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分形几何理论在图像处理中的应用随着计算机技术的不断发展，图像处理已经成为了一个日益重要的领域。
分形几何理论作为一种新兴的数学理论，在图像处理中得到了广泛的应用。
本文将介绍分形几何理论在图像处理中的应用，并探讨其在该领域中所发挥的作用。
一、分形几何理论的基本概念和原理分形几何理论是由法国数学家Mandelbrot提出的，它对不规则、复杂的自然物体和现象进行了研究。
分形是指具有自相似性的图形或物体，即整体的一部分与整体的形状相似。
分形几何理论提供了一种描述和分析复杂系统的数学工具。
二、分形几何在图像压缩中的应用图像压缩是图像处理中的一个重要环节，它可以将原始图像的数据进行压缩存储，从而减少存储空间和传输带宽的占用。
分形几何理论可以通过对图像的分解和重构，实现对图像的压缩。
其基本思想是将图像分解为一系列的分形图元，并利用放缩变换对其进行重构，从而实现对图像的压缩和恢复。
三、分形几何在图像增强中的应用图像增强是将原始图像进行处理，以改善图像质量和显示效果的过程。
分形几何理论可以通过对图像的细节进行分解和合成，实现对图像的增强。
其基本思想是通过分形细节的提取和重构，对图像进行增强，使其更加清晰、细腻。
四、分形几何在图像分类与识别中的应用图像分类与识别是图像处理中的一个重要任务，它可以将图像按照其内容进行分类和识别。
分形几何理论可以通过对图像的分形维数和分形特征的提取，实现对图像的分类和识别。
其基本思想是通过分形维数的计算和分形特征的提取，对图像进行特征描述和匹配，从而实现对图像的分类和识别。
五、分形几何在图像生成中的应用图像生成是利用计算机生成新的图像，以满足特定需求的过程。
分形几何理论可以通过对图像的分解和合成，实现对图像的生成。
其基本思想是通过分形的自相似性和可变性，对图像的形状和颜色进行生成，从而实现对图像的创造和设计。
六、分形几何在图像编辑中的应用图像编辑是对原始图像进行修改和处理的过程，以改变图像的外观和内容。
团队定向赛的技战术研究定向越野团队赛的特征是团队协作，是所有定向越野项⽬中最具挑战性的项⽬。
定向越野团队赛中，队长起着⾄关重要的作⽤，需要总揽全局，明确分⼯；队员之间必须相互信任、相互协作，才能取得好的成绩。
定向越野团队赛起点准备阶段准备⼯作必须充分细致。
起点、场地和终点，不同阶段有不同的技战术要求。
（⼀）起点技战术要求1.划分地图，明确任务在团队赛中，遴选⼀个优秀的队长⾮常关键。
团队赛中队长最重要的任务是划分地图（习惯叫分图）、明确分⼯，就是将⽐赛地图上的⾃由点尽可能科学合理的分配给全队四名运动员。
这是整个团队能否取得好成绩的关键的第⼀步。
团队赛⽐赛⼀般有两种规定。
⼀种是分图时间计算在⽐赛时间内，就是团队所有队员统⼀打了起点开始计时后再拿地图，然后再进⾏分图；另⼀种是分图的时间不算在⽐赛时间内，就是在打起点正式开始⽐赛之前会给每个队三分钟准备时间，⽤于看图、分图。
（1）分图技术要求。
⾸先，所有队员拿到地图后迅速看图，注意了解地形和地物特征。
队长在看图、分析地图的同时，指定⼀个队员快速数清地图上有多少个必经点、多少个⾃由点，并告诉队长。
其次，队长在分图时要注意，第⼀，划分地图区域必须结合⾃⾝队员特点，尽量考虑每个队员的技术优势与不⾜。
如果队员技术⽔平相差不⼤，必须做到分点均匀，⼀般情况分为四个区域：起点附近作为⼀区，要求体能好、技术⽔平⼀般的队员；⼆区、三区要求技术⽔平好、体能也不错的队员；终点附近作为四区，适合体能差点、技术⽔平相对较弱的队员。
第⼆，如果队员中有新⼿，且技术与体能相对均较差时，除了⾸先考虑把终点附近区域的⾃由点分配给该队员外，还可以适当减少该队友的⾃由点任务，甚⾄为保险起见，有时可以让该队友只打必经点，⽽将所有⾃由点分为三个区域分配到其它三个队员。
