三轮复习微专题——球有关的切接问题
编写：张肇勋
学习目标：
1、掌握求棱锥内切球半径及求直棱柱内球体积最大值的方法
2、掌握求常见几何体外接球半径的方法，体会解决该问题的数学思想
一、棱锥内切球及直棱柱内最大球问题
例1、正三棱锥的高为3，底面边长为83 ，正三棱锥内有一个球与其四个面相切,则球的表面积为
例2、（2016.全国卷III）在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（ ）
（A）4π （B）9π2 （C）6π （D）32π3
二、常见几何体外接球有关问题
求常见几何体外接球半径的方法：
1、补形法（适用特殊几何体）
2、勾股定理法 （通法）
关键是找球心，连接球心与几何体顶点，构造与R有关的直角三角形，利用勾股定理列关于R的关系式。
（一）勾股定理法
特殊几何体的外接球球心：
1.正方体或长方体的外接球的球心是 体对角线中点 ，棱长为a的正方体外接球半径为 32Ra ，棱长分别为a、b、c的长方体外接球半径为2222abcR
2.直三棱柱的外接球的球心是 上下底面三角形外心的连线的中点
3.正棱柱(圆柱）的外接球的球心是 上下底面中心（圆心）的连线的中点
4.正棱锥（圆锥）的外接球的球心在 底面的高上 ，具体位置可通过计算找到.
思考：非上述特殊的几何体，如何确定球心位置？
（二）补形法
常见的基本几何体补成正方体或长方体的途径与方法：
1、侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱．
2、三条侧棱两两垂直的三棱锥、三个侧面两两垂直的三棱锥，则可将三棱锥补成长方体或正方体．
3、正四面体常补成正方体，棱长为a的正四面体外接球半径为：64a
4、相对的棱相等的三棱锥可构造成长方体.
球的切接问题
一、学习目标：
用表面积、体积公式求球的切接问题
二、学习重能应、难点
重点：球的切接问题
难点：球的切接问题及割补法的应用
三、过程与方法
（一）表面积、体积公式
2,4SRlSR圆锥侧球，3114V,V,V(''),V333shshhssssR柱体锥体台体球
（二）典型例题
1．已知等边圆锥的底半径为2，求该圆锥外接球的面积.
2．一个正四面体的棱长为26，求该四面体的外接球的体积.
3、正四棱锥S—ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为
（三）当堂检测
（四）课后作业
1、长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是 （ ）
（A）202π （B）252π （C）50π （D）200π 2、一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为多少？
3、球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球的表面积之比
4、在球面上有四个顶点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a,则这个球的体积为
5、三棱锥A—BCD中，AD=2，其余各棱长均为2，求此棱锥外接球的体积
6．（2010年高考辽宁卷文科11）已知,,,SABC是球O表面上的点，SAABC平面，ABBC，1SAAB，2BC，则球O的表面积等于
（A）4 （B）3 （C）2 （D）
7. (2010年高考宁夏卷文科7)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
（A）3a2 （B）6a2 （C）12a2 （D） 24a2
第 1 页共 2页 球与几何体的的切接问题
考试核心：性质的应用22212rROOd，构造直角三角形建立三者之间的关系。
类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（两题互换条件形成不同的题）
1.如图球O的半径为2，圆1O是一小圆，12OO，A、B是圆1O上两点，若A，B两点间的球面距离为23，则1AOB= .）
2.．如图球O的半径为2，圆1O是一小圆，12OO，A、B是圆1O上两点，若1AOB=2，则A,B两点间的球面距离为
类型二：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径rCc2sin，从而解决问题。
3.. 直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA, 120BAC，则此球的表面积等于 。
4.正三棱柱111ABCABC内接于半径为2的球，若,AB两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 ．
5.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=3，30BSCASC，则棱锥S—ABC的体积为 A．33
B．32 C．3 D．1
6.已知,,,SABC是球O表面上的点，SAABC平面，ABBC，1SAAB，2BC，则球O表面积等于
（A）4 （B）3 （C）2 （D）
类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。
7.设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于74，则球O的表面积等于 .
9.如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬060纬线长和赤道长的比值为
２０１８年第１ ６期总第４０１期 数理化解题研究
有效解决不规则多面体外接球问题的策略
周迎富
（福建省晋江市子江中学３６２２６１） 嫩＝
摘要：纵观近几年高考，对于与球有关的切接问题，尤其是不规则多面体的外接球问题是命题的热点之
一，主要以选择填空的考查形式出现，要求学生有较强的空间作图、想象、计算的能力，解决此类问题主要是从
确定球心位置和球的半径入手．
关键词：不规则多面体；补形法；特殊三角形组合型三棱锥 中图分类号：Ｇ６３２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８－０３３３（２０１８）ｌ６—００３５－０２
一、直三棱柱及其补形体
直三棱柱外接球的球心在上下底面外心连线的中点
处；常考查三类问题：底面分别是锐角、直角、钝角三角
形．直三棱锥可补形成直三棱柱，其外接球球心与对应的
直三棱柱相同．
例１ （２００９全国Ｉ卷理科）已知直三棱柱ＡＢＣ—
Ａ 日。ｃ 的各顶点都在同一球面上，若ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＡ。＝２， ／＿ＢＡＣ＝１２０。，则此球的表面积等于一
⑧
解析 如图，ＡＡＢＣ外心为０ ，△Ａ。Ｂ Ｃ 的外心为
０ ，则球心在线段０ ０”的中点 处，外接球半径为ＢＯ．易
得ＡＡＢＣ外接圆半径ｒ＝ＢＯ ＝２．在Ｒｔ△ＢＯＯ 中，由勾股
定理可得：半径ＢＯ＝√５，故表面积为２０，ｒｒ．
题源变式可变为直三棱锥Ａ 一ＡＢＣ，侧棱ＡＡ，上底
面ＡＢＣ， ＣＡＢ＝６０。或９０。或１２０。，求外接球表面积；
二、直四棱柱及其补形体
在实际解题中，通常还考查正方体、长方体及其补形
体的外接球问题，常见的有四类几何体可通过补形成正
方体、长方体，来便捷地确定它们的球心和半径．
第①类直角四面体（三条侧棱或三个侧面两两垂 直）、直角三棱柱； 第②类 四个面都是直角三角形的四面体；
第③类等腰四面体（三组对棱分别相等，ＡＢ＝ＣＤ
＝口，ＡＣ＝ＢＤ：ｂ，ＡＤ＝ＢＣ＝ｃ）． 设补形后的长方体长宽高分别为 ，Ｙ， ，则：
