08-图论-离散数学讲义-海南大学(共十一讲) 8.图论 Topics in Graph Theory §8.1 图Graphs G= V={v1,v2,······,vn} 顶点vertex集。
E={ e | e=( vi, vj), vi,vj∈V, vi≠vj}无向边edge集。 γ(e)={ vi, vj}, e的端点end points集。
简写为G＝（V，E）。
TD(vi)顶点vi的度数degree：连接到vi的边的条数。
连接一个顶点的圈loop算两度。 孤立点isolated vertex：度数为0的点。 两个顶点相邻adjacent：有一边相连。 定理1. (握手定理) TD＝TD(vi)=2m.
推论. 任意图的奇数度顶点必有偶数多个。 完全图complete graph： 任意两点都相邻简单图。
定理2. n个顶点的完全图有n(n-1)/2条边。 正则图regular graph：每个顶点都有相同的度数。 E={|vi , vj∈V}有向边集 有向图 有向边 ， vi起点弧尾， vj终点弧头 TD(vi):顶点的度degree: 以vi为端点的边的数目。 OD(vi): 出度, 以vi为起点的边的数目。 ID(vi): 入度，以vi为终点的边的数目。 TD(vi)= OD(vi)+ ID(vi) OD=ID, TD=2|E|，E| =1/2*TD TD OD ID 为整个图的总度,出度,入度数。
路径path： vi······vj， 以vi为起点vj为终点的顶点序列，相邻顶点相邻。 路径的长length: 路径上边的数目， 简单路径simple path:点都不重复的路径， 回路circuit : 首尾相接的路径， 简单回路simple circuit: 除起点和终点以外都不重复的路径， vivj连通connected: 有路径 vi······vj相连。 连通图: 任意两点都连通的图。 例
左图a,c,d,g是简单路径 右图a,d,b,c,e是简单路径。 f,e,a,d,b,a,f是简单回路。 f,e,d,c,e,f不是简单回路。
b f g d c e a f d c a e b 有向图 vivj强连通 vivj连通 vjvi也连通， 强连通图 任意两点都强连通。
子图和商图Subgraph and Quotient Graph G=(V, E), G’=(V’, E’) 如果 V’ V, E’ E , 就称 G’是G的子图subgraph。
G’的补图：G'＝(V, E\E’), G的边集中去掉E’的边。 Ge＝（V，E’）, E’=E\{e}.
连通分量connected components: 一个图的极大连通子图。 一个图可以划分成几个不相交的连通分量。 强连通分量strong connected components: 一个有向图的极大强连通子图。 商图quotient graph R是V上等价关系， V/R={[v] | v∈V} E/R={([v], [w]) | [v], [w]中有相邻的顶点} GR＝G/R=(V/R, E/R),称为G模R的商图。 把R相关的顶点粘合成一点，相关的边粘合成一边，就得到商图。
连通图的生成树spanning tree: 含有所有顶点的极小连通图. n个顶点连通图至少有n-1条边。 m条边的连通图去掉m－n＋1条边可以得到生成树。 从连通图中如有回路，去掉回路中的一条边，继续直至没有回路，就得到生成树。 从m条边的连通图中得到生成树，要去掉m－n＋1条边 T是连通图G的生成树，G的每一条不属于T的边e，叫弦。 m条边的连通图共有m－n＋1条弦。
基本回路：每条弦加到T中得到一个回路，叫基本回路。 m条边的连通图共有m－n＋1个基本回路。 割集：G的边集，去掉后G不连通。 一条边组成的割集叫桥bridge。 树的每条边都是桥。
基本割集：生成树T中每一条边，和G中对应于T的所有的弦，组成一个割集，叫基本割集。
最小生成树：权重最小的生成树。 带权的边：带边长的边。 带权的图：每边都带权。
Prim算法： 设 G=, 1. 令 U={v0}, T={ }.
2. 对任意u∈U, v∈V-U, (u,v)∈E, 找到权最小的边(u1,v1),
令U=U∪{v1}, T=T∪{(u1,v1)} 3. 重复2，直至U=V. 得到 T就是最小生成树。 T中共有n-1条边
CBEAFD6536452156CBEAFD6536
4
52156
U={A}, T={(A,C)}
U={A,C}, T={(A,C),(C,F)}
U={A,C,F}, T={(A,C),(C,F),(D,F)}
U={A,C,F,D}, T={(A,C),(C,F),(D,F),(B,C)}
U={A,C,F,D,B}, T={(A,C),(C,F),(D,F),(B,C),(B,E)}
U={A,C,F,D,B,E} CBEAFD6536
4
52156
(B,E)(B,C)(D,F)(C,F)(A,C)TE0BB 3 0D0F0F 2CC 4C 60C 5AA 5A 1A 60U FEDCBA
定义数组closeEdge[n]纪录每点到U的最短距离(点，距离)U中点距离为0，每加入一个新点，数组更新一次
templatestructMiniCostEdgeInfo{ Tadjvex;intlowcost;};
template intoperator<(MiniCostEdgeInfo a,MiniCostEdgeInfo b){return a.lowcost} template intminimum(MiniCostEdgeInfo *a, intn){ for(inti=0;iif(a[i].lowcost!=0) break;intmin=i;for(i=min+1;iif(a[i].lowcost!=0&&a[i]min=i;return min;}
templateTGetVertex(Graph G, intpos){ inti, n=G.NumberOfVertices( );if(pos<0||pos>=n){cerr<<"There are not so many vertices!";return 0; }VertexIterator liter(G);i = 0;while(!liter.EndOfList( ) &&i!= pos){ i++;liter.Next( ); }return liter.Data( );} templatevoid MiniSpanTreePrim(Graph< T> G){ intj,k,l,n=G.NumberOfVertices( );MiniCostEdgeInfo< T> * closeEdge;closeEdge=new MiniCostEdgeInfo< T>[n];Ts,w, v=GetVertex(G,0);closeEdge[0].lowcost=0;//起始点v0加进U
for(inti=1;i//初始化closeEdge数组
{ w=GetVertex(G,i); l=G.GetWeight(v,w);closeEdge[i].adjvex=v;if(l>0)closeEdge[i].lowcost=l;else closeEdge[i].lowcost=maxint;}
for( i=1;i//双重循环复杂度O(n2)与边数无关
{k=minimum(closeEdge,n);
//确定closeEdge中最小值v=closeEdge[k].adjvex;//取出这一边
w=GetVertex(G,k); l=closeEdge[k].lowcost;cout<<“\n”for(j=0;j//更新closeEdge
{ v=GetVertex(G,j); l=G.GetWeight(w,v);if(l>0&&l{ closeEdge[j].lowcost=l;closeEdge[j].adjvex=w; }} }}