这样，⼀⽅⾯可以避免因队友长时间找不到检查点⽽耽误时间，另⼀⽅⾯也便于最后团队实施帮助。
第三，队长在给其他队友划定区域时，必须要笔迹清晰、划闭合圆。
分形几何学摘要：分形几何学作为当今活跃在科学领域和风靡世界的新理论与新学科，它也是一种方法论。
分形作为一门新兴的交叉学科满足了艺术多元化的需求。
分形图案将几何美学与视觉形态融为一体。
分形几何学利用其的自相似性，可以构造出千变万化而又具有任意高分辨率结构的艺术图案，被民众广泛关注。
分形几何学作为科学与艺术交融的载体，已成为当今世界科学文化发展的一大热点。
关键词：分形几何；科学与艺术；自相似中图分类号：g642.0 文献标志码：a 文章编号：1674-9324（2013）25-0133-02一、引言艺术是一种感悟，一如海德格尔所说的“朝向未来”，就艺术而言，无论视觉还是听觉，总包含着新的可能[1]。
法国著名文学家福楼拜早在19世纪中叶预言：“越往前走，艺术越要科学化，同时科学越要艺术化。
两者在山麓分手，回头又在山顶会合”，其实质已表明随着社会的发展和进步，科学与艺术逐步分化然后达到融合，分形艺术则是其最好的载体。
二、分形几何学分形（fractal）理论，是由美籍数学家、哈佛大学教授曼德勃罗特（mandelbrot）1975年提出的，它是20世纪70年代同混沌理论一起发展起来的非线性科学的重要组成部分。
自然界中不规则现象普遍存在，可以充分利用分形理论描述和解释自然界中不光滑、不规则的物体表面及形态，因此分形几何就是描述大自然的几何学。
它不同于传统的欧氏几何中以一维、二维、三维、四维对应的线、面、体和时空来描述物体的形状，分形理论用“分维”（fractal dimension）来描述大自然。
几何学中无法用语言表述的局部或整体概念由于分形的诞生从而得到了解决。
mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。
mandelbrot集合其图形边界处具有无限复杂结构，其边界可以无限放大，假如计算机精度不受限制。
无论怎样放大其局部，它总是显示出曲折而且不光滑曲线，即连续不可微。
在生活中，微积分中抽象的光滑曲线实际上是不存在的。
江恩二分之一理论计算公式江恩二分之一理论
理论跌幅=明显高点-明显低点-明显低点（涨幅反之）------用股票的收盘价线来计算准确率更高
公式是：
最高收盘价-最低收盘价-最低收盘价=调整目标位。
（就是常说的颈线位理论）（图1）
算跌幅抄大底
计算方法是：(复权计算)(高点-低点-低点)的绝对值＝理论最低点
⑴ 测算反弹的理论高度
方法是用最高点减去最低点再除以2，然后再加上最低点，即为最后的反弹理论高度。
其计算公式可表述为：X（理论涨幅）= D（最低点或最低价）+[H（最高点或最高价）—D（最低点或最低
价）]÷2。
⑵ 下跌低点的预测
其计算方法是用前期明显高点减前期明显反弹低点二次，负数为多少，就是它的理论跌幅的最低点或最低
价。
用公式表示为：X买入价=H前期高点-前期低点-前期低点
头碰脚跌，脚顶头涨。
（指上涨时碰到前期底点要回调，下跌时到了前期高点要涨）
江恩的二分之一理论：前期高点－（2 次）前期低点。
（就是常说的颈线位理论）.。
证明白色路径定理白色路径定理的证明可以通过归纳法来进行。
首先，我们来看一下什么是二分图。
二分图是一种特殊的图，其顶点集可以被分成两个互不相交的子集，使得每条边的两个端点在不同的子集中。
在一个二分图中，如果存在一条奇数长的路径，那么这个图一定存在偶数长的环，而实际上二分图是不可能存在奇数长的环的。
证明白色路径定理的基本思路是利用反证法。
假设存在一条从顶点u到顶点v的最短路径上经过了奇数条边。
我们将这条路径上经过的边全部重新染成红色，不在路径上的边则染成蓝色。
因为最短路径上经过了奇数条边，所以路径的起点和终点的连线是蓝色的。
接下来我们来证明这个情况下一定存在一个奇数长的环。
因为路径的起点和终点的连线是蓝色的，所以我们可以沿着蓝色的边从顶点u到达顶点v。
