立体几何高考专题--外接球的几种常见求法
高三微专题：外接球
在立体几何中，外接球问题是一个重点和难点。其实质是确定球心O的位置和使用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r可根据正弦定理求得）。
一、由球的定义确定球心
在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。简单多面体外接球问题是立体几何中的重点和难点。
二、球体公式
球的表面积公式为S=4R²，球体积公式为V=4/3R³。
三、球体几个结论：
1）长方体、正方体外接球直径等于体对角线长。
2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心。
3）直径所对的球周角为90°（大圆的圆周角）。
4）正三棱锥对棱互相垂直。
四、外接球几个常见模型
1.长方体（正方体）模型
例1：长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为14。
练1：体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为12。
2.正棱锥（圆锥）模型
对于侧棱相等，底面为正多边形的正棱锥，其外接球的球心位置位于顶点与底面外心连线线段（或延长线）上。半径公式为R²=(h-R)²+r²（其中R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理a=2rsinA求得）。
例2：已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为h，体积为V，则这个球的表面积为____。正四棱锥的高为h，体积为V，易知底面面积为，底面边长为。正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为，得，在中。由勾股定理，所以球的表面积为。
练2：正三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于。解析：ABC外接圆的半径为，三棱锥S-ABC的直径为2R=，外接球半径R=，外接球体积V=4/3R³=。
对于侧棱与底面垂直的直棱柱和圆柱，其外接球的球心位置在上下底面外心连线中点处。半径公式为R²=r²+(h/2)²（其中R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱柱的高）。
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多面体外接球问题突破策略
作者：曹丹育
来源：《中学课程辅导·教师通讯》2018年第14期
【内容摘要】直观想象的核心素养的考查主要反映在立体几何中空间想象能力的考查，近几年全国高考题中立体几何客观题对组合体的考查热度不减，其中外接球问题是重中之重，如何求外接球的半径、表面积或体积，关键在于寻找外接球的球心，非特殊几何体通过寻找球的龙源期刊网
两个不平行的截面的圆心就可以确定球心，这样将空间问题化为平面问题，化抽象为直观，便于分析和解决问题。
【关键词】直观想象 多面体 外接球 球心
随着基础教育课程改革的不断深入，数学教学更加关注核心素养的培养，首都师范大学王尚志教授指出：“核心素养相对具体学科是抽象的，但它能以不变应万变，中国学生应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大数学核心素养。”从近几年全国高考新课标卷对立几的考查来看，对空间想象能力的要求提高了，特别是球的组合体问题的考查，着重考查学生直观想象的学科素养。而人教版高中数学必修二只是简单介绍球的概念和体积、表面积公式，对球的性质及与其它几何体结合的组合体问题只字未提，而球的组合体的考察显然是热点问题，该如何解决几何体外接球的半径、体积和表面积问题呢？笔者根据教学经验，对立体几何中的外接球问题进行一些探索补充，希望对解决这类问题有所帮助。笔者认为解决球的问题，关键量——半径，也就是球心到球面的距离，那么寻找球心就是重中之重，如何解决球心的位置问题呢？
一、球心位置概述
1.球的大圆的直径的中点；
2.过球的两个不平行的小圆的圆心且垂直小圆面的两直线交点。如图（1），（2）。
显然第一种方法确定球心不方便，因为题意往往只给出一个多面体，外接球不易画，当然更无法通过球的大圆来找圆心，所以笔者认为第二种方法适用，只要寻找两个不平行的截面的圆心就可以确定球心，这样将空间几何问题降维为平面几何问题，便于想象和分析，再把条件集中到某个直角三角形，利用方程思想破解。下面以特殊几何体和一般几何体为例分别说明如何确定球心。
外接球公式总结
外接球公式是几何中的重要问题，涉及到多面体、旋转体等空间几何图形的外接球问题。一般情况下，外接球公式可以用来计算几何体的表面积或体积。以下是一些关于外接球公式的总结:
1. 多面体外接球公式：对于正多面体，各顶点同在一球面上，这个球叫做正多面体的外接球。正四棱锥的外接球公式为:DU2tR，其中 D 是底面直径，U 是底面边长，t 是棱锥的高，R 是外接球半径。
2. 旋转体外接球公式：旋转体的外接球公式比较复杂，需要根据旋转轴的不同进行分类。一般情况下，可分为三类:
(1) 旋转轴与底面垂直时，外接球公式为:S=frac{4}{3}R^2，其中 S 是外接球表面积，R 是外接球半径。
(2) 旋转轴与底面平行时，外接球公式为:S=pi R^2，其中 S 是外接球表面积，R 是外接球半径。
(3) 旋转轴不与底面垂直或平行时，需要分类讨论，一般情况下可以采用轴对称性来求解。
3. 球体外接球公式：球体的外接球公式为:S=4pi R^2，其中 S
是外接球表面积，R 是外接球半径。
在实际应用中，外接球公式常常用于计算几何体的面积或体积，也可以用于求解几何体的表面积或体积最小值等问题。
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棒 解题技巧与方法
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◎闫银翠 王丽敏 （内蒙古包头市一机一中０１４０３０）
【摘要】近几年高考中，有关多面体的外接球的问题，常
常是困扰学生的难点．外接球的球心在哪？半径是多少？
解决了这两个问题，外接球的问题就迎刃而解了．根据不同
类型的多面体介绍了三种快速找到外接球的球心和半径的
方法：补成长方体和正方体、利用直角三角形的性质、利用
线面垂直的性质． 【关键词】外接球；补体；直角三角形；线面垂直
１．将多面体补成长方体或正方体 我们知道对于长方体或正方体而言，它的外接球的球
心是其体对角线的交点，半径是体对角线长度的一半．如果 我们能将一个多面体补成一个长方体，使其顶点与长方体
的八个顶点中的几个重合，则这个多面体的外接球就是其 对应的长方体或正方体的外接球．
例１ （２００８年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两
垂直，且侧棱长为√３，则其外接球表面积是 ．
分析 因为三条侧棱两两垂直且侧棱长相等，所以可
以将该棱锥补成一个正方体，如图１，则该棱锥
的外接球就是补成的正方体的外接球．故外
接球的半径ｒ＝÷￣／ 丽＝÷，ｓ ＝
４竹ｒ２；９１Ｔ
２．利用直角三角形的性质 图 １
我们知道在直角ｉ角形中，斜边上的中点到三个顶点
的距离相等，若一个＝三棱锥有两个面是直角ｉ角形且它们
的斜边重合，则该斜边的中点就是外接球的球心，斜边的一
半即为外接球的半径．
例２ 已知一个三棱锥的三视图如图５所示，其中主视
图、俯视图全是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的体 积是 ．
一一ｒ
５ ｆ铜 ６
分析 将三棱锥还原在和它长、宽、高相等的长方体
中，如图６所示．易知，ＡＡＢＣ和△ＢＤＣ是以ＢＣ为公共边的
等腰直角三角形，则其外接球的球心为ＢＣ的中点，半径ｒ＝
譬－３ｊ所以 ：÷ ：３６盯．
例３ 如图７是一个空间几何体的三视图，其中俯视图 为直角三角形，则该几何体的外接球的体积为 ． 侧视图
