ABC l B π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭V=362ABC A B πππ⎛⎫∠∴∠∈ ⎪⎝⎭Q V 锐角且， (2,6633ABC B l πππ⎛⎫∴+∈∴∈+ ⎪⎝⎭V .（10分） ③f (x )＝cos x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x －14 ＝12cos 2x ＋32cos x sin x －14 ＝12×1＋cos 2x 2＋32×sin 2x 2－14 ＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，()11sin 2462f A A π⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭Q0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭Q .（5分）24,4sin 4sin sin 3ABC a l B B A π⎛⎫=∴=-++ ⎪⎝⎭V Q6ABC l B π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭V=362ABC A B πππ⎛⎫∠∴∠∈ ⎪⎝⎭Q V 锐角且， (2,6633ABC B l πππ⎛⎫∴+∈∴∈+ ⎪⎝⎭V .（10分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）当n ＝1时，12a = 当2n ≥时a 1＋a 2＋a 3＋…＋1n a -＝12n -②①-②得12n n a -=经检验1a 不符合上式∴12,12,2n n n a n =-=⎧⎨≥⎩.（6分）（2）由（1）得当n ＝1时12b = 当2n ≥时()()n 2n b n 1log a 11n n =+=+-（）,∴()()()n 111112b 11211n n n n n ⎛⎫==-≥ ⎪-+-+⎝⎭. ()n 12n 111521...b b b 421n S n n +∴=+++=-+.（12分） 19．（本小题满分12分）【解析】（1）取BC 的中点F ，连接EF ，HF .∵H ，F 分别为AC ，BC 的中点， ∴HF ∥AB ，且AB ＝2HF . 又DE ∥AB ，AB ＝2DE ， ∴HF ∥DE 且HF ＝DE ， ∴四边形DEFH 为平行四边形． ∴EF ∥DH ，又D 点在平面ABC 内的正投影为AC 的中点H ， ∴DH ⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ，∵EF BCE ⊂面∴ECB ABC ⊥面面.（5分） （2）∵DH ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ， ∴以C 为原点，建立空间直角坐标系,则B (0,2,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，1，()0,1,1E设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，CD uuu r ＝⎝⎛⎭⎫12，0，1，CE u u ur ＝()0,1,1，则1020x z y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩取y ＝1，则x ＝2，z ＝-1. ∴n ＝(2,1,1)，∵1,2,12BD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r∴sin cos ,21BD n BD n BD nα===u u u r r u u u r r g u u ur r ∴BD 与面CDE夹角的余弦值为21.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意22222112b a c a b c =⎪⎪-=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故椭圆C 的方程为22142x y +=.（4分）（2）设11(,)P x y 、22(,)Q x y .将直线与椭圆的方程联立得：()223142y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得2222(21)121840k x k x k +-+-=.由根与系数之间的关系可得：21221221k x x k +=+，212218421k x x k -⋅=+. ∵点P 关于y 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． ∴直线P Q '的斜率2121y y k x x +=-方程为：211121()y y y y x x x x ++=--，即2121112121()y y x xy x x y x x y y +-=---+212112112121()()()y y y y x x x y x x x y y +++-=--+2112212121()y y x y x y x x x y y ++=--+2112212121(3)(3)()(3)(3)y y x k x x k x x x x k x k x +-+-=---+-211212211223()()6y y x x x x x x x x x +-+=--+-222221221218412232121()12621k k y y k k x k x x k -⨯-⨯+++=---+ 21214()3y y x x x +=--.∴直线P Q '过x 轴上定点4(,0)3．（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）4656566666760.010100.020100.04510222x +++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯768686960.020100.0051022+++⨯⨯+⨯⨯70=.（3分）（2）由题意样本方差2100s =，故10σ≈=. 所以2(70,10)X N :，由题意，该厂生产的产品为正品的概率(6090)(6070)(7090)P P X P X P X =<<=<<+<<1(0.68270.9545)0.81862=+=.（6分） （3）X 所有可能为0,1,2,3.()0335385028C C P X C === ()12353815128C C P X C === ()21353815256C C P X C === ()3035381356C C P X C ===.（10分）X 的分布列为()98E X =.（12分） 22．（本小题满分12分）【解析】（1）()21xf x e ax '=--，记()()21xg x f x e ax '==--，则()2x g x e a '=-.由()0g x '=，即20x e a -=，解得ln 2x a =. 当ln 2x a <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当ln 2x a ＞时，()0g x '＞，函数()g x 单调递增.（4分）（2）由题意，函数()f x 有两个极值点12,x x ，记函数()g x 有两个零点12,x x ，不妨设12x x <，则1(,ln 2)x a ∈-∞，2(ln 2,)x a ∈+∞. 所以12ln 2x a x <<记()()(2ln 2)p x g x g a x =--2ln 22[2(2ln 2)]x a x e ax e a a x -=----2(2)44ln 2x x e a e ax a a -=--+2()(2)4x x p x e a e a -'=+-由均值不等式可得()4440p x a a a '≥=-=（当且仅当2(2)x xe a e -=，即ln 2x a =时，等号成立）.所以函数()p x 在R 上单调递增.由2ln 2x a >，可得2()(ln 2)0p x p a >=，即22()(2ln 2)0g x g a x -->， 又因为12,x x 为函数()g x 的两个零点，所以12()()g x g x =，所以12()(2ln 2)g x g a x >-，又2ln 2x a >，所以22ln 2ln 2a x a -<，又函数()g x 在(,ln 2)a -∞上单调递减，所以122ln 2x a x <-，即122ln 2x x a +<.（12分）。