在顶点v处，我们发现了一条蓝色的边，这条边连接了顶点v和顶点w。
接着我们再沿着蓝色的边从顶点v到顶点w。
在顶点w处，我们又发现了一条蓝色的边，这条边连接了顶点w和顶点x。
我们一直重复这个过程，直到我们再次到达顶点u为止。
这样我们就得到了一条经过奇数个蓝色边的环。
由于我们假设了最短路径上经过了奇数条边，而我们通过反证得到了一条经过了奇数条蓝色边的环，这就产生了矛盾。
因此，我们的假设是错误的，最短路径一定不会经过奇数条边，也就证明了白色路径定理。
上面这一段是白色路径定理证明过程的基本思路，下面我们来进一步展开证明。
首先，我们需要介绍一些图论中使用到的概念和理论。
首先是二分图的概念。
二分图是一个图，其节点可以被分成两个互不相交的子集，使得每条边的两个端点在不同的子集中。
二分图在实际中有着广泛的应用，比如匹配问题、任务分配等。
二分图的性质非常重要，它为后续证明白色路径定理提供了重要的理论基础。
其次是路径的概念。
路径是指图中顶点的一个序列，这些顶点之间依次相连，且每两个相邻的顶点之间有一条边。
路径是图论中的基本概念之一，它在解决实际问题中的路径规划以及网络通信等方面有着重要的应用。
*7.5 二部图及匹配7.5.1二部图在许多实际问题中常用到二部图，本节先介绍二部图的基本概念和主要结论，然后介绍它的一个重要应用—匹配。
定义7.5.1 若无向图,G V E =的顶点集V 能分成两个子集1V 和2V ，满足（1）12V V V =，12V V φ=；（2）(,)e u v E ∀=∈，均有1u V ∈，2v V ∈。
则称G 为二部图或偶图(Bipartite Graph 或Bigraph)，1V 和2V 称为互补顶点子集，常记为12,,G V V E =。
如果1V 中每个顶点都与2V 中所有顶点邻接，则称G 为完全二部图或完全偶图(Complete Bipartite Graph)，并记为,r s K ，其中12,r V s V ==。
由定义可知，二部图是无自回路的图。
图7-55中，(),(),(),(),()a b c d e 都是二部图，其中(),(),(),()b c d e 是完全二部图1,32,32,43,3,,,K K K K 。
图7-55二部图示例显然，在完全二部图中,r s K 中，顶点数n r s =+，边数m rs =。
一个无向图如果能画成上面的样式，很容易判定它是二部图。
有些图虽然表面上不是上面的样式，但经过改画就能成为上面的样式，仍可判定它是一个二部图，如图7-56中()a 可改画成图()b ，图()c 可改画成图()d 。
可以看出，它们仍是二部图。
图7-56二部图示例定理7.5.1 无向图,G E =为二部图的充分必要条件为G 中所有回路的长度均为偶数。
证明 先证必要性。
设G 是具有互补节点子集1V 和2V 的二部图。
121(,,,,)k v v v v 是G 中任一长度为k 的回路，不妨设11v V ∈，则211m v V +∈，22m v V ∈，所以k 必为偶数，不然，不存在边1(,)k v v 。
再证充分性。
设G 是连通图，否则对G 的每个连通分支进行证明。
设,G V E =只含有长度为偶数的回路，定义互补节点子集1V 和2V 如下：任取一个顶点0v V ∈，令10{()(,)}V v v V d v v =∈∧为偶数21V V V =-现在证明1V 中任意两节点间无边存在。
假若存在一条边(,)i j v v E ∈，且1,i j v v V ∈，则由0v 到i v 间的最短路（长度为偶数）， 边(,)i j v v 和j v 到0v 间的最短路（长度为偶数）所组成的回路的长度为奇数，与假设矛盾。
同理可证2V 中任意两节点间无边存在。
故G 中的每条边必具有形式(,)i j v v ，其中1i v V ∈，2j v V ∈， 即G 是具有互补节点子集1V 和2V 的一个二部图。
利用定理7.5.1可以很快地判断出图7-57中的()a 、()c 是二部图，而()b 则不是二部图。
图7-57例7.5.1 六名间谍,,,,,a b c d e f 被擒，已知a 懂汉语、法语和日语，b 懂德语、俄语和日语，c 懂英语和法语，d 懂西班牙语，e 懂英语和德语，f 懂俄语和西班牙语，问至少用几个房间监禁他们，能使在一个房间里的人不能直接对话。
解 以六人,,,,,a b c d e f 为顶点，在懂共同语言的人的顶点间连边得图G （如图7-58()a 所示），因为G 中没有奇圈，所以G 是二部图（如图7-58()b 所示），故至少应有两间房间即可。
图7-58 7.5.2 匹配二部图的主要应用是匹配，“匹配”是图论中的一个重要内容，它在所谓“人员分配问题”和“最优分配问题”等运筹学中的问题上有重要的应用。
首先看实际中常碰见的问题：给n 个工作人员安排m 项任务，n 个人用12{,,,}n V x x x =表示。
并不是每个工作人员均能胜任所有的任务，一个人只能胜任其中(1)k k ≥个任务，那么如何安排才能做到最大限度地使每项任务都有人做，并使尽可能多的人有工作做？例如，现有12345,,,,x x x x x 五个人，12345,,,,y y y y y 五项工作。
已知1x 能胜任1y 和2y ，2x 能胜任2y 和3y ，3x 能胜任2y 和5y ，4x 能胜任1y 和3y ，5x 能胜任3y 、4y 和5y 。
如何安排才能使每个人都有工作做，且每项工作都有人做？显然，我们只需构造这样的数学模型：以i x 和j y （i ，j =1，2，3，4，5）为顶点，在i x 与其胜任的工作j y 之间连边，得二部图G ，如图7-59所示，然后在G 中找一个边的子集，使得每个顶点只与一条边关联（图中粗线），问题便得以解决了。
这就是所谓匹配问题，下面给出匹配的基本概念和术语。
图7-59匹配问题示意图定义7.5.2 设无向图,G V E =，G 中有边集M ⊆E ，且在M 中任意两条边都没有公共的端点，称边集M 为图G 的一个匹配(Matching)。
M 中一条边的两个端点，叫做在M 下是配对的。
如果G 中不存在匹配1M ，使得1M M >，则称M 为最大匹配(Maximum Matching)。
对于G 的一个匹配M ，若节点v 与M 中的边关联，则称v 是M 饱和的(Saturated)，否则称v 是M 不饱和的。
定义7.5.3 设二部图12,,G V V E =，M 是G 的一个匹配。
若1v V ∀∈，v 均是M 饱和的，则称M 是1V 对2V 的完全匹配（简称1V ―完全匹配）；若2v V ∀∈，v 均是M 饱和的，则称M 是2V 对1V 的完全匹配（简称2V —完全匹配）。
若M 既是1V ―完全匹配，又是2V ―完全匹配（即图G 的每个顶点都是饱和的），则称M 是完全匹配(Complete Matching)。
显然，完全匹配是最大匹配，但反之不然。
例7.5.2（1）在图7-59中，边集1122354354{(,),(,),(,),(,),(,)}M x y x y x y x y x y =是一个匹配，而且是是一个最大和完全匹配。
（2）在图7-60()a 中，边集1{(1,5),(2,7),(3,9),(4,8)}M =和2{(1,6),(2,7),(3,9)M =，(4,8)}都是图G 的最大匹配，也是1V ―完全匹配，但不是完全匹配。
在图7-60()b 中，边集{(1,4),(2,5),(3,6)}M =是完全匹配。
图7-60为了寻求二部图的最大匹配，下面交替路和可扩路两个概念。
定义7.5.4 设12,,G V V E =是一个二部图，M 是图G 的一个匹配，L 是G 中的一条路，如果L 是由属于M 和不属于M 的边交替出现组成，则称L 为G 的M 交替路(Alternating Path)。
如果交替路L 的始点和终点都是M 不饱和点，则称L 为G 的M 可扩路(M —Extensible Path)。
例如，在图7-60()a 中，对于匹配{(1,6),(2,7),(3,9)}M =，路1:16273L ，2:27394L ，3:5394L ，4:51627394L 都是M 交替路，其中34,L L 的始点和终点都是M 不饱和点，所以这两条路是M 可扩路。
可扩路具有如下性质：可扩路的长度必为奇数，且属于M 的边比不属于M 的边少1条。
如果在一条可扩路中把属于M 中的边从匹配中去掉，把不属于M 中的边添入到匹配中， 则得到新的匹配1M ，1M 的边数比M 多１。
例如，在图7-60()a 中，对于匹配{(1,6),(2,7),(3,9)}M =，4:51627394L 是M 可扩路，将4L 中属于M 中的边(1,6)，(2,7)，(3,9)从匹配M 中去掉，把不属于M 中的边(5,1),(6,2),(7,3),(9,4)添入到匹配M 中，则得到新的匹配1{(5,1),(6,2),(7,3),(9,4)}M =，1M 中的边数由M 中的3条增至4条。
如果图中还存在可扩路， 再按上面的步骤做， 所得到的匹配的边数又多１，一直到图G 中不存在可扩路为止。
用此方法可逐步得到较大的匹配，直至得到最大匹配。
这就是下面的定理。
定理7.5.2 在图G 中，M 为最大匹配的充分必要条件是不存在可扩路。
证明 先证必要性。
用反证法。
假设G 中存在一条M 可扩路，则可以得到比M 的边数多１的匹配，与M 为最大匹配矛盾。
所以G 中不存在M 可扩路。
再证充分性。
用反证法。
假设M 不是最大匹配，则存在匹配1M ，使得1M M >。
令21M M M =⊕（⊕为对称差运算），设由2M 导出的G 的子图2[]G M H =，因为M 和1M 都是G 的匹配，所以H 的任意顶点或是只与M （或1M ）中的一条边相关联，或是同时与M 的一条边及1M 的一条边相关联，其度数至多为2，于是H 的每个连通分支或者是一个边交错地属于M 与1M 的长度为偶数的回路，或者是边交错地属于M 与1M 的长度为奇数的交错路。
由于1M M >，因而H 中必有一个连通分支P ，它所含的属于1M 的边比属于M 的边多，P 不是回路（因为回路的长度均为偶数），它的起点和终点都是M 不饱和的，也一定是G 中的M 不饱和点，因此在G 中存在关于M 的可扩路，这与假设矛盾。
求一般图的最大匹配过程比较复杂，下面仅讨论如何在二部图中求最大匹配的问题。
设二部图12,,G V E =，在G 中求最大匹配的关键是寻找可扩路。
通常是先构造G 的一个匹配M ，再看1V 中有没有M 不饱和点。
如果没有，那么M 肯定是最大匹配了；如果有， 我们就从这些点出发找M 可扩路，由M 可扩路做出一个更大的匹配。
寻找M 可扩路的一个有效方法是标记法， 其过程如下：首先在G 中作一个匹配M ，用（*）标记1V 中所有M 不饱和点， 然后交替地进行以下步骤（１）和（２）。
（１）选一个1V 的新标记过的节点，比如i x ， 用（i x ）标记不通过M 中的边与i x 邻接且未标记过的2V 的所有节点。
对1V 所有新标记过的节点重复这一过程。
（２）选一个2V 的新标记过的节点，比如j y ， 用（j y ）标记通过M 中的边与j y 邻接且未标记过的1V 的所有节点。
对2V 所有新标记过的节点重复这一过程。
执行以上步骤， 直至标记到一个2V 中的M 不饱和点。
从该节点倒向追踪到标记有（*）的节点，就得到一条M 可扩路。
于是也就得到一个边数为|M |＋１的匹配， 再返回（１）。
如果已不可能标记更多的节点，而2V 的所有标记的节点均为M 饱和点，则说明G 中已不存在M 可扩路，这时M 就是最大匹配。
例7.5.3 图7-61()a 是一个二部图， 求其最大匹配。
图7-61解 取图7-61图()a 的一个匹配3152{(,),(,)}M x y x y =。
